第二章 共线向量与共面向量

(2) OP 4OA OB OM
注意：
空间四点P、M、A、B共面 （x , y ） , 使得 MP xMA yMB 存在唯一实数对 OP xOM yOA zOB(其中，x y z 1) 18
A、B、C，试问满足向量关系式 OP xOA yOB zOC （其中 ）的四点 P、A、B、 x yz 1
C是否共面？
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例4
已知A、B、M三点不共线，对于平面
ABM外的任一点O，确定在下列各条件下， 点P是否与A、B、M一定共面？
(1) OB＋OM 3OP－OA
2
练习 在立方体AC1中,点E是面A’C’ 的中心,求下列
各式中的x,y.
A E B C D
' '
(1) AC x( AB BC CC )
'
(2) AE AA x AB y AD
A
D
B
C
3
练习2
A
在立方体AC1中,点E是面A’C’ 的中心,求下 列各式中的x,y. ' ( 2 ) AE AA x AB y AD D
D.在空间共线的向量在平面内一定共线
9
2.下列说法正确的是：
A.平面内的任意两个向量都共线
B.空间的任意三个向量都不共面 C.空间的任意两个向量都共面 D.空间的任意三个向量都共面
10
3.对于空间任意一点O，下列命题正确的 是：
A.若 OP OA t AB B.若 3OP OA AB C.若 OP OA t AB
北师大版高中数学选修2-1第二 章《空间向量与立体几何》
共线向量与共面向量
法门高中姚连省制作 1
练习
A
在立方体AC1中,点E是面A’C’的中心,求下 列各式中的x,y.
E D C
' '
(1) AC x( AB BC CC )
'
B
(2) AE AA x AB y AD
A
D
B
C
a a
A

注意：空间任意两个向量是共面的，但空间 任意三个向量就不一定共面的了。
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2.共面向量定理 : 如果两个向量 a , b 不共线,则向量 p 与向量 a , b共面的充要 条件是存在实数对x, y 使P xa yb
B b M a A
p
D.若 OP OA AB
，则P、A、B共线 ，则P是AB的中点 ，则P、A、B不共线 ，则P、A、B共线
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4.若对任意一点O，且 OP xOA y AB
，
则x+y=1是P、A、B三点共线的：
A.充分不必要条件
B.必要不充分条件
P
A
O
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推论:空间一点P位于平面MAB内的充
要条件是存在有序实数对x,y使 MP xMA yMB 或对空间任一点O,有OP OM xMA yMB
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例3 对空间任意一点O和不共线的三点
例5 如图，已知平行四边形ABCD，过平
面AC外一点O作射线OA、OB、OC、OD， 在四条射线上分别取点E、F、G、H O ，并且使 OE OF OG OH k OA OB OC OD 求证：
D A ⑴四点E、F、G、H共面； B C
⑵平面EG//平面AC。
D' A' B'
19
C'
C.充要条件 D.既不充分也不必要条件
12
5.设点P在直线AB上并且AP PB( 1)
，O为空间任意一点，求证： OA OB OP 1
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二.共面向量:
1.共面向量:平行于同一平面的向量,
叫做共面向量.
O
5
已知非零向量 a 的直线,那么对任一点O, 点P在直线 l 上的充要条件是存在实数t, 满足等式OP=OA+t a 其中向量a叫做直线的 方向向量. P
a
推论:如果 l 为经过已知点A且平行
若P为A,B中点, 1 则 OP OA OB 2


O
B A
6
(4) P、M、A、B共面 MP xMA yMB ；
A.1个
B.2个
C.3个
D.4个
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三、课堂小结：
1.共线向量的概念。
2.共线向量定理。
3.共面向量的概念。 4.共面向量定理。
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E C
B
A
D
B
C
4
一、共线向量: 1.共线向量:如果表示空间向量的
有向线段所在直线互相平行或重合,则这些 向量叫做共线向量(或平行向量),记作 a // b 零向量与任意向量共线.
2.共线向量定理:对空间任意两个 向量 a, b(b o), a // b 的充要条件是存在实 数λ使 a b
1.下列命题中正确的有：
(1) p xa yb p与 a 、 b 共面 ; (2) p 与 a 、 b 共面 p xa yb ；
(3) MP xMA yMB P、M、A、B共面；
例1 已知A、B、P三点共线，O为空间任
意一点，且OP OA OB，求 的值.
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例2 用向量的方法证明：顺次连结空间 四边形各边中点所得的四边形为平行四 边形。
A E
HБайду номын сангаасD F C
8
B G
1.下列说明正确的是：
A.在平面内共线的向量在空间不一定共 线 B.在空间共线的向量在平面内不一定共 线 C.在平面内共线的向量在空间一定不共 线