苏教版高中数学高二选修1-1练习平均变化率

§3.1 导数的概念

3．1.1 平均变化率

一、基础过关

1．如图，函数y ＝f (x )在A ，B 两点间的平均变化率为________．

2．过曲线y ＝2x 上两点(0,1)，(1,2)的割线的斜率为________．

3．函数y ＝1在[2,5]上的平均变化率是________．

4．一物体的运动方程是s ＝3＋t 2，则在一小段时间[2,2.1]内相应的平均速度为________．

5．设函数y ＝f (x )＝x 2－1，当自变量x 由1变为1.1时，函数的平均变化率为________．

6．过曲线y ＝f (x )＝x 2＋1上两点P (1,2)和Q (1＋Δx,2＋Δy )作曲线的割线，当Δx ＝0.1时，

割线的斜率k ＝________.

二、能力提升

7．甲、乙二人跑步路程与时间关系如右图所示，________跑得快．

8．将半径为R 的球加热，若半径从R ＝1到R ＝m 时球的体积膨胀

率为28π3

，则m 的值为________． 9．在x ＝1附近，取Δx ＝0.3，在四个函数①y ＝x ，②y ＝x 2，③y ＝x 3，④y ＝1x

中，平均变化率最大的是________．

10．求函数y ＝sin x 在0到π6之间和π3到π2

之间的平均变化率，并比较它们的大小． 11．一正方形铁板在0℃时，边长为10 cm ，加热后膨胀．当温度为t ℃时，边长变为

10(1＋at ) cm ，a 为常数，试求铁板面积对温度的膨胀率．

12．已知气球的体积为V (单位：L)与半径r (单位：dm)之间的函数关系是V (r )＝43

πr 3. (1)求半径r 关于体积V 的函数r (V )；

(2)比较体积V 从0 L 增加到1 L 和从1 L 增加到2 L 半径r 的平均变化率；哪段半径变化较快(精确到0.01)？此结论可说明什么意义？

三、探究与拓展

13．巍巍泰山为我国的五岳之首，有“天下第一山”之美誉，登泰山在当地有“紧十八，

慢十八，不紧不慢又十八”的俗语来形容爬十八盘的感受，下面是一段登山路线

图．同样是登山，但是从A处到B处会感觉比较轻松，而从B处到C处会感觉比较吃力．想想看，为什么？你能用数学语言来量化BC段曲线的陡峭程度吗？

答案

1．－1

2．1

3．0

4．4.1

5．2.1

6．2.1

7．乙

8．2

9．③

10．解 在0到π6之间的平均变化率为sin π6－sin 0π6

－0＝3π； 在π3到π2之间的平均变化率为sin π2－sin π3π2－π3＝3(2－3)π. ∵2－3<1，∴3π>3(2－3)π

. ∴函数y ＝sin x 在0到π6之间的平均变化率为3π，在π3到π2之间的平均变化率为3(2－3)π，且在0到π6

之间的平均变化率较大． 11．解 设温度的增量为Δt ，则铁板面积S 的增量为

ΔS ＝102[1＋a (t ＋Δt )]2－102(1＋at )2

＝200(a ＋a 2t )Δt ＋100a 2(Δt )2，

因此ΔS Δt

＝200(a ＋a 2t )＋100a 2Δt . 所以铁板面积对温度的膨胀率为

200(a ＋a 2t )＋100a 2Δt . 12．解 (1)∵V ＝43

πr 3， ∴r 3＝3V 4π，r ＝33V 4π

，

∴r (V )＝33V 4π

. (2)函数r (V )在区间[0,1]上的平均变化率约为

r (1)－r (0)1－0＝33×14π－01≈0.62(dm/L)， 函数r (V )在区间[1,2]上的平均变化率约为

r (2)－r (1)2－1

＝33×24π－33×14π≈0.16(dm/L)． 显然体积V 从0 L 增加到1 L 时，半径变化快，这说明随着气球体积的增加，气球的半径增加得越来越慢．

13．解 山路从A 到B 高度的平均变化率为h AB ＝Δy Δx ＝10－050－0＝15

， 山路从B 到C 高度的平均变化率为

h BC ＝Δy Δx ＝15－1070－50＝14

， ∴h BC >h AB ，

∴山路从B 到C 比从A 到B 陡峭．