2019年人教版理数高考一轮复习 第8章 第2节 两条直线的位置关系

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2019年高三一轮总复习理科数学课件:8-2两条直线的位置关系

2019年高三一轮总复习理科数学课件:8-2两条直线的位置关系

无公共点
(3)若方程组有无数组解,则 l1 与 l2 重合.
3.几种距离 (1)两点距离
2 2 x - x + y - y 2 1 2 1 两点 P1(x1,y1),P2(x2,y2)之间的距离|P1P2|=______________________.
(2)点线距离
|Ax0+By0+C| 2 2 A + B 点 P0(x0,y0)到直线 l:Ax+By+C=0(A、B 不同时为 0)的距离 d=___________.
1.能根据两条直 线斜率判定这 两条直线平行 或垂直或相交 两直 . 线 2.能用解方程组
2
基础自主梳理
「基础知识填一填」 1.两条直线位置关系的判定
斜截式 直线 方程 相交 垂直 y=k1x+b1 y=k2x+b2 k1≠k2
k1k2=-1 __________
一般式 A1x+1≠0 A1A2+B1B2=0
A n-b × - =-1, m-a B a+m b+n A· +B· +C=0. 2 2
直线与直线的对称问题可转化为点与直线的对称问
题.
「基础小题练一练」 1.直线 2x+y+m=0 和 x+2y+n=0 的位置关系是( A.平行 C.相交但不垂直 B.垂直 D.不能确定 )
1 将其代入 x+by=0,得 b=- . 2
1 答案:- 2
4.已知坐标平面内两点 A(x, 2-x)和 值是________.
B
2 ,0,那么这两点之间距离的最小 2
解析:由题意可得两点间的距离 d=
x-
2 2 2 + 2 - x = 2
(3)线线距离 |C1-C2| 两平行直线 Ax+By+C1=0 与 Ax+By+C2=0 间的距离 d= 2 2. A +B

2019届高考数学一轮复习第八章解析几何第二节两条直线的位置关系课件理

2019届高考数学一轮复习第八章解析几何第二节两条直线的位置关系课件理
∥l2⇔ k1=k2 . ②当直线 l1,l2 不重合且斜率都不存在时,l1∥l2. (2)两条直线垂直: ①如果两条直线 l1,l2 的斜率存在,设为 k1,k2,则有 l1⊥l2 ⇔ k1·k2=-1 . ②当其中一条直线的斜率不存在,而另一条直线的斜率为 0 时,l1
⊥l2.
2.两条直线的交点的求法
直线 l1:A1x+B1y+C1=0,l2:A2x+B2y+C2=0,则 l1 与 l2
的交点坐标就是方程组AA12xx+ +BB12yy+ +CC12= =00, 的解.
3.三种距离公式
P1(x1,y1),P2(x2,y2)两点之间 的距离
|P1P2|=
x2-x12+y2-y12
5.已知直线 3x+4y-3=0 与直线 6x+my+14=0 平行,则 它们之间的距离是________.
解析:∵63=m4 ≠-143,∴m=8,直线 6x+my+14=0 可化 为 3x+4y+7=0,两平行线之间的距离 d=|-332+-472|=2. 答案:2
课 堂 考点突破
练透基点,研通难点,备考不留死角
3.已知两直线 l1:mx+8y+n=0 和 l2:2x+my-1=0,试确 定 m,n 的值,使 (1)l1 与 l2 相交于点 P(m,-1); (2)l1∥l2; (3)l1⊥l2,且 l1 在 y 轴上的截距为-1. 解:(1)由题意得m2m2--8m+-n1==00,,
解得mn==71., 即 m=1,n=7 时,l1 与 l2 相交于点 P(m,-1).
[怎样快解·准解]
1.解题要“前思后想” 解决两直线平行与垂直的参数问题一定要“前思后想”
考点一 两条直线的位置关系
[考什么·怎么考]
两条不同直线的位置关系有平行、相交垂直是其 中一种特殊情况两种情况,要求能根据直线方程判断 两条直线的位置关系,利用两条直线平行、垂直求其 中一条直线的方程或参数的取值范围,多以选择题、 填空题的形式命题,难度较易,属于基础题.

新高考数学人教版一轮学案第八章第二节 两直线的位置关系

新高考数学人教版一轮学案第八章第二节 两直线的位置关系

第二节 两直线的位置关系热点命题分析学科核心素养本节内容单独考查较少,多与其他知识交汇考查.常涉及充要条件、直线与圆锥曲线的位置关系等内容,多为选择题.通过两直线的位置关系、对称问题的考查,提升数学运算核心素养.授课提示:对应学生用书第152页 知识点一 两直线的位置关系 1.两条直线平行与垂直的判定 (1)两条直线平行对于两条不重合的直线l 1,l 2,其斜率分别为k 1,k 2,则有l 1∥l 2⇔k 1=k 2.特别地,当直线l 1,l 2的斜率都不存在时,l 1与l 2平行. (2)两条直线垂直如果两条直线l 1,l 2斜率都存在,设为k 1,k 2,则l 1⊥l 2⇔k 1·k 2=-1,当一条直线斜率为零,另一条直线斜率不存在时,两条直线垂直. 2.两直线相交直线l 1:A 1x +B 1y +C 1=0和l 2:A 2x +B 2y +C 2=0的公共点的坐标与方程组⎩⎪⎨⎪⎧A 1x +B 1y +C 1=0,A 2x +B 2y +C 2=0的解一一对应. 相交⇔方程组有唯一解,交点坐标就是方程组的解; 平行⇔方程组无解; 重合⇔方程组有无数个解. • 温馨提醒 •两条直线平行时,不要忘记它们的斜率有可能不存在的情况;两条直线垂直时,不要忘记一条直线的斜率不存在、另一条直线的斜率为零的情况.1.已知过点A (-2,m )和B (m,4)的直线与直线2x +y -1=0平行,则实数m 的值为( ) A .0 B .-8 C .2 D .10答案:B2.已知P (-2,m ),Q (m,4),且直线PQ 垂直于直线x +y +1=0,则m =( ) A .1B .2C .3D .4答案:A3.(易错题)直线2x +(m +1)y +4=0与直线mx +3y -2=0平行,则m =( ) A .2 B .-3 C .2或-3 D .3答案:C知识点二 距离公式 1.两点间的距离公式平面上任意两点P 1(x 1,y 1),P 2(x 2,y 2)间的距离公式为|P 1P 2|=(x 2-x 1)2+(y 2-y 1)2. 特别地,原点O (0,0)与任一点P (x ,y )的距离|OP |=x 2+y 2. 2.点到直线的距离公式平面上任意一点P 0(x 0,y 0)到直线l :Ax +By +C =0的距离d =|Ax 0+By 0+C |A 2+B 2.3.两条平行线间的距离公式一般地,两条平行直线l 1:Ax +By +C 1=0,l 2:Ax +By +C 2=0间的距离d =|C 1-C 2|A 2+B 2.• 温馨提醒 •运用两平行直线间的距离公式时易忽视两方程中的x ,y 的系数分别相等这一条件,盲目套用公式导致出错.1.已知点(a,2)(a >0)到直线l :x -y +3=0的距离为1,则a =( ) A.2-1 B .2+1 C .2- 2 D .2+2 答案:A2.直线2x +2y +1=0,x +y +2=0之间的距离是( ) A.423B .324C.233 D .334答案:B授课提示:对应学生用书第153页题型一 两直线的位置关系 自主探究1.(2021·济南模拟)“m=3”是“直线l1:2(m+1)x+(m-3)y+7-5m=0与直线l2:(m-3)x +2y-5=0垂直”的()A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件答案:A2.(2021·衡水中学一调)直线l1:(3+a)x+4y=5-3a和直线l2:2x+(5+a)y=8平行,则a=()A.-7或-1B.-7 C.7或1 D.-1 答案:B3.(2021·洛阳统一考试)已知b>0,直线(b2+1)x+ay+2=0与直线x-b2y-1=0垂直,则ab 的最小值为()A.1 B.2 C.2 2 D.2 3 答案:B两直线位置关系的三种判断方法方法平行垂直适合题型化成斜截式k1=k2,且b1≠b2k1k2=-1斜率存在一般式设直线l1:A1x+B1y+C1=0,l2:A2x+B2y+C2=0,l1∥l2⇔A1B2-A2B1=0,且B1C2-B2C1≠0设直线l1:A1x+B1y+C1=0,l2:A2x+B2y+C2=0,l1⊥l2⇔A1A2+B1B2=0无限制直接法k1与k2都不存在,且b1≠b2k1与k2中一个不存在,另一个为零k不存在题型二距离问题自主探究1.(2020·高考全国卷Ⅲ)点(0,-1)到直线y=k(x+1)距离的最大值为()A .1B . 2 C. 3 D .2答案:B2.过点P (3,-1)引直线,使点A (2,-3),B (4,5)到它的距离相等,则这条直线的方程为( ) A .x =3 B .4x -y -13=0 C .4x +y +13=0 D .x =3或4x -y -13=0 答案:D3.(2021·厦门模拟)若两平行直线3x -2y -1=0,6x +ay +c =0之间的距离为21313,则c 的值是( ) A .2 B .-2 C .2或-6 D .6答案:C4.(2021·广州模拟)已知点P (4,a )到直线4x -3y -1=0的距离不大于3,则a 的取值范围是( ) A .[0,10] B .(0,10) C .[0,5] D .[5,10] 答案:A距离问题的常见题型及解题策略(1)求两点间的距离.关键是确定两点的坐标,然后代入公式即可.(2)解决与点到直线的距离有关的问题.应熟记点到直线的距离公式,若已知点到直线的距离求直线方程,一般考虑待定斜率法,此时必须讨论斜率是否存在.(3)求两条平行线间的距离.要先将直线方程中x ,y 的对应项系数转化成相等的形式,再利用距离公式求解.也可以转化成点到直线的距离问题.题型三 对称问题 多维探究对称问题是高考常考内容之一,也是考查转化能力的一种常见题型.常见的命题角度有:(1)点关于点对称;(2)点关于线对称;(3)线关于线对称.考法(一) 点关于点对称[例1] 过点P (0,1)作直线l 使它被直线l 1:2x +y -8=0和l 2:x -3y +10=0截得的线段被点P 平分,则直线l 的方程为________. [解析] 设l 1与l 的交点为A (a,8-2a ),则由题意知,点A 关于点P 的对称点B (-a,2a -6)在l 2上,把B 点坐标代入l 2的方程得-a -3(2a -6)+10=0,解得a =4,即点A (4,0)在直线l 上,所以由两点式得直线l 的方程为:x +4y -4=0. [答案] x +4y -4=0点P (x ,y )关于O (a ,b )的对称点P ′(x ′,y ′)满足⎩⎪⎨⎪⎧x ′=2a -x ,y ′=2b -y .考法(二) 点关于线对称[例2] (2021·长沙一调)已知入射光线经过点M (-3,4),被直线l :x -y +3=0反射,反射光线经过点N (2,6),则反射光线所在直线的方程为________.[解析] 设点M (-3,4)关于直线l :x -y +3=0的对称点为M ′(a ,b ),则反射光线所在直线过点M ′,所以⎩⎪⎨⎪⎧b -4a -(-3)·1=-1,-3+a 2-b +42+3=0,解得⎩⎪⎨⎪⎧a =1,b =0.又反射光线经过点N (2,6),所以所求直线的方程为y -06-0=x -12-1,即6x -y -6=0.[答案] 6x -y -6=0解决点关于直线对称的问题要把握两点,点M 与点N 关于直线l 对称,则线段MN 的中点在直线l 上,直线l 与直线MN 垂直. 考法(三) 线关于线对称[例3] 已知直线l :x -y -1=0,l 1:2x -yl 2与l 1关于l 对称,则l 2的方程是( ) A .x -2y +1=0 B .x -2y-1=0 C .x +y -1=0 D .x +2y -1=0 [答案] B线关于线的对称的求解方法(1)若直线与对称轴平行,则在直线上取一点,求出该点关于轴的对称点,然后用点斜式求解. (2)若直线与对称轴相交,则先求出交点,然后再取直线上一点,求该点关于轴对称的对称点,最后由两点式求解.[对点训练]已知直线l :2x -3y +1=0,点A (-1,-2).求: (1)点A 关于直线l 的对称点A ′的坐标;(2)直线m :3x -2y -6=0关于直线l 的对称直线m ′的方程; (3)直线l 关于点A (-1,-2)对称的直线l ′的方程. 解析:(1)设A ′(x ,y ), 由已知得⎩⎪⎨⎪⎧y +2x +1×23=-1,2×x -12-3×y -22+1=0,解得⎩⎨⎧x =-3313,y =413.所以A ′⎝⎛⎭⎫-3313,413.(2)在直线m 上取一点,如M (2,0),则M (2,0)关于直线l 的对称点M ′必在直线m ′上. 设M ′(a ,b ),则⎩⎪⎨⎪⎧2×a +22-3×b +02+1=0,b -0a -2×23=-1.解得M ′⎝⎛⎭⎫613,3013.设直线m 与直线l 的交点为N ,则由⎩⎪⎨⎪⎧2x -3y +1=0,3x -2y -6=0,得N (4,3).又因为m ′经过点N (4,3),所以由两点式得直线m ′的方程为9x -46y +102=0.(3)设P (x ,y )为l ′上任意一点,则P (x ,y )关于点A (-1,-2)的对称点为P ′(-2-x ,-4-y ),因为P ′在直线l 上,所以2(-2-x )-3(-4-y )+1=0,即2x -3y -9=0.两直线位置关系应用中的核心素养数学运算——直线系方程的应用 1.平行直线系由于两直线平行,它们的斜率相等或它们的斜率都不存在,因此两直线平行时,它们的一次项系数与常数项有必然的联系.[例1] 求与直线3x +4y +5=0平行且过点(2,3)的直线l 的方程. [答案] 3x +4y -18=0先设与直线Ax +By +C =0平行的直线系方程为Ax +By +C 1=0(C 1≠C ),再由其他条件求C 1. 2.垂直直线系由于直线A 1x +B 1y +C 1=0与A 2x +B 2y +C 2=0垂直的充要条件为A 1A 2+B 1B 2=0,因此,当两直线垂直时,它们的一次项系数有必然的联系,可以考虑用直线系方程求解. [例2] 求经过A (2,4),且与直线2x +y -1=0垂直的直线l 的方程. [答案] x -2y +6=0先设与直线Ax +By +C =0垂直的直线系方程为Bx -Ay +C 1=0,再由其他条件求出C 1. 3.过直线交点的直线系[例3] 过直线x +2y +1=0与直线2x -y +1=0的交点,且在两坐标轴上的截距相等的直线方程为________.[解析] 设所求直线方程为x +2y +1+λ(2x -y +1)=0,当直线过原点时,1+λ=0得,λ=-1,此时所求直线方程为x -3y =0;当直线不过原点时,令x =0,得y =λ+1λ-2,令y =0,得x =-λ+12λ+1.由题意得λ+1λ-2=-λ+12λ+1,解得λ=13或λ=-1(舍).此时所求直线方程为5x +5y +4=0.综上所述,所求直线方程为x -3y =0或5x +5y +4=0. [答案] x -3y =0或5x +5y +4=0过直线l 1:A 1x +B 1y +C 1=0与直线l 2:A 2x +B 2y +C 2=0交点的直线系方程为A 1x +B 1y +C 1+λ(A 2x +B 2y +C 2)=0(λ为参数),其中不包括直线l 2. 4.过定点的直线系[例4] 直线(m -1)x -(m +3)y -(m -11)=0(m 为常数)恒过定点的坐标为________. [答案] ⎝⎛⎭⎫72,521.过定点(x0,y0)的直线系方程为y-y0=k(x-x0)(k为直线的斜率)或A(x-x0)+B(y-y0)=0(A、B不同时为0).2.求直线系过定点问题的常用方法恒等式法:将直线方程化为参数的恒等式形式,利用参数取值的任意性,得关于x,y的方程组求出定点坐标.特殊直线法:给出任意两个参数值,得到两条直线,求其交点即为定点.[题组突破]1.与直线x-2y+3=0平行,且与两坐标轴围成的三角形的面积为4的直线方程是________.答案:x-2y±4=02.直线mx+y-m-1=0(m为参数)经过定点的坐标为________.答案:(1,1)3.过直线x-2y+4=0和直线x+y-2=0的交点,且与直线3x-4y+5=0垂直的直线方程为________.答案:4x+3y-6=0。

高考数学统考一轮复习第8章平面解析几何第2节两条直线的位置关系教师用书教案理新人教版

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两条直线的位置关系[考试要求] 1.能根据两条直线的斜率判断这两条直线平行或垂直. 2.能用解方程组的方法求两条相交直线的交点坐标.3.掌握两点间的距离公式、点到直线的距离公式,会求两平行直线间的距离.1.两条直线平行与垂直的判定 (1)两条直线平行①对于两条不重合的直线l 1,l 2,若其斜率分别为k 1,k 2,则有l 1∥l 2⇔k 1=k 2. ②当直线l 1,l 2不重合且斜率都不存在时,l 1∥l 2. (2)两条直线垂直①如果两条直线l 1,l 2的斜率存在,设为k 1,k 2,则有l 1⊥l 2⇔k 1·k 2=-1. ②当其中一条直线的斜率不存在,而另一条直线的斜率为0时,l 1⊥l 2. 2.两条直线的交点的求法直线l 1:A 1x +B 1y +C 1=0,l 2:A 2x +B 2y +C 2=0(A 1,B 1,C 1,A 2,B 2,C 2为常数),则l 1与l 2的交点坐标就是方程组⎩⎪⎨⎪⎧A 1x +B 1y +C 1=0,A 2x +B 2y +C 2=0的解.3.三种距离公式(1)平面上的两点P 1(x 1,y 1),P 2(x 2,y 2)间的距离公式|P 1P 2|=(x 1-x 2)2+(y 1-y 2)2. 特别地,原点O (0,0)与任一点P (x ,y )的距离|OP |=x 2+y 2. (2)点P (x 0,y 0)到直线l :Ax +By +C =0的距离d =|Ax 0+By 0+C |A 2+B 2.(3)两条平行线Ax +By +C 1=0与Ax +By +C 2=0间的距离d =|C 1-C 2|A 2+B 2.[常用结论]直线系方程的常见类型(1)过定点P (x 0,y 0)的直线系方程是:y -y 0=k (x -x 0)(k 是参数,直线系中未包括直线x =x 0),也就是平常所提到的直线的点斜式方程;(2)平行于已知直线Ax +By +C =0的直线系方程是:Ax +By +λ=0(λ是参数且λ≠C ); (3)垂直于已知直线Ax +By +C =0的直线系方程是:Bx -Ay +λ=0(λ是参数); (4)过两条已知直线l 1:A 1x +B 1y +C 1=0和l 2:A 2x +B 2y +C 2=0的交点的直线系方程是:A 1x +B 1y +C 1+λ(A 2x +B 2y +C 2)=0(λ∈R ,但不包括l 2).一、易错易误辨析(正确的打“√”,错误的打“×”) (1)当直线l 1和l 2斜率都存在时,一定有k 1=k 2⇒l 1∥l 2.( ) (2)如果两条直线l 1与l 2垂直,那么它们的斜率之积一定等于-1. ( ) (3)若两直线的方程组成的方程组有唯一解,则两直线相交. ( ) (4)直线外一点与直线上一点的距离的最小值就是点到直线的距离. ( )[答案] (1)× (2)× (3) √ (4)√ 二、教材习题衍生1.已知点(a,2)(a >0)到直线l :x -y +3=0的距离为1,则a 等于( ) A . 2 B .2- 2 C .2-1 D .2+1 C [由题意得|a -2+3|2=1,即|a +1|=2,又a >0,∴a =2-1.]2.已知P (-2,m ),Q (m,4),且直线PQ 垂直于直线x +y +1=0,则m = . 1 [由题意知m -4-2-m =1,所以m -4=-2-m ,所以m =1.]3.若三条直线y =2x ,x +y =3,mx +2y +5=0相交于同一点,则m 的值为 .-9 [由⎩⎪⎨⎪⎧ y =2x ,x +y =3,得⎩⎪⎨⎪⎧x =1,y =2.所以点(1,2)满足方程mx +2y +5=0, 即m ×1+2×2+5=0,所以m =-9.]4.已知直线3x +4y -3=0与直线6x +my +14=0平行,则它们之间的距离是 . 2 [由两直线平行可知36=4m,即m =8.∴两直线方程分别为3x +4y -3=0和3x +4y +7=0,则它们之间的距离d =|7+3|9+16=2.]考点一 两条直线的位置关系由一般式确定两直线位置关系的方法直线方程l 1:A 1x +B 1y +C 1=0(A 21+B 21≠0)l 2:A 2x +B 2y +C 2=0(A 22+B 22≠0)l 1与l 2平行的充要条件 A 1B 2-A 2B 1=0且A 1C 2≠A 2C 1l 1与l 2垂直的充要条件 A 1A 2+B 1B 2=0 l 1与l 2相交的充要条件 A 1B 2≠A 2B 1l 1与l 2重合的充要条件A 1B 2=A 2B 1且A 1C 2=A 2C 11.设a ∈R ,则“a =1”是“直线l 1:ax +2y -1=0与直线l 2:x +(a +1)y +4=0平行”的( )A .充分不必要条件B .必要不充分条件C .充要条件D .既不充分也不必要条件A [当a =1时,显然l 1∥l 2, 若l 1∥l 2,则a (a +1)-2×1=0, 所以a =1或a =-2.所以a =1是直线l 1与直线l 2平行的充分不必要条件.]2.若直线l 1:(a -1)x +y -1=0和直线l 2:3x +ay +2=0垂直,则实数a 的值为( ) A .12 B .32 C .14 D .34D [由已知得3(a -1)+a =0,解得a =34.]3.已知三条直线l 1:2x -3y +1=0,l 2:4x +3y +5=0,l 3:mx -y -1=0不能构成三角形,则实数m 的取值集合为( )A .⎩⎨⎧⎭⎬⎫-43,23B .⎩⎨⎧⎭⎬⎫43,-23C .⎩⎨⎧⎭⎬⎫-43,23,43D .⎩⎨⎧⎭⎬⎫-43,-23,23D [∵三条直线不能构成一个三角形, ∴①当l 1∥l 3时,m =23;②当l 2∥l 3时,m =-43;③当l 1,l 2,l 3交于一点时,也不能构成一个三角形,由⎩⎪⎨⎪⎧2x -3y +1=0,4x +3y +5=0,得交点为⎝⎛⎭⎫-1,-13,代入mx -y -1=0,得m =-23.故选D .] 点评:解决两直线平行与垂直的参数问题要“前思后想”考点二 两条直线的交点与距离问题1.求过两直线交点的直线方程的方法求过两直线交点的直线方程,先解方程组求出两直线的交点坐标,再结合其他条件写出直线方程,也可借助直线系方程,利用待定系数法求出直线方程,这样能简化解题过程.2.点到直线、两平行线间的距离公式的使用条件 (1)求点到直线的距离时,应先化直线方程为一般式.(2)求两平行线之间的距离时,应先将方程化为一般式且x ,y 的系数对应相等. [典例1] (1)(2020·全国卷Ⅲ)点(0,-1)到直线y =k (x +1)距离的最大值为( ) A .1 B . 2 C . 3 D .2(2)直线l 过点P (-1,2)且到点A (2,3)和点B (-4,5)的距离相等,则直线l 的方程为 . (3)已知两直线a 1x +b 1y -1=0和a 2x +b 2y -1=0的交点为P (2,3),则过两点Q 1(a 1,b 1),Q 2(a 2,b 2)的直线方程为 .(1)B (2)x +3y -5=0或x =-1 (3)2x +3y -1=0[(1)法一:由点到直线的距离公式知点(0,-1)到直线y =k (x +1)的距离d =|k ·0+(-1)·(-1)+k |k 2+1=|k +1|k 2+1=k 2+2k +1k 2+1=1+2k k 2+1.当k =0时,d =1;当k ≠0时,d =1+2k k 2+1=1+2k +1k,要使d 最大,需k >0且k +1k 最小,∴当k =1时,d ma x =2,故选B .法二:记点A (0,-1),直线y =k (x +1)恒过点B (-1,0),当AB 垂直于直线y =k (x +1)时,点A (0,-1)到直线y =k (x +1)的距离最大,且最大值为|AB |=2,故选B .(2)当直线l 的斜率存在时,设直线l 的方程为y -2=k (x +1),即kx -y +k +2=0. 由题意知|2k -3+k +2|k 2+1=|-4k -5+k +2|k 2+1,即|3k -1|=|-3k -3|,∴k =-13,∴直线l 的方程为y -2=-13(x +1),即x +3y -5=0.当直线l 的斜率不存在时,直线l 的方程为x =-1,也符合题意. (3)∵P (2,3)在已知的两条直线上,∴⎩⎪⎨⎪⎧2a 1+3b 1=1,2a 2+3b 2=1.∴点Q 1(a 1,b 1),Q 2(a 2,b 2)是直线2x +3y =1上的两个点,故过Q 1,Q 2两点的直线方程为2x +3y =1.]点评:本例(3)在求解中巧妙应用了两点确定一条直线的原理,学习中应反思这个解题要点.[跟进训练]1.若P ,Q 分别为直线3x +4y -12=0与6x +8y +5=0上任意一点,则|PQ |的最小值为( )A .95B .185C .2910D .295C [因为36=48≠-125,所以两直线平行,将直线3x +4y -12=0化为6x +8y -24=0,由题意可知|PQ |的最小值为这两条平行直线间的距离,即|-24-5|62+82=2910,所以|PQ |的最小值为2910.]2.经过两条直线l 1:x +y -4=0和l 2:x -y +2=0的交点,且与直线2x -y -1=0垂直的直线方程为 .x +2y -7=0 [由⎩⎪⎨⎪⎧ x +y -4=0,x -y +2=0,得⎩⎪⎨⎪⎧x =1,y =3,∴l 1与l 2的交点坐标为(1,3).设与直线2x -y -1=0垂直的直线方程为x +2y +C =0, 则1+2×3+C =0,∴C =-7. ∴所求直线方程为x +2y -7=0.]考点三 对称问题对称问题的求解方法(1)点关于点:点P (x ,y )关于点Q (a ,b )的对称点P ′(x ′,y ′)满足⎩⎪⎨⎪⎧x ′=2a -x ,y ′=2b -y .(2)线关于点:直线关于点的对称可转化为点关于点的对称问题来解决. (3)点关于线:点A (a ,b )关于直线Ax +By +C =0(B ≠0)的对称点A ′(m ,n ),则有⎩⎨⎧n -bm -a ×⎝⎛⎭⎫-A B =-1,A ·a +m 2+B ·b +n 2+C =0.(4)线关于线:直线关于直线的对称可转化为点关于直线的对称问题来解决.中心对称问题[典例2-1] 过点P (0,1)作直线l ,使它被直线l 1:2x +y -8=0和l 2:x -3y +10=0截得的线段被点P 平分,则直线l 的方程为 .x +4y -4=0 [设l 1与l 的交点为A (a,8-2a ),则由题意知,点A 关于点P 的对称点B (-a,2a -6)在l 2上,代入l 2的方程得-a -3(2a -6)+10=0,解得a =4,即点A (4,0)在直线l 上,所以直线l 的方程为x +4y -4=0.]点评:点关于点的对称问题常常转化为中心对称问题,利用中点坐标公式求解.轴对称问题[典例2-2] (1)已知直线y =2x 是△ABC 中角C 的平分线所在的直线,若点A ,B 的坐标分别是(-4,2),(3,1),则点C 的坐标为( )A .(-2,4)B .(-2,-4)C .(2,4)D .(2,-4)(2)已知入射光线经过点M (-3,4),被直线l :x -y +3=0反射,反射光线经过点N (2,6),则反射光线所在直线的方程为 .(1)C (2)6x -y -6=0 [(1)设A (-4,2)关于直线y =2x 的对称点为A ′(x ,y ),则⎩⎨⎧y -2x +4×2=-1,y +22=2×-4+x 2,解得⎩⎪⎨⎪⎧x =4,y =-2,∴A ′(4,-2),由题意知,A ′在直线BC 上,∴BC 所在直线方程为y -1=-2-14-3(x -3),即3x +y -10=0.联立⎩⎪⎨⎪⎧ 3x +y -10=0,y =2x ,解得⎩⎪⎨⎪⎧x =2,y =4,则C (2,4). (2)设点M (-3,4)关于直线l :x -y +3=0的对称点为M ′(a ,b ),则反射光线所在直线过点M ′,所以⎩⎨⎧b -4a -(-3)·1=-1,-3+a 2-b +42+3=0,解得a =1,b =0.即M ′(1,0).又反射光线经过点N (2,6),所以所求直线的方程为y -06-0=x -12-1,即6x -y -6=0.]点评:在求对称点时,关键是抓住两点:一是两对称点的连线与对称轴垂直;二是两对称点的中心在对称轴上,即抓住“垂直平分”,由“垂直”列出一个方程,由“平分”列出一个方程,联立求解.[跟进训练]1.如图,已知A (4,0),B (0,4),从点P (2,0)射出的光线经直线AB 反射后再射到直线OB 上,最后经直线OB 反射后又回到P 点,则光线所经过的路程是( )A .33 B .6 C .210 D .25C [直线AB 的方程为x +y =4,点P (2,0)关于直线AB 的对称点为D (4,2),关于y 轴的对称点为C (-2,0),则光线经过的路程为|CD |=62+22=210.]2.若将一张坐标纸折叠一次,使得点(0,2)与点(4,0)重合,点(7,3)与点(m ,n )重合,则m +n = .345[由题意可知纸的折痕应是点(0,2)与点(4,0)连线的中垂线,即直线y =2x -3,它也是点(7,3)与点(m ,n )连线的中垂线,于是⎩⎨⎧3+n 2=2×7+m2-3,n -3m -7=-12,解得⎩⎨⎧m =35,n =315,故m +n =345.]。

高三数学一轮复习课件之8.2两条直线的位置关系

高三数学一轮复习课件之8.2两条直线的位置关系

12
[基础自测]
1.(思考辨析)判断下列结论的正误.(正确的打“√”,错误的
打“×”)
(1)当直线 l1 和 l2 斜率都存在时,一定有 k1=k2⇒l1∥l2. ( ) (2)如果两条直线 l1 与 l2 垂直,则它们的斜率之积一定等于-1.
()
(3)点 P(x0,y0)到直线 y=kx+b 的距离为|kx10++kb2|.
答案
7
2.两条直线的交点的求法 直线 l1:A1x+B1y+C1=0,l2:A2x+B2y+C2=0,则 l1 与 l2 的交 点坐标就是方程组AA12xx+ +BB12yy+ +CC12= =00, 的解.
8
3.三种距离公式
P1(x1,y1),P2(x2,y2)两点之间的距离 |P1P2|= x2-x12+y2-y12
A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限 (2) 若 P,Q 分别为直线 3x+4y-12=0 与 6x+8y+5=0 上任意 一点,则|PQ|的最小值为( )
9
18
29
29
A.5
B. 5
C.10
D. 5
27
(1)B
(2)C
[(1)由kkxy--yx==k2-k 1,
x=k-k 1, 得y=2kk--11.
解析答案
20
[规律方法] 解决两直线平行与垂直的参数问题要“前思后 想”
易错警示:当直线方程中存在字母参数时,不仅要考虑到斜率存 在的一般情况,也要考虑到斜率不存在的特殊情况.同时还要注意 x, y 的系数不能同时为零这一隐含条件.
21
两条直线的交点与距离问题
【例 1】 (1)求经过两条直线 l1:x+y-4=0 和 l2:x-y+2=0 的交点,且与直线 2x-y-1=0 垂直的直线方程为________.

2019届高三数学一轮复习精品课件:第八章 第2节 两直线的位置关系

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第八章 平面解析几何 第二节 两直线的位置关系
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1.能根据两条直线的斜率判定这两条直线平行或垂直. 2.能用解方程组的方法求两条相交直线的交点坐标. 3.掌握两点间的距离公式、点到直线的距离公式,会求两条 平行直线间的距离.
D. 2+1 |a-2+3| 解析:由题意知 =1,∴|a+1|= 2, 2
又 a>0,∴a= 2-1.
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2.已知直线 l1:(3+a)x+4y=5-3a 和直线 l:2x+(5+a)y=8 平行,则 a=( B ) A.-7 或-1 C.7 或 1 B.-7 D.-1
解析: 因为点(0,2)与点(4,0)关于直线 l 对称,所以直线 l 的斜率 为 2,且直线 l 过点(2,1),故选 C.
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5.(2017· 重庆检测)已知直线 l1 的方程为 3x+4y-7=0,直线
3 l2 的方程为 6x+8y+1=0,则直线 l1 与 l2 的距离为 2
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1.两条直线平行与垂直的判定 (1)两条直线平行 对于两条不重合的直线 l1,l2,其斜率分别为 k1,k2,则有 l1 ∥l2⇔ k1=k2.特别地,当直线 l1,l2 的斜率都不存在时,l1 与 l2平行. (2)两条直线垂直 如果两条直线 l1 , l2 斜率都存在,设为 k1 , k2 ,则 l1 ⊥ l2

高考数学一轮复习第8章解析几何第2讲两条直线的位置关系

高考数学一轮复习第8章解析几何第2讲两条直线的位置关系

第二讲 两条直线的位置关系知识梳理·双基自测 知识梳理知识点一 两条直线的位置关系平面内两条直线的位置关系包括__平行、相交、重合__三种情况. (1)两条直线平行对于直线l 1:y =k 1x +b 1,l 2:y =k 2x +b 2,l 1∥l 2⇔k 1=k 2,且b 1≠b 2. 对于直线l 1:A 1x +B 1y +C 1=0,l 2:A 2x +B 2y +C 2=0, l 1∥l 2⇔A 1B 2-A 2B 1=0,且B 1C 2-B 2C 1≠0(或A 1C 2-A 2C 1≠0). (2)两条直线垂直对于直线l 1:y =k 1x +b 1,l 2:y =k 2x +b 2,l 1⊥l 2⇔k 1·k 2=-1.对于直线l 1:A 1x +B 1y +C 1=0,l 2:A 2x +B 2y +C 2=0,l 1⊥l 2⇔__A 1A 2+B 1B 2=0__. 知识点二 两条直线的交点直线l 1和l 2的交点坐标即为两直线方程组成的方程组⎩⎪⎨⎪⎧A 1x +B 1y +C 1=0,A 2x +B 2y +C 2=0的解.相交⇔方程组有__唯一解__; 平行⇔方程组__无解__; 重合⇔方程组有__无数个解__. 知识点三 三种距离公式(1)平面上的两点P 1(x 1,y 1),P 2(x 2,y 2)间的距离公式|P 1P 2|=x 1-x 22+y 1-y 22.特别地,原点O(0,0)与任一点P(x,y)的距离|OP|=x 2+y 2. (2)点P(x 0,y 0)到直线l :Ax +By +C =0的距离d =|Ax 0+By 0+C|A 2+B 2. (3)两条平行线Ax +By +C 1=0与Ax +By +C 2=0间的距离为d =|C 1-C 2|A 2+B2. 重要结论1.求解距离问题的规律运用点到直线的距离公式时,需把直线方程化为一般式;运用两平行线间的距离公式时,需先把两平行线方程中x,y 的系数化为相同的形式.2.对称问题的求解规律(1)中心对称:转化为中点问题处理.(2)轴对称:转化为垂直平分线问题处理.特殊地:点P(a,b)关于直线x +y +m =0对称的点坐标为(-b -m,-a -m),点P(a,b)关于直线x -y +m =0对称的点坐标为(b -m,a +m).双基自测题组一 走出误区1.判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”) (1)若两直线的斜率相等,则两直线平行,反之,亦然.( × )(2)如果两条直线l 1与l 2垂直,那么它们的斜率之积一定等于-1.( × )(3)已知直线l 1:A 1x +B 1y +C 1=0,l 2:A 2x +B 2y +C 2=0(A 1,B 1,C 1,A 2,B 2,C 2为常数),若直线l 1⊥l 2,则A 1A 2+B 1B 2=0.( √ )(4)点P(x 0,y 0)到直线y =kx +b 的距离为|kx 0+b|1+k2.( × ) (5)若点A,B 关于直线l :y =kx +b(k≠0)对称,则直线AB 的斜率等于-1k ,且线段AB 的中点在直线l上.( √ )题组二 走进教材2.(课本习题改编)过点(1,0)且与直线x -2y -2=0平行的直线方程是( A ) A .x -2y -1=0 B .x -2y +1=0 C .2x +y -2=0D .x +2y -1=03.(必修2P 110B 组T2)已知点(a,2)(a >0)到直线l :x -y +3=0的距离为1,则a 等于( C ) A . 2 B .2- 2 C .2-1D .2+1[解析] 由题意得|a -2+3|1+1=1.解得a =-1+2或a =-1-2. ∵a >0,∴a =-1+2. 题组三 走向高考4.(2020·高考全国Ⅲ)点(0,-1)到直线y =k(x +1)距离的最大值为( B ) A .1 B . 2 C . 3D .2 [解析] 解法一:由y =k(x +1)可知直线过定点P(-1,0),设A(0,-1),当直线y =k(x +1)与AP 垂直时,点A 到直线y =k(x +1)距离最大,即为|AP|=2,故选B .解法二:因为点(0,-1)到直线y =k(x +1)距离d =|1+k|k 2+1=k 2+2k +1k 2+1=1+2kk 2+1;∵要求距离的最大值,故需k >0;可得d =1+2k +1k≤2,当且仅当k =1时取等号,故选B .5.(2018·全国)坐标原点关于直线x -y -6=0的对称点的坐标为__(6,-6)__. [解析] 设坐标原点关于直线x -y -6=0的对称点的坐标为(a,b),则⎩⎪⎨⎪⎧b a ×1=-1a 2-b2-6=0,解得a =6,b =-6,∴坐标原点关于直线x -y -6=0的对称点的坐标为(6,-6).考点突破·互动探究考点一 两条直线平行、垂直的关系——自主练透例1 (1)(2021·高安期中)经过抛物线y 2=2x 的焦点且平行于直线3x -2y +5=0的直线l 的方程是( A )A .6x -4y -3=0B .3x -2y -3=0C .2x +3y -2=0D .2x +3y -1=0(2)“m=3”是“直线l 1:2(m +1)x +(m -3)y +7-5m =0与直线l 2:(m -3)x +2y -5=0垂直”的( A )A .充分不必要条件B .必要不充分条件C .充分必要条件D .既不充分也不必要条件(3)(2021·青岛调研)直线2x +(m +1)y +4=0与直线mx +3y -2=0平行,则m =( C ) A .2 B .-3 C .2或-3D .-2或-3(4)(多选题)等腰直角三角形斜边的中点是M(4,2),一条直角边所在直线的方程为y =2x,则另外两边所在直线的方程为( CD )A .3x +y -14=0B .x +2y -2=0C .x -3y +2=0D .x +2y -14=0[解析] (1)因为抛物线y 2=2x 的焦点坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫12,0,直线3x -2y +5=0的斜率为32,所以所求直线l的方程为y =32⎝ ⎛⎭⎪⎫x -12,化为一般式,得6x -4y -3=0.(2)由l 1⊥l 2,得2(m +1)(m -3)+2(m -3)=0,∴m =3或m =-2,∴m =3是l 1⊥l 2的充分不必要条件.(3)由题意知⎩⎪⎨⎪⎧m m +1=6,4m≠-4,解得m =2或-3.故选C .(4)设斜边所在直线的斜率为k,由题意知tan π4=2-k 1+2k =1,∴k =13,∴斜边所在直线方程为y -2=13(x -4),即x -3y +2=0,由⎩⎪⎨⎪⎧y =2x x -3y +2=0可知A ⎝ ⎛⎭⎪⎫25,45,∴A 关于M 的对称点B ⎝ ⎛⎭⎪⎫385,165,∴另一条直角边的方程为y -165=-12⎝ ⎛⎭⎪⎫x -385,即x +2y -14=0,故选C 、D .名师点拨(1)当含参数的直线方程为一般式时,若要表示出直线的斜率,不仅要考虑到斜率存在的一般情况,也要考虑到斜率不存在的特殊情况,同时还要注意x,y 的系数不能同时为零这一隐含条件.(2)在判断两直线的平行、垂直时,也可直接利用直线方程的系数间的关系得出结论. 〔变式训练1〕(1)(2021·吉林长春模拟)曲线f(x)=2sin x 在x =π3处的切线与直线ax +y -1=0垂直,则a =__1__.(2)(2012·浙江)设a ∈R,则“a=1”是“直线l 1:ax +2y =0与直线l 2:x +(a +1)y +4=0平行的( A )A .充分不必要条件B .必要不充分条件C .充分必要条件D .既不充分也不必要条件[解析] (1)由题得f′(x)=2cos x,∴k =f′⎝ ⎛⎭⎪⎫π3=1.所以1×(-a)=-1,∴a =1. (2)l 1∥l 2⇔a 2+a -2=0⇔a =1或-2,∴a =1是l 1∥l 2的充分不必要条件.故选A . 考点二 两直线的交点、距离问题——师生共研例2 (1)两条垂直直线l 1:2x +y +1=0与l 2:ax +4y -6=0的交点到原点的距离为__2__.(2)已知点P(2,-1).①求过点P 且与原点的距离为2的直线l 的方程;②求过点P 且与原点的距离最大的直线l 的方程,最大距离是多少?③是否存在过点P 且与原点的距离为6的直线?若存在,求出方程;若不存在,请说明理由. (3)(2020·上海)已知直线l 1:x +ay =1,l 2:ax +y =1,若l 1∥l 2,则l 1与l 2的距离为__2__. [解析] (1)kl 1=-2,kl 2=-a 4,由l 1⊥l 2知-2×⎝ ⎛⎭⎪⎫-a 4=-1,∴a =-2,∴l 2:x -2y +3=0,由⎩⎪⎨⎪⎧2x +y +1=0x -2y +3=0得交点A(-1,1),∴|AO|=2.(2)①过点P 的直线l 与原点的距离为2,而点P 的坐标为(2,-1),显然,过点P(2,-1)且垂直于x 轴的直线满足条件,此时l 的斜率不存在,其方程为x =2. 若斜率存在,设l 的方程为y +1=k(x -2), 即kx -y -2k -1=0.由已知得|-2k -1|k 2+1=2,解得k =34. 此时l 的方程为3x -4y -10=0.综上,可得直线l 的方程为x =2或3x -4y -10=0.②作图可得过点P 与原点O 的距离最大的直线是过点P 且与PO 垂直的直线,如图. 由l ⊥OP,得k l k OP =-1, 所以k l =-1k OP=2.由直线方程的点斜式,得y +1=2(x -2),即2x -y -5=0.所以直线2x -y -5=0是过点P 且与原点O 的距离最大的直线,最大距离为|-5|5=5.③由②可知,过点P 不存在到原点的距离超过5的直线,因此不存在过点P 且到原点的距离为6的直线.(3)直线l 1:x +ay =1,l 2:ax +y =1, 当l 1∥l 2时,a 2-1=0,解得a =±1;当a =1时l 1与l 2重合,不满足题意; 当a =-1时l 1∥l 2,此时l 1:x -y -1=0,l 2:x -y +1=0; 则l 1与l 2的距离为d =|-1-1|12+-12=2.名师点拨距离的求法(1)点到直线的距离:可直接利用点到直线的距离公式来求,但要注意此时直线方程必须为一般式. (2)两平行直线间的距离:①利用“化归”法将两条平行线间的距离转化为一条直线上任意一点到另一条直线的距离; ②利用两平行线间的距离公式.提醒:在应用两条平行线间的距离公式时,应把直线方程化为一般形式,且使x 、y 的系数分别相等. 〔变式训练2〕(1)(2021·西南名校联盟联考)设直线l 1:3x -y -1=0与直线l 2:x +2y -5=0的交点为A,则A 到直线l :x +by +2+b =0的距离的最大值为( C )A .4B .10C .3 2D .11(2)(多选题)已知两点A(3,2)和B(-1,4)到直线mx +y +3=0距离相等,则m 的值可以为( AC ) A .-6 B .-12C .12D .1(3)(2021·绵阳模拟)若P,Q 分别为直线3x +4y -12=0与6x +8y +5=0上任意一点,则|PQ|的最小值为( C )A .95B .185C .2910D .295[解析] (1)解法一:显然l 1与l 2的交点A(1,2),又直线l 过点B(-2,-1),∴所求最大距离为|AB|=32,故选C .解法二:显然l 1与l 2的交点为A(1,2),则A 到直线l 的距离d =|1+2b +2+b|1+b2=31+b 2+2b1+b2=31+2b 1+b2≤32(当且仅当b =1时取等号),故选C . (2)直线mx +y +3=0与直线AB 平行或过AB 中点,∴-m =4-2-1-3=-12,即m =12;AB 中点(1,3),∴m+3+3=0即m =-6,故选A 、C .(3)因为36=48≠-125,所以两直线平行,由题意可知|PQ|的最小值为这两条平行直线间的距离,即|-24-5|62+82=2910,所以|PQ|的最小值为2910. 考点三 对称问题——多维探究 角度1 线关于点的对称例3 (2021·河北五校联考)直线ax +y +3a -1=0恒过定点M,则直线2x +3y -6=0关于M点对称的直线方程为( D )A .2x +3y -12=0B .2x -3y -12=0C .2x -3y +12=0D .2x +3y +12=0[解析] 由ax +y +3a -1=0,可得y -1=-a(x +3),所以M(-3,1),M 不在直线2x +3y -6=0上,设直线2x +3y -6=0关于M 点对称的直线方程为2x +3y +c =0(c≠-6),则|-6+3-6|4+9=|-6+3+c|4+9,解得c =12或c =-6(舍去),所以所求方程为2x +3y +12=0,故选D .另解:在直线2x +3y -6=0上取点A(0,2)、B(3,0),则A 、B 关于M 的对称点分别为A′(-6,0),B′(-9,2),又k A′B′=2-0-9--6=-23,故所求直线方程为y =-23(x +6),即2x +3y +12=0.故选D .角度2 点关于线的对称例4 (2021·长沙一模)已知入射光线经过点M(-3,4),被直线l :x -y +3=0反射,反射光线经过点N(2,6),则反射光线所在直线的方程为__6x -y -6=0__.[解析] 设点M(-3,4)关于直线l :x -y +3=0的对称点为M′(a ,b),则反射光线所在直线过点M′,所以⎩⎪⎨⎪⎧b -4a --3=-1,-3+a 2-b +42+3=0,解得a =1,b =0.又反射光线经过点N(2,6),所以所求直线的方程为y -06-0=x -12-1,即6x -y -6=0. (代入法)当x =-3时,由x -y +3=0得y =0, 当y =4时,由x -y +3=0得x =1.∴M(-3,4)关于直线l 的对称点为M′(1,0).又k NM′=6-02-1=6,∴所求直线方程为y =6(x -1),即6x -y -6=0.[引申]本例中入射光线所在直线的方程为__x -6y +27=0__.[解析] N(2,6)关于直线l 的对称点N′(3,5),又k MN′=5-43--3=16,∴所求直线方程为y -4=16(x+3),即x -6y +27=0.角度3 线关于线的对称例5 (2021·合肥模拟)已知直线l :x -y -1=0,l 1:2x -y -2=0.若直线l 2与l 1关于l 对称,则l 2的方程是( B )A .x -2y +1=0B .x -2y -1=0C .x +y -1=0D .x +2y -1=0[解析] 解法一:因为l 1与l 2关于l 对称,所以l 1上任一点关于l 的对称点都在l 2上,故l 与l 1的交点(1,0)在l 2上.又易知(0,-2)为l 1上一点,设它关于l 的对称点为(x,y),则⎩⎪⎨⎪⎧x +02-y -22-1=0,y +2x ×1=-1,解得⎩⎪⎨⎪⎧x =-1,y =-1,即(1,0),(-1,-1)为l 2上两点,可得l 2的方程为x -2y -1=0.解法二:在l 1上取两点A(0,-2),B(1,0),则A 、B 关于l 的对称点分别为A′(-1,-1),B′(1,0),∴k A′B′=0--11--1=12.∴l 2的方程为y -0=12(x -1),即x -2y -1=0.故选B .解法三:设P(x,y)是直线l 2上任一点,则P 关于直线l 的对称点为P′(y+1,x -1),又P′∈l 1,∴2(y +1)-(x -1)-2=0,即直线l 2的方程为x -2y -1=0.故选B .名师点拨对称问题的解法以光线反射为代表的很多实际问题,都可以转化为对称问题,关于对称问题,一般常见的有: (1)中心对称①点P(x,y)关于O(a,b)的对称点P′(x′,y′)满足⎩⎪⎨⎪⎧x′=2a -x ,y′=2b -y.②直线关于点的对称可转化为点关于点的对称问题来解决. (2)轴对称 ①点A(a,b)关于直线Ax +By +C =0(B≠0)的对称点A′(m ,n),则有⎩⎪⎨⎪⎧n -b m -a ×-AB=-1,A ·a +m 2+B ·b +n 2+C =0.②直线关于直线的对称可转化为点关于直线的对称问题来解决.特别地,当对称轴的斜率为±1时,可类比关于y =x 的对称问题采用代入法,如(1,3)关于y =x +1的对称点为(3-1,1+1),即(2,2).〔变式训练3〕已知直线l :2x -3y +1=0,点A(-1,-2).求: (1)(角度2)点A 关于直线l 的对称点A′的坐标;(2)(角度3)直线m :3x -2y -6=0关于直线l 的对称直线m′的方程; (3)(角度1)直线l 关于点A(-1,-2)对称的直线l′的方程. [解析] (1)设A′(x ,y),由已知条件得 ⎩⎪⎨⎪⎧ y +2x +1×23=-1,2×x -12-3×y -22+1=0,解得⎩⎪⎨⎪⎧x =-3313,y =413.∴A′⎝ ⎛⎭⎪⎫-3313,413.(2)在直线m 上取一点,如M(2,0),则M(2,0)关于直线l 的对称点M′必在直线m′上. 设对称点M′(a ,b),则 ⎩⎪⎨⎪⎧2×a +22-3×b +02+1=0,b -0a -2×23=-1,得M′⎝ ⎛⎭⎪⎫613,3013.设直线m 与直线l 的交点为N,则由⎩⎪⎨⎪⎧2x -3y +1=0,3x -2y -6=0,得N(4,3).又∵m′经过点N(4,3),∴由两点式得直线m′的方程为9x -46y +102=0. (3)设P(x,y)在l′上任意一点,则P(x,y)关于点A(-1,-2)的对称点为P′(-2-x,-4-y), ∵点P′在直线l 上,∴2(-2-x)-3(-4-y)+1=0, 即2x -3y -9=0.名师讲坛·素养提升 巧用直线系求直线方程例6 (1)求证:动直线(m 2+2m +3)x +(1+m -m 2)y +3m 2+1=0(其中m ∈R)恒过定点,并求出定点坐标;(2)求经过两直线l 1:x -2y +4=0和l 2:x +y -2=0的交点P,且与直线l 3:3x -4y +5=0垂直的直线l 的方程.[解析] (1)证明:解法一:令m =0,则直线方程为 3x +y +1=0.再令m =1时,直线方程为6x +y +4=0.①和②联立方程组⎩⎪⎨⎪⎧3x +y +1=0,6x +y +4=0,得⎩⎪⎨⎪⎧x =-1,y =2.将点A(-1,2)的坐标代入动直线(m 2+2m +3)x +(1+m -m 2)y +3m 2+1=0中,(m 2+2m +3)×(-1)+(1+m -m 2)×2+3m 2+1=(3-1-2)m 2+(-2+2)m +2+1-3=0, 故动直线(m 2+2m +3)x +(1+m -m 2)y +3m 2+1=0恒过定点A .解法二:将动直线方程按m 降幂排列整理,得m 2(x -y +3)+m(2x +y)+3x +y +1=0,① 不论m 为何实数,①式恒为零, ∴有⎩⎪⎨⎪⎧x -y +3=0,2x +y =0,3x +y +1=0,解得⎩⎪⎨⎪⎧x =-1,y =2.故动直线恒过点A(-1,2).(2)解法一:解方程组⎩⎪⎨⎪⎧x -2y +4=0,x +y -2=0,得P(0,2).因为l 3的斜率为34,且l ⊥l 3,所以直线l 的斜率为-43,由斜截式可知l 的方程为y =-43x +2,即4x +3y -6=0.解法二:设所求直线方程为4x +3y +m =0,将解法一中求得的交点P(0,2)代入上式可得m =-6, 故所求直线方程为4x +3y -6=0.解法三:设直线l 的方程为x -2y +4+λ(x+y -2)=0, 即(1+λ)x+(λ-2)y +4-2λ=0.又∵l ⊥l 3,∴3×(1+λ)+(-4)×(λ-2)=0,解得λ=11.∴直线l 的方程为4x +3y -6=0.[引申]若将本例(2)中的“垂直”改为“平行”,则直线l 的方程为__3x -4y +8=0__.名师点拨1.确定方程含参数的直线所过定点的方法:(1)将直线方程写成点斜式y -y 0=f(λ)(x-x 0),从而确定定点(x 0,y 0).(2)将直线方程整理成关于参数的方程,由方程中各项系数及常数项为0确定定点.(3)给参数取两个不同值,再解直线方程构成的方程组,从而确定定点坐标.2.直线系的主要应用(1)共点直线系方程:经过两直线l 1:A 1x +B 1y +C 1=0,l 2:A 2x +B 2y +C 2=0交点的直线系方程为A 1x +B 1y +C 1+λ(A 2x +B 2y +C 2)=0,其中A 1B 2-A 2B 1≠0,待定系数λ∈R .在这个方程中,无论λ取什么实数,都得不到A 2x +B 2y +C 2=0,因此它不能表示直线l 2.(2)过定点(x 0,y 0)的直线系方程为y -y 0=k(x -x 0)(k 为参数)及x =x 0.(3)平行直线系方程:与直线y =kx +b 平行的直线系方程为y =kx +m(m 为参数且m≠b);与直线Ax +By +C =0平行的直线系方程是Ax +By +λ=0(λ≠C ,λ是参数).(4)垂直直线系方程:与直线Ax +By +C =0(A≠0,B≠0)垂直的直线系方程是Bx -Ay +λ=0(λ为参数).如果在求直线方程的问题中,有一个已知条件,另一个条件待定时,那么可选用直线系方程来求解. 〔变式训练4〕(1)(2021·启东模拟)不论m 为何值时,直线(m -1)x +(2m -1)y =m -5恒过定点( D )A .⎝⎛⎭⎪⎫1,-12 B .(-2,0) C .(2,3) D .(9,-4)(2)与直线l :5x -12y +6=0平行且到l 的距离为2的直线的方程是__5x -12y +32=0或5x -12y -20=0__.[解析] (1)解法一:由(m -1)x +(2m -1)y =m -5,得(x +2y -1)m -(x +y -5)=0,由⎩⎪⎨⎪⎧ x +2y -1=0,x +y -5=0,得定点坐标为(9,-4),故选D .解法二:令m =1,则y =-4;令m =12,则-12x =-92,即x =9,∴直线过定点(9,-4),故选D . 解法三:将直线方程化为(2m -1)(y +a)=(1-m)(x +b),则⎩⎪⎨⎪⎧ a +b =-52a +b =-1,即⎩⎪⎨⎪⎧ a =4b =-9,∴y +4=1-m 2m -1(x -9),故直线过点(9,-4),故选D .(2)设所求直线的方程为5x-12y+c=0,则|c-6|52+122=2,解得c=32或-20,故所求直线的方程为5x-12y+32=0或5x-12y-20=0.。

高三理科数学一轮复习 第八章 解析几何 第二节 两直线的位置关系课件

高三理科数学一轮复习 第八章 解析几何 第二节 两直线的位置关系课件

【参考答案】 A
9
(2)(2015·山东实验中学模拟)已知直线 l1:x+2ay-1=0 与直线 l2:(2a-1)x-ay-1=0 平行,则 a 的值是
A.0 或 1
B.1
或1
4
C.0
或1
4
D.14
【解题思路】利用两直线平行的条件建立方程求解.由题意可得
-������ = 2������(2������-1), 解得������ -1 ≠ -(2������-1),
3.几种特殊的直线系
(1)与已知直线Ax+By+C=0(A,B不同时为0)平行的直线系方程为Ax+By+C1=0(C1≠C); (2)与已知直线Ax+By+C=0(A,B不同时为0)垂直的直线系方程为Bx-Ay+C'=0;
(3)过两条已知直线A1x+B1y+C1=0,A2x+B2y+C2=0的交点的直线系方程为(A1x+B1y+C1)+λ(A2x+B2y+C2)=0(这
5.常用的数学方法与思想
待定系数法、参数法、方程思想、数形结合思想.
5
1.给出下列说法:
①若不重合的两直线斜率相等,则两直线平行;
②若l1∥l2,则斜率k1=k2; ③若两条直线中有一条直线的斜率不存在,另一条直线的斜率存在,则两直线相交;
④若不重合的两直线斜率都不存在,则两直线平行.
其中正确的有( )
【解题思路】由两直线垂直的条件得斜率,再利用点斜式求解直线方程.由题可得直线 l 的斜率为-32, 所以直线������: ������ − 2 = − 32(x+1),即 3x+2y-1=0;也可以设直线 l 的方程为 3x+2y+C=0,代入点(-1,2),解得 C =-1,所以直线 l 的方程是 3x+2y-1=0;本题还可以用检验法求解.

高考数学第一轮复习 第八篇 第2讲 两条直线的位置关系

高考数学第一轮复习 第八篇 第2讲 两条直线的位置关系

l1 与 l2 不垂直,故 a=1 不成立;
当 a=0 时,l1:y=-3,l2:x-y-1=0,l1 不垂直于 l2;
故 a=0 不成立; 当 a≠1 且 a≠0 时,l1:y=-a2x-3,l2:y=1-1 ax-(a+1),
由-a2·1-1 a=-1⇒a=23. 法二 由 A1A2+B1B2=0

a+2(a-1)=0⇒a=23.
易看出,两种方法繁简差别较大。因此研究含参数的直
线平行与垂直问题时,一般不利用斜率关系,而使用:
A1B2-A2B1=0,或 A1A2+B1B2=0

两条直线平行与垂直

规律方法
(1)当直线的方程中存在字母参数时,不仅要考虑到 斜率存在的一般情况,也要考虑到斜率不存在的特 殊情况.同时还要注意x,y的系数不能同时为零这 一隐含条件. (2)在判断两直线的平行、垂直时,也可直接利用直 线方程的系数间的关系得出结论.
二是求点到直线的距离时,若给出的直线不是一般式, 则应化为一般式,如(4);
三是求两平行线之间的距离时,应先将方程化为一般 式,且 x,y 的系数对应相同,如(6).
两条直线平行与垂直
考 点
【例 1】已知直线 l1:ax+2y+6=0 和直线 l2:x+(a-1)y+a2-1=0. (1)试判断 l1 与 l2 是否平行;(2)l1⊥l2 时,求 a 的值.
平面上任意一点 P0(x0,y0)到直线 l:Ax+By+C=0(A,B 不同 |Ax0+By0+C|
时为 0)的距离为 d=_______A_2+__B__2______.
可以验证,当 A=0 或 B=0 时,上式仍成立.
(3)两条平行线间的距离公式
一般地,两条平行直线 l1:Ax+By+C1=0,l2:Ax+By+C2 |C1-C2|

2018-2019学年高三数学人教版A版数学(理)高考一轮复习课件:第八章 第二节 两直线的位置关系

2018-2019学年高三数学人教版A版数学(理)高考一轮复习课件:第八章  第二节  两直线的位置关系

考点一
两直线的位置关系|
1.(2016· 安阳模拟)设 a∈R,则 “a=1”是“直线 l1:ax+2y- 1=0 与直线 l2:x+(a+1)y+4 =0 平行”的( A )
试题
解析
若 a=1,则直线 l1:x+2y-1=0, 直线 l2:x+2y+4=0,故两直线平 行;若直线 l1:ax+2y-1=0 与直线 a l2 : x + (a + 1)y+ 4 = 0 平行,则 = 1 -1 2 ≠ ,解得 a=1 或 a=-2.故 4 a+1 “a=1”是“直线 l1:ax+2y-1=0 与直线 l2:x+(a+1)y+4=0 平行” 的充分不必要条件.
3x+y=0 . __________
知识点三
知识点一 知识点二
几种距离
1 .平面上的两点 P1(x1 , y1) , P2(x2 , y2) 间的距离公式 |P1P2| = x2-x12+y2-y12. 特别地,原点 O(0,0)与任一点 P(x,y)的距离|OP|= x2+y2.
知识点三
A1x+B1y+C1=0, =0, 两条直线的交点坐标就是方程组 的 A2x+B2y+C2=0
知识点一
知识点二
知识点三
解, 若方程组有唯一解, 则两条直线相交 , 此解就是交点坐标 ; 若方程组 无解 ,则两条直线无公共点,此时两条直线 平行 ; 反之,亦成立.
知识点二
必记结论
知识点一 知识点二 知识点三
(1)平行于直线 Ax+By+C=0 的直线系方程:Ax
+By+λ=0(λ≠C). (2)垂直于直线 Ax+By+C=0 的直线系方程:Bx-Ay+λ=0. (3)过两条已知直线 A1x+B1y+C1=0, A2x+B2y+C2=0 交点的 直线系方程:A1x+B1y+C1+λ(A2x+B2y+C2)=0(不包括直线 A2x+B2y+C2=0).

高考数学考前最后一轮基础知识巩固之第八章第2课两条直线的位置关系

高考数学考前最后一轮基础知识巩固之第八章第2课两条直线的位置关系
2
k 的值等于
1 2
4. 已知点 P1(1 , 1) 、 P 2 (5 , 4) 到直线 l 的距离都等于 2.直线 l 的方程
为 3x-4y+11=0 或 3x-4y-9=0 或 7x+24y-81=0 或 x-3=0. 5. 已知 A( 7, 8), B( 10,4 ) ,C ( 2,-4 ) , 求 ABC的面积 .
4. 已知 0
,且点 (1, cos ) 到直线 xsin 2
y cos 1 的距离等于 1 ,则 等于
4
6
5. 设 a、 b、c 分别是△ ABC中∠ A、∠ B、∠ C 所对边的边长,则直线 sin A· x+ay+c=0 与 bx- sin B·y+sin C=0 的位置关系是垂直
6. 已知点 P1( x1 , y1) 、 P2 x2 , y2 ,分别是直线 l 上和直线 l 外一点, 若直线 l 的方程是 f x, y 0 ,
解方程组
得 A( 3k 2 , - 4k 1 )
y kx 3 1
k1 k1
解方程组
x y 6 0 得 B( 3k 7 ,- 9k 1 )
y kx 3 1
k1
k1
由|AB|=5 得
2
3k 2 3k 7
+
k1 k1
2
4k 1 9k 1 =25, k1 k1
解之,得 k=0,即所求的直线方程为 y=1。
综上可知,所求 l 的方程为 x=3 或 y=1。
m
4
m
2 ,等
号在 m
1时成立, S 有最小值 1 . 4
点拨 : 解几中的最值问题通常可以转化为函数最值问题
.

高三数学一轮复习: 第8章 第2节 两条直线的位置关系

高三数学一轮复习: 第8章 第2节 两条直线的位置关系

第二节 两条直线的位置关系[考纲传真] 1.能根据两条直线的斜率判定这两条直线平行或垂直.2.能用解方程组的方法求两条相交直线的交点坐标.3.掌握两点间的距离公式、点到直线的距离公式,会求两平行直线间的距离.1.两条直线平行与垂直的判定 (1)两条直线平行①对于两条不重合的直线l 1,l 2,若其斜率分别为k 1,k 2,则有l 1∥l 2⇔k 1=k 2.②当直线l 1,l 2不重合且斜率都不存在时,l 1∥l 2. (2)两条直线垂直①如果两条直线l 1,l 2的斜率存在,设为k 1,k 2,则有l 1⊥l 2⇔k 1·k 2=-1. ②当其中一条直线的斜率不存在,而另一条直线的斜率为0时,l 1⊥l 2. 2.两条直线的交点的求法直线l 1:A 1x +B 1y +C 1=0,l 2:A 2x +B 2y +C 2=0(A 1,B 1,C 1,A 2,B 2,C 2为常数),则l 1与l 2的交点坐标就是方程组⎩⎨⎧A 1x +B 1y +C 1=0,A 2x +B 2y +C 2=0的解.3.距离1.(思考辨析)判断下列结论的正误.(正确的打“√”,错误的打“×”) (1)当直线l 1和l 2斜率都存在时,一定有k 1=k 2⇒l 1∥l 2.( )(2)如果两条直线l 1与l 2垂直,则它们的斜率之积一定等于-1.( ) (3)点P (x 0,y 0)到直线y =kx +b 的距离为|kx 0+b |1+k 2.( ) (4)已知直线l 1:A 1x +B 1y +C 1=0,l 2:A 2x +B 2y +C 2=0(A 1,B 1,C 1,A 2,B 2,C 2为常数),若直线l 1⊥l 2,则A 1A 2+B 1B 2=0.( )(5)若点P ,Q 分别是两条平行线l 1,l 2上的任意一点,则P ,Q 两点的最小距离就是两条平行线的距离.( )[答案] (1)× (2)× (3)× (4)√ (5)√2.(教材改编)已知点(a,2)(a >0)到直线l :x -y +3=0的距离为1,则a 等于( )A.2B.2- 2C.2-1D.2+1C [由题意得|a -2+3|2=1,即|a +1|=2, 又a >0,∴a =2-1.]3.直线l :(a -2)x +(a +1)y +6=0,则直线l 恒过定点________. (2,-2) [直线l 的方程变形为a (x +y )-2x +y +6=0, 由⎩⎨⎧x +y =0,-2x +y +6=0,解得x =2,y =-2, 所以直线l 恒过定点(2,-2).]4.已知直线l 1:ax +(3-a )y +1=0,l 2:x -2y =0.若l 1⊥l 2,则实数a 的值为________.2 [由aa -3=-2,得a =2.]5.(2017·唐山调研)若直线l 1:x +ay +6=0与l 2:(a -2)x +3y +2a =0平行,则l 1与l 2间的距离为________.823[由l 1∥l 2,得a (a -2)=1×3, ∴a =3或a =-1.但a =3时,l 1与l 2重合,舍去,∴a=-1,则l1:x-y+6=0,l2:x-y+23=0.故l1与l2间的距离d=⎪⎪⎪⎪⎪⎪6-2312+(-1)2=823.](1)设a∈R,则“a=1”是“直线l1:ax+2y-1=0与直线l2:x+(a +1)y+4=0平行”的()A.充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充要条件 D.既不充分也不必要条件(2)在△ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c,则直线x sin A+ay+c =0与直线bx-y sin B+sin C=0的位置关系是()A.平行 B.垂直C.重合 D.相交但不垂直(1)A(2)B[(1)当a=1时,显然l1∥l2,若l1∥l2,则a(a+1)-2×1=0,所以a=1或a=-2.所以a=1是直线l1与直线l2平行的充分不必要条件.(2)在△ABC中,由正弦定理asin A=bsin B,得bsin B·sin Aa=1.又x sin A+ay+c=0的斜率k1=-sin A a,bx-y sin B+sin C=0的斜率k2=bsin B,因此k1·k2=bsin B·⎝⎛⎭⎪⎫-sin Aa=-1,两条直线垂直.][规律方法] 1.判定直线间的位置关系,要注意直线方程中字母参数取值的影响,不仅要考虑到斜率存在的一般情况,还要考虑到斜率不存在的特殊情况,同时还要注意x ,y 的系数不能同时为零这一隐含条件.2.在判断两直线平行、垂直时,也可直接利用直线方程的系数间的关系得出结论,可避免讨论.另外当A 2B 2C 2≠0时,比例式A 1A 2与B 1B 2,C 1C 2的关系容易记住,在解答选择、填空题时,有时比较方便.[变式训练1] 已知过点A (-2,m )和点B (m,4)的直线为l 1,直线2x +y -1=0为l 2,直线x +ny +1=0为l 3.若l 1∥l 2,l 2⊥l 3,则实数m +n 的值为( )A .-10 B.-2 C.0D.8A [∵l 1∥l 2,∴k AB =4-mm +2=-2,解得m =-8.又∵l 2⊥l 3,∴⎝ ⎛⎭⎪⎫-1n ×(-2)=-1,解得n =-2,∴m +n =-10.]线l 的方程为________.(2)过点P (3,0)作一直线l ,使它被两直线l 1:2x -y -2=0和l 2:x +y +3=0所截的线段AB 以P 为中点,求此直线l 的方程.【导学号:01772289】(1)x +3y -5=0或x =-1 [法一:当直线l 的斜率存在时,设直线l 的方程为y -2=k (x +1),即kx -y +k +2=0.由题意知|2k -3+k +2|k 2+1=|-4k -5+k +2|k 2+1, 即|3k -1|=|-3k -3|,∴k =-13,∴直线l 的方程为y -2=-13(x +1),即x +3y -5=0.当直线l 的斜率不存在时,直线l 的方程为x =-1,也符合题意. 法二:当AB ∥l 时,有k =k AB =-13,直线l 的方程为y -2=-13(x +1),即x +3y -5=0. 当l 过AB 中点时,AB 的中点为(-1,4), ∴直线l 的方程为x =-1.故所求直线l 的方程为x +3y -5=0或x =-1.](2)设直线l 与l 1的交点为A (x 0,y 0),则直线l 与l 2的交点B (6-x 0,-y 0),2分由题意知⎩⎨⎧2x 0-y 0-2=0,6-x 0-y 0+3=0,解得⎩⎪⎨⎪⎧x 0=113,y 0=163,6分即A ⎝ ⎛⎭⎪⎫113,163,从而直线l 的斜率k =163-0113-3=8,10分直线l 的方程为y =8(x -3),即8x -y -24=0.12分[规律方法] 1.求过两直线交点的直线方程,先解方程组求出两直线的交点坐标,再结合其他条件写出直线方程;也可利用过交点的直线系方程,再求参数.2.利用距离公式应注意:①点P (x 0,y 0)到直线x =a 的距离d =|x 0-a |,到直线y =b 的距离d =|y 0-b |;②两平行线间的距离公式要把两直线方程中x ,y 的系数化为相等.[变式训练2] 若直线l 过点A (1,-1)与已知直线l 1:2x +y -6=0相交于B 点,且|AB |=5,求直线l 的方程.[解] ①过点A (1,-1)与y 轴平行的直线为x =1. 解方程组⎩⎨⎧x =1,2x +y -6=0,求得B 点坐标为(1,4),此时|AB |=5,即直线l 的方程为x =1.4分②设过点A (1,-1)且与y 轴不平行的直线为y +1=k (x -1), 解方程组⎩⎨⎧2x +y -6=0,y +1=k (x -1),得x =k +7k +2且y =4k -2k +2(k ≠-2,否则l 与l 1平行).则B 点坐标为⎝⎛⎭⎪⎫k +7k +2,4k -2k +2.8分 又A (1,-1),且|AB |=5,所以⎝ ⎛⎭⎪⎫k +7k +2-12+⎝ ⎛⎭⎪⎫4k -2k +2+12=52,解得k =-34.10分 因此y +1=-34(x -1),即3x +4y +1=0.综上可知,所求直线的方程为x =1或3x +4y +1=0.12分(1)平面直角坐标系中直线y =2x +1关于点(1,1)对称的直线方程是________.(2)光线从A (-4,-2)点射出,到直线y =x 上的B 点后被直线y =x 反射到y 轴上的C 点,又被y 轴反射,这时反射光线恰好过点D (-1,6),则BC 所在的直线方程是________.(1)y =2x -3 (2)10x -3y +8=0 [(1)法一:在直线l 上任取一点P ′(x ,y ),其关于点(1,1)的对称点P (2-x,2-y )必在直线y =2x +1上,∴2-y =2(2-x )+1,即2x -y -3=0. 因此,直线l 的方程为y =2x -3.法二:由题意,l 与直线y =2x +1平行,设l 的方程为2x -y +c =0(c ≠1),则点(1,1)到两平行线的距离相等,∴|2-1+c |22+1=|2-1+1|22+1,解得c =-3. 因此所求直线l 的方程为y =2x -3.法三:在直线y =2x +1上任取两个点A (0,1),B (1,3),则点A 关于点(1,1)对称的点M (2,1),B 关于点(1,1)对称的点N (1,-1).由两点式求出对称直线MN 的方程为y +11+1=x -12-1,即y =2x -3.(2)作出草图,如图所示,设A 关于直线y =x 的对称点为A ′,D 关于y 轴的对称点为D ′,则易得A ′(-2,-4),D ′(1,6).由入射角等于反射角可得A ′D ′所在直线经过点B 与C . 故BC 所在的直线方程为y -6-4-6=x -1-2-1,即10x -3y +8=0.][迁移探究1] 在题(1)中“将结论”改为“求点A (1,1)关于直线y =2x +1的对称点”,则结果如何?[解] 设点A (1,1)关于直线y =2x +1的对称点为A ′(a ,b ),2分 则AA ′的中点为⎝ ⎛⎭⎪⎫1+a 2,1+b 2,4分所以⎩⎪⎨⎪⎧1+b 2=2×1+a2+1,b -1a -1×2=-1,解得⎩⎪⎨⎪⎧a =-35,b =95,10分故点A (1,1)关于直线y =2x +1的对称点为⎝ ⎛⎭⎪⎫-35,95.12分[迁移探究2] 在题(1)中“关于点(1,1)对称”改为“关于直线x -y =0对称”,则结果如何?[解] 在直线y =2x +1上任取两个点A (0,1),B (1,3),则点A 关于直线x -y =0的对称点为M (1,0),点B 关于直线x -y =0的对称点为N (3,1),6分∴根据两点式,得所求直线的方程为y -10-1=x -31-3,即x -2y -1=0.12分 [规律方法] 1.第(1)题求解的关键是利用中点坐标公式,将直线关于点的中心对称转化为点关于点的对称.2.解决轴对称问题,一般是转化为求对称点问题,关键是要抓住两点,一是已知点与对称点的连线与对称轴垂直;二是已知点与对称点为端点的线段的中点在对称轴上.[变式训练3] (2017·广州模拟)直线x -2y +1=0关于直线x +y -2=0对称的直线方程是( )A .x +2y -1=0 B.2x -y -1=0 C .2x +y -3=0D.x +2y -3=0B [由题意得直线x -2y +1=0与直线x +y -2=0的交点坐标为(1,1). 在直线x -2y +1=0上取点A (-1,0),设A 点关于直线x +y -2=0的对称点为B (m ,n ), 则⎩⎪⎨⎪⎧n -0m +1×(-1)=-1,m -12+n 2-2=0,解得⎩⎨⎧m =2,n =3.故所求直线的方程为y -13-1=x -12-1,即2x -y -1=0.][思想与方法]1.两直线的位置关系要考虑平行、垂直和重合.对于斜率都存在且不重合的两条直线l 1,l 2,l 1∥l 2⇔k 1=k 2;l 1⊥l 2⇔k 1·k 2=-1.若有一条直线的斜率不存在,那么另一条直线的斜率一定要特别注意.2.对称问题一般是将线与线的对称转化为点与点的对称,点与线的对称,利用坐标转移法.[易错与防范]1.判断两条直线的位置关系时,首先应分析直线的斜率是否存在.两条直线都有斜率,可根据判定定理判断,若直线无斜率时,要单独考虑.2.(1)求点到直线的距离时,应先化直线方程为一般式;(2)求两平行线之间的距离时,应先将方程化为一般式且x ,y 的系数对应相等.。

2019版高考数学一轮复习第8章平面解析几何8.2两条直线的位置关系课件文

2019版高考数学一轮复习第8章平面解析几何8.2两条直线的位置关系课件文

方法技巧 研究两直线平行与垂直关系的解题策略
1.已知两直线的斜率存在. (1)两直线平行⇔两直线的斜率相等且在坐标轴上的截 距不等; (2)两直线垂直⇔两直线的斜率之积等于-1. 2.当含参数的直线方程为一般式时,若要表示出直线 的斜率,不仅要考虑到斜率存在的一般情况,也要考虑到斜 率不存在的特殊情况,同时还要注意 x,y 的系数不能同时 为零这一隐含条件.
yx+ +21×23=-1, 2×x-2 1-3×y-2 2+1=0, ∴A′-3133,143.
解得 x=-3133, y=143.
[结论探究 1] 本例中条件不变,求直线 l 关于点 A(-1, -2)对称的直线 l′的方程.
解 ∵l∥l′, ∴设 l′的方程为 2x-3y+C=0(C≠1). ∵点 A(-1,-2)到两直线 l,l′的距离相等, ∴由点到直线的距离公式, 得|-22+2+6+32C|=|-22+2+6+321|,解得 C=-9, ∴l′的方程为 2x-3y-9=0.
(2)(2017·广州模拟)直线 x-2y+1=0 关于 x=1 对称的 直线方程是( )
A.x+2y-1=0 B.2x+y-1=0 C.2x+y-3=0 D.x+2y-3=0
解析 由题意得直线 x-2y+1=0 与 x=1 的交点坐标 为(1,1),又直线 x-2y+1=0 上的点(-1,0)关于直线 x=1 对称的点为(3,0),所以由直线方程两点式,得1y--00=1x--33, 即 x+2y-3=0.故选 D.
A.-23B.-322源自3C.3D.2
解析 由于直线 l 与经过点(-2,1)的斜率为-23的直线 垂 直 , 可 知 a - 2≠ - a - 2. 因 为 直 线 l 的 斜 率 k1 = -a1--2--1a-2=-1a,所以-1a·-23=-1,所以 a=-23. 故选 A.
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第二节 两条直线的位置关系[考纲传真] (教师用书独具)1.能根据两条直线的斜率判断这两条直线平行或垂直.2.能用解方程组的方法求两条相交直线的交点坐标.3.掌握两点间的距离公式、点到直线的距离公式,会求两平行直线间的距离.(对应学生用书第129页)[基础知识填充]1.两条直线平行与垂直的判定(1)两条直线平行①对于两条不重合的直线l 1,l 2,若其斜率分别为k 1,k 2,则有l 1∥l 2⇔k 1=k 2.②当直线l 1,l 2不重合且斜率都不存在时,l 1∥l 2.(2)两条直线垂直①如果两条直线l 1,l 2的斜率存在,设为k 1,k 2,则有l 1⊥l 2⇔k 1·k 2=-1. ②当其中一条直线的斜率不存在,而另一条直线的斜率为0时,l 1⊥l 2.2.两条直线的交点的求法直线l 1:A 1x +B 1y +C 1=0,l 2:A 2x +B 2y +C 2=0(A 1,B 1,C 1,A 2,B 2,C 2为常数),则l 1与l 2的交点坐标就是方程组⎩⎨⎧A 1x +B 1y +C 1=0,A 2x +B 2y +C 2=0的解. 3.三种距离[知识拓展] 三种常见的直线系方程(1)平行于直线Ax+By+C=0的直线系方程:Ax+By+λ=0(λ≠C).(2)垂直于直线Ax+By+C=0的直线系方程:Bx-Ay+λ=0.(3)过两条已知直线A1x+B1y+C1=0,A2x+B2y+C2=0交点的直线系方程:A1x+B1y+C1+λ(A2x+B2y+C2)=0(不包括直线A2x+B2y+C2=0).[基本能力自测]1.(思考辨析)判断下列结论的正误.(正确的打“√”,错误的打“×”)(1)当直线l1和l2斜率都存在时,一定有k1=k2⇒l1∥l2.()(2)如果两条直线l1与l2垂直,则它们的斜率之积一定等于-1.()(3)点P(x0,y0)到直线y=kx+b的距离为|kx0+b|1+k2.()(4)已知直线l1:A1x+B1y+C1=0,l2:A2x+B2y+C2=0(A1,B1,C1,A2,B2,C2为常数),若直线l1⊥l2,则A1A2+B1B2=0.()(5)若点P,Q分别是两条平行线l1,l2上的任意一点,则P,Q两点的最小距离就是两条平行线的距离.()(6)若两直线的方程组成的方程组有唯一解,则两直线相交.()[答案](1)×(2)×(3)×(4)√(5)√(6)√2.(教材改编)已知点(a,2)(a>0)到直线l:x-y+3=0的距离为1,则a等于()A.2B.2- 2C.2-1 D.2+1C[由题意得|a-2+3|2=1,即|a+1|=2,又a>0,∴a=2-1.]3.已知直线l1:ax+(3-a)y+1=0,l2:x-2y=0.若l1⊥l2,则实数a的值为________.2[由aa-3=-2,得a=2.]4.已知点P(-1,1)与点Q(3,5)关于直线l对称,则直线l的方程为________.x+y-4=0[线段PQ的中点坐标为(1,3),直线PQ的斜率k1=1,∴直线l的斜率k2=-1,∴直线l的方程为x+y-4=0.]5.直线l1:x-y+6=0与l2:3x-3y+2=0的距离为________.823[直线l1可化为3x-3y+18=0,则l1∥l2,所以这两条直线间的距离d=|18-2|32+32=823.](对应学生用书第130页)(1)设a∈R,则“a=1”是“直线l1:ax+2y-1=0与直线l2:x+(a+1)y+4=0平行”的()A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件(2)若直线l1:(a-1)x+y-1=0和直线l2:3x+ay+2=0垂直,则实数a的值为()A.12B.32C.14D.34(1)A(2)D[(1)当a=1时,显然l1∥l2,若l1∥l2,则a(a+1)-2×1=0,所以a=1或a=-2.所以a=1是直线l1与直线l2平行的充分不必要条件.(2)由已知得3(a-1)+a=0,解得a=3 4.][规律方法] 1.已知两直线的斜率存在,判断两直线平行、垂直的方法(1)两直线平行⇔两直线的斜率相等且在坐标轴上的截距不等;(2)两直线垂直⇔两直线的斜率之积等于-1.2.由一般式判定两条直线平行、垂直的依据若直线l1:A1x+B1y+C1=0,l2:A2x+B2y+C2=0,则①l1∥l2⇔A1B2-A2B1=0,且A1C2-A2C1≠0(或B1C2-B2C1≠0);②l1⊥l2⇔A1A2+B1B2=0.易错警示:当含参数的直线方程为一般式时,若要表示出直线的斜率,不仅要考虑到斜率存在的一般情况,也要考虑到斜率不存在的特殊情况,同时还要注意x,y的系数不能同时为零这一隐含条件.[跟踪训练](1)(2017·广东揭阳一模)若直线mx+2y+m=0与直线3mx+(m -1)y+7=0平行,则m的值为()A.7 B.0或7C.0 D.4(2)(2017·安徽池州月考)已知b>0,直线(b2+1)x+ay+2=0与直线x-b2y -1=0互相垂直,则ab的最小值等于________.(1)B(2)2[(1)∵直线mx+2y+m=0与直线3mx+(m-1)y+7=0平行,∴m(m-1)=3m×2,∴m=0或7,经检验,都符合题意.故选B.(2)由题意知a≠0.∵直线(b2+1)x+ay+2=0与直线x-b2y-1=0互相垂直,∴-b2+1a·1b2=-1,ab=b2+1b(a>0),ab≥2bb=2,当且仅当b=1时取等号,∴ab的最小值等于2.](1)求经过两条直线l1:x +y -4=0和l 2:x -y +2=0的交点,且与直线2x -y -1=0垂直的直线方程为________. 【导学号:97190270】(2)直线l 过点P (-1,2)且到点A (2,3)和点B (-4,5)的距离相等,则直线l 的方程为________.(1)x +2y -7=0 (2)x +3y -5=0或x =-1[(1)由⎩⎪⎨⎪⎧ x +y -4=0,x -y +2=0,得⎩⎪⎨⎪⎧x =1,y =3,∴l 1与l 2的交点坐标为(1,3).设与直线2x -y -1=0垂直的直线方程为x +2y +c =0,则1+2×3+c =0,∴c =-7.∴所求直线方程为x +2y -7=0.(2)法一:当直线l 的斜率存在时,设直线l 的方程为y -2=k (x +1),即kx -y +k +2=0. 由题意知|2k -3+k +2|k 2+1=|-4k -5+k +2|k 2+1, 即|3k -1|=|-3k -3|,∴k =-13,∴直线l 的方程为y -2=-13(x +1),即x +3y -5=0. 当直线l 的斜率不存在时,直线l 的方程为x =-1,也符合题意.法二:当AB ∥l 时,有k =k AB =-13,直线l 的方程为y -2=-13(x +1),即x +3y -5=0.当l 过AB 中点时,AB 的中点为(-1,4),∴直线l 的方程为x =-1.故所求直线l 的方程为x +3y -5=0或x =-1.][规律方法] 1.求过两直线交点的直线方程的方法求过两直线交点的直线方程,先解方程组求出两直线的交点坐标,再结合其他条件写出直线方程.2.处理距离问题的两大策略(1)点到直线的距离问题可直接代入点到直线的距离公式去求.(2)动点到两定点距离相等,一般不直接利用两点间距离公式处理,而是转化为动点在以两定点为端点的线段的垂直平分线上,从而简化计算.[跟踪训练] (1)(2017·河北省“五个一名校联盟”质检)若直线l 1:x +ay +6=0与l 2:(a -2)x +3y +2a =0平行,则l 1与l 2间的距离为( )A . 2B .823C . 3D .833(2)已知点P (4,a )到直线4x -3y -1=0的距离不大于3,则a 的取值范围为________.(1)B (2)[0,10] [(1)因为l 1∥l 2,所以1a -2=a 3≠62a ,所以⎩⎪⎨⎪⎧a (a -2)=3,2a 2≠18,a ≠2,a ≠0,解得a =-1,所以l 1:x -y +6=0,l 2:x -y +23=0,所以l 1与l 2之间的距离d =⎪⎪⎪⎪⎪⎪6-232=823,故选B .(2)由题意得,点P到直线的距离为|4×4-3×a-1|5=|15-3a|5.∴|15-3a|5≤3,即|15-3a|≤15,解得0≤a≤10,所以a的取值范围是[0,10].](1)过点P(0,1)作直线l使它被直线l1:2x+y-8=0和l2:x-3y+10=0截得的线段被点P平分,则直线l的方程为________.(2)平面直角坐标系中直线y=2x+1关于点(1,1)对称的直线l方程是________.(1)x+4y-4=0(2)y=2x-3[(1)设l1与l的交点为A(a,8-2a),则由题意知,点A关于点P的对称点B(-a,2a-6)在l2上,把B点坐标代入l2的方程得-a-3(2a-6)+10=0,解得a=4,即点A(4,0)在直线l上,所以由两点式得直线l的方程为x+4y-4=0.(2)法一:在直线l上任取一点P′(x,y),其关于点(1,1)的对称点P(2-x,2-y)必在直线y=2x+1上,∴2-y=2(2-x)+1,即2x-y-3=0.因此,直线l的方程为y=2x-3.法二:由题意,l与直线y=2x+1平行,设l的方程为2x-y+c=0(c≠1),则点(1,1)到两平行线的距离相等,∴|2-1+c|22+1=|2-1+1|22+1,解得c=-3.因此所求直线l的方程为y=2x-3.法三:在直线y=2x+1上任取两个点A(0,1),B(1,3),则点A关于点(1,1)对称的点M (2,1),点B 关于点(1,1)对称的点N (1,-1).由两点式求出对称直线MN 的方程为y +11+1=x -12-1,即y =2x -3.]1.在题(2)中“将结论”改为“求点A (1,1)关于直线y =2x +1的对称点”,则结果如何?[解] 设点A (1,1)关于直线y =2x +1的对称点为A ′(a ,b ),则AA ′的中点为⎝ ⎛⎭⎪⎫1+a 2,1+b 2, 所以⎩⎪⎨⎪⎧ 1+b 2=2×1+a 2+1,b -1a -1×2=-1,解得⎩⎪⎨⎪⎧ a =-35,b =95,故点A (1,1)关于直线y =2x +1的对称点为⎝ ⎛⎭⎪⎫-35,95. 2.在题(2)中“关于点(1,1)对称”改为“关于直线x -y =0对称”,则结果如何?[解] 在直线y =2x +1上任取两个点A (0,1),B (1,3),则点A 关于直线x -y =0的对称点为M (1,0),点B 关于直线x -y =0的对称点为N (3,1),根据两点式,得所求直线的方程为y -10-1=x -31-3,即x -2y -1=0.[规律方法] 常见对称问题的求解方法,(1)中心对称,①点P (x ,y )关于Q (a ,b )的对称点P ′(x ′,y ′)满足⎩⎪⎨⎪⎧x ′=2a -x ,y ′=2b -y .,②直线关于点的对称可转化为点关于点的对称问题来解决.,(2)轴对称,①点A (a ,b )关于直线Ax +By +C =0(B ≠0)的对称点A ′(m ,n ),则有⎩⎪⎨⎪⎧ n -b m -a ×⎝ ⎛⎭⎪⎫-A B =-1,A ·a +m 2+B ·b +n 2+C =0.,即转化为垂直与平方问题.,②直线关于直线的对称可转化为点关于直线的对称问题来解决.[跟踪训练] (1)已知点A (1,3)关于直线y =kx +b 对称的点是B (-2,1),则直线y =kx +b 在x 轴上的截距是________. 【导学号:97190271】(2)(2017·河北五校联考)直线ax +y +3a -1=0恒过定点M ,则直线2x +3y -6=0关于M 点对称的直线方程为( )A .2x +3y -12=0B .2x -3y -12=0C .2x -3y +12=0D .2x +3y +12=0(1)56 (2)D [(1)由题意得线段AB 的中点⎝ ⎛⎭⎪⎫-12,2在直线y =kx +b 上,直线AB 与直线y =kx +b 垂直,故⎩⎨⎧ 3-11+2·k =-1,2=k ·⎝ ⎛⎭⎪⎫-12+b ,解得k =-32,b =54.所以直线y =kx +b 的方程即为y =-32x +54.令y =0,即-32x +54=0,解得x =56,故直线y=kx +b 在x 轴上的截距为56. (2)由ax +y +3a -1=0,可得a (x +3)+(y -1)=0,令⎩⎪⎨⎪⎧ x +3=0,y -1=0,可得x =-3,y =1,∴M (-3,1),M 不在直线2x +3y -6=0上,设直线2x +3y -6=0关于M 点对称的直线方程为2x +3y +c =0(c ≠-6),则|-6+3-6|4+9=|-6+3+c |4+9,解得c =12或c =-6(舍去),∴所求方程为2x +3y +12=0,故选D .]。

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