2011年南安市初中毕业班质量检查数学压轴题(含答案)

25 (13分) 在平面直角坐标系中，把矩形OABC 的边OA 、OC

分别放在x 轴和y 轴的正半轴上，已知OA 32=，OC 2=． （1）直接写出A 、B 、C 三点的坐标； （2）将矩形OABC 绕点O 逆时针旋转x °，得到矩形OA 1B 1C 1， 其中点A 的对应点为点A 1．

①当900<

③当点B 1落在y 轴正半轴上时（如图3），设BC 与OA 1交于点P ，求过点P 的反比例函数的解析式； 并探索：该反比例函数的图象是否经过矩形OABC 的对称中心？请说明理由．

26.（13分）如图，在直角坐标系中，抛物线c x x y ++-=22与y 轴交于点D （0，3）． （1）直接写出c 的值；

（2）若抛物线与x 轴交于A 、B 两点（点B 在点A 的右边），顶点为C 点，求直线BC 的解析式；

（3）已知点P 是直线BC 上一个动点，

①当点P 在线段BC 上运动时（点P 不与B 、C 重合），过点P 作PE ⊥y 轴，垂足为E ，连结BE ．设点P 的坐标为（y x ,），△PBE 的面积为s ，求s 与x 的函数关系式，写出自变量x 的取值范围，并求出s 的最大值； ②试探索：在直线BC 上是否存在着点P ，使得以点P 为圆心，半径为r 的⊙P ，既与抛物线的对称轴相切，又与以点C 为圆心，半径为1的⊙C 相切？如果存在，试求r 的值，并直接写出点P 的坐标；如果不存在，请说明理由．

25．解：（本小题13分）

（1）A(0,32)，B(2,32)，C(0,2)．…………（3分）

（2）①x 的值为30或75（答对一个得1分）…………（5分）

②由题意得：11C OA OAC ∆≅∆． ∴11C OA OAC ∠=∠．……………（6分）

∴O A OC C OA A OC OAC 90111111=∠+∠=∠+∠， ∴0

1

90=∠ADC

，∴11C A AD ⊥．…………（8分）

③在11B OA Rt ∆中，

,2,32111====AB B A OA OA

∴30,3

33

22tan 1111=∠∴=

=

∠OB A OB A °

……（9分） 在OCP Rt ∆中，3

323

32tan =

⋅

=∠⋅=COP OC CP

∴)2,3

32(

P ．………………………（10分）

设反比例函数为k y x

=

，把)2,3

32(

P 代入，得3

34=

k ，即x

y 334=

．…（11分）

设矩形OABC 的对角线OB 、AC 相交于点Q ，则Q 是矩形OABC 的对称中心，且点Q 的坐标为)1,3(．……………………（12分）

把3=x 代入x

y 334=，得13

4≠=y ．

∴反比例函数的图象不经过矩形OABC 的对称中心．……………………（13分） 26．解：（本小题13分） （1）3=c ．……………………………（2分） （2）由（1）知抛物线为：

4)1(322

2+--=++-=x y ，x x y 配方得

∴顶点C 坐标为（1，4） ……………………………（3分）

令3,1021=-==x x y 得 ∴ B （3，0）……………………（4分） 设直线BC 解析式为：y kx b =+（0k ≠），把B 、C 两点坐标代入，

得304.k b k b +=⎧⎨+=⎩

， 解得26k b =-=，．

∴直线BC 解析式为26y x =-+．……………………（5分） （3）①∵点P （x ，y ）在62+-=x y 的图象上， ∴PE x =，OE 62+-=x ……………………（6分） ∴2

1=

s PE·OE x x x x 3)62(2

12

+-=+-=

∴23(13)s x x x =-+<<………………（7分） 2

299

39

344

24

s x x x ⎛

⎫⎛

⎫=--++=--+ ⎪

⎪

⎝

⎭⎝

⎭． 2

3=

x 符合31<

∴当2

3=x 时，s 取得最大值，最大值为

4

9．……（8分）

② 答：存在．

如图，设抛物线的对称轴交x 轴于点F ，则CF=4，BF=2. 过P 作PQ ⊥CF 于Q ，则Rt △CPQ ∽Rt △CBF ∴

2

4

r CQ ，BF

PQ CF

CQ =

=即

∴CQ=2r……………（9分）

当⊙P 与⊙C 外切时，CP 1+=r ．

2

2

222

2

)1()2(,+=+∴=+r r

r CP PQ

CQ

解得4

5

1(,4

5

1-=

+=

r r 舍去）．……………（10分）

此时)2

59,453(),257,455(

21+--+

P P ．……………………（11分） 当⊙P 与⊙C 内切时，CP 1-=r ．

2

2

222

2

)1()2(,-=+∴=+r r

r CP PQ

CQ

．

解得4

5

1(,45

1-

-=

+

-=

r r 舍去）．……………………（12分）

此时)25

7,455(),259,453(

43+--+

P P ． ∴当4

5

1,4

5121+

-=

+

=

r r 时，⊙P 与⊙C 相切．

点P 的坐标为)2

5

9,453(),257,455(

21+--+

P P ， )2

5

7,455(),259,453(

43+--+

P P ．……………………（13分） （点P 的坐标只写1个不得分，写出2个或3个得1分，写出4个得2分）