《双曲线的简单几何性质》说课稿(张勇)

《双曲线的简单几何性质》说课稿
西北师大附中数学组 张勇
一、教材分析
本节内容是人教社出版的全日制普通高 级中学教科书（必修）《数学》第二册（上） 第八章第四节第一课时，属于解析几何领域的 知识。由曲线方程研究曲线的几何性质，是高 中阶段解析几何所研究的主要问题之一。二次 曲线:圆、椭圆、双曲线、抛物线是解析几何 的主要研究对象，由于这四种曲线可以通过用 不同的方式截圆锥得到，统称为圆锥曲线，在 学习时，要注意挖掘它们之间的内在联系和区 别，注意圆锥曲线之间的共同点与特殊性。
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的渐近线，猜想：直线
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b y x 与双曲线 a
b y x 是双 a
x y 曲线 2 1 a 0, b 0的渐近线。 a2 b
活动 四： 拓展 探究
通过这一 探究过程 （证明猜想）证明：双曲线 说明离心 2 2 x y 率与双曲 2 1 a 0, b 0的各支向外延伸时， 线开口之 2 a b 间的密切 b 与直线 y x 逐渐接近。（证明中 关系即离 a 心率 的 几何意义。 强调极限思想的运用） 同时突破 本节课的 4．（回答1中提出的问题，说明离心 最后一个 率 的几何意义）离心率 是反映 难点—— 双曲线开口大小的量。 渐近线。
x2 y2 （提出问题）类比椭圆 1 a b 0 已有知识 a2 b2 结构的拓
展延伸， 借助于类 比方法， 激发学生 学习数学 的兴趣。
活动 三： 讨论 归纳
（请其中一组学生派代表说讨论结 逐步构 果，其他组同学派代表作补充，教师 建新知 识体系， 2 2 突破实 x y 加以引导）双曲线 1 a 0, b 0 轴和虚 2 2 a b 轴这两 的4个简单的几何性质：范围、对称 个难点， 为活动 性、顶点、离心率。 （教师强调指出）实轴和虚轴区别于 四做好 铺垫。 椭圆的长轴和短轴的概念；离心率 的范围（ >1）。
质。
y x 2 1 a 0, b 0 的几何性 2 a b
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七、板书设计
§8.4.1双曲线的 简单几何性质 一、复习： 三、思考： 分析： 五、小结
二、探究：
四、猜想： 证明：
六、作业
谢 谢！
五、教学方法
1.教法：本节课主要采用引导发现法， 通 过师（生）不断地设（释）疑 ，揭示思维过 程，将学生置于主体位置，发挥学生的主观能 动性，将知识的形成过程转化为学生亲自探索 、归纳的过程。
2.学法：鼓励学生运用发现、探究、协作 、讨论的学习方法，联系所学知识，大胆、主 动地分析问题和解决问题，进一步提高自己的 学习能力。
本节课通过类比椭圆的简单几何性质,探究、归 纳出双曲线类似于椭圆的几何性质（范围、对称 性、顶点、离心率），并且进一步探究出双曲线 独有的几何性质（实轴、虚轴、渐近线），为后 续的抛物线的几何性质的研究做好铺垫。因此这 节课在教材中起承上启下的作用，是培养学生利 用曲线方程讨论曲线性质（即由数到形）的思想 方法以及概括、归纳能力和逻辑思维能力的重要 内容，对培养学生的探索精神和创新能力都有重 要的意义。
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1.（提出问题）椭圆的离心率 是反 映椭圆扁圆程度的量，双曲线的离心率 与双曲线有何关系？

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c b 活动 2.（启发引导）由 e 1 a a 四：
拓展 探究
2
b 可发现： e 越大， 越大； a b e 越小， 越小。 a b （引导学生考查 的几何意义） a b b 是直线 y x 斜率的绝对值。 a a
2.学生水平分析：我校学生是从全省各
地招来的最优秀的学生，数学基础扎实，自主 学习能力较高。在本节课的学习中，可以发挥 学生的主观能动性，教师加以引导，完成本节 课的教学。
三、教学目标
1.知识目标：使学生理解并初步掌握双曲 线的简单几何性质（范围、对称性、顶点、离 心率、渐近线）。 2.能力目标：培养学生利用曲线方程研究 曲线性质的基本方法构建新知识体系；通过与 椭圆几何性质的对比来提高学生联想、类比、 归纳的能力。 3.德育目标：培养学生运用数形结合的数 学思想和方法解决问题的能力。使学生在成 功的体验中获得成就感，进而激发学生学习 数学的兴趣。
二、学情分析与学生水平分析
1.学情分析：在此之前，学生已经学习
了椭圆的简单几何性质，并且类比、推导、归 纳出了双曲线的标准方程，这节课将进一步研 究、归纳出类似于椭圆几何性质的双曲线的几 何性质（范围、对称性、顶点、离心率）和双 曲线独有的几何性质（实轴、虚轴、渐近线）。 通过对双曲线性质的探究学习，可使学生在已 有的知识结构基础上拓展延伸，构建新知识体 系；对由方程讨论曲线性质（即由数到形）的 思想方法有更深刻的认识。
六、教学过程
教学活动流程图
活动 流程 活动内容 目的
x2 y2 活动 (提问学生)椭圆 2 2 1 a b 0 a b 一： 复习 的4个简单的几何性质：范围、对 回顾 称性、顶点、离心率。
以旧引新， 揭示课题。
活动 x2 y2 二： 的简单几何性质，双曲线 1 a 0, b 0 a2 b2 探索 是否具有类似的几何性质：范围、 研究 对称性、顶点、离心率？ （然后学生分组讨论，给大约6分钟 时间）
四、教学重点和难点
1.重点：本课主要内容是双曲线的几何 性质，因此本课重点是引导学生探求双曲 线的几何性质，并运用类比及数形结合的 思想来解决数学问题。 2.难点：双曲线的实轴和虚轴是区别于 椭圆的长轴和短轴的概念，而渐进线的概 念是双曲线所特有的，且渐进线定义是解 析几何中第一次用极限的思想来进行证明 ，因此这些都是本节课的难点。
从已有知识 出发，层层 设（释）疑， 激活已知， 启迪思维， 调动学生自 身探索的内 驱力，通过 探究“双曲 线的离心率 与双曲线有 何关系？” 这一问题， 逐步引出双 曲线的渐近 线，
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3.（探究直线
活动 四： 拓展 探究
x2 y2 2 1 a 0, b 0 的关系）回顾 x 2 a b y 轴是曲线 y 1 的渐近线，直线 轴， x x k (k Z 是正切函数 y tan x 图像 )
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活动 五： 课时 小结 活动 六： 布置 作业
让学生通过自我反思和互相质疑 提问，归纳总结本节课的主要内 容；强调双曲线与椭圆几何性质 的相同或类似之处，理解它们的 区别与联系。 要求学生进一步类比探究焦点在 y 轴上的双曲线
深化知识， 完成新知 识体系的 构建。 学以致用， 用所学方 法解决同 类问题。