浙江省杭州求是高级中学2020届高考数学一轮复习 4.4平面向量的应用学案(无答案)

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【高中教育】2020高三数学一轮复习第14讲平面向量的概念及应用教案

③若a r =(x,y)，则 a r=( x, y)；④若 1122,,,a x y b x y r r ，则1221//0a b x y x y rr 。

二．典例分析给出下列命题：①两个具有共同终点的向量，一定是共线向量；②若A ，B ，C ，D 是不共线的四点，则AB u u u r ＝DC u u ur 是四边形ABCD 为平行四边形的充要条件；③若a 与b 同向，且|a |>|b |，则a >b ；④λ，μ为实数，若λa ＝μb ，则a 与b 共线．其中假命题的个数为( ) A ．1 B ．2 C ．3D ．4①不正确．当起点不在同一直线上时，虽然终点相同，但向量不共线．②正确．∵AB u u u r ＝DC u u u r ，∴|AB u u u r |＝|DC u u u r |且AB u u u r ∥DC u u ur 。

又∵A ，B ，C ，D 是不共线的四点， ∴四边形ABCD 是平行四边形．反之，若四边形ABCD 是平行四边形，则AB 綊DC 且AB u u u r 与DC u u ur 方向相同，因此AB u u u r ＝DC u u ur 。

③不正确．两向量不能比较大小．④不正确．当λ＝μ＝0时，a 与b 可以为任意向量，满足λa ＝μb ，但a 与b 不一定共线．C由题悟法1．平面向量的概念辨析题的解题方法准确理解向量的基本概念是解决该类问题的关键，特别是对相等向量、零向量等概念的理解要到位，充分利用反例进行否定也是行之有效的方法．2．几个重要结论(1)向量相等具有传递性，非零向量的平行具有传递性； (2)向量可以平移，平移后的向量与原向量是相等向量； (3)向量平行与起点的位置无关。

以题试法1．设a 0为单位向量，①若a 为平面内的某个向量，则a ＝|a |a 0；②若a 与a 0平行，则a ＝|a |a 0；③若a 与a 0平行且|a |＝1，则a ＝a 0。

2020年高考数学一轮复习讲练测浙江版专题5.4平面向量的应用(讲)含解析

2020年高考数学一轮复习讲练测（浙江版）第五章平面向量、数系的扩充与复数的引入第04讲平面向量的应用---讲1. 会用向量方法解决某些简单的平面几何问题.2.高考预测：（1）以考查向量的共线、数量积、夹角、模为主，基本稳定为选择题或填空题，难度中等以下；（2）以平面图形为载体，借助于向量的坐标形式等考查数量积、夹角、垂直的条件等问题；也易同三角函数、解析几何等知识相结合，以工具的形式出现．力学方面应用的考查较少. 3.备考重点：（1）理解有关概念是基础，掌握线性运算、坐标运算、数量积运算的方法是关键；（2）解答与平面几何、三角函数、解析几何等交汇问题时，注意运用数形结合的数学思想，将共线、垂直等问题，通过建立平面直角坐标系，转换成利用坐标运算求解问题.知识点1．平面向量在几何中的应用1. 平行向量：方向相同或相反的非零向量，又叫共线向量，规定：0与任一向量共线． 2．共线向量定理：向量a (a ≠0)与b 共线，当且仅当有唯一一个实数λ，使得b ＝λa . 3. 向量共线的充要条件的坐标表示若1122()()a x y b x y ==，，，，则a b ∥⇔12210x y x y =-. 4. 设a ＝(a 1，a 2)，b ＝(b 1，b 2)，则：（1）a ·b ＝a 1b 1＋a 2b 2. （2）a ⊥b ⇔a 1b 1＋a 2b 2＝0.【典例1】（2019·浙江高考模拟）如图，,C D 是以AB 直径的圆O 上的动点，已知2AB =，则•AC BD 的最大值是（）A ．12B C ．2D 1【答案】A 【解析】如图，先将C 视为定点，设∠CAB ＝θ，θ∈[0，2π），则AC=2cos θ，连接CB ，则CB ⊥AC ，过O 作AC 的平行线交圆O 于E ，交BC 于M ，且M 为垂足，又知当D 、C 在AB 同侧时，•AC BD 取最大值，设D 在OE 的投影为N ，当C 确定时，M 为定点，则当N 落在E 处时，MN 最大，此时•AC BD 取最大值，由向量的几何意义可知，•AC BD =AC MN ，最大时为AC ME ，又OM=OB cos θ, ∴1ME =-cos θ，∴•AC BD 最大为ACME =2cos θ2cos θ1?cos θ11?cos θ222+-⎡⎤-≤⨯=⎢⎥⎣⎦,当且仅当cos θ=12时等号成立，即θ=3π， ∴ •AC BD 的最大值为12.故选A. 【思路点拨】1.本题考查向量数量积的几何意义，考查了数形结合思想，解题关键是找到数量积取得最大时的D 的位置，当题目中有多个动点时，可以先定住一个点，是常用的手段. 本题先将C 视为定点，过点O 作AC 的平行线交圆O 于点E ，交BC 于M ，且M 为垂足，设D 在OE 的投影为N ，由向量的几何意义可知，•AC BD =ACMN ，只需当N 落在E 处时，MN 最大，求得•AC BD =2cos θ1?cos θ-，再由θ∈[0，2π）求得最值即可. 2.涉及求最值问题，往往有两种思路，一是利用几何图形的特征确定最值状态，二是利用函数观点，建立函数关系，求函数的最值.【变式1】（2019·浙江高三期中）已知向量，满足，，若对任意实数x 都有，则的最小值为______【答案】【解析】如图，由，知在上的投影为2，即，，对任意实数x 都有，．由摄影定理可得，．设，取，可得P 在直线BC 上，线段OP 的最小值为O 到直线BC 的距离，当时，．故答案为：．【典例2】（2019·四川高考模拟（文））直线x y a +=与圆C ：()2212x y -+=交于A ，B 两点，向量CA ，CB 满足CA CB CA CB +=-，则实数a 的取值集合为______.【答案】{1+ 【解析】由CA ，CB 满足CA CB CA CB +=-，得CA CB ⊥，圆C ：()2212x y -+=的圆心为()1,0，，点C 到直线x y a +=的距离为1，由1d ==，得1a =.故实数a 的取值集合为{}12,12-+. 【思路点拨】根据条件可以得到CA CB ⊥，从而得出点C 到直线x y a +=的距离为1，进而利用点到直线的距离公式求出a .【变式2】（2019·江苏高考模拟）在平面直角坐标系xOy 中，已知()11,A x y ，()22,B x y 为圆221x y +=上两点，且121212x x y y +=-．若C 为圆上的任意一点，则CA CB 的最大值为______．【答案】32【解析】因为C 为圆x 2+y 2＝1上一点，设C （sin θ，cos θ），则()()1122sin ,cos ,sin ,cos CA x y CB x y θθθθ=--=--，∵()11,A x y ，()22,B x y 为圆221x y +=上两点，∴222211221,1x y x y +=+=，又121212x x y y +=-，∴()()2212121212CA CB x x y y x x sin y y cos sincos θθθθ⋅=+-+-+++()()2212121)2x x y y θϕ=++++ 222211*********)2x y x y x x y y θϕ=++++++ 1sin()2θϕ=-+，其中1212tan y y x x ϕ+=+，∵sin()θϕ+∈[﹣1，1]，∴当sin()θϕ+＝1时，CA CB ⋅的最大值为32．故答案为：32．考点1 平面向量与几何图形【典例3】（2019·江苏高考模拟）在平面四边形ABCD中，，，．若，则的最小值为____．【答案】【解析】如图，以的中点为坐标原点，以方向为轴正向，建立如下平面直角坐标系.则，，设，则，，因为所以，即：整理得：，所以点在以原点为圆心，半径为的圆上.在轴上取，连接可得，所以，所以由图可得：当三点共线时，即点在图中的位置时，最小.此时最小为.【总结提升】向量与平面几何综合问题的解法(1)坐标法把几何图形放在适当的坐标系中，则有关点与向量就可以用坐标表示，这样就能进行相应的代数运算和向量运算，从而使问题得到解决． (2)基向量法适当选取一组基底，沟通向量之间的联系，利用向量间的关系构造关于未知量的方程进行求解．【变式3】（2019·北京高考模拟（理））如图，在菱形ABCD 中，3π∠=B ，4AB =.（1）若P 为BC 的中点，则·PA PB = ______（2）点P 在线段BC 上运动，则|PA PB +|的最小值为___________ 【答案】0， 23【解析】（1）菱形ABCD 中，∠B 3π=，AB ＝4，P 为BC 的中点，∴BP ＝2，AP ＝3 ∴AP 2+BP 2＝AB 2，即AP ⊥BP 则PA •PB =0（2）∵点P 在线段BC 上运动，可设BP ＝x ，M 为AB 中点则|PA PB +|＝2|PM | △BPM 中，PM 22212222x x ⎛⎫=+-⨯⨯= ⎪⎝⎭x 2-2x +4， ∵0≤x ≤4，当x ＝1时，PM 3|PA PB +|＝2|PM |的最小值为3故答案为：0，3考点2 平面向量与平面解析几何【典例4】（2018·浙江省杭州第二中学高考模拟）已知点为单位圆上的动点，点为坐标原点，点在直线上，则的最小值为__________．【答案】2. 【解析】设，，则，所以．又，故．令，则，又，当即时等号成立，故，填．【总结提升】向量在解析几何中的作用(1)载体作用：向量在解析几何问题中出现，多用于“包装”，解决此类问题时关键是利用向量的意义、运算脱去“向量外衣”，导出曲线上点的坐标之间的关系，从而解决有关距离、斜率、夹角、轨迹、最值等问题．(2)工具作用：利用a ⊥b ⇔a ·b ＝0；a ∥b ⇔a ＝λb (b ≠0)，可解决垂直、平行问题，特别是向量垂直、平行的坐标表示在解决解析几何中的垂直、平行问题时经常用到．【变式4】（2019·天津实验中学高考模拟（文））已知A ，B 是圆O ：224x y +=上的两个动点，2AB =，5233OC OA OB =-.若M 是线段AB 的中点，则OC OM ⋅的值为__.【答案】3 【解析】设11(,)A x y ，22(,)B x y ，则11(,)OA x y =，22(,)OB x y =，1212,22x x y y OM ++⎛⎫= ⎪⎝⎭，()2121,AB x x y y =--，所以1212525252,,333333OC OA OB x x y y ⎛⎫=-=-- ⎪⎝⎭. 由2AB =，得()()2221214x x y y -+-=， ① 又A ，B 在圆O 上，所以22114x y +=，22224x y +=， ② 联立①②得12122x x y y +=，所以121212125252,,333322x x y y OC OM x x y y ++⎛⎫⎛⎫⋅=--⋅ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭化简并整理，得()()()222211221212511632x y x y x x y y +-+++ 511442632=⨯-⨯+⨯ 3=.优解：由条件易知OAB ∆为正三角形. 又由M 为AB 的中点，则1OM (OA OB)2=+，所以152()233OC OM OA OB OA OB ⎛⎫⋅=+⋅- ⎪⎝⎭22152||||233OA OA OB OB ⎛⎫=+⋅- ⎪⎝⎭3=.【典例5】（2018·全国高考真题（理））设抛物线C ：y 2=4x 的焦点为F ，过点（–2，0）且斜率为的直线与C 交于M ，N 两点，则=（）A ．5B ．6C ．7D ．8 【答案】D 【解析】根据题意，过点（–2，0）且斜率为的直线方程为，与抛物线方程联立，消元整理得：，解得，又，所以，从而可以求得，故选D.【思路点拨】该题考查的是有关直线与抛物线相交求有关交点坐标所满足的条件的问题，在求解的过程中，首先需要根据题意确定直线的方程，之后需要联立方程组，消元化简求解，从而确定出，之后借助于抛物线的方程求得，最后一步应用向量坐标公式求得向量的坐标，之后应用向量数量积坐标公式求得结果，也可以不求点M、N的坐标，应用韦达定理得到结果.【变式5】（2018·浙江高二期末）设F，B分别为椭圆的右焦点和上顶点，O为坐标原点，C是直线与椭圆在第一象限内的交点，若，则椭圆的离心率是A．B．C．D．【答案】A【解析】根据，由平面向量加法法则，则与交点为的中点，故，联立椭圆、直线方程，可得，则可得故选：A．考点3 平面向量与三角函数【典例6】（2018·浙江省杭州第二中学高考模拟）如图，在边长为1的正方形ABCD中，E为AB的中点，P为以A为圆心，AB为半径的圆弧（在正方形内，包括边界点）上的任意一点，则的取值范围是________；若向量，则的最小值为_________.【答案】【解析】如图，以A为原点，以AB所在直线为x轴，建立平面直角坐标系，结合题意，可知，所以，因为，所以，所以，所以的范围是；根据，可得，即，从而可以求得，所以，因为，所以，所以当取得最大值1时，同时取得最小值0，这时取得最小值为，所以的最小值是.【思路点拨】首先根据图形的特征，建立适当的平面直角坐标系，根据正方形的边长，得到，并设出点，利用终点坐标减去起点坐标，得到对应向量的坐标利用向量数量积坐标公式求得结果；再者就是利用向量相等得到坐标的关系，将其值转化为对应自变量的函数关系，结合自变量的取值范围，求得最小值.【变式6】如图，在xoy 平面上，点)0,1(A ，点B 在单位圆上，θ=∠AOB （πθ<<0）（1）若点)54,53(-B ，求)42tan(πθ+的值；（2）若OC OB OA =+，四边形OACB 的面积用θS 表示，求S ⋅+θ的取值范围.【答案】（1）-3，（2）120+≤⋅+<S θ.【解析】（1）由于)54,53(-B ，θ=∠AOB ，所以53cos -=θ，54sin =θ253154cos 1sin 2tan =-=+=θθθ ，于是)42tan(πθ+321212tan12tan1-=-+=-+=θθ. （2）θS θθsin sin 11=⨯⨯=，由于)0,1(=OA ,)sin ,(cos θθ=OB ，所以)sin ,cos 1(θθ+=+=OB OA OC ，θθθcos 1sin 0)cos 1(1+=⨯++⨯=⋅OC OA ，则 S ⋅+θ1)4sin(21cos sin ++=++=πθθθ（πθ<<0），由于4544ππθπ<+<，所以1)4sin(22≤+<-πθ，所以120+≤⋅+<OC OA S θ. 考点4 平面向量与数列问题【典例7】（2019·江苏高考模拟）在ABC ∆中，已知AB 边上的中线1CM =，且1tan A ，1tan C，1tan B成等差数列，则AB 的长为________. 23【解析】因为1tan A ，1tan C ，1tan B 成等差数列，所以211tan tan tan C A B =+，即2cos cos cos sin()sin sin sin sin sin sin sin sin C A B A B CC A B A B A B+=+==，所以2sin 2cos sin sin C C A B =，由正弦定理可得2cos 2c C ab=，又由余弦定理可得222cos 2a b c C ab +-=，所以222222a b c c ab ab+-=，故2222a b c +=，又因为AB 边上的中线1CM =，所以1CM =，因为()12CM CA CB =+，所以22222422cos CMCA CB CA CB CA CB CA CB C =++⋅=++，即22224232c b a ab c ab=++⋅=，解23c =. 即AB 23. 故答案为33【思路点拨】先由1tan A ，1tan C ，1tan B成等差数列，结合正弦定理与余弦定理，得到2222a b c +=，再由AB 边上的中线1CM =，()12CM CA CB =+，得到22224232c b a ab c ab=++⋅=，进而可求出结果. 【变式7】（2017·浙江高考模拟）设数列{}n x 的各项都为正数且11x =. ABC ∆内的点()*n P n N∈均满足n P AB ∆与n P AC ∆的面积比为2:1，若()112102n n n n nPA x PB x PC ++++=，则4x 的值为( ) A ．15 B ．17 C ．29 D ．31 【答案】A 【解析】由()112102n n n n n P A x P B x P C ++++=得()11212n n n n n P A x P C x P B +++=- ，设()21n n nP D x PC =+ 以线段n n P A P D 、作出平行四边形n AEDP ，如图，则111,22n n n n n n n P E P A P D P E x P B P B ++==-∴=， 12PnAE n PnABSx S+∴= ， 121n n n n P C P C AE x P D ==+∴1,12PnAC PnAC PnADPnAEnS S SSx ==+则()112122PnAC n PnABn S x Sx +==+即1121121n n n n x x x x ++=+∴+=+，（），则{}1n x + 构成以2为首项，以2为公比的等比数列，所以3412216x +=⨯= ，所以415x =；故选A ．。

2020年高考数学一轮复习第四章平面向量第4讲平面向量的应用举例课件理

(1)证明线段平行或点共线问题，包括相似问题，常用共线向量定理：
a∥b⇔a＝λb(b≠0)⇔x1y2－x2y1＝0. (2)证明垂直问题，常用数量积的运算性质： a⊥b⇔a·b＝0⇔___x_1_x_2_＋__y1_y_2_＝__0__. (3)求夹角问题，利用夹角公式：
2.平面向量与其他数学知识的交汇平面向量作为一种运算工具，经常与函数、不等式、三角函数、数列、解析几何等知识结合.当平面向量给出的形式中含有未知数时，由向量平行或垂直的充要条件可以得到关于该未知数的关系式.在此基础上，可以求解有关函数、不等式、三角函数、数列的综合问题.此类问题的解题思路是转化为代数运算，其转化途径主要有两种：一是利用平面向量平行或垂直的充要条件；二是利用向量数量积的公式和性质.
图 4-4-5
答案：C
【互动探究】
解析：如图 D33，建立平面直角坐标系，图 D33
图 D29
答案：2
考点 1 平面向量在平面几何中的应用
答案：B
(3)(2018 年天津)如图 4-4-3，在平面四边形 ABCD 中，AB ⊥BC，AD⊥CD，∠BAD＝120°，AB＝AD＝1.若点 E 为边 CD
图 4-4-3
A.2116
B.32
C.2156
D.3
解析：建立如图 D30 所示的平面直角坐标系.
考点 2 平面向量在解析几何中的应用答案：6
图 D32
答案：A
答案：A
答案：A
图 4-4-4
难点突破 ⊙ 利用数形结合的思想求最值
答案：A
(2)已知 a，b 是平面内两个互相垂直的单位向量，若向量 c
满足(a－c)·(b－c)＝0，则|c|的最大值是( )

人教版高考数学文科一轮总复习配套课件4.4平面向量应用举例

考点一
考点二
考点三
考点四
思想方法
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举一反三 1 已知点 O,N,P 在△ABC 所在的平面内,且 |��|=|�� |=|�� |,�� + �� + �� =0,�� ·�� = �� ·�� = �� ·��,则点
C ∴ △ABC 为直角三角形.
解析考点一考点二考点三考点四思想方法答案 10
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方法提炼对于此类问题,一般需要灵活运用向量的运算法则、运算律,将已知条件等价变形,从而得到结论. 特别地,有的问题还需要依据几何图形选取适当的基底(基底中的向量尽量已知模或夹角),将题中涉及的向量用基底表示,然后计算或证明.
与该直线垂直,向量 a=(-B,A)与该直线平行.
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2.平面向量在物理中的应用 (1)由于物理学中的力、速度、位移都是矢量,它们的分解与合成和向量的减法和加法相似,可以用向量的知识来解决. (2)物理学中的功是一个标量,是力 F 与位移 s 的数量积,即 W=F· s=|F||s|cosθ(θ 为 F 与 s 的夹角).
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-6基础自测
1.若不重合的四点 P,A,B,C,满足�� + �� + �� =0,�� + ��=m��,则实数 m 的值为(B) A.2 C.4 B.3 D.5

2020导与练一轮复习文科数学：第四篇平面向量(必修4) 第3节平面向量的数量积及平面向量的应用含解析

第3节　平面向量的数量积及平面向量的应用【选题明细表】知识点、方法题号平面向量的数量积1,2,8,9,11平面向量的夹角与垂直4,5,6,7,13平面向量的模3,10,14平面向量的综合应用12,15基础巩固(时间:30分钟)1.(2018·全国Ⅱ卷)已知向量a,b满足|a|=1,a·b=-1,则a·(2a-b)等于(　B　)(A)4(B)3(C)2(D)0解析:a·(2a-b)=2a2-a·b=2|a|2-a·b.因为|a|=1,a·b=-1,所以原式=2×12+1=3.故选B.2.已知|a|=6,|b|=3,a·b=-12,则向量a在向量b方向上的投影是(　A　)(A)-4(B)4(C)-2(D)2解析:因为a·b=|a||b|cos<a,b>=18cos<a,b>=-12,所以cos<a,b>=-.所以a在b方向上的投影是|a|cos<a,b>=-4.3.(2018·云南玉溪模拟)a=(2,1),a·b=10,|a+b|=5,则|b|等于(　C　)(A)(B)(C)5(D)25解析:因为a=(2,1),所以a=,因为a·b=10,|a+b|=5,所以|a+b|2=(5)2,即|a|2+|b|2+2a·b=50,所以|b|2=25,所以|b|=5,故选C.4.已知向量=(1,1),=(2,3),则下列向量与垂直的是(　D　)(A)a=(3,6)(B)b=(8,-6)(C)c=(6,8)(D)d=(-6,3)解析:因为=(1,1),=(2,3),所以=(1,2).由于·d=(1,2)·(-6,3)=0,故⊥d.故选D.5.(2018·江西九校联考)已知向量a=(x2,x+2),b=(-,-1),c=(1,),若a∥b,则a与c的夹角为(　A　)(A)(B)(C)(D)解析:因为a∥b,所以=,所以x2=(x+2),cos<a,c>=====,又<a,c>∈[0,π],所以<a,c>=,故选A.6.设向量a=(1,m),b=(m-1,2),且a≠b.若(a-b)⊥a,则实数m的值为(　C　)(A)(B)1或2(C)1(D)2解析:因为(a-b)⊥a,所以(a-b)·a=0,即a2-b·a=0,1+m2-(m-1+2m)=0,m2-3m+2=0.解得m=2或m=1.当m=1时,a=(1,1),b=(0,2),满足a≠b;当m=2时,a=(1,2),b=(1,2),不满足a≠b,故舍去.综上,m=1.故选C.7.(2018·大连双基测试)若向量a,b的夹角为,且|a|=2,|b|=1,则a与a+2b 的夹角为(　A　)(A)(B)(C)(D)解析:因为向量a,b的夹角为,且|a|=2,|b|=1,所以a·b=2×1×cos =1,|a+2b|===2,所以cos<a,a+2b>====,因为<a,a+2b>∈[0,π],所以<a,a+2b>=.8.(2018·云南昆明一中月考)已知a=(-1,),b=(0,2),则向量a在向量b方向上的投影为 .解析:因为a·b=-1×0+×2=2,|b|=2,所以向量a在向量b方向上的投影为|a|·cos<a,b>===.答案:9.一质点受到平面上的三个力F1,F2,F3(单位:牛顿)的作用而处于平衡状态.已知F1,F2成60°角,且F1,F2的大小分别为2和4,则F3的大小为 . 解析:由题意知F3=-(F1+F2),所以|F3|=|F1+F2|,所以|F3|2=|F1|2+|F2|2+2|F1||F2|cos 60°=28,所以|F3|=2.答案:2能力提升(时间:15分钟)10.已知向量a,b满足|a-b|=3且b=(0,-1),若向量a在向量b方向上的投影为-2,则|a|等于(　A　)(A)2(B)2(C)4(D)12解析:由|a-b|=3,得|a-b|2=(a-b)2=a2-2a·b+b2=9,所以a·b===,由向量a在向量b方向上的投影为-2,则==-2,即|a|2=4,所以|a|=2.故选A.11. (2018·河南鹤壁高级中学段考)如图,BC,DE是半径为1的圆O的两条直径,=2,则·等于(　B　)(A)-(B)-(C)-(D)-解析:因为=2,圆O的半径为1,所以||=,所以·=(+)·(+)=||2+·(OE+)+·=()2+0-1=-.故选B.12.(2018·江西赣州红色七校联考)已知点M是边长为2的正方形ABCD的内切圆内(含边界)一动点,则·的取值范围是(　C　)(A)[-1,0](B)[-1,2](C)[-1,3](D)[-1,4]解析: 设M(x,y),如图,建立平面直角坐标系,由题意,点M所在的轨迹为(x-1) 2+(y-1)2≤1(0≤x≤2,0≤y≤2),设M(x,y),又A(0,0),B(2,0),所以·=(-x,-y)·(2-x,-y)=-x(2-x)+y2=(x-1)2+y2-1,因为∈[0,2],所以(x-1)2+y2∈[0,4],所以(x-1)2+y2-1∈[-1,3],即·∈[-1,3].故选C.13.已知单位向量e1与e2的夹角为α,且cos α=,向量a=3e1-2e2与b=3e1-e2的夹角为β,则cos β= .解析:a·b=(3e1-2e2)·(3e1-e2)=9+2-9×1×1×=8.因为|a|2=(3e1-2e2)2=9+4-12×1×1×=9,所以|a|=3.因为|b|2=(3e1-e2)2=9+1-6×1×1×=8,所以|b|=2,所以cos β===.答案:14.在△ABC中,(-3)⊥,则角A的最大值为 .解析:设△ABC中,角A,B,C所对应的边分别为a,b,c由已知得(-3)·=(-3)·(-)=+3-4·=0,所以cos A==≥=,则角A的最大值为.答案:15.在平行四边形ABCD中,AD=1,∠BAD=60°,E为CD的中点.若·=1,则AB= .解析:在平行四边形ABCD中,取AB的中点F,则=,所以==-,又因为=+,所以·=(+)·(-)=-·+·-=||2+||||cos 60°-||2=1+×||-||2=1.所以(-||)||=0,又||≠0,所以||=,即AB=.答案:。

高考数学一轮复习第4章第4节平面向量的应用举例课件理苏教版

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[解] 建立如图所示的平面直角坐标系，设正方形的边长为 1， DP＝λ(0＜λ＜ 2)，则 A(0,1)，P 22λ， 22λ，E1， 22λ，F 22λ，0，
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∴P→A＝－ 22λ，1－ 22λ， E→F＝ 22λ－1，－ 22λ，
∴|P→A|＝－ 22λ2＋1－ 22λ2 ＝ λ2－ 2λ＋1，
[答案] 0
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4．已知 A，B 是圆心为 C，半径为 5的圆上两点，且|A→B|＝ 5，则A→C·C→B＝________.
[解析] 由题设条件易知△ABC 为正三角形，A→C与C→B的夹角为 120°，所以A→C·C→B＝ 5× 5×－12＝－52.
[答案] －52
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|E→F|＝
22λ－12＋－
22λ2
＝ λ2－ 2λ＋1，
∴|P→A|＝|E→F|，即 PA＝EF. ppt精选
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【规律方法】 1．用向量法证明两条线段长相等转化为证两向量的模相等． 2．用向量方法解决平面几何问题可分三步： (1)建立平面几何与向量的联系，用向量表示问题中涉及的几何元素，将平面几何问题转化为向量问题； (2)通过向量运算，研究几何元素之间的关系，如距离、夹角等问题； (3)把运算结果“翻译”成几何关系．
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(2)在平面直角坐标系 xOy 中，若定点 A(1,2)与动点 P(x，y)满足O→P·O→A＝4，则点 P 的轨迹方程是 x＋2y－4＝0.( )
(3)在△ABC 中，若A→B·B→C<0，则△ABC 为钝角三角形．( ) (4)已知三个力 f1，f2，f3 作用于物体同一点，使物体处于平衡状态，若 f1＝(2,2)，f2＝(－2,3)，则|f3|为 5.( )

浙江省杭州求是高级中学高考数学一轮复习4.2平面向量基本定理及

浙江省杭州求是高级中学高考数学一轮复习4.2平面向量基本定理及4.2平面向量基本定理和坐标表示学习和考试要点1。

检验平面向量基本定理的应用；2.检查矢量坐标表示和矢量共线性的应用。

本节回顾目标1。

理解平面向量基本定理的含义和作用；2.用定理表示向量，然后进行向量运算。

教材环节。

自主学习。

平面向量基本定理如果e1和e2是同一平面上的两个向量，那么对于该平面上的任何向量A，一对实数λ1和λ2使得A = λ 1E1+λ 2E2。

其中，非共线向量e1、e2被称为一组。

2 .表示该平面中所有向量的平面向量的坐标运算(1)向量加法、减法、数乘向量和向量模a = (x1，y1)，b = (x2，y2)，然后a+b=，a-b=，λa=，|a|=。

(2)矢量坐标的求解(1)如果矢量的起点是坐标的原点，那么终点的坐标就是矢量的坐标。

→(2)如果设置了A(x1，y1)和B(x2，y2)，ab =，| ab | = .共线平面矢量的坐标表示设a = (x1，y1)，b = (x2，y2)，其中b≠0 . a∑b？基础知识，自测→→→1.在平行四边形ABCD中，e和f分别是边CD和BC的中点，如果AC = λ AE+μ af，其中λ，如果μ∈R，λ+μ = _ _ _ _ _ _。

→→→进去？在ABCD中，交流是对角线，交流= (2，4)，交流= (1，3)，那么矢量BD的坐标是_ _ _ _ _ _ 3。

已知向量A = (1，2)，B = (-3，2)，如果Ka+B平行于B，则K = _ _ _ _ .如果向量A = (1，1)，B = (-1，1)，C = (4，2)，那么C等于()3a+3b-a+3bB.3a-b D.a+3b5.(XXXX广东卷)让A是一个已知的平面向量，A？0，在向量a的分解上，有如下四个命题:(1)给定方向量b，总有一个向量c，使a？b？c；(2)对于方向量B和C，总是有一个实数？然后呢。

a。

浙江专用2020年新高考数学一轮复习第五章平面向量复数1第1讲平面向量的概念及线性运算教学案

第五章平面向量、复数知识点最新考纲平面向量的几何意义及基本概念理解平面向量及几何意义，理解零向量、向量的模、单位向量、向量相等、平行向量、向量夹角的概念.向量的线性运算掌握平面向量加法、减法、数乘的概念，并理解其几何意义.平面向量的基本定理及坐标表示理解平面向量的基本定理及其意义，会用平面向量基本定理解决简单问题．掌握平面向量的正交分解及其坐标表示．掌握平面向量的加法、减法与数乘的坐标运算.平面向量的数量积及向量的应用理解平面向量数量积的概念及其几何意义．掌握平面向量数量积的坐标运算，掌握数量积与两个向量的夹角之间的关系．会用坐标表示平面向量的平行与垂直．会用向量方法解决某些简单的平面几何问题.复数了解复数的定义、复数的模和复数相等的概念．了解复数的加、减运算的几何意义．理解复数代数形式的四则运算.1．向量的有关概念(1)向量：既有大小又有方向的量叫做向量，向量的大小叫做向量的模．(2)零向量：长度为0的向量，其方向是任意的．(3)单位向量：长度等于1个单位的向量．(4)平行向量：方向相同或相反的非零向量，又叫共线向量，规定：0与任一向量共线．(5)相等向量：长度相等且方向相同的向量．(6)相反向量：长度相等且方向相反的向量．2．向量的线性运算向量运算定义法则(或几何意义)运算律加法求两个向量和的运算交换律：a ＋b ＝b ＋a ；结合律：(a ＋b )＋c ＝a ＋(b ＋c )减法求a 与b 的相反向量－b 的和的运算a －b ＝a ＋(－b )向量运算定义法则(或几何意义) 运算律数乘求实数λ与向量a 的积的运算|λ a |＝|λ||a |，当λ>0时，λa 与a 的方向相同；当λ<0时，λa 与 a 的方向相反；当λ＝0时，λ a ＝0λ(μ a )＝(λμ)a ； (λ＋μ)a ＝λa ＋μ__a ； λ(a ＋b )＝λa ＋λb向量b 与非零向量a 共线的充要条件是有且只有一个实数λ，使得b ＝λa ． [说明] 三点共线的等价关系A ，P ，B 三点共线⇔AP →＝λAB →(λ≠0)⇔OP →＝(1－t )·OA →＋tOB →(O 为平面内异于A ，P ，B的任一点，t ∈R )⇔OP →＝xOA →＋yOB →(O 为平面内异于A ，P ，B 的任一点，x ∈R ，y ∈R ，x ＋y ＝1)．[疑误辨析]判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)向量与有向线段是一样的，因此可以用有向线段表示向量．( ) (2)AB →＋BC →＋CD →＝AD →.( )(3)若两个向量共线，则其方向必定相同或相反．( )(4)若向量AB →与向量CD →是共线向量，则A ，B ，C ，D 四点在一条直线上．( ) (5)若a ∥b ，b ∥c ，则a ∥c .( )(6)当两个非零向量a ，b 共线时，一定有b ＝λa ，反之成立．( ) 答案：(1)× (2)√ (3)× (4)× (5)× (6)√ [教材衍化](必修4P108B 组T5改编)在平行四边形ABCD 中，若|AB →＋AD →|＝|AB →－AD →|，则四边形ABCD 的形状为________．解析：如图，因为AB →＋AD →＝AC →，AB →－AD →＝DB →，所以|AC →|＝|DB →|.由对角线相等的平行四边形是矩形可知，四边形ABCD 是矩形．答案：矩形 [易错纠偏](1)对向量共线定理认识不准确； (2)向量线性运算不熟致错； (3)向量三角不等式认识不清致错．1．对于非零向量a ，b ，“a ＋b ＝0”是“a ∥b ”的( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件解析：选A.若a ＋b ＝0，则a ＝－b ，所以a ∥b .若a ∥b ，则a ＋b ＝0不一定成立，故前者是后者的充分不必要条件．2．设D ，E 分别是△ABC 的边AB ，BC 上的点，AD ＝12AB ，BE ＝23BC .若DE →＝λ1AB →＋λ2AC →(λ1，λ2为实数)，则λ1＝________，λ2＝________．解析：DE →＝DB →＋BE →＝12AB →＋23BC →＝12AB →＋23(BA →＋AC →)＝－16AB →＋23AC →，所以λ1＝－16，λ2＝23.答案：－16 233．已知向量a ，b ，若|a |＝2，|b |＝4，则|a －b |的取值范围为________．解析：当a 与b 方向相同时，|a －b |＝2，当a 与b 方向相反时，|a －b |＝6，当a 与b 不共线时，2<|a －b |<6，所以|a －b |的取值范围为[2，6]．此题易忽视a 与b 方向相同和a 与b 方向相反两种情况．答案：[2，6]平面向量的有关概念给出下列命题：①若两个向量相等，则它们的起点相同，终点相同； ②若|a |＝|b |，则a ＝b 或a ＝－b ；③若A ，B ，C ，D 是不共线的四点，且AB →＝DC →，则ABCD 为平行四边形；④a ＝b 的充要条件是|a |＝|b |且a ∥b ；其中真命题的序号是________．【解析】 ①是错误的，两个向量起点相同，终点相同，则两个向量相等；但两个向量相等，不一定有相同的起点和终点．②是错误的，|a |＝|b |，但a ，b 方向不确定，所以a ，b 不一定相等或相反． ③是正确的，因为AB →＝DC →，所以|AB →|＝|DC →|且AB →∥DC →；又A ，B ，C ，D 是不共线的四点，所以四边形ABCD 为平行四边形．④是错误的，当a ∥b 且方向相反时，即使|a |＝|b |，也不能得到a ＝b ，所以“|a |＝|b |且a ∥b ”不是“a ＝b ”的充要条件，而是必要不充分条件．【答案】 ③平面向量有关概念的四个关注点(1)相等向量具有传递性，非零向量的平行也具有传递性． (2)共线向量即为平行向量，它们均与起点无关．(3)向量可以平移，平移后的向量与原向量是相等向量，解题时，不要把它与函数图象的移动混淆．(4)非零向量a 与a |a |的关系：a|a |是与a 同方向的单位向量．给出下列命题：①两个具有公共终点的向量一定是共线向量； ②两个向量不能比较大小，但它们的模能比较大小； ③若λa ＝0(λ为实数)，则λ必为零；④已知λ，μ为实数，若λa ＝μb ，则a 与b 共线．其中正确命题的个数为( ) A ．1 B ．2 C ．3D ．4解析：选A.①错误．两向量共线要看其方向而不是看起点与终点．②正确．因为向量既有大小，又有方向，故它们不能比较大小，但它们的模均为实数，故可以比较大小．③错误．当a ＝0时，无论λ为何值，λa ＝0.④错误．当λ＝μ＝0时，λa ＝μb ，此时，a 与b 可以是任意向量．平面向量的线性运算(高频考点)平面向量的线性运算包括向量的加、减及数乘运算，是高考考查向量的热点．常以选择题、填空题的形式出现．主要命题角度有：(1)用已知向量表示未知向量； (2)求参数的值．角度一用已知向量表示未知向量如图，正方形ABCD 中，点E 是DC 的中点，点F 是BC 的一个靠近B 点的三等分点，那么EF →等于( )A.12AB →－13AD →B.14AB →＋12AD →C.13AB →＋12DA →D.12AB →－23AD → 【解析】在△CEF 中，有EF →＝EC →＋CF →. 因为点E 为DC 的中点，所以EC →＝12DC →.因为点F 为BC 的一个靠近B 点的三等分点，所以CF →＝23CB →.所以EF →＝12DC →＋23CB →＝12AB →＋23DA →＝12AB →－23AD →，故选D. 【答案】 D 角度二求参数的值如图，在△ABC 中，AB ＝2，BC ＝3，∠ABC ＝60°，AH ⊥BC于点H ，M 为AH 的中点．若AM →＝λAB →＋μBC →，则λ＋μ＝________．【解析】因为AB ＝2，∠ABC ＝60°，AH ⊥BC ，所以BH ＝1. 因为点M 为AH 的中点，所以AM →＝12AH →＝12(AB →＋BH →)＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫AB →＋13BC →＝12AB →＋16BC →，又AM →＝λAB →＋μBC →，所以λ＝12，μ＝16，所以λ＋μ＝23.【答案】 23向量线性运算的解题策略(1)向量的加减常用的法则是平行四边形法则和三角形法则，一般共起点的向量求和用平行四边形法则，求差用三角形法则，求首尾相连向量的和用三角形法则．(2)找出图形中的相等向量、共线向量，将所求向量与已知向量转化到同一个平行四边形或三角形中求解．1．(2020·嘉兴质检)已知平行四边形ABCD ，点M 1，M 2，M 3，…，M n －1和N 1，N 2，N 3，…，N n －1分别将线段BC 和DC 进行n 等分(n ∈N *，n ≥2)，如图，若AM 1→＋AM 2→＋…＋AM n －1＋AN 1→＋AN 2→＋…＋AN n －1＝45AC →，则n ＝( )A ．29B ．30C ．31D ．32解析：选C.由题图知，因为AM 1→＝AB →＋1n BC →，AM 2→＝AB →＋2n BC →，…，AM n －1＝AB →＋n －1nBC →，AN 1→＝AD →＋1n DC →，AN 2→＝AD →＋2n DC →，…，AN n －1＝AD →＋n －1n DC →.AB →＝DC →，AD →＝BC →.所以AM 1→＋AM 2→＋…＋AM n －1＋AN 1→＋AN 2→＋…＋AN n －1＝⎝⎛⎭⎪⎫n －1＋1n ＋2n＋…＋n －1n ·(AD →＋AB →)＝3（n －1）2AC →，所以3（n －1）2＝45，解得n ＝31.故选C.2．(2019·高考浙江卷)已知正方形ABCD 的边长为1.当每个λi (i ＝1，2，3，4，5，6)取遍±1时，|λ1AB →＋λ2BC →＋λ3CD →＋λ4DA →＋λ5AC →＋λ6BD →|的最小值是________，最大值是________．解析：以点A 为坐标原点，AB 所在直线为x 轴，AD 所在直线为y 轴建立平面直角坐标系，如图，则A (0，0)，B (1，0)，C (1，1)，D (0，1)，所以λ1AB →＋λ2BC →＋λ3CD →＋λ4DA →＋λ5AC →＋λ6BD →＝(λ1－λ3＋λ5－λ6，λ2－λ4＋λ5＋λ6)，所以当⎩⎪⎨⎪⎧λ1－λ3＋λ5－λ6＝0λ2－λ4＋λ5＋λ6＝0时，可取λ1＝λ3＝1，λ5＝λ6＝1，λ2＝－1，λ4＝1，此时|λ1AB →＋λ2BC →＋λ3CD →＋λ4DA →＋λ5AC →＋λ6BD →|取得最小值0；取λ1＝1，λ3＝－1，λ5＝λ6＝1，λ2＝1，λ4＝－1，则|λ1AB →＋λ2BC →＋λ3CD →＋λ4DA →＋λ5AC →＋λ6BD →|取得最大值22＋42＝2 5.答案：0 2 5平面向量共线定理的应用设两个非零向量a 与b 不共线．(1)若AB →＝a ＋b ，BC →＝2a ＋8b ，CD →＝3(a －b )，求证：A ，B ，D 三点共线； (2)试确定实数k ，使k a ＋b 和a ＋k b 共线．【解】 (1)证明：因为AB →＝a ＋b ，BC →＝2a ＋8b ，CD →＝3(a －b )，所以BD →＝BC →＋CD →＝2a ＋8b ＋3(a －b )＝5(a ＋b )＝5AB →，所以AB →，BD →共线，又它们有公共点B ，所以A ，B ，D 三点共线． (2)因为k a ＋b 与a ＋k b 共线，所以存在实数λ，使k a ＋b ＝λ(a ＋k b )，即(k －λ)a ＝(λk －1)b .又a ，b 是两个不共线的非零向量，所以k －λ＝λk －1＝0.所以k 2－1＝0.所以k ＝±1.1．设e 1，e 2是两个不共线的向量，则向量a ＝2e 1－e 2与向量b ＝e 1＋λe 2(λ∈R )共线的充要条件是( )A ．λ＝0B ．λ＝－1C ．λ＝－2D ．λ＝－12解析：选D.因为a ＝2e 1－e 2，b ＝e 1＋λe 2，e 1，e 2不共线，因为a ，b 共线⇔b ＝12a ⇔b ＝e 1－12e 2⇔λ＝－12.2.如图，在△ABC 中，D 为BC 的四等分点，且靠近点B ，E ，F 分别为AC ，AD 的三等分点，且分别靠近A ，D 两点，设AB →＝a ，AC →＝b .(1)试用a ，b 表示BC →，AD →，BE →； (2)证明：B ，E ，F 三点共线．解：(1)△ABC 中，AB →＝a ，AC →＝b ，所以BC →＝AC →－AB →＝b －a ， AD →＝AB →＋BD →＝AB →＋14BC →＝a ＋14(b －a )＝34a ＋14b ， BE →＝BA →＋AE →＝－AB →＋13AC →＝－a ＋13b .(2)证明：BE →＝－a ＋13b ，BF →＝BA →＋AF →＝－AB →＋23AD →＝－a ＋23⎝ ⎛⎭⎪⎫34a ＋14b ＝－12a ＋16b ＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫－a ＋13b ，所以BF →＝12BE →，所以BF →与BE →共线，且有公共点B ，所以B ，E ，F 三点共线．核心素养系列10 数学运算——共线定理的推广与应用[共线定理] 已知PA →，PB →为平面内两个不共线的向量，设PC →＝xPA →＋yPB →，则A ，B ，C三点共线的充要条件为x ＋y ＝1.[推广形式] 如图所示，直线DE ∥AB ，C 为直线DE 上任一点，设PC →＝xPA →＋yPB →(x ，y ∈R )．当直线DE 不过点P 时，直线PC 与直线AB 的交点记为F ，因为点F 在直线AB 上，所以由三点共线结论可知，若PF →＝λPA →＋μPB →(λ，μ∈R )，则λ＋μ＝1.由△PAB 与△PED 相似，知必存在一个常数m ∈R ，使得PC →＝m PF →，则PC →＝mPF →＝mλPA →＋mμPB →.又PC →＝xPA →＋yPB →(x ，y ∈R )，所以x ＋y ＝mλ＋mμ＝m .以上过程可逆．因此得到结论：PC →＝xPA →＋yPB →，则x ＋y ＝m (定值)，反之亦成立． (应用实例)如图，在正六边形ABCDEF 中，P 是△CDE 内(包括边界)的动点，设AP →＝αAB →＋βAF →(α，β∈R )，则α＋β的取值范围是________．【解析】当P 在△CDE 内时，直线EC 是最近的平行线，过D 点的平行线是最远的，所以α＋β∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤AN AM ，AD AM ＝[3，4]．【答案】 [3，4]如图所示，A ，B ，C 是圆O 上的三点，线段CO 的延长线与BA 的延长线交于圆O 外一点D ，若OC →＝mOA →＋nOB →，则m ＋n 的取值范围是________．【解析】由点D 是圆O 外的一点，可设BD →＝λBA →(λ＞1)，则OD →＝OB →＋BD →＝OB →＋λBA →＝λOA →＋(1－λ)OB →.因为C ，O ，D 三点共线，令OD →＝－μOC →(μ＞1)，所以OC →＝－λμOA →－1－λμ·OB →(λ＞1，μ＞1)．因为OC →＝mOA →＋nOB →，所以m ＝－λμ，n ＝－1－λμ，则m ＋n ＝－λμ－1－λμ＝－1μ∈(－1，0)．【答案】 (－1，0)如图，在扇形OAB 中，∠AOB ＝π3，C 为弧AB 上的动点，若OC →＝xOA →＋yOB →，则x ＋3y 的取值范围是________．【解析】 OC →＝xOA →＋3y ⎝ ⎛⎭⎪⎫OB →3，如图，作OB ′→＝OB →3，则考虑以向量OA →，OB ′→为基底．显然，当C 在A 点时，经过m ＝1的平行线，当C 在B 点时，经过m ＝3的平行线，这两条线分别是最近与最远的平行线，所以x ＋3y 的取值范围是[1，3]．【答案】 [1，3][基础题组练]1．下列各式中不能化简为PQ →的是( ) A.AB →＋(PA →＋BQ →) B ．(AB →＋PC →)＋(BA →－QC →) C.QC →－QP →＋CQ →D.PA →＋AB →－BQ →解析：选D.AB →＋(PA →＋BQ →)＝AB →＋BQ →＋PA →＝PA →＋AQ →＝PQ →；(AB →＋PC →)＋(BA →－QC →)＝(AB →＋BA →)＋(PC →－QC →)＝PC →＋CQ →＝PQ →；QC →－QP →＋CQ →＝PC →＋CQ →＝PQ →；PA →＋AB →－BQ →＝PB →－BQ →，显然由PB →－BQ →得不出PQ →，所以不能化简为PQ →的式子是D.2．设a 是非零向量，λ是非零实数，下列结论中正确的是( ) A ．a 与λa 的方向相反 B ．a 与λ2a 的方向相同 C ．|－λa |≥|a |D ．|－λa |≥|λ|a解析：选B.对于A ，当λ>0时，a 与λa 的方向相同，当λ<0时，a 与λa 的方向相反；B 正确；对于C ，|－λa |＝|－λ||a |，由于|－λ|的大小不确定，故|－λa |与|a |的大小关系不确定；对于D ，|λ|a 是向量，而|－λa |表示长度，两者不能比较大小．3．(2020·浙江省新高考学科基础测试)设点M 是线段AB 的中点，点C 在直线AB 外，|AB →|＝6，|CA →＋CB →|＝|CA →－CB →|，则|CM →|＝( )A ．12B ．6C ．3D.32解析：选C.因为|CA →＋CB →|＝2|CM →|，|CA →－CB →|＝|BA →|，所以2|CM →|＝|BA →|＝6，所以|CM →|＝3，故选C.4．已知a ，b 是任意的两个向量，则下列关系式中不恒成立的是( )A ．|a |＋|b |≥|a －b |B ．|a ·b |≤|a |·|b |C ．(a －b )2＝a 2－2a ·b ＋b 2D ．(a －b )3＝a 3－3a 2·b ＋3a ·b 2－b 3解析：选D.由三角形的三边关系和向量的几何意义，得|a |＋|b |≥|a －b |，所以A 正确；因为|a ·b |＝|a ||b ||cosa ，b |，又|cos a ，b |≤1，所以|a ·b |≤|a ||b |恒成立，B 正确；由向量数量积的运算，得(a －b )2＝a 2－2a ·b ＋b 2，C 正确；根据排除法，故选D. 5．已知a ，b 是非零向量，命题p ：a ＝b ，命题q ：|a ＋b |＝|a |＋|b |，则p 是q 的( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件解析：选A.若a ＝b ，则|a ＋b |＝|2a |＝2|a |，|a |＋|b |＝|a |＋|a |＝2|a |，即p ⇒q ，若|a ＋b |＝|a |＋|b |，由加法的运算知a 与b 同向共线，即a ＝λb ，且λ＞0，故q ⇒/ p . 所以p 是q 的充分不必要条件，故选A.6．(2020·温州市普通高中模考)已知A ，B ，C 是圆O 上不同的三点，线段CO 与线段AB 交于点D ，若OC →＝λOA →＋μOB →(λ＞0，μ＞0)，则λ＋μ的取值范围是( )A ．(0，1)B ．(1，＋∞)C ．(1， 2 ]D ．(0， 2 )解析：选B.由题意可得OD →＝kOC →＝kλOA →＋kμOB →(0＜k ＜1)，又A ，D ，B 三点共线，所以kλ＋kμ＝1，则λ＋μ＝1k＞1，即λ＋μ的取值范围是(1，＋∞)，选项B 正确．7．已知▱ABCD 的对角线AC 和BD 相交于O ，且OA →＝a ，OB →＝b ，则DC →＝________，BC →＝________(用a ，b 表示)．解析：如图，DC →＝AB →＝OB →－OA →＝b －a ，BC →＝OC →－OB →＝－OA →－OB →＝－a －b .答案：b －a －a －b8．(2020·温州质检)如图所示，在△ABC 中，BO 为边AC 上的中线，BG →＝2GO →，设CD →∥AG →，若AD →＝15AB →＋λAC →(λ∈R )，则λ的值为 ________．解析：因为BG →＝2GO →，所以AG →＝13AB →＋23AO →＝13AB →＋13AC →，又CD →∥AG →，可设CD →＝mAG →，从而AD→＝AC →＋CD →＝AC →＋m 3AB →＋m 3AC →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋m 3AC →＋m 3AB →.因为AD →＝15AB →＋λAC →，所以m 3＝15，λ＝1＋m 3＝65.答案：659．若|AB →|＝8，|AC →|＝5，则|BC →|的取值范围是________．解析：BC →＝AC →－AB →，当AB →，AC →同向时，|BC →|＝8－5＝3；当AB →，AC →反向时，|BC →|＝8＋5＝13；当AB →，AC →不共线时，3＜|BC →|＜13.综上可知3≤|BC →|≤13.答案：[3，13]10．(2020·杭州中学高三月考)已知P 为△ABC 内一点，且5AP →－2AB →－AC →＝0，则△PAC 的面积与△ABC 的面积之比等于________．解析：因为5AP →－2AB →－AC →＝0，所以AP →＝25AB →＋15AC →，延长AP 交BC 于D ，则53AP →＝23AB →＋13AC →＝AD →，从而可以得到D 是BC 边的三等分点，且CD ＝23CB ，设点B 到边AC 的距离为d ，则点P 到边AC 的距离为23×35d ＝25d ，所以△PAC 的面积与△ABC 的面积之比为25.答案：2511.在△ABC 中，D ，E 分别为BC ，AC 边上的中点，G 为BE 上一点，且GB ＝2GE ，设AB →＝a ，AC →＝b ，试用a ，b 表示AD →，AG →.解：AD →＝12(AB →＋AC →)＝12a ＋12b .AG →＝AB →＋BG →＝AB →＋23BE →＝AB →＋13(BA →＋BC →)＝23AB →＋13(AC →－AB →)＝13AB →＋13AC →＝13a ＋13b . 12．经过△OAB 重心G 的直线与OA ，OB 分别交于点P ，Q ，设OP →＝mOA →，OQ →＝nOB →，m ，n ∈R ，求1n ＋1m的值．解：设OA →＝a ，OB →＝b ，则OG →＝13(a ＋b )，PQ →＝OQ →－OP →＝n b －m a ，PG →＝OG →－OP →＝13(a ＋b )－m a ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫13－m a ＋13b .由P ，G ，Q 共线得，存在实数λ使得PQ →＝λPG →，即n b －m a ＝λ⎝ ⎛⎭⎪⎫13－m a ＋13λb ，从而⎩⎪⎨⎪⎧－m ＝λ⎝ ⎛⎭⎪⎫13－m ，n ＝13λ，消去λ，得1n ＋1m＝3.[综合题组练]1．设P 是△ABC 所在平面内的一点，且CP →＝2PA →，则△PAB 与△PBC 的面积的比值是( ) A.13 B.12 C.23D.34解析：选B.因为CP →＝2PA →，所以|CP →||PA →|＝21，又△PAB 在边PA 上的高与△PBC 在边PC 上的高相等，所以S △PAB S △PBC ＝|PA →||CP →|＝12.2．(2020·福建省普通高中质量检查)已知D ，E 是△ABC 边BC 的三等分点，点P 在线段DE 上，若AP →＝xAB →＋yAC →，则xy 的取值范围是( )A.⎣⎢⎡⎦⎥⎤19，49 B.⎣⎢⎡⎦⎥⎤19，14 C.⎣⎢⎡⎦⎥⎤29，12 D.⎣⎢⎡⎦⎥⎤29，14 解析：选D.由题意，知P ，B ，C 三点共线，则存在实数λ使PB →＝λBC →⎝ ⎛⎭⎪⎫－23≤λ≤－13，所以AB →－AP →＝λ(AC →－AB →)，所以AP →＝－λAC →＋(λ＋1)AB →，则⎩⎪⎨⎪⎧y ＝－λx ＝λ＋1，所以x ＋y ＝1且13≤x ≤23，于是xy ＝x (1－x )＝－⎝ ⎛⎭⎪⎫x －122＋14，所以当x ＝12时，xy 取得最大值14；当x ＝13或x ＝23时，xy 取得最小值29，所以xy 的取值范围为⎣⎢⎡⎦⎥⎤29，14，故选D. 3．(2020·浙江名校协作体高三联考)如图，在△ABC 中，点O 是BC 的中点，过点O 的直线分别交直线AB 的延长线，AC 于不同的两点M ，N ，若AB →＝mAM →，AC →＝nAN →，则m ＋n ＝________．解析：作BG ∥AC ，则BG ∥NC ，|BG ||AN |＝|BM ||AM |.因为O 是BC 的中点，所以△NOC ≌△GOB ，所以|BG |＝|NC |，又因为|AC |＝n |AN |，所以|NC |＝(n －1)|AN |，所以|BG ||AN |＝n －1.因为|AB |＝m |AM |，所以|BM |＝(1－m )|AM |，所以|BM ||AM |＝1－m ，所以n －1＝1－m ，m ＋n ＝2.答案：24.(2020·温州市四校高三调研)如图，矩形ABCD 中，AB ＝3，AD ＝4，M ，N 分别为线段BC ，CD 上的点，且满足1CM 2＋1CN2＝1，若AC →＝xAM →＋yAN →，则x ＋y 的最小值为________．解析：连接MN 交AC 于点G ，由勾股定理，知MN 2＝CM 2＋CN 2，所以1＝1CM 2＋1CN 2＝MN 2CM 2·CN 2，即MN ＝CM ·CN ，所以C 到直线MN 的距离为定值1，此时MN 是以C 为圆心，1为半径的圆的一条切线．因为AC →＝xAM →＋yAN →＝(x ＋y )·⎝ ⎛⎭⎪⎫x x ＋y AM →＋y x ＋y AN →，所以由共线定理知，AC →＝(x ＋y )AG →，所以x ＋y ＝|AC →||AG →|＝5|AG →|，又因为|AG →|max ＝5－1＝4，所以x ＋y 的最小值为54.答案：545．如图，EF 是等腰梯形ABCD 的中位线，M ，N 是EF 上的两个三等分点，若AB →＝a ，BC →＝b ，AB →＝2DC →.(1)用a ，b 表示AM →； (2)证明A ，M ，C 三点共线．解：(1)AD →＝AB →＋BC →＋CD →＝a ＋b ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫－12a ＝12a ＋b ，又E 为AD 中点，所以AE →＝12AD →＝14a ＋12b ，因为EF 是梯形的中位线，且AB →＝2DC →，所以EF →＝12(AB →＋DC →)＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋12a ＝34a ，又M ，N 是EF 的三等分点，所以EM →＝13EF →＝14a ，所以AM →＝AE →＋EM →＝14a ＋12b ＋14a ＝12a ＋12b .(2)证明：由(1)知MF →＝23EF →＝12a ，所以MC →＝MF →＋FC →＝12a ＋12b ＝AM →，又MC →与AM →有公共点M ，所以A ，M ，C 三点共线．6．已知O ，A ，B 是不共线的三点，且OP →＝mOA →＋nOB →(m ，n ∈R )．求证：A ，P ，B 三点共线的充要条件是m ＋n ＝1.证明：充分性：若m ＋n ＝1，则OP →＝mOA →＋(1－m )OB →＝OB →＋m (OA →－OB →)，所以OP →－OB →＝m (OA →－OB →)，即BP →＝mBA →，所以BP →与BA →共线．又因为BP →与BA →有公共点B ，则A ，P ，B 三点共线．必要性：若A ，P ，B 三点共线，则存在实数λ，使BP →＝λBA →，所以OP →－OB →＝λ(OA →－OB →)．又OP →＝mOA →＋nOB →.故有mOA →＋(n －1)OB →＝λOA →－λOB →，即(m －λ)OA →＋(n ＋λ－1)OB →＝0.因为O ，A ，B 不共线，所以OA →，OB →不共线，所以⎩⎪⎨⎪⎧m －λ＝0，n ＋λ－1＝0.所以m ＋n ＝1.所以A ，P ，B 三点共线的充要条件是m ＋n ＝1.。

2020届高三数学(人教B版)一轮复习平面向量的应用学案

§6.4 平面向量的应用1．向量在平面几何中的应用(1)用向量解决常见平面几何问题的技巧：(2)用向量方法解决平面几何问题的步骤平面几何问题――→设向量向量问题――→运算解决向量问题――→还原解决几何问题． 2．向量在解析几何中的应用向量在解析几何中的应用，是以解析几何中的坐标为背景的一种向量描述．它主要强调向量的坐标问题，进而利用直线和圆锥曲线的位置关系的相关知识来解答，坐标的运算是考查的主体．3．向量与相关知识的交汇平面向量作为一种工具，常与函数(三角函数)、解析几何结合，常通过向量的线性运算与数量积，向量的共线与垂直求解相关问题．概念方法微思考1．根据你对向量知识的理解，你认为可以利用向量方法解决哪些几何问题？提示 (1)线段的长度问题．(2)直线或线段平行问题．(3)直线或线段垂直问题．(4)角的问题等．2．如何用向量解决平面几何问题？提示用向量表示问题中涉及的几何元素，将平面几何问题转化为向量问题然后通过向量运算，研究几何元素之间的关系，如距离、夹角等问题，最后把运算结果“翻译”成几何关系．题组一思考辨析1．判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”) (1)若AB →∥AC →，则A ，B ，C 三点共线．( √ )(2)在△ABC 中，若AB →·BC →<0，则△ABC 为钝角三角形．( × )(3)若平面四边形ABCD 满足AB →＋CD →＝0，(AB →－AD →)·AC →＝0，则该四边形一定是菱形．( √ ) (4)已知平面直角坐标系内有三个定点A (－2，－1)，B (0，10)，C (8,0)，若动点P 满足：OP →＝OA →＋t (AB →＋AC →)，t ∈R ，则点P 的轨迹方程是x －y ＋1＝0.( √ ) 题组二教材改编2．[P108A 组T5]已知△ABC 的三个顶点的坐标分别为A (3，4)，B (5,2)，C (－1，－4)，则该三角形为( ) A ．锐角三角形 B ．直角三角形 C ．钝角三角形 D ．等腰直角三角形答案 B解析 AB →＝(2，－2)，AC →＝(－4，－8)，BC →＝(－6，－6)， ∴|AB →|＝22＋(－2)2＝22，|AC →|＝16＋64＝45， |BC →|＝36＋36＝62， ∴|AB →|2＋|BC →|2＝|AC →|2，∴△ABC 为直角三角形．3．[P113A 组T1]在平面直角坐标系xOy 中，若定点A (1,2)与动点P (x ，y )满足OP →·OA →＝4，则点P 的轨迹方程是____________．答案 x ＋2y －4＝0解析由OP →·OA →＝4，得(x ，y )·(1,2)＝4，即x ＋2y ＝4. 题组三易错自纠4．在△ABC 中，已知AB →＝(2,3)，AC →＝(1，k )，且△ABC 的一个内角为直角，则实数k 的值为________________．答案－23或113或3±132解析 ①若A ＝90°，则有AB →·AC →＝0，即2＋3k ＝0，解得k ＝－23；②若B ＝90°，则有AB →·BC →＝0，因为BC →＝AC →－AB →＝(－1，k －3)，所以－2＋3(k －3)＝0，解得k ＝113；③若C ＝90°，则有AC →·BC →＝0，即－1＋k (k －3)＝0，解得k ＝3±132.综上所述，k ＝－23或113或3±132.5．在四边形ABCD 中，AC →＝(1,2)，BD →＝(－4,2)，则该四边形的面积为________．答案 5解析依题意得AC →·BD →＝1×(－4)＋2×2＝0，所以AC →⊥BD →，所以四边形ABCD 的面积为 12|AC →|·|BD →|＝12×5×20＝5. 6．已知点P 在圆x 2＋y 2＝1上，点A 的坐标为(－2,0)，O 为坐标原点，则AO →·AP →的最大值为________．答案 6解析方法一由题意知，AO →＝(2,0)，令P (cos α，sin α)，则AP →＝(cos α＋2，sin α)． AO →·AP →＝(2,0)·(cos α＋2，sin α)＝2cos α＋4≤6，故AO →·AP →的最大值为6.方法二由题意知，AO →＝(2,0)，令P (x ，y )，－1≤x ≤1，则AO →·AP →＝(2,0)·(x ＋2，y )＝2x ＋4≤6，故AO →·AP →的最大值为6.第1课时平面向量在几何中的作用题型一向量在平面几何中的应用命题点1 向量和平面几何知识的综合例1(1)如图，在梯形ABCD 中，AB ∥CD ，CD ＝2，∠BAD ＝π4，若AB →·AC →＝2AB →·AD →，则AD →·AC→＝________.答案 12解析 (1)方法一因为AB →·AC →＝2AB →·AD →，所以AB →·AC →－AB →·AD →＝AB →·AD →，所以AB →·DC →＝AB →·AD →.因为AB ∥CD ，CD ＝2，∠BAD ＝π4，所以2|AB →|＝|AB →||AD →|cos π4，化简得|AD →|＝2 2.故AD →·AC →＝AD →·(AD →＋DC →)＝|AD →|2＋AD →·DC →。

2020年高考数学一轮复习教案：第4章第3节平面向量的数量积与平面向量应用举例(含解析)

第三节平面向量的数量积与平面向量应用举例[考纲传真] 1.理解平面向量数量积的含义及其物理意义.2.了解平面向量的数量积与向量投影的关系.3.掌握数量积的坐标表达式，会进行平面向量数量积的运算.4.能运用数量积表示两个向量的夹角，会用数量积判断两个平面向量的垂直关系.5.会用向量方法解决某些简单的平面几何问题.6.会用向量方法解决简单的力学问题与其他一些实际问题．1．向量的夹角已知两个非零向量a和b，作OA→＝a，OB→＝b，则∠AOB叫做向量a与b的夹角，向量夹角的范围是[0°，180°]，其中当a与b的夹角是90°时，a与b垂直，记作a⊥b，当a与b的夹角为0°时，a∥b，且a与b同向，当a与b的夹角为180°时，a∥b，且a与b反向．2．平面向量的数量积定义已知两个非零向量a和b，它们的夹角为θ，则数量|a||b|·cosθ叫做a与b的数量积(或内积)，记作a·b.规定：零向量与任一向量的数量积为投影|a|cos θ叫做向量a在b方向上的投影；|b|cos θ叫做向量b在a方向上的投影几何意义数量积a·b等于a的长度|a|与b在a的方向上的投影|b|cos θ的乘积(1)交换律：a·b＝b·a；(2)数乘结合律：(λa)·b＝λ(a·b)＝a·(λb)；(3)分配律：a ·(b ＋c )＝a ·b ＋a ·c .4．平面向量数量积的性质及其坐标表示设非零向量a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)，θ＝〈a ，b 〉．1．两个向量a ，b 的夹角为锐角⇔a·b ＞0且a ，b 不共线；两个向量a ，b 的夹角为钝角⇔a·b ＜0且a ，b 不共线． 2．平面向量数量积运算的常用公式 (1)(a ＋b )·(a －b )＝a 2－b 2. (2)(a ＋b )2＝a 2＋2a ·b ＋b 2. (3)(a －b )2＝a 2－2a ·b ＋b 2. 3．当a 与b 同向时，a·b ＝|a||b |；当a 与b 反向时，a·b ＝－|a||b |.[基础自测]1．(思考辨析)判断下列结论的正误．(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)在△ABC 中，向量AB →与BC →的夹角为∠B . ( )(2)向量在另一个向量方向上的投影为数量，而不是向量． ( )(3)若a·b ＞0，则a 和b 的夹角为锐角；若a·b ＜0，则a 和b 的夹角为钝角．( )(4)a·b＝a·c(a≠0)，则b＝c. ()[答案](1)×(2)√(3)×(4)×2．(教材改编)设a＝(5，－7)，b＝(－6，t)，若a·b＝－2，则t的值为()A．－4B．4 C.327D．－327A[a·b＝5×(－6)－7t＝－2，解得t＝－4，故选A.]3．(教材改编)已知|a|＝2，|b|＝6，a·b＝－63，则a与b的夹角θ为()A.π6 B.π3 C.2π3 D.5π6D[cos θ＝a·b|a||b|＝－632×6＝－32，又0≤θ≤π，则θ＝5π6，故选D.]4．已知向量a＝(－2,3)，b＝(3，m)，且a⊥b，则m＝________.2[由a⊥b得a·b＝0，即－6＋3m＝0，解得m＝2.]5．(教材改编)已知|a|＝5，|b|＝4，a与b的夹角θ＝120°，则向量b在向量a方向上的投影为________．－2[由数量积的定义知，b在a方向上的投影为|b|cos θ＝4×cos 120°＝－2.]平面向量数量积的运算1．(2018·全国卷Ⅱ)已知向量a，b满足|a|＝1，a·b＝－1，则a·(2a－b)＝()A．4B．3C．2D．0B[因为|a|＝1，a·b＝－1，所以a·(2a－b)＝2|a|2－a·b＝2×12－(－1)＝3，故选B.]2．已知AB →＝(2,1)，点C (－1,0)，D (4,5)，则向量AB →在CD →方向上的投影为( )A ．－322B ．－3 5 C.322D ．3 5C [因为点C (－1,0)，D (4,5)，所以CD ＝(5,5)，又AB →＝(2,1)，所以向量AB →在CD →方向上的投影为|AB →|cos 〈AB →，CD →〉＝AB →·CD →|CD →|＝1552＝322，故选C.]3．已知△ABC 是边长为1的等边三角形，点D ，E 分别是边AB ，BC 的中点，连接DE 并延长到点F ，使得DE ＝2EF ，则AF →·BC →的值为( )A ．－58 B.18C.14D.118B [如图所示，AF →＝AD →＋DF →. 又D ，E 分别为AB ，BC 的中点，且DE ＝2EF ，所以AD →＝12AB →，DF →＝12AC →＋14AC →＝34AC →，所以AF →＝12AB →＋34AC →. 又BC →＝AC →－AB →，则AF →·BC →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12AB →＋34AC →·(AC →－AB →)＝12AB →·AC →－12AB →2＋34AC →2－34AC →·AB →＝34AC →2－12AB →2－14AC →·AB →. 又|AB →|＝|AC →|＝1，∠BAC ＝60°，故AF →·BC →＝34－12－14×1×1×12＝18. 故选B.][规律方法] 平面向量数量积的三种运算方法(1)当已知向量的模和夹角时，可利用定义法求解，即a·b ＝|a ||b |cos 〈a ，b 〉. (2)当已知向量的坐标时，可利用坐标法求解，即若a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)，则a·b ＝x 1x 2＋y 1y 2.(3)利用数量积的几何意义求解. 平面向量数量积的应用►考法1 求向量的模【例1】 (1)已知平面向量a ，b 的夹角为π6，且|a |＝3，|b |＝2，在△ABC 中，AB →＝2a ＋2b ，AC →＝2a －6b ，D 为BC 中点，则|AD →|等于( )A ．2B ．4C ．6D ．8(2)(2019·广州模拟)已知向量a ，b 的夹角为60°，|a |＝2，|a －2b |＝2，则|b |等于( )A ．4B ．2C. 2 D ．1(1)A (2)D [(1)因为AD →＝12(AB →＋AC →)＝12(2a ＋2b ＋2a －6b )＝2a －2b ，所以|AD →|2＝4(a －b )2＝4(a 2－2b·a ＋b 2)＝4×⎝ ⎛⎭⎪⎫3－2×2×3×cos π6＋4＝4，则|AD →|＝2.(2)由|a －2b |＝2，得(a －2b )2＝|a |2－4a·b ＋4|b |2＝4，即|a |2－4|a||b |cos 60°＋4|b |2＝4，即|b |2－|b |＝0，解得|b |＝0(舍去)或|b |＝1，故选D.] ►考法2 求向量的夹角【例2】 (1)已知向量a ，b 满足(a ＋2b )·(5a －4b )＝0，且|a |＝|b |＝1，则a 与b 的夹角θ为( )A.3π4B.π4C.π3D.2π3(2)若向量a ＝(k,3)，b ＝(1,4)，c ＝(2,1)，已知2a －3b 与c 的夹角为钝角，则k 的取值范围是________．(1)C (2)⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，－92∪⎝ ⎛⎭⎪⎫－92，3 [(1)∵(a ＋2b )·(5a －4b )＝0，∴5a 2＋6a·b －8b 2＝0. 又|a |＝|b |＝1， ∴a·b ＝12， ∴cos θ＝a·b |a||b |＝12.又θ∈[0，π]，∴θ＝π3，故选C.(2)因为2a －3b 与c 的夹角为钝角，所以(2a －3b )·c ＜0，即(2k －3，－6)·(2,1)＜0，所以4k －6－6＜0，所以k ＜3.又若(2a －3b )∥c ，则2k －3＝－12，即k ＝－92.当k ＝－92时，2a －3b ＝(－12，－6)＝－6c ，即2a －3b 与c 反向．综上，k 的取值范围为⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，－92∪⎝ ⎛⎭⎪⎫－92，3.]►考法3 平面向量的垂直问题【例3】 (1)已知向量a ＝(1，－1)，b ＝(6，－4)．若a ⊥(t a ＋b )，则实数t 的值为________．(2)已知向量AB →与AC →的夹角为120°，且|AB →|＝3，|AC →|＝2.若AP →＝λAB →＋AC →，且AP →⊥BC →，则实数λ的值为________．(1)－5 (2)712[(1)∵a ＝(1，－1)，b ＝(6，－4)，∴t a ＋b ＝(t ＋6，－t －4)．又a ⊥(t a ＋b )，则a ·(t a ＋b )＝0，即t ＋6＋t ＋4＝0，解得t ＝－5. (2)由AP →⊥BC →得AP →·BC →＝0，即(λAB →＋AC →)·(AC →－AB →)＝0， ∴(λ－1)AB →·AC →－λAB →2＋AC →2＝0，即－3(λ－1)－9λ＋4＝0. 解得λ＝712.][规律方法] 平面向量数量积求解问题的策略 (1)求两向量的夹角：，要注意θ∈[0，π].(2)两向量垂直的应用：两非零向量垂直的充要条件是：a ⊥b ⇔a ·b ＝0⇔|a －b |＝|a ＋b |.(3)求向量的模：利用数量积求解长度问题的处理方法有：(1)(2017·全国卷Ⅰ)已知向量a ，b 的夹角为60°，|a |＝2，|b |＝1，则|a ＋2b |＝________.(2)(2017·山东高考)已知e 1，e 2是互相垂直的单位向量．若3e 1－e 2与e 1＋λe 2的夹角为60°，则实数λ的值是________．(1)23 (2)33[(1)法一：|a ＋2b |＝(a ＋2b )2＝a 2＋4a·b ＋4b 2＝22＋4×2×1×cos 60°＋4×12＝12＝2 3.法二：(数形结合法)由|a|＝|2b|＝2，知以a与2b为邻边可作出边长为2的菱形OACB，如图，则|a＋2b|＝|OC→|.又∠AOB＝60°，所以|a＋2b|＝2 3.(2)由题意知|e1|＝|e2|＝1，e1·e2＝0，|3e1－e2|＝(3e1－e2)2＝3e21－23e1·e2＋e22＝3－0＋1＝2.同理|e1＋λe2|＝1＋λ2.所以cos 60°＝(3e1－e2)·(e1＋λe2) |3e1－e2||e1＋λe2|＝3e21＋(3λ－1)e1·e2－λe2221＋λ2＝3－λ21＋λ2＝12，解得λ＝33.]平面向量与三角函数的综合【例4】(2017·江苏高考)已知向量a＝(cos x，sin x)，b＝(3，－3)，x∈[0，π]．(1)若a∥b，求x的值；(2)记f(x)＝a·b，求f(x)的最大值和最小值以及对应的x的值．[解](1)因为a＝(cos x，sin x)，b＝(3，－3)，a∥b，所以－3cos x ＝3sin x .若cos x ＝0，则sin x ＝0，与sin 2 x ＋cos 2 x ＝1矛盾，故cos x ≠0. 于是tan x ＝－33. 又x ∈[0，π]，所以x ＝5π6.(2)f (x )＝a ·b ＝(cos x ，sin x )·(3，－3) ＝3cos x －3sin x ＝23cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π6.因为x ∈[0，π]，所以x ＋π6∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π6，7π6，从而－1≤cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π6≤32.于是，当x ＋π6＝π6，即x ＝0时，f (x )取到最大值3；当x ＋π6＝π，即x ＝5π6时，f (x )取到最小值－2 3.[规律方法] 平面向量与三角函数的综合问题的解题思路(1)题目条件给出向量的坐标中含有三角函数的形式，运用向量共线或垂直或等式成立等，得到三角函数的关系式，然后求解.(2)给出用三角函数表示的向量坐标，要求的是向量的模或者其他向量的表达形式，解题思路是经过向量的运算，利用三角函数的定义域内的有界性，求得值域等.在平面直角坐标系xOy 中，已知向量m ＝ ⎛⎪⎫2，－2，n ＝(sinx ，cos x )，x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2.(1)若m ⊥n ，求tan x 的值；(2)若m 与n 的夹角为π3，求x 的值．[解] (1)因为m ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫22，－22，n ＝(sin x ，cos x )，m ⊥n .所以m·n ＝0，即22sin x －22cos x ＝0，所以sin x ＝cos x ，所以tan x ＝1. (2)因为|m |＝|n |＝1，所以m·n ＝cos π3＝12，即22sin x －22cos x ＝12，所以sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π4＝12，因为0＜x ＜π2，所以－π4＜x －π4＜π4，所以x －π4＝π6，即x ＝5π12.1．(2016·全国卷Ⅲ)已知向量BA →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12，32，BC →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫32，12，则∠ABC ＝( )A ．30°B ．45°C ．60°D ．120°A [因为BA →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12，32，BC →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫32，12，所以BA →·BC →＝34＋34＝32.又因为BA →·BC →＝|BA →||BC →|cos ∠ABC ＝1×1×cos ∠ABC ，所以cos ∠ABC ＝32.又0°≤∠ABC ≤180°，所以∠ABC ＝30°.故选A.]2．(2015·全国卷Ⅱ)向量a ＝(1，－1)，b ＝(－1,2)，则(2a ＋b )·a ＝( ) A ．－1 B ．0C ．1D ．2C [法一：∵a ＝(1，－1)，b ＝(－1,2)，∴a 2＝2，a ·b ＝－3，从而(2a ＋b )·a ＝2a 2＋a ·b ＝4－3＝1. 法二：∵a ＝(1，－1)，b ＝(－1,2)，∴2a＋b＝(2，－2)＋(－1,2)＝(1,0)，从而(2a＋b)·a＝(1,0)·(1，－1)＝1，故选C.]3．(2014·全国卷Ⅱ)设向量a，b满足|a＋b|＝10，|a－b|＝6，则a·b＝() A．1 B．2 C．3 D．5A[|a＋b|2＝(a＋b)2＝a2＋2a·b＋b2＝10，|a－b|2＝(a－b)2＝a2－2a·b＋b2＝6，将上面两式左右两边分别相减，得4a·b＝4，∴a·b＝1.]4．(2017·全国卷Ⅰ)已知向量a＝(－1,2)，b＝(m,1)．若向量a＋b与a垂直，则m＝________.7[∵a＝(－1,2)，b＝(m,1)，∴a＋b＝(－1＋m,2＋1)＝(m－1,3)．又a＋b与a垂直，∴(a＋b)·a＝0，即(m－1)×(－1)＋3×2＝0，解得m＝7.]。

2020届一轮复习浙江专版5.1平面向量的概念及其线性运算学案

第一节平面向量的概念及其线性运算1．向量的有关概念名称定义备注向量既有大小又有方向的量；向量的大小叫做向量的长度(或称模)平面向量是自由向量零向量长度为0的向量；其方向是任意的记作0单位向量长度等于1个单位的向量非零向量a 的单位向量为±a|a |平行向量方向相同或相反的非零向量(又叫做共线向量)0与任一向量平行或共线相等向量长度相等且方向相同的向量两向量只有相等或不等，不能比较大小相反向量长度相等且方向相反的向量0的相反向量为02.向量的线性运算向量运算定义法则(或几何意义)运算律加法求两个向量和的运算三角形法则平行四边形法则(1)交换律： a ＋b ＝b ＋a ；(2)结合律：(a ＋b )＋c ＝a＋(b ＋c )减法求a 与b 的相反向量－b 的和的运算叫做a 与b 的差三角形法则 a －b ＝a ＋(－b ) 数乘求实数λ与向量a 的积的运算(1)|λa |＝|λ||a |；(2)当λ＞0时，λa 的方向与a 的方向相同；当λ＜0时，λa 的方向与a 的方向相反；当λ＝0时，λa ＝0λ(μ a )＝(λμ)a ； (λ＋μ)a ＝λa ＋μ a ； λ(a ＋b )＝λa ＋λb向量a (a ≠0)与b 共线，当且仅当有唯一一个实数λ，使得b ＝λa .[小题体验]1．下列四个命题中，正确的命题是( ) A ．若a ∥b ，则a ＝b B ．若|a |＝|b |，则a ＝b C ．若|a |＝|b |，则a ∥b D ．若a ＝b ，则|a |＝|b |答案：D2．若m ∥n ，n ∥k ，则向量m 与向量k ( ) A ．共线 B ．不共线 C ．共线且同向 D ．不一定共线答案：D3．若D 是△ABC 的边AB 上的中点，则向量CD ―→等于( ) A ．－BC ―→＋12BA ―→B ．－BC ―→－12 BA ―→C ．BC ―→ －12BA ―→D ．BC ―→＋12 BA ―→答案：A4．已知a 与b 是两个不共线的向量，且向量a ＋λb 与－(b －3a )共线，则λ＝________. 答案：－131．在利用向量减法时，易弄错两向量的顺序，从而求得所求向量的相反向量，导致错误．2．在向量共线的重要条件中易忽视“a ≠0”，否则λ可能不存在，也可能有无数个． 3．要注意向量共线与三点共线的区别与联系． [小题纠偏]1．若菱形ABCD 的边长为2，则|AB ―→－CB ―→＋CD ―→|＝________. 解析：|AB ―→－CB ―→＋CD ―→|＝|AB ―→＋BC ―→＋CD ―→|＝|AD ―→|＝2. 答案：22．已知a ，b 是非零向量，命题p ：a ＝b ，命题q ：|a ＋b |＝|a |＋|b |，则p 是q 的________条件．解析：若a ＝b ，则|a ＋b |＝|2a |＝2|a |，|a |＋|b |＝|a |＋|a |＝2|a |，即p ⇒q . 若|a ＋b |＝|a |＋|b |，由加法的运算知a 与b 同向共线，即a ＝λb ，且λ＞0，故q ⇒/ p . ∴p 是q 的充分不必要条件．答案：充分不必要考点一平面向量的有关概念(基础送分型考点——自主练透)[题组练透]1．设a 0为单位向量，下列命题中：①若a 为平面内的某个向量，则a ＝|a |·a 0；②若a 与a 0平行，则a ＝|a |a 0；③若a 与a 0平行且|a |＝1，则a ＝a 0.假命题的个数是( )A ．0B ．1C ．2D ．3解析：选D 向量是既有大小又有方向的量，a 与|a |a 0的模相同，但方向不一定相同，故①是假命题；若a 与a 0平行，则a 与a 0的方向有两种情况：一是同向，二是反向，反向时a ＝－|a |a 0，故②③也是假命题．综上所述，假命题的个数是3.2．下列说法中错误的是( )A ．有向线段可以表示向量但不是向量，且向量也不是有向线段B ．若向量a 和b 不共线，则a 和b 都是非零向量C ．长度相等但方向相反的两个向量不一定共线D ．方向相反的两个非零向量必不相等解析：选C 选项A 中向量与有向线段是两个完全不同的概念，故正确；选项B 中零向量与任意向量共线，故a ，b 都是非零向量，故正确；选项C 中是共线向量，故错误；选项D 中既然方向相反就一定不相等，故正确．3．(易错题)给出下列命题： ①若a ＝b ，b ＝c ，则a ＝c ；②若A ，B ，C ，D 是不共线的四点，则AB ―→＝DC ―→是四边形ABCD 为平行四边形的充要条件；③a ＝b 的充要条件是|a |＝|b |且a ∥b ； ④若a ∥b ，b ∥c ，则a ∥c . 其中正确命题的序号是________．解析：①正确．∵a ＝b ，∴a ，b 的长度相等且方向相同，又b ＝c ，∴b ，c 的长度相等且方向相同， ∴a ，c 的长度相等且方向相同，故a ＝c .②正确．∵AB ―→＝DC ―→，∴|AB ―→|＝|DC ―→|且AB ―→∥DC ―→，又A ，B ，C ，D 是不共线的四点， ∴四边形ABCD 为平行四边形；反之，若四边形ABCD 为平行四边形，则AB ―→∥DC ―→且|AB ―→|＝|DC ―→|，因此，AB ―→＝DC ―→.③不正确．当a ∥b 且方向相反时，即使|a |＝|b |，也不能得到a ＝b ，故|a |＝|b |且a ∥b 不是a ＝b 的充要条件，而是必要不充分条件．④不正确．考虑b ＝0这种特殊情况．综上所述，正确命题的序号是①②. 答案：①②[谨记通法]向量有关概念的5个关键点 (1)向量：方向、长度．(2)非零共线向量：方向相同或相反． (3)单位向量：长度是一个单位长度． (4)零向量：方向没有限制，长度是0. (5)相等相量：方向相同且长度相等．考点二向量的线性运算(基础送分型考点——自主练透)[题组练透]1．(2018·武汉调研)设M 为平行四边形ABCD 对角线的交点，O 为平行四边形ABCD 所在平面内的任意一点，则OA ―→＋OB ―→＋OC ―→＋OD ―→等于( )A ．OM ―→B ．2OM ―→C ．3OM ―→D ．4OM ―→解析：选D 因为M 是平行四边形ABCD 对角线AC ，BD 的交点，所以OA ―→＋OC ―→＝2OM ―→，OB ―→＋OD ―→＝2OM ―→，所以OA ―→＋OB ―→＋OC ―→＋OD ―→＝4OM ―→.2．(2018·温州模拟)在等腰梯形ABCD 中，AB ―→＝－2CD ―→，M 为BC 的中点，则AM ―→＝( )A.12AB ―→＋12AD ―→B.34AB ―→＋12AD ―→C.34AB ―→＋14AD ―→ D.12AB ―→＋34AD ―→ 解析：选B 因为AB ―→＝－2CD ―→，所以AB ―→＝2DC ―→.又M 是BC 的中点，所以AM ―→＝12(AB―→＋AC ―→)＝12(AB ―→＋AD ―→＋DC ―→)＝12⎝⎛⎭⎫AB ―→＋AD ―→＋12AB ―→＝34AB ―→＋12AD ―→. 3．(2019·郑州第一次质量预测)如图，在△ABC 中，N 为线段AC 上靠近点A 的三等分点，点P 在线段BN 上且AP ―→＝⎝⎛⎭⎫m ＋211AB ―→＋211BC ―→，则实数m 的值为( )A ．1 B.13C.911D.511解析：选D AP ―→＝⎝⎛⎭⎫m ＋211AB ―→＋211BC ―→＝⎝⎛⎭⎫m ＋211AB ―→＋211(AC ―→－AB ―→)＝m AB ―→＋211AC ―→，设BP ―→＝λBN ―→(0≤λ≤1)，则AP ―→＝AB ―→＋λBN ―→＝AB ―→＋λ(AN ―→－AB ―→)＝(1－λ)AB ―→＋λAN ―→，因为AN ―→ ＝13AC ―→，所以AP ―→＝(1－λ)AB ―→＋13λAC ―→，则⎩⎪⎨⎪⎧m ＝1－λ，211＝13λ，解得⎩⎨⎧λ＝611，m ＝511，故选D.[谨记通法]1．平面向量的线性运算技巧(1)不含图形的情况：可直接运用相应运算法则求解．(2)含图形的情况：将它们转化到三角形或平行四边形中，充分利用相等向量、相反向量、三角形的中位线等性质，把未知向量用已知向量表示出来求解．2．利用平面向量的线性运算求参数的一般思路 (1)没有图形的准确作出图形，确定每一个点的位置．(2)利用平行四边形法则或三角形法则进行转化，转化为要求的向量形式． (3)比较、观察可知所求．考点三共线向量定理的应用(重点保分型考点——师生共研)[典例引领]1．在△ABC 中，点D 在线段BC 的延长线上，且BC ―→＝3CD ―→，点O 在线段CD 上(与点C ，D 不重合)，若AO ―→＝x AB ―→＋(1－x )·AC ―→，则x 的取值范围是( )A.⎝⎛⎭⎫0，12 B.⎝⎛⎭⎫0，13 C.⎝⎛⎭⎫－12，0 D.⎝⎛⎭⎫－13，0 解析：选D 设CO ―→＝y BC ―→，∵AO ―→＝AC ―→＋CO ―→＝AC ―→＋y BC ―→＝AC ―→＋y (AC ―→－AB ―→)＝－y AB ―→＋(1＋y ) AC ―→，∵BC ―→＝3CD ―→，点O 在线段CD 上(与点C ，D 不重合)，∴y ∈⎝⎛⎭⎫0，13，∵AO ―→＝x AB ―→＋(1－x )AC ―→，∴x ∈⎝⎛⎭⎫－13，0. 2．设两个非零向量a 与b 不共线，(1)若AB ―→＝a ＋b ，BC ―→＝2a ＋8b ，CD ―→＝3(a －b )，求证：A ，B ，D 三点共线；(2)试确定实数k ，使k a ＋b 和a ＋k b 同向．解：(1)证明：∵AB ―→＝a ＋b ，BC ―→＝2a ＋8b ，CD ―→＝3a －3b ， ∴BD ―→＝BC ―→＋CD ―→＝2a ＋8b ＋3a －3b ＝5(a ＋b )＝5AB ―→.∴AB ―→，BD ―→共线，又∵它们有公共点B ，∴A ，B ，D 三点共线． (2)∵k a ＋b 与a ＋k b 同向，∴存在实数λ(λ＞0)，使k a ＋b ＝λ(a ＋k b )，即k a ＋b ＝λa ＋λk b .∴(k －λ)a ＝(λk －1)b . ∵a ，b 是不共线的两个非零向量，⎩⎪⎨⎪⎧ k －λ＝0，λk －1＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧ k ＝1，λ＝1或⎩⎪⎨⎪⎧k ＝－1，λ＝－1，又∵λ＞0，∴k ＝1.[由题悟法]共线向量定理的3个应用(1)证明向量共线：对于向量a ，b ，若存在实数λ，使a ＝λb ，则a 与b 共线． (2)证明三点共线：若存在实数λ，使AB ―→＝λAC ―→，则A ，B ，C 三点共线． (3)求参数的值：利用共线向量定理及向量相等的条件列方程(组)求参数的值． [提醒] 证明三点共线时，需说明共线的两向量有公共点．[即时应用]1．设向量a ，b 不共线，AB ―→＝2a ＋p b ，BC ―→＝a ＋b ，CD ―→＝a －2b ，若A ，B ，D 三点共线，则实数p 的值为( )A ．－2B ．－1C ．1D ．2解析：选B 因为BC ―→＝a ＋b ，CD ―→＝a －2b ，所以BD ―→＝BC ―→＋CD ―→＝2a －b .又因为A ，B ，D 三点共线，所以AB ―→，BD ―→共线．设AB ―→＝λBD ―→，所以2a ＋p b ＝λ(2a －b )，所以2＝2λ，p ＝－λ，即λ＝1，p ＝－1.2．如图，在△ABC 中，D ，F 分别是BC ，AC 的中点，AE ―→＝23AD ―→，AB ―→＝a ，AC ―→＝b .(1)用a ，b 表示向量AD ―→，AE ―→，AF ―→，BE ―→，BF ―→；(2)求证：B ，E ，F 三点共线．解：(1)延长AD 到G ，使AD ―→＝12AG ―→，连接BG ，CG ，得到▱ABGC ，所以AG ―→＝a ＋b ， AD ―→＝12AG ―→＝12(a ＋b )，AE ―→＝23AD ―→＝13(a ＋b )，AF ―→＝12AC ―→＝12b ，BE ―→＝AE ―→－AB ―→＝13(a ＋b )－a ＝13(b －2a )，BF ―→＝AF ―→－AB ―→＝12b －a ＝12(b －2a )．(2)证明：由(1)可知BE ―→＝23BF ―→，又因为BE ―→，BF ―→有公共点B ，所以B ，E ，F 三点共线．一抓基础，多练小题做到眼疾手快1．已知O ，A ，B 是同一平面内的三个点，直线AB 上有一点C 满足2AC ―→＋CB ―→＝0，则OC ―→＝( )A ．2OA ―→－OB ―→B ．－OA ―→＋2OB ―→C.23OA ―→－13OB ―→ D ．－13OA ―→＋23OB ―→解析：选A 依题意，得OC ―→＝OB ―→＋BC ―→＝OB ―→＋2AC ―→＝OB ―→＋2(OC ―→－OA ―→)，所以OC ―→＝2OA ―→－OB ―→.2．(2019·石家庄质检)在△ABC 中，点D 在边AB 上，且BD ―→＝12DA ―→，设CB ―→＝a ，CA―→＝b ，则CD ―→＝( )A.13a ＋23b B.23a ＋13bC.35a ＋45bD.45a ＋35b 解析：选B ∵BD ―→＝12DA ―→，∴BD ―→＝13BA ―→，∴CD ―→＝CB ―→＋BD ―→＝CB ―→＋13BA ―→＝CB ―→＋13(CA ―→－CB ―→)＝23CB ―→＋13CA ―→＝23a ＋13b . 3．在四边形ABCD 中，AB ―→＝a ＋2b ，BC ―→＝－4a －b ，CD ―→＝－5a －3b ，则四边形ABCD 的形状是( )A ．矩形B ．平行四边形C ．梯形D ．以上都不对解析：选C 由已知，得AD ―→＝AB ―→＋BC ―→＋CD ―→＝－8a －2b ＝2(－4a －b )＝2BC ―→，故AD ―→∥BC ―→.又因为AB ―→与CD ―→不平行，所以四边形ABCD 是梯形．4．(2018·扬州模拟)在△ABC 中，N 是AC 边上一点且AN ―→＝12NC ―→，P 是BN 上一点，若AP ―→＝m AB ―→＋29AC ―→，则实数m 的值是________．解析：如图，因为AN ―→＝12NC ―→，P 是BN ―→上一点．所以AN ―→＝13AC ―→，AP ―→＝m AB ―→＋29AC ―→＝m AB ―→＋23AN ―→，因为B ，P ，N 三点共线，所以m＋23＝1，则m ＝13. 答案：135．在△ABC 中，∠A ＝60°，∠A 的平分线交BC 于点D ，若AB ＝4，且AD ―→＝14AC ―→＋λAB ―→(λ∈R)，则AD 的长为________．解析：因为B ，D ，C 三点共线，所以14＋λ＝1，解得λ＝34，如图，过点D 分别作AC ，AB 的平行线交AB ，AC 于点M ，N ，则AN ―→＝14AC ―→，AM ―→＝34AB ―→，因为在△ABC 中，∠A ＝60°，∠A 的平分线交BC 于点D ，所以四边形ANDM为菱形，因为AB ＝4，所以AN ＝AM ＝3，AD ＝3 3.答案：3 3二保高考，全练题型做到高考达标1．已知向量a ，b ，且AB ―→＝a ＋2b ，BC ―→＝－5a ＋6b ，CD ―→＝7a －2b ，则一定共线的三点是( )A ．A ，B ，D B ．A ，B ，C C ．B ，C ，DD ．A ，C ，D解析：选A AD ―→＝AB ―→＋BC ―→＋CD ―→＝3a ＋6b ＝3AB ―→.因为AB ―→与AD ―→有公共点A ，所以A ，B ，D 三点共线．2．已知向量a ，b 不共线，且c ＝λa ＋b ，d ＝a ＋(2λ－1)b ，若c 与d 共线反向，则实数λ的值为( )A ．1B ．－12C ．1或－12D ．－1或－12解析：选B 由于c 与d 共线反向，则存在实数k 使c ＝k d (k ＜0)，于是λa ＋b ＝k []a ＋(2λ－1)b .整理得λa ＋b ＝k a ＋(2λk －k )b .由于a ，b 不共线，所以有⎩⎪⎨⎪⎧λ＝k ，2λk －k ＝1，整理得2λ2－λ－1＝0，解得λ＝1或λ＝－12.又因为k ＜0，所以λ＜0，故λ＝－12.3．(2019·浙江六校联考)在平行四边形ABCD 中，点E 为CD 的中点，BE 与AC 的交点为F ，设AB ―→＝a ，AD ―→＝b ，则向量BF ―→＝( )A.13a ＋23b B ．－13a －23bC ．－13a ＋23b D.13a －23b解析：选C 如图，因为点E 为CD 的中点，CD ∥AB ，所以BF EF ＝AB EC ＝2，所以BF ―→＝23BE ―→＝23(BC ―→＋CE ―→)＝23⎝⎛⎭⎫b －12a ＝－13a ＋23b . 4．(2018·遂昌期初)已知a ，b 是两个不共线的非零向量，且起点在同一点上，若a ，t b ，13(a ＋b )三向量的终点在同一直线上，则实数t 的值为( ) A ．2 B ．1 C ．23D ．12解析：选D 由题可设13(a ＋b )＝λa ＋μt b ，因为a ，t b ，13(a ＋b )三向量的终点在同一直线上，所以有λ＋μ＝1.所以13＝λ，μ＝23，所以13＝23t ，解得t ＝12.5．(2019·丹东五校协作体联考)P 是△ABC 所在平面上的一点，满足PA ―→＋PB ―→＋PC ―→＝2AB ―→，若S △ABC ＝6，则△PAB 的面积为( )A ．2B ．3C ．4D ．8解析：选A ∵PA ―→＋PB ―→＋PC ―→＝2AB ―→＝2(PB ―→－PA ―→)，∴3PA ―→＝PB ―→－PC ―→＝CB ―→，∴PA ―→∥CB ―→，且方向相同，∴S △ABC S △PAB ＝BC AP ＝|CB ―→||PA ―→|＝3，∴S △PAB ＝S △ABC3＝2.6．已知O 为△ABC 内一点，且2AO ―→＝OB ―→＋OC ―→，AD ―→＝t AC ―→，若B ，O ，D 三点共线，则t 的值为________．解析：设线段BC 的中点为M ，则OB ―→＋OC ―→＝2OM ―→. 因为2AO ―→＝OB ―→＋OC ―→，所以AO ―→＝OM ―→，则AO ―→＝12AM ―→＝14(AB ―→＋AC ―→)＝14⎝⎛⎭⎫AB ―→＋1t AD ―→＝14AB ―→＋14t AD ―→. 由B ，O ，D 三点共线，得14＋14t ＝1，解得t ＝13.答案：137．设点M 是线段BC 的中点，点A 在直线BC 外，BC ―→2＝16，|AB ―→＋AC ―→|＝|AB ―→－AC ―→|，则|AM ―→|＝________.解析：由|AB ―→＋AC ―→|＝|AB ―→－AC ―→|可知，AB ―→⊥AC ―→，则AM 为Rt △ABC 斜边BC 上的中线，因此，|AM ―→|＝12|BC ―→|＝2.答案：28．已知D ，E ，F 分别为△ABC 的边BC ，CA ，AB 的中点，且BC ―→＝a ，CA ―→＝b ，给出下列命题：①AD ―→＝12a －b ；②BE ―→＝a ＋12b ；③CF ―→＝－12a ＋12b ；④AD ―→＋BE ―→＋CF ―→＝0.其中正确命题的个数为________．解析：BC ―→＝a ，CA ―→＝b ，AD ―→＝12CB ―→＋AC ―→＝－12a －b ，故①错； BE ―→＝BC ―→＋12CA ―→＝a ＋12b ，故②正确； CF ―→＝12(CB ―→＋CA ―→)＝12(－a ＋b )＝－12a ＋12b ，故③正确； AD ―→＋BE ―→＋CF ―→＝－b －12a ＋a ＋12b ＋12b －12a ＝0，故④正确． ∴正确命题为②③④.答案：39．设e 1，e 2是两个不共线的向量，已知AB ―→＝2e 1－8e 2，CB ―→＝e 1＋3e 2，CD ―→＝2e 1－e 2.(1)求证：A ，B ，D 三点共线；(2)若BF ―→＝3e 1－k e 2，且B ，D ，F 三点共线，求k 的值．解：(1)证明：由已知得BD ―→＝CD ―→－CB ―→＝(2e 1－e 2)－(e 1＋3e 2)＝e 1－4e 2，∵AB ―→＝2e 1－8e 2，∴AB ―→＝2BD ―→.又∵AB ―→与BD ―→有公共点B ，∴A ，B ，D 三点共线．(2)由(1)可知BD ―→＝e 1－4e 2，∵BF ―→＝3e 1－k e 2，且B ，D ，F 三点共线，∴BF ―→＝λBD ―→ (λ∈R )，即3e 1－k e 2＝λe 1－4λe 2，得⎩⎪⎨⎪⎧λ＝3，－k ＝－4λ. 解得k ＝12.10．已知a ，b 不共线，OA ―→＝a ，OB ―→＝b ，OC ―→＝c ，OD ―→＝d ，OE ―→＝e ，设t ∈R ，如果3a ＝c ,2b ＝d ，e ＝t (a ＋b )，是否存在实数t 使C ，D ，E 三点在一条直线上？若存在，求出实数t 的值，若不存在，请说明理由．解：由题设知，CD ―→＝d －c ＝2b －3a ，CE ―→＝e －c ＝(t －3)a ＋t b ，C ，D ，E 三点在一条直线上的充要条件是存在实数k ，使得CE ―→＝k CD ―→，即(t －3)a ＋t b ＝－3k a ＋2k b ，整理得(t －3＋3k )a ＝(2k －t )b .因为a ，b 不共线，所以有⎩⎪⎨⎪⎧t －3＋3k ＝0，t －2k ＝0，解得t ＝65. 故存在实数t ＝65使C ，D ，E 三点在一条直线上．三上台阶，自主选做志在冲刺名校 1．如图，在△ABC 中，点D 在线段BC 上，且满足BD ＝12DC ，过点D 的直线分别交直线AB ，AC 于不同的两点M ，N ，若AM ―→＝m AB ―→，AN ―→＝n AC ―→，则( )A ．m ＋n 是定值，定值为2B ．2m ＋n 是定值，定值为3C.1m ＋1n 是定值，定值为2D.2m ＋1n是定值，定值为3 解析：选D 因为M ，D ，N 三点共线，所以AD ―→＝λAM ―→＋(1－λ)AN ―→.又AM ―→＝m AB ―→，AN ―→＝n AC ―→，所以AD ―→＝λm AB ―→＋(1－λ)n AC ―→.又BD ―→＝12DC ―→，所以AD ―→－AB ―→＝12AC ―→－12AD ―→，所以AD ―→＝13AC ―→＋23AB ―→.比较系数知λm ＝23，(1－λ)n ＝13，所以2m ＋1n ＝3，故选D. 2．(2019·长沙模拟)在平行四边形ABCD 中，M 为BC 的中点．若AB ―→＝λAM ―→＋μDB ―→，则λ－μ＝________.解析：如图，在平行四边形ABCD 中，AB ―→＝DC ―→，所以AB ―→＝AM ―→＋MB ―→＝AM ―→＋12CB ―→＝AM ―→＋12(DB ―→－DC ―→)＝AM ―→＋12(DB ―→－AB ―→)＝AM ―→＋12DB ―→－12AB ―→，所以32AB ―→＝AM ―→＋12DB ―→，所以AB ―→＝23AM ―→＋13DB ―→，所以λ＝23，μ＝13，所以λ－μ＝13. 答案：133．已知O ，A ，B 是不共线的三点，且OP ―→＝m OA ―→＋n OB ―→ (m ，n ∈R )．(1)若m ＋n ＝1，求证：A ，P ，B 三点共线；(2)若A ，P ，B 三点共线，求证：m ＋n ＝1.证明：(1)若m ＋n ＝1，则OP ―→＝m OA ―→＋(1－m )OB ―→＝OB ―→＋m (OA ―→－OB ―→)， ∴OP ―→－OB ―→＝m (OA ―→－OB ―→)，即BP ―→＝m BA ―→，∴BP ―→与BA ―→共线．又∵BP ―→与BA ―→有公共点B ，∴A ，P ，B 三点共线．(2)若A ，P ，B 三点共线，则存在实数λ，使BP ―→＝λBA ―→，∴OP ―→－OB ―→＝λ(OA ―→－OB ―→)．又OP ―→＝m OA ―→＋n OB ―→.故有m OA ―→＋(n －1)OB ―→＝λOA ―→－λOB ―→，即(m －λ)OA ―→＋(n ＋λ－1)OB ―→＝0.∵O ，A ，B 不共线，∴OA ―→，OB ―→不共线，∴⎩⎪⎨⎪⎧m －λ＝0，n ＋λ－1＝0，∴m ＋n ＝1.。

高考数学一轮复习 4.4平面向量的应用学案

高考数学一轮复习 4.4平面向量的应用学案4、4 平面向量的应用学考考查重点1、考查向量与平面几何知识、三角函数的综合应用；2、考查向量的物理应用，利用向量解决一些实际问题、本节复习目标1、掌握向量平行、垂直的条件和数量积的意义，会求一些角、距离；2、体会数形结合思想，重视向量的工具性作用、教材链接自主学习1、向量在平面几何中的应用平面向量在平面几何中的应用主要是用向量的线性运算及数量积解决平面几何中的平行、垂直、平移、全等、相似、长度、夹角等问题、(1)证明线段平行或点共线问题，包括相似问题，常用共线向量定理：a∥b⇔a＝λb(b≠0)⇔x1y2－x2y1＝0、(2)证明垂直问题，常用数量积的运算性质a⊥b⇔ab＝0⇔x1x2＋y1y2＝0、(3)求夹角问题，利用夹角公式cos θ＝＝(θ为a与b的夹角)、2、平面向量与其他数学知识的交汇平面向量作为一个运算工具，经常与函数、不等式、三角函数、数列、解析几何等知识结合，当平面向量给出的形式中含有未知数时，由向量平行或垂直的充要条件可以得到关于该未知数的关系式、在此基础上，可以求解有关函数、不等式、三角函数、数列的综合问题、此类问题的解题思路是转化为代数运算，其转化途径主要有两种：一是利用平面向量平行或垂直的充要条件；二是利用向量数量积的公式和性质、基础知识自我测试1、平面上有三个点A(－2，y)，B，C(x，y)，若⊥，则动点C的轨迹方程为_____、2、已知向量a＝(1,1)，b＝(1，－1)，c ＝(cos α，sin α)，α∈R，实数m，n满足ma＋nb＝c，则(m－3)2＋n2的最大值为________、3、已知A、B是以C为圆心，半径为的圆上的两点，且||＝，则等于()A、－B、C、0D、4、 a，b为非零向量，“a⊥b”是“函数f(x)＝(xa＋b)(xb－a)为一次函数”的()A、充分而不必要条件B、必要而不充分条件C、充分必要条件D、既不充分也不必要条件题型分类深度剖析题型一应用平面向量的几何意义解题例1 平面上的两个向量，满足||＝a，||＝b，且⊥，a2＋b2＝4、向量＝x＋y (x，y∈R)，且a22＋b22＝1、(1)如果点M为线段AB的中点，求证：＝＋；(2)求||的最大值，并求此时四边形OAPB面积的最大值、变式训练1: 在△ABC所在平面上有一点P，满足＋＋＝，则△P AB与△ABC的面积之比是 ( )A、B、C、D、题型二平面向量与三角函数的交汇例2 已知在锐角△ABC中，两向量p＝(2－2sin A，cos A＋sin A)，q＝(sin A－cos A,1＋sin A)，且p与q是共线向量、(1)求A的大小；(2)求函数y＝2sin2B＋cos取最大值时，B的大小、变式训练2 :△ABC 的三个内角A，B，C所对的边长分别是a，b，c，设向量m＝(a＋b，sin C)，n＝(a＋c，sin B－sin A)，若m∥n，则角B的大小为________、题型三平面向量与解析几何的综合问题例3 已知平面上一定点C(2,0)和直线l：x＝8，P为该平面上一动点，作PQ⊥l，垂足为Q，且＝0、(1)求动点P的轨迹方程；(2)若EF为圆N：x2＋(y－1)2＝1的任一条直径，求的最小值、变式训练3 :已知圆C：(x－3)2＋(y－3)2＝4及点A(1,1)，M是圆C上的任意一点，点N在线段MA的延长线上，且＝2，求点N的轨迹方程、题型四直击高考例4 已知角A，B，C是△ABC的内角，a，b，c分别是其对边长，向量m＝，n＝，m⊥n、(1)求角A的大小；(2)若a＝2，cos B＝，求b的长、变式训练4：（1）（xx辽宁卷）在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且a＞c。

高考数学一轮复习第27讲平面向量的应用课件理 (浙江专)

由平面向量基本定理，λ23＝λ＝23＋μ 13μ
，所以λμ＝＝6747
.
S△PAB＝14×74＝8，SPBC＝14×(1－67)＝2，所以 S△APC＝14－8－2＝4.
【点评】利用平面向量的基本定理解证平面几何问题的关键是适当选取基底，而选择基向量应遵循以下原则：①尽量选择两个已知的向量；②尽量选择共点或具有垂直关系的两个向量；③尽量选择能将已知量、已知平面中的位置关系及所求量、所证的位置关系等中的两个向量．
第27讲平面向量的应用
掌握平面向量在解析几何、三角函数及数列等方面的综合应用.平面向量是中学数学知识的一个交汇点，成为多项内容的媒介，本讲主要梳理平面向量与三角函数、解析几何、数列的交汇，突出培养学生运用向量工具综合解决问题的能力.
3
1.向量中“数与形”转化化归思想
向量既有大小，又有方向，兼备
二平面向量与三角函数的交汇
【例 2】已知向量 a＝(cosα，sinα)，b＝(cosβ，sinβ)， c＝(－1,0)．
(1)求向量 b＋c 的长度的最大值；
(2)设 α＝π4，且 a⊥(b＋c)，求 cosβ 的值．
【解析】(1)因为 b＋c＝(cosβ－1，sinβ)，则|b＋c|2＝(cosβ－1)2＋sin2β＝2(1－cosβ)．因为－1≤cosβ≤1，所以 0≤|b＋c|2≤4，即 0≤|b＋c|≤2. 当 cosβ＝－1 时，有|b＋c|＝2，所以 b＋c 长度最大值为 2.
1.由于向量具有“数”“形”双重身份，加之向量的工具性作用，向量经常与函数、三角函数、数列、解析几何知识相结合，综合解决相关问题.
2.利用化归思想将共线、平行、垂直、平移变换及定比分点向向量的坐标运算方向转化，线段的长、夹角向向量数量运算转化，建立几何与代数之间互相转化的桥梁.

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§4.4 平面向量的应用
学考考查重点
1.考查向量与平面几何知识、三角函数的综合应用；
2.考查向量的物理应用，利用向量解决一些实际问题．
本节复习目标
1.掌握向量平行、垂直的条件和数量积
的意义，会求一些角、距离；2.体会数形结合思想，重视向量的工具性作用．教材链接·自主学习 1．向量在平面几何中的应用
平面向量在平面几何中的应用主要是用向量的线性运算及数量积解决平面几何中的平行、垂直、平移、全等、相似、长度、夹角等问题．
(1)证明线段平行或点共线问题，包括相似问题，常用共线向量定理：a ∥b ⇔a ＝λb (b ≠0)⇔x 1y 2－x 2y 1＝0.
(2)证明垂直问题，常用数量积的运算性质 a ⊥b ⇔a·b ＝0⇔x 1x 2＋y 1y 2＝0. (3)求夹角问题，利用夹角公式 cos θ＝
a·b |a||b |＝x 1x 2＋y 1y 2
x 21＋y 21x 22＋y 22
(θ为a 与b 的夹角)． 2．平面向量与其他数学知识的交汇
平面向量作为一个运算工具，经常与函数、不等式、三角函数、数列、解析几何等知识结合，当平面向量给出的形式中含有未知数时，由向量平行或垂直的充要条件可以得到关于该未知数的关系式．在此基础上，可以求解有关函数、不等式、三角函数、数列的综合问题．此类问题的解题思路是转化为代数运算，其转化途径主要有两种：一是利用平面向量平行或垂直的充要条件；二是利用向量数量积的公式和性质．基础知识·自我测试
1．平面上有三个点A (－2，y )，B ⎝ ⎛⎭⎪⎫0，y 2，C (x ，y )，若AB →⊥BC →，则动点C 的轨迹方程为_____．
2．已知向量a ＝(1,1)，b ＝(1，－1)，c ＝(2cos α，2sin α)，α∈R ，实数m ，n
满足m a ＋n b ＝c ，则(m －3)2
＋n 2
的最大值为________．
3．已知A 、B 是以C 为圆心，半径为5的圆上的两点，且|AB →|＝5，则AC →·CB →
等于( )
A ．－52
B.52 C ．0 D.532
4． a ，b 为非零向量，“a ⊥b ”是“函数f (x )＝(x a ＋b )·(x b －a )为一次函数”的( )
A ．充分而不必要条件
B ．必要而不充分条件
C ．充分必要条件
D ．既不充分也不必要条件
题型分类·深度剖析
题型一应用平面向量的几何意义解题
例
1
平面上的两个向量OA →，OB →满足|OA →
|
＝a ，|OB →|＝b ，且OA →⊥OB →，a 2＋b 2＝4.向量OP →＝xOA →＋yOB → (x ，y ∈R )，且a 2⎝ ⎛⎭
⎪⎫x －122＋b 2⎝
⎛⎭
⎪⎫
y －12
2＝1.
(1)如果点M 为线段AB 的中点，求证：MP →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x －12OA →＋⎝ ⎛⎭⎪⎫y －12OB →
；
(2)求|OP →
|的最大值，并求此时四边形OAPB 面积的最大值．
变式训练1: 在△ABC 所在平面上有一点P ，满足PA →＋PB →＋PC →＝AB →
，则△PAB 与△ABC 的面积之比是
( )
A.1
3 B.1
2 C.2
3 D.34
题型二平面向量与三角函数的交汇
例
2 已知在锐角△ABC 中，两向量p ＝(2
－2sin A ，cos A ＋sin A )，q ＝(si n A －cos A,1＋sin A )，且p 与q 是共线向量． (1)求A 的大小； (2)求函数y ＝2sin 2
B ＋cos ⎝ ⎛⎭
⎪⎫C －3B 2取最大值时，B 的大小．
变式训练2 :△ABC的三个内角A，B，C所对的边长分别是a，b，c，设向量m＝(a＋b，sin C)，n＝(3a＋c，sin B－sin A)，若m∥n，则角B的大小为________．
题型三平面向量与解析几何的综合问题
例3已知平面上一定点C(2,0)和直线l：
x ＝8，P 为该平面上一动点，作PQ ⊥l ，垂足为Q ，且⎝
⎛⎭⎪⎫PC →＋12PQ →·⎝
⎛⎭
⎪⎫PC →－12
PQ →
＝0.
(1)求动点P 的轨迹方程；
(2)若EF 为圆N ：x 2＋(y －1)2
＝1的任一条直径，求PE →·PF →的最小值．
变式训练3 :已知圆C ：(x －3)2
＋(y －3)2
＝4及点A (1,1)，M 是圆C 上的任意一点，点N 在线段MA 的延长线上，且MA →＝2AN →
，求点N 的轨迹方程．
题型四直击高考
例
4 已知角A ，B ，C 是△ABC 的内角，a ，
b ，
c 分别是其对边长，向量m ＝⎝
⎛⎭⎪⎫23sin A 2
，cos 2A 2，n ＝⎝
⎛⎭
⎪⎫cos A 2
，－2，m ⊥n .
(1)求角A 的大小； (2)若a ＝2，cos B ＝3
3
，求b 的长．
变式训练4：
（1）（2020·辽宁卷）在△ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且a ＞c 。

已知BA →·BC
→
＝2，cos B ＝1
3
，b ＝3。

求：(1)a 和c 的值； (2)cos(B －C )的值．
（2）（2020年辽宁卷）设向量)
()3,sin ,cos ,sinx ,0,.2a x x b x x π⎡⎤
=
=∈⎢⎥⎣⎦
(I)b a =/x 的值； (II)设函数x f ⋅=)(，求)(x f 的最大值。