第11章+恒定电流与真空中的恒定磁场-2(2010.9.30)

导线延长线上 ：B = 0
2、
3、
作业：15- 1;15-2;15-3;15-4;15-7.
§11-8 磁力线
一.磁力线
磁通量
磁场的高斯定理
1. 典型电流的磁力线 2. 磁力线的性质 A、无头无尾 闭合曲线 B、与电流套连 C、与电流成右手螺旋关系
二. 磁通量
定义：垂直穿过某面积的磁力线的条数。单位：韦伯(Wb)
P点的磁感强度。
解: 建立相应的坐标.
取如图所示的电流元,
Z
Idz
2
方向 如图

r
L
z β I
dB
a P y
1
从图中可见：
x
同理:
β
注意： θ 1θ2 分别是导线的起点 和终点处的电流元与该处 在此坐标系下写成矢量式
到P点的矢量间的夹角。
讨论：
1、 l >> a,导线视为无限长
3、在直导线的延长线上
解：在电流上任取电流元
讨论：任一导线 ab 在均匀磁场中，通以电流I ，电流由a →b, 导线所受的安培力与 导线的形状无关；只和ab 联线的 长短及其和磁场的夹角有关。如图所示：
例： 如图所示：长直导线通电为I,外有一共面的导线 ，导 线长为 L通过的电流为i ，其延长线和长直导线的夹角是θ ，两导线的最近点的距离是 a ,求相互作用力。 解：取如图所示的微元， 设微元处
解：取如图所示的圆环，则有
M
方向 如图。
例：如图所示的半圆环，半径是R ，带正电且线密度是λ，以 角速度ω 绕O‘O“匀速旋转，试求（1）半圆环圆心的磁感强度 ，（2）半圆环的磁矩。
解：取如图所示的微元，则有：
内容小结 一、罗仑兹力公式 ：
二、安培力公式：
三、环电流的磁矩（ 磁耦极矩 ）
四、通电线圈在均匀磁场中 受力： 力矩：
讨论：1、两导线垂直，即：
2、两导线平行，即：
例：如图已知R、I ，试计算通电圆环在均匀磁场中所受的力矩。
解：取如图所示的微元，则有：
定义：磁偶极矩
说明：载流线圈在均匀磁场中
a.合力
b.力矩 与静电场对比
c. 稳定平衡和不稳定平衡 载流线圈处于稳定平衡； 载流线圈处于不稳定平衡。
例：均匀带电圆盘，电荷面密度是σ，半径是R ，以角速度ω 绕其中心旋转，若加上平行于盘面的外磁场B ，试求圆盘所 受的力矩。
内容小结 一、安培环路定理 ：
作回路的要点：依磁场的对称性，选择回路的形状，使回路
上的B为常数，且和回路方向夹角特殊；如B是变量，则要 求B一定和回路垂直。 二、典型电流的磁场： 1、无限长载流直导线 ： 2、无限长均匀通电 圆柱体 ：
B=
3、无限长均匀通电圆柱体 面：
练习题：
16-1;16 -2；16-3; 16-5 ;16- 7.
取过场点的每个边都相当小的
矩形环路abcda
由安培环路定理：
因为：
例：试求无限长均匀载流圆柱体
磁场的分布。 解：由对称性可知：磁力线是以 圆柱轴线为圆心的一组同心圆。 1、 r < R ；作一与磁力线同心
的回路如图所示，则有：
而：
2、r >R ;同理作如图的所示回路，则：
则有：
B=
例：无限大的金属板，电流方向如图所示，单位长度的电流 为I ,求离板为L 处的磁感强度。 解：由对称性可知：磁力 B
由安培环路定理可解一些典型的场
无限长载流直导线 密绕螺绕环
无限长均匀载流圆柱面 无限大均匀载流平面
电流密度 A、(体)电流的(面)密度 如图： 电流强度为I的电流均匀通过截面S。 则面电流密度为： B、(面)电流的(线)密度 如图：电流强度为I的电流均匀通过 截线 。
则线电流密度为： 作回路的要点：依磁场的对称性，选择回路的形状，使回路 上的B为常数，且和回路方向夹角特殊；如B是变量，则要 求B一定和回路垂直。
令霍耳系数
则霍耳电势差: 可以用带电粒子在磁场中受力解释，精确的解释只能用电子 的量子理论。
霍耳效应的应用： 判定导电机制 ; 测量未知磁感强度。
核聚变约束处于
超高温下的高速粒子
二. 载流导线在磁场中受力
1、均匀磁场且直导线 方向如图 综合考虑：
2、对 任意电流元受力
整个电流受力
安培力公式
例： 如图在磁感应强度为B的均匀磁场中，放置一半径为R的半圆 形导线，电流强度为I，试求此段圆弧电流受的安培力。
解：取如图所示的微元，则：
a
dB
a2
x
讨论：1、对无限长螺线管中：
2、对无限长螺线管端点：
例4：无限大的金属板，电流方 向如图所示，单位长度的电流 为i ,求离板为L 处的磁感强度。
从对称性可知：BY= 0
问题：Y 轴 负方向B 的 方向如何？
例5：均匀带电的半圆球面，电荷面密度是σ，若此球面在
定义磁感强度的大小为:
磁感强度的方向:用小磁针该点在不受其它力而静止时,小磁
针的北极所指的方向.
在SI制中,B 的单位是牛顿/安米,称为特斯拉,符号是T.
§11-7 毕奥－萨伐尔定律
一 毕奥－萨伐尔定律
大小：
方向：
写成： 真空中的磁导率
二、毕奥－萨伐尔拉定律的应用 例1：如图一段长为L的直导线，通过的电流是I,求距导线为a 的
在恒定磁场中，磁感强度 沿任一闭合环路的线积分，等于穿 倍。
过该环路的所有电流的代数和的
空间所有电流共同产生的； 在场中任取的一闭合线，任意规定一个绕行方向； L上的任一线元； 与 L相套连的电流 ，如图示的
代数和，与L绕行方向成右手系电流取正；否则取 负。如图示的电流 取正； 取负。
问题：
1、L 上任一点B和哪些电流有关？ 2、哪些电流对B 沿L 的积分有贡献？ 3、 图中所有电流对L 上任一点的B 都有贡献； I4 I5 对B 沿L 的积分无贡献；
作业：17-1;17-5; 17-6;17-7; 17- 8; 17- 9.
超导体简介 二、欧姆定律的微分形式 dU dS j
dl
物理意义：导体中任一点的电流密度j与该点的电场强度 E 成正比。 例：把大地看作电阻率是ρ的均匀电介质，如图所示，用一半 径为a 的球形电极，半个球埋在地下，如电极本身的电阻不计 ，试求电极的接地电阻。 解：电流如何流？ a
取微元：半个球壳，如图所示。
线平行于板面，如图所示。
取如图所示的回路，则：
例：导体横截面如图所示，半径均为R，两圆心距离OO‘ 为1.6R，沿轴向通以反向电流 ，电流密度为j ,求在其所围 的缺口中任一点的磁感强度。 解：由导体截面可知，缺口中的 磁感强度相当于两通以反向电流 的圆柱体 在该点产生磁感强度的 矢量和。建立如图所示的坐标系 做如图所示的回路,则有：
3、欧姆定律的微分形式
4、电动势
P122
10-3，10-6， 10-13,10-14。
5、全电路的欧姆定律 6、基尔霍夫定律
§11-6 磁场
磁感强度
磁场: 运动电荷或电流在空间所激发的一种特殊物质. 磁感强度: 描述磁场的强弱和方向的物理量. 对于磁场中的某一点P,在该点放置一点电荷q.
类似电场强度的定义,
桌面上绕OO’ 轴以角速度ω旋转，求其球心处的磁感强度。 解： 取微元，则所带的电量为：
例6：如图所示，半球面上均匀绕有N匝导线，导线通入电 流是I，试求圆心O处的磁感强度。 解：取微元，由圆环的磁 感强度公式，则有：
写成矢量式：
内容小结 一、磁感强度的定义 二、毕—沙定律 1、 方向:小磁针 北极所指的方 向.
因为
所以 得到恒定电流的条件： 或
意义：导体内任意封闭曲面内无电荷积累！
§11-2 电阻率
一、电阻率
欧姆定律的微分形式
对一段导体，两端加电压为U, 通过的电流是I 。
实验表明： G 为比例系数
实验证明：对于一段均匀导体，在温度一定时，其电
阻满足： 叫做电阻率
当温度变化时，ρ将随温度变化，且满足：
a r dr
§11-3 电源
电动势
如何保持A、B 两端的电势差？
不断把正电荷从负极搬到正极，
电场力可否？ 只有非静电力才行。 提供非静电力的装置称为电源。 电动势：表述不同电源将其它形式的能量转换为电能的能力。 其定义是：把单位正电荷绕闭合回路一周时，非静电力所做 的功。
数学表达式：
如图，设将q 的电量 从B 经 A 、C 到本 B 非静电力所做的功是 W，则有：
2.电流密度和电流强度的关系
3 导体中电流、电流密度与自由电子的 密度及其漂移速
度之间的关系
A、漂移速度：vd
在电场力的作用下，自由电子作定
向移动的平均速度。
设电子数密度为n
△t 的时间内通过△ s的 电子数是： △t vd △ s n △t 的时间内通过△ s 的电量是： △t vd △ s ne
外电路压降：
当外电路开路时，即
§10-5 基尔霍夫定律 一、基尔霍夫第一定律
由稳恒电流的条件：
节点电流定律
二、基尔霍夫第二定律
(回路电压定律)
在稳恒电路中 沿任何闭合回路一周的电势降落的代数和等 于零。 解题的步骤及要点： 1、先设电路中电流的方向，列节点方程； 2、由电流方向，标明各电阻上的电势降的方向。 3、选回路并取一方向，若回路中各电阻上电势降的方向与 回 路方向一致，电势降取正，否则取负，列电势降的方 程，（每一回路必须是 独立的） 4、解方程所得电流若是正值，则该电流的真实方向与所设
即由：
同理可得： 上两式表明：金属导体中的电流和电流密度都与自由电
子数密度、自由电子的漂移速率成正比。
上两式对一般导体、半导体均适用，但须将自由电子的
电荷换成载流子的电荷；自由电子的漂移速率换成载流
子的平均定向运动速率。 j
三.电流连线性方程 恒定电流的条件
S j
的意义是通过闭合曲面向外的总电流。 由电荷守恒定律： 意义？
4、密绕通电螺绕环
5、无限大均匀载流平面
§11-10
磁力及其应用
一.带电粒子在磁场中受力 1.洛仑兹力
方向用左手定则 综合考虑 ：
注意 ：电荷为负计算时， 代入符号，即方向与上方
向相反。
2.应用之一
霍耳效应
1879年美国物理学家霍耳发现
1879年美国物理学家霍耳发 现：
对应图中沿Z方向有电势差
如图：
二. 安培环路定理的应用
对于一些对称分布的电流，可以通过取合适的环路L， 利用磁场的环路定理比较方便地求解场量。(具体实施，类似 于电场强度的高斯定理的解题。) 例： 求密绕长直螺线管内部的磁感强度，总匝数为 N ， 总长为 通过稳恒电流
分析对称性 知内部场沿轴向 方向与电流成右手螺旋关系。 由磁通连续原理可得： >>
2、对半无限长载流直导线
β
例2：求园形载流导线在轴线上产生的磁感强度，已知R 、I 。 解：取如图所示的微元，则：
Idl
r
a
dB
dB x
dBx
讨论：1、圆心处，即X=0 有N 匝时： 2、圆心角为a 的一段圆弧在圆心处的磁场
例3：求载流直螺线管内部的磁场，
y
a1
x
dI
已知单位长度上有n 匝，电流为i 。
C
等价的定义
电动势的等效图：
ε 电动势的 方向： 从负极经电源内部 到正极。 注意：电源的大小只取决于电源本身的性质，与外电路 无关。 对于理想电源，其内阻为零。
r
§10-4 全电路的欧姆定律
设电路中电流为I, 取ACDBA为回路方 向，一圈的电势降 是多少？ A C R D I
ε
E r B
全电路的欧姆定律
第十一章
稳恒电流与真空中的磁场
§11-1 电流和电流密度 一.电流强度 大小：单位时间内通过导体某一横截面的电量 或通过截面的电量随时间的变化率。 何为稳恒电流？
方向：正电荷运动的方向
二.电流密度
单位：安培
1.电流密度
导体中某点的电流密度，数值上等于该点附近垂直 于正电荷移动方向上的单位面积上的电流强度。 方向：该点正电荷定向移动的方向。
方向相同；否则相反。
例：如图所示，已知：
求：（1）电路中各支路的电流； （2）A、B；两点之间的电势差。 解：设各支路中电流 ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ图所示。 对A节点有： I1 I2 I3
取如图所示的两个回路，
并选逆时针方向为回路的 方向。则有： I1 I2
I3
从图中可见：
解之得：
内容小节 1、电流及电流密度 2、电阻定律 作业：
1、均匀磁场且平面法矢 量与磁场平行
2、均匀磁场且平面法矢 量与磁场夹角为a
写成矢量式：
3、非均匀磁场，任意曲面
三. 磁通连续原理（磁场的高斯定理）
容易证明：穿过任一闭合曲面的磁通量为：
微分形式 此式说明磁场是无源场。
§11-9 安培环路定理及应用
一、安培环路定理 考察线积分： 1、
2、
二.安培环路定理