概率论公式汇总
概率论重点公式
①P(A ∪B)=P(A)+P(B)-P(A ∩B) ②P(A ∩B)=P(B)-P(A ∩B)
③P(A ⅠB)=P(A ∩B)÷P(B) 连续型随机变量的分布 X~N(μ,σ2），则当a ≠0时，有Y=aX+b~N （a μ+b ，a 2σ2）。
{}{}⎪⎭
⎫
⎝⎛-=⎭⎬⎫⎩⎨⎧-≤=≤+=≤=a b y Fx b y X P y b aX P y Y P y F Y a )(, ()()()2
2
2
2
2221121
1
f a a b y a b y e
a a
e a
a b y fx a b y Fx dy d y y σμσμσ
πσ
π---
⎪⎭⎫
⎝⎛---
=∙
=∙⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎪⎭⎫ ⎝⎛-=
,
故 ()()()2
22a 21
1y σμσ
πa a b y e a a b y fx fY ---
-=∙⎪⎭⎫ ⎝⎛--=,
⑤ Ec=C,Dc=0,E(kx)=kEx,D(kx)=k 2DX,E(x+y)=Ex+Ey
COV(x,y)=E(xy)-ExEy COSV(x,x)=D （x ） D(x+y)=DX+DY+2Pxy DY DX
常见随机变量的方差
二项分布 r.v.x~B(n,p), Ex=np,Dx=np(1-p) 泊松分布 r.v.x~p(λ), Ex= λ, Dx=λ 均匀分布 r.v.x~v(a,b), ()12
x ,22
a b D b a Ex -=+=
指数分布 r.v.x~E(λ),
2
1
,1
λ
λ
=
=
Dx Ex
正态分布 r.v.x~),(2
σμN , Ex=μ,Px=2
σ 切比雪夫不等式
概率论的公式大全
概率论的公式大全
概率论是数学中研究随机事件的理论，它用于描述事件发生的可能性，并通过概率的计算和分析来预测、评估和决策。下面给出一些概率论中常
用的公式，帮助你更好地理解和运用概率论。
1.概率定义公式：
P(A)=N(A)/N，表示事件A发生的概率，N(A)代表事件A发生的次数，N代表试验的总次数。
2.互补事件公式：
P(A')=1-P(A)，表示事件A的补事件发生的概率。
3.加法公式：
P(A∪B)=P(A)+P(B)-P(A∩B)，表示事件A或B发生的概率。
4.独立事件公式：
P(A∩B)=P(A)*P(B)，表示事件A和事件B同时发生的概率，当事件
A和事件B相互独立时成立。
5.条件概率公式：
P(A，B)=P(A∩B)/P(B)，表示事件B已经发生时事件A发生的概率。6.乘法公式：
P(A∩B)=P(A，B)*P(B)，也可以写作P(A∩B)=P(B，A)*P(A)，表示
事件A和事件B同时发生的概率。
7.全概率公式：
P(A)=ΣP(A，Bᵢ)*P(Bᵢ)，表示事件A发生的概率，Bᵢ代表一组互不相
容且构成样本空间的事件。
8.贝叶斯公式：
P(B，A)=P(A，B)*P(B)/P(A)，表示在事件A发生的条件下，事件B
发生的概率。
9.随机变量的概率公式：
P(X=x)≥0，表示随机变量X取值为x的概率非负。
10.随机变量期望公式：
E(X)=ΣxP(X=x)*x，表示随机变量X的期望或均值。
11.随机变量方差公式：
Var(X) = E[(X - µ)²]，表示随机变量X的方差，其中µ为X的期望。
12.二项分布公式：
概率公式算法
概率公式算法
概率公式是用来计算概率的数学公式。常用的概率公式有：
贝叶斯公式：P(A|B) = P(B|A) * P(A) / P(B)
高斯公式：P(x|u,s) = 1 / (sqrt(2 * pi) * s) * e^(-1/2 * ((x - u) / s)^2)
条件概率公式：P(A|B) = P(A,B) / P(B)
独立性公式：P(A,B) = P(A) * P(B)
这些公式可以用来计算不同情况下的概率，在机器学习、数据分析等领域有广泛应用。
除了上面提到的几个常用的概率公式，还有其他一些常用的概率公式，如：
概率密度函数（PDF）：用来描述连续型随机变量的概率密度。
概率质量函数（PMF）：用来描述离散型随机变量的概率密度。
狄利克雷公式：用来计算组合概率。
随机变量转移矩阵：用来描述随机变量之间的转移关系。
多项式公式：用来计算多项式的概率分布。
期望值公式：用来计算随机变量的期望值。
这些公式都有着独特的应用领域，在统计学、概率论、数学建模等领域有着重要的作用。
(完整版)概率论公式总结
(完整版)概率论公式
总结
-CAL-FENGHAI-(2020YEAR-YICAI)_JINGBIAN
第一章
P(A+B)=P(A)+P(B)- P(AB)
特别地，当A 、B 互斥时， P(A+B)=P(A)+P(B) 条件概率公式
概率的乘法公式
全概率公式：从原因计算结果
Bayes 公式：从结果找原因
第二章
二项分布（Bernoulli 分布）——X~B(n,p)
泊松分布——X~P(λ)
)()
()|(B P AB P B A P =)|()()(B A P B P AB P =)|()(A B P A P =∑==n k k k B A P B P A P 1)
|()()(∑==n
k k k i i k B A P B P B A P B P A B P 1)|()()|()()|(),...,1,0()1()(n k p p C k X P k n k k n =-==-，,...)1,0(!)(===-k e k k X P k
，λλ∑≤==≤=x
k k X P x X P x F )()()(
概率密度函数
怎样计算概率
均匀分布X~U(a,b)
指数分布X~Exp ()
对连续型随机变量
分布函数与密度函数的重要关系：
二元随机变量及其边缘分布
分布规律的描述方法
联合密度函数
联合分布函数
1)(=⎰+∞
∞-dx x f )(b X a P ≤≤⎰=≤≤b
a dx x f
b X a P )()(⎰∞-=≤=x
dt
t f x X P x F )()()(⎰∞-=≤=x dt
t f x X P x F )()()(),(y x f ),(y x F 0
概率论基本公式
概率论与数理统计基本公式
第一部分概率论基本公式
1、A -B =AB 二A -AB; A B = A 一(B -A)
2、对偶率：A 一 B =
B ；A ' B = A 一 B.
P(A - B) = P(A) - P(AB),特别，B A 时有:
P(A _ B)二 P(A) _ P(B); P(A) _ P(B)
对任意两个事件有：
P(A B) = P(A) - P(B) - P(AB)
4、古典概型
例：n 双鞋总共2n 只，分为n 堆，每堆为2只，事件A 每堆自成一双鞋的概率
5、条件概率
P(B | A) =P(AB ),称为在事件A 条件下，事件B 的条件概率，P(B)称为无条件概率。
P(A) 乘法公式：P(AB) = P(A)P(B |A) P(AB) = P(B)P(A | B)
全概率公式：P(B)=5： P(A)P(B|A i )
i
贝叶斯公式：P(A|B)=P^= P(A i )P(B|A) P(B) Z P(A j )P(B|A j )
j
例：有三个罐子，1号装有2红1黑共3个球，2号装有3红1黑4个球，3号装有2红2 黑4个球，某人随机从其中一罐
，再从该罐中任取一个球
，(1)求取得红球的概率 (2)如果取得是红球，那么是从第一个罐中取出的概率为多少
？
解：分堆法：C ；n
島！，自成一双为:
n ！，则 P(A) = n*.
C
2n
3、概率性率
解：1)设B i=｛球取自i号罐｝, i =1,2,3。A =｛取得是红球｝，由题知B1> B2、B3是一个完备事件
2 3 1 由全概率公式P(B)=v P(A)P(B|A) 依题意，有：P(A|B i) ;P(A|B2); P(A| B3) .
概率论公式大全
第一章随机事件和概率
（1）排列组合公式
从m个人中挑出n个人进行排列的可能数。从m个人中挑出n个人进行组合的可能数。
（2）加法和乘法原理加法原理（两种方法均能完成此事）：m+n
某件事由两种方法来完成，第一种方法可由m种方法完成，第二种方法可由n 种方法来完成，则这件事可由m+n 种方法来完成。
乘法原理（两个步骤分别不能完成这件事）：m×n
某件事由两个步骤来完成，第一个步骤可由m种方法完成，第二个步骤可由n 种方法来完成，则这件事可由m×n 种方法来完成。
（3）一些常见排列重复排列和非重复排列（有序）对立事件（至少有一个）
顺序问题
（4）随机试验和随机事件如果一个试验在相同条件下可以重复进行，而每次试验的可能结果不止一个，但在进行一次试验之前却不能断言它出现哪个结果，则称这种试验为随机试验。试验的可能结果称为随机事件。
（5）基本事件、样本空间和事件在一个试验下，不管事件有多少个，总可以从其中找出这样一组事件，它具有如下性质：
①每进行一次试验，必须发生且只能发生这一组中的一个事件；
②任何事件，都是由这一组中的部分事件组成的。
这样一组事件中的每一个事件称为基本事件，用来表示。
基本事件的全体，称为试验的样本空间，用表示。
一个事件就是由中的部分点（基本事件）组成的集合。通常用大写字母A，B，C，…表示事件，它们是的子集。
为必然事件，Ø为不可能事件。
不可能事件（Ø）的概率为零，而概率为零的事件不一定是不可能事件；同理，必然事件（Ω）的概率为1，而概率为1的事件也不一定是必然事件。
（6）事件的关系与运算①关系：
概率论公式
概率论公式
1．随机事件及其概率
吸收律：A AB A A A A =⋃=∅⋃Ω=Ω⋃)( A
B A A A A
A =⋃⋂∅=∅⋂=Ω⋂)(
)(AB A B A B A -==-
反演律：B A B A =⋃ B A AB ⋃=
n i i n i i A A 11=== n
i i n i i A A 1
1===
2．概率的定义及其计算
)(1)(A P A P -=
若B A ⊂ )()()(A P B P A B P -=-⇒
对任意两个事件A , B , 有 )()()(AB P B P A B P -=-
加法公式：对任意两个事件A , B , 有
)()()()(AB P B P A P B A P -+=⋃
)()()(B P A P B A P +≤⋃
)
()1()()()()(211
1111n n n
n
k j i k j i n j i j i n i i n i i A A A P A A A P A A P A P A P -≤<<≤≤<≤==-+++-=∑∑∑
3．条件概率
()=A B P )()
(A P AB P
乘法公式
())0)(()()(>=A P A B P A P AB P
()()
)
0)(()()(12112112121>=--n n n n A A A P A A A A P A A P A P A A A P
全概率公式
∑==n i i AB P A P 1)()( )()(1
i n
i i B A P B P ⋅=∑=
Bayes 公式
)(A B P k )()
概率论基本公式
概率论与数理统计基本公式
第一部分 概率论基本公式
1、A B
A B A
AB; A B
A
(B A) 2、对偶率： A
B A B ；A
B
A B .
3、概率性率：
P ( A B ) P( A) P(AB ), 特别， B
A 时有：
P( A B) P( A) P(B); P(A) P(B)
有限可加： A 1、 A 2 为不相容事件，则 P( A 1
A 2 ) P( A 1)
P(A 2 )
对任意两个事件有：
P( A
B)
P( A) P( B)
P( AB)
4、古典概型
例： n 双鞋总共 2n 只，分为 n 堆，每堆为 2只，事件 A 每堆自成一双鞋的概
率 解：分堆法： C 22 n
（ (2n)!
,自成一双为： n ！，则 P( A)
n!
！！
2
2n - 2) 2
C
2n
5、条件概率
P(B | A)
P( AB)
, 称为在事件 A 条件下，事件 B 的条件概率， P( B)称为无条件概率。
P( A)
乘法公式： P(AB)
P(A)P(B | A) P(AB)
P(B)P(A | B)
全概率公式： P(B)
P(A i )P(B | A i )
i
贝叶斯公式： P(A i | B)
P( A i B)
P( A i )P(B | A i )
P( B) P( A j )P( B | A j )
j
例：有三个罐子， 1 号装有 2 红1黑共 3个球，2号装有 3红1黑 4个球，3 号装有 2 红 2
黑 4 个球，某人随机从其中一罐，再从该罐中任取一个球， （ 1）求取得红球的概率； （ 2）如
果取得是红球，那么是从第一个罐中取出的概率为多少？
(完整版)概率论公式总结
第一章
P(A+B)=P(A)+P(B)- P(AB)
特别地，当A 、B 互斥时， P(A+B)=P(A)+P(B) 条件概率公式
概率的乘法公式
全概率公式：从原因计算结果
Bayes 公式：从结果找原因
第二章
二项分布（Bernoulli 分布）——X~B(n,p)
泊松分布——X~P(λ)
)
()()|(B P AB P B A P =
)|()()(B A P B P AB P =)|()(A B P A P =∑==n
k k k B A P B P A P 1)
|()()(∑==
n
k k
k
i i k B A P B P B A P B P A B P 1
)
|()()
|()()|(),...,1,0()1()(n k p p C k X P k n k k n =-==-，,...)
1,0(!
)(==
=-k e k k X P k
，λλ∑≤==≤=x
k k X P x X P x F )
()()(
概率密度函数
怎样计算概
率
均匀分布X~U(a,b)
指数分布X~Exp ()
对连续型随机变量 分布函数与密度函数的重要关系：
二元随机变量及其边缘分布 分布规律的描述方法
联合密度函数 联合分布函数
1)(=⎰
+∞
∞
-dx x f )
(b X a P ≤≤⎰=≤≤b
a
dx x f b X a P )()(⎰∞-=≤=x
dt t f x X P x F )()()(⎰
∞
-=≤=x
dt t f x X P x F )()()()
,(y x f )
,(y x F 0
),(≥y x f 1
),(=⎰⎰
+∞∞-+∞
∞
概率论与数理统计完整公式
概率论与数理统计完整公式
概率论与数理统计是数学的一个分支，研究随机现象和随机变量之间
的关系、随机变量的分布规律、经验规律及参数估计等内容。在概率论与
数理统计的学习中，有许多重要的公式需要掌握。以下是概率论与数理统
计的完整公式。
一、概率论公式：
1.全概率公式：
设A1，A2，…，An为样本空间S的一个划分，则对任意事件B，有：P(B)=P(B│A1)·P(A1)+P(B│A2)·P(A2)+…+P(B│An)·P(An)
2.贝叶斯公式：
对于样本空间S的一划分A1，A2，…，An，其中P(Ai)>0，
i=1,2，…，n，并且B是S的任一事件，有：
P(Ai│B)=[P(B│Ai)·P(Ai)]/[P(B│A1)·P(A1)+P(B│A2)·P(A2)+…+P (B│An)·P(An)]
3.事件的独立性：
若对事件A，B有P(AB)=P(A)·P(B)，则称事件A，B相互独立。
4.概率的乘法公式：
对于独立事件A1，A2，…，An，有：
P(A1A2…An)=P(A1)·P(A2)·…·P(An)
5.概率的加法公式：
对事件A，B有：P(A∪B)=P(A)+P(B)-P(AB)
6.条件概率的计算：
对事件A，B有：P(A，B)=P(AB)/P(B)
7.古典概型的概率计算：
设事件A在n次试验中发生k次的次数服从二项分布B(n,p)，则其概率可表示为：P(X=k)=C(n,k)·p^k·(1-p)^(n-k)，其中
C(n,k)=n!/[k!(n-k)!]
二、数理统计公式：
1.样本均值的期望和方差：
样本的均值X̄的期望和方差分别为： E(X̄) = μ，Var(X̄) = σ^2 / n，其中μ 为总体的均值，σ^2 为总体方差，n 为样本容量。
概率论公式
F
(x)
0, 1,
x x
c c
E(X ) c
Var( X ) 0
9. 二项分布
X ~ b(n, p)
P( X k) Cnk pk (1 p)nk E(X ) np
Var( X ) np(1 p)
10. 二点分布（0-1 分布）
X ~ b(1, p)
P( X x) px (1 p)1x , x 0,1
pY ( y) px[h(x)] | h '(x) |
21. K 阶原点矩和中心矩
k E(X k ) k E( X E( X ))k
中心矩和原点矩关系：
k
k Cik i (i )ki i0
22. 变异系数
Cv
(
X
)
( E(
X X
) )
23. （下侧）p 分位数 xp 与中位数 x0.5
特例：二维正态分布中不相关与独立是等价条件 运算性质 2：任意变量方差和
Var(X Y) Var(X ) Var(Y) 2Cov(X ,Y)
运算性质 3：
Cov(X ,Y ) Cov(Y, X )
Cov(X , a) 0
Cov(aX ,bY) abCov(X ,Y )
百度文库
Cov(X Y, Z) Cov(X , Z) Cov(Y, Z)
大学概率论必背公式
旦 A 发生就立即停止试验。 以 X 表示 A 首次发生所需的试验次数，则其分布率为：
称 X 服从参数为 p 的几何分布。 （3）二项分布 ( B(n, p) ) 以 X 记 n 重贝努里试验中 A 发生的次数，则其分布率为：
P( X k) C k p k (1 p)nk , (k 0,1, , n) n 称 X 服从参数为(n，p)的二项分布，记为 X~B(n，p)
一、概率
2. 设 A、B 是中的两个事件，且 P(B)> 0，称
P(A | B )
P(AB ) P(B )
为事件 B 发生的条件下事件 A 发生的条件概率。 事件 A、B 的概率乘法公式：
P(AB ) P(A | B )P(B )
P(ABC)＝ P(C|AB)P(B|A)P(A)
3. 全概率公式： 设 B1，…, Bn 是 的一个划分，且 P(Bi )>0，
(i＝1，…，n)，则对任何事件 A，有
n
n
P(A)＝ P(ABi ) P(Bi )P(A | Bi )
i 1
i 1
注：全概率公式应用范围
随机试验可以看成分两阶段进行，且第一个阶段的试验结果是不确定的，我们需要求的是第
二阶段的结果发生的概率，这时候用全概率公式。
4. 贝叶斯公式： 设 B1，…, Bn 是 的一个划分，且 P(Bi ) > 0，(i＝1，…，n)，则对任何事件 A，有
概率论必背公式
公式：
第1章随机事件及其概率
（1）排列组合公式
从m个人中挑出n个人进行排列的可能数。
)!
(
!
n
m
m
P n
m-
=
从m个人中挑出n个人进行组合的可能数。
)!
(!
!
n
m
n
m
C n
m-
=
（2）加法和乘法原理加法原理（两种方法均能完成此事）：m+n
某件事由两种方法来完成，第一种方法可由m种方法完成，第二种方法可由n种方法来完成，则这件事可由m+n 种方法来完成。
乘法原理（两个步骤分别不能完成这件事）：m×n
某件事由两个步骤来完成，第一个步骤可由m种方法完成，第二个步骤可由n 种方法来完成，则这件事可由m×n 种方法来完成。
（3）一些常见排列重复排列和非重复排列（有序）对立事件（至少有一个）
顺序问题
（4）随机试验和随机事件如果一个试验在相同条件下可以重复进行，而每次试验的可能结果不止一个，但在进行一次试验之前却不能断言它出现哪个结果，则称这种试验为随机试验。
试验的可能结果称为随机事件。
（5）基本事件、样本空间和事件在一个试验下，不管事件有多少个，总可以从其中找出这样一组事件，它具
有如下性质：
①每进行一次试验，必须发生且只能发生这一组中的一个事件；
②任何事件，都是由这一组中的部分事件组成的。
这样一组事件中的每一个事件称为基本事件，用来表示。
ω
基本事件的全体，称为试验的样本空间，用表示。
Ω
一个事件就是由中的部分点（基本事件）组成的集合。通常用大写字母Ωω
A，B，C，…表示事件，它们是的子集。
Ω
为必然事件，Ø为不可能事件。
Ω
不可能事件（Ø）的概率为零，而概率为零的事件不一定是不可能事件；同理，必然事件（Ω）的概率为1，而概率为1的事件也不一定是必然事件。
概率论公式
fY X ( y x) f X ( x) fY ( y)
f X Y ( x y) f Y ( y) f X ( x)
E(X )
xk pk
k1
E( X ) xf (x)dx
随机变量函数的数学期望 X 的 k 阶原点矩
E( X k )
X 的 k 阶绝对原点矩
E(| X |k )
X 的 k 阶中心矩
E(( X E( X )) k )
P( AB) P( A) P B A ( P( A) 0)
P( A1A2 An ) P( A1 )P A2 A1 P An A1 A2 An 1 ( P( A1 A2 An 1) 0)
全概率公式
P( A)
n
P ( ABi )
i1
n
P( Bi ) P( A Bi )
i1
( 1) n 1 P( A1 A2 An )
加法公式：对任意两个事件 A, B, 有
P( A B) P( A) P( B) P( AB )
P( A B) P( A) P( B)
n
P( Ai )
i1
n
P( Ai )
P( Ai Aj )
i1
1i j n
3．条件概率
n
P( Ai A j Ak )
1i j k n
PB A
P(AB ) P( A)
概率论常用公式
概率论常用公式
概率论是研究随机事件发生的规律性的数学学科，广泛应用于统计学、工程学、金融学等领域。在概率论的学习和应用过程中，学习常用的概率论公式是非常重要的。本文将介绍一些常见的概率论常用公式，供大家参考。
1. 基本概率公式
概率是一个介于0和1之间的数，表示某个随机事件发生的可能性。根据概率的定义，我们可以得出基本的概率公式：
P(A) = N(A) / N(S)
其中，P(A)表示事件A发生的概率，N(A)表示事件A发生的次数，N(S)表示样本空间中的总事件数。
2. 加法法则
当两个事件A和B互斥（即两个事件不同时发生）时，可以使用加法法则计算它们的概率：
P(A U B) = P(A) + P(B)
其中，P(A U B)表示事件A或事件B发生的概率。
3. 乘法法则
当两个事件A和B同时发生时，可以使用乘法法则计算它们的联合概率：
P(A ∩ B) = P(A) * P(B|A)
其中，P(A ∩ B)表示事件A和事件B同时发生的概率，P(B|A)表示在事件A发生的条件下事件B发生的概率。
4. 条件概率公式
条件概率是指在已知某个事件发生的条件下，另一个事件发生的概率。条件概率可以使用以下公式计算：
P(B|A) = P(A ∩ B) / P(A)
其中，P(B|A)表示在事件A发生的条件下事件B发生的概率，P(A ∩ B)表示事件A和事件B同时发生的概率，P(A)表示事件A发生的概率。
5. 独立性
如果两个事件A和B满足以下条件，则称它们是独立的：
P(A ∩ B) = P(A) * P(B)
概率论公式总结归纳
欢迎共阅
第一章P(A+B)=P(A)+P(B)-P(AB) 特别地，当A 、B 互斥时，P(A+B)=P(A)+P(B)
条件概率公式
概率的乘法公式
Bayes 第二章
分布函数与密度函数的重要关系：
二元随机变量及其边缘分布
分布规律的描述方法
联合密度函数
∑≤==≤=x k k X P x X P x F )
()()(),(y x f
联合分布函数
联合密度与边缘密度
离散型随机变量的独立性
连续型随机变量的独立性
第三章
● ● ● 方差
定义式
当X 、Y 方差的性质
D(a)=0，其中a 为常数
D(a+bX)=b2D(X)，其中a 、b 为常数
当X 、Y 相互独立时，D(X+Y)=D(X)+D(Y)
协方差与相关系数 ),(y x F
协方差的性质
独立与相关
独立必定不相关
相关必定不独立
不相关不一定独立
第四章 正态分
第五章
样本方差的分布：
两个正态总体的方差之比
第六章
点估计：参数的估计值为一个常数
矩估计
最大似然估计 (~N X 若~2U 若χ
似然函数 均值的区间估计——大样本结果
正态总体方差的区间估计
两个正态总体均值差的置信区间 大样本或正态小样本且方差已知
第七章
① ② ③ 第1类(第2类(● ➢ 正态总体小样本、方差已知——Z 检验
➢ 正态总体小样本、方差未知——t 检验
● 单正态总体方差的检验
➢ 正态总体、均值未知——卡方检验
单正态总体均值的显着性检验
)
;(1θi n i x f L ∏==);(1θi n i x p L ∏==()22/1222/2)1()1(,ααχχ---S n S n 卡方分布的分位点
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A、B 同时发生：A B，或者 AB。A B=Ø，则表示 A 与 B 不可能同时发生，
称事件 A 与事件 B 互不相容或者互斥。基本事件是互不相容的。
-A 称为事件 A 的逆事件，或称 A 的对立事件，记为 A 。它表示 A 不发生
的事件。互斥未必对立。 ②运算： 结合率：A(BC)=(AB)C A∪(B∪C)=(A∪B)∪C 分配率：(AB)∪C=(A∪C)∩(B∪C) (A∪B)∩C=(AC)∪(BC)
p
x
k
；
对于连续型随机变量， F ( x)
f ( x)dx
。
0-1 分布
P(X=1)=p, P(X=0)=q
在 n 重贝努里试验中，设事件 A 发生的概率为 p 。事件 A 发生 的次数是随机变量，设为 X ，则 X 可能取值为 0,1,2, , n 。
k P ( X k ) Pn(k ) C n p k q nk
P ( B | A)
P( AB) P( A) P( B ) P( B) P( A) P( A)
（14）独立 性
若事件 A 、 B 相互独立，则可得到 A 与 B 、 A 与 B 、 A 与 B 也都相互独 立。 必然事件 和不可能事件 Ø 与任何事件都相互独立。 Ø 与任何事件都互斥。 ②多个事件的独立性 设 ABC 是三个事件，如果满足两两独立的条件， P(AB)=P(A)P(B)；P(BC)=P(B)P(C)；P(CA)=P(C)P(A) 并且同时满足 P(ABC)=P(A)P(B)P(C) 那么 A、B、C 相互独立。 对于 n 个事件类似。 设事件 B1, B 2, , Bn 满足 1° B1, B 2, , Bn 两两互不相容， P ( Bi ) 0(i 1,2, , n) ，
（13）乘法 公式
P ( A1 A2 … An ) P ( A1) P ( A2 | A1) P ( A3 | A1 A2) …… P ( An | A1 A2 … An 1) 。
①两个事件的独立性 设事件 A 、B 满足 P ( AB ) P ( A) P ( B ) ， 则称事件 A 、B 是相互独立的。 若事件 A 、 B 相互独立，且 P ( A) 0 ，则有
（3）一些 常见排列 （4）随机 试验和随 机事件
（5）基本 事件、样本 空间和事 件
一个事件就是由 中的部分点（基本事件 ）组成的集合。通常用大写字母 A，B，C，…表示事件，它们是 的子集。 为必然事件，Ø 为不可能事件。 不可能事件（Ø）的概率为零，而概率为零的事件不一定是不可能事件；同理， 必然事件（Ω）的概率为 1，而概率为 1 的事件也不一定是必然事件。 ①关系： 如果事件 A 的组成部分也是事件 B 的组成部分， （A 发生必有事件 B 发生） ：
P( AB) 为事件 A 发生条件下，事 P( A) （12）条件 P( AB) 。 件 B 发生的条件概率，记为 P ( B / A) 概率 P( A)
条件概率是概率的一种，所有概率的性质都适合于条件概率。 例如 P(Ω/B)=1 P( B /A)=1-P(B/A) 乘法公式： P ( AB ) P ( A) P ( B / A) 更一般地，对事件 A1，A2，…An，若 P(A1A2…An-1)>0，则有
积分元 f ( x) dx 在连续型随机变量理论中所起的作用与 P ( X xk ) pk 在离 散型随机变量理论中所起的作用相类似。
设 X 为随机变量， x 是任意实数，则函数
F ( x) P ( X x)
称为随机变量 X 的分布函数，本质上是一个累积函数。
P(a X b) F (b) F (a)
n
2° 则 （16）贝叶 斯公式
A Bi
i 1
， P ( A) 0 ，
P ( Bi / A)
P( Bi ) P( A / Bi )
P( B
j 1
n
，i=1，2，…n。
j
) P( A / B j )
此公式即为贝叶斯公式。
P ( Bi ) ， （ i 1 ，2 ，…，n ） ，通常叫先验概率。 P ( Bi / A) ， （ i 1 ，2 ，…， n） ，通常称为后验概率。贝叶斯公式反映了“因果”的概率规律，并作出了
P(A)= ( 1 ) ( 2 ) ( m ) = P( 1 ) P( 2 ) P( m )
设任一事件 A ，它是由 1 , 2 m 组成的，则有
1 。 n
m A所包含的基本事件数 n 基本事件总数
（9）几何 概型
若随机试验的结果为无限不可数并且每个结果出现的可能性均匀， 同时样本空 间中的每一个基本事件可以使用一个有界区域来描述， 则称此随机试验为几何 概型。对任一事件 A，
X x1, x 2, , xk , | P ( X xk ) p1, p 2, , pk , 。
显然分布律应满足下列条件： （1） pk 0 ， k 1,2, ， （2） k 1
p
k
1
。
设 F ( x ) 是随机变量 X 的分布函数，若存在非负函数 f ( x ) ，对任意实数 x ，有 （2）连续 型随机变 量的分布 密度
可以得到 X 落入区间 ( a, b] 的概率。分布
函数 F ( x) 表示随机变量落入区间（– ∞，x]内的概率。 分布函数具有如下性质： 1° （4）分布 函数 2° 3° 4° 5°
0 F ( x) 1,
x ；
F ( x) 是单调不减的函数，即 x1 x 2 时，有 F ( x1) F ( x 2) ；
德摩根率： i 1
A A
i i 1
i
A B A B， A B A B
设 为样本空间， A 为事件，对每一个事件 A 都有一个实数 P(A)，若满 足下列三个条件： 1° 0≤P(A)≤1， 2° P(Ω) =1 （7）概率 的公理化 定义 3° 对于两两互不相容的事件 A1 ， A2 ，…有
A B
如果同时有 A B ， B A ，则称事件 A 与事件 B 等价，或称 A 等于 B： A=B。 A、B 中至少有一个发生的事件：A B，或者 A+B。 属于 A 而不属于 B 的部分所构成的事件，称为 A 与 B 的差，记为 A-B，也可 表示为 A-AB 或者 AB ，它表示 A 发生而 B 不发生的事件。 （6）事件 的关系与 运算
Pn ( k ) C n p k q n k
k
， k 0,1,2, , n 。
第二章
随机变量及其分布
基本事件 随机事件A P ( A) 随机变量X ( ) a X b F (b) F (a )
设离散型随机变量 X 的可能取值为 Xk(k=1,2,…)且取各个值的概率，即事 件(X=Xk)的概率为 P(X=xk)=pk，k=1,2,…， （1）离散 型随机变 量的分布 律 则称上式为离散型随机变量 X 的概率分布或分布律。有时也用分布列的形 式给出：
第一章
随机事件和概率
古典概型 几何概型 加法B C 减法B C 基本事件 随机试验E 样本空间 P( A)五大公式条件概率B / C和乘法公式BC 随机事件A 全概公式 贝 叶斯公式 独立性 贝 努利 概 型 m! (m n)!
F () lim F ( x) 0 ，
x
F () lim F ( x) 1 ；
x
F ( x 0) F ( x) ，即 F ( x) 是右连续的； P ( X x) F ( x) F ( x 0) 。
xk x
对于离散型随机变量， F ( x )
n Pm
从 m 个人中挑出 n 个人进行排列的可能数。
（1）排列 组合公式
n Cm
m! 从 m 个人中挑出 n 个人进行组合的可能数。 n!(m n)!
（2）加法 和乘法原 理
加法原理（两种方法均能完成此事） ：m+n 某件事由两种方法来完成，第一种方法可由 m 种方法完成，第二种方法可由 n 种方法来完成，则这件事可由 m+n 种方法来完成。 乘法原理（两个步骤分别不能完成这件事） ：m×n 某件事由两个步骤来完成，第一个步骤可由 m 种方法完成，第二个步骤可由 n 种方法来完成，则这件事可由 m×n 种方法来完成。 重复排列和非重复排列（有序） 对立事件（至少有一个） 顺序问题 如果一个试验在相同条件下可以重复进行，而每次试验的可能结果不止一个， 但在进行一次试验之前却不能断言它出现哪个结果，则称这种试验为随机试 验。 试验的可能结果称为随机事件。 在一个试验下，不管事件有多少个，总可以从其中找出这样一组事件，它具有 如下性质： ①每进行一次试验，必须发生且只能发生这一组中的一个事件； ②任何事件，源自文库是由这一组中的部分事件组成的。 这样一组事件中的每一个事件称为基本事件，用 来表示。 基本事件的全体，称为试验的样本空间，用 表示。
（15）全概 公式
2° 则有
A Bi
i 1
n
，
P ( A) P ( B1) P ( A | B1) P ( B 2) P ( A | B 2) P ( Bn ) P ( A | Bn ) 。
设事件 B1 ， B 2 ，…， Bn 及 A 满足 1° B1 ， B 2 ，…， Bn 两两互不相容， P ( Bi ) >0， i 1，2，…， n ，
，
其
中
（5）八大 分布
二项分布
q 1 p,0 p 1, k 0,1,2,, n ，
则称随机变量 X 服从参数为 n ， p 的二项分布。记为
X ~ B(n, p) 。
F ( x) f ( x)dx
x
，
则称 X 为连续型随机变量。 f ( x ) 称为 X 的概率密度函数或密度函数，简称概 率密度。 密度函数具有下面 4 个性质： 1° 2°
f ( x) 0 。
f ( x)dx 1
。
（3）离散 与连续型 随机变量 的关系
P ( X x) P( x X x dx) f ( x)dx
“由果朔因”的推断。 我们作了 n 次试验，且满足 每次试验只有两种可能结果， A 发生或 A 不发生；
n 次试验是重复进行的，即 A 发生的概率每次均一样； 每次试验是独立的，即每次试验 A 发生与否与其他次试验 A 发生与
（17）伯努 利概型 否是互不影响的。 这种试验称为伯努利概型，或称为 n 重伯努利试验。 用 p 表示每次试验 A 发生的概率，则 A 发生的概率为 1 p q ，用 Pn ( k ) 表 示 n 重伯努利试验中 A 出现 k (0 k n ) 次的概率，
P ( A)
（10）加法 公式 （11）减法 公式
L( A) 。其中 L 为几何度量（长度、面积、体积） 。 L ()
P(A+B)=P(A)+P(B)-P(AB) 当 P(AB)＝0 时，P(A+B)=P(A)+P(B) P(A-B)=P(A)-P(AB) 当 B A 时，P(A-B)=P(A)-P(B) 当 A=Ω时，P( B )=1- P(B) 定义 设 A、B 是两个事件，且 P(A)>0，则称
P Ai P( Ai ) i 1 i 1
常称为可列（完全）可加性。 则称 P(A)为事件 A 的概率。 1° 1 , 2 n ， 2° P ( 1 ) P ( 2 ) P ( n )
（8）古典 概型