苏教版高中数学选修(2-2)-1.1《瞬时变化率—导数：导数》导学案

1.1.2《瞬时变化率——导数》导学案（三）

——导数

一、学习目标

1.理解并掌握曲线在某一点处的切线的概念

2.会运用瞬时速度的定义求物体在某一时刻的瞬时速度和瞬时加速度

3.理解导数概念 实际背景，培养学生解决实际问题的能力，进一步掌握在一点处 的导数的定义及其几何意义，培养学生转化问题的能力及数形结合思想

二、学习重点难点

导数概念的理解，以及运用导数解决问题的能力.

三、学习过程

【复习引入】

1.什么叫做平均变化率；

函数y =f (x )的定义域为D ，x 1.x 2∈D ，f (x )从x 1到x 2平均变化率为:

2.曲线上两点的连线（割线）的斜率与函数f (x )在区间[x A ，x B ]上的平均变化率.

3.如何精确地刻画曲线上某一点处的变化趋势呢？

【数学建构】

1.导数的定义：设函数()y f x =在区间(,)a b 上有定义，0(,)x a b ∈，若x ∆无限趋近于0时，比值 无限趋近于一个常数A ，则称()f x 在0x x =处可导，并称该常数A 为函数()f x 在0x x =处的导数，记作0x x y ='.

0'

000()()(),0x x f x x f x y y f x x x x

=+∆-∆'===∆→∆∆当 2.求导数的步骤：

①求函数的增量：=∆y

②算比值（平均变化率）：=∆∆x

y

③取极限，得导数：0x x y ='=

上述求导方法可简记为：一差、二化、三极限.

3.导数的几何意义：函数y =f (x )在x =x 0处的导数等于在该点00(,())x f x 处的切线的斜率，即 0000()()()lim x f x x f x f x k x

∆→+∆-'==∆ 说明：求曲线在某点处的切线方程的基本步骤:

①求出P 点的坐标;②求出函数在点0x 处的变化率

0000()()()lim x f x x f x f x k x

∆→+∆-'==∆ ，得到曲线在点00(,())x f x 的切线的斜率；③利用点斜式求切线方程.

4.函数在一区间上的导数：

如果函数 f (x )在开区间 (a ,b ) 内每一点都可导，就说f (x )在开区间 (a,b )内可导．这时，对于开区间 (a,b )内每一个确定的值 x 0，都对应着一个确定的导数 f '(x 0)，这样就在开区间(a,b )内构成了一个新的函数，我们把这一新函数叫做 f (x ) 在开区间(a,b )内的导函数，简称为导数，记作

''()()(),0y f x x f x f x y x x x

∆+∆-===∆→∆∆当时的值 【数学应用】

例1 求y =x 2+2在点x =1处的导数.

解：

变式:求y =x 2+2在点x =a 处的导数.

例2 若2()(1)f x x =-，求(2)((2))f f ''和.

例3 已知y ='y ，并求出函数在2x =处的切线方程.

解：