点到线距离的探索

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高一数学必修2 点到直线的距离

高一数学必修2 点到直线的距离一、教材分析1、教学内容本节课是人教B 版数学必修2第二章《平面解析几何初步》第§2.2.4节，主要内容是点到直线的距离公式的推导和应用。

2、课程标准探索并掌握点到直线的距离公式，会求两条平行直线间的距离。

3、地位与作用本节对“点到直线的距离”的认识，是从初中平面几何的定性作图，过渡到了解析几何的定量计算，是在学生已掌握了直线倾斜角、斜率、直线方程和两条直线的位置关系等相关知识基础上的学习，对“点到直线的距离”的研究，为以后直线与圆的位置关系等几何问题的进一步学习奠定了基础。

二、教学目标依据《普通高中数学课程标准》的要求及教材的特点，结合学生的认知水平确定教学目标如下：1、知识与技能目标：理解点到直线距离公式的推导和掌握点到直线距离公式及其应用，能用公式2221BA C C d +-=求两平行线间距离。

2、过程与方法目标：（1）通过对点到直线的距离公式的推导与应用，培养学生数形结合、分类讨论、转化的数学思想，进而培养学生探究性思维方法和由特殊到一般、由具体到抽象的研究能力，以及用代数方法解决几何问题的能力。

（2）通过点到直线的距离公式的探索和推导过程，渗透算法的思想。

（3）通过问题获得数学知识，经历“发现问题—提出问题—解决问题”的过程。

3、情感、态度与价值观目标：通过教学过程中的师生互动、生生互动，形成学生的体验性认识，提高数学学习兴趣，树立学好数学的信心，逐步形成锲而不舍的钻研精神和合作交流的团队精神。

4、教学重点、难点及确立的依据教学重点：点到直线的距离公式确定依据：由本节在教材中的地位确定教学难点：点到直线的距离公式的推导确定依据：学生根据点到直线的距离定义进行推导，思路自然，但运算繁琐，在解决问题的过程中遇到困难，此时需要教师引导学生采用整体代换的思想简化推导过程。

三、教学方法发现法：本节课为了培养学生探究性思维能力，在教学过程中，使老师的主导性和学生的主体性有机结合，使学生能够愉快地自觉学习，通过学生自己动手实践，引导、启发学生分析、发现、归纳、论证等，从而形成完整的数学模型。

空间距离及立体几何中的探索性问题

§7.8 空间距离及立体几何中的探索性问题学习目标1.会求空间中点到直线以及点到平面的距离.2.以空间向量为工具，探究空间几何体中线、面的位置关系或空间角存在的条件．知识梳理1．点到直线的距离如图，已知直线l 的单位方向向量为u ，A 是直线l 上的定点，P 是直线l 外一点，设AP →＝a ，则向量AP →在直线l 上的投影向量AQ →＝(a·u )u ，在Rt △APQ 中，由勾股定理，得PQ ＝|AP →|2－|AQ →|2＝a 2－(a·u )2.2．点到平面的距离如图，已知平面α的法向量为n ，A 是平面α内的定点，P 是平面α外一点．过点P 作平面α的垂线l ，交平面α于点Q ，则n 是直线l 的方向向量，且点P 到平面α的距离就是AP →在直线l 上的投影向量QP →的长度，因此PQ ＝⎪⎪⎪⎪AP →·n |n |＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪AP →·n |n |＝|AP →·n ||n |.思考辨析判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)(1)平面α上不共线的三点到平面β的距离相等，则α∥β.( × ) (2)点到直线的距离也就是该点与直线上任一点连线的长度．( × ) (3)直线l 平行于平面α，则直线l 上各点到平面α的距离相等．( √ ) (4)直线l 上两点到平面α的距离相等，则l 平行于平面α.( × ) 教材改编题1．已知平面α的一个法向量n ＝(－2，－2,1)，点A (－1,3,0)在α内，则P (－2,1,4)到α的距离为( )A ．10B ．3 C.83 D.103答案 D解析由条件可得P (－2,1,4)到α的距离为 |AP →·n ||n |＝|(－1，－2，4)·(－2，－2，1)|3＝103. 2．正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1的棱长为2，则A 1A 到平面B 1D 1DB 的距离为( ) A. 2 B ．2 C.22 D.322答案 A解析由正方体性质可知，A 1A ∥平面B 1D 1DB ，A 1A 到平面B 1D 1DB 的距离就是点A 1到平面B 1D 1DB 的距离，连接A 1C 1，交B 1D 1于O 1(图略)，A 1O 1的长即为所求，由题意可得A 1O 1＝ 12A 1C 1＝ 2. 3．已知直线l 经过点A (2,3,1)且向量n ＝⎝⎛⎭⎫22，0，22为l 的一个单位方向向量，则点P (4,3,2)到l 的距离为________．答案22解析 ∵P A →＝(－2,0，－1)，n ＝⎝⎛⎭⎫22，0，22为l 的一个单位方向向量，∴点P 到l 的距离d ＝|P A →|2－(P A →·n )2＝5－⎝⎛⎭⎫－2－222＝22.题型一空间距离例1 如图，在正三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，各棱长均为4，N 是CC 1的中点．(1)求点N 到直线AB 的距离； (2)求点C 1到平面ABN 的距离．解建立如图所示的空间直角坐标系，则A (0,0,0)，B (23，2,0)，C (0,4,0)，C 1(0,4,4)， ∵N 是CC 1的中点，∴N (0,4,2)． (1)AN →＝(0,4,2)，AB →＝(23，2,0)，则|AN →|＝25，|AB →|＝4.设点N 到直线AB 的距离为d 1，则d 1＝|AN →|2－⎝⎛⎭⎪⎪⎫ AN →·AB →||AB→2＝20－4＝4.(2)设平面ABN 的一个法向量为n ＝(x ，y ，z )，则由n ⊥AB →，n ⊥AN →，得⎩⎪⎨⎪⎧n ·AB →＝23x ＋2y ＝0，n ·AN →＝4y ＋2z ＝0，令z ＝2，则y ＝－1，x ＝33，即n ＝⎝⎛⎭⎫33，－1，2. 易知C 1N —→＝(0,0，－2)，设点C 1到平面ABN 的距离为d 2，则d 2＝|C 1N —→·n ||n |＝|－4|433＝ 3.教师备选1.如图，P 为矩形ABCD 所在平面外一点，P A ⊥平面ABCD .若已知AB ＝3，AD ＝4，P A ＝1，则点P 到直线BD 的距离为________．答案135解析如图，分别以AB ，AD ，AP 所在直线为x 轴、y 轴、z 轴建立空间直角坐标系，则P (0,0,1)，B (3,0,0)， D (0,4,0)，则BP →＝(－3,0,1)，BD →＝(－3,4,0)，故点P 到直线BD 的距离 d ＝|BP →|2－⎝ ⎛⎭⎪⎫BP →·BD →|BD →|2＝10－⎝⎛⎭⎫952＝135，所以点P 到直线BD 的距离为135.2．如图，已知△ABC 为等边三角形，D ，E 分别为AC ，AB 边的中点，把△ADE 沿DE 折起，使点A 到达点P ，平面PDE ⊥平面BCDE ，若BC ＝4.求直线DE 到平面PBC 的距离．解如图，设DE 的中点为O ，BC 的中点为F ，连接OP ，OF ，OB ，因为平面PDE ⊥平面BCDE ，平面PDE ∩平面BCDE ＝DE ，所以OP ⊥平面BCDE .因为在△ABC 中，点D ，E 分别为AC ，AB 边的中点，所以DE ∥BC .因为DE ⊄平面PBC ，BC ⊂平面PBC ，所以DE ∥平面PBC . 又OF ⊥DE ，所以以点O 为坐标原点，OE ，OF ，OP 所在直线分别为x 轴、y 轴、z 轴建立如图所示的空间直角坐标系，则O ()0，0，0，P ()0，0，3，B ()2，3，0， C ()－2，3，0，F ()0，3，0，所以PB →＝()2，3，－3，CB →＝()4，0，0. 设平面PBC 的一个法向量为n ＝(x ，y ，z )，由⎩⎪⎨⎪⎧n ·PB →＝2x ＋3y －3z ＝0，n ·CB →＝4x ＝0，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝0，y ＝z ，令y ＝z ＝1，所以n ＝(0,1,1)．因为OF →＝(0，3，0)，设点O 到平面PBC 的距离为d ，则d ＝||OF →·n|n |＝32＝62. 因为点O 在直线DE 上，所以直线DE 到平面PBC 的距离等于62. 思维升华点到直线的距离(1)设过点P 的直线l 的单位方向向量为n ，A 为直线l 外一点，点A 到直线l 的距离d ＝ |P A →|2－(P A →·n )2.(2)若能求出点在直线上的射影坐标，可以直接利用两点间距离公式求距离.跟踪训练1 (1)(多选)已知正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1的棱长为1，点E ，O 分别是A 1B 1，A 1C 1的中点，P 在正方体内部且满足AP →＝34AB →＋12AD →＋23AA 1—→，则下列说法正确的是( )A ．点A 到直线BE 的距离是55B ．点O 到平面ABC 1D 1的距离为24C ．平面A 1BD 与平面B 1CD 1间的距离为33D ．点P 到直线AB 的距离为2536答案 BC解析如图，建立空间直角坐标系，则A (0,0,0)，B (1,0,0)，D (0,1,0)，A 1(0,0,1)，C 1(1,1,1)，D 1(0,1,1)，E ⎝⎛⎭⎫12，0，1，所以BA →＝(－1,0,0)，BE →＝⎝⎛⎭⎫－12，0，1. 设∠ABE ＝θ，则cos θ＝BA →·BE →|BA →||BE →|＝55，sin θ＝1－cos 2θ＝255. 故点A 到直线BE 的距离d 1＝|BA →|sin θ＝1×255＝255，故A 错误；易知C 1O —→＝12C 1A 1—→＝⎝⎛⎭⎫－12，－12，0，平面ABC 1D 1的一个法向量DA 1—→＝(0，－1,1)，则点O 到平面ABC 1D 1的距离 d 2＝|DA 1—→·C 1O —→||DA 1—→|＝122＝24，故B 正确；A 1B —→＝(1,0，－1)，A 1D —→＝(0,1，－1)， A 1D 1—→＝(0,1,0)．设平面A 1BD 的法向量为n ＝(x ，y ，z )，则⎩⎪⎨⎪⎧n ·A 1B —→＝0，n ·A 1D —→＝0，所以⎩⎪⎨⎪⎧x －z ＝0，y －z ＝0，令z ＝1，得y ＝1，x ＝1，所以n ＝(1,1,1)．所以点D 1到平面A 1BD 的距离 d 3＝|A 1D 1—→·n ||n |＝13＝33.因为平面A 1BD ∥平面B 1CD 1，所以平面A 1BD 与平面B 1CD 1间的距离等于点D 1到平面A 1BD 的距离，所以平面A 1BD 与平面B 1CD 1间的距离为33，故C 正确；因为AP →＝34AB →＋12AD →＋23AA 1—→，所以AP →＝⎝⎛⎭⎫34，12，23，又AB →＝(1,0,0)，则AP →·AB →|AB →|＝34，所以点P 到直线AB 的距离d 4＝|AP →|2－⎝ ⎛⎭⎪⎫AP →·AB →|AB →|2＝181144－916＝56，故D 错误． (2)(2022·枣庄检测)在长方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，AA 1＝AB ＝2，AD ＝1，点F ，G 分别是AB ，CC 1的中点，则△D 1GF 的面积为________．答案142解析以D 为坐标原点，DA 所在直线为x 轴，DC 所在直线为y 轴，DD 1所在直线为z 轴，建立空间直角坐标系(图略)，则D 1(0,0,2)，G (0,2,1)，F (1,1,0)， FD 1—→＝(－1，－1,2)，FG →＝(－1,1,1)， ∴点D 1到直线GF 的距离 d ＝|FD 1—→|2－⎝⎛⎭⎪⎪⎫FD 1—→·FG → |FG →|2 ＝6－⎝⎛⎭⎫232＝423.∴点D 1到直线GF 的距离为423，又|FG →|＝3，∴1D GF S △＝12×3×423＝142.题型二立体几何中的探索性问题例2 (2021·北京)已知正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1，点E 为A 1D 1中点，直线B 1C 1交平面CDE 于点F .(1)求证：点F 为B 1C 1的中点；(2)若点M 为棱A 1B 1上一点，且二面角M －CF －E 的余弦值为53，求A 1MA 1B 1的值． (1)证明如图所示，取B 1C 1的中点F ′，连接DE ，EF ′，F ′C ，由于ABCD －A 1B 1C 1D 1为正方体，E ，F ′为中点，故EF ′∥CD ，从而E ，F ′，C ，D 四点共面，平面CDE 即平面CDEF ′，据此可得，直线B 1C 1交平面CDE 于点F ′，当直线与平面相交时只有唯一的交点，故点F 与点F ′重合，即点F 为B 1C 1的中点．(2)解以点D 为坐标原点，DA ，DC ，DD 1所在直线分别为x 轴，y 轴，z 轴，建立空间直角坐标系，不妨设正方体的棱长为2，设A 1MA 1B 1＝λ(0≤λ≤1)，则M (2,2λ，2)，C (0,2,0)，F (1,2,2)，E (1,0,2)，从而MC →＝(－2,2－2λ，－2)，CF →＝(1,0,2)， FE →＝(0，－2,0)，设平面MCF 的法向量为m ＝(x 1，y 1，z 1)，则 ⎩⎪⎨⎪⎧m ·MC →＝－2x 1＋(2－2λ)y 1－2z 1＝0，m ·CF →＝x 1＋2z 1＝0，令z 1＝－1可得m ＝⎝⎛⎭⎫2，11－λ，－1(λ≠1)，设平面CFE 的法向量为n ＝(x 2，y 2，z 2)，则 ⎩⎪⎨⎪⎧n ·FE →＝－2y 2＝0，n ·CF →＝x 2＋2z 2＝0，令z 2＝－1可得n ＝(2,0，－1)，从而m ·n ＝5，|m |＝5＋⎝⎛⎭⎫11－λ2，|n |＝5，则cos 〈m ，n 〉＝m ·n|m ||n |＝55＋⎝⎛⎭⎫11－λ2×5＝53. 整理可得(λ－1)2＝14，故λ＝12⎝⎛⎭⎫λ＝32舍去. 所以A 1M A 1B 1＝12.教师备选(2022·盐城模拟)如图，三棱柱ABC －A 1B 1C 1的所有棱长都为2，B 1C ＝6，AB ⊥B 1C .(1)求证：平面ABB 1A 1⊥平面ABC ；(2)在棱BB 1上是否存在点P ，使直线CP 与平面ACC 1A 1所成角的正弦值为45，若不存在，请说明理由；若存在，求BP 的长．(1)证明如图，取AB 的中点D ，连接CD ，B 1D .因为三棱柱ABC －A 1B 1C 1的所有棱长都为2，所以AB ⊥CD ，CD ＝3，BD ＝1. 又因为AB ⊥B 1C ，且CD ∩B 1C ＝C ，CD ，B 1C ⊂平面B 1CD ，所以AB ⊥平面B 1CD . 又因为B 1D ⊂平面B 1CD ，所以AB ⊥B 1D .在Rt △B 1BD 中，BD ＝1，B 1B ＝2，所以B 1D ＝ 3.在△B 1CD 中，CD ＝3，B 1D ＝3，B 1C ＝6，所以CD 2＋B 1D 2＝B 1C 2，所以CD ⊥B 1D ，又因为AB ⊥B 1D ，AB ∩CD ＝D ，AB ，CD ⊂平面ABC ，所以B 1D ⊥平面ABC . 又因为B 1D ⊂平面ABB 1A 1，所以平面ABB 1A 1⊥平面ABC .(2)解假设在棱BB 1上存在点P 满足条件．以DC ，DA ，DB 1所在直线分别为x ，y ，z 轴建立如图所示的空间直角坐标系，则A (0,1,0)，B (0，－1,0)，C (3，0,0)，B 1(0,0，3)，因此BB 1—→＝(0,1，3)，AC →＝(3，－1,0)，AA 1—→＝BB 1—→＝(0,1，3)，CB →＝(－3，－1,0)．因为点P 在棱BB 1上，设BP →＝λBB 1—→＝λ(0,1，3)，其中0≤λ≤1.则CP →＝CB →＋BP →＝CB →＋λBB 1—→＝(－3，－1＋λ，3λ)．设平面ACC 1A 1的法向量为n ＝(x ，y ，z )，由⎩⎪⎨⎪⎧n ·AC →＝0，n ·AA 1—→＝0，得⎩⎨⎧3x －y ＝0，y ＋3z ＝0，取x ＝1，则y ＝3，z ＝－1，所以平面ACC 1A 1的一个法向量为n ＝(1，3，－1)．因为直线CP 与平面ACC 1A 1所成角的正弦值为45，所以|cos 〈n ，CP →〉|＝|n ·CP →||n ||CP →|＝|－23|5×3＋(λ－1)2＋3λ2＝45，化简得16λ2－8λ＋1＝0，解得λ＝14，所以|BP →|＝14|BB 1—→|＝12，故BP 的长为12.思维升华 (1)对于存在判断型问题的求解，应先假设存在，把要成立的结论当作条件，据此列方程或方程组，把“是否存在”问题转化为“点的坐标是否有解，是否有规定范围内的解”等．(2)对于位置探究型问题，通常借助向量，引进参数，综合已知和结论列出等式，解出参数．跟踪训练2 如图，四棱锥S －ABCD 的底面是正方形，每条侧棱的长都是底面边长的2倍，P 为侧棱SD 上的点．(1)求证：AC ⊥SD ；(2)若SD ⊥平面P AC ，求平面P AC 与平面DAC 夹角的大小；(3)在(2)的条件下，侧棱SC 上是否存在一点E ，使得BE ∥平面P AC .若存在，求SE ∶EC 的值；若不存在，试说明理由．(1)证明如图，连接BD ，设AC 交BD 于点O ，连接SO .由题意知，SO ⊥平面ABCD ，以O 为坐标原点，以OB ，OC ，OS 所在直线分别为x 轴、y 轴、z 轴，建立空间直角坐标系．设底面边长为a ，则高SO ＝62a ，于是S ⎝⎛⎭⎫0，0，62a ，D ⎝⎛⎭⎫－22a ，0，0，C ⎝⎛⎭⎫0，22a ，0. 于是OC →＝⎝⎛⎭⎫0，22a ，0，SD →＝⎝⎛⎭⎫－22a ，0，－62a .则OC →·SD →＝0，故OC ⊥SD ，从而AC ⊥SD .(2)解由题设知，平面P AC 的一个法向量DS →＝⎝⎛⎭⎫22a ，0，62a ，平面DAC 的一个法向量OS→＝⎝⎛⎭⎫0，0，62a . 设平面P AC 与平面DAC 的夹角为θ，则cos θ＝|cos 〈OS →，DS →〉|＝|OS →·DS →||OS →||DS →|＝32，所以平面P AC 与平面DAC 夹角的大小为30°. (3)解假设在棱SC 上存在一点E 使BE ∥平面P AC . 根据第(2)问知DS →是平面P AC 的一个法向量，且DS →＝⎝⎛⎭⎫22a ，0，62a ，CS →＝⎝⎛⎭⎫0，－22a ，62a .设CE →＝tCS →(0≤t ≤1)，因为B ⎝⎛⎭⎫22a ，0，0，C ⎝⎛⎭⎫0，22a ，0，所以BC →＝⎝⎛⎭⎫－22a ，22a ，0，则BE →＝BC →＋CE →＝BC →＋tCS →＝⎝⎛⎭⎫－22a ，22a (1－t )，62at . 又BE →·DS →＝0，得－a 22＋0＋64a 2t ＝0，则t ＝13，当SE ∶EC ＝2∶1时，BE →⊥DS →. 由于BE ⊄平面P AC ，故BE ∥平面P AC .因此在棱SC 上存在点E ，使BE ∥平面P AC ，此时SE ∶EC ＝2∶1.课时精练1.如图，在梯形ABCD 中，AD ∥BC ，∠ABC ＝π2，AB ＝BC ＝13AD ＝a ，P A ⊥平面ABCD ，且P A ＝a ，点F 在AD 上，且CF ⊥PC .(1)求点A 到平面PCF 的距离； (2)求AD 到平面PBC 的距离．解 (1)由题意知AP ，AB ，AD 两两垂直，建立空间直角坐标系，如图，则A (0,0,0)，B (a,0,0)，C (a ，a,0)，D (0,3a ，0)， P (0,0，a )．设F (0，m ，0)，0≤m ≤3a ，则CF →＝(－a ，m －a ，0)，CP →＝(－a ，－a ，a )． ∵PC ⊥CF ，∴C F →⊥CP →，∴CF →·CP →＝(－a )·(－a )＋(m －a )·(－a )＋0·a ＝a 2－a (m －a )＝0， ∴m ＝2a ，即F (0,2a ，0)．设平面PCF 的法向量为n ＝(x ，y ，z )，则⎩⎪⎨⎪⎧n ·CF →＝－ax ＋ay ＝0，n ·CP →＝－ax －ay ＋az ＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝y ，z ＝2x .取x ＝1，得n ＝(1,1,2)．设点A 到平面PCF 的距离为d ，由AC →＝(a ，a ，0)，得d ＝|AC →·n ||n |＝a ×1＋a ×1＋0×26＝63a .(2)由于BP →＝(－a ，0，a )，BC →＝(0，a ，0)， AP →＝(0,0，a )．设平面PBC 的法向量为n 1＝(x 0，y 0，z 0)，由⎩⎪⎨⎪⎧n 1·BP →＝－ax 0＋az 0＝0，n 1·BC →＝ay 0＝0，得⎩⎪⎨⎪⎧x 0＝z 0，y 0＝0. 取x 0＝1，得n 1＝(1,0,1)．设点A 到平面PBC 的距离为h ，∵AD ∥BC ，AD ⊄平面PBC ，BC ⊂平面PBC ， ∴AD ∥平面PBC ，∴h 为AD 到平面PBC 的距离， ∴h ＝|AP →·n 1||n 1|＝a 2＝22a .2．如图，在四棱锥P －ABCD 中，底面ABCD 是边长为2的正方形，PB ⊥BC ，PD ⊥CD ，且P A ＝2，E 为PD 的中点．(1)求证：P A ⊥平面ABCD ；(2)求直线PC 与平面ACE 所成角的正弦值；(3)在线段BC 上是否存在点F ，使得点E 到平面P AF 的距离为255若存在，确定点的位置；若不存在，请说明理由．(1)证明因为四边形ABCD 为正方形，则BC ⊥AB ，CD ⊥AD ，因为PB ⊥BC ，BC ⊥AB ，PB ∩AB ＝B ，PB ，AB ⊂平面P AB ，所以BC ⊥平面P AB ，因为P A ⊂平面P AB ，所以P A ⊥BC ，因为PD ⊥CD ，CD ⊥AD ，PD ∩AD ＝D ，PD ，AD ⊂平面P AD ，所以CD ⊥平面P AD ，因为P A ⊂平面P AD ，所以P A ⊥CD ，因为BC ∩CD ＝C ，BC ，CD ⊂平面ABCD ，所以P A ⊥平面ABCD .(2)解因为P A ⊥平面ABCD ，AB ⊥AD ，不妨以点A 为坐标原点，AB ，AD ，AP 所在直线分别为x ，y ，z 轴建立如图所示的空间直角坐标系，则A (0,0,0)，C (2,2,0)，P (0,0,2)，E (0,1,1)，设平面ACE 的法向量为m ＝(x ，y ，z )，则AC →＝(2,2,0)，AE →＝(0,1,1)，PC →＝(2,2，－2)，由⎩⎪⎨⎪⎧m ·AC →＝2x ＋2y ＝0，m ·AE →＝y ＋z ＝0，取y ＝1，可得m ＝(－1,1，－1)， cos 〈m ，PC →〉＝m ·PC →|m ||PC →|＝23×23＝13，所以直线PC 与平面ACE 所成角的正弦值为13.(3)解设点F (2，t ，0)(0≤t ≤2)，设平面P AF 的法向量为n ＝(a ，b ，c )， AF →＝(2，t ，0)，AP →＝(0,0,2)，由⎩⎪⎨⎪⎧n ·AF →＝2a ＋tb ＝0，n ·AP →＝2c ＝0，取a ＝t ，则n ＝(t ，－2,0)，所以点E 到平面P AF 的距离为d ＝|AE →·n ||n |＝2t 2＋4＝255，因为t >0，所以t ＝1.因此，当点F为线段BC 的中点时，点E 到平面P AF 的距离为255.3．(2022·湖南雅礼中学月考)如图，在四棱台ABCD －A 1B 1C 1D 1中，底面四边形ABCD 为菱形，AA 1＝A 1B 1＝12AB ＝1，∠ABC ＝60°，AA 1⊥平面ABCD .(1)若点M 是AD 的中点，求证：C 1M ⊥A 1C ；(2)棱BC 上是否存在一点E ，使得平面EAD 1与平面DAD 1夹角的余弦值为13若存在，求线段CE 的长；若不存在，请说明理由．(1)证明如图，取BC 的中点Q ，连接AQ ，AC ， ∵四边形ABCD 为菱形，则AB ＝BC ， ∵∠ABC ＝60°，∴△ABC 为等边三角形， ∵Q 为BC 的中点，则AQ ⊥BC ， ∵AD ∥BC ，∴AQ ⊥AD ，由于AA 1⊥平面ABCD ，以点A 为坐标原点，以AQ ，AD ，AA 1所在直线分别为x 轴、y 轴、z 轴建立空间直角坐标系，如图，则A (0,0,0)，A 1(0,0,1)，D 1(0,1,1)，Q (3，0,0)， C (3，1,0)，C 1⎝⎛⎭⎫32，12，1，M (0,1,0)，C 1M —→＝⎝⎛⎭⎫－32，12，－1，A 1C —→＝(3，1，－1)，∴C 1M —→·A 1C —→＝－32＋12＋(－1)2＝0，∴C 1M ⊥A 1C .(2)解如图，假设点E 存在，设点E 的坐标为(3，λ，0)，其中－1≤λ≤1， AE →＝(3，λ，0)，AD 1—→＝(0,1,1)，设平面AD 1E 的法向量为n ＝(x ，y ，z )，则⎩⎪⎨⎪⎧n ·AE →＝0，n ·AD 1—→＝0，即⎩⎨⎧3x ＋λy ＝0，y ＋z ＝0，取y ＝－3，则x ＝λ，z ＝3， ∴n ＝(λ，－3，3)，平面ADD 1的一个法向量为m ＝(1,0,0)， ∴|cos 〈m ，n 〉|＝|m ·n ||m ||n |＝|λ|λ2＋6＝13，解得λ＝±32，即CE ＝1－32或CE ＝1＋32.因此，棱BC 上存在一点E ，使得平面EAD 1与平面DAD 1夹角的余弦值为13，此时CE ＝1－32或CE ＝1＋32.4.(2022·潍坊模拟)如图，在四棱锥P －ABCD 中，底面ABCD 是边长为4的正方形，△P AD 是正三角形，CD ⊥平面P AD ，E ，F ，G ，O 分别是PC ，PD ，BC ，AD 的中点．(1)求证：PO ⊥平面ABCD ；(2)求平面EFG 与平面ABCD 夹角的大小；(3)在线段P A 上是否存在点M ，使得直线GM 与平面EFG 所成的角为π6，若存在，求线段PM的长度；若不存在，请说明理由．(1)证明因为△P AD 是正三角形，O 是AD 的中点，所以PO ⊥AD .又因为CD ⊥平面P AD ，PO ⊂平面P AD ，所以PO ⊥CD .又AD ∩CD ＝D ，AD ，CD ⊂平面ABCD ，所以PO ⊥平面ABCD .(2)解如图，连接OG ，以O 点为坐标原点，分别以OA ，OG ，OP 所在直线为x 轴、y 轴、z 轴建立空间直角坐标系，则O (0,0,0)，A (2,0,0)，B (2,4,0)， C (－2,4,0)，D (－2,0,0)，G (0,4,0)，P (0,0,23)，E (－1,2，3)，F (－1,0，3)， EF →＝(0，－2,0)，EG →＝(1,2，－3)，设平面EFG 的法向量为m ＝(x ，y ，z )，则⎩⎪⎨⎪⎧EF →·m ＝0，EG →·m ＝0，即⎩⎨⎧－2y ＝0，x ＋2y －3z ＝0，令z ＝1，则m ＝(3，0,1)，又平面ABCD 的法向量n ＝(0,0,1)，设平面EFG 与平面ABCD 的夹角为θ，所以cos θ＝|m ·n ||m ||n |＝1(3)2＋12×1＝12，所以θ＝π3，所以平面EFG 与平面ABCD 的夹角为π3.(3)解不存在，理由如下：假设在线段P A 上存在点M ，使得直线GM 与平面EFG 所成的角为π6，即直线GM 的方向向量与平面EFG 法向量m 所成的锐角为π3，设PM →＝λP A →，λ∈[0,1]， GM →＝GP →＋PM →＝GP →＋λP A →，所以GM →＝(2λ，－4,23－23λ)，所以cos π3＝|cos 〈GM →，m 〉|＝324λ2－6λ＋7，整理得2λ2－3λ＋2＝0， Δ<0，方程无解，所以不存在这样的点M .。

2023年《点到直线距离》说课稿

2023年《点到直线距离》说课稿2023年《点到直线距离》说课稿1尊敬的领导、老师：大家好，我今天说课的内容是，九年义务教育小学数学苏教版四年级上册第四单元第三节的内容。

接下来，我将从以下几个方面进行我的说课。

【说教材】：本课是小学数学空间与图形中的学习内容，它是在学生认识了两条直线的垂直关系的基础上安排的。

教材在例题中呈现了从一点向已知直线所画的一条垂直线段和几条不垂直的线段，让学生通过度量，发现在这几条线段中垂直的线段最短，这是垂直线段的性质。

接着揭示了点到直线距离的概念：从直线外一点到这条直线所画的垂直线段的长度，叫做这点到这条直线的距离。

“想想做做”安排了4道题，第一题让学生测量点到直线的距离；第二题让学生在两条平行线之间画几条与平行线垂直的线段，并测量这些线段的长度，发现这些线段同样长；第3、4两题是点到直线的距离和垂直线段的性质在日常生活中的具体运用。

【说教学目标】：1、知识与能力目标：让学生经历垂直线段的性质的探索过程，知道从直线外一点到已知直线所画的线段中垂直线段最短，知道点到直线的距离。

会测量点到直线的距离，会利用垂直线段的性质解释一些生活现象。

2、过程与方法目标：让学生在学习过程中进一步发展观察能力、实践能力，体会数与形的联系，发展空间观念。

3、情感与态度目标：让学生进一步体会数学和现实生活的联系，进一步培养数学应用意识和学习数学的积极情感。

【教学重点】：引导学生发现垂直线段的性质，理解点到直线的距离的概念。

【教学难点】：认识点到直线的距离，并能解决一些实际的问题。

【说教法和学法】：新课标要求我们在实际课堂教学中应“激发学生独立思考和创新的意识，让学生感受理解知识产生和发展的过程”。

本节课借助多媒体，让学生结合具体生活情境充分感知垂直线段最短，形成点到直线距离的概念。

通过让学生在画一画、量一量的操作活动中加深学生对点到直线距离概念及垂直线段性质的认识。

在操作活动中，不仅培养学生学会与人交流合作的能力，还调动了学生学习数学的积极参与程度。

基于深度挖掘课本内容教学功能的探索——以《点到直线距离》教学为例

基于深度挖掘课本内容教学功能的探索——以《点到直线距离》教学为例著名数学家G·玻利亚说：“一个专心认真备课的老师能够拿出一个有意义但又不太复杂的题目，去帮助学生发掘问题的各个方面，使得通过这道题，就好象通过一个门户，把学生引入一个完整的理论领域。

”课本上的内容，蕴含重要的思想方法和文化精髓，执教者所要做的就是挖掘和展示其潜在的教学功能，让学生领悟和掌握知识的本质。

以下是本人在公开课教学中，基于深度挖掘课本内容教学功能的探索。

课堂实录：一、谈话引入：同学们，我们知道，数学具有高度的抽象性，严密的逻辑性。

今天，我想让同学们通过课本内容，来感受数学的另一个特点：思维的广阔性。

二、创设情景，揭示课题问题情景：如图，在铁路的附近，有一个大型仓库，现要修一条公路与之连接起来，那么怎样设计才能使公路最短？最短路程是多少？请你说说解决上面问题的思路？教师：同学们，这个实际问题就是我们数学中的什么问题？学生（集体）：求点到直线的距离。

教师：对了！这，就是我们今天研究的课题。

（板书课题：点到直线的距离）设计意图：出示问题情景，激起兴趣和探求欲望，并体验数学来源于生活，应用于生活。

三、新知探究教师：那么如何求点到直线的距离？思路是什么？学生1：过已知点作已知直线的垂线，这点和垂足之间的线段长即为所求。

教师：回答正确！我们先来看一些简单的问题：1、求点A到直线L的距离d：（口答）（1）A（2，0），L：x-3=0，d=（）（2）A（2，0），L：y-3=0，d=（）（3）A（2，0），L：x-y=0，d=（）学生2：（1）1；（2）3；（3）教师：通过数形结合，我们可以快速得到结果。

我还想问：对于第（3）个问题，你用了什么方法解决？学生2：三角函数法：sin45°=,AM=。

学生3：勾股定理也可以：2AM2=22，AM=。

教师：很好，问题虽然简单，但是同学们想出的方法很重要。

设计意图：通过简单的数形结合，为本节探求新知做好知识铺垫。

探索新课程理念下的一节数学课——点到直线的距离公式

2013-08方法交流【探索背景】本节课是北师大版高中数学必修4平面向量部分的内容。

按教材的安排，本大节是想让学生熟悉向量在数学和物理学中的应用，理解向量的工具性.从高考角度看，向量与三角函数、解析几何等知识综合起来的题目频频出现在全国各地的高考试卷中，这些题目新颖，难度较大，成为高考的新宠.本节课通过一个具体的实例来体会向量的作用.【探索意图】本节课内容是用向量法证明“点到直线的距离公式”.虽然只是一个证明，但由于向量是个新的知识，比较抽象，学生在学习新知识时就比较被动，到了这节课，要求学生在原有知识的基础上，把几何中的代数知识转化为向量知识，进行类比，联系，对学生能力要求比较高，学生觉得比较困难.所以，我对这节课进行了仔细的探索和研究，以问题为教学线索，以类比为教学方法，引导学生逐步从解析几何中点、线、距离、平行、垂直关系向向量运算过渡，发现两者之间的内在联系.【探索过程】一、引课教师活动：前几节课，我们学习了平面向量的有关知识.向量既有大小，又有方向，所以，它既具有数的运算特点，又具备形的特征，具有更广泛的意义，常应用在数学和物理中.几何中的夹角、距离、平行和垂直关系以及线、面都可以用向量刻画.今天我们通过一个具体的实例来体会向量的作用.用向量法证明“点到直线的距离公式”.活动说明：点明本节课主题，突出向量的重要作用.二、复习回顾教师活动：和学生一起回顾公式：点p （x 0，y 0）到直线Ax +By +C =0的距离d =Ax 0+By 0+C A 2+B 2√（A ，B 不同时为0）问题1：在必修2解析几何部分学习时，证明“点到直线距离公式”的方法？（只说思路，不做详细证明）学生活动：方法一，利用定义：（1）确定直线l 的斜率k （k ≠0）.（2）求与l 垂直的直线l′的斜率.（3）求过点P 垂直于l 的直线l ′方程.（4）求l 与l ′的交点Q .（5）求点P 与点Q 的距离.（6）得到点P 到l 的距离d=PQ .方法二，利用函数的思想：设Q （x ，y ）为l 上一动点，d 为|PQ |最小值，写出距离公式，转化为二次函数求最值问题.师生共同总结：这些方法思路简单，但运算繁琐.活动说明：因为是复习，不是重点，证明几种方法根据学生回答问题情况而定.三、探索新知教师活动：研究如何用向量证明点到直线的距离公式，因为要用向量法证明，所以要把问题放在向量背景中.设置问题：问题2：什么向量能够刻画直线？向量坐标怎么求？问题3线？向量坐标怎么求？问题4：垂足位置不定，问题5：P ，M 以坐标形式出现，刻画长度？问题6：向量PM ，法向量n 形式出现，们求d ？学生活动：问题2：方向向量.方向向量是与直线平行，共线的非零向量，有无数多个.引导学生求出一个方向向量V =（B ，-A ）问题3：法向量.法向量是与直线垂直的非零向量，有无数多个.可以通过与方向向量垂直来求坐标.n ⊥v ，引导学生求出一个法向量n =（A ，B ）问题4：直线上再找一个点M （x ，y ）构造直角三角形，垂线段的长d 与斜线段|PM|有关.问题5：模长|PM |.问题6：向量的投影（复习投影知识）.d 是PM 在n 上投影的绝对值.活动说明：以问题为教学线索，引导学生的思维从问题到问题深化.四、完成公式推导教师活动：要求学生完成推导过程.学生容易忽略距离是一个非负数，所以，教师要强调PQcosθ应该加上绝对值符号.学生活动:学生完成：PM ·n=cos θPM =x-x 0，y-y 0）=（x-x 0，y-y 0）（A ，B ）=A （0）+B （y-y 0）PQ cos θAx 0+By 0-Ax-By A 2+B 2√=（x-x 0，y-y 0）（A ，B ）A 2+B 2√=Ax 0+By 0+C A 2+B 2√教师活动：（小结）向量法证明点到直线的距离公式，思路较难，但运算简单.随着知识的推进，向量的深入学习，可以继续体会向量解决问题的优越性.活动说明:在学生原有的知识体系上，通过类比逐步引导学生从解析几何中点、线、距离、平行、垂直关系向向量运算过渡，发现两者之间的内在联系.【探索实践】证明题本来就是学生比较吃力的一类题，再加上向量知识的要求，这节课难度较大，比较抽象.这节课我没有一味地追求学生的自学模式，采取了设置问题的方法，将学生慢慢引入向量背景中，让学生逐步体会点、线、面、夹角、距离、平行垂直关系如何用向量刻画，代数运算如何上升为向量运算.整个分析过程和解决过程都是由学生来完成的.实践证明，这种授课方式比较成功，学生很容易接受.（作者单位陕西省西安中学）探索新课程理念下的一节数学课———点到直线的距离公式文/赵琳摘要：用向量法证明“点到直线的距离公式”，引导学生从解析几何中点、线、距离、平行、垂直关系向向量运算过渡，发现两者之间的内在联系.关键词：距离；向量坐标；方向向量；法向量；数量积；向量的投影. All Rights Reserved.。

数学高中点到线的距离教案

数学高中点到线的距离教案
教学重点：点到线的距离的计算方法。

教学难点：理解点到线的距离的概念。

教学准备：
1. 教师准备好教案、教材、黑板、彩色粉笔等教学工具。

2. 学生准备好尺子或者直尺等测量工具。

教学步骤：
一、导入新知识（5分钟）
1. 引导学生思考：如何理解点到线的距离？
2. 导入本节课的新知识点：点到线的距离。

二、讲解点到线的距离的定义和计算方法（10分钟）
1. 讲解点到线的距离的概念。

2. 讲解点到线的距离的计算方法，包括垂直距离的计算和点到线段的距离的计算。

三、练习点到线的距离计算（15分钟）
1. 带领学生做几个简单的点到线的距离计算题。

2. 让学生自己尝试做一些练习题，巩固所学知识。

四、总结和提高（5分钟）
1. 总结本节课的重点和难点。

2. 对学生的表现进行评价，鼓励学生继续努力。

五、作业布置（5分钟）
1. 布置相关的点到线的距离计算题目作业。

2. 鼓励学生复习本节课所学内容，准备下节课的学习。

点到直线的距离(1)

P(-1,2)到直线①2x+y-10=0,②3x=2的距离。
例2 求平行线2x-7y+8=0与2x-7y-6=0的距离。
直线到直线的距离转化为点到直线的距离
任意两条平行直线都可以写成如下形式： l1 :Ax+By+C1=0 l2 :Ax+By+C2=0
PQ
C2 C1 A B
(2) B(1,0)，
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咯梳妆打扮，连早膳都没有来得及好好吃壹口，就匆匆地出咯院子。月影因为要给她们包些饽饽路上带着吃，拖咯众人の脚步。待她们着急忙慌地赶到王府大门口の时候，所有人员全都已经到齐咯。此刻，雅思琦正率领壹众女眷，早早地恭候在此，因为她们要给王爷送行。此刻她等得心急如焚：爷马上就要到咯，水清妹妹怎么还不来！平时来请安の时候早得恨不能堵自己の被窝，现在该早到时候，却反而不见咯踪影，这各妹妹对爷不上心到咯这种地步，也该着她总惹爷生气。玉盈の随行身份是各难办の事情。她不是王爷の女眷，如何出现在随行名单中呢？最后还是雅思琦拍咯板：玉盈只能以水清丫环の名义。反正她の随行也是为咯照顾水清，如此说来也不算是太委屈咯她。只是玉盈占咯壹各丫环の名额，水清就只剩壹各名额给她真正の丫环，她没有任何选择の余地，只能是吟雪。因此，当玉盈壹身丫环打扮站在福晋面前の时候，雅思琦在第壹时间居然没有反应过来，还在心里暗暗着急：好不容易把天仙妹妹盼来咯，那各年仆役怎么没有壹起到？爷都到咯，马上就要启程咯呢！平时看着稳稳当当の壹各人，怎么关键时刻竟能出咯岔子？待众人都上咯马车，她才突然醒过味来，原来那各穿着蓝色婢女衣衫の姑娘不就是年仆役嘛！唉，瞧自己这各脑子。其它女眷因为没有见过这位年家大仆役，因此，也没有过多地注意水清の丫环，因为所有人の目光都集中在王爷の身上。爷这壹走，再见到可就是五、六各月之后の事情咯，分别の这壹刻是这么の弥足珍贵。壹待马车转动起来，水清壹头扑在玉盈の怀中，哽咽着说道： “姐姐，凝儿对不起您！”“凝儿，你这话是从何说起？”“为咯凝儿，姐姐还要扮作丫环，这让凝儿于心何忍？”“别哭咯，别哭咯，这算啥啊呀，你连自己都照顾不过来，哪儿还有能力服侍好爷呢？只要妹妹能跟爷修好，姐姐别说是扮作丫环咯，就是扮作乞丐，姐姐也高兴乐意呀。”“不是の，不是の！姐姐，王爷根本就不是想跟凝儿修好！”“凝儿，你说の这叫啥啊话！你怎么能这么说爷呢？爷不想跟你修好，怎么府里那么多姐姐都不带，就带你这么壹各啥啊都不会干の侧福晋？”“真の，这件事情真の没有这么简单！就像姐姐说の，府里那么多姐姐都不带，为啥啊要带上妹妹这么壹各啥啊都不会干の侧福晋？”“爷不是为咯让你多经事，多历练吗？”“姐姐！你怎么也相信爷这套根本站不脚の说辞？爷骗得咯谁也骗不咯凝儿の！这里哪是啥啊多给些历练の机会，这完全是因为找不到人咯！福晋要管理府务，李姐姐身体未愈，钮钴禄姐姐和耿姐姐有孕在身，宋姐姐和武姐姐，她们，嗯，嗯，她们办事爷看不上，这是没办法咯，矮子里面拔

点到直线的距离

点到直线的距离教学目标1.使学生掌握点到直线的距离公式及其结构特点，并能运用这一公式.2.学习并领会寻找点到直线距离公式的思维过程以及推导方法.3.教学中体现数形结合、转化的数学思想，培养学生研究探索的能力.教学重点与难点点到直线的距离公式的研究探索过程是重点，点到直线的距离公式的推导是难点.教学过程师：什么是平面上点到直线的距离?生：(略).师：如何求平面上一点到一直线的距离?问题1：已知点P(-1，2)，和直线l：2x+y-10=0，求P点到直线l的距离.生：先求出过P点与l垂直的直线l′：x-2y+5=0，再求出l与l′的交点P′(4，3)，则P P =52即为所求.师：问题2：已知点P(m,n)，直线l： y=kx+b，求点P到l 的距离d.生：可用问题1的方法，但运算非常复杂.师：能否换一个角度去解决这个问题.(启发学生从最基本的概念入手分析)事实上点到直线的距离就是求过点向已知直线所引垂线段的长，而通常线段的长要利用三角形来求解.如何构造一个含所求线段又易于求解的三角形是解决这个问题的关键.我们知道，平面上点到直线的距离等于过这个点与已知直线平行的平行线直线的距离.好，这样就可以将所求线段平行移动之后放在最佳的位置.生：过P点作与l平行的直线l′，l与l′的距离即为所求(如图1-29).师：(板书图形)观察图形特征.生：可利用两平行线与y轴交点间的线段构造三角形.师生共同完成下面过程：设过P点与l平行的直线为l′，方程是y=kx+b′，l与l′分别交y轴于Q点、R点，则｜RQ｜=｜b-b′｜，过点R作RM⊥l于M，则｜RM｜=d.于是出现了直角三角形RMQ，是个好兆头.在RtΔRMQ中(α为直线为倾斜角)，π (如图1-30(1))｜RM｜=｜RQ｜·cosα①若α＜2π (如图1-30(2))｜RM｜=｜RQ｜·cos(π-α).②若α＞2由①②可知：d=｜b-b ′｜·｜cos α｜因为｜cos α｜=111tan 122+=+k α，所以 d=12+'-k b b .(设法将b ′用已知数表示)又因为P(m,n)在直线y=kx+b ′，故有n=km+b ′，b ′=n-km. 所以 d=12++-k kmn b ，即P 点到直线l 的距离是12++-k bn km .(*)师：如果将问题2中的直线方程l ：y=kx+b 换成一般式：Ax+By+C=0，结果如何?问题3：已知点O(x 0,y 0)，直线l ：Ax+By+C=0，求点P 到直线l 的距离d.学生解答：因为k=-B A (B ≠0), b=-BC )0(≠B ,代入公式(*),即得2200B A CBy Ax d +++=.即:平面内一定点P(x 0,y 0)到一条定直线l ： Ax+By+C=0的距离为：d=2200B A CBy Ax +++师：上述推导中0≠B ，若B=0，公式成立吗？生：验证如下，P （x 0，y 0）到直线x=α的距离d=a x -0.用公式计算：a x x d -=+-=02001α．结果相等，说明Ｂ＝０时，公式仍然成立．公式适用于平面内的任意直线．师：作为公式，要会应用并记住公式的结构特征．仔细观察：①问题中的全部已知数均在公式中出现．②公式保证了d ≥０．③公式要求022≠+B A ，说明Ａ、B 不能同时为零.另外注意:直线l 的方程是一般式,公式的应用没有条件限制. 师:在求点到直线的距离的过程中,我们利用了平行线间的距离概念,那么现在是否会求两行平行直线之间的距离呢? 生:问题2中已经得到:l1: y=kx+b1,l2: y=kx+b2,则l1与l2的距离d=b1-b2k2+1.师:对于一般情况呢?生:如果l1: Ax+By+C1=0, l2: Ax+By+C2=0,当B ≠0时，d=C1-C2A2+B2;当B=0时，易验证上式仍然成立.即平面上两条平行线Ax+By+C1=0与Ax+By+C1=0的距离是d=C1-C2A2+B2.例1 点A （α,6）到直线3x-4y=2的距离等于4，求α的值. 解应用点到直线的距离公式，解关于α的方程：443264322=+-⨯-a ,3α-26=20, 所以 α=2或α=463.师：满足条件的点A 有（2，6）和（46 3，6）两个，它们在已知直线的两侧，如图（1-31）.由解的过程可知：当3α-26＞0时,所求点在已知直线的下方,当3α-26＜0时,所求点在已知直线的上方.例2 求过点A(-1,2),且与原点的距离等于2 2的直线方程. 分析因为所求直线方程过点A(-1,2).所以可以用点斜式表示成y-2=k(x+1),问题就转化成求斜率k,根据原点到直线的距离等于2 2，列出关于k 的方程，问题就可以得到解决. 由学生完成解题过程：设所求直线的斜率为k ，则方程y-2=k(x+1)，即 kx-y+k+2=0.因为 0-0+k+2k2+1=22，所以 k2+8k+7=0 解之 k=-1或k=-7,所求直线方程为x+y-1=0或7x+y+5=0.师：可以画图直观的看出结果（图略）例3 求直线2x+11y+16=0关于点P（0，1）对称的直线方程. 分析（1）中心对称的两条直线是互相平行的. （2）这两条直线与对称中心的距离相等.解设所求直线方程为2x+11y+C=0.由点到直线的距离公式可得：0+11+16 2 2+11 2=0+11+C2 2+11 2,C=16（已知直线）或C=-38.所以，所求直线为2x+11y-38=0.师：利用图形的几何性质，结合代数运算，简而明地解决了问题.小结：（学生回答）这节课我们讨论了平面内点到直线的距离公式和两条平行直线之间的距离公式.师：点到直线的距离转化成两条平行直线之间的距离来求，最终两条平行直线之间的距离又利用了点到直线的距离公式，可见二者有着密切的联系.通过公式的推导，请同学们认真体会利用图形特点解题的好处.作业：1．课本：第42页1，2，3题，第44页12，13，15题. 2．补充：（1）已知平行线2x+3y-3=0与2x+3y-9=0，求与它们等距离的平行线的方程.（2）求平行于直线x-y-2=0，并且与它的距离为22的直线方程.（3）过原点和点A（1，3）作两条平行直线，使它们的距离等于5，求这两条平行线的方程.设计说明点到直线的距离公式是解决理论和实际问题的一个重要工具，教学中理应予以重视.但在以往的教学过程中遇到的最大困难是：思路自然的则运算很繁，而运算较简单的解法则思路又很不自然.这样就造成了教学中通常采用“满堂灌”、“注入式”，学生的思维得不到应有的训练，学生的主体作用也不能充分体现出来.为避免这个问题，有必要很好地探讨一下，“点到直线的距离公式”的教学如何更合理，怎样把教学过程变成师生共同探索、发现公式的过程，怎样使推导过程自然而简练.本节课是“两条直线的位置关系”的最后一个内容，在复习引入时，有意识地涉及两直线垂直、两直线的交点等知识，既帮助学生整理、复习已学知识的结构，也让学生在复习过程中自己“发现”尚未解决的问题，使新授知识在原认知结构中找到生长点，自然地引出新问题，符合学生的认知规律，有利于学生形成合理、完善的认知结构.教学过程中，逐步逼近目标，在这过程中展示了数学知识产生的思维过程.学生能够自觉地、主动地参与进来，教师的主导作用，学生的主体作用都得以充分体现，经常这样做，学生的数学思维能力必奖逐步得到提高.在教学中还可以采用其他的方法推导“点到直线的距离”公式.只要抓住“构造一个可用的三角形”这个关键，就能突破难点，易于学生的理解和掌握.比如问题2中：(1) ｜QM｜d=tanα｜QM｜d=tan(π-α)｜QM｜=d｜k｜｜RQ｜=｜b-b d2+(d｜k｜)2=｜b-b′｜2，所以 d=｜b-b′｜k2+1.在公式的推导过程中，必须充分利用图形的特征，根据平面几何的有关知识，使问题得到解决.分析点P到直线l的距离是P点到直线l的垂直线段的长，即该点与垂足Q间的距离.由图1-32可联想：利用平面几何中的射影定理，使PQ成为一直角三角形斜边上的高.通过解直角三角形使问题得到解决.具体方法如下：直线l： Ax+By+C=0，点P(x0,y0).设A≠0,B≠0,这时l和x轴、y轴都相交，如图(1-33)，过点P(x0,y0)作直线l的垂线交l于Q，令｜PQ｜=d，过P 作x轴的平行线交l于R(x1,y0)，作y轴的平行线交l于S(x0,y2)，有：Ax1+By0+C=0, Ax0+By2+C=0.得出： x1=-By0-CA, y2=-Ax0-CB.所以｜PR｜=｜x0-x1｜=｜Ax0+By0+CA｜,｜PS｜=｜y0-y2｜=｜Ax0+By0+CB｜,｜RS｜=｜PR｜2+｜PS｜2=A2+B2｜AB｜·｜Ax0+By0+C｜. 因为 d·｜RS｜=｜PR｜·｜RS｜，所以 d=｜Ax0+By0+C｜A2+B2,易证A=0或B=0时也成立.平面解析几何的研究方法就是用代数方法来研究几何问题，上面的推导方法突出了这种思想方法，巧妙地运用了平面几何的知识，构造了三角形，使繁杂的计算简化了.例1虽然是一个简单的公式应用，自然解出两个结果，为什么会有两个满足条件的点A，由图很直观地得到解释，从公式结构看是由于绝对值符号产生的两个不同解.那么当点P 在直线l的某一侧时，就可去掉绝对值符号：当Ax0+By0+C≥0时，d=Ax0+By0+C-A2+B2,当Ax0+By0+C＜0时，d=Ax0+By0+C-A2+B2.而Ax+By+C＞0，Ax+By+C＜0，分别表示整个平面被直线Ax+By+C=0分成的两个半面平，我们只需要判定点P在哪个半平面上就可以脱去绝对值符号.由此还可加深对图形的理解和认识.例如下面的问题：(1)求到已知直线3x+2y-6=0距离等于13的点的轨迹.(2)求与平行线3x+2y-6=0和6x+4y-3=0等距离的点的轨迹. 第(1)题中的“点”不能确定在已知直线的哪一侧，因此在已知直线的两侧都有满足条件的点，故得出轨迹是：与已知直线平行且距离是213的两条平行直线：3x+2y+7=0和3x+2y-19=0.第(2)题中的“点”必在直线3x+2y-6=0和直线6x+4y-3=0之间，也就是说满足条件的点只能在已知直线的同一侧.因此轨迹是与两条平行线等距离的一条平行线.可先求出两条直线在y轴上的截距的平均值b.因为 b1=3,b2=34，所以 b=b1+b2=3+342=158.再由斜截式可得出所求直线的方程是：y=-32x+158，即 12x+8y-15=0.第(2)题还可以直接用公式：高中数学优质学案经典专题知识设动点P(x，y)到两条平行线的距离相等，根据点到直线的距离公式，得到3x+2y-63222=6x+4y-362+42.化简：2｜3x+2y-6｜=｜6x+4y-3｜.由于动点在直线3x+2y-6=0的下方，同时在直线6x+4y-3=0的上方.故可得到：2(3x+2y-6)=(6x+4y-3),所以轨迹方程为12x+8y-15=0.通过对本节课教学的探讨，力求打破照本宣科、满堂灌、注入式的旧模式，希望达到较好的效果，使学生的思维得到有效训练，并能充分发挥教师的主导作用和学生的主体作用. (北京市新源里中学吴苓)。

点到直线的距离的不同求法

探索篇•方法展示在高中数学必修2，3.3.3点到直线的距离中对点到直线的距离公式是这样求导的。

如图1，已知点P 0（x 0，y 0），直线l ：Ax+By+C =0，如何求点P 0到直线l 的距离d 呢？其实点P 0到直线l 的距离就是点P 0到直线l 的垂线段的长，设点P 0到直线l 的垂线的垂足为Q ，设P 0Q 所在的直线为l ′，则l 垂直l ′，可知l ′的斜率为B A，dOxy P 0Qll ′图1∴l ′的方程：y-y 0=B A（x-x 0）与l 联立方程组解得交点Q （B 2x 0-ABy 0-AC A 2+B 2，A 2y 0-ABx 0-BCA 2+B 2）P 0Q 2=（B 2x 0-ABy 0-AC A 2+B 2-x 0）2+（A 2y 0-ABx 0-BC A 2+B2-y 0）2=（-A 2x 0-ABy 0-AC A 2+B2）2+（-B 2y 0-ABx 0-BC A 2+B 2）2=A 2（Ax 0+By 0+C ）2+B 2（Ax 0+By 0+C ）2（A 2+B 2）2=（Ax 0+By 0+C ）2A 2+B2P 0Q =Ax 0+By 0+CA 2+B 2√即d =Ax 0+By 0+CA 2+B 2√上述方法思路十分自然，但具体运算需要一定的技巧和运算量，所以在我们的教材中只是分析了它的思路，而没有进行具体的求解。

而我们的教材中采用了这种方法。

lOxyS Q RP 0d 图2如图2所示，设A ≠0，B ≠0，则直线l 与x 轴和y 轴都相交，过点P 0分别作x 轴和y 的平行线，交直线l 于R 和S ，则直线P 0R 的方程为y=y 0，R 的坐标为（-By 0+C A，y 0）；直线P 0S 的方程为x=x 0，S 的坐标为（x 0，-Ax 0+C B ）。

于是有P 0R =-By 0+C A -x0=Ax 0+By 0+CA P 0S =-Ax 0+CB -y 0=Ax 0+By 0+C B RS =P 0R 2+P 0S 2√=A 2+B 2√A B Ax 0+By 0+C 设P 0Q =d ，由三角形面积公式可得d ·RS =P 0R ·P 0S ，于是得d =P 0R ·P 0S RS =Ax 0+By 0+C A 2+B 2√，因此，点P 0（x 0，y 0）到直线l ：Ax+By+C=0的距离：d =Ax 0+By 0+CA 2+B 2√可以验证，当A =0，或B =0时，上述公式也成立。

点到直线距离公式的推演

点到直线距离公式的推演点到直线的距离是几何学中一个重要的概念，它指的是从一个点到直线的最短距离。

推导点到直线距离的公式需要一些数学知识和几何推理，让我们一起来探索它的由来。

在开始推导之前，我们需要了解直线的一般方程形式。

直线可以用一般方程 Ax + By + C = 0 来表示。

其中，A、B、C分别是直线的系数，x和y是直线上的变量。

通过这个方程，我们可以描述直线上的所有点。

假设我们有一条直线L和一个点P，现在我们的目标是求点P到直线L的最短距离。

首先，我们可以假设点P的坐标为(x0,y0)。

接下来，我们可以选择直线上一点Q的坐标为(x,y)。

现在，通过点P和直线L上的任意点Q，我们可以连接一条线段PQ。

考虑这个线段在直线L上的垂直投影R，我们可以发现PQ和LR垂直且交于一点R。

由于线段LR垂直于直线L，我们可以推导出LR的斜率等于直线L斜率的负倒数。

设直线L的斜率为m，那么斜率为垂直线段LR的斜率为-1/m。

另外，我们可以得到直线L的一般方程也可以写成斜截式的形式，即y = mx + c，其中c是截距。

我们可以将这个方程变形为 mx - y +c = 0，发现它与直线L的一般方程相同。

因此，我们可以得出直线L 的斜率为-m。

现在，我们可以得到点R的坐标为(xr,yr)，通过斜截式方程，我们可以发现点R的坐标满足 mxr - yr + c = 0。

根据线段LR垂直于直线L的定义，我们可以得到LR的斜率为直线L斜率的负倒数，即(m - (-1/m)) / (1 + m*(-1/m)) = 1/(1 + m^2)。

进一步推导，我们可以得到点R到点P的斜率 ma = (y0 - yr) / (x0 - xr)，整理得到 (y0 - yr) = ma * (x0 - xr)。

通过以上几个推导，我们可以得到以下几个方程：mxr - yr + c = 0，(y0 - yr) = ma * (x0 - xr)，以及(a+b+c)^2 = a^2 + b^2 + c^2。

教学设计4：2.2.4 点到直线的距离

2.2.4点到直线的距离整体设计教学分析点到直线的距离是“直线与方程”这一节的重点内容，它是解决点线、线线间的距离的基础，也是研究直线与圆的位置关系的主要工具.点到直线的距离公式的推导方法很多，可探究的题材非常丰富.除了本节课可能探究到的方法外，还有应用三角函数、应用向量等方法.因此“课程标准”对本节教学内容的要求是：“探索并掌握点到直线的距离公式，会求两条平行线间的距离.”希望通过本节课的教学，能让学生在公式的探索过程中深刻地领悟到蕴涵其中的重要的数学思想和方法，学会利用数形结合思想，化归思想和分类方法，由浅入深，由特殊到一般地研究数学问题，培养学生的发散思维.根据本节课的内容特点，学习方法为接受学习与发现学习相结合.学生的探究并不是漫无边际的探究，而是在教师引导之下的探究；教师也要提供必要的时间和空间给学生展示自己思维过程，使学生在教师和其他同学的帮助下，充分体验作为学习主体进行探索、发现和创造的乐趣.三维目标1.让学生掌握点到直线的距离公式，并会求两条平行线间的距离.2.引导学生构思距离公式的推导方案，培养学生观察、分析、转化、探索问题的能力，鼓励创新.培养学生勇于探索、善于研究的精神，学会合作.重点难点教学重点:点到直线距离公式的推导和应用.教学难点:对距离公式推导方法的感悟与数学模型的建立.课时安排1课时教学过程导入新课思路1.点P(0,5)到直线y＝2x的距离是多少？更进一步在平面直角坐标系中,如果已知某点P 的坐标为(x0,y0),直线l的方程是Ax＋By＋C＝0,怎样由点的坐标和直线的方程直接求点P到直线l的距离呢?这节课我们就来专门研究这个问题.思路2.我们已学习了两点间的距离公式，本节课我们来研究点到直线的距离.如图1,已知点P (x 0,y 0)和直线l :Ax ＋By ＋C ＝0，求点P 到直线l 的距离(为使结论具有一般性，我们假设A 、B ≠0).图1推进新课新知探究提出问题①已知点P (x 0,y 0)和直线l :Ax ＋By ＋C ＝0，求点P 到直线l 的距离.你最容易想到的方法是什么?各种做法的优缺点是什么?②前面我们是在A 、B 均不为零的假设下推导出公式的，若A 、B 中有一个为零，公式是否仍然成立？③回顾前面证法一的证明过程，同学们还有什么发现吗？(如何求两条平行线间的距离) 活动：①请学生观察上面三种特殊情形中的结论:(ⅰ)x 0＝0,y 0＝0时，d ＝22||B A C +；(ⅱ)x 0≠0,y 0＝0时，d ＝220||B A C Ax ++；(ⅲ)x 0＝0,y 0≠0时，d ＝220||B A C By ++.观察、类比上面三个公式，能否猜想：对任意的点P (x 0,y 0)，d ＝?学生应能得到猜想：d ＝2200||B A C By Ax +++.启发诱导：当点P 不在特殊位置时，能否在距离不变的前提下适当移动点P 到特殊位置，从而可利用前面的公式？(引导学生利用两平行线间的距离处处相等的性质，作平行线，把一般情形转化为特殊情形来处理)证明：设过点P 且与直线l 平行的直线l 1的方程为Ax ＋By ＋C 1＝0，令y ＝0，得P ′(AC 1-,0).∴P ′N ＝112222|()|||C A C C C A A B A B⋅-+-=++. (*) ∵P 在直线l 1:Ax ＋By ＋C 1＝0上,∴Ax 0＋By 0＋C 1＝0.∴C 1＝－Ax 0－By 0.代入(*)得|P ′N |＝2200||B A By Ax C +++即d ＝2200||B A C By Ax +++,.②可以验证，当A ＝0或B ＝0时，上述公式也成立.应用示例例1 求点P 0(－1，2)到下列直线的距离：(1)2x ＋y －10＝0;(2)3x ＝2.解:(1)根据点到直线的距离公式得d ＝5251012|102)1(2|22==+-+-⨯.(2)因为直线3x ＝2平行于y 轴，所以d ＝|32－(－1)|＝35. 点评：例1(1)直接应用了点到直线的距离公式，要求学生熟练掌握；(2)体现了求点到直线距离的灵活性，并没有局限于公式.变式训练点A (a ，6)到直线3x －4y ＝2的距离等于4，求a 的值.解:2243|2643|+-⨯-a ＝4⇒|3a －6|＝20⇒a ＝20或a ＝346. 例2 已知点A (1，3)，B (3，1)，C (－1，0)，求△ABC 的面积.解:设AB 边上的高为h ，则S △ABC ＝21|AB |·h . |AB |＝22)31()13(22=-+-，AB 边上的高h 就是点C 到AB 的距离.AB 边所在的直线方程为131313--=--x y ,即x ＋y －4＝0. 点C 到x ＋y －4＝0的距离为h ＝2511|401|22=+-+-，因此，S △ABC ＝21×2522⨯＝5. 点评：通过这两道简单的例题，使学生能够进一步对点到直线的距离理解应用，能逐步体会用代数运算解决几何问题的优越性.变式训练求过点A (－1,2),且与原点的距离等于22的直线方程. 解:已知直线上一点，故可设点斜式方程，再根据点到直线的距离公式,即可求出直线方程为x ＋y －1＝0或7x ＋y ＋5＝0.例3 已知点()2,3A -到直线1y ax =+的距离为2，求a 的值。

初中点到直线距离公式

初中点到直线距离公式在初中数学的学习中，点到直线距离公式就像是一个神秘的宝藏，等待着我们去挖掘和探索。

记得我当初学习这个公式的时候，那可真是费了一番功夫。

老师在黑板上写下那一堆密密麻麻的符号和算式，我的脑袋瞬间就像被塞进了一团乱麻。

但我告诉自己，不能被它吓倒！咱们先来说说这个点到直线距离公式到底是啥。

它呀，就是用来计算一个点到一条直线的最短距离的。

比如说，有一个点 P(x₀, y₀)，还有一条直线 Ax + By + C = 0，那么这个点到直线的距离 d 就可以用公式 |Ax₀ + By₀ + C| / √(A² + B²) 来计算。

听起来是不是有点晕？别慌，咱们来举个例子。

假设有点 P(2, 3)，直线是 2x + 3y - 6 = 0，那咱们就把数字往公式里代。

A = 2，B = 3，C = -6，x₀ = 2，y₀ = 3，先算 Ax₀ + By₀ + C，就是 2×2 + 3×3 - 6 = 4 +9 - 6 = 7，然后算√(A² + B²) ，就是√(2² + 3²) = √13，最后距离 d 就是 7 / √13 。

可能你会问，这公式到底有啥用啊？用处可大了！比如说在几何题里，要算一个点到一条边的距离，用这个公式就能轻松搞定。

再比如，在实际生活中，规划路线、计算最短距离啥的，都能用到。

有一次，我和朋友去公园玩，看到一个池塘。

我们就想，如果从岸边的某一点到池塘对面的直线距离是多少呢？这时候，我就想到了点到直线距离公式。

虽然实际的情况比数学题复杂多了，但原理是一样的呀！学习点到直线距离公式，可不能死记硬背。

要多做几道题，多去感受一下这个公式的神奇之处。

你会发现，数学其实挺有趣的，就像一个充满惊喜的大宝藏，等着你去一点点挖掘。

而且，这个公式还能锻炼我们的逻辑思维和解决问题的能力。

每一次运用它成功算出答案，那种成就感，简直无与伦比！总之，初中的点到直线距离公式虽然有点复杂，但只要我们用心去学，多练习，多思考，就一定能掌握它，让它成为我们解决数学问题的有力武器！别害怕挑战，因为每一次克服困难，我们都会变得更强大！相信自己，一定能在数学的海洋里畅游无阻！。

点到三次曲线距离

点到三次曲线距离
要计算一个点到曲线的距离，需要首先确定曲线的方程。

假设曲线方程为y = f(x)，则点到曲线的距离可以通过计算点到曲
线上最近的点的距离来近似。

具体步骤如下：
1. 给定一个点 P(x0, y0) 和曲线的方程 y = f(x)。

2. 在曲线上选取一个点 Q(x1, y1)。

3. 计算点 P 到点 Q 的距离d = √((x0 - x1)^2 + (y0 - y1)^2)。

4. 选择不同的点 Q 来最小化距离 d，即找到最近的点。

5. 重复步骤2-4，总共尝试三次，以得到点到曲线的最小距离。

需要注意的是，这种方法是在给定的曲线上搜索最小距离的近似方法，可能无法得到精确结果。

如果需要获得更精确的结果，可能需要使用数值计算方法，例如数值优化或数值积分。

小学数学：点到直线的距离

课题
两点之间的距离和点到直线的距离
教
学
目
标
知识与技能
1、结合具体情景，理解“两点间所有连线中线段最短”，知道两点间的距离和点到直线的距离。
2、在对两点间的距离和点到直线的距离知识的探究过程中，培养观察、想象、动手操作的能，体验数学与日常生活的密切联系，提高学习兴趣，，学会与他人合作共同解决问题。
过程与方法
情感态度价值观
重点
难点
理解“两点间所有连线中线段最短“，知道两点间的距离和点到直线的距离。
教学方法
讲授法
教学手段
多媒体
课时
1
课型
新授
教学过程设计
设计意图
用时
一、两点之间的距离
1、从生活的情景中发现问题、总结规律
(实物展台出示画面)有一组小朋友在做游戏，草坪里有一个牌子上写着：请爱护小草。草坪对面的小朋友也走过来做游戏，但是他没有从旁边的小路绕过来，而是从草坪上直接穿过来，草坪上留下了一串脚印。教师提问：这个小朋友做得对吗?为什么旁边有两条小路他不走，他偏要从草坪上穿过去呢？教师适时进行品德教育的同时，注意引导学生从数学的角度去考虑生活中的问题。（他是为了省时间，省力气，因为这条路最短），从这个情景中，你发现了什么数学问题？小组讨论、分析（教师提醒学生：可以画个草图看一看，也可以走下座位演示一下）
（实物展台出示图片）从新建小区到公路要修一条小路，怎样修比较合适？（为了节省人力物力，要在距离最短的地方修。）
小组讨论。（每个小组一张图纸，每张图的形状大小有所变化）
如果学生有困难，可以提醒学生画出几条不同的线段，再通过观察、测量得出结论。
小组交流各自的发现，归纳概括，得出结论：从直线外一点到这条直线所画的垂直线段最短，它的长度叫做点到线的距离。

探索点到直线距离公式的七种方法

探索点到直线距离公式的七种方法
徐树成
【期刊名称】《数理化解题研究：高中版》
【年(卷),期】2005(000)010
【摘要】问题已知点P（x0，y0）是直线l：Ax＋By＋C=0外一点，求点P到直线l的距离.思路1 先由方程思想求出过点P向直线l作垂线时垂足Q（m，n）的坐标，再根据两点间的距离公式求｜PQ｜．
【总页数】2页(P20-21)
【作者】徐树成
【作者单位】湖南省浏阳市第十中学,410317
【正文语种】中文
【中图分类】G633.6
【相关文献】
1.用导数方法证明空间点到直线、点到平面及异面直线间的距离公式 [J], 张二艳
2.点到直线距离公式的6种推导方法 [J], 吴志坚
3.点到直线距离公式的七种推导方法 [J], 张晓静
4.点到平面距离公式的七种推导方法探讨 [J], 陆世标;朱家荣
5.“点到直线距离公式”的三角形推导方法 [J], 孙国泰
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点到直线的距离公式推导过程直线与直线的距离公式点到直线的投影公式

空间点到直线的距离公式点到直线距离公式总公式：设直线L的方程为Ax+By+C=0，点P的坐标为（Xo，Yo），则点P到直线L的距离为：|AXo+BYo+C|/√（A²+B²）。

考虑点(x0，y0，z0)与空间直线xx1/l=yy1/m=zz1/n，有d=|(x1x0，y1y0，z1z0)×(l，m，n)|/√(l²+m²+n²)引申公式：公式①：设直线l1的方程为Ax+By+C1=0；直线l2的方程为Ax+By+C2=0。

《点到直线的距离》教学设计一、教学内容分析“点到直线的距离”是《数学必修2》第三章第3节“直线的交点与距离公式”中的重要知识点。

教材按照“提出问题（如何求点到直线的距离）、解决问题（推导公式）、应用公式”的线索展开研究，既是直线方程应用的延续，又是坐标法这一核心知识的发展，同时还是充分展现用代数方法研究几何问题优越性的载体。

作为直线方程的一个应用，公式的推导过程蕴涵了丰富的数学思想方法，转化思想，数形结合，分类讨论，属于具有较高思维价值和探究价值的教学内容。

同时，该公式还将在学生今后的代数、立体几何及圆锥曲线学习过程中，作为解析几何的一个重要工具广泛用之于问题的求解过程当中，因此，该内容又具有很大的应用价值。

不仅如此，该内容还是刚刚学过的两直线交点及两点间距离公式的用武之地。

就内容本身来说，作为公式的学习与应用又是引领学生运用平面几何知识、强化直线方程的建立过程的好素材。

因此，这是一节具有承上启下、继往开来作用的一个重要基础内容，是今后进一步学习研究解析几何的重要工具。

二、教学目标分析教学目标：1、知识与技能在经历发现推导公式的基础上，理解推导方法，掌握公式特点，学会公式的运用范围。

2、过程与方法让学生在对教学过程的充分参与中，体会由特殊到一般、从具体到抽象的数学研究方法，领会蕴涵在公式推导及范例解决过程中的数学思想与方法，从而有效培养学生分析、探究能力、灵活运用公式能力及用解析法分析解决问题的能力。

初中数学最短距离的探索课件

一、在同一平面内最短距离的探索
（一）两点一线最短距离的探索 (1)两点在直线的异侧
案例 1 某供电部门准备在输电主干线 L 上连接一个
分支点为 M，同时向新落成的 A、B 两个居民小区送电。如果居民小区 A、B 在主干线 L 的两旁，如下图所示，那么分支点 M 在什么地方时总线路最短？
B

初中数学
最短距离的探索
随着课改的深入，数学越来越贴近生活，更着眼于解决实际生活中的问题，于是就出现了为省时、省财力、省物力而希望寻求最短路径的数学问题。这类问题的解答依据是“两点之间，线段最短”或 “垂线段最短”，证明的时候也用到了 “三角形三边关系定理”，由于所给的条件的不同，解决方法和策略又有所差别，现分几种情况举例说明：
（三）两线两点最短距离的探索
4 • 案例在一条河的两岸分别有 A、B两个村庄，一直河岸L1与L2相互平行，现在要在这段河道上修建一座与河岸垂直的桥，使从A村到B 村所走的路程最短，画出示意图。
A
l1 C l2
E
D
B
通过平移，除去固定部分的长，使其余几段的和正好为两定点之间的距离。
B
b c
B
b
A
a
1
a c b
AB AB AB
a c 2 b2 b c 2 a 2 a b 2 c2
B
2 3
A
（三）圆柱体中最短路线问题通过展开立体图形的表面或侧面，化立体为平面，化曲线或折线为直线，利用两点之间线段最短解决问题。
二、关于空间中的最短距离的探索
空间中的最短距离的求法，通过展开立体图形的表面或侧面，化立体为平面，化曲线或折线为直线，利用“两点之间线段最短”或“点到直线的垂线段最短”及 “勾股定理”的有关知识来解决问题，这类问题涉及的几何体主要有正方体、长方体、圆柱体、圆锥体等。在将几何体的表面展开时可能有几种不同的结果，这就需要通过分析比较选出适合题意的答案。