清华大学运筹学3运输问题
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B1 A1 A2 x11 3 B2 B3 B4
11
x12 x22 4 4 1 3 x24
10
5
A3
x31
6
x33
3
19/73
同样， P22 =P23-P13+P14-P34+P32 σ22 =c22 -CBB-1(P23-P13+P14-P34+P32) =c22 -CB (e4e1+e3-e6+e5)=c12-(c13, c14, c21, c23, c32, c34, 0) (e4-e1+e3e6+e5)=c12-(c23-c13+c14-c34+c32)=9-(2-3+10-5+4)= 1 B= (P13, P14, P21, P23, P32, P34, e7)
s.t. x11+x12+x13+x14
x11
x12
x13 x14
=7 x21+x22+x23+x24 =4 x31+x32+x33+x34 =9 +x21 +x31 =3 +x22 +x32 =6 +x23 +x33 =5 +x24 +x34=6
xij≥0，1≤i≤3, 1≤j≤4， i和j 皆为正整数。供应点有 m=3个，用户有n=4个。
B1 A1 A2 x11 3 B2 x12 9 x22 4 1 B3 3 4 2 x24 5 3 B4
10
A3
x31
6
x33
3
20/73
σ24 =c24 -(c23-c13+c14)=8-(2-3+10)= -1
B1 A1 A2 x11 3
B2 x12 x22
B3 3 4 2 1
B4
10
3 8 x24
27/73
先看基变量 u1+v3=3, 令u1=0，v3=3 u1+v4=10, v4=10，u2+v3=2, u2=-1， u2+v1=1, v1=2，u3+v4=5, u3=-5， u3+v2=4, v2=9，
B1 3 A1 A2 A3 x11 1 3 x22 x12 9 1 B2 11 4 2 x24 B3 3 3 8 B4 10
B1 3 B2 11 B3 3 B4 10 余方量 3 0
A1
A2 A3 需量
x11
1 3 7 x31 0
x12
9 x22 4 6 0
4
2 1 10 x33 0
x14
8 x24 5 3 6-3=3 20 14/73 20
3-3=0
B4需3， A1剩3，可满足。划去第一行和第四列。 非负数字格叫基格，对应基变量(m+n-1个)。其他 格叫非基格，对应非基变量(mn-m-n+1个) ，非基 变量均取0。
B1 3 B2 11 B3 3 B4 10 余方量 3 0
A1
A2 A3 需量
x11
1 3 7 x31 0
x12
9 x22 4 6 6-6=0
4
2 1 10 x33 0
x14
8 x24 5 x34运往B4的费用最低，B4需求量是6， 可从A3处得到3，以后不再考虑A3 。划去第三行。
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Max w=7u1+4u2+9u3+3v1+6v2+5v3+6v4
s.t. u1+v1 u1+v2 u1+v3 u1+v4 u2+v1 u2+v2 u2+v3 u2+v4 u3+v1 u3+v2 u3+v3 u3+v4 ≤3=c11 ≤11=c12 ≤3=c13 ≤10=c14 ≤1=c21 ≤9=c22 ≤2=c23 ≤8=c24 ≤7=c31 ≤4=c32 ≤10=c33 ≤5=c34
6/73
Pij= ei + em+j
ei 和 em+j 分别是第i和第m+j个元素为1的m+n维 单位向量。
7/73
第二节 表上作业法
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一、确定初始可行解 1. 最小元素法 2. 西北角法（不讲） 3. Vogel法（不讲） 1. 最小元素法 举例说明。
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从A2运往B1的费用最低，先将A2的土运往B1，B1 需求量是3，满足后， A2还有剩余。 B1的需求既 然已经满足，以后不再考虑。划去第一列
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运输问题数学模型 Min z=CX s.t. AX=b X≥0 X=(x11, x12, x13, x14, x21, x22, x23, x24, x31, x32, x33, x34)T C=(c11, c12, c13, c14, c21, c22, c23, c24, c31, c32, c33, c34) b=(s1, s2, s3, d1, d2, d3, d4)T s1, s2和s3分别是三个供应点供应量, d1, d2, d3和d4分 别是四个用户需求量。 当s1+s2+s3=d1+d2+d3+d4时，是供求平衡运输问题 ，否则，是供求不平衡运输问题。先讨论前者。
7
x31 6
4
x33
10
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5
再看非基变量 σ11=c11-u1-v1=3-0-2=1, σ12=c12-u1-v2=11-0-9=2, σ22=c22-u2-v2=9+1-9=1, σ24=c24-u2-v4=8+1-10= -1 σ31=c31-u3-v1=7+5-2=10, σ33=c33-u3-v3=10+5-3=12 u1=0，v3=3, v4=10，u2=-1，v1=2，u3=-5，v2=9，
B1 3 B2 11 B3 3 B4 10 余方量 7 1-1=0
A1
A2 A3 需量
x11
1 3 7 x31 0
x12
9 x22 4 x32 6
x13
2 1 10 x33 5-1=4
x14
8 x24 5 x34 6 20 11/73 20
9
剩下的，从A1运往B3的费用最低，将A1的土运往 B3，B3需求量是4，从A1运来4，就满足了，以后 不再考虑。划去第三列。
为此，考察非基变量同基变量的关系。 B= (P13, P14, P21, P23, P32, P34, e7)
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先看非基变量x11，非基格11与基格13、基格23、基 格21构成迴路。再看如下关系： P11 -P13+P23-P21= e1+e4-e1-e6+e2+e6-e2-e4 =0
B1 A1 A2 x11 3
B1 3 A1 A2 A3 x11 1 3 x22 x12 9 1 B2 11 4 2 x24 B3 3 3 8 B4 10
7
x31 6
4
x33
10
329/73
5
三、解的改进 1. 以x24为换入变量 2. 以非基格24为第一个顶点，沿迴路找运输量最小 的偶数顶点，将该格换出，并以其运输量为调整 量Δ=min{xij|基格ij是偶数顶点} 。 3. 沿迴路调整各格中运输量，奇数格加Δ，偶数格 减Δ。 4. 调整后，再计算检验数。若所有的σij≥0，已经 得到最优解。否则，重复以上步骤，直到取得最 优解。
B1 3 B2 11 B3 3 B4 10 余方量 3-3=0 0
A1
A2 A3 需量
x11
1 3 7 x31 0
x12
9 x22 4 6 0
4
2 1 10 x33 0
3
8 x24 5 3 3-3=0 20 15/73 20
0
z=3x13+10x14+x21+2x23+4x32+5x34 =3×4+10×3+3+2×1+4×6+5×3 =12+30+3+2+24+15=86 初始基可行解是否最优，即z是否达到了最小值？ 用非基变量检验数判断。检验数有几种算法。 1. 迴路法计算检验数 σij =cij -CBB-1Pij，
欠土B1 多土 A1 多土 A2 3 欠土B2 11 欠土B3 3 欠土B4 10 余方量 7 4
x11
1 x21 7 x31 3
x12
9 x22 4 x32 6
x13
2 x23 10 x33 5
x14
8 x24 5 x34 6 20 3/73 20
多土 A3
需量
9
Min z= 3x11+11x12+3x13+10x14+x21+9x22+2x23+8x24+7x31+4x32+10x33+5x34
B2 x12 x22
B3 4 1
B4 3 x24
A3
x31
6
x33
3
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因此有， P11 =P13-P23+P21 σ11 =c11-CBB-1P11 =c11-CBB-1(P13-P23+P21) =c11 -CB (e1-e4+e3)=c11-(c13, c14, c21, c23, c32, c34, 0)(e1e4+e3)=c11-(c13-c23+c21)=3- (3-2+1)=1 B= (P13, P14, P21, P23, P32, P34, e7)
B1 A1 A2 x11 3
B2 x12 x22
B3 3 4 1 10
B4
10
3 x24 5
A3
x31
6
x33
3
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24/73
Min z= 3x11+11x12+3x13+10x14+x21+9x22+2x23+8x24+7x31+4x32+10x33 +5x34 s.t. x11+x12+x13+x14 =7 u1 x21+x22+x23+x24 =4 u2 x31+x32+x33+x34 =9 u3 x11 +x21 +x31 =3 v1 x12 +x22 +x32 =6 v2 x13 +x23 +x33 =5 v3 x14 +x24 +x34=6 v4 其对偶问题是
5/73
A =
x11 x12 x13 x14 x21 x22 x23 x24 x31 x32 x33 x34 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1
A 是(m+n)×(m×n)矩阵，又可写成： A = (P11, P12, P13, P14, P21, P22, P23, P24, P31, P32, P33, P34)
A3
x31
6
x33
3
21/73
σ31 =c31 -(c21-c23+c13-c14+c34)=7-(1-2+3-10+5)= 10
B1 A1 A2 x11 1 3
B2 x12 x22
B3 3 4 2 1
B4
10
3 x24 5
7 A3 x31 6 x33 3
22/73
σ33 =c33 -(c13-c14+c34)=10-(3-10+5)= 12
26/73
令YT=(u1, u2,…, um, v1, v2, …, vn) 则 σij =cij -CBB-1Pij=cij -YTPij =cij -(u1, u2,…, um, v1, v2, …, vn)(ei+em+j) =cij -(ui+vj) 对于基变量xij，检验数σij =0，即 ui+vj=cij 若从中求得ui和vj，就能利用σij =cij -(ui+vj)求得非 基变量的σij。
欠土B1 多土 A1 多土 A2 3
欠土B2 11
欠土B3 3
欠土B4 10
余方量 7 4-3=1
x11
1 3 7 x31 3-3=0
x12
9 x22 4 x32 6
x13
2 x23 10 x33 5
x14
8 x24 5 x34 6 20 10/73 20
多土 A3
需量
9
剩下的，从A2运往B3的费用最低，B3需要5， A2 只能满足1。A2以后不再考虑。划去第二行。
B1 3
B2 11
B3 3
B4 10
余方量 7-4=3 0
A1
A2 A3 需量
x11
1 3 7 x31 0
x12
9 x22 4 x32 6
4
2 1 10 x33 4-4=0
x14
8 x24 5 x34 6 20 12/73 20
9
剩下的，从A3运往B2的费用最低，B2需求量是6， 可从A3处满足，以后不再考虑。划去第二列。
第三章 运输问题
第一节 运输问题及其数学模型 第二节 表上作业法 第三节 进一步讨论
1/73
第一节 运输问题及其 数学模型
一、问题的提出
2/73
[例2]平整某场地，有三处高，需削平，有四处低 ，需填高。已算出高处总余方量恰好满足低处总 需方量。12种运价也已算出，在右上角方格内。 问：如何调度，才花费最少？
B1 3 A1 A2 x11 1 3 x22 1 x12 4 2 x24 B2 B3 3 3 B4
A3
x31
6
x33
3
18/73
同样， P12 =P14-P34+P32 σ12 =c12 -CBB-1P12 =c12 -CBB-1(P14-P34+P32) =c12 -CB (e2-e6+e5)=c12-(c13, c14, c21, c23, c32, c34, 0)(e2e6+e5)=c12-(c14-c34+c32)=11- (10-5+4)= 2 B= (P13, P14, P21, P23, P32, P34, e7)
11
x12 x22 4 4 1 3 x24
10
5
A3
x31
6
x33
3
19/73
同样， P22 =P23-P13+P14-P34+P32 σ22 =c22 -CBB-1(P23-P13+P14-P34+P32) =c22 -CB (e4e1+e3-e6+e5)=c12-(c13, c14, c21, c23, c32, c34, 0) (e4-e1+e3e6+e5)=c12-(c23-c13+c14-c34+c32)=9-(2-3+10-5+4)= 1 B= (P13, P14, P21, P23, P32, P34, e7)
s.t. x11+x12+x13+x14
x11
x12
x13 x14
=7 x21+x22+x23+x24 =4 x31+x32+x33+x34 =9 +x21 +x31 =3 +x22 +x32 =6 +x23 +x33 =5 +x24 +x34=6
xij≥0，1≤i≤3, 1≤j≤4， i和j 皆为正整数。供应点有 m=3个，用户有n=4个。
B1 A1 A2 x11 3 B2 x12 9 x22 4 1 B3 3 4 2 x24 5 3 B4
10
A3
x31
6
x33
3
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σ24 =c24 -(c23-c13+c14)=8-(2-3+10)= -1
B1 A1 A2 x11 3
B2 x12 x22
B3 3 4 2 1
B4
10
3 8 x24
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先看基变量 u1+v3=3, 令u1=0，v3=3 u1+v4=10, v4=10，u2+v3=2, u2=-1， u2+v1=1, v1=2，u3+v4=5, u3=-5， u3+v2=4, v2=9，
B1 3 A1 A2 A3 x11 1 3 x22 x12 9 1 B2 11 4 2 x24 B3 3 3 8 B4 10
B1 3 B2 11 B3 3 B4 10 余方量 3 0
A1
A2 A3 需量
x11
1 3 7 x31 0
x12
9 x22 4 6 0
4
2 1 10 x33 0
x14
8 x24 5 3 6-3=3 20 14/73 20
3-3=0
B4需3， A1剩3，可满足。划去第一行和第四列。 非负数字格叫基格，对应基变量(m+n-1个)。其他 格叫非基格，对应非基变量(mn-m-n+1个) ，非基 变量均取0。
B1 3 B2 11 B3 3 B4 10 余方量 3 0
A1
A2 A3 需量
x11
1 3 7 x31 0
x12
9 x22 4 6 6-6=0
4
2 1 10 x33 0
x14
8 x24 5 x34运往B4的费用最低，B4需求量是6， 可从A3处得到3，以后不再考虑A3 。划去第三行。
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Max w=7u1+4u2+9u3+3v1+6v2+5v3+6v4
s.t. u1+v1 u1+v2 u1+v3 u1+v4 u2+v1 u2+v2 u2+v3 u2+v4 u3+v1 u3+v2 u3+v3 u3+v4 ≤3=c11 ≤11=c12 ≤3=c13 ≤10=c14 ≤1=c21 ≤9=c22 ≤2=c23 ≤8=c24 ≤7=c31 ≤4=c32 ≤10=c33 ≤5=c34
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Pij= ei + em+j
ei 和 em+j 分别是第i和第m+j个元素为1的m+n维 单位向量。
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第二节 表上作业法
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一、确定初始可行解 1. 最小元素法 2. 西北角法（不讲） 3. Vogel法（不讲） 1. 最小元素法 举例说明。
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从A2运往B1的费用最低，先将A2的土运往B1，B1 需求量是3，满足后， A2还有剩余。 B1的需求既 然已经满足，以后不再考虑。划去第一列
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运输问题数学模型 Min z=CX s.t. AX=b X≥0 X=(x11, x12, x13, x14, x21, x22, x23, x24, x31, x32, x33, x34)T C=(c11, c12, c13, c14, c21, c22, c23, c24, c31, c32, c33, c34) b=(s1, s2, s3, d1, d2, d3, d4)T s1, s2和s3分别是三个供应点供应量, d1, d2, d3和d4分 别是四个用户需求量。 当s1+s2+s3=d1+d2+d3+d4时，是供求平衡运输问题 ，否则，是供求不平衡运输问题。先讨论前者。
7
x31 6
4
x33
10
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再看非基变量 σ11=c11-u1-v1=3-0-2=1, σ12=c12-u1-v2=11-0-9=2, σ22=c22-u2-v2=9+1-9=1, σ24=c24-u2-v4=8+1-10= -1 σ31=c31-u3-v1=7+5-2=10, σ33=c33-u3-v3=10+5-3=12 u1=0，v3=3, v4=10，u2=-1，v1=2，u3=-5，v2=9，
B1 3 B2 11 B3 3 B4 10 余方量 7 1-1=0
A1
A2 A3 需量
x11
1 3 7 x31 0
x12
9 x22 4 x32 6
x13
2 1 10 x33 5-1=4
x14
8 x24 5 x34 6 20 11/73 20
9
剩下的，从A1运往B3的费用最低，将A1的土运往 B3，B3需求量是4，从A1运来4，就满足了，以后 不再考虑。划去第三列。
为此，考察非基变量同基变量的关系。 B= (P13, P14, P21, P23, P32, P34, e7)
16/73
先看非基变量x11，非基格11与基格13、基格23、基 格21构成迴路。再看如下关系： P11 -P13+P23-P21= e1+e4-e1-e6+e2+e6-e2-e4 =0
B1 A1 A2 x11 3
B1 3 A1 A2 A3 x11 1 3 x22 x12 9 1 B2 11 4 2 x24 B3 3 3 8 B4 10
7
x31 6
4
x33
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三、解的改进 1. 以x24为换入变量 2. 以非基格24为第一个顶点，沿迴路找运输量最小 的偶数顶点，将该格换出，并以其运输量为调整 量Δ=min{xij|基格ij是偶数顶点} 。 3. 沿迴路调整各格中运输量，奇数格加Δ，偶数格 减Δ。 4. 调整后，再计算检验数。若所有的σij≥0，已经 得到最优解。否则，重复以上步骤，直到取得最 优解。
B1 3 B2 11 B3 3 B4 10 余方量 3-3=0 0
A1
A2 A3 需量
x11
1 3 7 x31 0
x12
9 x22 4 6 0
4
2 1 10 x33 0
3
8 x24 5 3 3-3=0 20 15/73 20
0
z=3x13+10x14+x21+2x23+4x32+5x34 =3×4+10×3+3+2×1+4×6+5×3 =12+30+3+2+24+15=86 初始基可行解是否最优，即z是否达到了最小值？ 用非基变量检验数判断。检验数有几种算法。 1. 迴路法计算检验数 σij =cij -CBB-1Pij，
欠土B1 多土 A1 多土 A2 3 欠土B2 11 欠土B3 3 欠土B4 10 余方量 7 4
x11
1 x21 7 x31 3
x12
9 x22 4 x32 6
x13
2 x23 10 x33 5
x14
8 x24 5 x34 6 20 3/73 20
多土 A3
需量
9
Min z= 3x11+11x12+3x13+10x14+x21+9x22+2x23+8x24+7x31+4x32+10x33+5x34
B2 x12 x22
B3 4 1
B4 3 x24
A3
x31
6
x33
3
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因此有， P11 =P13-P23+P21 σ11 =c11-CBB-1P11 =c11-CBB-1(P13-P23+P21) =c11 -CB (e1-e4+e3)=c11-(c13, c14, c21, c23, c32, c34, 0)(e1e4+e3)=c11-(c13-c23+c21)=3- (3-2+1)=1 B= (P13, P14, P21, P23, P32, P34, e7)
B1 A1 A2 x11 3
B2 x12 x22
B3 3 4 1 10
B4
10
3 x24 5
A3
x31
6
x33
3
23/73
24/73
Min z= 3x11+11x12+3x13+10x14+x21+9x22+2x23+8x24+7x31+4x32+10x33 +5x34 s.t. x11+x12+x13+x14 =7 u1 x21+x22+x23+x24 =4 u2 x31+x32+x33+x34 =9 u3 x11 +x21 +x31 =3 v1 x12 +x22 +x32 =6 v2 x13 +x23 +x33 =5 v3 x14 +x24 +x34=6 v4 其对偶问题是
5/73
A =
x11 x12 x13 x14 x21 x22 x23 x24 x31 x32 x33 x34 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1
A 是(m+n)×(m×n)矩阵，又可写成： A = (P11, P12, P13, P14, P21, P22, P23, P24, P31, P32, P33, P34)
A3
x31
6
x33
3
21/73
σ31 =c31 -(c21-c23+c13-c14+c34)=7-(1-2+3-10+5)= 10
B1 A1 A2 x11 1 3
B2 x12 x22
B3 3 4 2 1
B4
10
3 x24 5
7 A3 x31 6 x33 3
22/73
σ33 =c33 -(c13-c14+c34)=10-(3-10+5)= 12
26/73
令YT=(u1, u2,…, um, v1, v2, …, vn) 则 σij =cij -CBB-1Pij=cij -YTPij =cij -(u1, u2,…, um, v1, v2, …, vn)(ei+em+j) =cij -(ui+vj) 对于基变量xij，检验数σij =0，即 ui+vj=cij 若从中求得ui和vj，就能利用σij =cij -(ui+vj)求得非 基变量的σij。
欠土B1 多土 A1 多土 A2 3
欠土B2 11
欠土B3 3
欠土B4 10
余方量 7 4-3=1
x11
1 3 7 x31 3-3=0
x12
9 x22 4 x32 6
x13
2 x23 10 x33 5
x14
8 x24 5 x34 6 20 10/73 20
多土 A3
需量
9
剩下的，从A2运往B3的费用最低，B3需要5， A2 只能满足1。A2以后不再考虑。划去第二行。
B1 3
B2 11
B3 3
B4 10
余方量 7-4=3 0
A1
A2 A3 需量
x11
1 3 7 x31 0
x12
9 x22 4 x32 6
4
2 1 10 x33 4-4=0
x14
8 x24 5 x34 6 20 12/73 20
9
剩下的，从A3运往B2的费用最低，B2需求量是6， 可从A3处满足，以后不再考虑。划去第二列。
第三章 运输问题
第一节 运输问题及其数学模型 第二节 表上作业法 第三节 进一步讨论
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第一节 运输问题及其 数学模型
一、问题的提出
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[例2]平整某场地，有三处高，需削平，有四处低 ，需填高。已算出高处总余方量恰好满足低处总 需方量。12种运价也已算出，在右上角方格内。 问：如何调度，才花费最少？
B1 3 A1 A2 x11 1 3 x22 1 x12 4 2 x24 B2 B3 3 3 B4
A3
x31
6
x33
3
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同样， P12 =P14-P34+P32 σ12 =c12 -CBB-1P12 =c12 -CBB-1(P14-P34+P32) =c12 -CB (e2-e6+e5)=c12-(c13, c14, c21, c23, c32, c34, 0)(e2e6+e5)=c12-(c14-c34+c32)=11- (10-5+4)= 2 B= (P13, P14, P21, P23, P32, P34, e7)