高考数学二轮复习 第一部分 层级一 45分的基础送分题练中自检 无须挖潜教师用书 理

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2023年高考数学二轮复习(新高考版) 第1部分 专题突破 专题3 第1讲 等差数列、等比数列

2023年高考数学二轮复习(新高考版) 第1部分 专题突破 专题3 第1讲 等差数列、等比数列
专题三 数 列
第1讲 等差数列、等比数列
考情分析
1.等差、等比数列基本量和性质的考查是高考热点,经常以小题形式出现. 2.等差、等比数列求和及综合应用是高考考查的重点.
内容索引
考点一 等差数列、等比数列的基本运算 考点二 等差数列、等比数列的性质 考点三 等差数列、等比数列的判断
专题强化练
考点一
规律方法
等差数列、等比数列的性质问题的求解策略 (1)抓关系,抓住项与项之间的关系及项的序号之间的关 系,从这些特点入手,选择恰当的性质进行求解. (2)用性质,数列是一种特殊的函数,具有函数的一些性 质,如单调性、周期性等,可利用函数的性质解题.
跟踪演练2 (1)若数列{an}为等比数列,且a1+a2=1,a3+a4=2,则a15+
等差数列、等比数列的基本运算
核心提炼
等差数列、等比数列的基本公式(n∈N*) (1)等差数列的通项公式:an=a1+(n-1)d. (2)等比数列的通项公式:an=a1qn-1. (3)等差数列的求和公式: Sn=na1+ 2 an=na1+nn- 2 1d.
(4)等比数列的求和公式: Sn=a111--qqn=a11--aqnq,q≠1,
(2)(2022·武汉质检)已知等比数列{an}的各项均为正数,公比为q,a1>1,
a6+a7>a6a7+1>2,记{an}的前n项积为Tn,则下列选项错误的是
A.0<q<1
B.a6>1
C.T12>1
√D.T13>1
∵等比数列{an}的各项均为正数,a1>1,a6+a7>a6a7+1>2, ∴(a6-1)(a7-1)<0, ∵a1>1,若a6<1, 则一定有a7<1,不符合题意,则a6>1,a7<1, ∴0<q<1,故A,B正确; ∵a6a7+1>2, ∴a6a7>1,T12=a1a2a3…a12=(a6a7)6>1,故C正确; T13=a173<1,故 D 错误.

山东省2023届高三二轮复习联考(一)数学试题及参考答案

山东省2023届高三二轮复习联考(一)数学试题及参考答案

山东省2023年高三二轮复习联考(一)数学试题及参考答案一、选择题:本题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1.已知集合{}21≥+=x x A ,{}0822<-+=x x x B ,则=B A ()A .{}24<<-x xB .{}21<≤x x C .{}2134<≤-≤<-x x x 或D .{}2134<<-<<-x x x 或2.若()i i z +=-21,则=-z z ()A .1B .i 3C .i 3-D .i3.在边长为2的正三角形ABC 中,DB AD 31=,EB CE =,则=⋅DE AE ()A .49-B .23C .23-D .494.已知角α的终边过点()m ,3,若5522cos=α,则实数m 的值为()A .3-B .4C .33或-D .44或-5.如图,一种工业部件是由一个圆台挖去一个圆锥所构成的.已知圆台的上、下底面直径分别为cm 2和cm 4,且圆台的母线与底面所成的角为4π,圆锥的底面是圆台的上底面,顶点在圆台的下底面上,则该工业部的体积为()A .π2B .π6C .π23D .π296.若函数()x f y =同时满足:①()0>x f ;②函数()x f y =与函数()()1log >=a x f y a 的单调性一致,则称函数()x f y =为“鲁西西函数”.例如:函数()2x ex f =在()0,∞-上单调递减,在()∞+,0上单调递增.()2x x g =同样在()0,∞-上单调递减,在()∞+,0上单调递增.若函数()()01>=x xx h x为“鲁西西函数”,则()x h 在()∞+,0上的最大值为()A .ee1B .eeC .ee 11⎪⎭⎫ ⎝⎛D .ee17.已知直线2p x y l -=:与抛物线C :()022>=p px y 相交于B A ,两点,若AOB ∆(O 为坐标原点)的面积为2,则=p ()A .22B .1C .2D .28.如图,将正方体沿交于同一顶点的三条棱的中点截去一个三棱锥,如此共可截去八个三棱锥,截取后的剩余部分成为“阿基米德多面体”,它是一个24等边正多面体.若从它的棱中任取两条,则这两条棱所在的直线为异面直线的概率为()A .2310B .2312C .6929D .6950二、选择题:本题共4小题,每小题5分,共20分.在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求.全部选对的得5分,部分选对的得2分,有选错的得0分.9.下列结论正确的有()A .若变量y 关于变量x 的回归直线方程为m x y +=2ˆ,且m x =,6=y ,则2=mB .若随机变量ξ的方差()2=ξD ,则()412=+ξD C .若B A 、两组成对数据的样本相关系数分别为97.0=A r ,99.0-=B r ,则B 组数据比A 组数据的相关性较强D .样本数据n x x x x ,,,,321 和样本数据2,,2,2,2321++++n x x x x 的四分位数相同10.将函数()()606sin <<⎪⎭⎫ ⎝⎛-=ωπωx x f 的图象向右平移6π个单位长度后得到函数()x g 的图象.若⎪⎭⎫⎝⎛ωπ,0是()x g 的一个单调递增区间,则以下结论正确的为()A .()x f 的最小正周期为πB .()x f 在⎪⎭⎫⎝⎛3432ππ,上单调递增C .函数()()()x g x f x F +=的最大值为3D .方程()31-=x f 在[]π2,0上有4个实数根11.已知双曲线C :()0,012222>>=-b a bx a y 的上、下焦点分别为21F F ,,过点2F 且与一条渐近线垂直的直线l 与C 的上支交于点P ,垂足为A ,且a b PF 231-=,O 为坐标原点,则()A .双曲线C 的渐近线方程为x y 23±=B .双曲线C 的离心率为213C .三角形1AOF 的面积为243a D .直线l 被以21F F 为直径的圆截得的弦长为a2312.已知函数()x f 的定义域为R ,()1+x f 为奇函数,且对R x ∈∀,()()x f x f -=+4恒成立,则()A .()x f 为奇函数B .()03=f C .⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎪⎭⎫ ⎝⎛2521f f D .()02023=f 三、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分.13.已知()πθ,0∈,则θθ22cos sin 21-的最小值为.14.()423++x x 的展开式中,含x 的项的系数为.15.如图,在正方体1111D C B A ABCD -中,4=AB ,若F 为棱11D A 上动点,E 为线段F B 1上的点,且F B AE 1⊥,若AE 与平面F B A 11所成角的正切值为35,则三棱锥F B A A 11-的外接球表面积为.16.已知数列{}n a 的前n 项和为n S ,32=S ,且⎪⎩⎪⎨⎧∈=+∈-=+=+**1,2,12,12,1Nk k n a N k k n a a n n n ,则=16S.四、解答题:本题共6小题,共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17.(10分)已知c b a ,,分别为ABC ∆的内角C B A ,,的对边,32π=B ,且CAc C A c a sin sin cos sin =+.(1)求角C 的大小;(2)若ABC ∆的外接圆面积为π3,求BC 边上的中线长.18.(12分)已知递增等比数列{}n a 的前n 项和为n S ,936=S S ,()()111--=+n n nn a a a b ,且321=b .(1)求{}n a 的通项公式;(2)求数列{}n b 的前n 项和n T .19.(12分)如图,四棱锥ABCD P -的底面ABCD 是边长为2的正方形,平面P AB ⊥平面ABCD ,平面P AD ⊥平面ABCD ,E 为PD 中点,三棱锥ACE P -的体积为32.(1)证明:AE ⊥平面PCD ;(2)求二面角B CE A --的正弦值.20.(12分)某乡镇在实施乡村振兴的进程中,推广科学种田,引导广大农户种植优良品种,进一步推动当地农业发展,不断促进农业增产农民增收,为了解某新品水稻的产量情况,现从种植该新品种水稻的不同自然条件的田地中随机抽取100亩,统计某亩产量x (单位:吨(t )),并以此为样本绘制了如图所示的频率分布直方图.(1)求这100亩水稻平均亩产量的估计值(同一组中的数据用该组区间的中点值代表,精确到小数点后两位);(2)若该品种水稻的亩产量x 近似服从正态分布()2,σμN ,其中μ为(1)中平均亩产量的估计值,15.0≈σ,若该县共种植10万亩该品种水稻,试用正态分布估计亩产量不低于t 6.0的亩数;(3)将频率视为概率,若从所有种植该品种水稻的田地中随机抽取3亩进行分析,设其亩产量不低于t 8.0的亩数为ξ,求随机变量ξ的期望.附:若随机变量X 服从正态分布()2,σμN ,则()6827.0≈+≤≤-σμσμX P ,()9545.022≈+≤≤-σμσμX P ,()9973.033≈+≤≤-σμσμX P .21.(12分)已知21F F ,分别为椭圆C :12222=+by a x (0>>b a )的左、右焦点,A 为椭圆上的动点(异于C 的左、右顶点),21AF F ∆的周长为6,且21AF F ∆面积的最大值为3.(1)求椭圆C 的标准方程;(2)若B 为直线1AF 与椭圆C 的另一个交点,求2ABF ∆内切圆面积的最大值.22.(12分)已知函数()xxe x f 22=.(1)求()x f 的最小值;(2)若对0>∀x ,()()()x ax ax x f 2ln 1-+≥恒成立,求实数a 的取值范围.参考答案1.C 解析:{}13≥-≤=x x x A 或,{}24<<-=x x B ,{}1134<≤-≤<-=x x x B A 或 2.B 解析:()()()()i i i i i i i z 2321111212+=+-++=-+=,∴i z z 3=-.3.D解析:以AB 中点O 为坐标原点,分别以OC AD ,所在直线为x 轴,y 轴建立如图所示的平面直角坐标系,则()()()300101,,,,,C B A -,⎪⎭⎫ ⎝⎛-0,21D ,⎪⎪⎭⎫⎝⎛23,21E ,∴⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=23,23AE ,⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=23,1DE ,故49=⋅DE AE .4.D 解析:5312cos2cos 2=-=αα,∴592=+m ,解得4±=m .5.A解析:如图,圆台的轴截面为等腰梯形,DAB ∠即为圆台的母线与底面所成的角,故4π=∠DAB ,易得1=AE ,等腰梯形ABCD 的高1=DE ,∴圆台和圆锥的高均为1,该工业部件的体积()ππππππ21131441312=⨯⨯⨯-+⨯+⨯⨯=-=圆锥圆台V V V .6.D解析:设()xxxx p xln ln 1==,由题可知()x p 与()x h 有相同的单调区间,()2ln 1x xx p -=',易得()x p 在()e ,0上单调递增,在()+∞,e 上单调递减,故()x h 在()e ,0上单调递增,在()+∞,e 上单调递减,∴()()ee e h x h 1max ==.7.D解析:由题直线l 过抛物线C 的焦点,联立方程得04322=+-p px x ,设()11,y x A ,()22,y x B ,则p x x 321=+,则p p x x AB 421=++=,又原点O 到直线l 的距离为p 42,故242421=⨯⨯=∆p p S AOB ,解得2=p.8.B 解析:当一条直线位于上(或下)底面另一条不在底面时,有80810=⨯对异面直线,当两条直线都位于上下底面时,有824=⨯对异面直线,当两条直线都不在上、下底面时,有5687=⨯对异面直线,∴两条棱所在的直线为异面直线的概率231285680224=++=C P .9.AC 解析:选项A ,将()6,m 代入回归直线方程,得2=m ,A 正确;选项B ,()()()821222==+=ξξξD D D ,,B 错误;选项C ,∵B A r r >,∴B 组数据比A 组数据的相关性较强,C 正确;选项D ,设样本数据n x x x x ,,,,321 的四分位数为M ,则样本数据2,,2,2,2321++++n x x x x 的四分位数为2+M ,D 错误.10.ACD解析:()⎪⎭⎫ ⎝⎛--=⎦⎤⎢⎣⎡-⎪⎭⎫ ⎝⎛-=66sin 66sin πωπωππωx x x g ,最小正周期ωπ2=T ,∵⎪⎭⎫⎝⎛ωπ,0是()x g 的一个单调递增区间,∴()10-=g ,即Z k k ∈-=--,2266πππωπ,得Z k k ∈+-=,212ω.∵60<<ω,∴2=ω,故()⎪⎭⎫ ⎝⎛-=62sin πx x f ,∴()x f 的最小正周期为ππ=22,A 正确;令Z k k x k ∈+<-<-,226222πππππ,得Z k k x k ∈+<<-,36ππππ,故()x f 在⎪⎭⎫⎝⎛3465ππ,上单调递增,B 错误;易得()x x g 2cos -=,()⎪⎭⎫ ⎝⎛-=-⎪⎭⎫ ⎝⎛-=32sin 32cos 62sin ππx x x x F ,∴()x F 的最大值为3,C 正确;由函数()x f 的图象可知()x f 的图象与直线31-=y 在[]π2,0上有4个交点,D 正确.11.BC 解析:设焦距为c 2,不妨取C 的一条渐近线x b a y -=,则直线c x aby l -=:,设垂足为A ,易知a AO =,b AF =2,因为a b PF 231-=,由双曲线的定义知b PF 32=,设线段2PF 的中点为E ,则232b E F =,a b OE -=23,∴a b PF E F AE 2312-=-=.在AEO Rt ∆中,222AE OA OE +=,即222223⎪⎭⎫⎝⎛+=⎪⎭⎫ ⎝⎛-b a a b ,得32=b a ,故双曲线的渐近线方程为x y 32±=,A 错误;2312222=-=-=e aa c ab ,解得213=e ,B 正确;2243212121a ab OA AF S S AOF AOF ==⨯==∆∆,C 正确;设直线l 被以21F F 为直径的圆截得的弦为MN ,易知点A 即为MN 中点,故a b AF MN 3222===,D 错误.12.BCD解析:∵()1+x f 为奇函数,∴()()x f x f +-=-11,故()()()()⎩⎨⎧-=---=+x f x f x f x f 22,又()()x f x f -=+4,∴()()x f x f -=+22,故()()()x f x f x f -=--=+2,∴()()x f x f =-,()x f 为偶函数,A 错误;∵()1+x f 为奇函数,∴()01=f ,()()x f x f -=+22,∴()()013==f f ,B 正确;⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎭⎫ ⎝⎛2325f f ,又()x f 的图象关于点()0,1对称,∴⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎪⎭⎫ ⎝⎛2123f f ,∴⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎪⎭⎫ ⎝⎛2521f f ,C 正确;又()()()x f x f x f =-=+4,∴()x f 是以4为周期的函数,()()()03345052023==+⨯=f f f ,D 正确.13.12-解析:121sin sin 2121sin sin 21cos sin 21222222-=-⨯≥-+=-θθθθθθ当且仅当θθ22sin sin 21=,即21sin 4=θ时等号成立.14.248解析:由题0≥x ,()()()4442123x x x x +⨯+=++⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛++++⨯⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛++++=2442334242211430442442334242114042222x C x C x C x C C x C x C x C x C C 含x 的项的系数为248222044241431424204=++C C C C C C .15.π41解析:由题,连接E A 1,1AEA ∠即为AE 与平面F B A 11所成角,且EA E A A A AEA 11114tan ==∠,当35tan 1=∠AEA 时,得5121=E A ,设()401≤≤=x x F A ,E A F B B A F A 11111⨯=⨯,即1651242+⨯=x x ,解得3=x ,∴31=F A ,易知三棱锥F B A A 11-的外接球即为分别以3,4,4为棱长的长方体的外接球,设其半径为R ,则24144321222=++=R ,∴三棱锥F B A A 11-的外接球表面积ππ4142==R S .16.2000解析:由131221+==+a a a a ,得11=a ,22=a ,又1121222212+=+=+++k k k k a a a a ,,得22222+=+k k a a ,即()22222+=+k k a a ,∴当1≥k 时{}22+k a 是以4为首项,2为公比的等比数列,故1122242+-=⨯=+k k k a ,∴2212-=+k k a ,又32122212-=+=++k k k a a ,∴当1≥k 时,{}312+-k a 是以4为首项,2为公比的等比数列,()()()111121233112+++++++++=--k k k a a a a a a S ()k a a a k ++++=-12312 ()8525212183--=---=+k k k k,∴200016=S.17.解:(1)由正弦定理得CAC C A C A sin cos sin cos sin sin sin =+∵π<<C 0,∴0sin >C ,∴C A C A A cos cos sin sin sin =+,即()21cos cos sin sin cos cos sin =-=+=-=B C A C A C A A ,又30π<<A ,∴6π=A ,∴6ππ=--=B A C .(2)由(1)知6π==C A ,设ABC ∆的外接圆半径为R ,则ππ32=R ,得3=R ,∴326sin32sin 6sin===πππcb a ,解得3==c a ,3=b ,设BC 中点为D ,则()AC AB AD +=21,()4216cos 24141222=⎪⎭⎫ ⎝⎛++=+=πbc b c AC AB ,∴BC 边上的中线221=AD .18.解:(1)设{}n a 的公比为q ,则8133636=-=-S S S S S ,即83321654==++++q a a a a a a ,解得2=q ,又()()()()32121111111111=--=--=a a a q a a ab ,整理得0294121=+-a a ,解得21=a 或411=a ,由()()111--=+n n n n a a a b 得1≠n a ,当411=a 时,由2=q 得13=a ,不合题意,舍去,故21=a ,∴n n n a 2221=⨯=-,∴{}n a 的通项公式为n n a 2=.(2)()()()()1211211212211111---=--=--=+++n n n n n n n n n a a a b ,∴121112112115171713131111--=---++-+-+-=++n n n n T ,19.(1)证明:∵ABCD 是边长为2的正方形,∴AB AD ⊥.∵平面P AB ⊥平面ABCD ,平面P AB ∩平面ABCD AB =,⊂AD 平面ABCD ,∴AD ⊥平面P AB .又⊂P A 平面P AB ,∴AD P A ⊥.同理可得AB P A ⊥,又⊂AD AB 、平面ABCD ,A AD AB = ,∴P A ⊥平面ABCD ,∵E 为PD 中点,∴32==--ACD E ACE P V V ,即3221222131=⨯⨯⨯⨯P A ,解得2=P A ,∴PD AE ⊥,∵AD CD ⊥,∴CD ⊥平面P AD ,故AE CD ⊥,又⊂PD CD 、平面PCD ,D PD CD = ,∴AE ⊥平面PCD .(2)解:由(1)知AB P A ⊥,AD P A ⊥,AD AB ⊥,以A 为坐标原点,分别以AP AD AB ,,所在直线为z y x ,,轴建立空间直角坐标系如图所示:则()()()022002000,,,,,,,,C B A ,()()110020,,,,,E D ,故()022,,=AC ,()110,,=AE ,设平面ACE 的一个法向量为()z y x m ,,= ,则⎪⎩⎪⎨⎧=⋅=⋅00AE m AC m ,即⎩⎨⎧=+=+0022z y y x ,令1=x ,解得1,1=-=z y ,∴()1,1,1-=m.同理可得平面BCE 的一个法向量为()2,0,1=n,∴515533,cos =⨯=⋅=nm n m n m,设二面角B CE A --的平面角为θ,5105151sin 2=⎪⎪⎭⎫⎝⎛-=θ,∴二面角B CE A --的正弦值为510.20.解:(1)由题:()11.025.275.1225.1275.0=⨯+++⨯+⨯b ,解得2=b ,∴这100亩水稻平均亩产量的估计值为:()75.005.125.195.0285.025.275.075.165.025.155.075.045.0⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯75.01.0≈⨯.(2)由(1)知75.0≈μ,又15.0≈σ,∴()()15.075.015.075.021216.0+≤≤-+=≥x P x P 84135.06827.02121=⨯+≈,∴亩产量不低于t 6.0的亩数的估计值为8413584135.0100000=⨯亩.(3)每亩水稻亩产不低于t 8.0的概率为52,则随机变量⎪⎭⎫⎝⎛523~,B ξ服从二项分布,∴()56523=⨯=ξE .21.解:(1)设椭圆C 的焦距为c 2,由椭圆的定义及21AF F ∆的周长得622=+c a ,即3=+c a ……①由椭圆的性质可知,当点A 为短轴的端点时,21AF F ∆的面积最大,此时322121=⨯⨯=∆b c S AF F ……②又222c b a +=……③综合①②③解得:2=a ,3=b ,∴椭圆C 的标准方程为13422=+y x .(2)设2ABF ∆内切圆半径为r ,∵()r r AB BF AF S ABF 421222=⋅++=∆,∴当2ABF ∆面积最大时,2ABF ∆的内切圆面积最大,设AB :1-=my x ,与椭圆C 的方程联立得⎪⎩⎪⎨⎧-==+113422my x y x ,消去x 得()0964322=--+my y m .设()()2211,,y x B y x A ,,则439436221221+-=+=+m y y m m y y ,,()2122121214212y y y y y y F F S ABF -+=-⋅=∆()()11311243364336222222+++=+++=m m m mm ,令)112≥+=t m t ,则tt t t S ABF 1312131222+=+=∆,设()()113≥+=t t t t f ,则()0132>-='tt f ,∴()t f 在[)∞+,1上单调递增,故当1=t 即0=m 时,2ABF ∆面积最大,最大值为3.此时43=r ,∴2ABF ∆内切圆面积的最大值169432ππ=⎪⎭⎫⎝⎛⨯=S .22.解:(1)()x f 的定义域为R ,()()1222+='x e x f x,故当⎪⎭⎫⎝⎛-∞-∈21,x 时,()0<'x f ,()x f 单调递减;当⎪⎭⎫⎝⎛∞+-∈,21x 时,()0>'x f ,()x f 单调递增.∴()x f 在21-=x 时取得极小值e f 121-=⎪⎭⎫⎝⎛-,这个极小值即为()x f 的最小值,∴()x f 的最小值为e1-.(2)对0>∀x ,()()()x ax ax x f 2ln 1-+≥恒成立,即()()ax ax ax x xe xln ln 222+≥+恒成立,即()()()ax e ax x xeax xln ln 22ln 2+≥+恒成立,令()x xe x g x+=,()()11++='x e x g x,故当()+∞∈,0x 时,()0>'x g ,()x g 单调递增,()02222>+=x xe x g x ,()[]()()()ax e ax ax g ax ln ln ln ln +=,当()0ln ≤ax 时,()[]0ln ≤ax g ,()()()ax e ax x xeax xln ln 22ln 2+≥+恒成立,当()0ln >ax 时,由()()[]ax g x g ln 2≥得()ax x ln 2≥,即()0ln 2≥-ax x 恒成立.设()()ax x x h ln 2-=,则()xx h 12-=',当⎪⎭⎫⎝⎛∈21,0x 时,()0<'x h ,()x h 单调递减,当⎪⎭⎫⎝⎛+∞∈,21x 时,()0>'x h ,()x h 单调递增,∴()2ln 121a h x h -=⎪⎭⎫⎝⎛≥,只需02ln1≥-a,即e a 2≤,由题意得0>a ,∴实数a 的取值范围为(]e 2,0.。

2020新高考数学二轮冲刺数列全归纳(基础—中档—拔高题全解析)

2020新高考数学二轮冲刺数列全归纳(基础—中档—拔高题全解析)

叠加得到 an

a1

2(1 2n1) 1 2

2n

2
,所以 an

2n
1 ( n

2)n
1 时也成立,
所以 an 2n 1 ( n N * )
(3)由(2)可知 4b11 4b2 1 4b3 1 4bn 1 (an 1)bn ,
即 4(b1b2 bn n) 2nbn ,故 2(b1 b2 bn ) 2n nbn
由①-②得 an1 4an 4an1 ,所以 an1 2an 2an 4an1 2(an 2an1) .当 n 1 时,
S2 4a1 2 6 a1 a2 a2 5 ,所以 a2 2a1 5 2 3 0,
所以
an1 2an an 2an1
1 )n1 2

(1)n1
3 2n
例 2.在等差数列 an 中,公差 d 0 ,a2 是 a1 与 a4 的等比中项,已知数列 a1 ,a3 , ak1 , ak2 , akn , 成等比数列,求数列 kn的通项 kn
解析 依题意可得 a22 a1a4 ,所以 (a1 d )2 a1(a1 3d ) ,由 d 0 可得 a1 d ,则 an nd ,由已知得 d ,3d , k1d , k2d ,, knd , 是等比数列。
②若 an

a1q n1

a1 q
qn

c qn
,则数列an 为等比数列(用于判断);
(3)中项公式法:
①若 2an an1 an1 ( n 2, n N * ),则数列 an 为等差数列(用于证明); ②若 an2 an1an1 ( n 2, n N * ),则数列 an 为等比数列(用于证明);

2023年高考数学二轮复习(新高考版) 第1部分 专题突破 专题3 微重点10 子数列问题

2023年高考数学二轮复习(新高考版) 第1部分 专题突破 专题3 微重点10 子数列问题

跟踪演练1 (2022·山东学期联考)已知数列{an}满足an-1-an=an-an+1(n≥2),
且a1=1,a7=13;数列{bn}的前n项和为Sn,且Sn=

3n-1 2.
(1)求数列{an}和{bn}的通项公式;
由已知可得,2an=an-1+an+1(n≥2), 则数列{an}为等差数列,设其公差为d, 由a7=a1+6d=13,解得d=2, ∴an=2n-1, 在数列{bn}中,当n=1时,b1=S1=1, 当 n≥2 时,bn=Sn-Sn-1=3n-2 1-3n-21-1=3n-1,
1234
4.(2022·山东联考)已知数列{an}中,a1=1,a2=2,an+2=kan(k≠1), n∈N*,a2+a3,a3+a4,a4+a5成等差数列. (1)求k的值和{an}的通项公式;
当n=1时,满足上式,∴bn=3n-1.
(2)若数列 cn=abnn, ,nn为 为奇 偶数 数, , 求数列{cn}的前 n 项和 Tn.
因为 cn=abnn, ,nn为 为奇 偶数 数, ,
则当n为偶数时,Tn=c1+c2+c3+…+cn =1+5+…+2n-3+3+…+3n-1 =n21+22n-3+3-1-3n9+1=n2-2 n+3n+81-3,
专题三 数 列
微重点10 子数列问题
子数列问题包括数列中的奇偶项、公共数列以及分段数列,是近几年高 考的重点和热点,一般方法是构造新数列,利用新数列的特征(等差、等比或 其他特征)求解原数列.
内容索引
考点一 奇数项、偶数项 考点二 两数列的公共项 考点三 分段数列
专题强化练
考点一
奇数项、偶数项
方法一 由题意知,2n≤m,即n≤log2m, 当m=1时,b1=0. 当m∈[2k,2k+1-1)时,bm=k,k∈N*, 则S100=b1+(b2+b3)+(b4+b5+…+b7)+…+(b32+b33+…+b63)+ (b64+b65+…+b100) =0+1×2+2×4+3×8+4×16+5×32+6×37=480. 方法二 由题意知bm=k,m∈[2k,2k+1), 因此,当m=1时,b1=0; 当m∈[2,4)时,bm=1;

新高考新教材高考数学二轮复习中低档大题规范练4pptx课件

新高考新教材高考数学二轮复习中低档大题规范练4pptx课件
26 =5.
3
2
39×
=
2
2
2
(方法二)由余弦定理,得 b +c -2bccos A=a ,即 4+c
整理得 c2+2c-35=0,解得 c=5 或 c=-7(舍去).
1 2 3 4
2

-2×2c×(-2)=39,
(3)∵C 为锐角,∴cos C=
∴sin(B-C)=sin Bcos C-cos Bsin
规范练4
1.(10分)(2023天津,16)在△ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c.已知
a= 39 ,b=2,∠A=120°.
(1)求sin B的值;
(2)求c的值;
(3)求sin(B-C)的值.
1 2 3 4


(1)由已知及正弦定理,得
sin
∴sin
sin
B=

=

3
2 = 13.
P(X=3.5)=(0.020+0.025)×10=0.45,
P(X=5.5)=(0.023+0.017)×10=0.4,
所以随机变量X的分布列为
X
1.5
3.5
P
0.15
0.45
所以E(X)=1.5×0.15+3.5×0.45+5.5×0.4=4,
故每件产品的平均销售利润为4元.
1 2 3 4
5.5
=

,∵a=
sin
39,b=2,∠A=120°,
13
39
(2)(方法一)由(1)及已知,
2 39
得 cos B=
=
,sin C=sin(180°-120°-B)

新教材2024高考数学二轮专题复习分册一专题一小题专攻课件

新教材2024高考数学二轮专题复习分册一专题一小题专攻课件
)
A.充分不必要条件 B.必要不充分条件
C.充要条件 D.既不充分也不必要条件
答案:A
解析:由线面垂直的性质知,若m⊥α,n⊂α,则m⊥n成立,即充分性成立;根
据线面垂直的定义,m必须垂直平面α内的两条相交直线,才有m⊥α,即必要性
不成立.故选A.
6.[2023·河北邯郸一模]在等差数列{an}中,“a2 +a5=a3 +am”是
答案:D
1 1
解析:对于A,如果 >
a b
,例如a=-2,b=-1
1 1
,则必定有 <
a b
1
,则- >-1
2
,不能推出
a>b>0 ,如果a>b>0
,既不是充分条件也不是必要条件,错误;
对于B,如果ln (a+1)>ln (b+1) ,根据对数函数的单调性可知a+1>b+1,a>b,
但不能推出a>b>0 ,例如a=1,b=-0.5 ,不是充分条件,如果a>b>0 ,则a+
2.要善于举出反例:当从正面判断或证明一个命题的正确或错误不
易进行时,可以通过举出恰当的反例来说明.
3.要注意转化:¬p是¬q的必要不充分条件⇔p是q的充分不必要条
件;¬p是¬q的充要条件⇔p是q的充要条件
[巩固训练2] (1)[2023·安徽合肥二模]设a∈R,则“a=1”是“f(x)
=ln ( x 2 + 1+ax)为奇函数”的(
M∩
1
N={x|
3
≤ x < 16}.故选D.
1
},所以
3
2.[2023·新课标Ⅱ卷]设集合A={0,-a},B={1,a-2,2a-2},

高三数学一轮复习回归基础45分钟小题测试卷2(理科)

高三数学一轮复习回归基础45分钟小题测试卷2(理科)

高三数学回归基础45分钟小题测试卷2(理科)一.选择题:本大题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的,请将所选答案填在答题卡对应位置. 1.设集合则},2|{},0|{2<=<-=x x N x x x M (A )φ=N M(B )M N M = (C )M N M = (D )R N M =2. 复数(1+i)21-i 等于( ) A.1-i B.1+i C. -1-i D.-1+ i3.已知函数y=sinx+acosx 的图象关于53x π=对称,则函数y=asinx+cosx 的图象的一条对称轴是 ( )A. x =11π/6 B. x =2π/3 C. x =π/3 D. x =π 4.已知,OA a OB b ==,C 为线段AB 上距A 较近的一个三等分点,D 为线段CB 上距C 较近的一个三等分点,则用b a,表示OD 的表达式为 ( )A. )54(91b a + B . )79(161b a + C. )2(31b a + D. )3(41b a+5.已知-9,a 1,a 2,-1四个实数成等差数列,-9,b 1,b 2,b 3,-1五个实数成等 比数列,则b 2(a 2-a 1)=( )A .8 B .-8 C .8± D .986.设函数21()122x xf x =-+,[]x 表示不超过x 的最大整数,则函数[()][()]y f x f x =+-的值域为 A .{}0 B . {}2,0- C . {}1,0,1- D .{}1,0- 7.若b a <<0,且1=+b a ,则下列各式中最大的是( )(A )1- (B )1log log 22++b a (C )b 2log (D ))(log 32232b ab b a a +++ 8.设奇函数f (x )在[-1,1]上是增函数,且(1)1f -=-,若函数2()21f x t at -+≤对所有的[1,1]x ∈-都成立,则当[1,1]a ∈-时,t 的取值X 围是( )A .22t -≤≤B .1122t -≤≤C .220t t t -=或或≥≤D .11022t t t -=或或≥≤二.填空题:本大题共7小题,每小题5分,共35分.把答案填在答题卡...中对应题号后的横线上. 9.在边长为1的正三角形ABC 中,设,,BC a AB c AC b ===,则a c c b b a⋅+⋅+⋅的值是10.在直角坐标系xoy 中,若角α的始边为x 轴的非负半轴,终边为射线l :y=(x≥0).则sin()6πα+的值为11.若关于x 的方程323()25xaa+=-有负数根,则实数a 的取值X 围为 12.函数29()12f x x x =+-(1(0,)2x ∈)的最小值为 13.给出下列四个结论:① 函数sin y x =在第一象限是增函数;② 函数1cos 2y x =+的最小正周期是π;③若22,am bm <则a b <;④函数()sin f x x x =-(x R ∈)有3个零点; ⑤对于任意实数x ,有()(),()(),f x f x g x g x -=--=且x>0时,()0,()0,f x g x ''>>则x<0时()().f x g x ''>其中正确结论的序号是.(填上所有正确结论的序号)14.已知点P ()2,2在曲线3y ax bx =+上,如果该曲线在点P 处切线的斜率为9,那么(i )ab =____________;(ii )函数()3f x ax bx =+,3[,3]2x ∈-的值域为____________.15. 数列{}n a 中, 135a =,(i )若13,21n n n a a a +=+则n a =; (ii )若113,21nn n n a a a ++=+则n a = 高三回归基础45分钟小题测试卷答题卡班级_____________ 某某__________ 得分_____________一、选择题(本大题共8个小题,每小题5分,共40分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。

高考数学二轮复习全程课件详解

高考数学二轮复习全程课件详解
分享解题的技巧和方法, 让你在解题时更加准确和 高效。
备考要点和注意事项
1 备考要点
讲解备考的重点和要点,帮 助你制定高效的备考计划。
2 时间管理
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3 考场策略
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评析考试
对考试评析,解读评分标准和 评卷要求,帮助你了解考试评 分的原则。
分数分布
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常见易错题及解题技巧
易错题剖析
剖析常见易错题的原因, 帮助你避免常见的错误。
错误分析
分析常见错误的解题思路 和解题方法,帮助你避免 犯同样的错误。
解题技巧
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本课程提供全面的高考数学二轮复习资料,包括考试大纲和题型解析,并重 点突破知识点。我们分享解题技巧和方法,并通过典型题目的解析和讲解帮 助你理解。评析高分答案,分享常见易错题和解题技巧,同时介绍备考要点 和注意事项。
考试大纲和题型解析
考试大纲
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解析高考数学二轮复习中 的难点,提供有效的解题 思路和方法,帮助你攻克 难题。
解题技巧和方法分享
1 推理和分析
分享解题时的推理和分 析方法,帮助你找到解 题思路。
2 图像和图表
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典型题目解数学二轮复习中的常见填空
题的解题技巧和方法,帮助你快速答

老高考适用2023版高考数学二轮总复习第1篇核心素养谋局思想方法引领第2讲选择题和填空题的解法课件

老高考适用2023版高考数学二轮总复习第1篇核心素养谋局思想方法引领第2讲选择题和填空题的解法课件

B.4 D. 15
(B )
【解析】 由题意,可得|O→A|=|A→B|=|O→B-O→A|, 即O→A2=(O→B-O→A)2=O→B2-2O→A·O→B+O→A2, 又|O→A|=2,|O→B|=1,代入可得 4=1-2O→A·O→B+4, 解得O→A·O→B=12, 所 以 | O→A + 3 O→B | = O→A+3O→B2 = O→A2+6O→A·O→B+9O→B2 = 4+6×21+9=4,故选 B.
第一篇
核心素养谋局•思想方法引领
第2讲 选择题和填空题的解法
关键能力解读
数学客观题,绝大多数是计算型(尤其是推理计算型)和概念(性质)判 断型的试题,解答时必须按规则进行切实的计算或者合乎逻辑的推演和 判断.其中选择题要充分利用题干和选项两方面提供的信息,尽量缩短 解题时间,依据题目的具体特点,灵活、巧妙、快速地选择解法,基本 策略是要在“准”“巧”“快”上下功夫.常用的方法有直接法、特殊 化法、数形结合法、等价转化法等.
典例4 (1)已知三棱锥P-ABC的四个顶点在球O的球面上,PA=
PB=PC,△ABC是边长为2的正三角形,E,F分别是PA,AB的中点,
∠CEF=90°,则球O的体积为
(D )
A.8 6π
B.4 6π
C.2 6π
D. 6π
【解析】 如图所示,构造棱长为 2的正方体 PBJA-CDHG,显然 满足题设的一切条件,则球 O 就是该正方体的外接球,从而体积为 6π.
(2)使用技巧:对于数值计算常采用放缩估算、整体估算、近似估 算、特值估算等,对于几何体问题,常进行分割、拼凑、位置估算.
解题规律和解题技巧的灵活应用,将计算过程简化从而得到结果,这是
快速准确地求解选择题、填空题的关键.

2025年高考数学一轮复习-第一板块-层级(一)基础性考法【课件】

2025年高考数学一轮复习-第一板块-层级(一)基础性考法【课件】

= 2sinx-π2+π4,所以函数 g(x)=sin x+cos x 的图象向右平移π2个单位长度 得到函数 f(x)=sin x-cos x 的图象.
答案:C
3.已知函数 f(x)=sinωx+π6(ω>0)的两个相邻的对称轴之间的距离为π2,为了得
到函数 g(x)=sin ωx 的图象,只需将 y=f(x)的图象
故 D 正确;由①联立 tan A+tan B=233,解得 tan A=tan B= 33,∴cos B = 3sin A,故 B、C 正确.故选 B、C、D.
答案:BCD
4.已知 α∈π4,34π,β∈0,π4,且 cosπ4-α=35,sin54π+β=-1123,则 cos(α +β)=________. 解析:∵α∈π4,34π,∴π4-α∈-π2,0, 又 cosπ4-α=35,∴sinπ4-α=-45. ∵sin54π+β=-1123, ∴sinπ4+β=1123. 又∵β∈0,π4,∴π4+β∈π4,π2,
π 0<α<2
<β<π,所以π2<α+β<32π,所以 α+β=54π.
答案:54π
[扫盲·补短]
熟记三角函数公式的两类变形
(1)和差角公式变形:sin αsin β+cos(α+β)=cos αcos β,cos αsin β+sin(α
-β)=sin αcos β,tan α±tan β=tan(α±β)·(1∓tan α·tan β).
[扫盲·补短]
正弦定理与余弦定理的主要应用就是实现边与角的互化,要注意边化为角 方法 后一般要结合三角形的内角和定理与三角恒等变换进行化简求值,若直接 疑点 将已知条件化为边之间的关系,式子一般比较复杂,要注意利用式子的结

(山东专用)新高考数学二轮复习 板块1 命题区间精讲 精讲8 数列学案(含解析)-人教版高三全册数学

(山东专用)新高考数学二轮复习 板块1 命题区间精讲 精讲8 数列学案(含解析)-人教版高三全册数学

数列命题点1等差数列、等比数列的基本运算等差数列、等比数列问题的求解策略(1)抓住基本量,首项a1、公差d或公比q;(2)熟悉一些结构特征,如前n项和为S n=an2+bn(a,b是常数)的形式的数列为等差数列,通项公式为a n=p·q n-1(p,q≠0)的形式的数列为等比数列;(3)由于等比数列的通项公式、前n项和公式中变量n在指数位置,所以常用两式相除(即比值的方式)进行相关计算.[高考题型全通关]1.(2020·枣庄模拟)已知等差数列{a n}的公差为4,且a2,a3,a6成等比数列,则a10等于()A.26B.30C.34D.38C[由题意可得a23=a2a6,即(a2+d)2=a2(a2+4d),结合题意,有(a2+4)2=a2(a2+16),解得a2=2,则a10=a2+8d=2+8×4=34.]2.[教材改编]等差数列{a n}中,S n是它的前n项和,若a2+a3=10,S6=54,则该数列的公差d为()A.2 B.3 C.4 D.6C[由题意知S6=a1+a2+a3+a4+a5+a6=54,即a1+a6=a2+a5=a3+a4=18,2d=a2+a5-(a2+a3)=8,所以d=4.]3.(2020·惠州第一次调研)等比数列{a n}的前n项和为S n,公比为q,若S6=9S3,S5=62,则a1=()A. 2 B.2 C. 5 D.3B [由题意可得⎩⎪⎨⎪⎧a 1(1-q 6)1-q =9×a 1(1-q 3)1-q,a 1(1-q 5)1-q=62,即⎩⎪⎨⎪⎧q 3=8,a 1(1-q 5)1-q=62,得⎩⎪⎨⎪⎧q =2,a 1=2,选B .] 4.(2020·江西红色七校第一次联考)在正项数列{a n }中,a 1=2,且点P (ln a n ,ln a n +1)(n ∈N *)位于直线x -y +ln 2=0上.若数列{a n }的前n 项和S n 满足S n >200,则n 的最小值为( )A .2B .5C .6D .7D [将(ln a n ,ln a n +1)(n ∈N *)代入x -y +ln 2=0,可得a n +1=2a n ,所以{a n }是公比为2的等比数列,S n =2(1-2n )1-2=2n +1-2,令S n >200,则2n +1>202,所以n 的最小值为7.]5.(2020·唐山模拟)已知等差数列{a n }的公差不为零,其前n 项和为S n ,若S 3,S 9,S 27成等比数列,则S 9S 3=( )A .3B .6C .9D .12C [法一:设等差数列{a n }的公差为d ,因为S 3,S 9,S 27成等比数列,所以S 29=S 3S 27,即⎝⎛⎭⎫9a 1+9×82d 2=⎝⎛⎭⎫3a 1+3×22d ⎝⎛⎭⎫27a 1+27×262d ,(a 1+4d )2=(a 1+d )(a 1+13d ),d 2=2a 1d ,因为d ≠0,所以d =2a 1,则S 9S 3=9a 1+9×82d3a 1+3×22d=81a 19a 1=9,故选C .法二:设等差数列{a n }的公差为d ,因为S 3,S 9,S 27成等比数列,所以S 29=S 3S 27,即⎣⎢⎡⎦⎥⎤(a 1+a 9)×922=(a 1+a 3)×32×(a 1+a 27)×272,(a 1+a 1+8d )2=(a 1+a 1+2d )(a 1+a 1+26d ),d 2=2a 1d ,因为d ≠0,所以d =2a 1,则S 9S 3=(a 1+a 9)×92(a 1+a 3)×32=3(a 1+a 1+8d )a 1+a 1+2d=54a 16a 1=9,故选C .]6.[多选]已知数列{a n }是各项均为正数的等比数列,{b n }是公差不为0的等差数列,且a 2=b 2,a 8=b 8,则( )A .a 5=b 5B .a 5<b 5C .a 4<b 4D .a 6>b 6BC [设{a n }的公比为q (q >0),{b n }的公差为d (d ≠0).a 5=a 2a 8,b 5=b 2+b 82=a 2+a 82,由基本不等式得a 2a 8≤a 2+a 82,当且仅当a 2=a 8时等号成立.易知数列{b n }不是常数列,故B正确,A 错误.因为a 2·q 6=a 8=b 8=b 2+6d =a 2+6d ,所以d =a 2(q 6-1)6,所以a 4-b 4=a 2q 2-a 2-2d =a 2⎝⎛⎭⎪⎫q 2-1-q 6-13=a 23(3q 2-q 6-2)=a 23(q 2-q 6+2q 2-2)=a 23[](1-q 2)(q 4+q 2-2)=-a 23(1-q 2)2(q 2+2)<0,a 6-b 6=a 2q 4-a 2-4d =a 23(3q 4-1-2q 6)=-a 23(1-q 2)2(2q 2+1)<0.故C 正确,D 错误.故选BC .]7.(2020·惠州第一次调研)设{a n }是公差不为零的等差数列,S n 为其前n 项和.已知S 1,S 2,S 4成等比数列,且a 3=5,则数列{a n }的通项公式为________.2n -1 [法一:设{a n }的公差为d ,d ≠0.因为S 1,S 2,S 4成等比数列,所以S 22=S 1S 4,即(2a 1+d )2=a 1(4a 1+6d ),即d 2=2a 1d ,因为d ≠0,所以d =2a 1,又a 3=a 1+2d =5a 1=5,所以a 1=1,d =2,数列{a n }的通项公式为a n =2n -1.法二:设等差数列{a n }的公差为d (d ≠0),则由S 1,S 2,S 4成等比数列,得S 22=S 1S 4,即(2a 3-3d )2=(a 3-2d )(4a 3-2d ),又a 3=5,所以(10-3d )2=(5-2d )(20-2d ),解得d =2,所以数列{a n }的通项公式为a n =a 3+(n -3)d =2n -1.]命题点2 等差数列、等比数列的性质1.通项性质:若m +n =p +q =2k (m ,n ,p ,q ,k ∈N *),则对于等差数列,有a m +a n =a p +a q =2a k ,对于等比数列有a m a n =a p a q =a 2k. 2.前n 项和的性质:对于等差数列有S m ,S 2m -S m ,S 3m -S 2m ,…成等差数列;对于等比1.(2020·石家庄模拟)已知1,a 1,a 2,3成等差数列,1,b 1,b 2,b 3,4成等比数列,则a 1+a 2b 2的值为( ) A .2 B .-2 C .±2 D .54A [由等差数列的性质知1+3=a 1+a 2=4,由等比数列的性质知b 22=1×4=4,∴b 2=±2,由于等比数列中奇数项符号相同,偶数项符号相同,∴b 2=2,∴a 1+a 2b 2=2,故选A .]2.(2020·西安模拟)等比数列{a n }中,若a n >0,a 2a 4=1,a 1+a 2+a 3=7,则公比q =( ) A .14 B .12C .2D .4B [法一:由题意得q >0,a 1>0,因为⎩⎪⎨⎪⎧ a 2a 4=1,a 1+a 2+a 3=7,所以⎩⎪⎨⎪⎧a 1q ·a 1q 3=1,a 1+a 1q +a 1q 2=7,得⎩⎪⎨⎪⎧a 1=4,q =12,故选B . 法二:由等比数列的性质得a 23=a 2a 4=1,结合a n >0,得a 3=1.由a 1+a 2+a 3=7,得a 3q 2+a 3q +a 3=7,则1q 2+1q =6,结合q >0,得q =12,故选B .] 3.[教材改编]已知等比数列{a n }的前n 项和为S n ,S 4=1,S 8=3,则a 13+a 14+a 15+a 16的值是( )A .8B .15C .18D .20A [法一:根据等比数列的性质,可知S 4,S 8-S 4,S 12-S 8,S 16-S 12仍成等比数列,即1,3-1,S 12-3,S 16-S 12成等比数列,所以S 12-3=4,S 16-S 12=8,所以a 13+a 14+a 15+a 16=8.故选A .法二:设等比数列{a n }的公比为q ,因为S 4=1,S 8=3,所以a 1+a 2+a 3+a 4=1,a 5+a 6+a 7+a 8=2,则q 4=a 5+a 6+a 7+a 8a 1+a 2+a 3+a 4=2,又由a 13+a 14+a 15+a 16a 1+a 2+a 3+a 4=q 12=23=8,得a 13+a 14+a 15+a 16=8.故选A .]4.等差数列{a n }和{b n }的前n 项和分别为S n 与T n ,若对一切自然数n ,都有S n T n =2n3n +1,则a 6b 6等于( ) A .23 B .914 C .2031 D .1117D [S 11T 11=11a 611b 6=a 6b 6=2234=1117.]5.[多选](2020·济南模拟)已知公差为d 的等差数列{a n }的前n 项和为S n ,若存在正整数n 0,对任意正整数m ,Sn 0·Sn 0+m <0恒成立,则下列结论一定成立的是( )A .a 1d <0B .|S n |有最小值C .an 0·an 0+1>0D .an 0+1·an 0+2>0ABD [由Sn 0·Sn 0+m <0知d ≠0,否则Sn 0与Sn 0+m 同号.①当d >0时,易知必须a 1<0(否则Sn 0与Sn 0+m 同号或Sn 0·Sn 0+m =0);②当d <0时,易知必须a 1>0(否则Sn 0与Sn 0+m 同号或Sn 0·Sn 0+m =0),故A 正确.对于选项B ,因为d ≠0,所以等差数列{a n }的前n 项和S n 满足S n =kn 2+bn (k ≠0),又y =kx 2+bx (k ≠0)的图象是抛物线,所以|S n |必有最小值,故B 正确.对于选项C ,D ,例如:数列-1,2,5,…,选项C 不成立.故选ABD .]6.已知函数f (x )=21+x 2(x ∈R ),若等比数列{a n }满足a 1a 2 019=1,则f (a 1)+f (a 2)+f (a 3)+…+f (a 2 019)=________.2 019 [∵a 1a 2 019=1,∴f (a 1)+f (a 2 019)=21+a 21+21+a 22 019=21+a 21+21+1a 21=21+a 21+2a 211+a 21=2, ∵{a n }为等比数列,则a 1a 2 019=a 2a 2 018=…=a 1 009a 1 011=a 21 010=1,∴f (a 2)+f (a 2 018)=2,…,f (a 1 009)+f (a 1 011)=2,f (a 1 010)=1, 即f (a 1)+f (a 2)+f (a 3)+…+f (a 2 019)=2×1 009+1=2 019.]命题点3 等差、等比数列的综合问题解决数列的综合问题的2个失分点(1)公式a n =S n -S n -1适用于所有数列,但易忽略n ≥2这个前提;(2)对含有字母的等比数列求和时要注意q =1或q ≠1的情况,公式S n =a 1(1-q n )1-q 只适用于q ≠1的情况.[高考题型全通关]1.(2020·长春质量监测一)已知数列{a n }为等比数列,S n 为等差数列{b n }的前n 项和,且a 2=1,a 10=16,a 6=b 6,则S 11=( )A .44B .-44C .88D .-88A [法一:设等比数列{a n }的公比为q ,则a 10=a 2q 8,即q 8=16,所以q 4=4,所以a 6=a 2q 4=4,所以b 6=4,所以S 11=11(b 1+b 11)2=11b 6=44,故选A .法二:因为a 26=a 2a 10=16,又等比数列中偶数项的符号相同,所以b 6=a 6=4,所以S 11=11(b 1+b 11)2=11b 6=44,故选A .] 2.已知等差数列{a n }的前n 项和为T n ,a 3=4,T 6=27,数列{b n }满足b n +1=b 1+b 2+b 3+…+b n ,b 1=b 2=1,设c n =a n +b n ,则数列{c n }的前11项和S 11等于( )A .1 062B .2 124C .1 101D .1 100 C [设数列{a n }的公差为d ,则⎩⎪⎨⎪⎧a 1+2d =4,6a 1+15d =27, 解得⎩⎪⎨⎪⎧a 1=2,d =1,∴数列{a n }的通项公式为a n =n +1.当n ≥2时,b n +1-b n =b n , ∴b n +1=2b n ,即数列{b n }从第二项起为等比数列, ∴b n =2n -2(n ≥2), ∴数列{b n }的通项公式为b n =⎩⎪⎨⎪⎧1,n =1,2n -2,n ≥2.分组求和可得数列{c n }的前11项和S 11=(2+3+4+…+12)+(1+1+2+22+…+29)=77+210=1 101.]3.已知公差不为0的等差数列{a n }的首项a 1=3,且a 2,a 4,a 7成等比数列,数列{b n }的前n 项和S n 满足S n =2n (n ∈N *),数列{c n }满足c n =a n b n (n ∈N *),则数列{c n }的前3项和为( )A .31B .34C .62D .59 B [由于a 2,a 4,a 7成等比数列, 故a 24=a 2·a 7, 即(a 1+3d )2=(a 1+d )(a 1+6d ). 由于a 1=3,解得d =1, 故a n =n +2.当n ≥2时,b n =S n -S n -1=2n -2n -1=2n -1, 当n =1时,b 1=S 1=21=2,故b n =⎩⎪⎨⎪⎧2,n =1,2n -1,n ≥2.故c n 的前3项和为a 1b 1+a 2b 2+a 3b 3=3×2+4×2+5×4=34.]4.[多选]已知数列{a n }的所有项都是正数,且满足a 1+a 2+…+a n =n 2+3n (n ∈N *),下列说法正确的是( )A .数列{a n }的通项公式为a n =4(n +1)2B .数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫a n n +1是等差数列C .数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫a n n +1的前n 项和是n (n +3)D .数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫2a n n +1是等比数列ABD [当n =1时,a 1=4,可得a 1=16,当n ≥2时,由a 1+a 2+…+a n -1+a n =n 2+3n ,可得a 1+a 2+…+a n -1=(n -1)2+3(n -1)=n 2+n -2,两式相减得a n =2(n +1),得a n =4(n +1)2,又a 1=16也适合上式,则数列{a n }的通项公式为a n =4(n +1)2(n ∈N *),所以A 正确.因为a n n +1=4(n +1),所以a 12+a 23+…+a nn +1=8+12+…+4(n +1)=(8+4n +4)n 2=2n (n+3),所以C 不正确.结合等差数列、等比数列的定义,显然B ,D 都正确.]5.[一题两空](2020·杭州模拟)已知各项均不相等的数列{a n }满足2a n +1=3a n -a n -1(n ∈N *,n >1),则数列{a n +1-a n }是公比为________的等比数列,若a 2=12,a 8=1128,则a 1=________.121 [法一:因为2a n +1=3a n -a n -1(n ∈N *,n >1),所以2a n +1-2a n =a n -a n -1,则数列{a n +1-a n }(n ∈N *)是公比为12的等比数列,所以a n +1-a n =(a 2-a 1)·⎝⎛⎭⎫12n -1=⎝⎛⎭⎫12-a 1·⎝⎛⎭⎫12n -1,于是a n =(a n -a n -1)+(a n -1-a n -2)+…+(a 2-a 1)+a 1=⎝⎛⎭⎫12-a 1⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝⎛⎭⎫12n -2+⎝⎛⎭⎫12n -3+…+⎝⎛⎭⎫120+a 1=⎝⎛⎭⎫12-a 1·1-⎝⎛⎭⎫12n -11-12+a 1=(1-2a 1)⎣⎢⎡⎦⎥⎤1-⎝⎛⎭⎫12n -1+a 1.因为a 8=1128,所以(1-2a 1)⎣⎢⎡⎦⎥⎤1-⎝⎛⎭⎫127+a 1=1128,解得a 1=1.法二:因为2a n +1=3a n -a n -1(n ∈N *,n >1),所以2a n +1-2a n =a n -a n -1,则数列{a n +1-a n }(n ∈N *)是公比为12的等比数列.令b n =a n +1-a n ,则数列{b n }是公比为12的等比数列,所以a 8-a 1=b 1+b 2+b 3+…+b 7=b 1⎣⎢⎡⎦⎥⎤1-⎝⎛⎭⎫1271-12=12764b 1.因为b 1=a 2-a 1=12-a 1,a 8=1128.所以1128-a 1=12764⎝⎛⎭⎫12-a 1,解得a 1=1.] 命题点4 数列的递推关系由递推关系式求数列的通项公式常用的方法(1)求出数列的前几项,再归纳猜想出数列的一个通项公式(注意验证);(2)将已知递推关系式整理、变形得到等差或等比数列的通项公式,或用累加法(适用于a n +1=a n +f (n )型)、累乘法(适用于a n +1=a n ·f (n )型)、待定系数法(适用于a n +1=pa n +q 型)求通项公式.[高考题型全通关]1.(2020·惠州第二次调研)已知S n 为数列{a n }的前n 项和,S n =1-a n ,则S 5=( ) A .3116 B .312 C .132 D .3132D [n =1时,S 1=1-a 1,得a 1=12,n ≥2时,由⎩⎪⎨⎪⎧S n =1-a n S n -1=1-a n -1得2a n =a n -1,a n a n -1=12,所以{a n }是首项为12,公比为12的等比数列,所以S 5=12⎣⎢⎡⎦⎥⎤1-⎝⎛⎭⎫1251-12=3132,故选D .] 2.[多选]已知数列{a n }满足a 1+a 2+…+a n =2n (n ∈N *),则下列结论中正确的是( ) A .{a n }为等比数列 B .a 5=16C .数列{a n }的前n 项和S n =2nD .{log 2a n +1}为等差数列BCD [由a 1+a 2+…+a n =2n 得S n =2n ,故C 项正确.当n =1时,a 1=2,当n ≥2时,S n -1=2n -1,可得a n =2n -1,所以a n =⎩⎪⎨⎪⎧2,n =1,2n -1,n ≥2,所以数列{a n }不是等比数列,故A 项错误.易知a 5=24=16,故B 项正确.因为log 2a n +1=log 22n =n ,所以易知{log 2a n +1}为等差数列,故D 项正确.]3.[多选]已知数列{a n }的前n 项和为S n ,且有(a 1+a 2+…+a n )a n =(a 1+a 2+…+a n -1)a n+1(n ≥2,n ∈N *),a 1=a 2=1.数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫1log 2S n +1·log 2S n +2的前n 项和为T n ,则以下结论正确的是( )A .a n =1B .S n =2n -1 C .T n =n +1n +3D .{T n }为递增数列BD [由(a 1+a 2+…+a n )a n =(a 1+a 2+…+a n -1)·a n +1,得S n (S n -S n -1)=S n -1(S n +1-S n ),化简得S 2n =S n -1·S n +1,根据等比数列的性质得数列{S n }是等比数列.易知S 1=1,S 2=2,故{S n }的公比为2,则S n =2n -1,S n +1=2n ,S n +2=2n +1,1log 2S n +1·log 2S n +2=1n (n +1)=1n -1n +1.由裂项相消法得T n =1-1n +1=nn +1.故B 正确,C 错误,D 正确.根据S n =2n -1知A 选项错误,故答案为BD .]4.(2020·石家庄模拟)已知等比数列{a n }满足:a 1=4,S n =pa n +1+m (p >0),则p -1m 取最小值时,数列{a n }的通项公式为a n =________.4×3n -1 [∵S n =pa n +1+m ,∴S n -1=pa n +m (n ≥2),∴a n =S n -S n -1=pa n +1-pa n (n ≥2),∴pa n +1=(p +1)a n (n ≥2), ∴a n +1a n =p +1p(n ≥2),又n =1时,a 1=S 1=pa 2+m =4,∴a 2=4-m p ,a 2a 1=4-m 4p.∵{a n }为等比数列,∴a 2a 1=4-m 4p =p +1p ,∵p >0,∴p =-m4,∴m =-4p ,p -1m =p +14p≥2p ×14p=1, 当且仅当p =14p ,即p =12时取等号,此时等比数列的公比p +1p=3,∴a n =4×3n -1.]5.[一题两空](2020·长春质量监测一)已知数列{a n }的前n 项和为S n ,满足a 1=-12,且a n +a n +1=2n 2+2n(n ∈N *),则S 2n =________,a n =________. 2n 2n +1 (-1)n +1n (n +1) [(1)因为a n +a n +1=2n 2+2n =1n -1n +2,所以S 2n =a 1+a 2+a 3+a 4+…+a 2n -1+a 2n =1-13+13-15+…+12n -1-12n +1=1-12n +1=2n 2n +1. (2)因为a n +a n +1=2n 2+2n ,所以a n +1=2n 2+2n-a n .又a 1=-12=11×2-1,所以a 2=23+12=76=12×3+1,a 3=22×4-76=-1112=13×4-1,a 4=23×5+1112=2120=14×5+1,…,归纳可得,a n =(-1)n +1n (n +1).] 6.[一题两空](2020·济南模拟)若数列{a n }的前n 项和为S n ,满足2S n =n (a n +3),且a 2=5,则a n =________,若1a 1,1a l ,1a 7成等差数列,则l =________. 2n +1 2 [由2S n =n (a n +3),得当n ≥2时,2S n -1=(n -1)(a n -1+3),根据a n =S n -S n -1,得2a n =n (a n +3)-(n -1)(a n -1+3),得(n -2)a n -(n -1)a n -1=-3.当n ≥3时,a n n -1-a n -1n -2=-3(n -1)(n -2),即a n n -1-a n -1n -2=3⎝ ⎛⎭⎪⎫1n -1-1n -2,所以a 32-a 21=3⎝⎛⎭⎫12-1,a 43-a 32=3⎝⎛⎭⎫13-12,a 54-a 43=3⎝⎛⎭⎫14-13,…,a n n -1-a n -1n -2=3⎝ ⎛⎭⎪⎫1n -1-1n -2,累加得,a n n -1-a 21=3⎝ ⎛⎭⎪⎫1n -1-1.又a 2=5,所以a n =2n +1(n ≥3),当n =1时,2a 1=a 1+3,得a 1=3,易知a 1=3,a 2=5也适合上式,所以a n =2n +1(n ∈N *),于是1a 1=13,1a l =12l +1,1a 7=115,又1a 1,1a l ,1a 7成等差数列,所以13+115=22l +1,l =2.]。

新高考新教材高考数学二轮复习中低档大题规范练2pptx课件

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+
asin =bsin
2
A ,且a=1.
(1)求角B;
(2)若AC=BC,在△ABC的边AB,AC上分别取D,E两点,使△ADE沿线段DE折
叠到平面BCED后,顶点A正好落在边BC(设为点P)上,求AD的最小值.
1 2 3 4
+
asin
=bsin
2
+
解 (1)因为
A,所以由正弦定理得 sin Asin
1 2 3 4
(1)证明 连接 BD,DF.
π
在△BCD 中,DC=4,BC=2,∠BCD=3,
则 BD =BC +DC
2
2
2
π
π
-2BC·
DC·
cos3=12,可得∠DBC=2,即
BD⊥BC.
同时 AD∥BC,可得 BD⊥AD,同理可得 DF⊥AD.
因为 BD⊥AD,DF⊥AD,且 BD⊂平面 BDF,DF⊂平面 BDF,BD∩DF=D,
2
2
2
63Leabharlann 1 2 3 4(2)因为
π
AC=BC,B= ,所以△ABC
3
为等边三角形,即 AC=BC=AB=1.
设 AD=m,则 BD=1-m,PD=m,
所以在△BPD 中,由余弦定理得 cos
2 +2 -2
B= 2·
=
2 +(1-)2 -2
2·(1-)
整理得 BP2+(1-2m)=BP·
建立空间直角坐标系 D-xyz.其中 A(4,0,0),B(0,2 3,0),F(0,0,2 3),C(-2,2 3,0),
=(-4,0,2 3),=(-4,2 3,0).
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第一部分 层级一 45分的基础送分题练中自检 无须挖潜送分专题(一) 集合与常用逻辑用语[全国卷3年考情分析][题点·考法·全练]1.(2017·全国卷Ⅱ)设集合A ={1,2,4},B ={x |x 2-4x +m =0}.若A ∩B ={1},则B =( )A .{1,-3}B .{1,0}C .{1,3}D .{1,5}解析:选C 因为A ∩B ={1},所以1∈B ,所以1是方程x 2-4x +m =0的根,所以1-4+m =0,m =3,方程为x 2-4x +3=0,解得x =1或x =3,所以B ={1,3}.2.(2018届高三·安徽名校阶段测试)设A ={x |x 2-4x +3≤0},B ={x |ln(3-2x )<0},则图中阴影部分表示的集合为( )A.⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪x <32 B.⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪1<x <32C.⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪1≤x <32 D.⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪32<x ≤3 解析:选B A ={x |x 2-4x +3≤0}={x |1≤x ≤3},B ={x |ln(3-2x )<0}={x |0<3-2x <1}=⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪1<x <32,结合Venn 图知,图中阴影部分表示的集合为A ∩B =⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪1<x <32. 3.(2017·全国卷Ⅲ)已知集合A ={(x ,y )|x 2+y 2=1},B ={(x ,y )|y =x },则A ∩B 中元素的个数为( )A .3B .2C .1D .0解析:选B 因为A 表示圆x 2+y 2=1上的点的集合,B 表示直线y =x 上的点的集合,直线y =x 与圆x 2+y 2=1有两个交点,所以A ∩B 中元素的个数为2.4.已知集合P ={n |n =2k -1,k ∈N *,k ≤50},Q ={2,3,5},则集合T ={xy |x ∈P ,y ∈Q }中元素的个数为( )A .147B .140C .130D .117解析:选B 由题意得,y 的取值一共有3种情况,当y =2时,xy 是偶数,与y =3,y =5时,没有相同的元素,当y =3,x =5,15,25,…,95时,与y =5,x =3,9,15,…,57时有相同的元素,共10个,故所求元素个数为3×50-10=140.5.已知集合A =⎩⎨⎧⎭⎬⎫-1,12,B ={x |mx -1=0,m ∈R},若A ∩B =B ,则所有符合条件的实数m 组成的集合是( )A .{-1,0,2} B.⎩⎨⎧⎭⎬⎫-12,0,1 C .{-1,2}D.⎩⎨⎧⎭⎬⎫-1,0,12解析:选A 因为A ∩B =B ,所以B ⊆A .若B 为∅,则m =0;若B ≠∅,则-m -1=0或12m-1=0,解得m =-1或2.综上,m ∈{-1,0,2}.[准解·快解·悟通][题点·考法·全练]1.(2017·天津高考)设x∈R,则“2-x≥0”是“|x-1|≤1”的( )A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件C.充要条件 D.既不充分也不必要条件解析:选B 由2-x≥0,得x≤2,由|x-1|≤1,得0≤x≤2.∵0≤x≤2⇒x≤2,x≤2⇒/ 0≤x≤2,故“2-x≥0”是“|x-1|≤1”的必要而不充分条件.2.(2017·惠州三调)设函数y=f(x),x∈R,“y=|f(x)|是偶函数”是“y=f(x)的图象关于原点对称”的( )A.充分不必要条件 B.充要条件C.必要不充分条件 D.既不充分也不必要条件解析:选C 设f(x)=x2,y=|f(x)|是偶函数,但是不能推出y=f(x)的图象关于原点对称.反之,若y=f(x)的图象关于原点对称,则y=f(x)是奇函数,这时y=|f(x)|是偶函数,故选C.3.(2017·浙江高考)已知等差数列{a n}的公差为d,前n项和为S n,则“d>0”是“S4+S6>2S5”的( )A.充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件解析:选C 因为{a n}为等差数列,所以S4+S6=4a1+6d+6a1+15d=10a1+21d,2S5=10a1+20d,S4+S6-2S5=d,所以d>0⇔S4+S6>2S5.4.已知“x>k”是“3x+1<1”的充分不必要条件,则k的取值范围是( )A.[2,+∞) B.[1,+∞) C.(2,+∞) D.(-∞,-1]解析:选A 由3x+1<1,可得3x+1-1=-x+2x+1<0,所以x<-1或x>2,因为“x>k”是“3x+1<1”的充分不必要条件,所以k≥2.5.已知条件p:x+y≠-2,条件q:x,y不都是-1,则p是q的( )A.充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充要条件 D.既不充分也不必要条件解析:选A 因为p:x+y≠-2,q:x≠-1或y≠-1,所以綈p:x+y=-2,綈q:x=-1且y=-1,因为綈q⇒綈p但綈p⇒/綈q,所以綈q是綈p的充分不必要条件,即p是q的充分不必要条件.[准解·快解·悟通][题点·考法·全练]1.下列命题中为真命题的是( ) A .命题“若x >1,则x 2>1”的否命题 B .命题“若x >y ,则x >|y |”的逆命题 C .命题“若x =1,则x 2+x -2=0”的否命题 D .命题“若tan x =3,则x =π3”的逆否命题解析:选B 对于选项A ,命题“若x >1,则x 2>1”的否命题为“若x ≤1,则x 2≤1”,易知当x =-2时,x 2=4>1,故选项A 为假命题;对于选项B ,命题“若x >y ,则x >|y |”的逆命题为“若x >|y |,则x >y ”,分析可知选项B 为真命题;对于选项C ,命题“若x =1,则x 2+x -2=0”的否命题为“若x ≠1,则x 2+x -2≠0”,易知当x =-2时,x 2+x -2=0,故选项C 为假命题;对于选项D ,命题“若tan x =3,则x =π3”为假命题,故其逆否命题为假命题,综上可知,选B.2.(2015·全国卷Ⅰ)设命题p :∃n ∈N ,n 2>2n,则綈p 为( ) A .∀n ∈N ,n 2>2nB .∃n ∈N ,n 2≤2nC .∀n ∈N ,n 2≤2nD .∃n ∈N ,n 2=2n解析:选C 因为“∃x ∈M ,p (x )”的否定是“∀x ∈M ,綈p (x )”,所以命题“∃n ∈N ,n 2>2n ”的否定是“∀n ∈N ,n 2≤2n ”.3.(2017·山东高考)已知命题p :∀x >0,ln(x +1)>0;命题q :若a >b ,则a 2>b 2.下列命题为真命题的是( )A .p ∧qB .p ∧綈qC .綈p ∧qD .綈p ∧綈q解析:选B 当x >0时,x +1>1,因此ln(x +1)>0,即p 为真命题;取a =1,b =-2,这时满足a >b ,显然a 2>b 2不成立,因此q 为假命题.由复合命题的真假性,知B 为真命题.[准解·快解·悟通][专题过关检测]一、选择题1.(2016·全国卷Ⅱ)已知集合A={1,2,3},B={x|(x+1)·(x-2)<0,x∈Z},则A ∪B=( )A.{1} B.{1,2}C.{0,1,2,3} D.{-1,0,1,2,3}解析:选C 因为B={x|(x+1)(x-2)<0,x∈Z}={x|-1<x<2,x∈Z}={0,1},A={1,2,3},所以A∪B={0,1,2,3}.2.(2017·成都一诊)命题“若a>b,则a+c>b+c”的否命题是( )A.若a≤b,则a+c≤b+c B.若a+c≤b+c,则a≤bC.若a+c>b+c,则a>b D.若a>b,则a+c≤b+c解析:选A 命题的否命题是将原命题的条件和结论均否定,所以题中命题的否命题为“若a≤b,则a+c≤b+c”.3.(2017·广西三市第一次联考)设集合A={x|8+2x-x2>0},集合B={x|x=2n-1,n∈N*},则A∩B等于( )A.{-1,1} B.{-1,3}C.{1,3} D.{3,1,-1}解析:选C ∵A={x|-2<x<4},B={1,3,5,…},∴A∩B={1,3}.4.(2017·郑州第二次质量预测)已知集合A ={x |log 2x ≤1},B =⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪1x>1,则A ∩(∁RB )=( )A .(-∞,2]B .(0,1]C .[1,2]D .(2,+∞)解析:选C 因为A ={x |0<x ≤2},B ={x |0<x <1},所以A ∩(∁R B )={x |0<x ≤2}∩{x |x ≤0或x ≥1}={x |1≤x ≤2}.5.(2017·北京高考)设m ,n 为非零向量,则“存在负数λ,使得m =λn ”是“m ·n <0”的( )A .充分而不必要条件B .必要而不充分条件C .充分必要条件D .既不充分也不必要条件解析:选A ∵m =λn ,∴m ·n =λn ·n =λ|n |2. ∴当λ<0,n ≠0时,m ·n <0.反之,由m ·n =|m ||n |cos 〈m ,n 〉<0⇔cos 〈m ,n 〉<0⇔〈m ,n 〉∈⎝ ⎛⎦⎥⎤π2,π, 当〈m ,n 〉∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π2,π时,m ,n 不共线.故“存在负数λ,使得m =λn ”是“m ·n <0”的充分而不必要条件.6.(2018届高三·湘中名校联考)已知集合A ={x |x 2-11x -12<0},B ={x |x =2(3n +1),n ∈Z},则A ∩B 等于( )A .{2}B .{2,8}C .{4,10}D .{2,4,8,10}解析:选B 因为集合A ={x |x 2-11x -12<0}={x |-1<x <12},集合B 为被6整除余数为2的数.又集合A 中的整数有0,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,故被6整除余数为2的数有2和8,所以A ∩B ={2,8}.7.(2017·石家庄调研)设全集U =R ,集合A ={x |x ≥1},B ={x |(x +2)(x -1)<0},则( )A .A ∩B =∅ B .A ∪B =UC .∁U B ⊆AD .∁U A ⊆B解析:选A 由(x +2)(x -1)<0,解得-2<x <1,所以B ={x |-2<x <1},则A ∩B =∅,A ∪B ={x |x >-2},∁U B ={x |x ≥1或x ≤-2},A ⊆∁U B ,∁U A ={x |x <1},B ⊆∁U A ,故选A.8.若x ∈A ,则1x ∈A ,就称A 是伙伴关系集合,集合M =⎩⎨⎧⎭⎬⎫-1,0,13,12,1,2,3,4的所有非空子集中,具有伙伴关系的集合的个数为( )A .15B .16C .28D .25解析:选A 本题关键看清-1和1本身也具备这种运算,这样所求集合即由-1,1,3和13,2和12这“四大”元素所能组成的集合.所以满足条件的集合的个数为24-1=15. 9.(2017·郑州第一次质量预测)已知命题p :1a >14,命题q :∀x ∈R ,ax 2+ax +1>0,则p 成立是q 成立的( )A .充分不必要条件B .必要不充分条件C .充要条件D .既不充分也不必要条件解析:选A 命题p 等价于0<a <4.命题q ,对∀x ∈R ,ax 2+ax +1>0,必有a =0或⎩⎪⎨⎪⎧a >0,a 2-4a <0,则0≤a <4,所以命题p 是命题q 的充分不必要条件.10.已知f (x )=3sin x -πx ,命题p :∀x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0,π2,f (x )<0,则( )A .p 是假命题,綈p :∀x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0,π2,f (x )≥0B .p 是假命题,綈p :∃x 0∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0,π2,f (x 0)≥0C .p 是真命题,綈p :∃x 0∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0,π2,f (x 0)≥0D .p 是真命题,綈p :∀x ∈⎝⎛⎭⎪⎫0,π2,f (x )>0 解析:选C 因为f ′(x )=3cos x -π,所以当x ∈⎝⎛⎭⎪⎫0,π2时,f ′(x )<0,函数f (x )单调递减,即对∀x ∈⎝⎛⎭⎪⎫0,π2,f (x )<f (0)=0恒成立,所以p 是真命题.而p 的否定为∃x 0∈⎝⎛⎭⎪⎫0,π2,f (x 0)≥0,故选C.11.已知命题p :函数f (x )=2ax 2-x -1在(0,1)内恰有一个零点;命题q :函数y =x2-a在(0,+∞)上是减函数.若p 且綈q 为真命题,则实数a 的取值范围是( ) A .(1,+∞) B .(-∞,2]C .(1,2]D .(-∞,1]∪(2,+∞)解析:选C 由题意可得,对命题p ,令f (0)·f (1)<0,即-1·(2a -2)<0,得a >1;对命题q ,令2-a <0,即a >2,则綈q 对应的a 的范围是(-∞,2].因为p 且綈q 为真命题,所以实数a 的取值范围是(1,2].12.在下列结论中,正确的个数是( )①命题p :“∃x 0∈R ,x 20-2≥0”的否定形式为綈p :“∀x ∈R ,x 2-2<0”;②O 是△ABC 所在平面上一点,若OA ―→·OB ―→=OB ―→·OC ―→=OC ―→·OA ―→,则O 是△ABC 的垂心;③“M >N ”是“⎝ ⎛⎭⎪⎫23M >⎝ ⎛⎭⎪⎫23N”的充分不必要条件;④命题“若x 2-3x -4=0,则x =4”的逆否命题为“若x ≠4,则x 2-3x -4≠0”. A .1 B .2 C .3D .4解析:选C 由特称(存在性)命题与全称命题的关系可知①正确. ∵OA ―→·OB ―→=OB ―→·OC ―→,∴OB ―→·(OA ―→-OC ―→)=0,即OB ―→·CA ―→=0, ∴OB ―→⊥CA ―→.同理可知OA ―→⊥BC ―→,OC ―→⊥BA ―→,故点O 是△ABC 的垂心,∴②正确.∵y =⎝ ⎛⎭⎪⎫23x是减函数,∴当M >N 时,⎝ ⎛⎭⎪⎫23M <⎝ ⎛⎭⎪⎫23N ,当⎝ ⎛⎭⎪⎫23M >⎝ ⎛⎭⎪⎫23N 时,M <N . ∴“M >N ”是“⎝ ⎛⎭⎪⎫23M >⎝ ⎛⎭⎪⎫23N”的既不充分也不必要条件,∴③错误.由逆否命题的写法可知,④正确. ∴正确的结论有3个. 二、填空题13.设命题p :∀a >0,a ≠1,函数f (x )=a x-x -a 有零点,则綈p :________________________.解析:全称命题的否定为特称(存在性)命题,綈p :∃a 0>0,a 0≠1,函数f (x )=a x0-x -a 0没有零点.答案:∃a 0>0,a 0≠1,函数f (x )=a x0-x -a 0没有零点14.设全集U ={(x ,y )|x ∈R ,y ∈R},集合M =⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ,y ⎪⎪⎪y -3x -2=1,P ={(x ,y )|y ≠x +1},则∁U (M ∪P )=________.解析:集合M ={(x ,y )|y =x +1,且x ≠2,y ≠3}, 所以M ∪P ={(x ,y )|x ∈R ,y ∈R ,且x ≠2,y ≠3}. 则∁U (M ∪P )={(2,3)}. 答案:{(2,3)}15.已知命题p:不等式xx-1<0的解集为{x|0<x<1};命题q:在△ABC中,“A>B”是“sin A>sin B”成立的必要不充分条件.有下列四个结论:①p真q假;②“p∧q”为真;③“p∨q”为真;④p假q真,其中正确结论的序号是________.解析:解不等式知,命题p是真命题,在△ABC中,“A>B”是“sin A>sin B”的充要条件,所以命题q是假命题,所以①③正确.答案:①③16.a,b,c为三个人,命题A:“如果b的年龄不是最大,那么a的年龄最小”和命题B:“如果c不是年龄最小,那么a的年龄最大”都是真命题,则a,b,c的年龄由小到大依次是________.解析:显然命题A和B的原命题的结论是矛盾的,因此我们应该从它们的逆否命题来看.由命题A可知,当b不是最大时,则a是最小,所以c最大,即c>b>a;而它的逆否命题也为真,即“若a的年龄不是最小,则b的年龄是最大”为真,即b>a>c.同理,由命题B为真可得a>c>b或b>a>c.故由A与B均为真可知b>a>c,所以a,b,c三人的年龄大小顺序是:b最大,a次之,c最小.答案:c,a,b送分专题(二) 函数的图象与性质[全国卷3年考情分析][题点·考法·全练]1.(2017·广州综合测试)已知函数f (x )=⎩⎪⎨⎪⎧2x +1,x ≤0,1-log 2x ,x >0,则f (f (-3))=( ) A.43B .23C .-43D .3解析:选D 因为f (-3)=2-2=14,所以f (f (-3))=f ⎝ ⎛⎭⎪⎫14=1-log 214=3. 2.函数y =1-x22x 2-3x -2的定义域为( )A .(-∞,1]B .[-1,1]C .[1,2)∪(2,+∞)D.⎣⎢⎡⎭⎪⎫-1,-12∪⎝ ⎛⎦⎥⎤-12,1 解析:选D 要使函数y =1-x22x 2-3x -2有意义,则⎩⎪⎨⎪⎧1-x 2≥0,2x 2-3x -2≠0,解得⎩⎪⎨⎪⎧-1≤x ≤1,x ≠2且x ≠-12,即-1≤x ≤1且x ≠-12,所以该函数的定义域为⎣⎢⎡⎭⎪⎫-1,-12∪⎝ ⎛⎦⎥⎤-12,1. 3.(2017·全国卷Ⅲ)设函数f (x )=⎩⎪⎨⎪⎧x +1,x ≤0,2x,x >0,则满足f (x )+f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x -12>1的x 的取值范围是________.解析:由题意知,可对不等式分x ≤0,0<x ≤12,x >12讨论.当x ≤0时,原不等式为x +1+x +12>1,解得x >-14,∴-14<x ≤0.当0<x ≤12时,原不等式为2x+x +12>1,显然成立.当x >12时,原不等式为2x+2x -12>1,显然成立.综上可知,x 的取值范围是⎝ ⎛⎭⎪⎫-14,+∞.答案:⎝ ⎛⎭⎪⎫-14,+∞4.若函数f (x )=(x +a )(bx +2a )(常数a ,b ∈R)是偶函数,且它的值域为(-∞,2],则该函数的解析式为________.解析:由题意知:a ≠0,f (x )=(x +a )(bx +2a )=bx 2+(2a +ab )x +2a 2是偶函数,则其图象关于y 轴对称,所以2a +ab =0,b =-2.所以f (x )=-2x 2+2a 2,因为它的值域为(-∞,2],所以2a 2=2.所以f (x )=-2x 2+2.答案:f (x )=-2x 2+2 5.已知函数f (x )=⎩⎪⎨⎪⎧-2a x +3a ,x <1,2x -1,x ≥1的值域为R ,则实数a 的取值范围是________.解析:当x ≥1时,f (x )=2x -1≥1,∵函数f (x )=⎩⎪⎨⎪⎧-2a x +3a ,x <1,2x -1,x ≥1的值域为R ,∴当x <1时,y =(1-2a )x +3a 必须取遍(-∞,1]内的所有实数,则⎩⎪⎨⎪⎧1-2a >0,1-2a +3a ≥1,解得0≤a <12.答案:⎣⎢⎡⎭⎪⎫0,12 [准解·快解·悟通][题点·考法·全练]1.(2018届高三·安徽名校阶段性测试)函数y =x 2ln|x ||x |的图象大致是( )解析:选D 易知函数y =x 2ln|x ||x |是偶函数,可排除B ,当x >0时,y =x ln x ,y ′=lnx +1,令y ′>0,得x >e -1,所以当x >0时,函数在(e -1,+∞)上单调递增,结合图象可知D 正确,故选D.2.已知函数f (x -1)是定义在R 上的奇函数,且在[0,+∞)上是增函数,则函数f (x )的图象可能是( )解析:选B 函数f (x -1)的图象向左平移1个单位,即可得到函数f (x )的图象,因为函数f (x -1)是定义在R 上的奇函数,所以函数f (x -1)的图象关于原点对称,所以函数f (x )的图象关于点(-1,0)对称,排除A 、C 、D ,选B.3.设函数f (x )=⎩⎪⎨⎪⎧m +x 2,|x |≥1,x ,|x |<1的图象过点(1,1),函数g (x )是二次函数,若函数f (g (x ))的值域是[0,+∞),则函数g (x )的值域是( )A .(-∞,-1]∪[1,+∞)B .(-∞,-1]∪[0,+∞)C .[0,+∞)D .[1,+∞)解析:选C 因为函数f (x )=⎩⎪⎨⎪⎧m +x 2,|x |≥1,x ,|x |<1的图象过点(1,1),所以m +1=1,解得m =0,所以f (x )=⎩⎪⎨⎪⎧x 2,|x |≥1,x ,|x |<1.画出函数y =f (x )的图象(如图所示),由于函数g (x )是二次函数,值域不会是选项A 、B ,易知,当g (x )的值域是[0,+∞)时,f (g (x ))的值域是[0,+∞).[准解·快解·悟通][题点·考法·全练]1.下列函数中,满足“∀x 1,x 2∈(0,+∞),且x 1≠x 2,(x 1-x 2)[f (x 1)-f (x 2)]<0”的是( )A .f (x )=1x-xB .f (x )=x 3C .f (x )=ln xD .f (x )=2x解析:选A “∀x 1,x 2∈(0,+∞),且x 1≠x 2,(x 1-x 2)·[f (x 1)-f (x 2)]<0”等价于f (x )在(0,+∞)上为减函数,易判断f (x )=1x-x 满足条件.2.(2017·广西三市第一次联考)已知f (x )是定义在R 上的偶函数,且在区间(-∞,0]上单调递增,若实数a 满足f (2log 3a )>f (-2),则a 的取值范围是( )A .(-∞,3)B .(0,3)C .(3,+∞)D .(1,3)解析:选B ∵f (x )是定义在R 上的偶函数,且在区间(-∞,0]上单调递增,∴f (x )在区间[0,+∞)上单调递减.根据函数的对称性,可得f (-2)=f (2),∴f (2log 3a )>f (2).∵2log 3a >0,f (x )在区间[0,+∞)上单调递减,∴0<2log 3a <2⇒log 3a <12⇒0<a < 3.3.(2017·山东高考)已知f (x )是定义在R 上的偶函数,且f (x +4)=f (x -2).若当x ∈[-3,0]时,f (x )=6-x,则f (919)=________.解析:∵f (x +4)=f (x -2),∴f (x +6)=f (x ), ∴f (x )的周期为6,∵919=153×6+1,∴f (919)=f (1).又f (x )为偶函数,∴f (919)=f (1)=f (-1)=6. 答案:64.(2017·福建普通高中质量检测)已知函数f (x )=x 2(2x -2-x),则不等式f (2x +1)+f (1)≥0的解集是________.解析:因为f (-x )=(-x )2(2-x-2x )=-x 2(2x -2-x)=-f (x ),所以函数f (x )是奇函数.不等式f (2x +1)+f (1)≥0等价于f (2x +1)≥f (-1).易知,当x >0时,函数f (x )为增函数,所以函数f (x )在R 上为增函数,所以f (2x +1)≥f (-1)等价于2x +1≥-1,解得x ≥-1.答案:{x |x ≥-1}[准解·快解·悟通]1.掌握判断函数单调性的常用方法数形结合法、结论法(“增+增”得增、“减+减”得减及复合函数的“同增异减”)、定义法和导数法. 2.熟知函数奇偶性的3个特点(1)奇函数的图象关于原点对称,偶函数的图象关于y 轴对称.(2)确定函数的奇偶性,务必先判断函数的定义域是否关于原点对称. (3)对于偶函数而言,有f (-x )=f (x )=f (|x |). 3.记牢函数周期性的3个常用结论 对f (x )定义域内任一自变量的值x : (1)若f (x +a )=-f (x ),则T =2a ; (2)若f (x +a )=1f x,则T =2a ; (3)若f (x +a )=-1f x,则T =2a .(a >0)[专题过关检测]一、选择题 1.函数f (x )=1x -1+x 的定义域为( ) A .[0,+∞) B .(1,+∞) C .[0,1)∪(1,+∞)D .[0,1)解析:选C 由题意知⎩⎪⎨⎪⎧x -1≠0,x ≥0,∴f (x )的定义域为[0,1)∪(1,+∞).2.下列函数中,既是偶函数又在区间(0,+∞)上单调递增的是( ) A .y =1xB .y =|x |-1C .y =lg xD .y =⎝ ⎛⎭⎪⎫12|x |解析:选B A 中函数y =1x不是偶函数且在(0,+∞)上单调递减,故A 错误;B 中函数满足题意,故B 正确;C 中函数不是偶函数,故C 错误;D 中函数不满足在(0,+∞)上单调递增,故选B.3.已知函数f (x )=2×4x-a 2x的图象关于原点对称,g (x )=ln(e x+1)-bx 是偶函数,则log a b =( )A .1B .-1C .-12D .14解析:选B 由题意得f (0)=0,∴a =2.∵g (1)=g (-1),∴ln(e +1)-b =ln ⎝ ⎛⎭⎪⎫1e +1+b , ∴b =12,∴log 212=-1.4.若函数f (x )=⎩⎪⎨⎪⎧ax +b ,x <-1,x +a ,x ≥-1的图象如图所示,则f (-3)等于( )A .-12B .-54C .-1D .-2解析:选 C 由图象可得a (-1)+b =3,ln(-1+a )=0,∴a =2,b =5,∴f (x )=⎩⎪⎨⎪⎧2x +5,x <-1,x +,x ≥-1,故f (-3)=2×(-3)+5=-1.5.已知函数f (x )的定义域为(-∞,+∞),若f (x +2 017)=⎩⎨⎧2sin x ,x ≥0,-x ,x <0,则f ⎝⎛⎭⎪⎫2 017+π4·f (-7 983)=( )A .2 016 B.14C .4 D.12 016解析:选C 由题意得,f ⎝⎛⎭⎪⎫2 017+π4=2sin π4=1, f (-7 983)=f (2 017-10 000)=lg 10 000=4,∴f ⎝⎛⎭⎪⎫2 017+π4·f (-7 983)=4.6.函数y =sin xx,x ∈(-π,0)∪(0,π)的图象大致是( )解析:选A 函数y =sin x x,x ∈(-π,0)∪(0,π)为偶函数,所以图象关于y 轴对称,排除B 、C ,又当x 趋近于π时,y =sin x x趋近于0,故选A.7.(2016·山东高考)已知函数f (x )的定义域为R.当x <0时,f (x )=x 3-1;当-1≤x ≤1时,f (-x )=-f (x );当x >12时,f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x +12=f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x -12,则f (6)=( )A .-2B .-1C .0D .2解析:选D 由题意知,当x >12时,f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x +12=fx -12,则f (x +1)=f (x ).又当-1≤x ≤1时,f (-x )=-f (x ), ∴f (6)=f (1)=-f (-1). 又当x <0时,f (x )=x 3-1, ∴f (-1)=-2,∴f (6)=2.8.如图,动点P 在正方体ABCD ­A 1B 1C 1D 1的体对角线BD 1上.过点P 作垂直于平面BB 1D 1D 的直线,与正方体的表面相交于M ,N 两点.设BP =x ,MN =y ,则函数y =f (x )的图象大致是( )解析:选B 设正方体的棱长为1,显然,当P 移动到体对角线BD 1的中点E 时,函数y =MN =AC =2取得唯一的最大值,所以排除A 、C ;当P 在BE 上时,分别过M ,N ,P 作底面的垂线,垂足分别为M 1,N 1,P 1,则y =MN =M 1N 1=2BP 1=2x cos ∠D 1BD =263x ,是一次函数,所以排除D.故选B.9.(2017·贵阳模拟)定义新运算⊕:当a ≥b 时,a ⊕b =a ;当a <b 时,a ⊕b =b 2,则函数f (x )=(1⊕x )x -(2⊕x ),x ∈[-2,2]的最大值等于( )A .-1B .1C .6D .12解析:选C 由已知得当-2≤x ≤1时,f (x )=x -2, 当1<x ≤2时,f (x )=x 3-2.∵f (x )=x -2,f (x )=x 3-2在定义域内都为增函数. ∴f (x )的最大值为f (2)=23-2=6. 10.函数f (x )=ax +bx +c 2的图象如图所示,则下列结论成立的是( )A .a >0,b >0,c <0B .a <0,b >0,c >0C .a <0,b >0,c <0D .a <0,b <0,c <0 解析:选C ∵f (x )=ax +bx +c 2的图象与x 轴,y 轴分别交于N ,M ,且点M 的纵坐标与点N 的横坐标均为正,∴x =-b a >0,y =b c2>0,故a <0,b >0,又函数图象间断点的横坐标为正,∴-c >0,c <0,故选C.11.定义在R 上的函数f (x )对任意0<x 2<x 1都有f x 1-f x 2x 1-x 2<1,且函数y =f (x )的图象关于原点对称,若f (2)=2,则不等式f (x )-x >0的解集是( )A .(-2,0)∪(0,2)B .(-∞,-2)∪(2,+∞)C .(-∞,-2)∪(0,2)D .(-2,0)∪(2,+∞)解析:选 C (转化法)由f x 1-f x 2x 1-x 2<1,可得[f x 1-x 1]-[f x 2-x 2]x 1-x 2<0.令F (x )=f (x )-x ,由题意知F (x )在(-∞,0),(0,+∞)上是减函数,且是奇函数,F (2)=0,F (-2)=0,所以结合图象,令F (x )>0,得x <-2或0<x <2.12.已知函数f (x )=2x -1,g (x )=1-x 2,规定:当|f (x )|≥g (x )时,h (x )=|f (x )|;当|f (x )|<g (x )时,h (x )=-g (x ),则h (x )( )A .有最小值-1,最大值1B .有最大值1,无最小值C .有最小值-1,无最大值D .有最大值-1,无最小值解析:选C 作出函数g (x )=1-x 2和函数|f (x )|=|2x-1|的图象如图①所示,得到函数h (x )的图象如图②所示,由图象得函数h (x )有最小值-1,无最大值.二、填空题13.函数f (x )=ln 1|x |+1的值域是________.解析:因为|x |≥0,所以|x |+1≥1. 所以0<1|x |+1≤1.所以ln 1|x |+1≤0,即f (x )=ln 1|x |+1的值域为(-∞,0].答案:(-∞,0]14.(2018届高三·安徽名校阶段性测试)已知f (x )是定义在R 上的奇函数,且当x <0时,f (x )=2x,则f (log 49)=________.解析:因为log 49=log 23>0,又f (x )是定义在R 上的奇函数,且当x <0时,f (x )=2x,所以f (log 49)=f (log 23)=-2-log 23=-2log 213=-13.答案:-1315.若当x ∈(1,2)时,函数y =(x -1)2的图象始终在函数y =log a x 的图象的下方,则实数a 的取值范围是________.解析:如图,在同一平面直角坐标系中画出函数y =(x -1)2和y =log a x 的图象,由于当x ∈(1,2)时,函数y =(x -1)2的图象恒在函数y=log a x 的图象的下方,则⎩⎪⎨⎪⎧a >1,log a 2≥1,解得1<a ≤2.答案:(1,2]16.(2017·惠州三调)已知定义在R 上的函数y =f (x )满足条件f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x +32=-f (x ),且函数y =f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x -34为奇函数,给出以下四个命题: ①函数f (x )是周期函数;②函数f (x )的图象关于点⎝ ⎛⎭⎪⎫-34,0对称; ③函数f (x )为R 上的偶函数; ④函数f (x )为R 上的单调函数.其中真命题的序号为____________.解析:f (x +3)=f ⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫x +32+32=-f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x +32=f (x ),所以f (x )是周期为3的周期函数,①正确;函数f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x -34是奇函数,其图象关于点(0,0)对称,则f (x )的图象关于点⎝ ⎛⎭⎪⎫-34,0对称,②正确;因为f (x )的图象关于点⎝ ⎛⎭⎪⎫-34,0对称,-34=-x +⎝ ⎛⎭⎪⎫-32+x 2,所以f (-x )=-f ⎝⎛⎭⎪⎫-32+x ,又f ⎝ ⎛⎭⎪⎫-32+x =-f ⎝ ⎛⎭⎪⎫-32+x +32=-f (x ),所以f (-x )=f (x ),③正确; f (x )是周期函数在R 上不可能是单调函数,④错误.故真命题的序号为①②③. 答案:①②③送分专题(三) 平面向量[全国卷3年考情分析][题点·考法·全练]1.(2017·贵州适应性考试)已知向量e 1与e 2不共线,且向量AB ―→=e 1+me 2,AC ―→=ne 1+e 2,若A ,B ,C 三点共线,则实数m ,n 满足的条件是( )A .mn =1B .mn =-1C .m +n =1D .m +n =-1解析:选A 法一:因为A ,B ,C 三点共线,所以一定存在一个确定的实数λ,使得AB―→=λAC ―→,所以有e 1+me 2=n λe 1+λe 2,由此可得⎩⎪⎨⎪⎧1=n λ,m =λ,所以mn =1.法二:因为A ,B ,C 三点共线,所以必有1n =m1,所以mn =1.2.如图所示,下列结论正确的是( )①PQ ―→=32a +32b ;②PT ―→=32a -b ;③PS ―→=32a -12b ;④PR ―→=32a +b .A .①②B .③④C .①③D .②④解析:选C ①根据向量的加法法则,得PQ ―→=32a +32b ,故①正确;②根据向量的减法法则,得PT ―→=32a -32b ,故②错误;③PS ―→=PQ ―→+QS ―→=32a +32b -2b =32a -12b ,故③正确;④PR ―→=PQ ―→+QR ―→=32a +32b -b =32a +12b ,故④错误.故正确命题的结论为①③.3.已知平面内不共线的四点O ,A ,B ,C ,若OA ―→-3OB ―→+2OC ―→=0,则|AB ―→||BC ―→|=________.解析:由已知得OA ―→-OB ―→=2(OB ―→-OC ―→),即BA ―→=2CB ―→, ∴|BA ―→|=2|CB ―→|,∴|AB ―→||BC ―→|=2.答案:24.已知e 1,e 2是不共线向量,a =me 1+2e 2,b =ne 1-e 2,且mn ≠0,若a ∥b ,则m n等于________.解析:∵a ∥b ,∴a =λb ,即me 1+2e 2=λ(ne 1-e 2),则⎩⎪⎨⎪⎧λn =m ,-λ=2,解得mn=-2.答案:-2[准解·快解·悟通][题点·考法·全练]1.已知向量m =(t +1,1),n =(t +2,2),若(m +n )⊥(m -n ),则t =( ) A .0 B .-3 C .3D .-1解析:选B 法一:由(m +n )⊥(m -n )可得(m +n )·(m -n )=0,即m 2=n 2,故(t +1)2+1=(t +2)2+4,解得t =-3.法二:m +n =(2t +3,3),m -n =(-1,-1),∵(m +n )⊥(m -n ),∴-(2t +3)-3=0,解得t =-3.2.(2017·洛阳统考)已知向量a =(1,0),|b |=2,a 与b 的夹角为45°,若c =a +b ,d =a -b ,则c 在d 方向上的投影为( )A.55B .-55C .1D .-1解析:选 D 依题意得|a |=1,a ·b =1×2×cos 45°=1,|d |=a -b2=a 2+b 2-2a ·b =1,c ·d =a 2-b 2=-1,因此c 在d 方向上的投影等于c ·d|d |=-1.3.已知向量a =(2,1),b =(1,k ),且a 与b 的夹角为锐角,则实数k 的取值范围是( ) A.⎝⎛⎭⎪⎫-2,12B.⎝ ⎛⎭⎪⎫-2,12∪⎝ ⎛⎭⎪⎫12,+∞C .(-2,+∞)D .[-2,+∞)解析:选B 当a ,b 共线时,2k -1=0,k =12,此时a ,b 方向相同,夹角为0,所以要使a 与b 的夹角为锐角,则有a·b >0且a ,b 不共线.由a·b =2+k >0得k >-2,又k ≠12,即实数k 的取值范围是⎝ ⎛⎭⎪⎫-2,12∪⎝ ⎛⎭⎪⎫12,+∞,选B. 4.(2017·全国卷Ⅰ)已知向量a ,b 的夹角为60°,|a |=2,|b |=1,则|a +2b |=________.解析:法一:易知|a +2b |=|a |2+4a ·b +4|b |2=4+4×2×1×12+4=2 3.法二:(数形结合法)由|a |=|2b |=2,知以a 与2b 为邻边可作出边长为2的菱形OACB ,如图,则|a +2b |=|OC ―→|.又∠AOB =60°,所以|a +2b |=2 3.答案:2 35.(2017·山东高考)已知e 1,e 2是互相垂直的单位向量.若3e 1-e 2与e 1+λe 2的夹角为60°,则实数λ的值是________.解析:因为3e 1-e 2e 1+λe 2|3e 1-e 2|·|e 1+λe 2|=3-λ21+λ2, 故3-λ21+λ2=12,解得λ=33. 答案:33[准解·快解·悟通][题点·考法·全练]1.在△ABC 中,∠ABC =90°,AB =6,点D 在边AC 上,且2AD ―→=DC ―→,则BA ―→·BD ―→的值是( )A .48B .24C .12D .6解析:选B 法一:由题意得,BA ―→·BC ―→=0,BA ―→·CA ―→=BA ―→·(BA ―→-BC ―→)=|BA ―→|2=36,∴BA ―→·BD ―→=BA ―→·(BC ―→+CD ―→)=BA ―→·⎝ ⎛⎭⎪⎫BC ―→+23 CA ―→ =0+23×36=24.法二:(特例法)若△ABC 为等腰直角三角形,建立如图所示的平面直角坐标系,则A (6,0),C (0,6).由2AD ―→=DC ―→,得D (4,2). ∴BA ―→·BD ―→=(6,0)·(4,2)=24.2.如图所示,已知点G 是△ABC 的重心,过点G 作直线与AB ,AC 两边分别交于M ,N 两点,且AM ―→=x AB ―→,AN ―→=y AC ―→,则x +2y 的最小值为( )A .2 B.13 C.3+223D.34解析:选C 由已知可得AG ―→=23×12(AB ―→+AC ―→)=13AB ―→+13AC ―→=13x AM ―→+13yAN ―→,又M ,G ,N 三点共线,故13x +13y =1,∴1x +1y =3,则x +2y =(x +2y )·⎝ ⎛⎭⎪⎫1x +1y ·13=13⎝ ⎛⎭⎪⎫3+2y x +x y ≥3+223(当且仅当x =2y 时取等号).3.(2017·全国卷Ⅱ)已知△ABC 是边长为2的等边三角形,P 为平面ABC 内一点,则PA ―→·(PB ―→+PC ―→)的最小值是( )A .-2B .-32C .-43D .-1解析:选B 如图,以等边三角形ABC 的底边BC 所在直线为x 轴,以BC 的垂直平分线为y 轴建立平面直角坐标系,则A (0,3),B (-1,0),C (1,0),设P (x ,y ),则PA ―→=(-x, 3-y ),PB ―→=(-1-x ,-y ),PC ―→=(1-x ,-y ),所以PA ―→·(PB ―→+PC ―→)=(-x ,3-y )·(-2x ,-2y )=2x 2+2⎝ ⎛⎭⎪⎫y -322-32,当x =0,y =32时,PA ―→·(PB ―→+PC ―→)取得最小值,为-32. 4.如图,已知△ABC 中,∠BAC =90°,∠B =30°,点P 在线段BC 上运动,且满足CP ―→=λCB ―→,当PA ―→·PC ―→取到最小值时,λ的值为( )A.14 B.15 C.16D.18解析:选 D 如图所示,建立平面直角坐标系.不妨设BC =4,P (x,0)(0≤x ≤4),则A (3,3),C (4,0),∴PA ―→·PC ―→=(3-x ,3)·(4-x,0)=(3-x )(4-x )=x 2-7x +12=⎝ ⎛⎭⎪⎫x -722-14.当x =72时,PA ―→·PC ―→取得最小值-14.∵CP ―→=λCB ―→,∴⎝ ⎛⎭⎪⎫-12,0=λ(-4,0),∴-4λ=-12,解得λ=18.故选D.5.如图,在平行四边形ABCD 中,已知AB =8,AD =5,CP ―→=3PD ―→,AP ―→·BP ―→=2,则AB ―→·AD ―→的值是________.解析:因为AP ―→=AD ―→+DP ―→=AD ―→+14AB ―→,BP ―→=BC ―→+CP ―→=AD ―→-34AB ―→,所以AP ―→·BP ―→=⎝ ⎛⎭⎪⎫AD ―→+14AB ―→·⎝ ⎛⎭⎪⎫AD ―→-34AB ―→=|AD ―→|2-316|AB ―→|2-12AD ―→·AB ―→=2,将AB =8,AD =5代入解得AB ―→·AD ―→=22. 答案:22[准解·快解·悟通][专题过关检测] 一、选择题1.设a =(1,2),b =(1,1),c =a +kb .若b ⊥c ,则实数k 的值等于( ) A .-32B .-53C.53D .32解析:选A 因为c =a +kb =(1+k,2+k ),又b ⊥c ,所以1×(1+k )+1×(2+k )=0,解得k =-32.2.(2017·贵州适应性考试)已知向量a =(2,4),b =(-1,1),c =(2,3),若a +λb 与c 共线,则实数λ=( )A.25 B .-25C.35D .-35解析:选B 法一:a +λb =(2-λ,4+λ),c =(2,3),因为a +λb 与c 共线,所以必定存在唯一实数μ,使得a +λb =μc ,所以⎩⎪⎨⎪⎧2-λ=2μ,4+λ=3μ,解得⎩⎪⎨⎪⎧μ=65,λ=-25.法二:a +λb =(2-λ,4+λ),c =(2,3),由a +λb 与c 共线可知2-λ2=4+λ3,解得λ=-25.3.(2018届高三·云南11校跨区调研)已知平面向量a 与b 的夹角为45°,a =(1,1),|b |=2,则|3a +b |等于( )A .13+6 2B .2 5 C.30D .34解析:选D 依题意得a 2=2,a ·b =2×2×cos 45°=2,|3a +b |=a +b2=9a 2+6a ·b +b 2=18+12+4=34.4.在等腰梯形ABCD 中,AB ―→=-2CD ―→CD ―→,M 为BC 的中点,则AM ―→=( ) A.12AB ―→+12AD ―→ B.34AB ―→+12AD ―→ C.34AB ―→+14AD ―→ D.12AB ―→+34AD ―→ 解析:选B 因为AB ―→=-2CD ―→,所以AB ―→=2DC ―→.又M 是BC 的中点,所以AM ―→=12(AB―→+AC ―→)=12(AB ―→+AD ―→+DC ―→)=12⎝ ⎛⎭⎪⎫AB ―→+AD ―→+12AB ―→=34AB ―→+12AD ―→.5.(2017·成都二诊)已知平面向量a ,b 的夹角为π3,且|a |=1,|b |=12,则a +2b与b 的夹角是( )66C.π4D.3π4解析:选A 法一:因为|a +2b |2=|a |2+4|b |2+4a ·b =1+1+4×1×12×cos π3=3,所以|a +2b |=3,又(a +2b )·b =a ·b +2|b |2=1×12×cos π3+2×14=14+12=34,所以cos 〈a +2b ,b 〉=a +2b b|a +2b ||b |=343×12=32, 所以a +2b 与b 的夹角为π6.法二:(特例法)设a =(1,0),b =⎝ ⎛⎭⎪⎫12cos π3,12sin π3=⎝ ⎛⎭⎪⎫14,34,则(a +2b )·b =⎝ ⎛⎭⎪⎫32,32·⎝ ⎛⎭⎪⎫14,34=34,|a +2b |= ⎝ ⎛⎭⎪⎫322+⎝ ⎛⎭⎪⎫322=3,所以cos 〈a +2b ,b 〉=a +2b b|a +2b ||b |=343×12=32,所以a +2b 与b 的夹角为π6. 6.已知点A (-1,1),B (1,2),C (-2,-1),D (3,4),则向量AB ―→在CD ―→方向上的投影为( )A.322B .3152C .-322D .-3152解析:选A 由题意知AB ―→=(2,1),CD ―→=(5,5),则AB ―→在CD ―→方向上的投影为|AB ―→|·cos〈AB ―→,CD ―→〉=AB ―→·CD ―→|CD ―→|=322.7.(2017·安徽二校联考)在边长为1的正三角形ABC 中,D ,E 是边BC 的两个三等分点(D 靠近点B ),则AD ―→·AE ―→等于( )A.16B.29183解析:选C 法一:因为D ,E 是边BC 的两个三等分点,所以BD =DE =CE =13,在△ABD 中,AD 2=BD 2+AB 2-2BD ·AB ·cos 60°=⎝ ⎛⎭⎪⎫132+12-2×13×1×12=79,即AD =73,同理可得AE =73, 在△ADE 中,由余弦定理得cos ∠DAE =AD 2+AE 2-DE 22AD ·AE=79+79-⎝ ⎛⎭⎪⎫1322×73×73=1314, 所以AD ―→·AE ―→=|AD ―→|·|AE ―→|cos ∠DAE =73×73×1314=1318. 法二:如图,建立平面直角坐标系,由正三角形的性质易得A ⎝ ⎛⎭⎪⎫0,32,D ⎝ ⎛⎭⎪⎫-16,0,E ⎝ ⎛⎭⎪⎫16,0,所以AD ―→=⎝ ⎛⎭⎪⎫-16,-32,AE ―→=⎝ ⎛⎭⎪⎫16,-32,所以AD ―→·AE ―→=⎝ ⎛⎭⎪⎫-16,-32·⎝ ⎛⎭⎪⎫16,-32=-136+34=1318. 8.(2017·东北四市模拟)已知向量OA ―→=(3,1),OB ―→=(-1,3),OC ―→=m OA ―→-n OB ―→(m >0,n >0),若m +n =1,则|OC ―→|的最小值为( )A.52B.102C. 5D.10解析:选C 由OA ―→=(3,1),OB ―→=(-1,3),得OC ―→=m OA ―→-n OB ―→=(3m +n ,m -3n ),因为m +n =1(m >0,n >0),所以n =1-m 且0<m <1,所以OC ―→=(1+2m,4m -3),则|OC ―→|=+2m2+m -2=20m 2-20m +10=20⎝ ⎛⎭⎪⎫m -122+5(0<m <1), 所以当m =12时,|OC ―→|min = 5.9.已知向量m ,n 的模分别为2,2,且m ,n 的夹角为45°.在△ABC 中,AB ―→=2m +2n ,AC ―→=2m -6n ,BC ―→=2BD ―→,则|AD ―→|=( )A .2B .2 2C .4D .8解析:选B 因为BC ―→=2BD ―→,所以点D 为边BC 的中点,所以AD ―→=12(AB ―→+AC ―→)=2m-2n ,所以|AD ―→|=2|m -n |=2m -n2=2 2+4-2×2×2×22=2 2. 10.(2018届高三·湘中名校联考)若点P 是△ABC 的外心,且PA ―→+PB ―→+λPC ―→=0,C =120°,则实数λ的值为( )A.12 B .-12C .-1D .1解析:选C 设AB 中点为D ,则PA ―→+PB ―→=2PD ―→PD ―→. 因为PA ―→+PB ―→+λPC ―→=0,所以2PD ―→+λPC ―→=0,所以向量PD ―→,PC ―→共线. 又P 是△ABC 的外心,所以PA =PB , 所以PD ⊥AB ,所以CD ⊥AB .因为∠ACB =120°,所以∠APB =120°, 所以四边形APBC 是菱形, 从而PA ―→+PB ―→=2PD ―→=PC ―→,所以2PD ―→+λPC ―→=PC ―→+λPC ―→=0,所以λ=-1.11.已知Rt △AOB 的面积为1,O 为直角顶点,设向量a =OA―→|OA ―→|,b =OB ―→|OB ―→|,OP ―→=a+2b ,则PA ―→·PB ―→的最大值为( )A .1B .2C .3D .4解析:选A 如图,设A (m,0),B (0,n ),∴mn =2,则a =(1,0),b =(0,1),OP ―→=a +2b =(1,2),PA ―→=(m -1,-2),PB ―→=(-1,n -2),PA ―→·PB ―→=5-(m +2n )≤5-22nm =1,当且仅当m =2n ,即m =2,n =1时,等号成立.12.已知△ABC 是边长为1的等边三角形,点D ,E 分别是边AB ,BC 的中点,连接DE 并延长到点F ,使得DE =2EF ,则AF ―→·BC ―→的值为( )A .-58B.18 C.14D.118解析:选B 如图所示, AF ―→=AD ―→+DF ―→.又D ,E 分别为AB ,BC 的中点, 且DE =2EF ,所以AD ―→=12AB ―→,DF ―→=12AC ―→+14AC ―→=34AC ―→,所以AF ―→=12AB ―→+34AC ―→.又BC ―→=AC ―→-AB ―→,则AF ―→·BC ―→=⎝ ⎛⎭⎪⎫12AB ―→+34AC ―→·(AC ―→-AB ―→)=12AB ―→·AC ―→-12AB ―→2+34AC ―→2-34AC ―→·AB ―→=34AC ―→2-12AB ―→2-14AC ―→·AB ―→. 又|AB ―→|=|AC ―→|=1,∠BAC =60°, 故AF ―→·BC ―→=34-12-14×1×1×12=18.二、填空题13.在△ABC 中,点O 在线段BC 的延长线上,且||BO ―→=3||CO―→,当AO ―→=x AB ―→+y AC ―→时,则x -y =________.解析:∵AO ―→=AB ―→+BO ―→=AB ―→+32BC ―→=AB ―→+32(AC ―→-AB ―→)=-12AB ―→+32AC ―→,∴x-y =-2.答案:-214.已知a ,b 是非零向量,f (x )=(ax +b )·(bx -a )的图象是一条直线,|a +b |=2,|a |=1,则f (x )=________.解析:由f (x )=a ·bx 2-(a 2-b 2)x -a ·b 的图象是一条直线,可得a ·b =0.因为|a +b |=2,所以a 2+b 2=4.因为|a |=1,所以a 2=1,b 2=3,所以f (x )=2x . 答案:2x15.(2017·天津高考)在△ABC 中,∠A =60°,AB =3,AC =2.若BD ―→=2DC ―→,AE ―→=λAC ―→-AB ―→ (λ∈R),且AD ―→·AE ―→=-4,则λ的值为________.解析:法一:AD ―→=AB ―→+BD ―→=AB ―→+23BC ―→=AB ―→+23(AC ―→-AB ―→)=13AB ―→+23AC ―→.又AB ―→·AC ―→=3×2×12=3,所以AD ―→·AE ―→=⎝ ⎛⎭⎪⎫13AB ―→+23AC ―→·(-AB ―→+λAC ―→)=-13AB ―→2+⎝ ⎛⎭⎪⎫13λ-23AB ―→·AC ―→+23λAC ―→2=-3+3⎝ ⎛⎭⎪⎫13λ-23+23λ×4=113λ-5=-4,解得λ=311.法二:以点A 为坐标原点,AB ―→的方向为x 轴正方向,建立平面直角坐标系,不妨假设点C 在第一象限,则A (0,0),B (3,0),C (1,3). 由BD ―→=2DC ―→,得D ⎝ ⎛⎭⎪⎫53,233,由AE ―→=λAC ―→-AB ―→,得E (λ-3,3λ),则AD ―→·AE ―→=⎝ ⎛⎭⎪⎫53,233·(λ-3,3λ)=53(λ-3)+233×3λ=113λ-5=-4,。

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