第五章 统计推断

二、假设测验的步骤
（一）对未知或不完全知道的总体参数提出一些假设
1.
零假设 （Null hypothesis, Ho）
假设动物体重的总体平均数与原总体的平均数相等（没有显 著差异）。 Ho：μ=μ0=10g
2.
备择假设（Alternative hypothesis, HA）
与无效假设相对应的假设，一般与无效假设构成完全事件系。 HA： μ≠μ0
＝P（Ⅰ型错误）＝P（接受H0 | H0是正确的，μ＝μ0）
如在单侧检验时所得到的结论是拒绝H0：μ＝μ0 。 得到这样的结论是要冒一定风险的，因为在＝0.05水平 上，拒绝H0。所以平均100次H0会有5次是错误的。或者 说，每次拒绝都要冒5%错误推断的风险。


假如在＝0.01水平上拒绝H0。所冒的风险要小一些，即
第三章 统计推断 Statistical Inference
从样本 到总体


统计推 断(目的)
总体与 样本间 的关系
从总体 到样本

抽样分 布（基础）

总体——>样本
第 3、4 章
样本——>总体
统计推断（第 5、6 章）
试验所获资料均是样本的结果，而 需了解的却是抽得样本的总体。统计推 断是科研中十分重要的工具，对于试验 设计也有指导作用。
∴如果样本从总体具有μ =10.3 g 而不是μ 0=10 g 抽的，则在规定的 α =0.05 下，将有 23.3%的机会接 受 H0：μ 0=10 的错误结论。
换言之， 不能识别 H0：μ 0=10 为错误的概率 为 23.3%。
β ：不能识别 H0 为错误的概率， 或接受一个错误 H0 的概率。
其他统计假设
1. 2. 3.
Ho: μ1＝μ2 HA:μ1≠μ2 Ho: μ1≤μ2 HA:μ1＞μ2 Ho: μ1≥μ2 HA:μ1＜μ2
对Ho的要求
1. 2.
有专业意义 据之能算出因抽样误差而得到的样本结果 的概率。
（二）确定一个否定Ho的概率标准—显著水平
生物试验中常用的显著水平有两个：
1.
0
2)区间估计 x u / 2 x x u / 2 x
这两种不同的统计推断方法，在实践应用中可互相参照使用。
第一节 假设检验的步骤和原理
一、假设检验的定义
根据某种实际需要，对未知的和不完全知道的统计总体提 出一些假设（通常构成完全事件系），然后由样本的实际 结果，经过一定的计算，作出在概率意义上应当接受哪种 假设的检验。
4.
三、接受域和拒绝域
1.
接受域：在一定概率保证下接受Ho的 统计数的区间（范围）。
拒绝域：在一定概率保证下否定Ho的 统计数的区间（范围）。
2.
求接受域和拒绝域的原理方法
u ＞uα，p＜α，否定H0 。u＞uα 为否定H0的u 区间，根据u区间推出否定H0的x的区间，即 拒绝域。 u ＜uα ， p＞α，接受H0 。u ＜ uα 为接受H0的 u区间，根据u区间推出接受H0的x的区间， 即接受域。
2.
3.
Ho：μ=μ0=10.00 HA： μ≠μ0 α=0.05,Uα=1.96 X=10，n=10， σ=0.4 σ x =σ/(n 1/2)=0.4/(10 1/2) u = (x-μx )/(σ x )=1.82 u ＞ u 0.05 或 P＜0.05 推断:否定Ho，接受HA：μ≠μo，即抽出的 动物的体重样本与体重总体间有显著差 异。
(三)在假设Ho为正确的前提下，算得样本结果由误差造成的概率
附表2 P327
（四）推断：根据“小概率事件实际不可能原理”， 来接受或否定Ho假设
小概率事件实际不可能原理：小概率（P＜ α）事件在一次试验中是不可能发生的。 本例推断：p ＜0.05 否定Ho，接受HA：μ≠μ0
假设测验步骤总结
1.
影响两类错误 概率的因素
μ1
μ2
影响两类错误概率的因素
2 X ~ N , n
3°减少试验误差或 增加样本含量， 可同时降低犯两 种类型错误的概 率α，β
μ1
μ2
注解： 在用μ 0 时，一旦接受 H0 就 犯了 II 型错误，而犯 II 型 错误的概率实际发生于有关 真实μ 的分布中。
备择假设的提出需视情况而定。

若已知μ不可能大于μ0 ，则HA：μ＜μ0 。
若已知μ不可能小于μ0 ，则HA：μ＞μ0 。


若考查的目的只是判断μ是否等于μ0 ，并不关
心究竟是μ＞μ0 还是μ＜μ0 ，或者并不知道μ不 可能大于 μ0 或是 μ 不可能小于 μ0 ，这时的 HA ： μ≠ μ0 。
bμ1 ＝P（Ⅱ型错误）＝P（接受H0 | H0是错误的，μ＝μ1 ）
二、两种类型的错误
统计推断 事实上
H0正确 拒绝H0 I类错误 推断正确 接收H0 推断正确 II类错误
H0错误
P(I类错误)=P(统计推断拒绝H0|事实上H0正确) P(II类错误)=P(统计推断接受H0|事实上H0错误)
已知总体： X 0 ~ N 0 , 2
假设——→试验
↙
总体参数
区分符合与否的界限？
样本资料 ←→ 检查符合？ ↓
↘
⒈ 2.
假设 小概率原理 (假设检验的基础)
⒈
假设
总体平均数是未知的，为了得到对 总体平均数的推断，可以假设总体平均 数μ等于某一给定的值 零假设
H0：μ＝μ0
备择假设记为HA
HA：μ＞μ0 、HA：μ＜μ0 及HA：μ≠μ0 。
平均每拒绝100次H0，会有1次是错误的。或者说，每次
拒绝都要冒1%推断错误的风险。
另一方面，接受H0也不能说H0一定是正确的。当事实
上μ不等于μ0而等于另外的值μ1 时，也有落入接受域的可能。 当μ≠μ0 但错误地接受了μ＝μ0 的假设时所犯的错误称为Ⅱ 型错误（type Ⅱerror）。犯Ⅱ型错误的概率记为b，可以表 示为：
未知总体： X ~ N , 2
n x
事实上H0正确


0
事实上H0错误


u
α
n
推断
相等？ 0
H0：μ=μ0 HA：μ>μ0
u
α
n
0

已知总体： X 0 ~ N 0 , 2
未知总体： X ~ N , 2
n x


事实上H0正确
例题解
X＝10－1.96×0.4＝9.216 X＝10＋1.96×0wenku.baidu.com4＝10.784
接受域: 9.216 ≤x≤ 10.784 (概率保 证:95%) 拒绝域(两尾): x≤10.784 或 x≥9.216 (概率:显著水平)
四、单侧检验（one-sided test）和双侧检验
（two-sided test）
统计推断：根据抽样分布规律和概率由样本结果（统计数）来推论总体特
征（参数）。
统计推断前提：
1）资料必须是来自随机样本 2）统计数的分布律必须已知
对总体作推断的途径： a）假设测验(test of hypothesis) b）参数估计(estimation of parameter) 1)点估计
H0：μ =μ
根据上述原理所建立起来的检验方法称为显著
性检验（ significance test ）。究竟概率小到什么
程度算是小概率，要根据实际情况或实验要求而
定。计算生物工作中，通常规定 0.05 或 0.01 以下
为小概率 0.05 或 0.01 或其它的值）称为显著性水
平（significance level），记为“”。
2. 小概率原理 小概率的事件，在一次试验中， 几乎是不会发生的。若根据一定的 假设条件计算出来该事件发生的概 率很小，而在一次试验中，它竟然 发生了，则可以认为假设的条件不 正确。因此，否定假设。
如何用小概率原理?
标准化的样本平均数
u
x 0
n
服从标准正态分布N（0，1），即P（U＞u）或P（U＜－u）或P （| U |＞u）的值。或者说，可以得到抽自平均数为μ0 的总体的概 率。如果得到的概率值很小，则抽自平均数为 μ0 的总体的事件是 一个小概率事件。根据小概率原理，它在一次试验中几乎是不会 发生的，但实际上它发生了，说明假设的条件不正确，即μ并不等 于μ0 ，拒绝零假设而接受备择假设。
影响两类错误α、β大小的因子有哪些？
两类错误小结：
1) n 固定、提高显著水平，如从 5%变为 1%，增大犯 II 型错误的概率β
2)
α 已固定，则合理的试验设计、正确的试验技术和增加样本容量可有效降低 犯 II 型错误的概率。因此，不良的试验设计（如观察值太少等）和粗放的试 验技术是使试验不能获得正确结论的极重要原因。因为在这样的条件下，容 易接受任一个假设，而不论这假设是正确的或错误的。
3)
n 和α 固定的条件下，真实总体平均数μ 和假设平均数μ 0 的相差（以标准误 为单位）愈大，β 愈小。 （但这不能主观控制！ ！ ！ ）
4)
为了降低犯两类错误的概率，需采用一个较低的显著水平，如α =0.05，同时 适当增大 n（样本容量） ，或适当减少总体方差，或两者兼而有之。
上述类错误小结对于其它统计 2 数如 t、χ 、F 分布的假设测 验也都适用。


0
P(I类错误)
u
α α
n
推断
相等？ 0
H0：μ=μ0 HA：μ>μ0
=P(检验拒绝H0|事实上H0正确)
=α
已知总体： X 0 ~ N 0 , 2
未知总体： X ~ N , 2
n x


P(II类错误)
=P(检验接受H0|事实上H0错误)
1.

否定区间在一尾的为单侧检验。

Ho: μ1≤μ2 HA:μ1＞μ2（上尾检验） Ho: μ1≥μ2 HA:μ1＜μ2（下尾检验）
2.
否定区间在两尾的为双侧检验。 Ho: μ1＝μ2 HA:μ1≠μ2
选择做单侧检验或双侧检验，应根据问题的要求而定。

假若问题只要求判断μ是否等于μ0 ，而不是大于μ0 或小 于μ0 时，应做双侧检验。 如果事先可以判断μ不可能大于μ0 ，或μ不可能小于μ0
第二节 单个样本显著性检验程序
x x和u 的分布, x P[( 1.96 x ) x ( 1.96 x )] 0.95 x P( 1.96) 0.25, x x P( 1.96) 0.25, x
因之可写为
P[ x ( 1.96 x )] 0.025 P[ x ( 1.96 x )] 0.025

时，则可做单侧检验。因单侧检验的辨别力更强些，所
以在可能情况下尽量做单侧检验。
单侧检验与双侧检验的关系
五．两种类型的错误
在H0 是真实的情况下，由于随机性仍然有可能落 在拒绝域内，根据小概率原理，这时将拒绝 H0 。这样
的拒绝是错误的。如果假设是正确的，却错误地拒绝了
它，称为犯Ⅰ型错误（typeⅠerror）。犯Ⅰ型错误的概 率不会超过。
因此，在样本平均数的抽样分布中，
x落在( 1.96 x , 1.96 x )区间内的概率有95% x落在( 1.96 x , 1.96 x )区间外的概率只有5%
如以 5%概率作为接受或否定 H0 的界限，则
( 1.96 x , 1.96 x )为接受H 0区域 x 1.96 x 和 x 1.96 x 为否定 (或拒绝) H 0的两个区域


=β
事实上H0错误
推断
相等？ 0
H0：μ=μ0 HA：μ>μ0
u
β α
n
0

1°当μ2愈接近μ1时， 犯Ⅱ型错误的概率 愈大， 反之，则犯Ⅱ型错 误的概率愈小， 但对Ⅰ型错误概率 没有影响;
影响两类错误概率 的因素
μ1
μ2
μ1
μ2
μ2
2°对于两个确定的 总体，降低犯Ⅰ型 错误的概率，必然 增加犯Ⅱ型错误的 概率; 反之β↘，α↗.
α=0.05(测验有否显著差异 *)
2.
α=0.01(测验有否极显著差异 **)
Figure 5. The hFOB proliferation (a) and Alizarin Red-S staining of mineral deposition (b) on the electrospun CTS, electrospun nanocomposite HAp/CS, and control TCP. (*P < 0.05, **P < 0.001).