2016-2017学年四川省成都外国语学校高一上学期期中数学试卷和解析
2016-2017年四川省成都外国语学校高一(上)数学期中试卷和答案
2016-2017学年四川省成都外国语学校高一（上）期中数学试卷一、选择题：本大题共12小题，每小题5分共60分，在每小题所给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，并将正确选项的序号填涂在答题卷．1．（5.00分）设全集U={1，2，3，4，5，6，7}，集合M={1，2，3，5}，N={2，4，5}，则Venn图中阴影部分表示的集合是（）A．{1，3}B．{4}C．{3，5}D．{5}2．（5.00分）设α∈{﹣3，﹣2，﹣1，﹣，，1，2，3}，则使y=xα为奇函数且在（0，+∞）上单调递减的α值的个数为（）A．1 B．2 C．3 D．43．（5.00分）设a=，b=，c=，d=log2则a，b，c，d的大小关系是（）A．b＞d＞c＞a B．a＞b＞c＞d C．c＞a＞b＞d D．a＞c＞b＞d4．（5.00分）已知偶函数f（x）在区间[0，+∞）单调递增，则满足f（2x﹣1）＜f（）的x取值范围是（）A．（，）B．[，）C．（，）D．[，）5．（5.00分）已知log a＜1，则a的取值范围是（）A．B．（）C．（D．6．（5.00分）已知实数a，b满足等式（）a=（）b，下列五个关系式：①0＜b＜a；②a＜b＜0；③0＜a＜b；④b＜a＜0；⑤a=b，其中不可能成立的关系式有（）A．1个 B．2个 C．3个 D．4个7．（5.00分）已知f（）=，则f（x）的解析式为（）A．f（x）=B．f（x）=﹣C．f（x）=D．f（x）=﹣8．（5.00分）设f（x）=，则f（5）的值是（）A．24 B．21 C．18 D．169．（5.00分）已知函数，若a，b，c互不相等，且f（a）=f（b）=f（c），则abc的取值范围是（）A．（1，10）B．（5，6） C．（10，12）D．（20，24）10．（5.00分）已知f（x）=lgx+1（1≤x≤100），则g（x）=f2（x）+f（x2）的值域为（）A．[﹣2，7]B．[2，7]C．[﹣2，14]D．[2，14]11．（5.00分）已知2a=3b=k（k≠1），且2a+b=ab，则实数k的值为（）A．6 B．9 C．12 D．1812．（5.00分）设f（x）是[0，1]上的不减函数，即对于0≤x1≤x2≤1有f（x1）≤f（x2），且满足（1）f（0）=0；（2）f（）=f（x）；（3）f（1﹣x）=1﹣f（x），则f（）=（）A．B．C． D．二、填空题：本大题共4个小题，每小题5分，共20分13．（5.00分）函数y=log0.5（x2+ax+1）的值域是R，则a的取值范围是．14．（5.00分）若函数f（x）=（）|1﹣x|+m有零点，则m的取值范围是．15．（5.00分）若y=log a（ax+3）（a＞0且a≠1）在区间（﹣1，+∞）上是增函数，则a的取值范围是．16．（5.00分）设函数f（x），x、y∈N*满足：①∀a，b∈N*，a≠b有af（a）+bf（b）＞af（b）+bf（a）；②∀n∈N*，有f（f（n））=3n，则f（1）+f（6）+f（28）=．三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤17．（10.00分）求值（1）0.25﹣[﹣2x（）0]2×[（﹣2）3]+10（2﹣）﹣1﹣（2）2log32﹣log3+log38﹣5．18．（10.00分）已知集合A={x|x2﹣2x﹣8=0}，B={x|x2+ax+a2﹣12=0}，且有A∪B=A，求实数a的取值集．19．（12.00分）已知函数f（x）=kx（k≠0），且满足f（x+1）•f（x）=x2+x，（I）求函数f（x）的解析式；（II）若函数f（x）为R上的增函数，h（x）=（f（x）≠1），问是否存在实数m使得h（x）的定义域和值域都为[m，m+1]？若存在，求出m的值，若不存在，请说明理由．20．（12.00分）已知函数f（x）的定义域是（0，+∞），且满足f（xy）=f（x）+f（y），当x＞1时，有f（x）＞0．（1）求f（1），判定并证明f（x）的单调性；（2）若f（2）=1，解不等式f（﹣x）+f（3﹣x）≥﹣2．21．（12.00分）已知函数f（x）=log4（4x+1）+kx（k∈R）是偶函数．（1）求实数k的值；（2）设g（x）=log4（a•2x+a），若f（x）=g（x）有且只有一个实数解，求实数a的取值范围．22．（14.00分）设函数f k（x）=x k+bx+c（k∈N*，b，c∈R），g（x）=log a x（a＞0，a≠1）．（1）若b+c=1，且f k（1）=g（），求a的值；（2）若k=2，记函数f k（x）在[﹣1，1]上的最大值为M，最小值为m，求M﹣m≤4时的b的取值范围；（3）判断是否存在大于1的实数a，使得对任意x1∈[a，2a]，都有x2∈[a，a2]满足等式：g（x1）+g（x2）=p，且满足该等式的常数p的取值唯一？若存在，求出所有符合条件的a的值；若不存在，请说明理由．2016-2017学年四川省成都外国语学校高一（上）期中数学试卷参考答案与试题解析一、选择题：本大题共12小题，每小题5分共60分，在每小题所给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，并将正确选项的序号填涂在答题卷．1．（5.00分）设全集U={1，2，3，4，5，6，7}，集合M={1，2，3，5}，N={2，4，5}，则Venn图中阴影部分表示的集合是（）A．{1，3}B．{4}C．{3，5}D．{5}【解答】解：由Venn图中阴影部分可知对应集合为N∩（∁U M），∵全集U={1，2，3，4，5，6，7}，集合M={1，2，3，5}，N={2，4，5}，∴∁U M={4，6，7}，N∩（∁U M）={4}．故选：B．2．（5.00分）设α∈{﹣3，﹣2，﹣1，﹣，，1，2，3}，则使y=xα为奇函数且在（0，+∞）上单调递减的α值的个数为（）A．1 B．2 C．3 D．4【解答】解：只有当α=﹣3，﹣1时，满足幂函数y=x a为奇函数且在（0，+∞）上单调递减．故选：B．3．（5.00分）设a=，b=，c=，d=log2则a，b，c，d的大小关系是（）A．b＞d＞c＞a B．a＞b＞c＞d C．c＞a＞b＞d D．a＞c＞b＞d【解答】解：∵a=＞c=＞10＜b=＜c=＜1，d=log 2＜0．∴a＞c＞b＞d．故选：D．4．（5.00分）已知偶函数f（x）在区间[0，+∞）单调递增，则满足f（2x﹣1）＜f（）的x取值范围是（）A．（，）B．[，）C．（，）D．[，）【解答】解：∵f（x）是偶函数，∴f（x）=f（|x|），∴不等式等价为f（|2x﹣1|），∵f（x）在区间[0，+∞）单调递增，∴，解得．故选：A．5．（5.00分）已知log a＜1，则a的取值范围是（）A．B．（）C．（D．【解答】解：∵∴①当a＞1时，a＞∴a＞1②当0＜a＜1时，a＜∴0＜a＜综上：a的取值范围是；故选：A．6．（5.00分）已知实数a，b满足等式（）a=（）b，下列五个关系式：①0＜b＜a；②a＜b＜0；③0＜a＜b；④b＜a＜0；⑤a=b，其中不可能成立的关系式有（）A．1个 B．2个 C．3个 D．4个【解答】解：画出函数y=与y=的图象，当x＜0时，y=的图象在y=的图象下方，当x＞0时，y=的图象在y=的图象上方，当a＜0，b＜0时，则a＜b＜0，当a=b=0时，成立，当a＞0，b＞0时，则a＞b＞0，故选：B．7．（5.00分）已知f（）=，则f（x）的解析式为（）A．f（x）=B．f（x）=﹣C．f（x）=D．f（x）=﹣【解答】解：令=t，得x=，∴f（t）==，∴f（x）=．故选：C．8．（5.00分）设f（x）=，则f（5）的值是（）A．24 B．21 C．18 D．16【解答】解：f（x）=，f（5）=f（f（10））=f（f（f（（15）））=f（f（18））=f（21）=21+3=24．故选：A．9．（5.00分）已知函数，若a，b，c互不相等，且f（a）=f（b）=f（c），则abc的取值范围是（）A．（1，10）B．（5，6） C．（10，12）D．（20，24）【解答】解：作出函数f（x）的图象如图，不妨设a＜b＜c，则ab=1，则abc=c∈（10，12）．故选：C．10．（5.00分）已知f（x）=lgx+1（1≤x≤100），则g（x）=f2（x）+f（x2）的值域为（）A．[﹣2，7]B．[2，7]C．[﹣2，14]D．[2，14]【解答】解：由题意得，，解得1≤x≤10，∵f（x）=lgx+1（1≤x≤100），∴g（x）=f2（x）+f（x2）=（lgx+1）2+1+2lgx=（lgx）2+4lgx+2，1≤x≤10设t=lgx，则0≤t≤1，所以h（t）=t2+4t+2，0≤t≤1∵h（t）在[0，1]为增函数，且h（0）=2，h（1）=7∴h（t）=t2+4t+2（0≤t≤1）值域为[2，7]，即g（x）=f2（x）+f（x2）的值域为[2，7]，故选：B．11．（5.00分）已知2a=3b=k（k≠1），且2a+b=ab，则实数k的值为（）A．6 B．9 C．12 D．18【解答】解：∵2a=3b=k（k≠1），∴a=log2k，b=log3k，∴，，∵2a+b=ab，∴=log k9+log k2=log k18=1，∴k=18．故选：D．12．（5.00分）设f（x）是[0，1]上的不减函数，即对于0≤x1≤x2≤1有f（x1）≤f（x2），且满足（1）f（0）=0；（2）f（）=f（x）；（3）f（1﹣x）=1﹣f（x），则f（）=（）A．B．C． D．【解答】解：∵（1）f（0）=0；（2）f（）=f（x）；（3）f（1﹣x）=1﹣f（x），∴f（1）=1﹣f（0）=1，f（）=f（1）=，f（1﹣）=1﹣f（）．即f（）=1﹣=，f（）=f（）=×=，f（）=f（）=×=f（）=f（）=×=，f（）=f（）=×=，f（）=f（）=×=，f（）=f（）=×=，f（）=f（）=×=，f（）=f（）=×=，f（）=f（）=×=，f（）=f（）=×=，f（）=f（）=×=，f（）=f（）=×=，∵对于0≤x1≤x2≤1有f（x1）≤f（x2），∴当≤x≤时，f（x）=，∵∈[，]时，∴f（）=，故选：C．二、填空题：本大题共4个小题，每小题5分，共20分13．（5.00分）函数y=log0.5（x2+ax+1）的值域是R，则a的取值范围是（﹣∞，﹣2]∪[2，+∞）．【解答】解：根据题意，函数y=x2+ax+1的值域包含（0，+∞）；∴△=a2﹣4≥0；∴a≥2，或a≤﹣2；∴a的取值范围是（﹣∞，﹣2]∪[2，+∞）．故答案为：（﹣∞，﹣2]∪[2，+∞）．14．（5.00分）若函数f（x）=（）|1﹣x|+m有零点，则m的取值范围是﹣1≤m＜0．【解答】解：设y=（）|1﹣x|=（）t，∵|1﹣x|=t≥0，∴0＜（）|1﹣x|≤1，∴函数f（x）=（）|1﹣x|+m有零点，m的取值范围是﹣1≤m＜0．故答案为：﹣1≤m＜0．15．（5.00分）若y=log a（ax+3）（a＞0且a≠1）在区间（﹣1，+∞）上是增函数，则a的取值范围是（1，3] ．【解答】解：∵y=log a（ax+3）（a＞0且a≠1）在区间（﹣1，+∞）上是增函数，∴，解得1＜a≤3．故a的取值范围是（1，3]．故答案为（1，3]．16．（5.00分）设函数f（x），x、y∈N*满足：①∀a，b∈N*，a≠b有af（a）+bf（b）＞af（b）+bf（a）；②∀n∈N*，有f（f（n））=3n，则f（1）+f（6）+f（28）=66．【解答】解：由①知，对任意a，b∈N*，a≠b有af（a）+bf（b）＞af（b）+bf （a）；不妨设a＜b，则有（a﹣b）（f（a）﹣f（b））＞0，由于a﹣b＜0，从而f（a）＜f（b），所以函数f（x）为N*上的单调增函数．∵②∀n∈N*，有f（f（n））=3n，∴令f（1）=a，则a≥1，显然a≠1，否则f（f（1））=f（1）=1，与f（f（1））=3矛盾．从而a＞1，而由f（f（1））=3，即得f（a）=3．又由①知f（a）＞f（1）=a，即a＜3．于是得1＜a＜3，又a∈N*，从而a=2，即f（1）=2．进而由f（a）=3知，f（2）=3．于是f（3）=f（f（2））=3×2=6，则f（6）=f（f（3））=3×3=9，f（9）=f（f（6））=3×6=18，f（18）=f（f（9））=3×9=27，f（27）=f（f（18））=3×18=54，f（54）=f（f（27））=3×27=81，由于54﹣27=81﹣54=27，而且由①知，函数f（x）为单调增函数，因此f（28）=54+1=55．从而f（1）+f（6）+f（28）=2+9+55=66．故答案为：66三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤17．（10.00分）求值（1）0.25﹣[﹣2x（）0]2×[（﹣2）3]+10（2﹣）﹣1﹣（2）2log32﹣log3+log38﹣5．【解答】解：（1）原式=﹣=2+8+20=30．（2）原式=﹣32=2﹣9=﹣7．18．（10.00分）已知集合A={x|x2﹣2x﹣8=0}，B={x|x2+ax+a2﹣12=0}，且有A∪B=A，求实数a的取值集．【解答】解：集合A={x|x2﹣2x﹣8=0}={﹣2，4}，B={x|x2+ax+a2﹣12=0}，若A∪B=A，则B⊆A，可分为以下几种情况，（1）B=A，即方程x2+ax+a2﹣12=0的解为x=﹣2或x=4，解得a=﹣2；（2）B={﹣2}，即方程x2+ax+a2﹣12=0的解为x=﹣2，（﹣2）2﹣2a+a2﹣12=0，解得：a=﹣2（舍）或a=4；（3）B={4}，即方程x2+ax+a2﹣12=0的解为x=4，a2+4a+4=0，解得a=﹣2，此时B={﹣2，4}≠{4}，故需舍弃；（4）B为空集，即方程x2+ax+a2﹣12=0无解，a2﹣4（a2﹣12）＜0，解得a＞4或a＜﹣4．综上可知，若B∪A=A，a=﹣2或a≥4，或a＜﹣4．（I）求函数f（x）的解析式；（II）若函数f（x）为R上的增函数，h（x）=（f（x）≠1），问是否存在实数m使得h（x）的定义域和值域都为[m，m+1]？若存在，求出m的值，若不存在，请说明理由．【解答】解：（I）f（x+1）•f（x）=k（x+1）•kx=k2（x2+x）所以（k2﹣1）（x2+x）=0对一切x恒成立，k2﹣1=0，得k=±1；故f（x）=±x；…6分（II）因f（x）为R上的增函数，所以f（x）=x，则而h（x）在（﹣∞，1）和（1，﹣∞）上是减函数，于是h（x）在[m，m+1]上单调递减，…8分则解得m=﹣1或m=2．…12分．20．（12.00分）已知函数f（x）的定义域是（0，+∞），且满足f（xy）=f（x）+f（y），当x＞1时，有f（x）＞0．（1）求f（1），判定并证明f（x）的单调性；（2）若f（2）=1，解不等式f（﹣x）+f（3﹣x）≥﹣2．【解答】解：（1）令x=y=1，则f（1）=f（1）+f（1），解得f（1）=0．f（x）在（0，+∞）上的是增函数，设x1，x2∈（0，+∞），且x1＞x2，则＞1，∴f（）＞0，∴f（x1）﹣f（x2）=f（x2•）﹣f（x2）=f（）＞0，即f（x1）＞f（x2），∴f（x）在（0，+∞）上的是增函数．∴f（﹣x）+f（2）+f（3﹣x）+f（2）≥0，∴f（﹣2x）+f（6﹣2x）≥f（1），∴f[﹣2x（6﹣2x）]≥f（1），∴，∴x≤．∴不等式的解集为{x|x≤}．21．（12.00分）已知函数f（x）=log4（4x+1）+kx（k∈R）是偶函数．（1）求实数k的值；（2）设g（x）=log4（a•2x+a），若f（x）=g（x）有且只有一个实数解，求实数a的取值范围．【解答】解：（1）由函数f（x）是偶函数可知：f（x）=f（﹣x），∴，化简得，即x=﹣2kx对一切x∈R恒成立，∴．（2）由题意可得，函数f（x）与g（x）的图象有且只有一个公共点，即方程有且只有一个实根，化简得：方程有且只有一个实根，且a•2x+a＞0成立，则a＞0．令t=2x＞0，则（a﹣1）t2+at﹣1=0有且只有一个正根，设g（t）=（a﹣1）t2+at﹣1，注意到g（0）=﹣1＜0，所以①当a=1时，有t=1，合题意；②当0＜a＜1时，g（t）图象开口向下，且g（0）=﹣1＜0，则需满足，此时有；（舍去）．③当a＞1时，又g（0）=﹣1，方程恒有一个正根与一个负根．综上可知，a的取值范围是{}∪[1，+∞）．a≠1）．（1）若b+c=1，且f k（1）=g（），求a的值；（2）若k=2，记函数f k（x）在[﹣1，1]上的最大值为M，最小值为m，求M﹣m≤4时的b的取值范围；（3）判断是否存在大于1的实数a，使得对任意x1∈[a，2a]，都有x2∈[a，a2]满足等式：g（x1）+g（x2）=p，且满足该等式的常数p的取值唯一？若存在，求出所有符合条件的a的值；若不存在，请说明理由．【解答】解：（1）∵b+c=1，且f（1）=g（），∴1+b+c=，∴a=；（2）k=2时，f（x）=x2+bx+c，所以当对称轴x=﹣≤﹣1，即b≥2时，M=f（1）=1+b+c，m=f（﹣1）=1﹣b+c，M ﹣m=2b≤4，解得b≤2，∴b=2．当对称轴﹣1＜﹣≤0，即0≤b＜2时，M=f（1）=1+b+c，m=f（﹣）=c﹣，M﹣m=b+1+≤4，解得﹣6≤b≤2，∴0≤b＜2．当对称轴0＜﹣＜1，即﹣2≤b＜0时，M=f（﹣1）=1﹣b+c，m=f（﹣）=c﹣，M﹣m=1﹣b+≤4，解得﹣2≤b≤6，∴﹣2＜b＜0．当对称轴﹣≥1，即b≤﹣2时，M=f（﹣1）=1﹣b+c，m=f（1）=1+b+c，M﹣m=﹣2b≤4，解得b≥﹣2，∴b=﹣2．综上所述：b的取值范围是﹣2≤b≤2．（3）将等式g（x1）+g（x2）=p变形得g（x1）=p﹣g（x2），由任意实数x1∈[a，2a]，都有x2∈[a，a2]得到[log a a，log a（2a）]⊆[p﹣，p﹣log a a]，即[1，1+log a2]⊆[p﹣2，p﹣1]，∴，解得2+log a2=3，∴a=2．。
四川省成都外国语学校2016-2017学年高二上学期期中数学试卷(文科) 含解析
2016—2017学年四川省成都外国语学校高二(上）期中数学试卷（文科）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。
1．直线x+y+1=0的倾斜角是（)A．﹣B．C．D．2．椭圆x2+my2=1的焦点在y轴上，长轴长是短轴长的两倍,则m的值为( )A．B． C．2 D．43．圆x2+y2﹣2x﹣8y+13=0的圆心到直线ax+y﹣1=0的距离为1,则a=（）A．﹣ B．﹣ C．D．24．已知命题p：所有有理数都是实数，命题q:正数的对数都是负数，则下列命题中为真命题的是( ）A．(￢p）∨q B．p∧q C．（￢p)∧（￢q）D．(￢p）∨（￢q)5．某几何体正视图与侧视图相同，其正视图与俯视图如图所示，且图中的四边形都是边长为2的正方形，正视图中两条虚线互相垂直,则该几何体的表面积是( ）A．24 B．20+4 C．24+4 D．20+46．已知点P(a，b)(ab≠0）是圆x2+y2=r2内的一点，直线m是以P为中点的弦所在直线,直线l的方程为ax+by=r2，那么（)A．m∥l，且l与圆相交B．m⊥l,且l与圆相切C．m∥l，且l与圆相离 D．m⊥l，且l与圆相离7．以椭圆的两个焦点为直径的端点的圆与椭圆交于四个不同的点,顺次连接这四个点和两个焦点恰好组成一个正六边形，那么这个椭圆的离心率为（)A．﹣ B．﹣1 C．D．8．设P是△ABC所在平面α外一点，且P到AB、BC、CA的距离相等,P在α内的射影P′在△ABC内部，则P′为△ABC的( ）A．重心B．垂心C．内心D．外心9．x、y满足约束条件，若z=y﹣ax取得最大值的最优解不唯一,则实数a的值为( ）A．或﹣1 B．2或C．2或1 D．2或﹣110．在圆x2+y2=5x内,过点有n条弦的长度成等差数列，最短弦长为数列的首项a1,最长弦长为a n，若公差，那么n的取值集合为( ）A．｛4,5，6｝B．{6，7，8,9｝C．｛3，4，5} D．{3，4，5，6｝11．已知椭圆T：+=1（a＞b＞0）的离心率为,过右焦点F且斜率为k（k＞0）的直线与T相交于A，B两点,若=3，则k=（）A．1 B．C．D．212．关于下列命题，正确的个数是（）（1）若点（2，1）在圆x2+y2+kx+2y+k2﹣15=0外，则k＞2或k＜﹣4（2）已知圆M：（x+cosθ)2+(y﹣sinθ）2=1，直线y=kx，则直线与圆恒相切(3）已知点P是直线2x+y+4=0上一动点，PA、PB是圆C:x2+y2﹣2y=0的两条切线，A、B是切点，则四边形PACB的最小面积是为2（4）设直线系M：xcosθ+ysinθ=2+2cosθ，M中的直线所能围成的正三角形面积都等于12．A．1 B．2 C．3 D．4二、填空题：本大概题共4小题，每小题5分.13．在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，则异面直线AD1与A1C1所成角的余弦值是．14．命题P：将函数sin2x的图象向右平移个单位得到函数y=sin（2x﹣)的图象；命题Q：函数y=sin（x+）cos（﹣x）的最小正周期是π,则复合命题“P或Q”“P 且Q”“非P"为真命题的个数是个．15．设x，y满足约束条件，若目标函数z=ax+by（a＞0，b＞0）的值是最大值为12，则的最小值为．16．已知以T=4为周期的函数f（x）=，其中m＞0．若方程3f（x）=x恰有5个实数解，则m 的取值范围为．四、解答题：解答应写出文字说明过程或演算步骤．17．已知命题p：方程x2+mx+1=0有两个不等的负实数根；命题q：方程4x2+4（m﹣2)x+1=0无实数根．（1)若“￢p"为假命题，求m范围；（2）若“p或q”为真命题，“p且q"为假命题，求m 的取值范围．18．某人有楼房一幢,室内面积共计180m2，拟分割成两类房间作为旅游客房,大房间每间面积为18m2,可住游客5名，每名游客每天住宿费40元；小房间每间面积为15m2，可以住游客3名，每名游客每天住宿费50元；装修大房间每间需要1000元，装修小房间每间需要600元．如果他只能筹款8000元用于装修，且假定游客能住满客房，他应隔出大房间和小房间各多少间，才能获得最大收益?19．如图，在Rt△ABC中，AB=BC=4,点E在线段AB 上，过点E作EF∥BC交AC于点F，将△AEF沿EF折起到△PEF的位置(点A与P重合），使得∠PEB=30°．（I ）求证：EF丄PB；(II ）试问:当点E在何处时，四棱锥P﹣EFCB的侧面PEB的面积最大？并求此时四棱锥P﹣EFCB的体积20．在平面直角坐标系xOy中，经过点且斜率为k的直线l与椭圆有两个不同的交点P和Q．（Ⅰ）求k的取值范围；（Ⅱ）设椭圆与x轴正半轴、y轴正半轴的交点分别为A,B，是否存在常数k,使得向量与共线?如果存在,求k值；如果不存在，请说明理由．21．平面上两点A（﹣1，0），B（1,0),在圆C：（x﹣3）2+（y﹣4）2=4上取一点P，(Ⅰ）x﹣y+c≥0恒成立，求c的范围(Ⅱ）从x+y+1=0上的点向圆引切线，求切线长的最小值（Ⅲ)求｜PA|2+｜PB|2的最值及此时点P的坐标．22．如图，椭圆M：+=1（a＞b＞0）的离心率为，直线x=±a和y=±b所围成的矩形ABCD的面积为8．（Ⅰ）求椭圆M的标准方程;（Ⅱ)设直线l：y=x+m(m∈R）与椭圆M有两个不同的交点P，Q，l与矩形ABCD有两个不同的交点S,T．求的最大值及取得最大值时m的值．2016-2017学年四川省成都外国语学校高二（上)期中数学试卷（文科）参考答案与试题解析一、选择题:本大题共12小题,每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
四川省成都外国语学校2017-2018学年高一上学期期中考
成都外国语学校2017-2018学年上期半期考试高一数学试题满分：150分， 时间：120分钟一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1.设集合(){}(410A x Z x x =∈-+）＜，集合{}2,3,4B =，则B A =( ) A.（2,4） B.{2.4} C.{3} D.{2,3}2.已知 1.30.20.20.7,3,log 5a b c ===，则,,a b c 的大小关系（ ） A. a c b << B. c a b << C. b c a << D. c b a <<3.若函数1()lg(f x x x +=+，则55()()22f f -+的值（ ）A. 2B. lg 5C. 0D. 34.函数31()()2x f x x =-的零点所在的区间（ ）A.(0,1)B. (1,2)C. (2,3)D. (3,4) 5.下列四种说法正确的个数有（ ）①若,,A B C 为三个集合，满足A B B C =，则一定有A C ⊆； ②函数的图像与垂直于x 轴的直线的交点有且仅有一个； ③若,A U B U ⊆⊆,则()()U A A B A C B =；④若函数()f x 在[,]a b 和[,]b c 都为增函数，则()f x 在[,]a c 为增函数.A. 1个B. 2个C. 3 个D. 4个6.设全集{|||4}U x Z x =∈<，集合{2,1,3}S =-，若U C P S ⊆，则这样的集合P 的个数共有()A ．5B ．6C ．7D ．87. 为了得到函数43log 4x y -=的图像，只需把函数21log 2y x =图像上所有的点（ ）A. 向左平移3个单位长度，再向上平移1个单位长度；B. 向右平移3个单位长度，再向上平移1个单位长度；C. 向右平移3个单位长度，再向下平移1个单位长度；D.向左平移3个单位长度，再向下平移1个单位长度；8. 函数21(2017)(0)x f x x x++=>的最小值为（ ） A. 2017 B. 2 C. -2017 D. 20199．如图，在AOB ∆中，点(2,1),(3,0)A B ，点E 在射线OB 上自O 开始移动，设OE x =,过E 作OB 的垂线l ，记AOB ∆在直线l 左边部分的面积S ，则函数()S f x =的图象是（ ）A. B.C.D.10. 已知函数2()1(0)f x a x x a =-+≠，若任意12,[1,)x x ∈+∞且12x x ≠都有1212()()1f x f x x x ->-，则实数a 的取值范围（ ）A. [1,)+∞B. (0,1]C. [2,)+∞D. (0,)+∞11.根据有关资料，围棋状态空间复杂度的上限M 约为3612，而可观测宇宙中普通物质的原子总数N 约为8010.则下列各数中与M N最接近的是（ ）（参考数据：lg2≈0.30）（A ）3010（B ）2810 （C ）3610 （D ）931012.若函数16()log (161)2xxf x m =+--有零点,则实数m 的取值范围（ ） A. 1[,)4+∞ B. 1[,)16+∞ C. (,16)-∞ D. 1(,16]4第Ⅱ卷二、填空题：本大概题共4小题，每小题5分。
四川省成都市20162017学年高一上学期10月月考试题数学Word版含答案
则 时, 的解析式为_______________
15.若集合 ，当 时，
则实数 的取值范围是。
16.已知二次函数 满足：① ；②若 且 时，有 。则实数 的取值范围是
三．解答题：（请写出必要的推演过程，第17题10分，18题至22题每小题12分，共70分）
A.甲比乙先出发B.乙比甲跑的路程多
C.甲、乙两人速度相同D.甲先到达终点
8．定义在 上的偶函数 ，当 时， 为减函数，若 ，则实数 的取值范围是（）
A． B． C． D．
9.若函数 的定义域为 ,则 的取值范围是（）
A． B． C． D．
10.在 上定义运算 ： ，若不等式 对任意实数 成立，
则实数 的范围是（）
（2）若 ，设 在区间1，2]的最小值为 ，求 的表达式；
（3）设 ，若函数 在区间1，2]上是增函数，求实数 的取值范围．
高2016级第一期10月阶段性考试（参考答案）
数学试题（考试时间：120分钟满分：150分）
一．选做题：（每小题5分，12个小题共60分）
题号
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
答案
A. B. C. D.
4.若函数y＝ax与y＝－ 在(0，＋∞)上都是减函数，则y＝ax2＋bx在(0，＋∞)上是（）
A．减函数B．增函数C．先增后减D．先减后增
5.若不等式 对一切 都成立，则 的最小值为（ ）
6.已知 是定义在 上的奇函数，若对任意的 ，
有 ，则（）
A． B．
C． D．
7.甲、乙两人在一次赛跑中,路程s与时间t的函数关系如图所示,则下列说法正确的是()
四川省成都外国语学校2016-2017学年高一上学期10月月考试题 数学
成都外国语学校2016～2017学年上期高2016级高一10月月考数学试题满分：150分 时间：120分钟.第Ⅰ卷（60分）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.设全集{1,2,3,4,5}U =，集合{1,3,5}M =,{2,5}N =，则Venn 图中阴影部分表示的集合是（ ）A. {5}B. {1,3}C. {2,4}D. {2,3,4} 2. 已知:f A B →为从集合A 到集合B 的一个映射，{(,)|,},:(,)(,)A B x y x R y R f x y x y x y ==∈∈→+-,若A 中元素(1,)a 的象是(,4)b ，则实数,a b 的值分别为( )A. 2,3-B. 2,3--C. 3,2--D. 1,43．若函数()|1|||f x x x a =---是奇函数而不是偶函数，且()f x 不恒为0，则2016(1)a +的值（ ）A. 0B. 1C. 20162D. 201634. 已知21,(0)()(1)1,(0)x x f x f x x ⎧->=⎨+-≤⎩，则(1)f -=( )A.2-B. 1-C. 0D. 15. 设全集{|||4}U x Z x =∈<，集合{2,1,3}S =-，若U C P S ⊆，则这样的集合P 的个数共有( )A ．5B ．6C ．7D ．8 6.若集合2{|210}A x kx x =--=的元素至多一个，则实数k 的取值集合为（ ）A. 1k ≤-B.1k ≤-或者0k =C.(,1){0}-∞-D. (,1]{0}-∞-7．已知函数21(2016)(0)2x f x x x++=>，则函数()f x 的最小值是（ ）A. 2B.2016C.2015-D. 1 8. 下列五种说法正确的个数有（ ）①若,,A B C 为三个集合，满足A B B C = ，则一定有A C ⊆； ②函数的图像与垂直于x 轴的直线的交点有且仅有一个； ③若,A U B U ⊆⊆,则()()U A A B A C B = ；④若函数()f x 在[,]a b 和[,]b c 都为增函数，则()f x 在[,]a c 为增函数.A. 1个B. 2个C. 3 个D. 4个9. 偶函数()()f x x R ∈满足：(4)(2)0f f -==，且在区间[0,3]与),3[+∞上分别递减和递增，则不等式()0x f x ⋅<的解集为( )A ．(,4)(4,)-∞-+∞B ．(,4)(2,0)(2,4)-∞--C ．(,4)(2,0)-∞--D ． (4,2)(2,4)--10. 已知函数24,3()2,232ax x f x ax x x +≥⎧⎪=+⎨<<⎪-⎩在区间(2,)+∞为减函数，则实数a 的取值范围（ ）A. 1a <-B. 10a -<<C. 112a -<≤-D. 213a -<≤- 11. 已知函数12||4-+=x y 的定义域为),](,[Z b a b a ∈，值域为0,1]，那么满足条件的整数对),(b a 共有 （ ） A. 3个 B. 5个 C. 7个 D. 8个 12.已知函数,x R ∈符号[]x 表示不超过x 的最大整数，若函数[]()x m f x x m-=-，其中m N *∈，则给出以下四个结论其中正确是（ ）A.函数()f x 在(1,)m ++∞上的值域为1(,1]2B. 函数()f x 的图像关于直线x m =对称C.函数()f x 在(,)m +∞是减函数D. 函数()f x 在(1,)m ++∞上的最小值为12第Ⅱ卷（90分）二、填空题：本大概题共4小题，每小题5分. 13.集合4{|,}1M a Z a N a*=∈∈-用列举法表示为_________. 14.若函数f 的定义域为[0,3]，则函数(1)y f x =-的定义域________.15.已知函数()f x =，若)(x f 在区间(]1,0上是减函数，则实数a 的取值范围是_______________.16.设集合11[0,),[,1]22A B ==,函数1,(),22(1),x x A f x x x B⎧+∈⎪=⎨⎪-∈⎩若0(())f f x A ∈,则0x 的取值范围是_____________.三、解答题：解答应写出文字说明过程或演算步骤。
(精品)2016-2017学年四川省成都外国语学校高一(下)期中数学试卷(理科)(解析版)
2016-2017学年四川省成都外国语学校高一（下）期中数学试卷（理科）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分共60分，在每小题所给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，并将正确选项的序号填涂在答题卷．1．（5分）一个三角形的三个内角A，B，C的度数成等差数列，则B的度数为（）A．30°B．45°C．60°D．90°2．（5分）已知直线的斜率为，则它的倾斜角为（）A．60°B．120°C．60°或120°D．150°3．（5分）设a，b，c∈R，且a＞b，则（）A．ac＞bc B．C．a2＞b2D．a3＞b34．（5分）数列的一个通项公式是（）A． B．C．D．5．（5分）在△ABC中，已知a2=b2+c2+bc，则角A为（）A．B．C． D．或6．（5分）下列函数中，最小值为4的函数是（）A．B．C．y=e x+4e﹣x D．y=log 3x+log x817．（5分）在△ABC中，已知b=，则此三角形有几个解（）A．0 B．1 C．2 D．不确定8．（5分）在△ABC中，若sinBsinC=cos2，则△ABC是（）A．等腰三角形B．直角三角形C．等边三角形D．等腰直角三角形9．（5分）锐角△ABC中，b=1，c=2，则a取值范围为（）A．（1，3） B．C．D．10．（5分）在△ABC中，角A、B、C所对的边分别为a、b、c，且BC边上的高为a，则的最大值是（）A．8 B．6 C．3 D．411．（5分）某学生家长为缴纳该学生上大学时的教育费，于2003年8月20号从银行贷款a元，为还清这笔贷款，该家长从2004年起每年的8月20号便去银行偿还确定的金额，计划恰好在贷款的m年后还清，若银行按年利息为p的复利计息（复利：即将一年后的贷款利息也纳入本金计算新的利息），则该学生家长每年的偿还金额是（）A．B．C． D．12．（5分）已知数列{a n}，{b n}满足a1=，则b2017=（）A．B．C．D．二、填空题（本大题共4个小题，每小题5分，共20分）13．（5分）在△ABC中，若∠A=60°，∠B=45°，BC=3，则AC=．14．（5分）sin15°+sin75°的值是．15．（5分）已知数列{a n}中，a1=1，a n+1=2a n+3．求a n．16．（5分）已知正项等比数列{a n}满足a2017=2a2016+3a2015，若存在不同的两项a p，a m使得，则的最小值是．三、解答题（本大题共6个小题，共70分）：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤17．（10分）（1）求与直线3x+4y+1=0平行且过（1，2）的直线方程；（2）求与直线2x+y﹣10=0垂直且过（2，1）的直线方程．18．（12分）（1）已知x＜﹣2，求函数的最大值．（2）若实数x、y满足x2+y2+xy=1，求x+y的最大值．19．（12分）在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知cosC+（cosA﹣sinA）cosB=0（1）求角B的大小；（2）若a+c=2，b=1，求△ABC的面积．20．（12分）如图，在△ABC中，已知B=，AC=4，D为BC边上一点．（I）若AD=2，S=2，求DC的长；△DAC（Ⅱ）若AB=AD，试求△ADC的周长的最大值．21．（12分）设数列满足a1=2，a n+1﹣a n=3•22n﹣1（1）求数列{a n}的通项公式；（2）令b n=na n，求数列{b n}的前n项和S n．22．（12分）设数列{a n}的前n项和为S n．已知a1=1，2S n=na n+1﹣，n∈N*．（Ⅰ）求数列{a n}的通项公式；（Ⅱ）证明：对一切正整数n，有．2016-2017学年四川省成都外国语学校高一（下）期中数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共12小题，每小题5分共60分，在每小题所给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，并将正确选项的序号填涂在答题卷．1．（5分）（2017春•金牛区校级期中）一个三角形的三个内角A，B，C的度数成等差数列，则B的度数为（）A．30°B．45°C．60°D．90°【解答】解：∵三角形的三个内角A，B，C的度数成等差数列，∴A+C=2B，又A+C+B=180°，∴3B=180°，则B=60°．故选：C．2．（5分）（2017春•金牛区校级期中）已知直线的斜率为，则它的倾斜角为（）A．60°B．120°C．60°或120°D．150°【解答】解：设它的倾斜角为θ∈[0°，180°），∴t anθ=﹣，解得θ=120°．故选：B．3．（5分）（2013•北京）设a，b，c∈R，且a＞b，则（）A．ac＞bc B．C．a2＞b2D．a3＞b3【解答】解：A、3＞2，但是3×（﹣1）＜2×（﹣1），故A不正确；B、1＞﹣2，但是，故B不正确；C、﹣1＞﹣2，但是（﹣1）2＜（﹣2）2，故C不正确；D、∵a＞b，∴a3＞b3，成立，故D正确．故选：D．4．（5分）（2017春•金牛区校级期中）数列的一个通项公式是（）A． B．C．D．【解答】解：数列的一个通项公式是，，，，…，即为（1﹣），（﹣），（﹣），（﹣），…，∴a n=﹣，故选：C5．（5分）（2016秋•汪清县校级期末）在△ABC中，已知a2=b2+c2+bc，则角A为（）A．B．C． D．或【解答】解：由a2=b2+c2+bc，则根据余弦定理得：cosA===﹣，因为A∈（0，π），所以A=．故选C6．（5分）（2013春•东安区校级期末）下列函数中，最小值为4的函数是（）A．B．C．y=e x+4e﹣x D．y=log3x+log x81【解答】解：∵e x＞0，4e﹣x＞0，∴=4，当且仅当e x=4e﹣x，即x=ln2时取得等号，∴y=e x+4e﹣x的最小值为4，故选C．7．（5分）（2017春•金牛区校级期中）在△ABC中，已知b=，则此三角形有几个解（）A．0 B．1 C．2 D．不确定【解答】解：b=，由正弦定理=，可得sinC===，由b＞c，可得B＞C，则C为锐角，且C=30°，A=105°，则此三角形有一个解．故选：B．8．（5分）（2011•番禺区校级模拟）在△ABC中，若sinBsinC=cos2，则△ABC是（）A．等腰三角形B．直角三角形C．等边三角形D．等腰直角三角形【解答】解：由题意，即sinBsinC=1﹣cosCcosB，亦即cos（C﹣B）=1，∵C，B∈（0，π），∴C=B，故选A．9．（5分）（2017春•金牛区校级期中）锐角△ABC中，b=1，c=2，则a取值范围为（）A．（1，3） B．C．D．【解答】解：∵锐角△ABC中，b=1，c=2，若a是最大边，则0＜cosA＜1．∴=＞0，∴a＜．若c是最大边，必有cosC＞0，∴=＞0，∴a＞，综上，则a取值范围为（，）．故选：D．10．（5分）（2017春•金牛区校级期中）在△ABC中，角A、B、C所对的边分别为a、b、c，且BC边上的高为a，则的最大值是（）A．8 B．6 C．3 D．4【解答】解：=，这个形式很容易联想到余弦定理：cosA=①而条件中的“高”容易联想到面积，a•a=bcsinA，即a2=2bcsinA②，将②代入①得：b2+c2=2bc（cosA+sinA），∴=2（cosA+sinA）=4sin（A+），当A=时取得最大值4，故选D．11．（5分）（2017春•金牛区校级期中）某学生家长为缴纳该学生上大学时的教育费，于2003年8月20号从银行贷款a元，为还清这笔贷款，该家长从2004年起每年的8月20号便去银行偿还确定的金额，计划恰好在贷款的m年后还清，若银行按年利息为p的复利计息（复利：即将一年后的贷款利息也纳入本金计算新的利息），则该学生家长每年的偿还金额是（）A．B．C． D．【解答】解：设每年偿还的金额都是x元，则根据题意有：a（1+p）m=x+x（1+p）+x（1+p）2+••+x（1+p）m﹣1，∴a（1+p）m=x•∴x=．故选D．12．（5分）（2017春•金牛区校级期中）已知数列{a n}，{b n}满足a1=，则b2017=（）A．B．C．D．【解答】解：∵数列{a n}，{b n}满足a1=，∴b1=1﹣=，=，，b3==，=，b4==，a4=1﹣，由此猜想，∴b2017=．故选：A．二、填空题（本大题共4个小题，每小题5分，共20分）13．（5分）（2016•梅州二模）在△ABC中，若∠A=60°，∠B=45°，BC=3，则AC=2．【解答】解：∵∠A=60°，∠B=45°，BC=3，∴由正弦定理=得：AC===2．故答案为：214．（5分）（2015•四川）sin15°+sin75°的值是．【解答】解：sin15°+sin75°=sin15°+cos15°=（sin15°cos45°+cos15°sin45°）=sin60°=．故答案为：．15．（5分）（2017春•金牛区校级期中）已知数列{a n}中，a1=1，a n+1=2a n+3．求a n．=2a n+3，得a n+1+3=2（a n+3），【解答】解：由a n+1∵a1+3=1+3=4≠0，∴=2，∴数列{a n+3}是以4为首项，以2为公比的等比数列，∴a n+3=4•2n﹣1=2n+1，则a n=2n+1﹣3．16．（5分）（2017春•金牛区校级期中）已知正项等比数列{a n}满足a2017=2a2016+3a2015，若存在不同的两项a p，a m使得，则的最小值是．【解答】解：设正项等比数列{a n}的公比为q＞0．∵a2017=2a2016+3a2015，∴=a2015（2q+3），可得q2﹣2q﹣3=0，解得q=3．∵存在不同的两项a p，a m使得，∴=a1，解得p+m=5．∴（p，m）的取值为：（1，4），（2，3），（3，2），（4，1）．则的最小值是=．故答案为：．三、解答题（本大题共6个小题，共70分）：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤17．（10分）（2017春•金牛区校级期中）（1）求与直线3x+4y+1=0平行且过（1，2）的直线方程；（2）求与直线2x+y﹣10=0垂直且过（2，1）的直线方程．【解答】解：（1）设与3x+4y+1=0平行的直线方程为l：3x+4y+m=0．∵l过点（1，2），∴3×1+4×2+m=0，即m=﹣11．∴所求直线方程为3x+4y﹣11=0．（2）设与直线2x+y﹣10=0垂直的直线方程为l：x﹣2y+m=0．∵直线l过点（2，1），∴2﹣2+m=0，∴m=0．∴所求直线方程为x﹣2y=0．18．（12分）（2017春•金牛区校级期中）（1）已知x＜﹣2，求函数的最大值．（2）若实数x、y满足x2+y2+xy=1，求x+y的最大值．【解答】解：（1）∵x＜﹣2，∴x+2＜0，﹣（x+2）＞0．∴y=2（x+2）+﹣4=﹣[﹣2（x+2）+]﹣4≤﹣2﹣4=﹣2﹣4．当且仅当﹣2（x+2）=（x＜﹣2），即x=﹣2﹣时，y取最大值﹣2﹣4．（2）x2+y2+xy=（x+y）2﹣xy=1，∴（x+y）2=xy+1≤（）2+1．∴（x+y）2≤．∴x+y≤．当且仅当x=y=时等号成立．19．（12分）（2017春•金牛区校级期中）在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知cosC+（cosA﹣sinA）cosB=0（1）求角B的大小；（2）若a+c=2，b=1，求△ABC的面积．【解答】解：（1）由已知得，即有因为sinA≠0，所以，又cosB≠0，所以，又0＜B＜π，所以．（2）由余弦定理，有b2=a2+c2﹣2accosB=（a+c）2﹣2ac（1+cosB）．因为，有ac=1．于是有．20．（12分）（2015•浙江模拟）如图，在△ABC中，已知B=，AC=4，D为BC边上一点．=2，求DC的长；（I）若AD=2，S△DAC（Ⅱ）若AB=AD，试求△ADC的周长的最大值．【解答】解：（Ⅰ）∵，AC=4，AD=2，∴，∴，（2分）∵B=，∴，∴，（3分）在△ADC中，由余弦定理得：，（4分）∴，∴；（6分）（Ⅱ）∵AB=AD，，∴△ABD为正三角形，∵∠DAC=﹣C，∠ADC=，在△ADC中，根据正弦定理，可得：，（7分）∴AD=8sinC，，（8分）∴△ADC的周长为=8（sinC+cosC﹣sinC）+4=8（sinC+cosC）+4（9分）=8sin（C+）+4，（10分）∵∠ADC=，∴0＜C＜，∴＜C+＜，（11分）∴，sin（C+）的最大值为1，则△ADC的周长最大值为．（13分）21．（12分）（2010•宁夏）设数列满足a1=2，a n+1﹣a n=3•22n﹣1（1）求数列{a n}的通项公式；（2）令b n=na n，求数列{b n}的前n项和S n．【解答】解：（Ⅰ）由已知，当n≥1时，a n=[（a n+1﹣a n）+（a n﹣a n﹣1）+…+（a2﹣a1）]+a1+1=3（22n﹣1+22n﹣3+…+2）+2=3×+2=22（n+1）﹣1．而a1=2，所以数列{a n}的通项公式为a n=22n﹣1．（Ⅱ）由b n=na n=n•22n﹣1知S n=1•2+2•23+3•25+…+n•22n﹣1①从而22S n=1•23+2•25+…+n•22n+1②①﹣②得（1﹣22）•S n=2+23+25+…+22n﹣1﹣n•22n+1．即．22．（12分）（2017春•金牛区校级期中）设数列{a n}的前n项和为S n．已知a1=1，2S n=na n+1﹣，n∈N*．（Ⅰ）求数列{a n}的通项公式；（Ⅱ）证明：对一切正整数n，有．【解答】解：（Ⅰ）由…①当n≥2时，…②=na n+1﹣（n﹣1）a n﹣n（n+1），由①﹣②，得2S n﹣2S n﹣1∵2a n=2S n﹣2S n﹣1∴2a n=na n+1﹣（n﹣1）a n﹣n（n+1）∴，∴数列从第二项起是公差为1的等差数列．∴当n=1时，，又a1=1，∴a2=4∴，∴当n=1时，上式显然成立．∴（Ⅱ）证明：由（2）知，①当n=1时，，∴原不等式成立．②当n=2时，，∴原不等式亦成立．③当n≥3时，∵n2＞（n﹣1）•（n+1），∴＜==∴当n≥3时，∴原不等式亦成立．综上，对一切正整数n，有．:sxs123；沂蒙松；qiss；whgcn；sllwyn；wyz123；双曲线；刘长柏；w3239003；lcb001；zlzhan；刘老师；陈高数（排名不分先后）菁优网2017年6月28日。
四川省成都外国语学校学年高一数学下学期期中试卷理(含解析)
四川省成都外国语学校2015-2016学年高一下学期期中考试理数试题一、选择题：(每小题5分共60分，每个题共有4个选项，其中只有一个选项是正确的，请把正确选项的填在答题卷上，否则不得分)1．传说古代希腊的毕达哥拉斯在沙滩上研究数学问题：把 ,10,6,3,1叫做三角形数；把 ,16,9,4,1叫做正方形数，则下列各数中既是三角形数又是正方形数的是( )A ．16B ．25C ．36D ．49 【答案】 C 【解析】试题分析：由题已知三角形数和正方形数的通项公式可得；286(1),,36.2n n n n a b n a b +==== 考点：数列通项公式的运用.2.已知向量, ), ,2( ),3 ,5(b a x b x a⊥=-=且则=x （ ）A ．2或3B ．－1或6C ．6D ．2【答案】D【解析】试题分析：由题, ), ,2( ),3 ,5(b a x b x a⊥=-=且，可得：2(5)30, 2.x x x ⨯-+⨯==。
考点：向量垂直的性质.3．sin15cos15+的值是（ ）A ．21B ．23C ．26D ．23【答案】C 【解析】试题分析：由题00sin15cos152sin(4515)+=+=考点：两角和差公式的灵活运用.4．在ABC ∆中，已知C B A ,,成等差数列，且3=b ，则=++++cb a CB A sin sin sin ()A ．2B ．21C ．3D ．33【答案】B 【解析】试题分析：由题可知060,B b =，即可运用正弦定理：sin sin sin sin 12A B C B a b c b ++===++。
考点：正弦定理的运用.5．已知平面上不重合的四点,,,P A B C 满足0PA PB PC ++=且0AB AC mAP ++=，那么实数m 的值为（ ）A ．2B ．-3C ．4D ．5【答案】B 【解析】试题分析： 由题意得，向量的减法有：,.AB PB PA AC PC PA =-=-，0AB AC mAP ++=，∴；∴(2)0PB PC m AP ++-=，由条件；0PA PB PC ++= ∴m-2=1，∴m=3． 考点：向量的运算及方程思想.6．在ABC ∆中,tan A 是以4-为第三项, 4为第七项的等差数列的公差,tan B 是以2为公差, 9为第五项的等差数列的第二项，则这个三角形是（ ）A ．锐角三角形B ．钝角三角形C ．等腰直角三角形D ．等腰或直角三角形 【答案】A 【解析】试题分析： 由题可得；tan 2,tan 3A B ==，则；23tan tan()1016CA B +=-+=-=>-，可得；tan 0,tan 0,tan 0.A B C >>> ABC 为锐角三角形，考点：等差数列与两角和的正切公式的综合运用。
四川省成都市外国语学校2014-2015学年高一上学期期中数学试卷 Word版含解析
四川省成都市外国语学校2014-2015学年高一上学期期中数学试卷一．选择题：本大题共10小题，每小题5分共50分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．（5分）设集合A={0，1，2，3}，集合B={2，3，4}，则A∩B=（）A．{2，3} B．{0，1} C．{0，1，4} D．{0，1，2，3，4}2．（5分）设全集为实数集R，集合A={x|x＜2}，B={x|x≥3}，则（）A．A∪（∁R B）=R B．（∁R A）∪（∁R B）=R C．A∩（∁R B）=ϕD．∁R （A∪B）=ϕ3．（5分）若函数的定义域为R，则实数m的取值范围是（）A．（﹣∞，+∞）B．C．D．4．（5分）若函数y=f（x）的定义域是[0，2]，则函数y=f（2x﹣1）的定义域是（）A．[0，1]B．[0，2]C．D．[﹣1，3]5．（5分）已知a＞0且a≠1，函数y=log a x，y=a x，y=x+a在同一坐标系中的图象可能是（）A． B．C． D．6．（5分）已知幂函数y=f（x）的图象过点，则log2f（2）的值为（）A．B．﹣C．2D．﹣27．（5分）已知映射f：A→B，其中A=B=R，对应法则：f：x→y=x2﹣2x+2若对实数k∈B，在集合A中不存在原象，则k的取值范围是（）A．k≤1 B．k＜1 C．k≥1 D．k＞18．（5分）定义两种运算：a⊕b=，a⊗b=，则f（x）=是（）函数．A．奇函数B．偶函数C．既奇又偶函数D．非奇非偶函数9．（5分）已知2a=3b=k（k≠1），且2a+b=ab，则实数k的值为（）A．6B．9C．12 D．1810．（5分）若一系列函数的解析式相同，值域相同，但定义域不同，则称这些函数为“孪生函数”，那么函数解析式为y=2x2﹣1，值域为{1，7}的“孪生函数”共有（）A．10个B．9个C．8个D．4个二．填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分．11．（5分）若A={x|x＞12，x∈N}，B={x|x＜6，x∈N}，全集I=N，则∁I（A∪B）=．12．（5分）已知函数f（x）=3x5+ax3+bx+8，且f（﹣2）=15，那么f（2）等于．13．（5分）已知函数f（x+1）是偶函数，当x∈（﹣∞，1）时，函数f（x）单调递减，设a=f（﹣），b=f（﹣1），c=f（2），a=f（﹣），b=f（﹣1），c=f（2），则a，b，c的大小关系为．14．（5分）已知函数f（x）=，若存在x1＜x2，使得f（x1）=f（x2），则x1•f（x2）的取值范围为．15．（5分）符号[x]表示不超过x的最大整数，如[π]=3，[﹣1.8]=﹣2，定义函数：f（x）=x ﹣[x]，则下列命题正确的序号是．①f（﹣0.2）=0.8；②方程f（x）=有无数个解；③函数f（x）是增函数；④函数f（x）是奇函数；⑤函数f（x）的定义域为R，值域为[0，1]．三．解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤，本大题共6小题，共75分．16．（12分）计算：（1）（）﹣×e++10lg2（2）lg25+lg2×lg500﹣lg﹣log29×log32．17．（12分）已知集合A={x|x2﹣3x﹣10≤0}（1）若B⊆A，B={x|m+1≤x≤2m﹣1}，求实数m的取值范围；（2）若A⊆B，B={x|m﹣6≤x≤2m﹣1}，求实数m的取值范围．18．（12分）已知函数f（x）=是奇函数，且f（2）=．（1）求实数a，b的值；（2）判断函数f（x）在（﹣∞，﹣1]上的单调性，并用定义加以证明．19．（12分）设f（x）的定义域为（0，+∞），对于任意正实数m，n恒有f（m•n）=f（m）+f（n），且当x＞1时，．（1）求f（2）的值；（2）求证：f（x）在（0，+∞）上是增函数；（3）解关于x的不等式．20．（13分）已知函数f（x）=log4（4x+1）+kx（k∈R）是偶函数．（1）求实数k的值；（2）设g（x）=log4（a•2x+a），若f（x）=g（x）有且只有一个实数解，求实数a的取值范围．21．（14分）设函数f k（x）=x k+bx+c（k∈N*，b，c∈R），g（x）=log a x（a＞0，a≠1）．（1）若b+c=1，且f k（1）=g（），求a的值；（2）若k=2，记函数f k（x）在[﹣1，1]上的最大值为M，最小值为m，求M﹣m≤4时的b 的取值范围；（3）判断是否存在大于1的实数a，使得对任意x1∈[a，2a]，都有x2∈[a，a2]满足等式：g （x1）+g（x2）=p，且满足该等式的常数p的取值唯一？若存在，求出所有符合条件的a的值；若不存在，请说明理由．四川省成都市外国语学校2014-2015学年高一上学期期中数学试卷参考答案与试题解析一．选择题：本大题共10小题，每小题5分共50分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．（5分）设集合A={0，1，2，3}，集合B={2，3，4}，则A∩B=（）A．{2，3} B．{0，1} C．{0，1，4} D．{0，1，2，3，4}考点：交集及其运算．专题：集合．分析：根据题意和交集的运算直接求出A∩B．解答：解：因为集合A={0，1，2，3}，集合B={2，3，4}，所以A∩B={2，3}，故选：A．点评：本题考查交集及其运算，属于基础题．2．（5分）设全集为实数集R，集合A={x|x＜2}，B={x|x≥3}，则（）A．A∪（∁R B）=R B．（∁R A）∪（∁R B）=R C．A∩（∁R B）=ϕD．∁R （A∪B）=ϕ考点：交、并、补集的混合运算．专题：计算题；集合．分析：由题意，通过集合的运算依次计算．解答：解：∁R A={x|x≥2}，∁R B={x|x＜3}，则A∪（∁R B）={x|x＜3}，A∩（∁R B）={x|x＜2}，（∁R A）∪（∁R B）=R，∁R（A∪B）={x|2≤x＜3}．故选B．点评：本题考查了集合的运算，属于基础题．3．（5分）若函数的定义域为R，则实数m的取值范围是（）A．（﹣∞，+∞）B．C．D．考点：函数的定义域及其求法；二次函数的性质．专题：函数的性质及应用．分析：函数的定义域为R，则等价为分母不等于0 恒成立，然后解不等式即可．解答：解：∵函数的定义域为R，∴mx2﹣4mx+3≠0恒成立．①若m=0，则不等式等价为3≠0恒成立，满足条件．②若m≠0，要使不等式恒成立，则△＜0，即△=16m2﹣4×3m=16m2﹣12m＜0，解得0，综上0≤m．即[0，），故选：D．点评：本题主要考查函数定义域的应用，利用函数定义域为R，得到mx2﹣4mx+3≠0恒成立．是解决本题的关键，利用二次函数和二次不等式之间的关系进行求解是突破点．4．（5分）若函数y=f（x）的定义域是[0，2]，则函数y=f（2x﹣1）的定义域是（）A．[0，1]B．[0，2]C．D．[﹣1，3]考点：函数的定义域及其求法．专题：函数的性质及应用．分析：由y=f（x）的定义域，得y=f（2x﹣1）中2x﹣1的取值范围，从而求出x的取值范围，即所求的定义域．解答：解：∵函数y=f（x）的定义域是[0，2]，∴在函数y=f（2x﹣1）中，有0≤2x﹣1≤2，∴≤x≤，∴y=f（2x﹣1）的定义域是[，]；故选：C．点评：本题考查了复合函数的定义域问题，是基础题．5．（5分）已知a＞0且a≠1，函数y=log a x，y=a x，y=x+a在同一坐标系中的图象可能是（）A． B．C． D．考点：函数的图象与图象变化；函数图象的作法．专题：计算题．分析：根据函数y=a x与y=log a x互为反函数，得到它们的图象关于直线直线y=x对称，从而对选项进行判断即得．解答：解：∵函数y=a x与y=log a x互为反函数，∴它们的图象关于直线y=x对称．再由函数y=a x的图象过（0，1），y=a x，的图象过（1，0），观察图象知，只有C正确．故选C．点评：本小题主要考查反函数、反函数的应用、对数函数、指数函数的图象等基础知识，考查数形结合思想．属于基础题．6．（5分）已知幂函数y=f（x）的图象过点，则log2f（2）的值为（）A．B．﹣C．2D．﹣2考点：对数的运算性质；幂函数的性质．专题：计算题；转化思想．分析：先设log2f（2）=n，求出函数f（x）的解析式，然后将点代入解析式，即可求出结果．解答：解：设log2f（2）=n，则f（2）=2n∴f（x）=x n又∵由幂函数y=f（x）的图象过点∴，故选A．点评：本题主要考查了对数函数和幂函数的关系，关键是将所求转化成幂函数，此题比较容易是基础题．7．（5分）已知映射f：A→B，其中A=B=R，对应法则：f：x→y=x2﹣2x+2若对实数k∈B，在集合A中不存在原象，则k的取值范围是（）A．k≤1 B．k＜1 C．k≥1 D．k＞1考点：映射．专题：计算题．分析：设x2﹣2x+2=k，据题意知此方程应无实根，用判别式表示方程无实根，即判别式小于0，解出k的值．解答：解：设x2﹣2x+2=k，据题意知此方程应无实根∴△=（﹣2）2﹣4•（2﹣k）＜0，1﹣2+k＜0∴k＜1，故选B点评：本题考查映射的意义，本题解题的关键是利用一元二次方程的解的判别式表示出符合题意的不等式．8．（5分）定义两种运算：a⊕b=，a⊗b=，则f（x）=是（）函数．A．奇函数B．偶函数C．既奇又偶函数D．非奇非偶函数考点：函数奇偶性的判断；进行简单的合情推理．专题：新定义；函数的性质及应用．分析：先利用新定义把f（x）的表达式找出来，在利用函数的定义域把函数化简，最后看f（x）与f（﹣x）的关系得结论．解答：解：有定义知f（x）=﹣=﹣，由4﹣x2≥0且|x﹣2|﹣2≠0，得﹣2≤x＜0或0＜x≤2，所以f（x）=，故f（﹣x）=﹣f（x），即f（x）是奇函数．故选A．点评：本题是对函数新定义与奇偶性的综合考查，关于新定义的题，关键在于理解新定义，并会用新定义解题，属于易错题题．9．（5分）已知2a=3b=k（k≠1），且2a+b=ab，则实数k的值为（）A．6B．9C．12 D．18考点：对数的运算性质；指数式与对数式的互化．专题：计算题．分析：由2a=3b=k（k≠1），知a=log2k，b=log3k，故，，由2a+b=ab，知=log k18=1，由此能求出k．解答：解：∵2a=3b=k（k≠1），∴a=log2k，b=log3k，∴，，∵2a+b=ab，∴=log k9+log k2=log k18=1，∴k=18．故选D．点评：本题考查指数式和对数式的相互转化，是基础题，解题时要认真审题，仔细解答，注意对数性质的灵活运用．10．（5分）若一系列函数的解析式相同，值域相同，但定义域不同，则称这些函数为“孪生函数”，那么函数解析式为y=2x2﹣1，值域为{1，7}的“孪生函数”共有（）A．10个B．9个C．8个D．4个考点：判断两个函数是否为同一函数．专题：新定义．分析：根据已知中若一系列函数的解析式相同，值域相同，但定义域不同，则称这些函数为“孪生函数”，再由函数解析式为y=2x2﹣1，值域为{1，7}，由y=1时，x=±1，y=7时，x=±2，我们用列举法，可以得到函数解析式为y=2x2﹣1，值域为{1，7}的所有“孪生函数”，进而得到答案．解答：解：由已知中“孪生函数”的定义：一系列函数的解析式相同，值域相同，但定义域不同，当函数解析式为y=2x2﹣1，值域为{1，7}时，函数的定义域可能为：{﹣2，﹣1}，{﹣2，1}，{2，﹣1}，{2，1}，{﹣2，﹣1，1}，{﹣2，﹣1，2}，{﹣1，1，2}，{﹣2，1，2}，{﹣2，﹣1，1，2}，共9个故选B点评：本题考查的知识点是新定义，函数的三要素，基本用列举法，是解答此类问题的常用方法，但列举时，要注意一定的规则，以免重复和遗漏．二．填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分．11．（5分）若A={x|x＞12，x∈N}，B={x|x＜6，x∈N}，全集I=N，则∁I（A∪B）={6，7，8，9，10，11，12}．考点：交、并、补集的混合运算．专题：集合．分析：由已知中A={x|x＞12，x∈N}，B={x|x＜6，x∈N}，全集I=N，进而结合集合交集，并集，补集的定义，代入运算后，可得答案．解答：解：∵A={x|x＞12，x∈N}，B={x|x＜6，x∈N}，∴A∪B={x|x＜6，或x＞12，x∈N}，∴∁I（A∪B）={x|6≤x≤12，x∈N}={6，7，8，9，10，11，12}，故答案为：{6，7，8，9，10，11，12}点评：本题考查的知识点是集合的交集，并集，补集及其运算，难度不大，属于基础题．12．（5分）已知函数f（x）=3x5+ax3+bx+8，且f（﹣2）=15，那么f（2）等于1．考点：函数奇偶性的性质．专题：函数的性质及应用．分析：先由f（﹣2）=15，得到3•25+a•23+2b=﹣7，代入f（2），从而得到答案．解答：解：∵f（﹣2）=3（﹣2）5+a（﹣2）3+b•（﹣2）+8=15，∴3•25+a•23+2b=﹣7，∴f（2）=﹣7+8=1，故答案为：1．点评：本题考查了函数的奇偶性问题，考查了求函数值问题，是一道基础题．13．（5分）已知函数f（x+1）是偶函数，当x∈（﹣∞，1）时，函数f（x）单调递减，设a=f（﹣），b=f（﹣1），c=f（2），a=f（﹣），b=f（﹣1），c=f（2），则a，b，c的大小关系为c＜a＜b．考点：函数奇偶性的性质．专题：函数的性质及应用．分析：由函数f（x+1）是偶函数，且当x∈（﹣∞，1）时，函数f（x）单调递减作出函数f（x）的图象的大致形状，结合图象可以得到a，b，c的大小关系．解答：解：因为函数f（x+1）是偶函数，所以其图象关于直线x=0对称，所以函数y=f（x）的图象关于直线x=1对称．又当x∈（﹣∞，1）时，函数f（x）单调递减，其图象大致形状如图，由图象可知，f（2）＜f（）＜f（1）．即c＜a＜b．故答案为：c＜a＜b．点评：本题考查了函数的性质，解题关键是对函数的对称性的理解，可以利用数形结合的解题思想方法解题，属于基础题．14．（5分）已知函数f（x）=，若存在x1＜x2，使得f（x1）=f（x2），则x1•f（x2）的取值范围为[，）．考点：分段函数的应用．专题：计算题；函数的性质及应用．分析：由题意易知f（x）在[0，），[，1]上单调递增，从而可得x1∈[0，），x2∈[，1]；从而求出x1的取值范围并化简x1•f（x2）=x1•（x1+），从而求其取值范围．解答：解：∵f（x）=x+，x∈[0，）为单调递增，f（x）=3x2在[，1]上单调递增，则由存在x1＜x2，使得f（x1）=f（x2）得，x1∈[0，），x2∈[，1]，即x1+=3，则≤x1＜，则x1•f（x2）=x1•（x1+），则•（+）≤x1•（x1+）＜•1，即≤x1•（x1+）＜，故答案为：[，）．点评：本题考查了分段函数的应用，同时考查了单调函数的应用，属于中档题．15．（5分）符号[x]表示不超过x的最大整数，如[π]=3，[﹣1.8]=﹣2，定义函数：f（x）=x ﹣[x]，则下列命题正确的序号是①②．①f（﹣0.2）=0.8；②方程f（x）=有无数个解；③函数f（x）是增函数；④函数f（x）是奇函数；⑤函数f（x）的定义域为R，值域为[0，1]．考点：命题的真假判断与应用．专题：函数的性质及应用；推理和证明．分析：由符号[x]表示不超过x的最大整数，f（x）=x﹣[x]，可以画出其图象根据图象就比较容易判断了．解答：解：作出函数f（x）=x﹣[x]的图象，如同所示对于①结论三正确的，∵[x]表示不超过x的最大整数，∴[﹣0.2]=﹣1，∴f（﹣0.2）=﹣0.2﹣（﹣1）=0.8．对于②结论是正确的，可以看出函数是周期函数，故方程有无数解是正确的．③是不正确的，因为函数是周期函数，所以不是递增函数．④是不正确的，取特殊值，∵f（﹣0.5）=f（0.5）=0.5，∴④是不正确的．⑤由图象可知，结论三不正确的，值域是[0，1），∴⑤是不正确的．故答案为：①②点评：本题考查新函数的定义，函数性质的判断，所以基础题．三．解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤，本大题共6小题，共75分．16．（12分）计算：（1）（）﹣×e++10lg2（2）lg25+lg2×lg500﹣lg﹣log29×log32．考点：对数的运算性质；根式与分数指数幂的互化及其化简运算；有理数指数幂的化简求值．专题：计算题．分析：（1）利用指数幂的运算法则即可得出；（2）利用对数的运算法则和lg2+lg5=1．解答：解：（1）原式=﹣×+（e﹣2）+2=﹣e+e=．（2）原式=lg25+lg2（lg5+2）﹣﹣=lg5（lg5+lg2）+2lg2+lg5﹣2=2（lg2+lg5）﹣2=2﹣2=0．点评：本题考查了指数幂的运算法则、对数的运算法则和lg2+lg5=1，属于基础题．17．（12分）已知集合A={x|x2﹣3x﹣10≤0}（1）若B⊆A，B={x|m+1≤x≤2m﹣1}，求实数m的取值范围；（2）若A⊆B，B={x|m﹣6≤x≤2m﹣1}，求实数m的取值范围．考点：集合的包含关系判断及应用．专题：集合．分析：（1）先求出A={x|﹣2≤x≤5}，若B⊆A，则：B=∅时，m+1＞2m﹣1，m＜2；B≠∅时，则m应满足，所以解该不等式组，并合并m＜2即得m的取值范围；（2）若A⊆B，则m应满足，解该不等式组即得m的取值范围．解答：解：A={x|﹣2≤x≤5}；（1）∵B⊆A；∴①若B=∅，则m+1＞2m﹣1，即m＜2，此时满足B⊆A；②若B≠∅，则；解得2≤m≤3；由①②得，m的取值范围是（﹣∞，3]；（2）若A⊆B，则；解得3≤m≤4；∴m的取值范围是[3，4]．点评：考查解一元二次不等式，子集、空集的概念，以及描述法表示集合．18．（12分）已知函数f（x）=是奇函数，且f（2）=．（1）求实数a，b的值；（2）判断函数f（x）在（﹣∞，﹣1]上的单调性，并用定义加以证明．考点：奇偶性与单调性的综合．专题：函数的性质及应用．分析：（1）根据函数奇偶性的性质和条件建立方程关系即可求实数a，b的值；（2）根据函数单调性的定义即可证明函数f（x）在（﹣∞，﹣1]上的单调性．解答：解：（1）∵f（x）是奇函数，∴f（﹣x）=﹣f（x）．∴=﹣，因此b=﹣b，即b=0．又f（2）=，∴=，∴a=2；（2）由（1）知f（x）==+，f（x）在（﹣∞，﹣1]上为增函数，证明：设x1＜x2≤﹣1，则f（x1）﹣f（x2）=（x1﹣x2）（1﹣）=（x1﹣x2）•．∵x1＜x2≤﹣1，∴x1﹣x2＜0，x1x2＞1．∴f（x1）﹣f（x2）＜0，即f（x1）＜f（x2）．∴f（x）在（﹣∞，﹣1]上为增函数．点评：本题主要考查函数奇偶性的应用以及函数单调性的证明，根据相应的定义是解决本题的关键．19．（12分）设f（x）的定义域为（0，+∞），对于任意正实数m，n恒有f（m•n）=f（m）+f（n），且当x＞1时，．（1）求f（2）的值；（2）求证：f（x）在（0，+∞）上是增函数；（3）解关于x的不等式．考点：函数单调性的判断与证明；函数单调性的性质；函数的值．专题：函数的性质及应用．分析：（1）利用赋值法，可令m=n=1可求得f（1）=0，再令，可求f（2）的值；（2）为定义法证明函数的单调性，注意步骤；（3）利用已证的单调性把不等式转化为不等式组求解．解答：解：（1）对于任意正实数m，n；恒有f（mn）=f（m）+f（n）令m=n=1，f（1）=2f（1）∴f（1）=0，又∵再令，得∵（2）令0＜x1＜x2，则∵当x＞0时，=∴f（x2）＞f（x1）∴f（x）在区间（0，+∞）上是增函数．（3）∵f（mn）=f（m）+f（n）f（2）=1∴f（4）=2f（2）=2=∴原不等式可化为，又∵f（x）在区间（0，+∞）上是增函数∴∴∴x≥6点评：本题为函数的性质及应用，涉及不等式的解法即转化的思想，属基础题．20．（13分）已知函数f（x）=log4（4x+1）+kx（k∈R）是偶函数．（1）求实数k的值；（2）设g（x）=log4（a•2x+a），若f（x）=g（x）有且只有一个实数解，求实数a的取值范围．考点：根的存在性及根的个数判断；函数奇偶性的性质．专题：函数的性质及应用．分析：（1）由f（x）=f（﹣x），化简可得x=﹣2kx对一切x∈R恒成立，从而求得k的值．（2）由题意可得，函数f（x）与g（x）的图象有且只有一个公共点，方程有且只有一个实根，且a•2x+a＞0成立，则a＞0．令t=2x＞0，则（a﹣1）t2+at﹣1=0有且只有一个正根，分类讨论求得a的范围，综合可得结论．解答：解：（1）由函数f（x）是偶函数可知：f（x）=f（﹣x），∴，化简得，即x=﹣2kx对一切x∈R恒成立，∴．（2）由题意可得，函数f（x）与g（x）的图象有且只有一个公共点，即方程有且只有一个实根，化简得：方程有且只有一个实根，且a•2x+a＞0成立，则a＞0．令t=2x＞0，则（a﹣1）t2+at﹣1=0有且只有一个正根，设g（t）=（a﹣1）t2+at﹣1，注意到g（0）=﹣1＜0，所以①当a=1时，有t=1，合题意；②当0＜a＜1时，g（t）图象开口向下，且g（0）=﹣1＜0，则需满足，此时有；（舍去）．③当a＞1时，又g（0）=﹣1，方程恒有一个正根与一个负根．综上可知，a的取值范围是{}∪[1，+∞）．点评：本题主要考查方程的根的存在性及个数判断，二次函数的性质的应用，体现了化归与转化的数学思想，属于基础．21．（14分）设函数f k（x）=x k+bx+c（k∈N*，b，c∈R），g（x）=log a x（a＞0，a≠1）．（1）若b+c=1，且f k（1）=g（），求a的值；（2）若k=2，记函数f k（x）在[﹣1，1]上的最大值为M，最小值为m，求M﹣m≤4时的b 的取值范围；（3）判断是否存在大于1的实数a，使得对任意x1∈[a，2a]，都有x2∈[a，a2]满足等式：g （x1）+g（x2）=p，且满足该等式的常数p的取值唯一？若存在，求出所有符合条件的a的值；若不存在，请说明理由．考点：利用导数求闭区间上函数的最值；利用导数研究函数的单调性．专题：导数的综合应用．分析：（1）代入得到关于a的方程解之；（2）k=2，说明函数是二次函数，讨论对称轴x=﹣与区间的位置关系，确定最值，得到关于b的方程，解之；（3）将等式g（x1）•g（x2）=p变形得g（x1）=p﹣g（x2），由x1，x2的范围，得到g（x1）、g（x2）的范围，利用对任意实数x1∈[a，2a]，都有x2∈[a，a2]得到[log a a，log a（2a）]⊆[p﹣，p﹣log a a]解得即可．解答：解：（1）∵b+c=1，且f（1）=g（），∴1+b+c=，∴a=；（2）k=2时，f（x）=x2+bx+c，所以当对称轴x=﹣≤﹣1，即b≥2时，M=f（1）=1+b+c，m=f（﹣1）=1﹣b+c，M﹣m=2b≤4，解得b≤2，∴b=2．当对称轴﹣1＜﹣≤0，即0≤b＜2时，M=f（1）=1+b+c，m=f（﹣）=c﹣，M﹣m=b+1+≤4，解得﹣6≤b≤2，∴0≤b＜2．当对称轴0＜﹣＜1，即﹣2≤b＜0时，M=f（﹣1）=1﹣b+c，m=f（﹣）=c﹣，M﹣m=1﹣b+≤4，解得﹣2≤b≤6，∴﹣2＜b＜0．当对称轴﹣≥1，即b≤﹣2时，M=f（﹣1）=1﹣b+c，m=f（1）=1+b+c，M﹣m=﹣2b≤4，解得b≥﹣2，∴b=﹣2．综上所述：b的取值范围是﹣2≤b≤2．（3）将等式g（x1）+g（x2）=p变形得g（x1）=p﹣g（x2），由任意实数x1∈[a，2a]，都有x2∈[a，a2]得到[log a a，log a（2a）]⊆[p﹣，p﹣log a a]，即[1，1+log a2]⊆[p﹣2，p﹣1]，∴，解得2+log a2=3，∴a=2．点评：本题考查了二次函数闭区间的最值的求法问题以及存在性问题的处理方法．。
四川省成都外国语学校2016-2017学年高一下学期期中考试试卷数学（理）
四川省成都外国语学校2016-2017学年高一下学期期中考试试卷数学（理）成都外国语学校2016－2017学年度下期期中考试高一数学试卷(理)第Ⅰ卷（选择题共60分）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分共60分，在每小题所给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，并将正确选项的序号填涂在答题卷。
1.一个三角形的三个内角C B A ,,的度数成等差数列，则B 的度数为（） A. 30 B. 45 C. 60 D. 902．已知直线的斜率为3-，则它的倾斜角为 ( )A ．60°B ．120°C ．60°或120°D ．150°3.设R c b a ∈,,，且b a >，则 ( ) A ．bc ac > B.ba 11< C ．22b a > D ．33b a >4．数列 ,201,121,61,21的一个通项公式是 ( )A ．)1(1-=n n a nB ．)12(21-=n n a n C ．111+-=n n a nD ．na n 11-=5.ABC ?中，已知222a b c bc =++，则角A 为（）A.3π B.6πC.32πD.3π或32π6.下列函数中，最小值是4的函数是 ( )A ．xx y 4+= B ．)0(sin 4sin π<<+=x x x y C ．xxe e y -+=4 D ．3log log 3x x y +=7.在ABC ?中，已知,45,1,2 ===B c b 则此三角形有几个解 ( )A ．0B ．1C ．2D ．不确定8.在ABC ?中，已知2cossin sin 2AC B =，则ABC ?的形状是 ( )A ．等腰三角形B ．直角三角形C ．等腰或直角三角形D ．等边三角形9.锐角ABC ?中，1b =，2c =，则a 取值范围为（）A.()1,3B.()1,3C.()3,2 D.()3,510.在△ABC 中，角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c ，且BC 边上的高为a 63，则c b b c + 的最大值是 ( ) A .2 B . 6 C .23 D .411.某学生家长为缴纳该学生上大学时的教育费，于2003年8月20号从银行贷款a 元，为还清这笔贷款，该家长从2004年起每年的8月20号便去银行偿还确定的金额，计划恰好在贷款的m 年后还清，若银行按年利息为p 的复利计息（复利：即将一年后的贷款利息也纳入本金计算新的利息），则该学生家长每年的偿还金额是（）A ．maB ．1)1()1(11-++++m m p p apC ．1)1(1-++mm p p apD ．1)1()1(-++mm p p ap 12.已知数列{}n a ，{}n b 满足1121,1,21n n n n nb a a b b a +=+==-，则2017b = （） A.20172018 B. 20182017 C. 20192018 D. 20182019第Ⅱ卷（非选择题共90分）二、填空题(本大题共4个小题，每小题5分，共20分)13. 在△ABC 中，A ＝ 60, B=45 ,BC=23,则AC 等于________14.=+75sin 15sin15.已知数列}{n a 满足*11,32,1N n a a a n n ∈+==+则=n a ___________ 16.已知正项等比数列{}n a 满足20172016201523a a a =+，若存在不同的两项,p m a a 使得133p m a a a ?=?，则14m p+的最小值是______________三、解答题(本大题共6个小题，共70分)：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤17. (本题满分10分)(1)求与直线3x ＋4y ＋1＝0平行且过(1,2)的直线方程；(2)求与直线2x ＋y －10＝0垂直且过(2,1)的直线方程．18. (本题满分12分)(1)已知2-<="">12++=x x y 的最大值．（2）若实数x 、y 满足x 2＋y 2＋xy ＝1，求x ＋y 的最大值．19.(本题满分12分)在ABC ?中,角C B A ,,所对的边分别为c b a ,,,已知0cos )sin 3(cos cos =-+B A A C(1) 求角B 的大小;(2)若a+c=2,b=1求△ABC 的面积.20．(本题满分12分)如图，在△ABC 中，已知3π=∠B ，34=AC ，D 为BC 边上一点．(1)若AD ＝2，S △DAC ＝32,求DC 的长；(2)若AB ＝AD ，试求△ADC 的周长的最大值．21.(本题满分12分)设数列{a n}满足a 1＝2，12123-+?=-n n n a a .(1)求数列{a n }的通项公式；(2)令b n ＝na n ，求数列{b n }的前n 项和S n .22.(本题满分12分)设数列{}n a 的前n 项和为n S .已知11a =,3)2)(1(21++-=+n n n na S n n , *n ∈N .(Ⅰ)求数列{}n a 的通项公式; (Ⅱ) 证明:对一切正整数n ,有1211153n a a a +++< .高一数学参考答案(理)一、选择题：本大题共12小题，每小题5分共60分，在每小题所给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，并将正确选项的序号填涂在答题卷。
四川省成都外国语学校高一上学期期中考试数学试题(解析版)
四川省成都外国语学校高一上学期期中考试数学试题一、单选题 1．设集合，，则（ ）A.B.C.D.2．已知 1.30.20.20.7,3,log 5a b c ===，则,,a b c 的大小关系（ ）A. a c b <<B. c a b <<C. b c a <<D. c b a <<3．若函数(1lg f x x x ⎛⎫+= ⎪⎝⎭，则5522f f ⎛⎫⎛⎫-+⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭的值（ ） A. 2 B. lg5 C. 0 D. 34．函数()312xf x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭的零点所在的区间（ ）A. ()0,1B. ()1,2C. ()2,3D. ()3,4 5．下列四种说法正确的个数有（ ）①若,,A B C 为三个集合，满足A B B C ⋃=⋂，则一定有A C ⊆； ②函数的图像与垂直于x 轴的直线的交点有且仅有一个； ③若,A U B U ⊆⊆,则()()U A A B A C B =⋂⋃⋂；④若函数()f x 在[],a b 和[],b c 都为增函数，则()f x 在[],a c 为增函数.A. 1个B. 2个C. 3 个D. 4个6．设全集{|4}U x Z x =∈<，集合{}2,1,3S =-，若U C P S ⊆，则这样的集合P 的个数共有( ) A. 5 B. 6 C. 7 D. 87．为了得到函数43log 4x y -=的图像，只需把函数21log 2y x =图像上所有的点（ ） A. 向左平移3个单位长度，再向上平移1个单位长度； B. 向右平移3个单位长度，再向上平移1个单位长度； C. 向右平移3个单位长度，再向下平移1个单位长度； D. 向左平移3个单位长度，再向下平移1个单位长度；8．函数()212017(0)x f x x x++=>的最小值为（ ） A. 2017 B. 2 C. 2017- D. 20199．如图，在中，点，，点在射线上自开始移动，设，过作的垂线，记在直线左边部分的面积为，则函数的图象是（ ）A. B.C. D.10．已知函数，若任意且都有，则实数的取值范围（ ）A.B.C.D.11．根据有关资料，围棋状态空间复杂度的上限M 约为3612，而可观测宇宙中普通物质的原子总数N 约为8010.则下列各数中与MN最接近的是（ ）（参考数据： lg20.30≈） A. 3010 B. 2810 C. 3610 D. 931012．若函数()()16log 1612xxf x m =+--有零点,则实数m 的取值范围（ ） A. 1,4⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭ B. 1,16⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭ C. (),16-∞ D. 1,164⎛⎤⎥⎝⎦二、填空题 13．集合6{|,}52M a Z a N a=∈∈-用列举法表示为_________. 14．若函数()1f x +的定义域是[]2,3-，则()()21lg 1f x y x -=-的定义域是__________.15．若函数()()log 3,(0,1)a f x ax a a =->≠在[)0,1上是减函数，则实数a 的取值范围____________. 16．已知函数()()321,{21,x x af x x x x a-≤=-+>,若存在实数12,x x 且12x x ≠，使得()()12f x f x =成立，则实数a 的取值范围为_________.三、解答题 17．（1）2231log1102lg210027-+⎛⎫-+ ⎪⎝⎭；（2）已知2.51000,0.251000,x y ==求311log x y ⎛⎫- ⎪⎝⎭的值.18．设全集U R =，集合{}|1 3 A x x =-<<， (]{}|2,,2 xB y y x ==∈-∞， {}|2 1C x a x a =+＜＜.（1）求()()U U C A C B ⋂；（2）若()C A B ⊆⋂，求实数a 的取值范围.19．设函数()()()22log 4log 2f x x x =⋅,1416x ≤≤． （1）若2log t x =,求t 取值范围；（2）求()f x 的最值，并给出最值时对应的x 的值.20．某医药研究所开发的一种药，如果成年人按规定的剂量服用，据监测，服药后每毫升中的含药量y （微克）与时间t （小时）之间近似满足如图所示的曲线.（当1t ≥时， 12t ay -⎛⎫= ⎪⎝⎭）.（1）写出第一次服药后y 与t 之间的函数关系式()y f t =；（2）据进一步测定，每毫升血液中含药量不少于0.25微克时，治疗疾病有效，求服药一次后治疗疾病有效时间.21．已知函数()f x 在()1,1-上有意义，且对任意(),1,1x y ∈-满足()()1x y f x f y f xy ⎛⎫++= ⎪+⎝⎭.（1）判断()f x 的奇偶性，并证明你的结论；（2）若()1,0x ∈-时， ()0f x >，则能否确定()f x 在()1,1-的单调性？若能，请确定，并证明你的结论，若不能说明理由.22．已知函数()*2(,,01)ax b f x a N b R c x c +=∈∈<≤+定义在[]1,1-上的奇函数， ()f x 的最大值为12. （1）求函数()f x 的解析式；（2）关于x 的方程()2log 0f x m -=在1,12⎡⎤⎢⎥⎣⎦上有解，求实数m 的取值范围；（3）若存在[]1,2x ∈，不等式()()2log 30xf x f k +->成立，请同学们探究实数k 的所有可能取值.四川省成都外国语学校高一上学期期中考试数学试题一、单选题 1．设集合，，则（ ）A.B.C.D.【答案】D 【解析】因为，，所以，故选D.2．已知 1.30.20.20.7,3,log 5a b c ===，则,,a b c 的大小关系（ ）A. a c b <<B. c a b <<C. b c a <<D. c b a << 【答案】B 【解析】1.30.20.200.71,31,log 50a b c <===<， c a b ∴<<，故选B.【 方法点睛】本题主要考查指数函数的性质、对数函数的性质以及比较大小问题，属于难题.解答比较大小问题，常见思路有两个：一是判断出各个数值所在区间（一般是看三个区间()()(),0,0,1,1,-∞+∞ ）；二是利用函数的单调性直接解答；数值比较多的比大小问题也可以两种方法综合应用.3．若函数(1lg f x x x ⎛⎫+= ⎪⎝⎭，则5522f f ⎛⎫⎛⎫-+⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭的值（ ） A. 2 B. lg5 C. 0 D. 3 【答案】C 【解析】((11lg ,lg f x x fx x x x ⎛⎫⎛⎫+=∴--=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，()(11lg lg f x f x x x x x x ⎛⎫⎛⎫∴++--=+-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ ())22lg 10x x ⎡=+-=⎣，上式中令12x =，可得55022f f ⎛⎫⎛⎫+-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，故选C. 4．函数()312xf x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭的零点所在的区间（ ）A. ()0,1B. ()1,2C. ()2,3D. ()3,4【解析】函数()312xf x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭在 (),-∞+∞单调递减，又可得()()()17010,10,2024f f f =>=-<=-<，函数的零点在()0,1，故选A. 5．下列四种说法正确的个数有（ ）①若,,A B C 为三个集合，满足A B B C ⋃=⋂，则一定有A C ⊆； ②函数的图像与垂直于x 轴的直线的交点有且仅有一个； ③若,A U B U ⊆⊆,则()()U A A B A C B =⋂⋃⋂；④若函数()f x 在[],a b 和[],b c 都为增函数，则()f x 在[],a c 为增函数.A. 1个B. 2个C. 3 个D. 4个 【答案】C【解析】①若,,A B C 为三个集合，满足A B B C ⋃=⋂，则一定有A B C ⊆⊆，正确；②根据函数的定义知函数的图象与垂直于x 轴的直线的交点至多有一个，正确；③若,A U B U ⊆⊆,则()()U A A B A C B =⋂⋃⋂，正确；④对于函数()1,10{1,01x x f x x x +-≤≤=-≤≤ ，可知函数()f x 在[]1,0-和[]0,1都为增函数，则()f x 在[]1,1-不是增函数，函数()f x 在[],a b 和[],b c 都为增函数，则()f x 在[],a c 为增函数错误，故选C.6．设全集{|4}U x Z x =∈<，集合{}2,1,3S =-，若U C P S ⊆，则这样的集合P 的个数共有( ) A. 5 B. 6 C. 7 D. 8【答案】D【解析】全集{| 4U x x =<，且}x Z ∈ {}3,2,1,0,1,2,3=---， ,U P S S ⊆ð的子集有{}{}{}{}{}{}{}2,1,2,3,1,3,2,1,3,2,1,3,----∅，P ∴可以为{}3,1,0,2,3--， {}{}{}3,1,0,1,2,3,2,1,0,2,3,1,0,1,2,3-------， {}3,2,1,0,2,3---，{}{}3,2,1,0,1,2,3,1,0,2-----， {}3,2,1,0,1,2,3---，共8个，故选D.7．为了得到函数43log 4x y -=的图像，只需把函数21log 2y x =图像上所有的点（ ） A. 向左平移3个单位长度，再向上平移1个单位长度； B. 向右平移3个单位长度，再向上平移1个单位长度； C. 向右平移3个单位长度，再向下平移1个单位长度； D. 向左平移3个单位长度，再向下平移1个单位长度；【解析】函数()443log log 314x y x -==--， 241log log 2y x x == ∴只需要把函数21log 2y x =的图象上所有的向右平移3个单位长度，再向下平移1个单位长度，故选C.8．函数()212017(0)x f x x x++=>的最小值为（ ） A. 2017 B. 2 C. 2017- D. 2019 【答案】B【解析】因为()212017(0)x f x x x ++=> 12x x =+≥ ，当1x = 时，等号成立，即函数()212017(0)x f x x x++=>的最小值为2 ，故选B.【易错点晴】本题主要考查利用基本不等式求最值，属于难题.利用基本不等式求最值时，一定要正确理解和掌握“一正，二定，三相等”的内涵：一正是，首先要判断参数是否为正；二定是，其次要看和或积是否为定值（和定积最大，积定和最小）；三相等是，最后一定要验证等号能否成立（主要注意两点，一是相等时参数否在定义域内，二是多次用≥或≤时等号能否同时成立）.9．如图，在中，点，，点在射线上自开始移动，设，过作的垂线，记在直线左边部分的面积为，则函数的图象是（ ）A. B.C.D.【答案】D【解析】当0⩽x ⩽2时,△OEF 的高，∴；当2<x ⩽3时，△BEF 的高EF =3−x ，∴；当x >3时,.则：，结合函数的解析式可得函数图形如D 选项所示. 本题选择D 选项.10．已知函数，若任意且都有，则实数的取值范围（ ）A.B.C. D.【答案】A【解析】不妨设，，任意可得，可得在上递增，的对称轴，得，故选A.11．根据有关资料，围棋状态空间复杂度的上限M 约为3612，而可观测宇宙中普通物质的原子总数N 约为8010.则下列各数中与MN最接近的是（ ）（参考数据： lg20.30≈） A. 3010 B. 2810 C. 3610 D. 9310 【答案】B【解析】由题意， 361802,10M N ≈≈，根据对数性质有： lg20.3021010=≈，()1083613610.3010828801021010,1010M M N ∴≈≈≈∴≈=，故选B.12．若函数()()16log 1612xxf x m =+--有零点,则实数m 的取值范围（ ） A. 1,4⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭ B. 1,16⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭ C. (),16-∞ D. 1,164⎛⎤⎥⎝⎦【答案】A【解析】()()16log 1612xx f x m =+--有零点，等价于()()16116log 2x x f x m +=-=有根，()161'1612x x g x =-+，由()'0g x >，得0x >， ()g x 在()0,+∞上递增，由()'0g x <，得0x <， ()g x 在(),0-∞上递减， ()()min 104g x g ∴==， 14m ∴≥，故选A. 【方法点睛】本题主要考查函数的零点、利用导数求函数的最值，属于难题. 已知函数有零点(方程有根)求参数取值范围的三种常用的方法：(1)直接法：直接根据题设条件构建关于参数的不等式，再通过解不等式确定参数范围．(2)分离参数法：先将参数分离，转化成求函数值域问题加以解决．(3)数形结合法：先对解析式变形，在同一平面直角坐标系中，画出函数的图象，然后数形结合求解．一是转化为两个函数()(),y g x y h x ==的图象的交点个数问题，画出两个函数的图象，其交点的个数就是函数零点的个数，二是转化为(),y a y g x ==的交点个数的图象的交点个数问题 .二、填空题 13．集合6{|,}52M a Z a N a=∈∈-用列举法表示为_________. 【答案】{}1,2,3,4 【解析】因为652Z a∈-，所以52a -可取6,3,2,1,1,2,3,6---- ，分别列方程解出a 的值， 结合a N ∈ ，可得1,2,3,4的值为，即M = {}1,2,3,4，故答案为{}1,2,3,4.14．若函数()1f x +的定义域是[]2,3-，则()()21lg 1f x y x -=-的定义域是__________.【答案】51,2⎛⎤ ⎥⎝⎦【解析】()1y f x =+的定义域是[]2,3-， 114x ∴-≤+≤， ()f x ∴的定义域是[]1,4-，令1214x -≤-≤，解得502x ≤≤，又因为10x ->,512x <≤ ，所以故答案为51,2⎛⎤ ⎥⎝⎦.【方法点晴】本题主要考查抽象函数的定义域、不等式的解法，属于中档题.定义域的三种类型及求法：(1)已知函数的解析式，则构造使解析式有意义的不等式(组)求解；(2) 对实际问题：由实际意义及使解析式有意义构成的不等式(组)求解；(3) 若已知函数()f x 的定义域为[],a b ，则函数()()f g x 的定义域由不等式()a g x b ≤≤求出.15．若函数()()log 3,(0,1)a f x ax a a =->≠在[)0,1上是减函数，则实数a 的取值范围____________. 【答案】(]1,3【解析】设()3t g x ax ==-，则0,1,3a a t ax >≠∴=-在定义域上单调递减，要使函数()()log 3,0,1a y ax a a =->≠，在[]0,1上单调递减，则有log a y t =在定义域上单调递增，则须有()1{10a g >>，即()1{ 130a g a >=-≥，解得13a <≤，故实数a 的取值范围是13a <≤，故答案为(]1,3.16．已知函数()()321,{21,x x af x x x x a-≤=-+>,若存在实数12,x x 且12x x ≠，使得()()12f x f x =成立，则实数a 的取值范围为_________.【答案】()(),12,-∞⋃+∞【解析】函数()()321,{21,x x af x x x x a-≤=-+>,若存在实数12,x x 且12x x ≠，使得()()12f x f x =成立，等价于存在直线y t =，使得函数函数()()321,{21,x x af x x x x a-≤=-+>图象与直线y t =有两个交点，当1a < 时，画出函数()y f x =图象，存在直线y t =与函数函数()y f x =图象有两个交点，符合题意；当12a ≤≤ ，画出函数()y f x =图象， ()y f x =图象函数()f x 单调递增，不存在直线y t =与函数函数()y f x =图象有两个交点，不符合题意； 2a > 时，画出函数()y f x =图象，存在直线y t =与函数函数()y f x =图象有两个交点，符合题意；综上所述，实数a 的取值范围为()(),12,-∞⋃+∞，故答案为()(),12,-∞⋃+∞.三、解答题 17．（1）2231log1102lg210027-+⎛⎫-+ ⎪⎝⎭；（2）已知2.51000,0.251000,x y ==求311log x y ⎛⎫- ⎪⎝⎭的值. 【答案】（1）32916; （2）1-. 【解析】试题分析：（1）直接利用对数运算法则以及幂指数的运算法则求解即可； （2）由2.51000,0.251000x y ==可得10001log 2.5x = ， 10001log 0.25y= 从而可得11x y-的值，进而可得结果. 试题解析：（1）()2222333loglog 9-264422lg10222273⎛⎫-⨯- ⎪⎝⎭⎛⎫⎛⎫⨯-+=⨯--+ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭2493292922031616-⎛⎫=⨯++=+=⎪⎝⎭. (2)100012.51000,0.251000,log 2.5x y x==∴=,10001log 0.25y=,100010001000111log 2.5log 0.25log 103x y -=-==,33111log log 13x y ⎛⎫-==- ⎪⎝⎭. 18．设全集U R =，集合{}|1 3 A x x =-<<， (]{}|2,,2 xB y y x ==∈-∞， {}|2 1C x a x a =+＜＜.（1）求()()U U C A C B ⋂；（2）若()C A B ⊆⋂，求实数a 的取值范围.【答案】（1）{}14x x x ≤-或， {|03}A B x x ⋂=<<；（2）[)0,+∞.【解析】试题分析：（1）先化简{}|04B x x =<≤，再求出U C A 与U C B ，根据集合交集的定义求解即可；（2）由交集的运算求出A B ⋂，由()C A B ⊆⋂和子集的定义列出不等式组，求出a 的取值范围.试题解析：（1）集合{}{}|13,|04A x x B x x =-<<=<≤， {}|14A B x x ∴⋃=-<≤，且{| 1U A x x =≤-ð或}3x ≥， {| 0U B x x =≤ð或}4x >， ()(){| 1U U A B x x ∴⋂=≤-痧或}4x >.（2）集合{}{}|13,|04A x x B x x =-<<=<≤， {}|03A B x x ∴⋂=<<，由()C A B ⊆⋂得，{}{}|1|03C x a x a x x =<<+⊆<<， 0{13a a ≥∴+≤，解得02,a ≤≤∴实数a 的取值范围是[]0,2.19．设函数()()()22log 4log 2f x x x =⋅,1416x ≤≤． （1）若2log t x =,求t 取值范围；（2）求()f x 的最值，并给出最值时对应的x 的值.【答案】（1）[]4,2-；（2）当4x =时， max 12y =； 当4x =时， min 14y =-.【解析】试题分析：（1）由1416x ≤≤，利用对数函数的单调性可得2log t x =的取值范围；（2）由（1）可得()()()()()2222log 4log 22log 1log f x x x x x =⋅=++ 22313224t t t ⎛⎫=++=+- ⎪⎝⎭，利用二次函数的单调性即可得出. 试题解析：（1）[]214,log 2,24x t x ≤≤∴=∈-. （2）由（1）可得()()()()()2222log 4log 22log 1log f x x x x x =⋅=++ 223132+24t t t ⎛⎫=++=- ⎪⎝⎭，32t ∴=-，可得23log 2x =-，解得322x -=时， ()min 14f x =-，当2t =即4x =时， ()max 12f x =.20．某医药研究所开发的一种药，如果成年人按规定的剂量服用，据监测，服药后每毫升中的含药量y （微克）与时间t （小时）之间近似满足如图所示的曲线.（当1t ≥时， 12t ay -⎛⎫= ⎪⎝⎭）.（1）写出第一次服药后y 与t 之间的函数关系式()y f t =；（2）据进一步测定，每毫升血液中含药量不少于0.25微克时，治疗疾病有效，求服药一次后治疗疾病有效时间.【答案】（1）()34,01{ 1,12t t t f t t -<<=⎛⎫≥ ⎪⎝⎭；（2）7916小时. 【解析】试题分析：（1）由函数图象我们不难得到这是一个分段数，第一段是正比例函数的一段,第二段是指数型函数的一段,由于两段函数均过()1,4M ,故我们可将M 点代入函数的解析式，求出参数值后,即可得到函数的解析式；（2）由（1）的结论我们将函数值0.25代入函数解析式，构造不等式，可以求出每毫升血液中含药量不少于0.25微克的起始时刻和结束时刻，他们之间的差值即为服药一次治疗疾病有效的时间.试题解析：（1）由图象，设()()01{ 112t akt t y t -≤≤=⎛⎫> ⎪⎝⎭，当1t =时，由4y =得4k =；由1142a-⎛⎫= ⎪⎝⎭得3a =，()()3401{ 112t t t y t -≤≤∴=⎛⎫> ⎪⎝⎭.(2)由0.25y ≥得01{40.25t t ≤≤≥或31{ 10.252t t ->⎛⎫≥ ⎪⎝⎭，解得1516t ≤≤，因此服药一次后治疗疾病有效的时间是17951616-=（小时）. 【方法点睛】本题主要考查阅读能力及建模能力、分段函数的解析式，属于难题.与实际应用相结合的题型也是高考命题的动向，这类问题的特点是通过现实生活的事例考查书本知识，解决这类问题的关键是耐心读题、仔细理解题，只有吃透题意，才能将实际问题转化为数学模型进行解答.理解本题题意的关键是构造分段函数，构造分段函数时，做到分段合理、不重不漏，分段函数的最值是各段的最大(最小)者的最大者(最小者).21．已知函数()f x 在()1,1-上有意义，且对任意(),1,1x y ∈-满足()()1x y f x f y f xy ⎛⎫++= ⎪+⎝⎭.（1）判断()f x 的奇偶性，并证明你的结论；（2）若()1,0x ∈-时， ()0f x >，则能否确定()f x 在()1,1-的单调性？若能，请确定，并证明你的结论，若不能说明理由. 【答案】（1）奇函数，证明见解析；（2）单调减函数.【解析】试题分析：（1）先令0x y ==，得()00f =，再令y x =-，可得()()f x f x -=-，运用函数的奇偶性的定义可得结果；（2）令12,x x y x ==-，可得()()1212121x x f x f x f x x ⎛⎫--= ⎪-⎝⎭，只需证明121201x xf x x ⎛⎫-> ⎪-⎝⎭即可得结论. 试题解析：（1）令0x y ==，则()00f =， 令y x =-，则()()()2001x x f x f x f f x -⎛⎫+-=== ⎪-⎝⎭， 则()()f x f x -=-， 所以()f x 奇函数，（2）单调性的定义证明：设任意()1212,1,1,x x x x ∈-<， 令12,x x y x ==-，则()()1212121x x f x f x f x x ⎛⎫-+-=⎪-⎝⎭，即： ()()1212121x x f x f x f x x ⎛⎫--= ⎪-⎝⎭，易证明： 1212101x x x x --<<-，所以由已知条件：121201x x f x x ⎛⎫-> ⎪-⎝⎭， 故： ()()120f x f x ->， 所以()()12f x f x >，所以()f x 在()1,1-上单调减函数.【方法点睛】本题主要考查函数的奇偶性及函数的单调性，属于中档题.判断函数的奇偶性首先要看函数的定义域是否关于原点对称，如果不对称，既不是奇函数又不是偶函数，如果对称常见方法有：（1）直接法， ()()f x f x -=± (正为偶函数，负为减函数)；（2）和差法， ()()=0f x f x -±（和为零奇函数，差为零偶函数）；（3）作商法， ()()1f x f x -=±（1 为偶函数， 1- 为奇函数） .22．已知函数()*2(,,01)ax b f x a N b R c x c +=∈∈<≤+定义在[]1,1-上的奇函数， ()f x 的最大值为12. （1）求函数()f x 的解析式；（2）关于x 的方程()2log 0f x m -=在1,12⎡⎤⎢⎥⎣⎦上有解，求实数m 的取值范围；（3）若存在[]1,2x ∈，不等式()()2log 30xf x f k +->成立，请同学们探究实数k 的所有可能取值.【答案】（1）()21x f x x =+；（2）521log ,1⎡⎤--⎣⎦；（3）310k <≤. 【解析】试题分析：（1）根据()00,0f b ==,利用()f x 的最大值为12，可得a =，再根据*,01a N c ∈<≤即可确定()f x 的解析式；(2) 关于x 的方程()2log 0f x m -=在1,12⎡⎤⎢⎥⎣⎦上有解，即()2log m f x =在1,12⎡⎤⎢⎥⎣⎦上有解，根据函数单调性的求出()22log 1x h x x =+的值域，即可得结果；(3)利用函数奇偶性和单调性之间的关系，可得不等式()()2log 30xf x f k +->成立等价于2log 30x x k +->成立，即存在[]1,2x ∈使得23log x k x >-成立，求出23log x x -的最小值即可得结果.试题解析：（1）()*2(,,01)ax b f x a N b R c x c+=∈∈<≤+定义在[]1,1-上的奇函数，所以()000f b ==得，又()2=ax af x x c x x=++易得()max 12f x ==，从而，a =，所以1a =， 1c =. 故()21xf x x =+.（2）关于x 的方程()2log 0f x m -=在1,12⎡⎤⎢⎥⎣⎦上有解，即()2log m f x =在1,12⎡⎤⎢⎥⎣⎦上有解令： ()22log 1x h x x =+，则()22log 1x h x x =+在1,12⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调性递增函数，所以()22log 1x h x x =+在1,12⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的值域为521log ,1⎡⎤--⎣⎦， 从而，实数m 的取值范围521log ,1⎡⎤--⎣⎦. （3）因为()21xf x x =+是奇函数且在[]1,1-为单调递增函数， 所以由()()2log 30xf x f k +->有2log 30x x k +->，即：存在[]1,2x ∈使得23log x k x >-成立，分别由3x y =以及2log y x =在[]1,2x ∈上的图像可知，()23log x g x x =-在[]1,2上是增函数，所以()()min 13g x g ==，所以3k >又131x k -≤-≤即3131x x k -≤≤+，所以010k ≤≤，综上： 310k <≤.。
成都市外国语学校数学高一上期中经典习题(答案解析)
一、选择题1．(0分)[ID ：11822]函数()2312x f x x -⎛⎫=- ⎪⎝⎭的零点所在的区间为（ ） A ．()0,1B ．()1,2C ．()2,3D ．()3,42．(0分)[ID ：11819]在下列区间中，函数()43xf x e x =+-的零点所在的区间为（ ） A ．1,04⎛⎫-⎪⎝⎭B ．10,4⎛⎫ ⎪⎝⎭C ．11,42⎛⎫⎪⎝⎭D ．13,24⎛⎫⎪⎝⎭3．(0分)[ID ：11799]已知(31)4,1()log ,1a a x a x f x x x -+<⎧=⎨≥⎩是(,)-∞+∞上的减函数，那么a的取值范围是（ ）A ．(0,1)B ．1(0,)3C ．11[,)73D ．1[,1)74．(0分)[ID ：11779]已知()f x 是定义域为(,)-∞+∞的奇函数,满足(1)(1)f x f x -=+.若(1)2f =，则(1)(2)(3)(50)f f f f ++++=（ ）A ．50-B ．0C ．2D ．505．(0分)[ID ：11773]如图，U 为全集，M 、P 、S 是U 的三个子集，则阴影部分所表示的集合是（ ）A ．()M P S ⋂⋂B ．()M P S ⋂⋃C ．()()UM P S ⋂⋂D ．()()UM P S ⋂⋃6．(0分)[ID ：11749]设x 、y 、z 为正数，且235x y z ==，则 A ．2x <3y <5z B ．5z <2x <3y C ．3y <5z <2xD ．3y <2x <5z7．(0分)[ID ：11745]已知函数(),1log ,1x a a x f x x x ⎧≤=⎨>⎩（1a >且1a ≠），若()12f =，则12f f ⎛⎫⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭（ ） A ．1-B ．12-C ．12D 28．(0分)[ID ：11737]已知奇函数()f x 在R 上是增函数，若21log 5a f ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，()2log 4.1b f =，()0.82c f =，则,,a b c 的大小关系为( )A ．a b c <<B ．b a c <<C ．c b a <<D ．c a b <<9．(0分)[ID ：11734]已知函数()f x =2log (1),(1,3)4,[3,)1x x x x ⎧+∈-⎪⎨∈+∞⎪-⎩，则函数[]()()1g x f f x =-的零点个数为（ ）A ．1B ．3C ．4D ．610．(0分)[ID ：11733]设0.60.3a =，0.30.6b =，0.30.3c =，则a ，b ，c 的大小关系为（ ） A ．b a c <<B ．a c b <<C ．b c a <<D ．c b a <<11．(0分)[ID ：11732]方程 4log 7x x += 的解所在区间是（ ） A ．(1,2)B ．(3,4)C ．(5,6)D ．(6,7)12．(0分)[ID ：11817]函数y =）A ．(41)--，B ．(41)-，C ．(11)-，D ．(11]-， 13．(0分)[ID ：11803]设0.13592,ln ,log 210a b c ===，则,,a b c 的大小关系是 A ．a b c >>B ．a c b >>C ．b a c >>D ．b c a >>14．(0分)[ID ：11783]函数()(1)f x x x =-在[,]m n 上的最小值为14-，最大值为2，则n m -的最大值为（ ）A ．52B．522+C ．32D ．215．(0分)[ID ：11760]设函数3()f x x x =+ ，. 若当02πθ<<时，不等式(sin )(1)0f m f m θ+-> 恒成立，则实数m 的取值范围是（ ）A ．1(,1]2B ．1(,1)2C ．[1,)+∞D ．(,1]-∞二、填空题16．(0分)[ID ：11911]已知函数2()121()f x ax x ax a R =+++-∈的最小值为0，则实数a =_________.17．(0分)[ID ：11906]1232e 2(){log (1)2x x f x x x ，，-<=-≥，则f （f （2））的值为____________．18．(0分)[ID ：11896]函数()f x 的定义域是__________．19．(0分)[ID ：11883]已知函数()f x 是定义在 R 上的奇函数，且当0x >时，()21x f x =-，则()()1f f -的值为______．20．(0分)[ID ：11876]函数y =lg (x +1)+12−x 的定义域为___．21．(0分)[ID ：11867]已知函数1)4f x +=-，则()f x 的解析式为_________. 22．(0分)[ID ：11866]已知函数()f x 满足对任意的x ∈R 都有11222⎛⎫⎛⎫++-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭f x f x 成立，则 127...888f f f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫+++ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭＝ ． 23．(0分)[ID ：11861]已知函数()()212log 22f x mx m x m ⎡⎤=+-+-⎣⎦，若()f x 有最大值或最小值，则m 的取值范围为______．24．(0分)[ID ：11844]有15人进家电超市，其中有9人买了电视，有7人买了电脑，两种均买了的有3人，则这两 种都没买的有 人.25．(0分)[ID ：11841]某班有36名同学参加数学、物理、化学竞赛小组，每名同学至多参加两个小组，已知参加数学、物理、化学小组的人数分别为26，15，13，同时参加数学和物理小组的有6人，同时参加物理和化学小组的有4人，则同时参加数学和化学小组的有__________人．三、解答题26．(0分)[ID ：11981]已知函数()212ax f x x b +=+是奇函数，且()312f =.（1）求实数a ，b 的值；（2）判断函数()f x 在(],1-∞-上的单调性，并用定义加以证明． （3）若[]2,1x ∈--，求函数的值域27．(0分)[ID ：11972]求关于x 的方程2210ax x ++=至少有一个负根的充要条件. 28．(0分)[ID ：11971]设集合A ＝{x ∈R|x 2＋4x ＝0}，B ＝{x ∈R|x 2＋2(a ＋1)x ＋a 2－1＝0，a ∈R }，若B ⊆A ，求实数a 的值．29．(0分)[ID ：11956]已知函数()lg(2)lg(2)f x x x =++-. （1）求函数()y f x =的定义域； （2）判断函数()y f x =的奇偶性； （3）若(2)()f m f m -<，求m 的取值范围.30．(0分)[ID ：11935]已知集合{}24xA x R =∈<，(){}lg 4B x R y x =∈=-.（1）求集合,A B ；（2）已知集合{}11C x m x m =-≤≤-，若集合()C A B ⊆⋃，求实数m 的取值范围.【参考答案】2016-2017年度第*次考试试卷参考答案**科目模拟测试一、选择题1．B2．C3．C4．C5．C6．D7．C8．C9．C10．B11．C12．C13．A14．B15．D二、填空题16．【解析】【分析】设计算可得再结合图象即可求出答案【详解】解：设则则由于函数的最小值为0作出函数的大致图象结合图象得所以故答案为：【点睛】本题主要考查分段函数的图象与性质考查转化思想考查数形结合思想属17．2【解析】【分析】先求f（2）再根据f（2）值所在区间求f（f（2））【详解】由题意f（2）=log3（22–1）=1故f（f（2））=f（1）=2×e1–1=2故答案为：2【点睛】本题考查分段函数18．【解析】由得所以所以原函数定义域为故答案为19．【解析】由题意可得：20．(-12)∪(2+∞)【解析】【分析】根据式子成立的条件对数式要求真数大于零分式要求分母不等于零即可求得函数的定义域【详解】要使函数有意义则x+1>012-x≠0解得x>-1且x≠2所以函数的定义域21．【解析】【分析】利用换元法求解析式即可【详解】令则故故答案为【点睛】本题考查函数解析式的求法换元法是常见方法注意新元的范围是易错点22．7【解析】【分析】【详解】设则因为所以故答案为723．或【解析】【分析】分类讨论的范围利用对数函数二次函数的性质进一步求出的范围【详解】解：∵函数若有最大值或最小值则函数有最大值或最小值且取最值时当时由于没有最值故也没有最值不满足题意当时函数有最小值没24．【解析】【分析】【详解】试题分析：两种都买的有人所以两种家电至少买一种有人所以两种都没买的有人或根据条件画出韦恩图：(人)考点：元素与集合的关系25．8【解析】【分析】画出表示参加数学物理化学竞赛小组集合的图结合图形进行分析求解即可【详解】由条件知每名同学至多参加两个小组故不可能出现一名同学同时参加数学物理化学竞赛小组设参加数学物理化学竞赛小组的三、解答题26．27．28．29．30．2016-2017年度第*次考试试卷 参考解析【参考解析】**科目模拟测试一、选择题 1．B 解析：B 【解析】 【分析】判断函数()2312x f x x -⎛⎫=- ⎪⎝⎭单调递增，求出f （0）=-4，f （1）=-1，f （2）=3＞0，即可判断．【详解】∵函数()2312x f x x -⎛⎫=- ⎪⎝⎭单调递增，∴f（0）=-4，f （1）=-1， f （2）=7＞0，根据零点的存在性定理可得出零点所在的区间是()1,2， 故选B ． 【点睛】本题考查了函数的单调性，零点的存在性定理的运用，属于容易题．2．C解析：C 【解析】 【分析】先判断函数()f x 在R 上单调递增，由104102f f ⎧⎛⎫< ⎪⎪⎪⎝⎭⎨⎛⎫⎪> ⎪⎪⎝⎭⎩,利用零点存在定理可得结果.【详解】因为函数()43xf x e x =+-在R 上连续单调递增，且114411221143204411431022f e e f e e ⎧⎛⎫=+⨯-=-<⎪ ⎪⎪⎝⎭⎨⎛⎫⎪=+⨯-=-> ⎪⎪⎝⎭⎩, 所以函数的零点在区间11,42⎛⎫⎪⎝⎭内，故选C.【点睛】本题主要考查零点存在定理的应用，属于简单题.应用零点存在定理解题时，要注意两点：（1）函数是否为单调函数；（2）函数是否连续.3．C解析：C 【解析】 【分析】要使函数()f x 在(,)-∞+∞上为减函数，则要求①当1x <，()(31)4f x a x a =-+在区间(,1)-∞为减函数，②当1x ≥时，()log a f x x =在区间[1,)+∞为减函数，③当1x =时，(31)14log 1a a a -⨯+≥，综上①②③解方程即可.【详解】令()(31)4g x a x =-+，()log a h x x =.要使函数()f x 在(,)-∞+∞上为减函数，则有()(31)4g x a x =-+在区间(,1)-∞上为减函数，()log a h x x =在区间[1,)+∞上为减函数且(1)(1)g h ≥,∴31001(1)(31)14log 1(1)a a a g a a h -<⎧⎪<<⎨⎪=-⨯+≥=⎩,解得1173a ≤<. 故选：C. 【点睛】考查分段函数求参数的问题.其中一次函数y ax b =+，当0a <时，函数y ax b =+在R 上为减函数，对数函数log ,(0)a y x x =>，当01a <<时，对数函数log ay x =在区间(0,)+∞上为减函数.4．C解析：C 【解析】分析：先根据奇函数性质以及对称性确定函数周期，再根据周期以及对应函数值求结果. 详解：因为()f x 是定义域为(,)-∞+∞的奇函数，且(1)(1)f x f x -=+， 所以(1)(1)(3)(1)(1)4f x f x f x f x f x T +=--∴+=-+=-∴=, 因此(1)(2)(3)(50)12[(1)(2)(3)(4)](1)(2)f f f f f f f f f f ++++=+++++，因为(3)(1)(4)(2)f f f f =-=-，，所以(1)(2)(3)(4)0f f f f +++=，(2)(2)(2)(2)0f f f f =-=-∴=，从而(1)(2)(3)(50)(1)2f f f f f ++++==，选C.点睛：函数的奇偶性与周期性相结合的问题多考查求值问题，常利用奇偶性及周期性进行变换，将所求函数值的自变量转化到已知解析式的函数定义域内求解．5．C解析：C 【解析】 【分析】先根据图中的阴影部分是M∩P 的子集，但不属于集合S ，属于集合S 的补集，然后用关系式表示出来即可． 【详解】图中的阴影部分是： M∩P 的子集，不属于集合S ，属于集合S 的补集,即是C U S 的子集则阴影部分所表示的集合是（M∩P ）∩(∁U S). 故选C ． 【点睛】本题主要考查了Venn 图表达集合的关系及运算，同时考查了识图能力，属于基础题．6．D解析：D 【解析】令235(1)x y zk k ===>，则2log x k =，3log =y k ，5log =z k∴22lg lg 3lg 913lg 23lg lg8x k y k =⋅=>，则23x y >， 22lg lg5lg 2515lg 25lg lg32x k z k =⋅=<，则25x z <，故选D. 点睛:对于连等问题，常规的方法是令该连等为同一个常数，再用这个常数表示出对应的,,x y z ，通过作差或作商进行比较大小.对数运算要记住对数运算中常见的运算法则，尤其是换底公式以及0与1的对数表示.7．C解析：C 【解析】 【分析】由()12f =，求得2a =，得到函数的解析式，进而可求解1(())2f f 的值，得到答案． 【详解】由题意，函数(),1(1log ,1x a a x f x a x x ⎧≤=>⎨>⎩且1)a ≠，()12f =，所以()12f a ==，所以()22,1(1log ,1x x f x a x x ⎧≤=>⎨>⎩且1)a ≠，所以121()22f ==所以211(())log 22f f f ===，故选C ． 【点睛】本题主要考查了函数解析式的求解，以及函数值的运算问题，其中解答中根据题意准确求得函数的解析式，合理利用解析式求解是解答的关键，着重考查了运算与求解能力，属于基础题．8．C解析：C 【解析】由题意：()221log log 55a f f ⎛⎫=-= ⎪⎝⎭， 且：0.822log 5log 4.12,122>><<，据此：0.822log 5log 4.12>>，结合函数的单调性有：()()()0.822log 5log 4.12f f f >>，即,a b c c b a >><<. 本题选择C 选项.【考点】 指数、对数、函数的单调性【名师点睛】比较大小是高考常见题，指数式、对数式的比较大小要结合指数函数、对数函数，借助指数函数和对数函数的图象，利用函数的单调性进行比较大小，特别是灵活利用函数的奇偶性和单调性数形结合不仅能比较大小，还可以解不等式.9．C解析：C 【解析】 【分析】令[]()()10g x f f x =-=,可得[]()1f f x =,解方程()1f x =,结合函数()f x 的图象,可求出答案. 【详解】令[]()()10g x f f x =-=,则[]()1f f x =,令()1f x =,若2log (1)1x +=,解得1x =或12x =-,符合(1,3)x ∈-;若411x =-,解得5x =,符合[3,)x ∈+∞.作出函数()f x 的图象,如下图,(]1,0x ∈-时,[)()0,f x ∈+∞;()0,3x ∈时,()()0,2f x ∈;[3,)x ∈+∞时,(]()0,2f x ∈. 结合图象,若()1f x =,有3个解;若1()2f x =-,无解;若()5f x =,有1个解. 所以函数[]()()1g x f f x =-的零点个数为4个. 故选:C.【点睛】本题考查分段函数的性质,考查了函数的零点,考查了学生的推理能力,属于中档题.10．B解析：B 【解析】 【分析】根据指数函数的单调性得出0.60.30.30.3<，而根据幂函数的单调性得出0.30.30.30.6<，从而得出a ，b ，c 的大小关系． 【详解】 解：0.3x y =在定义域上单调递减，且0.360.<，0.60.30.30.3∴<，又0.3y x∴=在定义域上单调递增，且0.360.<，0.30.30.30.6∴<， 0.60.30.30.30.30.6∴<<，a cb ∴<<故选：B ． 【点睛】考查指数函数和幂函数的单调性，以及增函数和减函数的定义．11．C解析：C 【解析】 【分析】令函数4()log 7xf x x =+-，则函数()f x 是()0,∞+上的单调增函数，且是连续函数，根据(5)(6)0f f ⋅<，可得函数4()log 7xf x x =+-的零点所在的区间为()5,6，由此可得方程4log 7x x +=的解所在区间． 【详解】令函数4()log 7xf x x =+-，则函数()f x 是()0,∞+上的单调增函数，且是连续函数.∵(5)0f <，(6)0>f ∴(5)(6)0f f ⋅<∴故函数4()log 7xf x x =+-的零点所在的区间为()5,6∴方程4log 7x x +=的解所在区间是()5,6 故选C. 【点睛】零点存在性定理：利用定理不仅要函数在区间[,]a b 上是连续不断的曲线，且()()0f a f b ⋅<，还必须结合函数的图象与性质（如单调性、奇偶性）才能确定函数有多少个零点.12．C解析：C 【解析】要使函数有意义，需使210{340x x x +>--+>，即1{41x x >--<<，所以1 1.x -<<故选C13．A解析：A 【解析】 试题分析：，，即，，．考点：函数的比较大小．14．B解析：B 【解析】 【分析】根据二次函数的图象和性质，求出最大值和最小值对应的x 的取值，然后利用数形结合即可得到结论． 【详解】当x≥0时，f （x ）=x （|x|﹣1）=x 2﹣x=（x ﹣12）2﹣1144≥-，当x＜0时，f（x）=x（|x|﹣1）=﹣x2﹣x=﹣（x+12）2+14，作出函数f（x）的图象如图：当x≥0时，由f（x）=x2﹣x=2，解得x=2．当x=12时，f（12）=14-．当x＜0时，由f（x）=）=﹣x2﹣x=14 -．即4x2+4x﹣1=0，解得x=24444432248-±+⨯-±=⨯=4421282-±-±=，∴此时x=122--，∵[m，n]上的最小值为14-，最大值为2，∴n=2，12122m--≤≤，∴n﹣m的最大值为2﹣122--=5222+，故选：B．【点睛】本题主要考查函数最值的应用，利用二次函数的图象和性质是解决本题的关键，利用数形结合是解决本题的基本数学思想．15．D解析：D【解析】【分析】【详解】易得()f x是奇函数，2()310()f x x f x '=+>⇒在R 上是增函数，不等式(sin )(1)0f m f m θ+-> 恒成立. 可得11(sin )(1)sin 1,0sin 111sin 1sin f m f m m m m m θθθθθ>-⇒>-⇒<<<⇒⇒≤--， 故选D.二、填空题16．【解析】【分析】设计算可得再结合图象即可求出答案【详解】解：设则则由于函数的最小值为0作出函数的大致图象结合图象得所以故答案为：【点睛】本题主要考查分段函数的图象与性质考查转化思想考查数形结合思想属 解析：±1. 【解析】 【分析】设2()()1()()21g x h x ax g x h x x ax +=+⎧⎨-=+-⎩，计算可得2(),()()()2(),()()g x g x h x f x h x g x h x ≥⎧=⎨<⎩，再结合图象即可求出答案． 【详解】解：设2()()1()()21g x h x ax g x h x x ax +=+⎧⎨-=+-⎩，则22()()1g x x ax h x x ⎧=+⎨=-⎩， 则()()()()()f x g x h x g x h x =++-2(),()()2(),()()g x g x h x h x g x h x ≥⎧=⎨<⎩，由于函数()f x 的最小值为0，作出函数()g x ，()h x 的大致图象，结合图象，210x -=，得1x =±， 所以1a =±， 故答案为：±1． 【点睛】本题主要考查分段函数的图象与性质，考查转化思想，考查数形结合思想，属于中档题．17．2【解析】【分析】先求f （2）再根据f （2）值所在区间求f （f （2））【详解】由题意f （2）=log3（22–1）=1故f （f （2））=f （1）=2×e1–1=2故答案为：2【点睛】本题考查分段函数解析：2 【解析】 【分析】先求f （2），再根据f （2）值所在区间求f （f （2））. 【详解】由题意，f （2）=log 3（22–1）=1，故f （f （2））=f （1）=2×e 1–1=2，故答案为：2． 【点睛】本题考查分段函数求值，考查对应性以及基本求解能力.18．【解析】由得所以所以原函数定义域为故答案为 解析：(],0-∞【解析】由120x -≥，得21x ≤，所以0x ≤，所以原函数定义域为(],0-∞，故答案为(],0-∞.19．【解析】由题意可得： 解析：1-【解析】由题意可得：()()()()()111,111f f ff f -=-=--=-=-20．(-12)∪(2+∞)【解析】【分析】根据式子成立的条件对数式要求真数大于零分式要求分母不等于零即可求得函数的定义域【详解】要使函数有意义则x+1>012-x≠0解得x>-1且x≠2所以函数的定义域 解析：(−1,2)∪(2,+∞)【解析】 【分析】根据式子成立的条件，对数式要求真数大于零，分式要求分母不等于零，即可求得函数的定义域. 【详解】要使函数有意义，则{x +1>012−x≠0，解得x >−1且x ≠2，所以函数的定义域为：(−1,2)∪(2,+∞)， 故答案是：(−1,2)∪(2,+∞). 【点睛】该题考查的是有关函数的定义域的求解问题，在求解的过程中，注意对数式和分式成立的条件即可，属于简单题目.21．【解析】【分析】利用换元法求解析式即可【详解】令则故故答案为【点睛】本题考查函数解析式的求法换元法是常见方法注意新元的范围是易错点解析：2()23(1)f x x x x =--≥【解析】 【分析】利用换元法求解析式即可 【详解】 令11t x =+≥，则()21x t =-故()()214f t t =--=223(1)t t t --≥ 故答案为2()23(1)f x x x x =--≥ 【点睛】本题考查函数解析式的求法，换元法是常见方法，注意新元的范围是易错点22．7【解析】【分析】【详解】设则因为所以故答案为7解析：7 【解析】 【分析】 【详解】 设， 则，因为11222⎛⎫⎛⎫++-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭f x f x ， 所以，,故答案为7.23．或【解析】【分析】分类讨论的范围利用对数函数二次函数的性质进一步求出的范围【详解】解：∵函数若有最大值或最小值则函数有最大值或最小值且取最值时当时由于没有最值故也没有最值不满足题意当时函数有最小值没解析：{|2m m >或2}3m <- 【解析】 【分析】分类讨论m 的范围，利用对数函数、二次函数的性质，进一步求出m 的范围. 【详解】解：∵函数()()212log 22f x mx m x m ⎡⎤=+-+-⎣⎦，若()f x 有最大值或最小值，则函数2(2)2y mx m x m =+-+-有最大值或最小值，且y 取最值时，0y >.当0m =时，22y x =--，由于y 没有最值，故()f x 也没有最值，不满足题意. 当0m >时，函数y 有最小值，没有最大值，()f x 有最大值，没有最小值.故y 的最小值为24(2)(2)4m m m m ---，且 24(2)(2)04m m m m--->，求得 2m >；当0m <时，函数y 有最大值，没有最小值，()f x 有最小值，没有最大值.故y 的最大值为24(2)(2)4m m m m---，且 24(2)(2)04m m m m --->，求得23m <-. 综上，m 的取值范围为{|2m m >或2}3m <-. 故答案为：{|2m m >或2}3m <-. 【点睛】本题主要考查复合函数的单调性，二次函数、对数函数的性质，二次函数的最值，属于中档题.24．【解析】【分析】【详解】试题分析：两种都买的有人所以两种家电至少买一种有人所以两种都没买的有人或根据条件画出韦恩图：(人)考点：元素与集合的关系 解析：【解析】 【分析】 【详解】试题分析：两种都买的有人，所以两种家电至少买一种有人.所以两种都没买的有人.或根据条件画出韦恩图：(人).考点：元素与集合的关系.25．8【解析】【分析】画出表示参加数学物理化学竞赛小组集合的图结合图形进行分析求解即可【详解】由条件知每名同学至多参加两个小组故不可能出现一名同学同时参加数学物理化学竞赛小组设参加数学物理化学竞赛小组的解析：8 【解析】 【分析】画出表示参加数学、物理、化学竞赛小组集合的Venn 图，结合图形进行分析求解即可． 【详解】由条件知，每名同学至多参加两个小组，故不可能出现一名同学同时参加数学、物理、化学竞赛小组，设参加数学、物理、化学竞赛小组的人数构成的集合分别为A ，B ，C ， 则()0card A B C ⋂⋂=，()6card A B ⋂=，()4card B C ⋂=， 由公式()card A B C ⋃⋃()()()()()()card A card B card C card A B card A C card B C =++-⋂-⋂-⋂知()3626151364card A C =++---⋂，故()8card A C ⋂=即同时参加数学和化学小组的有8人， 故答案为8．【点睛】本小题主要考查Venn 图表达集合的关系及运算、Venn 图的应用、集合中元素的个数等基础知识，考查运算求解能力，考查数形结合思想、化归与转化思想，属于基础题．三、解答题 26．（1）2,0a b ==；（2）()f x 在(],1-∞-上为增函数，证明见解析；（3）93,42⎡⎤--⎢⎥⎣⎦. 【解析】 【分析】（1）由函数为奇函数可得()312f =,()312f -=-，再联立解方程组即可得解； （2）利用定义法证明函数()f x 在(],1-∞-上为增函数即可； （3）由函数()f x 在[]2,1--上为增函数，则可求得函数的值域. 【详解】解：（1）由函数()212ax f x x b+=+是奇函数，且()312f =,则()312f -=-，即22113212(1)132(1)2a b a b ⎧⨯+=⎪⨯+⎪⎨⨯-+⎪=-⎪⨯-+⎩ ，解得：20a b =⎧⎨=⎩ ； （2）由（1）得：()2212x f x x+=，则函数()f x 在(],1-∞-上为增函数； 证明如下： 设121x x <≤-，则12()()f x f x -=211212x x +222212x x +-=2212212112222x x x x x x x x +--121212()(21)2x x x x x x --=，又因为121x x <≤-，所以120x x -<，12210x x ->，120x x >， 即12())0(f x f x -< ，即12()()f x f x <， 故()f x 在(],1-∞-上为增函数；（3）由（2）得：函数()f x 在[]2,1--上为增函数，所以(2)()(1)f f x f -≤≤-，即93()42f x -≤≤-，故[]2,1x ∈--，函数的值域为：93,42⎡⎤--⎢⎥⎣⎦. 【点睛】本题考查了函数的奇偶性及增减性，重点考查了利用函数的性质求函数的值域问题，属中档题.27．充要条件是1a ≤． 【解析】 【分析】当0a ≠时，根据根为“1正1负”、“2负根”进行讨论，由此求得a 的范围.当0a =时，直接解出方程的根.由此求得a 的取值范围. 【详解】①0a ≠时，显然方程没有等于零的根．若方程有两异号实根，则0a <；若方程有两个负的实根，则必有102{001440aa aa >-<∴≤∆=-≥＜．．②若0a =时，可得12x =-也适合题意．综上知，若方程至少有一个负实根，则1a ≤．反之，若1a ≤，则方程至少有一个负的实根，因此，关于x 的方程2210ax x ++=至少有一负的实根的充要条件是1a ≤． 【点睛】本小题主要考查根据含有参数的一元二次方程根的分布求参数，考查分类讨论的数学思想方法，属于基础题.28．a ≤－1或a ＝1. 【解析】 【分析】先解方程得集合A ，再由 B ⊆A 得B 为A 子集，根据子集四种情况分类讨论，解出实数a 的值．注意对结果要验证 【详解】解 ∵A ＝{0，－4}，B ⊆A ，于是可分为以下几种情况． (1)当A ＝B 时，B ＝{0，－4}， ∴由根与系数的关系，得22(1)410a a -+=-⎧⎨-=⎩解得a ＝1. (2)当B ≠A 时，又可分为两种情况． ①当B ≠∅时，即B ＝{0}或B ＝{－4}， 当x ＝0时，有a ＝±1； 当x ＝－4时，有a ＝7或a ＝1. 又由Δ＝4(a ＋1)2－4(a 2－1)＝0， 解得a ＝－1，此时B ＝{0}满足条件； ②当B ＝∅时，Δ＝4(a ＋1)2－4(a 2－1)<0， 解得a <－1.综合(1)(2)知，所求实数a 的取值为a ≤－1或a ＝1.29．（1）{|22}x x -<<（2）偶函数（3）01m << 【解析】 【分析】 【详解】（Ⅰ）要使函数有意义，则，得.函数的定义域为. （Ⅱ）由（Ⅰ）可知，函数的定义域为，关于原点对称，对任意，.由函数奇偶性可知，函数为偶函数.（Ⅲ）函数由复合函数单调性判断法则知，当时，函数为减函数又函数为偶函数，不等式等价于，得.30．(1) ()4,B =+∞(),2A =-∞;(2) m 的取值范围是()-3∞，. 【解析】试题分析：（1）由题意，根据指数幂的运算性质，可得(),2A =-∞，根据函数()lg 4y x =- 可解得4x >，得到集合B ；（2）由（1）可得()()(),24,AB =-∞+∞，根据()C A B ⊆⋃，再分C =∅和C ≠∅两种情况分类讨论，即可求得实数m 的取值范围.试题解析： （1）∵x 222<∴()A ,2∞=-又∵()y lg x 4=-可知x 4> ∴()B 4,∞=+（2）∵()()()A B ,24,∞∞⋃=-⋃+，又∵()C A B ⊆⋃ （i ）若C ∅=，即1m m 1->-， 解得m 1<，满足：()C A B ⊆⋃ ∴m 1<符合条件（ii ）若C ∅≠，即m m 1-≤-， 解得m 1≥，要保证：()C A B ⊆⋃1m 4->或m 12-<，解得m 3<-（舍）或m 12-<解得[)m 1,3∈,综上：m 的取值范围是()-3∞， .。
四川省成都市外国语学校2019-2020学年高一数学上学期期中试题(含解析)
四川省成都市外国语学校2019-2020学年高一数学上学期期中试题（含解析）第Ⅰ卷（选择题共60分）一．选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.设集合{}1,2,4A =，{}240B x x x m =-+=．若{}1A B ⋂=，则B = ( )A. {}1,3-B. {}1,0C. {}1,3D. {}1,5【答案】C 【解析】∵ 集合{}124A ，，=，{}2|40B x x x m =-+=，{}1A B ⋂= ∴1x =是方程240x x m -+=的解，即140m -+= ∴3m =∴{}{}{}22|40|43013B x x x m x x x =-+==-+==，，故选C2.函数121()log 1f x x =+的图象大致是（ ） A. B. C. D.【答案】D 【解析】 【分析】根据函数定义域,可排除AB 选项,由复合函数单调性可排除C 选项,即可确定正确选项. 【详解】函数121()log 1f x x =+则定义域101x >+,解得1x >-,所以排除A 、B 选项 因12()log f x x =为单调递减函数, 1()1f x x =+在1x >-时为单调递减函数由复合函数单调性可知121()log 1f x x =+为单调递增函数,所以排除C 选项 综上可知,D 为正确选项 故选:D【点睛】本题考查了根据函数解析式判断函数图像,注意从定义域、单调性、奇偶性、特殊值等方面对比选项,即可得正确答案,属于基础题. 3.函数1()ln 23f x x x =+-的零点所在区间为（ ） A. (2,)e B. (3,4)C. (,3)eD. (1,2)【答案】C 【解析】 【分析】根据零点存在定理,即可判断零点所在的区间. 【详解】函数1()ln 23f x x x =+- 则11()ln 21033f e e e e =+-=-< 1(3)ln 332ln 3103f =+⨯-=->根据零点存在定理可知,在(,3)e 内必有零点. 而函数1()ln 23f x x x =+-单调递增且连续,仅有一个零点.所以零点只能在(,3)e 内. 故选:C【点睛】本题考查了函数零点的判断,零点存在定理的简单应用,属于基础题.4.一水池有两个进水口，一个出水口，每个进水口的进水速度如图甲所示．出水口的出水速度如图乙所示，某天0点到6点，该水池的蓄水量如图丙所示．给出以下3个论断：①0点到3点只进水不出水；②3点到4点不进水只出水；③4点到6点不进水不出水，则一定正确的是( ) A. ① B. ①② C. ①③ D. ①②③【答案】A 【解析】 【分析】由甲，乙图得进水速度1，出水速度2，结合丙图中直线的斜率解答．【详解】由甲、乙两图可知进水速度为1，出水速度为2，结合丙图中直线的斜率，只进水不出水时，蓄水量增加速度是2，故①正确；不进水只出水时，蓄水量减少速度是2，故②不正确；两个进水一个出水时，蓄水量减少速度也是0，故③不正确．【点睛】数形结合是解决此题的关键，本题关键是抓住斜率为解题的突破口． 5.已知123515,12,3x og y og z -===，则下列关系正确的是（ ）A. x y z >>B. y x z >>C. z y x >>D.x z y >>【答案】D 【解析】 【分析】根据对数函数及指数函数的单调性,选取中间值即可比较大小. 【详解】根据对数函数及指数函数的图像和性质可知:331513x og og =>,所以1x >501215y og og <=<,所以102y <<112211331233z -⎛⎫<===< ⎪⎝⎭所以x z y >> 故选:D【点睛】本题考查了指数函数、对数函数的性质,中间值法比较大小的应用,属于基础题. 6.函数23()()2xf x x =-的零点的个数为（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4【答案】C 【解析】 【分析】画出函数图像,根据两个函数图像的交点个数即可判断零点个数. 【详解】函数23()()2xf x x =-的零点即为23()()02x f x x =-=,所以232xx ⎛⎫ ⎪⎝⎭= 画出两个函数图像如下图所示:根据图像及指数函数的增长趋势，可知两个函数有3个交点,所以函数23()()2xf x x =-有3个零点 故选:C【点睛】本题考查了函数零点个数的判断,画出函数图像是常见的判断方法,属于基础题. 7.方程()24250x m x m +-+-=的一根在区间()1,0-内，另一根在区间()0,2内，则m 的取值范围是（ ） A. 5,53⎛⎫ ⎪⎝⎭B. 7,53⎛⎫-⎪⎝⎭C. ()5,5,3⎛⎫-∞+∞ ⎪⎝⎭UD. 5,3⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭【答案】B 【解析】设()()2f 425x x m x m =+-+-，又方程()24250x m x m +-+-=的一根在区间()1,0-内，另一根在区间()0,2内，∴()()()100020f f f ⎧->⎪<⎨⎪>⎩即()()425050162250m m m m m ⎧--+->⎪-<⎨⎪+-+->⎩解得：7m 53-<<故选：B8.若数()2)3f x x =+，且(log 2019)5a f =，则1(log )2019a f =（ ） A. 5- B. 4C. 3D. 1【答案】D 【解析】 【分析】将函数变形为())3ln2f x x -=,可知右端为奇函数,根据奇函数性质即可求得1(log )2019af 的值. 【详解】将函数变形为())3ln 2f x x -=令())ln2g x x = 则())ln2g x x -=所以()()))ln2ln2g x g x x x +-=+()22ln 144ln10x x =+-==即()()g x g x -=-所以())ln2g x x =为奇函数因为()log 20195af =,()1log log 20192019a a f f ⎛⎫=- ⎪⎝⎭所以由())3ln2f x x -=代入可得()()log 20193log 2019a a f g -= ()()log 20193log 2019a a f g --=-两式相加可得()()()()log 20193log 20193log 2019log 20190a a a a f f g g -+--=-+=所以()()log 20196log 2019651a a f f -=-=-= 即()1log log 201912019a a f f ⎛⎫=-= ⎪⎝⎭故选:D【点睛】本题考查了奇函数的性质及简单应用,对数式的化简技巧,属于基础题.9.已知函数2()|l g |,(2)f x o x x =≤,若a b ¹，且()()f a f b =，则+a b 的取值范围是（ ） A. 5(1,]2B. 5(2,]2C. (2,)+∞D. [1,2]【答案】B 【解析】 【分析】画出函数的图像,根据图像分析出a b 、的取值范围,即可求得+a b 的范围. 【详解】因为函数()()2log ,2f x x x =≤ 画出函数图像如下图所示:因为()()f a f b =且a b ¹,不妨设a b < 当()2log 1f x x ==时,2x =或12x = 所以1122a b ≤<<≤ 因为()()f a f b =即22log log a b =,去绝对值可得22log log a b -= 所以22log log 0a b +=,根据对数运算得2log 0ab = 即1ab = 所以1a b a a+=+因为1,12a ⎡⎫∈⎪⎢⎣⎭,由对勾函数的图像与性质可知则52,2a b ⎛⎤+∈ ⎥⎝⎦故选:B【点睛】本题考查了对数函数的图像与性质,对数求值的简单应用,属于基础题. 10.已知max{,}a b 表示,a b 两数中的最大值，若|||2|()max{,}x x f x e e+=，则()f x 的最小值为（ ） A. e B. 1C. 2eD. 2【答案】A 【解析】 【分析】根据题意画出两个函数图像,取得最大值的最小值即可.【详解】根据函数|||2|()max{,}x x f x e e+=,画出2(),()x x f x e f x e +==图像如下图所示:取最大值后函数图像为:由图像可知,当1x =-时取得最小值,即112()f x e ee --+===故选:A【点睛】本题考查了函数图像的画法,取大、取小函数的求值,利用图像法分析是常用方法,属于中档题.11.给出下列命题，其中正确的命题的个数（ ）①函数()122log 23y x x =-+图象恒在x 轴的下方；②将2xy =的图像经过先关于y 轴对称，再向右平移1个单位的变化后为12x y -=的图像；③若函数()()22log 21f x x ax =-+的值域为R ，则实数a 的取值范围是()1,1-；④函数()xf x e =的图像关于y x =对称的函数解析式为ln .y x =A. 1B. 2C. 3D. 4【答案】C 【解析】 【分析】对于①根据复合函数的单调性求得最值即可判断; 对于②根据函数图像的翻折、平移变化即可判断;对于③根据对数函数值域为R 时,判别式满足的条件,即可求得a 的取值范围; 对于④根据关于y x =对称的函数互为反函数,求得反函数即可判断.【详解】对于①函数()()112222log 23log 12y x x x ⎡⎤=-+=-+⎣⎦,由复合函数的单调性判断方法可知,函数在1x <时单调递增,在1x >时单调递减.即在1x =处取得最大值. 所以1max 2log 21y ==-,所以函数图像恒在x 轴的下方,所以①正确;对于②2xy =的图像经过先关于y 轴对称,可得2xy -=;再向右平移1个单位可得()111222x x x y ---+-===,所以②正确;对于③函数()()22log 21f x x ax =-+的值域为R ,则满足()221g x x ax =-+能取到所有的正数.即满足()2240a ∆=--≥,解不等式可得1a ≥或1a ≤-,所以③错误.对于④函数()xf x e =的图像关于y x =对称的函数为()xf x e =的反函数,根据指数函数与对数函数互为反函数可知,其反函数为()ln f x x =,所以④正确. 综上可知,正确的有①②④ 故选:C【点睛】本题考查了指数函数与对数函数的图像与性质,函数图像的平移变换和反函数的概念,综合性强,属于中档题.12.若函数9()log (91)2xxf x =+-，则使不等式()0f x m -≤有解时，实数m 的最小值为（ ）A. 0B. 3log 2-C. 3log 2D. 3log 【答案】D 【解析】 【分析】根据对数运算,将函数解析式变形化简,结合打勾函数的图像与性质即可求得函数的最大值,进而求得实数m 的最小值. 【详解】函数()()9log 912xx f x =+-由对数运算化简可得()()299log 91log 9xxf x =+-()99log 91log 3x x =+- 99911log log 333x x x x+⎛⎫==+ ⎪⎝⎭由对勾函数的图像与性质可知9931log 3log 2log 3x x⎛⎫+≥= ⎪⎝⎭因为不等式()0f x m -≤有解 所以()min f x m ≤即log m所以实数m 的最小值为3log 故选:D【点睛】本题考查了对数的运算化简,对勾函数的图像与性质的应用,不等式有解的解法,属于中档题.二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分） 13.函数log (25)1a y x =--恒过定点的坐标为__________. 【答案】()3,1-【解析】【分析】根据对数函数的图像与性质即可求得函数过定点的坐标.【详解】函数log (25)1a y x =--当3x =时, log (235)11a y =⨯--=-所以定点坐标为()3,1-故答案为: ()3,1-【点睛】本题考查了对数函数的图像与性质,对数函数过定点的求法,属于基础题.14.若5(21)2x f x x -=+，则(3)f -=________. 【答案】12-【解析】【分析】根据函数解析式求法,先求得()f x 的解析式,再代入求值即可.【详解】因为函数()5212x f x x -=+令21x t -= 则12t x +=所以()512122t t f t ++⎛⎫=+ ⎪⎝⎭ 即()512122x x f x ++⎛⎫=+ ⎪⎝⎭ 所以()53123111321222f -+-+⎛⎫-=+=-+=- ⎪⎝⎭故答案为:12-【点睛】本题考查了函数解析式的求法,函数求值,属于基础题.15.若函数12()2xx m f x n +-=+是奇函数．则实数m n +=_______.【答案】3±【解析】【分析】根据奇函数()()f x f x -=-,即可求得mn 、的值,进而得m n +的值. 【详解】函数()122xx m f x n +-=+是奇函数 所以满足()()f x f x -=-,即112222x xx x m m n n --++--=-++ 化简后可得()()()22222220x x n m mn n m -+-⋅+-=因为对于任意x 上式恒成立,所以满足2020n m mn -=⎧⎨-=⎩ 解方程可得12m n =⎧⎨=⎩或12m n =-⎧⎨=-⎩ 所以3m n +=±故答案为: 3±【点睛】本题考查了奇函数的性质及简单应用,注意方程恒成立的条件,不要漏解,属于中档题.16.已知函数3,()8log ,a x x a f x x x a⎧≤=⎨>⎩若存在实数12,,x x 且12x x ≠使得函数12()()f x f x =成立，则实数a 的取值范围为_________.【答案】()()0,12,⋃+∞【解析】【分析】讨论对数函数的底数a 的两种情况:01,1a a <<>.画出图像即可研究存在不相等实数12,,x x 使函数12()()f x f x =成立的情况.【详解】当01a <<时,函数3,()8log ,a x x a f x x x a ⎧≤=⎨>⎩的图像如下图所示:所以此时存在实数12x x ≠使得12()()f x f x =恒成立,当1a >时,函数图像如下图所示:若存在实数12x x ≠使得12()()f x f x =恒成立,则38log a a a >,解不等式可得2a >综上可知, 实数a 的取值范围为01a <<或2a >故答案为: ()()0,12,⋃+∞【点睛】本题考查了分段函数图像的综合应用,分类讨论思想的用法,属于中档题.三、解答题：（本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）17.已知全集U =R ，集合{|20}A x x a =+>，集合B 是()log ()f x x 12=2+1.（1）当2a =时，求集合A B I ；（2）若()U B C A B =I ，求实数a 的取值范围.【答案】（1）1,02⎛⎤-⎥⎝⎦ （2）(],0-∞ 【解析】【分析】（1）代入a 的值,可得集合A,根据对数的图像与性质求得集合B,进而求得集合A B I .（2）根据集合关系可知U B C A ⊆,即B 为U C A 的子集,根据包含关系即可求得实数a 的取值范围.【详解】（1）因为2a =则{|1}A x x =>-根据对数图像与性质可知()f x =1{|0}2B x x =-<≤ 所以{}1|1|01,022x A B x x x ⎧⎫>--<≤=⎨⎛⎤=- ⎥⎝⎩⎭⎦⎬I I （2）解不等式可得|2a A x x -⎧⎫=>⎨⎬⎩⎭所以|2U a C A x x -⎧⎫=≤⎨⎬⎩⎭,1{|0}2B x x =-<≤ 因为()U BC A B =I所以U B C A ⊆ 所以02a -≥,即0a ≤ 实数a 的取值范围为(],0-∞【点睛】本题考查了集合与集合的关系,集合的交集与补集运算,属于基础题.18.求下列各式的值（1）2311log 222)22(21(2)3[(1]log 4-+-++；（2）已知11223a a -+=，求332222a a a a --++值.【答案】（1）53 （2）1847【解析】【分析】（1）由指数幂及对数的运算,化简即可求解.（2）根据完全平方公式及立方和公式,化简即可求值.【详解】（1）根据指数幂与对数的运算,化简可得(()231122log 22221231log 4-+⎛⎫⎡⎤--++ ⎪⎢⎥⎣⎦⎝⎭)()233112229log 2222331log 2-⨯+⎡⎤⎛⎫⎡⎤=-++⎢⎥ ⎪⎣⎦⎝⎭⎢⎥⎣⎦)(()31log 92222312log 33⨯=-++2323=--+53=（2）因为11223a a -+=两边同时平方可得129a a -++=所以17a a -+=由立方和公式及完全平方公式化简可得332222a a a a --++()()111222112a a a a a a ---⎛⎫+-+ ⎪⎝⎭=+-()()2371184772⨯-==-【点睛】本题考查了指数幂及对数的化简求值,完全平方公式及立方和公式的应用,对计算要求较高,属于基础题.19.设函数()3,()9x x g x h x ==（1）解关于x 的方程()11()2(1)0h x g x h -+=；（2）令()F x =1220182019()()()()2020202020202020F F F F ++++L 的值. 【答案】（1）2x =或3log 2x =（2）20192 【解析】分析】（1）根据题意,将()()3,9x xg x h x ==代入原方程化简可得关于x的方程,利用换元法令3xt =,转化为关于t 的一元二次方程,解方程即可求得x 的值. （2）根据解析式,分析并计算可知()()1F x F x +-为定值,即可求值. 【详解】（1）因为函数()()3,9x xg x h x ==代入()()()11210h x g x h -+=可得9113290x x -⨯+⨯=令3x t =则211180t t -+=解得2t =或9t =即32x =或39x =解得2x =或3log 2x =（2）根据题意()xg x F x == 则()11x F x --== 所以()()11x F x F x +-=+=且1212131223F ⎛⎫== ⎪⎝⎭+ 所以1220182019()()()()2020202020202020F F F F ++++L 12019220181009101110102020202020202020202020202020F F F F F F F ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+++++++ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭L 111112=+++++L 20192= 【点睛】本题考查了根据函数解析式求值,函数性质的分析及应用,指数幂的化简求值,属于基础题.20.已知函数222()()m m f x x m Z -++=∈为偶函数，且(3)(2)f f >.（1）求m 的值，并确定()f x 的解析式；（2）若()log [()5](0,a g x f x ax a =-+>且1a ≠）,是否存在实数a ，使得()g x 在区间[1,2]上为减函数.【答案】（1）2m =或0m =,()2f x x =（2）存在;()90,14,2a ⎡⎫∈⋃⎪⎢⎣⎭【解析】【分析】（1）根据函数()f x 为偶函数,且(3)(2)f f >可知2220m m -++>且222m m -++为偶数,即可求得m 的值,进而确定()f x 的解析式.（2）将（1）所得函数()f x 的解析式代入即可得()g x 的解析式.根据复合函数单调性对底数a 分类讨论,即可求得()g x 在区间[1,2]上为减函数时实数a 的取值范围.【详解】（1）因为(3)(2)f f >则2220m m -++>,解不等式可得11m -<<+因为m Z ∈则0m =或1m =或2m =又因为函数()f x 为偶函数所以222m m -++为偶数当0m =时, 2222m m -++=,符合题意当1m =时, 2223m m -++=,不符合题意,舍去当2m =时, 2222m m -++=,符合题意综上可知, 0m =或2m =此时()2f x x = （2）存在.理由如下:由（1）可得()2f x x = 则()()2log 5a g x x ax =-+(0,a >且1)a ≠ 当01a <<时,根据对数函数的性质可知对数部分为减函数.根据复合函数单调性判断方法可知, ()25h x x ax =-+在[]1,2上为增函数且满足()0h x >在[]1,2上恒成立 即()01121150a a h a <<⎧⎪-⎪-≤⎨⎪=-+>⎪⎩解不等式组得01a << 当1a <时,根据对数函数的性质可知对数部分为增函数.根据复合函数单调性判断方法可知, ()25h x x ax =-+在[]1,2上为减函数且满足()0h x >在[]1,2上恒成立 即()12224250a a h a <⎧⎪-⎪-≥⎨⎪=-+>⎪⎩解不等式组得942a ≤< 综上可知,当01a <<或942a ≤<时, ()g x 在[]1,2上为减函数 所以存在实数()90,14,2a ⎡⎫∈⋃⎪⎢⎣⎭,满足()g x 在[]1,2上为减函数【点睛】本题考查了幂函数的定义及性质,复合函数单调性的判断及应用,分类讨论思想的用法,属于中档题.21.已知()f x 是定义在[1,1]-上的奇函数，且(1)1f =，若对于任意的,[1,1]a b ∈-且0,a b +≠有()()0f a f b a b+>+恒成立. （1）判断()f x 在[1,1]-上的单调性，并证明你的结论；（2）若函数()[24]1x xF x f a =⋅++有零点,求实数a 的取值范围. 【答案】（1）增函数;证明见解析. （2）(],2-∞-【解析】【分析】（1）在定义域内任取12,x x ,代入()f x 作差,结合()()0f a f b a b +>+即可证明单调性. （2）根据零点的定义, 结合奇函数性质即可转化为关于x 的方程,通过分离参数将方程转化为对勾函数,即可求得a 的取值范围.【详解】（1）函数()f x 在[]1,1-上单调递增. 证明:因为()f x 定义在[]1,1-上的奇函数 则()()f x f x -=-任取[]12,1,1x x ∈-,且21x x >则()()()()()21212121=f x f x f x f x x x x x ---- ()()()()212121+=+f x f x x x x x ---因为0a b +≠时有()()0f a f b a b+>+恒成立. 210x x ->所以()()210f x f x ->,即()()21f x f x >所以()f x 在[]1,1-上单调递增（2）因为()f x 定义在[]1,1-上的奇函数,且()11f =所以()11f -=-若函数()()241x x F x f a =⋅++有零点即()241x x f a ⋅+=-有解所以241x x a ⋅+=-有解即可. 则411222x x x x a +⎛⎫=-=-+ ⎪⎝⎭ 因为1222x x +? 所以2a ≤-即(],2a ∈-∞-【点睛】本题考查了用定义证明函数的单调性,函数零点的综合应用,对勾函数求参数取值范围的方法,属于中档题.22.已知函数2()(0,1)x x a t f x a a a+=>≠是奇函数． （1）求实数t 的值；（2）若(1)0f <，对任意[0,1]x ∈有21(2)f x kx k a a-->-恒成立，求实数k 取值范围； （3）设22()log [()],(0,1)x x m g x a a mf x m m -=+->≠,若3(1)2f =，问是否存在实数m 使函数()g x 在2[1,log 3]上的最大值为0？若存在，求出m 的值；若不存在，说明理由.【答案】（1）1t =- （2）3,2⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭（3）不存在,理由见解析. 【解析】【分析】（1）根据定义域为R 且为奇函数可知, (0)0f =代入即可求得实数t 的值.（2）由（1）可得函数()f x 的解析式,并判断出单调性.根据1(1)f a a-=-将不等式转化为关于x 的不等式,结合[0,1]x ∈时不等式恒成立,即可求得实数k 取值范围；（3）先用()f x 表示函数()g x .根据3(1)2f =求得()f x 的解析式,根据单调性利用换元法求得()f x 的值域.结合对数的定义域,即可求得m 的取值范围.根据对数型复合函数的单调性,即可判断在m 的取值范围内能否取到最大值0.【详解】（1）函数2()(0,1)xx a tf x a a a +=>≠的定义域为R,且为奇函数所以(0)0f =,即10t +=解得1t =-（2）由（1）可知当1t =-时, 21()x x xx a f x a a a --==-因为(1)0f <,即10a a -<(0)a >解不等式可得01a <<所以()x x f x a a -=-在R 上单调递减,且1(1)f a a -=- 所以不等式21(2)f x kx k a a -->-可转化为()2(2)1f x kx k f -->-根据函数()x x f x a a -=-在R 上单调递减所不等式可化为221x kx k --<-即不等式221x kx k --<-在[0,1]x ∈恒成立 所以2211x k x +<+[0,1]x ∈恒成立化简可得()322121x k x ⎛⎫⎪++-< ⎪+ ⎪⎝⎭由打勾函数的图像可知,当1x =时,()max33221212x x ⎛⎫⎪++-= ⎪+ ⎪⎝⎭ 所以32k >（3）不存在实数m .理由如下:22()log ()x xm g x a a mf x -⎡⎤=+-⎣⎦2log ()()2m f x mf x ⎡⎤=-+⎣⎦因为3(1)2f =(0)a > 代入可得132a a -=,解得2a =或12a =-(舍) 则()22x x f x -=-,令()22x xt f x -==-,易知()f x 在R 上为单调递增函数 所以当[]21,log 3x ∈时, ()131222f -=-=,()22log 3log 328log 3223f -=-= 则38,23t ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦ 根据对数定义域的要求,所以()2()log 2m g t t mt =-+满足220t mt -+>在38,23t ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦上恒成立 即2min2t m t ⎛⎫+< ⎪⎝⎭在38,23t ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦上恒成立 令()2h t t t =+,38,23t ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦所以min 33417()2236h x h ⎛⎫==+= ⎪⎝⎭,即176m < 又因为0,1m m >≠所以()170,11,6m ⎛⎫∈⋃ ⎪⎝⎭对于二次函数()22d t t mt =-+,开口向上,对称轴为2m t =因为()170,11,6m ⎛⎫∈⋃ ⎪⎝⎭所以11170,,22212m ⎛⎫⎛⎫∈⋃ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭所以对称轴一直位于38,23⎡⎤⎢⎥⎣⎦的左侧,即二次函数()22d t t mt =-+在38,23⎡⎤⎢⎥⎣⎦内单调递增所以()min 3317224d x d m ⎛⎫==-+ ⎪⎝⎭,()max 8882339d x d m ⎛⎫==-+ ⎪⎝⎭假设存在满足条件的实数m ,则:当()0,1m ∈时, 由复合函数单调性的判断方法，可知()2()log 2m g t t mt =-+为减函数,所以根据max ()0g x =可知()()2min min 21d t t mt =-+=,即33171224d m ⎛⎫=-+= ⎪⎝⎭解得()130,16m =∉,所以舍去 当171,6m ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时, 复合函数单调性的判断方法可知()2()log 2m g t t mt =-+为增函数,所以根据max ()0g x =可知()()2max max 21d t t mt =-+=,即88821339d m ⎛⎫=-+= ⎪⎝⎭解得73171,246m ⎛⎫=∉ ⎪⎝⎭,所以舍去 综上所述,不存在实数m 满足条件成立.【点睛】本题考查了函数奇偶性的性质及应用,不等式恒成立问题的解法,复合函数单调性的判断及最值求法,含参数的分类讨论思想的综合应用,综合性强,属于难题.。
成都外国语学校高一数学上学期期中试题
四川省成都外国语学校2020—2021学年高一数学上学期期中试题注意事项：1.本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷（非选择题）两部分.2.本堂考试时间120分钟，满分150分.3。
答题前,考生务必先将自己的姓名、学号填写在答题卡上，并使用2B 铅笔填涂。
4.考试结束后,将答题卡交回.第Ⅰ卷 (选择题,共60分)一、选择题:本大题共12小题,每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．设集合{1,2,6},{2,4},{1,2,3,4}A B C ===，则()A B C ⋃⋂=（ )A ．{2}B ．{1,2,4}C ．{1,2,4,6}D ．{1,2,3,4,6}2．下列各组函数中，表示同一个函数的是（ )A 。
112--=x x y 与1+=x yB.x y =与)1,0(log ≠>=a a a y xaC.12-=x y 与1-=x yD 。
x y lg =与2lg 21x y =3。
设全集U R =，集合1284x A x ⎧⎫=<<⎨⎬⎩⎭，{}05B x x =<<，则韦恩图中阴影部分表示的集合是（ ）A 。
{}25x x -<<B 。
{}20x x -<≤ C.{}35x x -<< D.{}35x x ≤< 4．已知函数=⎩⎨⎧≥-<-=)2(,0)5(0)(log )(3f x x f x x x f 则( ）A ．-1B ．1C ．0D ．25．已知函数)(54)12(R x x x f ∈+=-，若13)(=a f ，则实数a 的值为（ ）A 。
5B 。
4 C.3 D 。
26。
已知5log 3=a ，23log 2b =，2.05-=c ，则c b a ,,的大小关系为（ ）A.a c b >>B. a b c >>C.c b a >>D.c a b >> 7．函数2121xy =+-的部分图象大致为（ ）A ．B ．C ．D ．8.已知函数0(1,1,3)(>⎩⎨⎧≥<+-=a x a x a x x f x 且)1≠a 在R 上是减函数，则a 的范围为（ ） A 。
四川省成都外国语学校高一上学期期中考试 数学
成都外国语学校 高一 上期半期考试数学试卷满分150分，测试时间：120分钟 命题人：全 鑫 审题人：全 鑫 第Ⅰ卷（选择题共60分）一．选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.设集合{}1,2,4A =，{}240x x x m B =-+=．若{}1AB =，则B =（ ）A ．{}1,3-B ．{}1,0C ．{}1,3D ．{}1,5 2．函数121()log 1f x x =+的图象大致是（ ） A ． B ．C ． D ．3.函数1()ln 23f x x x =+-的零点所在区间为（ ） A ． (2,)e B ．(3,4) C. (,3)e D ．(1,2)4.一水池有两个进水口，一个出水口，每个进水口的进水速度如图甲所示．出水口的出水速度如图乙所示，某天0点到6点，该水池的蓄水量如图丙所示．给出以下3个论断：①0点到3点只进水不出水；②3点到4点不进水只出水；③4点到6点不进水不出水，则一定正确的是( )A ．①B ．①②C ．①③D ．①②③ 5.已知123515,12,3x og y og z -===，则下列关系正确的是（ ）A ．x y z >>B ．y x z >>C ．z y x >>D ．x z y >>6. 函数23()()2x f x x =-的零点的个数为（ ） A.1 B. 2 C.3 D. 47．方程()24250x m x m +-+-=的一根在区间()1,0-内，另一根在区间()0,2内，则m的取值范围是（ ） A ．5,53⎛⎫ ⎪⎝⎭ B ．7,53⎛⎫- ⎪⎝⎭ C ．()5,5,3⎛⎫-∞+∞ ⎪⎝⎭ D ．5,3⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭8.若数()2)3f x x =+，且(log 2019)5a f =，则1(log )2019af =（ ） A. 5- B. 4 C. 3 D. 19.已知函数2()|l g |,(2)f x o x x =≤,若a b ≠，且()()f a f b =，则a b +的取值范围是（ ） A. 5(1,]2 B. 5(2,]2C. (2,)+∞D. [1,2] 10．已知max{,}a b 表示,a b 两数中的最大值，若|||2|()max{,}x x f x e e +=，则()f x 的最小值为（ ）A. eB. 1C. 2eD. 2 11.给出下列命题，其中正确的命题的个数（ ） ①函数()122log 23y x x =-+图象恒在x 轴的下方；②将2x y =的图像经过先关于y 轴对称，再向右平移1个单位的变化后为12xy -=的图像；③若函数()()22log 21f x x ax =-+的值域为R ，则实数a 的取值范围是()1,1-； ④函数()xf x e =的图像关于y x =对称的函数解析式为ln .y x = A.1 B. 2C. 3D. 4 12.若函数9()log (91)2xxf x =+-，则使不等式()0f x m -≤有解时，实数m 的最小值为（ ） A. 0 B. 3log 2- C. 3log 2 D. 3log 二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13．函数log (25)1a y x =--恒过定点的坐标为__________.14．若5(21)2xf x x -=+，则(3)f -=________.15．若函数12()2xx m f x n +-=+是奇函数．则实数m n +=_______.16.已知函数3,()8log ,a x x af x x x a⎧≤=⎨>⎩若存在实数1212,,x x x x ≠且使得函数12()()f x f x =成立，则实数a 的取值范围为_________.三、解答题：（本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 17.（本小题满分10分）已知全集U R =，集合{}02|>+=a x x A ，集合B是()f x =.（Ⅰ）当2a =时，求集合A B ；（Ⅱ）若()U BC A B =，求实数a 的取值范围.18. 求下列各式的值（Ⅰ）2311log 222)22(21(2)3[(1]log 4-+-++；（II ）已知11223a a -+=，求332222a aa a--++值.19.设函数()3,()9x xg x h x ==（I ）解关于x 的方程()11()2(1)0h x g x h -+=； （II）令()F x =，求1220182019()()()()2020202020202020F F F F ++++的值.20. 已知函数222()()mm f x x m Z -++=∈为偶函数，且(3)(2)f f >.（Ⅰ）求m 的值，并确定()f x 的解析式；（Ⅱ）若()log [()5](0,1)a g x f x ax a a =-+>≠且,是否存在实数a ，使得()g x 在区间[1,2]上为减函数.21．已知()f x 是定义在[1,1]-上的奇函数，且(1)1f =，若对于任意的,[1,1]a b ∈-且0,a b +≠有()()0f a f b a b+>+恒成立.（I ）判断()f x 在[1,1]-上的单调性，并证明你的结论；（II ）若函数()[24]1xxF x f a =⋅++有零点,求实数a 的取值范围.22．已知函数2()(0,1)x xa tf x a a a+=>≠是奇函数． （I ）求实数t 的值；（II ）若(1)0f <，对任意[0,1]x ∈有21(2)f x kx k a a-->-恒成立，求实数k 取值范围； （III ）设22()log [()],(0,1)x xm g x a a mf x m m -=+->≠,若3(1)2f =，问是否存在实数m 使函数()g x 在2[1,log 3]上的最大值为0？ 若存在，求出m 的值；若不存在，说明理由.高一数学试卷(参考答案)一、 选择题 1～6, CDCADC 7～12, BDBACD二、 填空题： 13. (3,1)- 14. 1-215. 3± 16. (0,1)(2,)+∞ 三、解答题：17.解：（Ⅰ）{|1}A x x =>-， 1{|0}2B x x =-<≤ 则A B B = （Ⅱ） {|}2U a C A x x =≤- ，U B C A ⊆, 所以0a ≤18.解：（Ⅰ）53 （Ⅱ） 184719.解：（Ⅰ）3log 2,2x x == （Ⅱ）2019220.解：（1）(3)(2)f f >，所以()f x 在(0,)+∞上增函数，所以，2220m m -++>即：11m <<+m Z ∈故0,1,2m =，当0,2m =时，2222m m -++=此时，2()f x x =满足条件 当1m =时，3()f x x =不满足条件 综上：0,2m =，2()f x x =（2）由（1）可知2()log [5](0,1)a g x x ax a a =-+>≠且假设存在实数a 使得2()log [5](0,1)a g x x ax a a =-+>≠且在[1,2]上为减函数.①当01a <<时，25u x ax =-+在[1,2]上增函数， 即：12a≤，60a ->，得到01a <<②当1a >时，同理：9[4,)2综上：存在a 满足9(0,1)[4,)221.解（1）设任意12,[1,1]x x ∈-，且12x x <令12,a x b x ==-，因为对于任意的,[1,1]a b ∈-且0,a b +≠有()()0f a f b a b+>+恒成立.所以1212()()0f x f x x x +->-，又因为()f x 是定义在[1,1]-上的奇函数1212()()0f x f x x x ->-，120x x -< ， 所以12()()f x f x <故()f x 在[1,1]-上是增函数（2）因为()[24]1xxF x f a =⋅++有零点，所以方程[24]1xxf a ⋅+=-有解又因为(1)(1)1f f -=-=-，所以[24](1)x xf a f ⋅+=- 即 241x x a ⋅+=-有解即1(2)2xxa =-+，即2a ≤- 22.解：（1）因为f(x)的定义域为R ，且f(x)为奇函数， 所以f(0)=1+t 1=0，解得t =−1.检验：当t =−1时，f(x)=a2x −1a x=a x −a −x ，对任意x ∈R ，都有f(−x)=a −x −a x =−f(x)，即f(x)是奇函数，所以t =−1成立。
成都外国语学校2016-2017学年高一下学期期中数学试卷(文科) 含解析
2016—2017学年四川省成都外国语学校高一（下）期中数学试卷（文科)一、选择题：本大题共12小题，每小题5分共60分，在每小题所给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，并将正确选项的序号填涂在答题卷．1．一个三角形的三个内角A,B，C的度数成等差数列，则B的度数为（)A．30°B．45°C．60°D．90°2．已知直线的斜率为，则它的倾斜角为（）A．60°B．120°C．60°或120°D．150°3．设a，b,c∈R，且a＞b，则( ）A．ac＞bc B．C．a2＞b2D．a3＞b34．数列的一个通项公式是（）A．B． C．D．5．在△ABC中,已知a2=b2+c2+bc,则角A为（）A．B．C．D．或6．下列函数中，最小值为4的函数是（)A．B．C．y=e x+4e﹣x D．y=log3x+log x817．在△ABC中,已知b=，则此三角形有几个解（）A．0 B．1 C．2 D．不确定8．在△ABC中，若sinBsinC=cos2，则△ABC是( ）A．等腰三角形 B．直角三角形C．等边三角形 D．等腰直角三角形9．锐角△ABC中，b=1,c=2，则a取值范围为（）A．（1，3） B．C． D．10．若｛a n｝是等差数列，首项a1＞0，a2016+a2017＞0，a2016．a2017＜0,则使前n项和S n＞0成立的最大自然数n是（）A．4031 B．4033 C．4034 D．403211．在△ABC中,角A、B、C所对的边分别为a、b、c，且BC边上的高为a，则的最大值是( )A．8 B．6 C．3D．412．某学生家长为缴纳该学生上大学时的教育费，于2003年8月20号从银行贷款a元，为还清这笔贷款,该家长从2004年起每年的8月20号便去银行偿还确定的金额，计划恰好在贷款的m年后还清，若银行按年利息为p的复利计息（复利：即将一年后的贷款利息也纳入本金计算新的利息），则该学生家长每年的偿还金额是（）A．B．C．D．二、填空题（本大题共4个小题，每小题5分，共20分）13．在△ABC中，若∠A=60°，∠B=45°,BC=3,则AC= ．14．sin15°+sin75°的值是．15．已知数列{a n}中，a1=1,a n+1=2a n+3．求a n．16．已知正项等比数列｛a n}满足a2017=2a2016+3a2015，若存在不同的两项a p，a m使得,则的最小值是．三、解答题（本题共6个小题,共70分）：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤17．(10分)(1）求与直线3x+4y+1=0平行且过(1,2）的直线方程;（2）求与直线2x+y﹣10=0垂直且过(2，1）的直线方程．18．（12分）（1）已知x＜﹣2，求函数的最大值．（2）若实数x、y满足x2+y2+xy=1，求x+y的最大值．19．（12分）在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a,b,c，已知cosC+（cosA﹣sinA)cosB=0（1)求角B的大小；（2）若a+c=2，b=1，求△ABC的面积．20．（12分)如图，在△ABC中,已知B=,AC=4，D为BC边上一点．（I)若AD=2，S△DAC=2，求DC的长;（Ⅱ）若AB=AD,试求△ADC的周长的最大值．21．(12分）设数列满足a1=2，a n+1﹣a n=3•22n﹣1（1)求数列{a n}的通项公式；（2）令b n=na n,求数列｛b n}的前n项和S n．22．（12分)设数列{a n}的前n项和为S n．已知a1=1，2S n=na n+1﹣,n∈N*．（Ⅰ) 求数列｛a n｝的通项公式;（Ⅱ）证明：对一切正整数n，有．2016-2017学年四川省成都外国语学校高一（下)期中数学试卷（文科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共12小题，每小题5分共60分，在每小题所给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，并将正确选项的序号填涂在答题卷．1．一个三角形的三个内角A，B,C的度数成等差数列,则B的度数为（)A．30°B．45°C．60°D．90°【考点】8F：等差数列的性质．【分析】直接由等差中项的概念结合三角形的内角和定理得答案．【解答】解：∵三角形的三个内角A,B,C的度数成等差数列，∴A+C=2B,又A+C+B=180°，∴3B=180°，则B=60°．故选：C．【点评】本题考查了等差数列的性质，考查了三角形内角和定理，是基础题．2．已知直线的斜率为，则它的倾斜角为（）A．60°B．120°C．60°或120°D．150°【考点】I2:直线的倾斜角．【分析】设它的倾斜角为θ∈［0°,180°)，可得tanθ=﹣，解得θ．【解答】解：设它的倾斜角为θ∈［0°，180°），∴tanθ=﹣,解得θ=120°．故选：B．【点评】本题考查了直线的斜率与倾斜角的关系,考查了推理能力与计算能力,属于基础题．3．设a,b，c∈R，且a＞b，则（）A．ac＞bc B．C．a2＞b2D．a3＞b3【考点】71:不等关系与不等式．【分析】对于A、B、C可举出反例，对于D利用不等式的基本性质即可判断出．【解答】解:A、3＞2，但是3×（﹣1）＜2×（﹣1），故A不正确；B、1＞﹣2,但是，故B不正确;C、﹣1＞﹣2,但是（﹣1）2＜(﹣2)2，故C不正确；D、∵a＞b，∴a3＞b3，成立，故D正确．故选：D．【点评】熟练掌握不等式的基本性质以及反例的应用是解题的关键．4．数列的一个通项公式是( ）A．B． C．D．【考点】81：数列的概念及简单表示法．【分析】根据裂项和规律即可得到数列的通项公式【解答】解:数列的一个通项公式是，，，,…，即为（1﹣)，(﹣），（﹣），（﹣），…，∴a n=﹣，故选：C【点评】本题考查数列的通项公式,考查学生分析解决问题的能力，属于基础题．5．在△ABC中,已知a2=b2+c2+bc，则角A为（）A．B．C．D．或【考点】HR：余弦定理．【分析】根据余弦定理表示出cosA,然后把已知的等式代入即可求出cosA的值，由A的范围,根据特殊角的三角函数值即可得到A的度数．【解答】解:由a2=b2+c2+bc，则根据余弦定理得：cosA===﹣，因为A∈(0，π）,所以A=．故选C【点评】此题考查学生灵活运用余弦定理及特殊角的三角函数值化简求值，是一道基础题．6．下列函数中,最小值为4的函数是（）A．B．C．y=e x+4e﹣x D．y=log3x+log x81【考点】7F：基本不等式．【分析】利用基本不等式可得=4，注意检验不等式使用的前提条件．【解答】解：∵e x＞0,4e﹣x＞0，∴=4，当且仅当e x=4e﹣x，即x=ln2时取得等号,∴y=e x+4e﹣x的最小值为4，故选C．【点评】本题考查基本不等式求函数的最值，利用基本不等式求函数最值要注意条件：“一正、二定、三相等"．7．在△ABC中，已知b=，则此三角形有几个解（）A．0 B．1 C．2 D．不确定【考点】HP：正弦定理．【分析】运用正弦定理,求得sinC，再由三角形的边角关系,即可得到三角形的个数．【解答】解：b=，由正弦定理=，可得sinC===，由b＞c,可得B＞C,则C为锐角,且C=30°,A=105°，则此三角形有一个解．故选：B．【点评】本题考查正弦定理的运用,考查三角形的边角关系，以及运算能力,属于基础题．8．在△ABC中，若sinBsinC=cos2,则△ABC是（）A．等腰三角形 B．直角三角形C．等边三角形 D．等腰直角三角形【考点】GZ:三角形的形状判断．【分析】利用cos2=可得，再利用两角和差的余弦可求．【解答】解：由题意,即sinBsinC=1﹣cosCcosB，亦即cos （C﹣B）=1，∵C，B∈（0，π），∴C=B，故选A．【点评】本题主要考查两角和差的余弦公式的运用,考查三角函数与解三角形的结合．属于基础题．9．锐角△ABC中,b=1，c=2，则a取值范围为（)A．（1，3） B．C． D．【考点】HR：余弦定理．【分析】根据余弦定理和锐角的余弦函数大于0可求得a的范围,进而利用两边之差小于第三边，求得a的另一个范围，最后取交集．【解答】解:∵锐角△ABC中，b=1，c=2，若a是最大边，则0＜cosA＜1．∴=＞0，∴a＜．若c是最大边，必有cosC＞0，∴=＞0，∴a＞，综上，则a取值范围为(，）．故选：D．【点评】本题主要考查了余弦定理的运用．余弦定理是揭示三角形边角关系的重要定理，直接运用它可解决一类已知三角形两边及夹角求第三边或者是已知三个边求角的问题．10．若｛a n｝是等差数列，首项a1＞0，a2016+a2017＞0，a2016．a2017＜0，则使前n项和S n＞0成立的最大自然数n是（）A．4031 B．4033 C．4034 D．4032【考点】85：等差数列的前n项和．【分析】｛a n｝是等差数列，首项a1＞0,a2016+a2017＞0，a2016．a2017＜0，可得：a2016，＞0，a2017＜0，公差d＜0．再利用等差数列的前n项和公式及其性质即可得出．【解答】解：∵{a n｝是等差数列，首项a1＞0,a2016+a2017＞0,a2016．a2017＜0，∴a2016＞0,a2017＜0，公差d＜0．∴S4032==2016（a2016+a2017）＞0，S4033==4033a2017＜0．使前n项和S n＞0成立的最大自然数n是4032．故选：D．【点评】本题考查了等差数列的通项公式、前n项和公式及其性质,考查了推理能力与计算能力,属于中档题．11．在△ABC中，角A、B、C所对的边分别为a、b、c，且BC边上的高为a,则的最大值是（）A．8 B．6 C．3D．4【考点】7G：基本不等式在最值问题中的应用．【分析】利用三角形的面积公式、余弦定理，化简，再利用辅助角公式，即可求得结论．【解答】解:=，这个形式很容易联想到余弦定理：cosA=①而条件中的“高”容易联想到面积，a•a=bcsinA，即a2=2bcsinA②,将②代入①得：b2+c2=2bc（cosA+sinA），∴=2（cosA+sinA）=4sin（A+）,当A=时取得最大值4，故选D．【点评】本题考查余弦定理及其应用，考查辅助角公式，考查学生的计算能力，属于中档题．12．某学生家长为缴纳该学生上大学时的教育费，于2003年8月20号从银行贷款a元，为还清这笔贷款，该家长从2004年起每年的8月20号便去银行偿还确定的金额，计划恰好在贷款的m年后还清,若银行按年利息为p的复利计息（复利：即将一年后的贷款利息也纳入本金计算新的利息）,则该学生家长每年的偿还金额是（）A．B．C．D．【考点】5C：根据实际问题选择函数类型．【分析】由题意建立等式即:a（1+p）m=x+x（1+p）+x（1+p)2+••+x （1+p）m﹣1，进行求解即可．【解答】解:设每年偿还的金额都是x元，则根据题意有：a（1+p）m=x+x（1+p）+x(1+p)2+••+x（1+p）m﹣1，∴a(1+p）m=x•∴x=．故选D．【点评】本题主要考查了函数模型的选择与应用，以及等比数列的求和，同时考查了计算能力，属于中档题．二、填空题（本大题共4个小题，每小题5分,共20分）13．在△ABC中，若∠A=60°，∠B=45°，BC=3,则AC= 2．【考点】HP：正弦定理．【分析】由A与B的度数分别求出sinA与sinB的值，再由BC的长，利用正弦定理即可求出AC的长．【解答】解：∵∠A=60°,∠B=45°,BC=3，∴由正弦定理=得:AC===2．故答案为：2【点评】此题考查了正弦定理，以及特殊角的三角函数值,熟练掌握正弦定理是解本题的关键．14．sin15°+sin75°的值是．【考点】GQ：两角和与差的正弦函数;GI：三角函数的化简求值．【分析】利用诱导公式以及两角和的正弦函数化简求解即可．【解答】解：sin15°+sin75°=sin15°+cos15°=（sin15°cos45°+cos15°sin45°）=sin60°=．故答案为：．【点评】本题考查两角和的正弦函数,三角函数的化简求值，考查计算能力．15．已知数列{a n｝中,a1=1，a n+1=2a n+3．求a n．【考点】8H:数列递推式．【分析】把数列递推式两边加3得到新数列{a n+3}，该数列为等比数列，求出其通项公式，则a n可求．【解答】解：由a n+1=2a n+3，得a n+1+3=2（a n+3），∵a1+3=1+3=4≠0，∴=2，∴数列{a n+3｝是以4为首项，以2为公比的等比数列，∴a n+3=4•2n﹣1=2n+1，则a n=2n+1﹣3．【点评】本题考查了数列递推式,对于a n+1=pa n+q型的数列递推式，常用构造等比数列的方法求解，是中档题．16．已知正项等比数列{a n｝满足a2017=2a2016+3a2015,若存在不同的两项a p，a m使得，则的最小值是．【考点】88：等比数列的通项公式．【分析】设正项等比数列{a n}的公比为q＞0．由a2017=2a2016+3a2015，可得=a2015（2q+3），解得q=3．存在不同的两项a p，a m使得，代入=a1，解得p+m=5．可得（p，m）的取值为:（1，4）,（2，3）,（3，2），（4,1）．代入验证即可得出．【解答】解：设正项等比数列{a n}的公比为q＞0．∵a2017=2a2016+3a2015,∴=a2015(2q+3），可得q2﹣2q﹣3=0，解得q=3．∵存在不同的两项a p，a m使得，∴=a1，解得p+m=5．∴（p，m）的取值为：（1,4）,（2，3）,（3，2），（4，1)．则的最小值是=．故答案为：．【点评】本题考查了等比数列的通项公式及其性质、一元二次方程的解法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．三、解答题（本题共6个小题，共70分):解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤17．（10分）（2017春•金牛区校级期中）（1）求与直线3x+4y+1=0平行且过(1,2)的直线方程；(2）求与直线2x+y﹣10=0垂直且过(2，1）的直线方程．【考点】IK：待定系数法求直线方程．【分析】(1）根据直线的平行关系设出方程,代入点的坐标，求出参数m的值，从而求出直线方程即可;（2）根据直线的垂直关系设出直线方程，代入点的坐标，求出参数m的值,从而求出直线方程即可．【解答】解:（1）设与3x+4y+1=0平行的直线方程为l：3x+4y+m=0．∵l过点（1,2）,∴3×1+4×2+m=0，即m=﹣11．∴所求直线方程为3x+4y﹣11=0．(2）设与直线2x+y﹣10=0垂直的直线方程为l：x﹣2y+m=0．∵直线l过点（2,1），∴2﹣2+m=0，∴m=0．∴所求直线方程为x﹣2y=0．【点评】本题考查了直线的位置关系，考查代入求值问题，是一道基础题．18．(12分）（2017春•金牛区校级期中)（1）已知x＜﹣2，求函数的最大值．（2)若实数x、y满足x2+y2+xy=1,求x+y的最大值．【考点】7F：基本不等式．【分析】（1）由x＜﹣2，可得x+2＜0，﹣（x+2）＞0．变形为y=2(x+2）+﹣4=﹣［﹣2（x+2）+］﹣4，利用基本不等式的性质即可得出．（2）x2+y2+xy=(x+y)2﹣xy=1，可得（x+y)2=xy+1≤(）2+1．即可得出．【解答】解：（1）∵x＜﹣2，∴x+2＜0,﹣（x+2）＞0．∴y=2（x+2）+﹣4=﹣[﹣2（x+2）+]﹣4≤﹣2﹣4=﹣2﹣4．当且仅当﹣2(x+2)=（x＜﹣2）,即x=﹣2﹣时，y取最大值﹣2﹣4．(2）x2+y2+xy=（x+y）2﹣xy=1，∴(x+y）2=xy+1≤（）2+1．∴（x+y）2≤．∴x+y≤．当且仅当x=y=时等号成立．【点评】本题考查了基本不等式的性质、变形能力,考查了推理能力与计算能力，属于中档题．19．（12分)（2017春•金牛区校级期中）在△ABC中,角A，B，C 所对的边分别为a，b，c,已知cosC+（cosA﹣sinA）cosB=0（1）求角B的大小；(2)若a+c=2，b=1,求△ABC的面积．【考点】HT：三角形中的几何计算；GL：三角函数中的恒等变换应用．【分析】（1)由已知得，,即．(2）由余弦定理,b2=a2+c2﹣2accosB=（a+c）2﹣2ac(1+cosB）．即ac=1．即可求出△ABC的面积【解答】解：(1)由已知得，即有因为sinA≠0，所以，又cosB≠0，所以，又0＜B＜π，所以．（2）由余弦定理，有b2=a2+c2﹣2accosB=（a+c）2﹣2ac(1+cosB）．因为，有ac=1．于是有．【点评】本题考查了三角恒等变形、余弦定理，属于中档题．20．（12分)（2015•浙江模拟）如图，在△ABC中，已知B=，AC=4，D为BC边上一点．(I）若AD=2，S△DAC=2,求DC的长;（Ⅱ）若AB=AD，试求△ADC的周长的最大值．【考点】HX:解三角形；HP：正弦定理；HR:余弦定理．【分析】（Ⅰ）利用三角形的面积公式表示出三角形ADC的面积,把已知的面积，以及AC、AD的长代入,求出sin∠DAC的值,由B的范围，得到∠BAC的范围，进而确定出∠DAC的范围,利用特殊角的三角函数值求出∠DAC的度数,再由AD，AC及cos∠DAC的值，利用余弦定理即可求出DC的长；（Ⅱ）由B=,AB=AD,得到三角形ABD为等边三角形，可得出∠ADC为，进而得到∠DAC+∠C=，用∠C表示出∠DAC，在三角形ADC中，由AC，以及sin∠ADC，sinC，sin∠DAC，利用正弦定理表示出AD及DC，表示出三角形ADC的周长,整理后再利用特殊角的三角函数值及两角和与差的正弦函数公式化为一个角的正弦函数，由∠ADC的度数，得到C的范围，可得出这个角的范围,根据正弦函数的图象与性质得到正弦函数的值域，确定出正弦函数的最大值,即可得到周长的最大值．【解答】解：(Ⅰ）∵,AC=4，AD=2,∴,∴，(2分）∵B=,∴，∴，（3分）在△ADC中，由余弦定理得:，(4分）∴，∴;（6分）（Ⅱ)∵AB=AD，，∴△ABD为正三角形,∵∠DAC=﹣C，∠ADC=，在△ADC中，根据正弦定理，可得:，（7分）∴AD=8sinC，，（8分）∴△ADC的周长为=8（sinC+cosC﹣sinC）+4=8（sinC+cosC)+4（9分）=8sin（C+）+4，（10分）∵∠ADC=,∴0＜C＜，∴＜C+＜，（11分）∴，sin(C+)的最大值为1,则△ADC的周长最大值为．（13分）【点评】此题属于解三角形的题型，涉及的知识有：正弦、余弦定理，三角形的面积公式，两角和与差的正弦函数公式，正弦函数的定义域与值域,以及特殊角的三角函数值,熟练掌握定理及公式是解本题的关键．21．（12分）（2010•宁夏）设数列满足a1=2，a n+1﹣a n=3•22n﹣1（1）求数列{a n}的通项公式；（2)令b n=na n，求数列｛b n｝的前n项和S n．【考点】8H:数列递推式;8E:数列的求和．【分析】（Ⅰ）由题意得a n+1=[（a n+1﹣a n）+（a n﹣a n﹣1）+…+（a2﹣a1)]+a1=3（22n﹣1+22n﹣3+…+2）+2=22(n+1）﹣1．由此可知数列｛a n}的通项公式为a n=22n﹣1．(Ⅱ)由b n=na n=n•22n﹣1知S n=1•2+2•23+3•25++n•22n﹣1，由此入手可知答案．【解答】解：（Ⅰ）由已知，当n≥1时，a n+1=[（a n+1﹣a n）+（a n ﹣a n﹣1）+…+（a2﹣a1）］+a1=3（22n﹣1+22n﹣3+…+2）+2=3×+2=22（n+1）﹣1．而a1=2，所以数列{a n｝的通项公式为a n=22n﹣1．（Ⅱ）由b n=na n=n•22n﹣1知S n=1•2+2•23+3•25+…+n•22n﹣1①从而22S n=1•23+2•25+…+n•22n+1②①﹣②得（1﹣22）•S n=2+23+25+…+22n﹣1﹣n•22n+1．即．【点评】本题主要考查数列累加法（叠加法）求数列通项、错位相减法求数列和等知识以及相应运算能力．22．(12分）(2017春•金牛区校级期中）设数列｛a n}的前n项和为S n．已知a1=1，2S n=na n+1﹣,n∈N*．（Ⅰ) 求数列｛a n｝的通项公式;（Ⅱ）证明：对一切正整数n,有．【考点】8K:数列与不等式的综合；8H:数列递推式．【分析】（Ⅰ）①,当n≥2时，②由①﹣②，得2S n﹣2S n﹣1=na n+1﹣（n﹣1）a n﹣n（n+1)可得数列从第二项起是公差为1的等差数列．即可求解（Ⅱ）由可得＜=【解答】（Ⅰ）解:①当n≥2时，②由①﹣②,得2S n﹣2S n﹣1=na n+1﹣(n﹣1)a n﹣n（n+1)∴2a n=na n+1﹣（n﹣1）a n﹣n（n+1)∴∴数列从第二项起是公差为1的等差数列．∴当n=1时，,又a1=1，∴a2=4，∴,∴，当n=1时，上式显然成立．∴;（Ⅱ)证明：由（Ⅰ）知，①当n=1时，，∴原不等式成立．②当n=2时，，∴原不等式亦成立．③当n≥3时，∵n2＞（n﹣1）•(n+1），∴∴＜=学必求其心得，业必贵于专精=∴当n≥3时，∴原不等式亦成立．综上，对一切正整数n，有．【点评】本题考查了数列递推式,数列求和，数列中的放缩法，考查了计算能力，属于中档题．。
四川省成都外国语学校高一数学上学期期中试卷新人教A版
⊂≠一、选择题（每小题5分，共50分）1．设全集U={1,2,3,4,5}，集合M={1,3,5}，N={2,5}则Venn图中阴影部分表示的集合是（）A.{1,3}B.{2}C.{3,5}D.{5}2．函数3+=x ay（a＞0，a≠1）的图象经过的定点坐标是（）A.(0,1)B.(2,1)C.(3-,1) D.(3-,0)3．已知⎩⎨⎧-≤-=)0()3()0(1)(2x＞xfxxxf，则)]1([ff的值是（）A.1- B.3 C.2 D.54．设a＞0，将322aaa⋅写成分数指数幂，其结果是（）A.23a B.21a C.65a D.67a5．函数1||1+=xy的大致图象为（）A B C D6．设24.0=a，4.02=b，4.02log=c，则（）A.a＞c＞bB.b＞a＞cC.b＞c＞aD.a＞b＞c7．若0＜3loga＜1（a＞0，a≠1），则a的取值范围是（）A.)31,0( B.(0,3) C.(3,+∞) D.(1,3)8．已知xxf2log)(=，则)1(xfy-=的图象是（）A B C D9 .已知)(xf是奇函数，当0≥x时，1)(+=x exf（e为自然对数的底数），则)21(lnf=（） A.3- B. 2 C. 3 D. 010 .已知)1(32≠==kkba且abba=+2，则实数k的值为（）A. 6B. 9C. 12D. 18二、填空题。
（每小题5分，共25分）11 满足Ф A ⊆{1,2,3}的集合A 的个数是 。
13 已知偶函数)(x f 满足)( )()2(R x x f x x f ∈⋅=+，则)1(f = 。
14 若)3(log +=ax y a （a ＞0且a ≠1）在区间),1(+∞-上是增函数，则a 的取值范围是 15 若函数a ax x x f 2)(2--=在区间[0,2]上的最大值为1，则实数a 等于三、解答题。
（共75分）16 求值 （每小题6分，共12分） （1）300)32(10])2[(])37(2[25.013132021--+-⨯⨯----（2）3log 23323558log 932log log 2-+-17 （12分）已知函数|2|)(2x x x f -=。
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2016-2017学年四川省成都外国语学校高一（上）期中数学试卷一、选择题：本大题共12小题，每小题5分共60分，在每小题所给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，并将正确选项的序号填涂在答题卷．1．（5.00分）设全集U={1，2，3，4，5，6，7}，集合M={1，2，3，5}，N={2，4，5}，则Venn图中阴影部分表示的集合是（）A．{1，3}B．{4}C．{3，5}D．{5}2．（5.00分）设α∈{﹣3，﹣2，﹣1，﹣，，1，2，3}，则使y=xα为奇函数且在（0，+∞）上单调递减的α值的个数为（）A．1 B．2 C．3 D．43．（5.00分）设a=，b=，c=，d=log2则a，b，c，d的大小关系是（）A．b＞d＞c＞a B．a＞b＞c＞d C．c＞a＞b＞d D．a＞c＞b＞d4．（5.00分）已知偶函数f（x）在区间[0，+∞）单调递增，则满足f（2x﹣1）＜f（）的x取值范围是（）A．（，）B．[，）C．（，）D．[，）5．（5.00分）已知log a＜1，则a的取值范围是（）A．B．（）C．（D．6．（5.00分）已知实数a，b满足等式（）a=（）b，下列五个关系式：①0＜b＜a；②a＜b＜0；③0＜a＜b；④b＜a＜0；⑤a=b，其中不可能成立的关系式有（）A．1个 B．2个 C．3个 D．4个7．（5.00分）已知f（）=，则f（x）的解析式为（）A．f（x）=B．f（x）=﹣C．f（x）=D．f（x）=﹣8．（5.00分）设f（x）=，则f（5）的值是（）A．24 B．21 C．18 D．169．（5.00分）已知函数，若a，b，c互不相等，且f（a）=f（b）=f（c），则abc的取值范围是（）A．（1，10）B．（5，6） C．（10，12）D．（20，24）10．（5.00分）已知f（x）=lgx+1（1≤x≤100），则g（x）=f2（x）+f（x2）的值域为（）A．[﹣2，7]B．[2，7]C．[﹣2，14]D．[2，14]11．（5.00分）已知2a=3b=k（k≠1），且2a+b=ab，则实数k的值为（）A．6 B．9 C．12 D．1812．（5.00分）设f（x）是[0，1]上的不减函数，即对于0≤x1≤x2≤1有f（x1）≤f（x2），且满足（1）f（0）=0；（2）f（）=f（x）；（3）f（1﹣x）=1﹣f（x），则f（）=（）A．B．C． D．二、填空题：本大题共4个小题，每小题5分，共20分13．（5.00分）函数y=log0.5（x2+ax+1）的值域是R，则a的取值范围是．14．（5.00分）若函数f（x）=（）|1﹣x|+m有零点，则m的取值范围是．15．（5.00分）若y=log a（ax+3）（a＞0且a≠1）在区间（﹣1，+∞）上是增函数，则a的取值范围是．16．（5.00分）设函数f（x），x、y∈N*满足：①∀a，b∈N*，a≠b有af（a）+bf（b）＞af（b）+bf（a）；②∀n∈N*，有f（f（n））=3n，则f（1）+f（6）+f（28）=．三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤17．（10.00分）求值（1）0.25﹣[﹣2x（）0]2×[（﹣2）3]+10（2﹣）﹣1﹣（2）2log 32﹣log3+log38﹣5．18．（10.00分）已知集合A={x|x2﹣2x﹣8=0}，B={x|x2+ax+a2﹣12=0}，且有A∪B=A，求实数a的取值集．19．（12.00分）已知函数f（x）=kx（k≠0），且满足f（x+1）•f（x）=x2+x，（I）求函数f（x）的解析式；（II）若函数f（x）为R上的增函数，h（x）=（f（x）≠1），问是否存在实数m使得h（x）的定义域和值域都为[m，m+1]？若存在，求出m的值，若不存在，请说明理由．20．（12.00分）已知函数f（x）的定义域是（0，+∞），且满足f（xy）=f（x）+f（y），当x＞1时，有f（x）＞0．（1）求f（1），判定并证明f（x）的单调性；（2）若f（2）=1，解不等式f（﹣x）+f（3﹣x）≥﹣2．21．（12.00分）已知函数f（x）=log4（4x+1）+kx（k∈R）是偶函数．（1）求实数k的值；（2）设g（x）=log4（a•2x+a），若f（x）=g（x）有且只有一个实数解，求实数a的取值范围．22．（14.00分）设函数f k（x）=x k+bx+c（k∈N*，b，c∈R），g（x）=log a x（a＞0，a≠1）．（1）若b+c=1，且f k（1）=g（），求a的值；（2）若k=2，记函数f k（x）在[﹣1，1]上的最大值为M，最小值为m，求M﹣m≤4时的b的取值范围；（3）判断是否存在大于1的实数a，使得对任意x1∈[a，2a]，都有x2∈[a，a2]满足等式：g（x1）+g（x2）=p，且满足该等式的常数p的取值唯一？若存在，求出所有符合条件的a的值；若不存在，请说明理由．2016-2017学年四川省成都外国语学校高一（上）期中数学试卷参考答案与试题解析一、选择题：本大题共12小题，每小题5分共60分，在每小题所给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，并将正确选项的序号填涂在答题卷．1．（5.00分）设全集U={1，2，3，4，5，6，7}，集合M={1，2，3，5}，N={2，4，5}，则Venn图中阴影部分表示的集合是（）A．{1，3}B．{4}C．{3，5}D．{5}【解答】解：由Venn图中阴影部分可知对应集合为N∩（∁U M），∵全集U={1，2，3，4，5，6，7}，集合M={1，2，3，5}，N={2，4，5}，∴∁U M={4，6，7}，N∩（∁U M）={4}．故选：B．2．（5.00分）设α∈{﹣3，﹣2，﹣1，﹣，，1，2，3}，则使y=xα为奇函数且在（0，+∞）上单调递减的α值的个数为（）A．1 B．2 C．3 D．4【解答】解：只有当α=﹣3，﹣1时，满足幂函数y=x a为奇函数且在（0，+∞）上单调递减．故选：B．3．（5.00分）设a=，b=，c=，d=log2则a，b，c，d的大小关系是（）A．b＞d＞c＞a B．a＞b＞c＞d C．c＞a＞b＞d D．a＞c＞b＞d【解答】解：∵a=＞c=＞10＜b=＜c=＜1，d=log2＜0．∴a＞c＞b＞d．故选：D．4．（5.00分）已知偶函数f（x）在区间[0，+∞）单调递增，则满足f（2x﹣1）＜f（）的x取值范围是（）A．（，）B．[，）C．（，）D．[，）【解答】解：∵f（x）是偶函数，∴f（x）=f（|x|），∴不等式等价为f（|2x﹣1|），∵f（x）在区间[0，+∞）单调递增，∴，解得．故选：A．5．（5.00分）已知log a＜1，则a的取值范围是（）A．B．（）C．（D．【解答】解：∵∴①当a＞1时，a＞∴a＞1②当0＜a＜1时，a＜∴0＜a＜综上：a的取值范围是；故选：A．6．（5.00分）已知实数a，b满足等式（）a=（）b，下列五个关系式：①0＜b＜a；②a＜b＜0；③0＜a＜b；④b＜a＜0；⑤a=b，其中不可能成立的关系式有（）A．1个 B．2个 C．3个 D．4个【解答】解：画出函数y=与y=的图象，当x＜0时，y=的图象在y=的图象下方，当x＞0时，y=的图象在y=的图象上方，当a＜0，b＜0时，则a＜b＜0，当a=b=0时，成立，当a＞0，b＞0时，则a＞b＞0，故选：B．7．（5.00分）已知f（）=，则f（x）的解析式为（）A．f（x）=B．f（x）=﹣C．f（x）=D．f（x）=﹣【解答】解：令=t，得x=，∴f（t）==，∴f（x）=．故选：C．8．（5.00分）设f（x）=，则f（5）的值是（）A．24 B．21 C．18 D．16【解答】解：f（x）=，f（5）=f（f（10））=f（f（f（（15）））=f（f（18））=f（21）=21+3=24．故选：A．9．（5.00分）已知函数，若a，b，c互不相等，且f（a）=f（b）=f（c），则abc的取值范围是（）A．（1，10）B．（5，6） C．（10，12）D．（20，24）【解答】解：作出函数f（x）的图象如图，不妨设a＜b＜c，则ab=1，则abc=c∈（10，12）．故选：C．10．（5.00分）已知f（x）=lgx+1（1≤x≤100），则g（x）=f2（x）+f（x2）的值域为（）A．[﹣2，7]B．[2，7]C．[﹣2，14]D．[2，14]【解答】解：由题意得，，解得1≤x≤10，∵f（x）=lgx+1（1≤x≤100），∴g（x）=f2（x）+f（x2）=（lgx+1）2+1+2lgx=（lgx）2+4lgx+2，1≤x≤10设t=lgx，则0≤t≤1，所以h（t）=t2+4t+2，0≤t≤1∵h（t）在[0，1]为增函数，且h（0）=2，h（1）=7∴h（t）=t2+4t+2（0≤t≤1）值域为[2，7]，即g（x）=f2（x）+f（x2）的值域为[2，7]，故选：B．11．（5.00分）已知2a=3b=k（k≠1），且2a+b=ab，则实数k的值为（）A．6 B．9 C．12 D．18【解答】解：∵2a=3b=k（k≠1），∴a=log2k，b=log3k，∴，，∵2a+b=ab，∴=log k9+log k2=log k18=1，∴k=18．故选：D．12．（5.00分）设f（x）是[0，1]上的不减函数，即对于0≤x1≤x2≤1有f（x1）≤f（x2），且满足（1）f（0）=0；（2）f（）=f（x）；（3）f（1﹣x）=1﹣f（x），则f（）=（）A．B．C． D．【解答】解：∵（1）f（0）=0；（2）f（）=f（x）；（3）f（1﹣x）=1﹣f（x），∴f（1）=1﹣f（0）=1，f（）=f（1）=，f（1﹣）=1﹣f（）．即f（）=1﹣=，f（）=f（）=×=，f（）=f（）=×=f（）=f（）=×=，f（）=f（）=×=，f（）=f（）=×=，f（）=f（）=×=，f（）=f（）=×=，f（）=f（）=×=，f（）=f（）=×=，f（）=f（）=×=，f（）=f（）=×=，f（）=f（）=×=，∵对于0≤x1≤x2≤1有f（x1）≤f（x2），∴当≤x≤时，f（x）=，∵∈[，]时，∴f（）=，故选：C．二、填空题：本大题共4个小题，每小题5分，共20分13．（5.00分）函数y=log0.5（x2+ax+1）的值域是R，则a的取值范围是（﹣∞，﹣2]∪[2，+∞）．【解答】解：根据题意，函数y=x2+ax+1的值域包含（0，+∞）；∴△=a2﹣4≥0；∴a≥2，或a≤﹣2；∴a的取值范围是（﹣∞，﹣2]∪[2，+∞）．故答案为：（﹣∞，﹣2]∪[2，+∞）．14．（5.00分）若函数f（x）=（）|1﹣x|+m有零点，则m的取值范围是﹣1≤m＜0．【解答】解：设y=（）|1﹣x|=（）t，∵|1﹣x|=t≥0，∴0＜（）|1﹣x|≤1，∴函数f（x）=（）|1﹣x|+m有零点，m的取值范围是﹣1≤m＜0．故答案为：﹣1≤m＜0．15．（5.00分）若y=log a（ax+3）（a＞0且a≠1）在区间（﹣1，+∞）上是增函数，则a的取值范围是（1，3] ．【解答】解：∵y=log a（ax+3）（a＞0且a≠1）在区间（﹣1，+∞）上是增函数，∴，解得1＜a≤3．故a的取值范围是（1，3]．故答案为（1，3]．16．（5.00分）设函数f（x），x、y∈N*满足：①∀a，b∈N*，a≠b有af（a）+bf（b）＞af（b）+bf（a）；②∀n∈N*，有f（f（n））=3n，则f（1）+f（6）+f（28）=66．【解答】解：由①知，对任意a，b∈N*，a≠b有af（a）+bf（b）＞af（b）+bf （a）；不妨设a＜b，则有（a﹣b）（f（a）﹣f（b））＞0，由于a﹣b＜0，从而f（a）＜f（b），所以函数f（x）为N*上的单调增函数．∵②∀n∈N*，有f（f（n））=3n，∴令f（1）=a，则a≥1，显然a≠1，否则f（f（1））=f（1）=1，与f（f（1））=3矛盾．从而a＞1，而由f（f（1））=3，即得f（a）=3．又由①知f（a）＞f（1）=a，即a＜3．于是得1＜a＜3，又a∈N*，从而a=2，即f（1）=2．进而由f（a）=3知，f（2）=3．于是f（3）=f（f（2））=3×2=6，则f（6）=f（f（3））=3×3=9，f（9）=f（f（6））=3×6=18，f（18）=f（f（9））=3×9=27，f（27）=f（f（18））=3×18=54，f（54）=f（f（27））=3×27=81，由于54﹣27=81﹣54=27，而且由①知，函数f（x）为单调增函数，因此f（28）=54+1=55．从而f（1）+f（6）+f（28）=2+9+55=66．故答案为：66三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤17．（10.00分）求值（1）0.25﹣[﹣2x（）0]2×[（﹣2）3]+10（2﹣）﹣1﹣（2）2log32﹣log3+log38﹣5．【解答】解：（1）原式=﹣=2+8+20=30．（2）原式=﹣32=2﹣9=﹣7．18．（10.00分）已知集合A={x|x2﹣2x﹣8=0}，B={x|x2+ax+a2﹣12=0}，且有A∪B=A，求实数a的取值集．【解答】解：集合A={x|x2﹣2x﹣8=0}={﹣2，4}，B={x|x2+ax+a2﹣12=0}，若A∪B=A，则B⊆A，可分为以下几种情况，（1）B=A，即方程x2+ax+a2﹣12=0的解为x=﹣2或x=4，解得a=﹣2；（2）B={﹣2}，即方程x2+ax+a2﹣12=0的解为x=﹣2，（﹣2）2﹣2a+a2﹣12=0，解得：a=﹣2（舍）或a=4；（3）B={4}，即方程x2+ax+a2﹣12=0的解为x=4，a2+4a+4=0，解得a=﹣2，此时B={﹣2，4}≠{4}，故需舍弃；（4）B为空集，即方程x2+ax+a2﹣12=0无解，a2﹣4（a2﹣12）＜0，解得a＞4或a＜﹣4．综上可知，若B∪A=A，a=﹣2或a≥4，或a＜﹣4．19．（12.00分）已知函数f（x）=kx（k≠0），且满足f（x+1）•f（x）=x2+x，（I）求函数f（x）的解析式；（II）若函数f（x）为R上的增函数，h（x）=（f（x）≠1），问是否存在实数m使得h（x）的定义域和值域都为[m，m+1]？若存在，求出m的值，若不存在，请说明理由．【解答】解：（I）f（x+1）•f（x）=k（x+1）•kx=k2（x2+x）所以（k2﹣1）（x2+x）=0对一切x恒成立，k2﹣1=0，得k=±1；故f（x）=±x；…6分（II）因f（x）为R上的增函数，所以f（x）=x，则而h（x）在（﹣∞，1）和（1，﹣∞）上是减函数，于是h（x）在[m，m+1]上单调递减，…8分则解得m=﹣1或m=2．…12分．20．（12.00分）已知函数f（x）的定义域是（0，+∞），且满足f（xy）=f（x）+f（y），当x＞1时，有f（x）＞0．（1）求f（1），判定并证明f（x）的单调性；（2）若f（2）=1，解不等式f（﹣x）+f（3﹣x）≥﹣2．【解答】解：（1）令x=y=1，则f（1）=f（1）+f（1），解得f（1）=0．f（x）在（0，+∞）上的是增函数，设x1，x2∈（0，+∞），且x1＞x2，则＞1，∴f（）＞0，∴f（x1）﹣f（x2）=f（x2•）﹣f（x2）=f（）＞0，即f（x1）＞f（x2），∴f（x）在（0，+∞）上的是增函数．（2）∵f（2）=1，∴f（﹣x）+f（3﹣x）≥﹣2，可化为f（﹣x）+f（3﹣x）≥﹣2f（2）．∴f（﹣x）+f（2）+f（3﹣x）+f（2）≥0，∴f（﹣2x）+f（6﹣2x）≥f（1），∴f[﹣2x（6﹣2x）]≥f（1），∴，∴x≤．∴不等式的解集为{x|x≤}．21．（12.00分）已知函数f（x）=log4（4x+1）+kx（k∈R）是偶函数．（1）求实数k的值；（2）设g（x）=log4（a•2x+a），若f（x）=g（x）有且只有一个实数解，求实数a的取值范围．【解答】解：（1）由函数f（x）是偶函数可知：f（x）=f（﹣x），∴，化简得，即x=﹣2kx对一切x∈R恒成立，∴．（2）由题意可得，函数f（x）与g（x）的图象有且只有一个公共点，即方程有且只有一个实根，化简得：方程有且只有一个实根，且a•2x+a＞0成立，则a＞0．令t=2x＞0，则（a﹣1）t2+at﹣1=0有且只有一个正根，设g（t）=（a﹣1）t2+at﹣1，注意到g（0）=﹣1＜0，所以①当a=1时，有t=1，合题意；②当0＜a＜1时，g（t）图象开口向下，且g（0）=﹣1＜0，则需满足，此时有；（舍去）．③当a＞1时，又g（0）=﹣1，方程恒有一个正根与一个负根．综上可知，a的取值范围是{}∪[1，+∞）．22．（14.00分）设函数f k（x）=x k+bx+c（k∈N*，b，c∈R），g（x）=log a x（a＞0，a≠1）．（1）若b+c=1，且f k（1）=g（），求a的值；（2）若k=2，记函数f k（x）在[﹣1，1]上的最大值为M，最小值为m，求M﹣m≤4时的b的取值范围；（3）判断是否存在大于1的实数a，使得对任意x1∈[a，2a]，都有x2∈[a，a2]满足等式：g（x1）+g（x2）=p，且满足该等式的常数p的取值唯一？若存在，求出所有符合条件的a的值；若不存在，请说明理由．【解答】解：（1）∵b+c=1，且f（1）=g（），∴1+b+c=，∴a=；（2）k=2时，f（x）=x2+bx+c，所以当对称轴x=﹣≤﹣1，即b≥2时，M=f（1）=1+b+c，m=f（﹣1）=1﹣b+c，M﹣m=2b≤4，解得b≤2，∴b=2．当对称轴﹣1＜﹣≤0，即0≤b＜2时，M=f（1）=1+b+c，m=f（﹣）=c﹣，M﹣m=b+1+≤4，解得﹣6≤b≤2，∴0≤b＜2．当对称轴0＜﹣＜1，即﹣2≤b＜0时，M=f（﹣1）=1﹣b+c，m=f（﹣）=c﹣，M﹣m=1﹣b+≤4，解得﹣2≤b≤6，∴﹣2＜b＜0．当对称轴﹣≥1，即b≤﹣2时，M=f（﹣1）=1﹣b+c，m=f（1）=1+b+c，M﹣m=﹣2b≤4，解得b≥﹣2，∴b=﹣2．综上所述：b的取值范围是﹣2≤b≤2．（3）将等式g（x1）+g（x2）=p变形得g（x1）=p﹣g（x2），由任意实数x1∈[a，2a]，都有x2∈[a，a2]得到[log a a，log a（2a）]⊆[p﹣，p﹣log a a]，即[1，1+log a2]⊆[p﹣2，p﹣1]，∴，解得2+log a2=3，∴a=2．赠送初中数学几何模型【模型五】垂直弦模型：图形特征：运用举例：1.已知A、B、C、D是⊙O上的四个点.(1)如图1，若∠ADC＝∠BCD＝90°，AD＝CD，求证AC⊥BD；(2)如图2，若AC⊥BD，垂足为E，AB＝2，DC＝4，求⊙O的半径.2.如图，已知四边形ABCD内接于⊙O，对角线AC⊥BD于P，设⊙O的半径是2。