中考数学题目之三角形分类训练四相似三角形鲁教版 (1)
2019版中考数学 三角形分类训练四 解直角三角形 鲁教版
2019版中考数学三角形分类训练四解直角三角形鲁教版典例诠释：考点一勾股定理及其逆定理的应用例1 (xx·大兴一模)《九章算术》中记载：“今有竹高一丈，末折抵地，去根三尺，问折者高几何？”译文：有一根竹子原高一丈(1丈=10尺)，中部有一处折断，竹梢触地面处离竹根3尺，试问折断处离地面多高？如图1-10-95，我们用线段OA和线段AB来表示竹子，其中线段AB表示竹子折断部分，用线段OB表示竹梢触地处离竹根的距离，则竹子折断处离地面的高度OA是尺.图1-10-95【答案】【名师点评】本题是以古代数学著作为背景，首先要读懂题目，哪些线段是已知，哪些线段是未知：OB=3，OA+AB=10，求OA的长，利用勾股定理即可得解.考点二求三角函数值例2 (xx·延庆一模)如图1-10-96，在4×4的正方形网格中，tan α的值等于( )图1-10-96A.2B.C.D.【答案】A【名师点评】求三角函数方法较多，解法灵活，在具体的解题中要根据已知条件采取灵活的计算方法．常用的方法有：①根据特殊的三角函数值求值；②直接应用三角函数定义;③借助变量之间的数量关系求值;④根据三角函数关系求值;⑤构造直角三角形求值.例3 (xx·怀柔二模)如图1-10-97，在地面上的点A处测得树顶B的仰角为α度，AC=7米，则树高BC为( )图1-10-97A．7sin α米B．7cos α米C．7tan α米D．(7+α)米【答案】C【名师点评】此题考查三角函数的定义和仰角的知识，已知∠A、AC，求BC，利用∠A 的正切值即可.考点三特殊三角函数值的计算例4 (xx·怀柔一模)2sin 45°－．【答案】 2【名师点评】此题考查了实数的运算，掌握零指数幂、负整数指数幂的运算法则是关键，另外要求我们熟练记忆一些特殊角的三角函数值．考点四解直角三角形例5 如图1-10-98，在△ABC中，∠A=30°，∠B=45°，AC=2，求AB的长.图1-10-98【答案】3+【名师点评】将斜三角形转化为直角三角形是解决三角形中有关计算的重要思想方法，解决的方法是作三角形的高．例6 (xx·东城二模)如图1-10-99，矩形ABCD中，M为BC上一点，F是AM的中点，EF ⊥AM，垂足为F，交AD于点E．(1)求证：∠BAM=∠AEF；(2)若AB=4，AD=6，cos∠BAM=，求DE的长.图1-10-99(1)【证明】∵四边形ABCD是矩形，∴∠B=∠BAD=90°.∵EF⊥AM，∴∠AFE=∠B=∠BAD=90°.∴∠BAM+∠EAF=∠AEF+∠EAF=90°.∴∠BAM=∠AEF.(2)【解】在Rt△ABM中，∠B=90°，AB=4，cos∠BAM=，∴AM=5.∵F为AM中点，∴AF=.∵∠BAM=∠AEF，∴cos∠BAM=cos∠AEF=.∴sin∠AEF=.在Rt△AEF中，∠AFE=90°，AF=，sin∠AEF=，∴AE=，∴DE=AD－AE=6－=.【名师点评】(1)通过“同角的余角相等”易证；(2)在△ABM中，知AB和∠BAM的余弦值可以得到AM的长，再利用相似或三角函数求AE的长，从而求出DE的长.考点五解直角三角形的应用例7 (xx·门头沟一模)如图1-10-100，A，B，C表示修建在一座山上的三个缆车站的位置，AB，BC表示连接缆车站的钢缆．已知A，B，C所处位置的海拔，，分别为130米，400米，1 000米．由点A测得点B的仰角为30°，由点B测得点C的仰角为45°，那么AB和BC 的总长度是( )图1-10-100A.1 200+270B.800+270C.540+600D.800+600【答案】C基础精练：1.(xx·平谷一模)在我国古代数学著作《九章算术》中记载了一道有趣的数学问题：“今有池方一丈，葭生其中央，出水一尺.引葭赴岸，适与岸齐.问水深、葭长各几何？”这个数学问题的意思是说：“有一个边长为1丈(1丈=10尺)的正方形水池，在水池正中央长有一根芦苇，芦苇露出水面1 尺．如果把这根芦苇拉向岸边，它的顶端恰好到达岸边的水面．请问这个水池的深度和这根芦苇的长度各是多少？”如图1-10-101，设这个水池的深度是x尺，根据题意，可列方程为．图1-10-101【答案】2.(xx·顺义一模)《算法统综》是中国古代数学名著，作者是我国明代数学家程大伟，在《算法统综》有一道“荡秋千”的问题:“平地秋千未起，踏板一尺离地．送行二步与人齐，五尺人高曾记，仕女家人争蹴．良工高士素好奇，算出索长有几？”译文：“有一架秋千，当它静止时，踏板离地1尺，将它往前推送10尺(水平距离)时，秋千的踏板就和人一样高，这个人的身高为5尺，秋千的绳索始终拉得很直，试问绳索有多长？”如图1-10-102，设秋千的绳索长为x尺，根据题意可列方程.【答案】图1-10-1023.如图1-10-103，有两棵树，一棵高12米，另一棵高6米，两树相距8米，一只鸟从一棵树的树梢飞到另一棵树的树梢，问小鸟至少飞行米．图1-10-103【答案】104.(xx·通州一模)在我国古算书《周髀算经》中记载周公与商高的谈话，其中就有勾股定理的最早文字记录，即“勾三股四弦五”，亦被称作商高定理. 如图1-10-104是由边长相等的小正方形和直角三角形构成的，可以用其面积关系验证勾股定理. 图1-10-105是由图1-10-104放入矩形内得到的，∠BAC=90°，AB=3，AC=4，D，E，F，G，H，I都在矩形KLMJ的边上，那么矩形KLMJ的面积为.图1-10-104 图1-10-105【答案】1106.(xx·丰台二模)如图1-10-106所示，河堤横断面迎水坡AB的坡角是30°，堤高BC= 5 m，则坡面AB的长度是( )图1-10-106A.10 mB.10 mC.15 mD.5 m【答案】A7.(xx·平谷二模)如图1-10-107，为测量一棵与地面垂直的树BC的高度，在距离树的底端4米的A处，测得树顶B的仰角∠α=74°，则树BC的高度为( )图1-10-107A.米B.4sin 74°米C.4tan 74°米D.4cos 74°米【答案】C8.(xx·西城一模)某滑雪场举办冰雪嘉年华活动，采用直升机航拍技术拍摄活动盛况．如图1-10-108，通过直升机的镜头C观测水平雪道一端A处的俯角为30°，另一端B处的俯角为45°．若直升机镜头C处的高度CD为300米，点A，D，B在同一直线上，则雪道AB 的长度为( )图1-10-108A．300米B．1 502米C．900米D．(300+300)米【答案】D9.(xx·顺义二模)如图1-10-109，为了使电线杆稳固的垂直于地面，两侧常用拉紧的钢丝绳索固定，由于钢丝绳的交点E在电线杆的上三分之一处，所以知道BE的高度就可以知道电线杆AB的高度了．要想得到BE的高度，需要测量出一些数据，然后通过计算得出.请你设计出要测量的对象：；请你写出计算AB高度的思路：.图1-10-109【解】∠BCE和线段BC；思路：①在Rt△BCE中，由tan∠BCE=，求出BE=BC·tan∠BCE，②由AE=AB，可求得BE=AB，AB=BE=BC·tan∠BCE．10.(xx·延庆一模)如图1-10-110，甲船在港口P的南偏西60°方向，距港口86海里的A处，沿AP方向以每小时15海里的速度匀速驶向港口P．乙船从港口P出发，沿南偏东45°方向匀速驶离港口P，现两船同时出发，2小时后乙船在甲船的正东方向．求乙船的航行速度．(结果精确到个位，参考数据：≈1.414，≈1.732，≈2.236)图1-10-110【解】依题意，设乙船速度为每小时x海里，2小时后甲船在点B处，乙船在点C处，PC=2x，如图1-10-111,过P作PD⊥BC于D，∴BP=86－2×15=56.图1-10-111在Rt△PDB中，∠PDB=90°,∠BPD=60°，∴P D=PB·cos 60°=28.在Rt△PDC中，∠PDC=90°，∠DPC=45°，∴PD=PC·cos 45°=·2x=x，∴x=28，即x=14≈20．答：乙船的航行速度为每小时20海里．11.(xx·通州二模)如图1-10-112，在ABCD中，∠1=∠2，∠3=∠4，EF∥AD，请直接写出与AE相等的线段(两条即可)，写出满足勾股定理的等式.(一组即可)图1-10-112【答案】AD，DF12.(xx·平谷二模)已知：如图1-10-113，∠ACB=90°，AC=BC , AD = BE, ∠CAD=∠CBE,(1)判断△DCE的形状，并说明你的理由；(2)当BD∶CD=1∶2，∠BDC=135°时，求sin∠BED的值.图1-10-113【解】(1)如图1-10-114.图1-10-114∵AC=BC,AD=BE,∠CAD=∠CBE,∴△ADC≌△BEC,∴DC=EC,∠1=∠2.∵∠1+∠BCD=90°，∴∠2+∠BCD=90°.∴△DCE是等腰直角三角形.(2)∵△DCE是等腰直角三角形，∴∠CDE=45°.∵∠BDC=135°，∴∠BDE=90°.∵BD∶CD=1∶2,设BD=x，则CD=2x，DE=2x，BE=3x.∴sin∠BED==.13.如图1-10-115所示，边长为1的小正方形构成的网格中，半径为1的⊙O的圆心O在格点上，则∠AED的正切值等于．图1-10-115【答案】14.(xx·丰台二模)将两个直角三角板按图1-10-116中方式叠放，BC=4，那么BD= .图1-10-116【答案】215.(xx·石景山一模)如图1-10-117，在四边形ABCD中，AB=2,∠A=∠C=60°,DB⊥AB于点B，∠DBC=45°，求BC的长.图1-10-117【解】如图1-10-118,过点D作DE⊥BC于点E.图1-10-118∵DB⊥AB,AB=2，∠A=60°，∴BD=AB·tan 60°=2.∵∠DBC=45°，DE⊥BC，∴BE=DE=BD·sin 45°=.∵∠C=∠A=60°，∠DEC=90°，∴CE==，∴BC=+.16.(xx·昌平一模)如图1-10-119，已知：BD是四边形ABCD的对角线，AB⊥BC，∠C=60°，AB=1，BC=3+，CD=2.(1)求tan∠ABD的值；(2)求AD的长.图1-10-119【解】(1)如图1-10-120,作DE⊥BC于点E.∵在Rt△CDE中，∠C=60°，CD=2，∴CE=,DE=3.∵BC=3+，∴BE=BC－CE=3+=3.∴DE=BE=3.∴在Rt△BDE中，∠EDB=∠EBD=45°.∵AB⊥BC，∠ABC=90°，∴∠ABD=∠ABC－∠EBD=45°.∴tan∠ABD=1.图1-10-120(2)如图1-10-120,作AF⊥BD于点F.在Rt△ABF中，∠ABF=45°,AB=1，∴BF=AF=.∵在Rt△BDE中，DE=BE=3，∴BD=3.∴DF=BD－BF=3=.∴在Rt△AFD中，AD==.17.(xx·西城一模)如图1-10-121，在ABCD中，过点A作AE⊥DC交DC的延长线于点E，过点D作DF∥EA交BA的延长线于点F．(1)求证：四边形AEDF是矩形；(2)连接BD，若AB=AE=2，tan∠FAD=，求BD的长．图1-10-121(1)【证明】∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB∥DC，即AF∥ED.∵DF∥EA,∴四边形AEDF是平行四边形.∵AE⊥DE，∴∠E=90°，∴四边形AEDF是矩形.(2)【解】如图1-10-122.精品-图1-10-122∵四边形AEDF是矩形，∴FD=AE=2，∠F=90°.∵在Rt△AFD中，tan∠FAD==，∴AF=5.∵AB=2，∴BF=AB+AF=7.∴在Rt△BFD中，BD==.真题演练：1.(xx·北京)计算：+4sin 45°－+|1－|.【答案】2.(xx·北京)如图1-10-123，在四边形ABCD中，对角线AC，BD交于点E，∠BAC＝90°，∠CED＝45°，∠DCE＝30°，DE＝，BE＝2.求CD的长和四边形ABCD的面积.图1-10-123【解】如图1-10-124,过点D作DH⊥AC，图1-10-124∵∠CED=45°，DH⊥EC，DE=，∴EH=DH=1.又∵∠DCE=30°，∴HC=，DC=2.∵∠AEB=45°，∠BAC=90°，BE=2，∴AB=AE=2，∴AC=2+1+=3+，∴=×2×(3+)+×1×(3+)=.-精品。
中考数学相似三角形分类专练 证明相似三角形中的对应线段成比例重难点专练(解析版)
同上，AB可以与DE对应，也可以与DF对应，∴相似比可能是 ，也可能是 ，C不一定成立；
∵∠A=∠D，即∠A与∠D是对应角，∴它们的对边一定是对应比，即BC与EF是对应比，
∴相似比为 ，∴D一定成立，
故选D．
【考点知悉】
本题考查相似三角形的性质，注意相似三角形的性质是针对对应角和对应边而言的．
17．如图，点D、E分别在 的边AB、AC上，且 ，若DE=3，BC=6，AC=8，则 _______．
18．如图，点D、E、F分别位于△ABC的三边上，满足DE∥BC，EF∥AB，如果AD：DB=3：2，那么BF：FC=_____．
19．如图，在△ABC中，AB＝9，AC＝6，D为AB边上一点，且△ABC∽△ACD，则AD＝__．
∴这个三角形的边长扩大到原来的4倍,
故选B.
【考点知悉】
本题考查了相似三角形的相似比和周长比之间的关系,属于简单题,熟练掌握相似三角形的性质是解题关键.
10．D
【思路点拨】
根据①直角三角形中,斜边上的高是两直角边在斜边上射影的比例中项.②每一条直角边是这条直角边在斜边上的射影和斜边的比例中项,进行判断即可.
30．如图， ， ， ， ，则 ________．
31．如图，△ABC中，DE∥BC, ,△ADE的面积为8，则△ABC的面积为______
三、解答题
32．已知：如图，AB是半圆O的直径，弦CD∥AB，动点P、Q分别在线段OC、CD上，且DQ＝OP，AP的延长线与射线OQ相交于点E、与弦CD相交于点F(点F与点C、D不重合)，AB＝20，cos∠AOC＝ .设OP＝x，△CPF的面积为y.
∴ ，
鲁教版初三数学《图形的相似》分类训练4(带答案)
鲁教版初三数学《图形的相似》分类训练4（带答案）知识点：相似三角形判定定理3：三边对应成比例的两个三角形相似一.选择题1.以下各图放置的小正方形的边长都相同，分别以小正方形的顶点为顶点画三角形，则与ABC 相似的三角形图形为（ ）2.三角形三边之比为5:4:3，与它相似的另一个三角形最短边为6，那么这个相似三角形的最长边为（ ）.A 6 .B 8 .C 10 .D 5 答案：C3.三角形三边之比为5:4:3，与它相似的另一个三角形最短边为6，那么这个相似三角形的周长为（ ）.A 12 .B 8 .C 10 .D 24 答案：D4.三角形三边之比为9:6:4，与它相似的另一个三角形最短边为8，那么这个相似三角形的最长边为（ ）.A 6 .B 8 .C 12 .D 18 答案：D5.三角形三边之比为6:5:4，与它相似的另一个三角形最长边为12，那么这个相似三角形的最短边为（ ）.A 6 .B 8 .C 12 .D 18 答案：B6.三角形三边之比为5:4:3，与它相似的另一个三角形最长边为10，那么这个相似三角形的周长为（ ）.A 16 .B 24 .C 12 .D 18 答案：B7.三角形三边之比为9:6:4，与它相似的另一个三角形最短边为8，那么这个相似三角形的周长为（ ）.A 19 .B 38 .C 28 .D 18 答案：B8. 已知三角形ABC 的三边长分别为65.43、、，能与其相似的三角形三边的长是（ ）.A 432、、 .B 543、、 .C 1086、、 .D 12104、、答案：A9. 已知三角形ABC 的三边长分别为55.32、、，能与其相似的三角形三边的长是（ ）.A 1074、、 .B 543、、 .C 1086、、 .D 12104、、答案：A10. 已知三角形ABC 的三边长分别为5.765.4、、，能与其相似的三角形三边的长是A B CA B C（ ）.A 1074、、 .B 543、、 .C 1076、、 .D 12104、、答案：B11. 已知三角形ABC 的三边长分别为186.122.7、、，能与其相似的三角形三边的长是（ ）.A 1074、、 .B 543、、 .C 1086、、 .D 12104、、答案：A12. 如图，若Q P C B A 、、、、、甲、乙、丙、丁都是方格纸中的格点，为使ABC ∆∽PQR ∆，则点R 应是甲、乙、丙、丁四点中的（ ）.A 甲 .B 乙 .C 丙 .D 丁答案：C 二.填空题13.一个三角形的三边之比为5:4:3，另一个三角形的最短边长为8，另外两边长为__________时，这两个三角形相似． 答案：340332， 14.一个三角形的三边之比为7:5:3，另一个三角形的最短边长为9，另外两边长为__________时，这两个三角形相似．答案：2115，15.一个三角形的三边之比为5:4:3，另一个三角形的最长边长为15，另外两边长为__________时，这两个三角形相似．答案：129，16.一个三角形的三边之比为7:5:3，另一个三角形的最长边长为14，另外两边长为__________时，这两个三角形相似．答案：106，17.一个三角形的三边之比为4:3:2，另一个三角形的最短边长为8，另外两边长为__________时，这两个三角形相似．答案：1612，18.一个三角形的三边之比为7:6:5，另一个三角形的最短边长为35，另外两边长为__________时，这两个三角形相似．答案：4942，19.一个三角形的三边之比为4:3:2，另一个三角形的最长边长为8，另外两边长为__________时，这两个三角形相似．答案：64，20.一个三角形的三边之比为7:6:5，另一个三角形的最长边长为28，另外两边长为__________时，这两个三角形相似．答案：2420，21. 如图，AEACDE BC AD AB ==，则与ABC ∠相等的角为___________. 答案：ADE ∠22. 如图，ABACDE BC AE AB ==，则与ABC ∠相等的角为___________. 答案：AED ∠23. 如图，AEACAD BC DE AB ==，则与ABC ∠相等的角为___________. 答案：ADE ∠24.在ABC ∆和DEF ∆中，若EFBCDF AC DE AB ==，且︒=∠45A ，则=∠D _________. 答案：︒4525.在ABC ∆和DEF ∆中，若EFBCDF AC DE AB ==，且︒=∠60B ，则=∠E _________. 答案：︒6026.在ABC ∆和DEF ∆中，若EFBCDE AC DF AB ==，且︒=∠︒=∠8060A B ，，则=∠E _________. 答案：︒4027.在ABC ∆和DEF ∆中，若DFBCDE AC EF AB ==，且︒=∠71B ，则=∠F _________. 答案：︒7128.在ABC ∆和DEF ∆中，若DFBCDE AC EF AB ==，且︒=∠107B ，则=∠F _________. 答案：︒10729.已知ABC ∆的三边为1086、、，DEF ∆的两边为1612、，要使ABC ∆与DEF ∆相似，则DEF ∆的第三边的长为___________.答案：2030.已知ABC ∆的三边为432、、，DEF ∆的两边为5.43、，要使ABC ∆与DEF ∆相似，则DEF ∆的第三边的长为___________.答案：631.已知ABC ∆的三边为13117、、，DEF ∆的两边为5.275.17、，要使ABC ∆与DEF ∆相似，则DEF ∆的第三边的长为___________. 答案：5.3232.已知ABC ∆的三边为863、、，DEF ∆的两边为189、，要使ABC ∆与DEF ∆相似，则DEF ∆的第三边的长为___________. 答案：2433. 如图，两个三角形的关系是________（填“相似”或“不相似”），理由：_________________________________________________________.\答案：相似，三边对应成比例的两个三角形相似34．一个三角形的边长分别是 cm 4、 cm 6、 cm 9，另一个与它相似的三角形的两边分别是 cm 2、 cm 3，那么这个三角形的第三边长为 cm . 答案：29或3435．一个三角形的边长分别是、cm 3、、cm 4、cm 316，另一个与它相似的三角形的两边分别是cm 6、cm 8，那么这个三角形的第三边长为 cm .答案：332或2936．一个铝质三角形框架三条边长分别为cm cm cm 363024、、，要做一个与它相似的铝质三角形框架，现有长为cm cm 4527、的两根铝材，要求以其中的一根为一边，从另一根上截下两段（允许有余料）作为另外两边，截法有_______种.答案：1 三.解答题37．如图，图中小方块是边长1的小正方形，求证：ABC ∆∽'''C B A ∆.38．如图，在单位长度为1的方格纸中，ABC ∆与DEF ∆是否相似？请说明你的理由.答案：相似39. 如图，某地四个乡镇D C B A 、、、之间建有公路，已知14=AB 千米，28=AD 千米，21=BD 千米，42=BC 千米，5.31=DC 千米，公路AB 与DC 平行吗？说明你的理由.答案：平行40.如图，已知ABC ∆的周长为a ，连接ABC ∆三边中点构成第二个三角形，再顺次连接第二个三角形各边中点构成第三个三角形，依次类推． （1）求第3个三角形的周长； （2）求第n 个三角形的周长；（3）求第2011个三角形的周长与第2010个三角形周长的比．四.证明题41.已知：如图，11D A AD 、分别是A B C ∆与111C B A ∆的中线，且111111D A ADC B BC B A AB ==, 求证：ABC ∆∽111C B A ∆CDB AC 1D 1B 1A 142.如图在正方形ABCD 中，F 是BC 上一点，AF EA ⊥，AE 交CD 的延长线于点E ，联结EF 交AD 于点G . 求证：EC DG FC BF ∙=∙.43.在正方形ABCD 中，E 是DC 上的一点，F 是BC 延长线上的一点，且BE CF CE ，=的延长线交DF 于G . 求证：BGF ∆∽DCF ∆44.如图，D 为ABC ∆内一点，E 为ABC ∆外一点，且满足AEACDE BC AD AB ==. 求证：（1）ABD ∆∽ACE ∆. （2）.ACE ABD ∠=∠.45.已知：如图， D 、E 、F 分别是ABC ∆的边BC 、CA 、AB 的中点.求证：DEF ∆∽ABC ∆.46.已知：如图， D 、E 、F 分别是ABC ∆的边BC 、CA 、AB 的中点.求证：DEF ∆∽ABC ∆.47.已知：如图，︒=∠90AOD ，点C B 、在线段OD 上，1====CD BC OB OA ， 求证：（1）ABC ∆∽DBA ∆ （2）︒=∠+∠+∠90D ACO ABODCBO A48.已知：如图，在ABC ∆中，AC AB =，点D 在边AC 上，点E 在边AC 的延长线上，且AE AD AC ∙=2.求证（1）ABD ∆∽AEB ∆；（2）BC 平分DBE ∠EDCBA49．如图，G 是ABC ∆的重心，延长AD ，使K GD DH ，=为BG 中点.求证：FKG ∆∽GHC ∆.。
鲁教版初中数学八年级下册《探索三角形相似的条件》基础训练1
4 探索三角形相似的条件一、请说一说什么是相似三角形答：_____________.通过探索和学习，你知道怎样判定两个三角形相似？那么请把你的判定方法写在下面吧.（1）_____________.（2）_____________.（3）_____________.二、请你填一填（1）如图4—6—1，在△ABC中，DE∥BC，AD=3 cm，BD=2 cm,△ADE 与△ABC是否相似________，若相似，相似比是________.图4—6—1（2）如图4—6—2，D、E分别为△ABC中AB、AC边上的点，请你添加一个条件，使△ADE与△ABC相似，你添加的条件是_____________（只需填上你认为正确的一种情况即可）.图4—6—2（3）如图4—6—3，测量小玻璃管口径的量具ABC中，AB的长是10毫米，AC被分成60等份.如果小管口DE正好对着量具上30份处（DE∥AB），那么小管口径DE的长是_____________毫米.图4—6—3（4）如图4—6—4，在Rt △ABC 中，∠ACB=90°，作CD ⊥AB 于点D ，则图中相似的三角形有________对，它们分别是_____________.图4—6—4三、认真选一选（1）下列各组图形中有可能不相似的是（ ） A.各有一个角是45°的两个等腰三角形 B.各有一个角是60°的两个等腰三角形 C.各有一个角是105°的两个等腰三角形 D.两个等腰直角三角形（2）△ABC 和△A′B′C′符合下列条件，其中使△ABC 和△A′B′C′不相似的是（ ）A.∠A=∠A ′=45° ∠B=26° ∠B ′=109°B.AB=1 AC=1.5 BC=2 A′B′=4 A′C′=2 B′C′=3C.∠A=∠B′ AB=2 AC=2.4 A′B′=3.6 B′C′=3D.AB=3 AC=5 BC=7 A′B′=3A′C′=5B′C′=7（3）如图4—6—5，AB ∥CD ，AD 与BC 相交于点O ，那么在下列比例式中，正确的是（ ）A.AD OACD AB = B.BC OBOD OA = C.OC OBCD AB =D.OD OBAD BC =图4—6—5 图4—6—6 （4）如图4—6—6，D为△ABC的边AB上一点，且∠ABC=∠ACD，AD=3 cm, AB=4 cm，则AC的长为（）A.2 cmB.3cmC.12 cmD.23cm四、用数学眼光看世界图4—6—7如图4—6—7，长梯AB斜靠在墙壁上，梯脚B距墙80 cm，梯上点D距墙70 cm，量得BD长55 cm，求梯子的长.参考答案一、答：对应角相等、对应边成比例的两个三角形是相似三角形 判定两个三角形相似的方法详见课本，略.二、（1）相似 3∶5 （2）∠C=∠ADE （或∠B=∠AED 等）（3）5 （4）三 △ACD ∽△ABC △BCD ∽△BAC △ACD ∽△CBD 三、（1）A （2）D （3）C （4）D 四、解：设梯子的长AB 为x cm （如图）由Rt △ADE ∽Rt △ABC 得：ABADBC DE =∴xx 558070-=解得：x=440答：梯子的长是440 cm.。
初中数学经典相似三角形练习题附参考答案
经典练习题相似三角形（附答案）一．解答题（共30小题）1．如图，在△中，∥，∥，求证：△∽△．2．如图，梯形中，∥，点F在上，连与的延长线交于点G．（1）求证：△∽△；（2）当点F是的中点时，过F作∥交于点E，若6，4，求的长．3．如图，点D，E在上，且∥，∥．求证：△∽△．4．如图，已知E是矩形的边上一点，⊥于F，试说明：△∽△．5．已知：如图①所示，在△和△中，，，∠∠，且点B，A，D在一条直线上，连接，，M，N分别为，的中点．（1）求证：①；②△是等腰三角形；（2）在图①的基础上，将△绕点A按顺时针方向旋转180°，其他条件不变，得到图②所示的图形．请直接写出（1）中的两个结论是否仍然成立；（3）在（2）的条件下，请你在图②中延长交线段于点P．求证：△∽△．6．如图，E是▱的边延长线上一点，连接，交于点F．在不添加辅助线的情况下，请你写出图中所有的相似三角形，并任选一对相似三角形给予证明．7．如图，在4×3的正方形方格中，△和△的顶点都在边长为1的小正方形的顶点上．（1）填空：∠°，；（2）判断△与△是否相似，并证明你的结论．8．如图，已知矩形的边长3，6．某一时刻，动点M从A点出发沿方向以1的速度向B点匀速运动；同时，动点N从D点出发沿方向以2的速度向A点匀速运动，问：（1）经过多少时间，△的面积等于矩形面积的？（2）是否存在时刻t，使以A，M，N为顶点的三角形与△相似？若存在，求t的值；若不存在，请说明理由．9．如图，在梯形中，若∥，，对角线、把梯形分成了四个小三角形．（1）列出从这四个小三角形中任选两个三角形的所有可能情况，并求出选取到的两个三角形是相似三角形的概率是多少；（注意：全等看成相似的特例）（2）请你任选一组相似三角形，并给出证明．10．如图△中，D为上一点，2，∠45°，∠60°，⊥于E，连接．（1）写出图中所有相等的线段，并加以证明；（2）图中有无相似三角形？若有，请写出一对；若没有，请说明理由；（3）求△与△的面积之比．11．如图，在△中，，M为底边上的任意一点，过点M分别作、的平行线交于P，交于Q．（1）求四边形的周长；（2）写出图中的两对相似三角形（不需证明）；（3）M位于的什么位置时，四边形为菱形并证明你的结论．12．已知：P是正方形的边上的点，且3，M是的中点，试说明：△∽△．13．如图，已知梯形中，∥，2，8，10．（1）求梯形的面积S；（2）动点P从点B出发，以1的速度，沿B⇒A⇒D⇒C方向，向点C运动；动点Q从点C出发，以1的速度，沿C⇒D⇒A方向，向点A运动，过点Q作⊥于点E．若P、Q两点同时出发，当其中一点到达目的地时整个运动随之结束，设运动时间为t秒．问：①当点P在B⇒A上运动时，是否存在这样的t，使得直线将梯形的周长平分？若存在，请求出t的值；若不存在，请说明理由；②在运动过程中，是否存在这样的t，使得以P、A、D为顶点的三角形与△相似？若存在，请求出所有符合条件的t的值；若不存在，请说明理由；③在运动过程中，是否存在这样的t，使得以P、D、Q为顶点的三角形恰好是以为一腰的等腰三角形？若存在，请求出所有符合条件的t的值；若不存在，请说明理由．14．已知矩形，长12，宽8，P、Q分别是、上运动的两点．若P自点A 出发，以1的速度沿方向运动，同时，Q自点B出发以2的速度沿方向运动，问经过几秒，以P、B、Q为顶点的三角形与△相似？15．如图，在△中，10，20，点P从点A开始沿边向B点以2的速度移动，点Q从点B开始沿边向点C以4的速度移动，如果P、Q分别从A、B同时出发，问经过几秒钟，△与△相似．16．如图，∠∠90°，，2．问当的长为多少时，这两个直角三角形相似．17．已知，如图，在边长为a的正方形中，M是的中点，能否在边上找一点N（不含A、B），使得△与△相似？若能，请给出证明，若不能，请说明理由．18．如图在△中，∠90°，8，6，点Q从B出发，沿方向以2的速度移动，点P从C出发，沿方向以1的速度移动．若Q、P分别同时从B、C出发，试探究经过多少秒后，以点C、P、Q为顶点的三角形与△相似？19．如图所示，梯形中，∥，∠90°，7，2，3，试在腰上确定点P的位置，使得以P，A，D为顶点的三角形与以P，B，C为顶点的三角形相似．20．△和△是两个等腰直角三角形，∠∠90°，△的顶点E位于边的中点上．（1）如图1，设与交于点M，与交于点N，求证：△∽△；（2）如图2，将△绕点E旋转，使得与的延长线交于点M，与交于点N，于是，除（1）中的一对相似三角形外，能否再找出一对相似三角形并证明你的结论．21．如图，在矩形中，15，10，点P沿边从点A开始向B以2的速度移动；点Q沿边从点D开始向点A以1的速度移动．如果P、Q同时出发，用t （秒）表示移动的时间，那么当t为何值时，以点Q、A、P为顶点的三角形与△相似．22．如图，路灯（P点）距地面8米，身高1.6米的小明从距路灯的底部（O 点）20米的A点，沿所在的直线行走14米到B点时，身影的长度是变长了还是变短了？变长或变短了多少米？23．阳光明媚的一天，数学兴趣小组的同学们去测量一棵树的高度（这棵树底部可以到达，顶部不易到达），他们带了以下测量工具：皮尺，标杆，一副三角尺，小平面镜．请你在他们提供的测量工具中选出所需工具，设计一种测量方案．（1）所需的测量工具是：；（2）请在下图中画出测量示意图；（3）设树高的长度为x，请用所测数据（用小写字母表示）求出x．24．问题背景在某次活动课中，甲、乙、丙三个学习小组于同一时刻在阳光下对校园中一些物体进行了测量．下面是他们通过测量得到的一些信息：甲组：如图1，测得一根直立于平地，长为80的竹竿的影长为60．乙组：如图2，测得学校旗杆的影长为900．丙组：如图3，测得校园景灯（灯罩视为球体，灯杆为圆柱体，其粗细忽略不计）的高度为200，影长为156．任务要求：（1）请根据甲、乙两组得到的信息计算出学校旗杆的高度；（2）如图3，设太阳光线与⊙O相切于点M．请根据甲、丙两组得到的信息，求景灯灯罩的半径．（友情提示：如图3，景灯的影长等于线段的影长；需要时可采用等式1562+2082=2602）25．阳光通过窗口照射到室内，在地面上留下2.7m宽的亮区（如图所示），已知亮区到窗口下的墙脚距离8.7m，窗口高1.8m，求窗口底边离地面的高．26．如图，李华晚上在路灯下散步．已知李华的身高，灯柱的高′P′，两灯柱之间的距离′．（1）若李华距灯柱的水平距离，求他影子的长；（2）若李华在两路灯之间行走，则他前后的两个影子的长度之和（）是否是定值请说明理由；（3）若李华在点A朝着影子（如图箭头）的方向以v1匀速行走，试求他影子的顶端在地面上移动的速度v2．27．如图①，分别以直角三角形三边为直径向外作三个半圆，其面积分别用S1，S2，S3表示，则不难证明S123．（1）如图②，分别以直角三角形三边为边向外作三个正方形，其面积分别用S1，S2，S3表示，那么S1，S2，S3之间有什么关系；（不必证明）（2）如图③，分别以直角三角形三边为边向外作三个正三角形，其面积分别用S1、S2、S3表示，请你确定S1，S2，S3之间的关系并加以证明；（3）若分别以直角三角形三边为边向外作三个一般三角形，其面积分别用S1，S2，S3表示，为使S1，S2，S3之间仍具有与（2）相同的关系，所作三角形应满足什么条件证明你的结论；（4）类比（1），（2），（3）的结论，请你总结出一个更具一般意义的结论．28．已知：如图，△∽△，15，9，5．求．29．已知：如图△∽△，若3，4．（1）求、的长；（2）过B作⊥于E，求的长．30．（1）已知，且34z﹣240，求x，y，z的值；（2）已知：两相似三角形对应高的比为3：10，且这两个三角形的周长差为560，求它们的周长．参考答案与试题解析一．解答题（共30小题）1．如图，在△中，∥，∥，求证：△∽△．考点：相似三角形的判定；平行线的性质。
鲁教版2019初三下册第九章相似三角形习题归类(利用相似测高) - 副本
鲁教版2019初三下册第九章相似三角形习题归类（利用相似测高）（一）利用影子长测量物体的高度典例：某些同学想测量旗杆A B 的高度，他们在某一时刻测得1m 长的竹竿C D 竖直放置时影长D M 为 1.5m ，在同一时刻测量旗杆A B 的影长时，因旗杆靠近一幢楼房，影子不全落在地面上，有一部分落在墙上，他们测得落在地面上的影长B F 为21m ，留在墙上的影高E F 为2m ，试求出旗杆A B 的高度吗？思路导析:过F 作HF ∥AE,因为太阳的光线是平行的、旗杆和墙都垂直于地面DF,所以四边形AHFE 为平行四边形,AH=FE,利用△CDM ∽△HBF的比例式求出BH,再加上EF 的长就是旗杆的高度。
解:过F 作HF ∥AE,交AB 于H∵CM ∥AE ∥HF,CD ⊥DF, AB ⊥DF,∴∠CMD=∠HFB,∠CDB=∠HBF=90°∴△CDM ∽△HBF∴BH CD =BFDM 又∵CD=1m,DM=1.5m,BF=21m, ∴BH 1=215.1, 解得BH=14(m)∴AB=BH+AH=BH+EF=l4+2=16(m)即旗杆AB 的高度为16m方法总结：这属于利用太阳光下的影子测量物体的高度,当影子完全落地时,同一时刻物体的物高与影长成正比;当影子不完全落在地面上时,用以下方法解决:（1）对于旗杆(或其他物体)的影子落在墙上时(顶端在墙上),此时会出现平行四边形,即这部分旗杆(或其他物体)与其影子等长,而不是影长等于BF+EF 、(2)此时亦可过点E 作EG ⊥AB 于点G,可得矩形BFEG 、所以EF=BG,再利用△AGE ∽△CDM 求出AG,再加上EF 的长,即可求旗杆的高度变式１数学兴趣小组的同学要测量树的高度，在阳光下,一名同学测得一根长为1米的竹竿的影长为0.5米,同时另一名同学测量树的高度时,发现树的影子不全落在地面上,有一部分落在教学楼的第一级台阶上,测得此影子长为0.2米,一级台阶高为0.3米,如图所示,若此时落在地面上的影长为4.4米,求树高为多少米?典例2：如图所示,夜晚路灯下,小明在点D 处测得自己影长DE=4m,在点C 处测得自己影长DG=3m,E,D,G,B 在同一条直线上,已知小明身高为1.6m,求灯杆AB 的高度分析：先证明△ECD ∽△EAB ，利用相似比得到AB CD =EB ED ，即AB 6.1 = BG++344 ，再证明△DFG ∽△DAB ，利用相似比得到 AB FG =DB DG ，即AB 6.1 =BG +33 ，于是得到BG ++344 =BG+33 ，可解得BG=9，然后利用AB 6.1 = 933+,求AB 的长． 解：∵CD ∥AB ，∴△ECD ∽△EAB ， ∴AB CD =EB ED ，即AB 6.1 = BG++344， ∵FG ∥AB ，∴△DFG ∽△DAB ， ∴AB FG =DB DG ，即AB 6.1 =BG+33 , ∴BG ++344 =BG+33 ，解得BG=9， ∴AB 6.1 = 933+, ， ∴AB=6.4（m ），即灯杆AB 的高度为6.4m ．方法总结：这属于利用灯光下的影子测量物体的高度,解题的关键是先根据题意找出相似三角形,然后根据对应边成比例列出方程,建立适当的数学模型来解决问题.变式２如图所示,丁轩同学在晚上由路灯AC 走向路灯BD,当他走到点P 时,发现身后他影子的顶部刚好接触到路灯AC 的底部,当他向前再步行20m 到达Q 点时,发现身前他影子的顶部刚好接触到路灯BD 的底部,已知丁轩同学的身高是1.5m,两个路灯的高度都是9m,求两路灯之间的距离是多少米?(二):利用标杆的高度测量物体的高度典例：如图，直立在点B 处的标杆AB 长2.5m ，站立在点F 处的观察者从点E 处看到标杆顶A,旗杆顶C 在一条直线上．已知BD=9m ，FB=3m ，EF=1.7m ，求旗杆高CD ．思路导析:过E 作EH ⊥CD 交CD 于H 点,交AB 于点G,可证明四边形EFDH 为长方形,可得HD 的长;可证明△AEG ∽△CEH,故可求得CH 的长,所以树高CD 的长即可知解:过E 作EH ⊥CD 交CD 于H点,交AB 于点G,如图所示:由已知得,EF ⊥FD,AB ⊥FD,CD ⊥FD,∵EH ⊥CD,EH ⊥AB,∴四边形EFDH 为矩形∴ EF=GB=DH=1.7,EG=FB=3,GH=BD=9∴AG=AB-GB=0.8,∵EH ⊥CD,EH ⊥AB,∴AG ∥CH∴△AEG ∽△CEH 、 ∴GH AG =GHGE ∵EH=EG+GH=12, ∴CH=EG EH AG =3.2 ∴CD=CH+HD=4.9答:故树高DC 为4.9米变式3如图所示,某校数学兴趣小组利用自制的直角三角形硬纸板DEF 来测量操场旗杆AB 的高度,他们通过调整测量位置,使斜边DF与地面保持平行并使直角边DE 与旗杆顶点A 在同一直线上,已知DE=0.5米,EF=0.25米,且测点D 到地面的距离DG=1.5米,到旗杆的水平距离DC=25米,求旗杆AB 的高度变式4如图所示,操场上有一根旗杆AH,为测量它的高度,在B 和D处各立一根高1.5米的标杆BC,DE,两杆相距30米,测得视线AC 与地面的交点为F,视线AE 与地面的交点为G,并且H,B,F,D,G 都在同一直线上,测得BF 为3米,DG 为5米,求旗杆AH 的高度（三）:利用镜面的反射测量物体的高度典例：小玲用下面的方法来测量学校教学大楼AB 的高度：如图，在水平地面上放一面平面镜，镜子与教学大楼的距离EA=12米．当她与镜子的距离CE=2米时，她刚好能从镜子中看到教学大楼的顶端B ．已知她的眼睛距地面高度DC=1.5米．请你帮助小玲计算出教学大楼的高度AB 是多少米？（注意：根据光的反射定律：反射角等于入射角）D思路导析:先根据题意得出△ABE ∽△CDE,再由相似三角形的对应边成比例即可得出结论、 解:由题意得,∠AEB=∠CED, ∠BAE=∠DCE=90°∴△ABE ∽△CDE ∴CD AB =CE AE ,5.1AB =212 ∴AB=9(米)答:教学大楼的高度AB 是9米方法总结:利用镜面反射测量物体的高度,主要是利用物理学中的“反射角等于入射角”的知识,可以知道入射光线与反射光线与地面的夹角相等,找到对锐角对应相等,创造相似的条件,构造所需要的比例式,求出物体的高度。
鲁教五四学制版八年级下册数学：图形相似有关的典型例题解析(1)
优秀导学案评选
优秀小组：一组、四组、七组、九组 较优秀小组：二组、五组、 待优秀小组：三组、六组、十组
+5分
+3分 +1分
待提高小组：八组、
优秀个人：聂茹冰、靳欣园、刘豫阳、连亚超、
鲍林茹、刘垚、宋姗姗、张保忠... +2分
潜力之星：乔胜利、岳宗钊、李子超、张市彪...
1.什么是相似三角形？ 2.相似三角形有什么
2.相似三角形的基本构图：
A 字 形
一
8
线
字
三
形
等
角
课堂优秀小结
课后作业：
1.完成导学案的训练案；
2.完成数学试题研究P53--54 页.(必做)
课后思考：
《说明与检测》上册综合测试 三第22题.(选做)
方法在手，中考无忧！
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请准备好你的数学试题研究，导 学案，练习本，笔等学习用具。
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相似三角形--典型例题解析
学习目标
1.掌握相似三角形的定义，判 定和性质;(重点) 2.熟悉相似三角形的基本构图， 并能综合运用其性质特点解决 典型问题; (难点) 3.培养观察、归纳、合作学习、 克服困难的能力，积累学习经验.
B
C
B
CE 6 9 21
C
22
1.△ADE ∽△ABC
△ADE与△ABC相似
顶点一定是一一 对应的。
顶点不一定对应， 考虑分情况。
2.相似三角形的基本构图：
A 字 形
8 字 形
min
探究内容：已知点B,E,C在同一条直线上， 若∠B=∠AED=∠C=90°,AE=ED,AB=6， BC=7， (1)求CD的长. (2)若AE与ED不相等，BE=3，其它条件不 变，求CD的长. (3)若∆ABC的边长为3的等边三角形，点E 为边BC上一点，BE=1，点D为AC边上一 点，∠AED=60°,求CD的长.
鲁教版2019中考复习相似三角形专项训练四(综合题)
鲁教版2019中考复习相似三角形专项训练四（综合题）1.如图，矩形ABCD中,以对角线BD为一边构造一个矩形BDEF,使得另一边EF过原矩形的顶点C.(1)设R t△CBD的面积为S1, R t△BFC的面积为S2, R t△DCE的面积为S3 ,则S1______ S2+ S3(用“>”、“=”、“<”填空)；（2）写出题22图中的三对相似三角形，并选择其中一对进行证明.2.有一副直角三角板,在三角板ABC中,∠BAC=90°,AB=AC=6,在三角板DEF中,4.将这副直角三角板按如题25图(1)所示位置摆放,点B与点F ∠FDE=90°,DF=4,DE=3重合,直角边BA与FD在同一条直线上.现固定三角板ABC,将三角板DEF沿射线BA方向平行移动,当点F运动到点A时停止运动.(1)如题25图(2),当三角板DEF运动到点D与点A重合时,设EF与BC交于点M,则∠EMC=______度；(2)如题25图（3），在三角板DEF运动过程中,当EF经过点C时,求FC的长;(3)在三角板DEF运动过程中,设BF=x,两块三角板重叠部分面积为y,求y与x的函数解析式,并求出对应的x取值范围.3.如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=4cm，BC=3cm．动点M，N从点C同时出发，均以每秒1cm的速度分别沿CA、CB向终点A，B移动，同时动点P从点B出发，以每秒2cm 的速度沿BA向终点A移动，连接PM，PN，设移动时间为t（单位：秒，0＜t＜2.5）．（1）当t为何值时，以A，P，M为顶点的三角形与△ABC相似？（2）是否存在某一时刻t，使四边形APNC的面积S有最小值？若存在，求S的最小值；若不存在，请说明理由．4.如图，在边长为3的正方形ABCD中，点E是BC边上的点，BE=1，∠AEP=90°，且EP 交正方形外角的平分线CP于点P，交边CD于点F，（1）的值为；（2）求证：AE=EP；（3）在AB边上是否存在点M，使得四边形DMEP是平行四边形？若存在，请给予证明；若不存在，请说明理由．5.如图，四边形ABCD中，AC平分∠DAB，∠ADC=∠ACB=90°，E为AB的中点，（1）求证：AC2=AB•AD；（2）求证：CE∥AD；（3）若AD=4，AB=6，求的值．6.如图，点O为矩形ABCD的对称中心，AB=10cm，BC=12cm，点E、F、G分别从A、B、C三点同时出发，沿矩形的边按逆时针方向匀速运动，点E的运动速度为1cm/s，点F的运动速度为3cm/s，点G的运动速度为1.5cm/s，当点F到达点C（即点F与点C重合）时，三个点随之停止运动．在运动过程中，△EBF关于直线EF的对称图形是△EB′F．设点E、F、G运动的时间为t（单位：s）．（1）当t= 2.5s时，四边形EBFB′为正方形；（2）若以点E、B、F为顶点的三角形与以点F，C，G为顶点的三角形相似，求t的值；（3）是否存在实数t，使得点B′与点O重合？若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由．7.如图1，△ABC中，CA=CB，点O在高CH上，OD⊥CA于点D，OE⊥CB于点E，以O 为圆心，OD为半径作⊙O．（1）求证：⊙O与CB相切于点E；（2）如图2，若⊙O过点H，且AC=5，AB=6，连接EH，求△BHE的面积和tan∠BHE的值．8.阅读理解：如图1，在四边形ABCD的边AB上任取一点E（点E不与点A、点B重合），分别连接ED，EC，可以把四边形ABCD分成三个三角形，如果其中有两个三角形相似，我们就把E叫做四边形ABCD的边AB上的相似点；如果这三个三角形都相似，我们就把E叫做四边形ABCD 的边AB上的强相似点．解决问题：（1）如图1，∠A=∠B=∠DEC=55°，试判断点E是否是四边形ABCD的边AB上的相似点，并说明理由；（2）如图2，在矩形ABCD中，AB=5，BC=2，且A，B，C，D四点均在正方形网格（网格中每个小正方形的边长为1）的格点（即每个小正方形的顶点）上，试在图2中画出矩形ABCD的边AB上的一个强相似点E；拓展探究：（3）如图3，将矩形ABCD沿CM折叠，使点D落在AB边上的点E处．若点E恰好是四边形ABCM的边AB上的一个强相似点，试探究AB和BC的数量关系．9.如图1，点C 将线段AB 分成两部分，如果AC BCAB AC=，那么称点C 为线段AB 的黄金分割点。
山东省中考数学相似三角形课件
相似三角形
E
E
F
M
F N
G
G
若G为BC中点,EG交AB于点F,且EF:FG=2:3, 试求AF:FB的值.
添平行线构造相似三角形的基本图形。
基本图形2
“A”字型 当∠ADE＝ ∠C 时，△ADE∽ △ACB.
问：是否存在这样的m，使得⊿BPQ与⊿BDA相似？ 如存在，请求出m的值；若不存在，请说明理由。
yA
B(-3,0) O
D
C(1,0) x
用一用
y
PP
B(-3,0) Q O Q
tan∠ABC=
A
D
C (1,0)x
3 4
(1)当PQ∥AD时，⊿BPQ∽ ⊿BAD
则 BP BQ BA BD
即：
m 5
相似三角形
回顾与反思
判定两个三角形相似的方法：
1.定义：对应角相等，对应边成比例的两个三角形 叫做相似三角形. 2.平行三角形一边的直线和其他两边相交(或两边的延 长线),所构成的三角形与原三角形相似. 3.三边对应成比例的两个三角形相似。 4.两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似。 5. 两角对应相等的两个三角形相似。
基本图形2
A F
B
C
添加一个条件使得△BCF∽ △BAC.
当∠BCF＝ ∠A 时，△BCF∽ △BAC.
基本图形2
(1) 如图①，∠BCF=∠CAF,BC=6,AF=5, 你能求出BF的长吗? BF=4
(2) 如图②，BC是圆O的切线，切点为C.移动点A, 使AC成为⊙O的直径,你还能得到哪些结论?
新鲁教版 相似三角形的性质
2 1
结论：A相似三D 角形对应B 角A平' 分线D的' 比等于相B似' 比.
C' C
A
D
B A'
D'
B'
（3）如果CD和C’D’分别是它们的对应中线 , 那么CD 等于多少呢?请证明。
C' D'
结论：相似三角形对应中线的比等于相似比.
相似三角形的性质：
定理：相似三角形对应高的比, 对应角平分线的比， 对应中线的比都等于相似比.
∴
BB'DD'
AA'CC'
2 3
（相似三角形对应中线的比等于相似比）
∴
BD 4
2 3
∴ BD 8 cm
3
解决问题
如图, AD是△ABC的高, 点P,Q在BC边上，点 S、R分别在AB、AC上. BC=60cm，高AD=40cm， 四边形PQRS是正方形
(1)△ASR与△ABC相似吗
?为什么?
△ABC~△A'B'C
A
A'
所以 AB BC 60
A'B' B'C' 72
B
又 AB=15厘米
B'C'=24厘米
C B'
所以 A'B'=18厘米 BC=20厘米
C'
故 AC=60–15–20=25（厘米）A'C'=72–18–24=30（厘米 ）
课堂小结 ☞
同学们：经历了这节课的探索学 习，你有什么收获呢？请说说看。
A
(2)求正方形PQRS的边 长.
鲁教版初中数学中考复习5-《相似三角形》
专题复习（5）内容：相似三角形相似三角形的几种基本图形：（1）如图： 称为“平行线型”的相似三角形.（2）如图：其中∠1=∠2，则△ADE ∽△ABC 称为“相交线型”的相似三角形.AB CD E 12AABBCCDD EE12412B CD AAB C DDE EB EADC两垂直两垂直两垂直三垂直（3）如图：∠1=∠2，∠B=∠D，则△ADE∽△ABC，称为“旋转型”的相似三角形.（也叫做“手拉手”）（4）一线三等角型《相似三角形练习题》一．选择题（共13小题）1．如图，在△ABC中，DE∥BC，DB=2AD，△ADE的面积为1，则四边形DBCE的面积为（）A．3 B．5 C．6 D．82．如图，点F在平行四边形ABCD的边AB上，射线CF交DA的延长线于点E，在不添加辅助线的情况下，与△AEF相似的三角形有（）A．0个B．1个 C．2个 D．3个3．如图，△ABC中，∠A=78°，AB=4，AC=6．将△ABC沿图示中的虚线剪开，剪下的阴影三角形与原三角形不相似的是（）A． B．C． D．第1题图第2题图第3题图BEACD124．如图，在△ABC中，D、E分别是AB、AC的中点，下列说法中不正确的是（）A．DE=BC B．=C．△ADE∽△ABC D．S△ADE：S△ABC=1：25．若=，则的值为（）A．1 B．C．D．6．如图，△ABC中，AD是中线，BC=8，∠B=∠DAC，则线段AC的长为（）A．4 B．4C．6 D．47．如图，D、E分别是△ABC的边AB、BC上的点，且DE∥AC，AE、CD相交于点O，若S△DOE ：S△COA=1：25，则S△BDE与S△CDE的比是（）A．1：3 B．1：4 C．1：5 D．1：25第4题图第6题图第7题图8．如图，已知AB、CD、EF都与BD垂直，垂足分别是B、D、F，且AB=1，CD=3，那么EF的长是（）A．B．C．D．9．如图，D是△ABC的边BC上一点，AB=8，AD=4，∠DAC=∠B．如果△ABD的面积为15，那么△ACD的面积为（）A．15 B．10 C．D．510．如图，在△ABC中，中线BE，CD相交于点O，连接DE，下列结论：①=；②=；③=；④=其中正确的个数有（）A．1个B．2个 C．3个 D．4个第8题图第9题图第10题图11．如果一个直角三角形的两条边长分别是6和8，另一个与它相似的直角三角形边长分别是3和4及x，那么x的值（）A．只有1个B．可以有2个C．有2个以上，但有限D．有无数个12．如图，在△ABC中，D、E分别是AB、BC上的点，且DE∥AC，若S△BDE：S△CDE= 1：4，则S△BDE：S△ACD=（）A．1：16 B．1：18 C．1：20 D．1：2413．如图，△ABC与△A′B′C′都是等腰三角形，且AB=AC=5，A′B′=A′C′=3，若∠B+∠B′=90°，则△ABC与△A′B′C′的面积比为（）A．25：9 B．5：3 C．：D．5：314．如图，P为平行四边形ABCD边AD上一点，E、F分别是PB、PC（靠近点P）的三等分点，△PEF、△PDC、△PAB的面积分别为S1、S2、S3，若AD=2，AB=2，∠A=60°，则S1+S2+S3的值为（）A．B．C．D．4第12题图第13题图第14题图二．填空题（共13小题）15．如图，在△ABC中，D、E分别是边AB、AC上的点，且DE∥BC，若△ADE与△ABC 的周长之比为2：3，AD=4，则DB=．16．如图，放映幻灯时，通过光源，把幻灯片上的图形放大到屏幕上，若光源到幻灯片的距离为20cm，到屏幕的距离为60cm，且幻灯片中的图形的高度为6cm，则屏幕上图形的高度为cm．17．如图，矩形EFGH内接于△ABC，且边FG落在BC上，若AD⊥BC，BC=3，AD=2，EF=EH，那么EH的长为．第15题图第16题图第17题图18．如图，矩形ABCD中，AB=，BC=，点E在对角线BD上，且BE=1.8，连接AE 并延长交DC于点F，则=．19．如图，已知△ABC、△DCE、△FEG、△HGI是4个全等的等腰三角形，底边BC、CE、EG、GI在同一直线上，且AB=2，BC=1，连接AI，交FG于点Q，则QI=．第18题图第19题图20．如图，已知△ABC和△DEC的面积相等，点E在BC边上，DE∥AB交AC于点F，AB=12，EF=9，则DF的长是．21．已知：在平行四边形ABCD中，点E在直线AD上，AE=AD，连接CE交BD于点F，则EF：FC的值是．22．在△ABC中，D为AB边上一点，且∠BCD=∠A．已知BC=，AB=3，则BD=．23．如图，在平行四边形ABCD中，点E是边AD的中点，EC交对角线BD于点F，若S△DEC=3，则S△BCF=．24．如图，在△ABC中，点D，E，F分别在AB，AC，BC上，DE∥BC，EF∥AB．若AB=8，BD=3，BF=4，则FC的长为．第20题图第22题图第23题图第24题图25．如图，平行于BC的直线DE把△ABC分成的两部分面积相等，则=．26．如图，AC⊥CD，垂足为点C，BD⊥CD，垂足为点D，AB与CD交于点O．若AC=1，BD=2，CD=4，则AB=．27．如图，直角三角形ABC中，∠ACB=90°，AB=10，BC=6，在线段AB上取一点D，作DF⊥AB交AC于点F，现将△ADF沿DF折叠，使点A落在线段DB上，对应点记为A1；AD的中点E的对应点记为E1，若△E1FA1∽△E1BF，则AD=．第25题图第26题图第27题图28．如图，某水平地面上建筑物的高度为AB，在点D和点F处分别竖立高是2米的标杆CD和EF，两标杆相隔52米，并且建筑物AB、标杆CD和EF在同一竖直平面内，从标杆CD后退2米到点G处，在G处测得建筑物顶端A和标杆顶端C在同一条直线上；从标杆FE后退4米到点H处，在H处测得建筑物顶端A和标杆顶端E在同一条直线上，则建筑物的高是米．29．已知矩形ABCD中，AB=1，在BC上取一点E，将△ABE沿AE向上折叠，使B点落在AD上的F点．若四边形EFDC与矩形ABCD相似，则AD=．第28题图第29题图三．解答题（共4小题）30．如图，在△ABC中，AD⊥BC，BE⊥AC，垂足分别为D，E，AD与BE相交于点F．（1）求证：△ACD∽△BFD；（2）当tan∠ABD=1，AC=3时，求BF的长．31．如图，正方形ABCD中，M为BC上一点，F是AM的中点，EF⊥AM，垂足为F，交AD的延长线于点E，交DC于点N．（1）求证：△ABM∽△EFA；（2）若AB=12，BM=5，求DE的长．32．如图，在菱形ABCD中，G是BD上一点，连接CG并延长交BA的延长线于点F，交AD于点E．（1）求证：AG=CG．（2）求证：AG2=GE•GF．33．如图，E是矩形ABCD的边BC上一点，EF⊥AE，EF分别交AC，CD于点M，F，BG ⊥AC，垂足为G，BG交AE于点H．（1）求证：△ABE∽△ECF；（2）找出与△ABH相似的三角形，并证明；（3）若E是BC中点，BC=2AB，AB=2，求EM的长．34．如图，四边形ABCD中，AC平分∠DAB，∠ADC=∠ACB=90°，E为AB的中点，（1）求证：AC2=AB•AD；（2）求证：CE∥AD；（3）若AD=4，AB=6，求的值．38．如图，在△ABC中，AB=AC，点P、D分别是BC、AC边上的点，且∠APD=∠B．（1）求证：AC•CD=CP•BP；（2）若AB=10，BC=12，当PD∥AB时，求BP的长．39．如图，在四边形ABCD中，AC平分∠BCD，AC⊥AB，E是BC的中点，AD⊥AE．（1）求证：AC2=CD•BC；（2）过E作EG⊥AB，并延长EG至点K，使EK=EB．①若点H是点D关于AC的对称点，点F为AC的中点，求证：FH⊥GH；②若∠B=30°，求证：四边形AKEC是菱形．40．如图，∠ACB=90°，AC=BC，AD⊥CE于点D，BE⊥CE于点E．（1）求证：△ACD≌△CBE；（2）已知AD=4，DE=1，求EF的长．41．如图，在△ABC中，∠ACB=90°，CD⊥AB，垂足为D，E是AC的中点，ED的延长线与CB的延长线交于点F．（1）求证：△FDB∽△FCD；（2）如果AC=6，CF=4，求BC的长．42．如图，Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=6cm，BC=8cm，动点P从点B出发，在BA边上以每秒5cm的速度向点A匀速运动，同时动点Q从点C出发，在CB边上以每秒4cm 的速度向点B匀速运动，运动时间为t秒（0＜t＜2），连接PQ．（1）若△BPQ与△ABC相似，求t的值；（2）连接AQ、CP，若AQ⊥CP，求t的值．。
鲁教版初中数学八年级下册《相似三角形的性质》同步练习1
8 相似三角形的性质一、请你填一填（1）某建筑物在地面上的影长为36米，同时高为1.2米的测杆影长为2米，那么该建筑物的高为________米.（2）垂直于地面的竹竿的影长为12米，其顶端到其影子顶端的距离为13米，如果此时测得某小树的影长为6米，则树高________米.（3）如图1，若OA∶OD=OB∶OC=n，则x=________（用a,b,n表示）.图1二、认真选一选（1）如图2，铁道口的栏道木短臂长1米，长臂长16米，当短臂下降0.5米时，长臂的端点升高________米（）A.11.25B. 6.6C.8D.10.5图2（2）一个地图上标准比例尺是1∶300000,图上有一条形区域，其面积约为24 cm2，则这块区域的实际面积约为（）平方千米（）A.2160B.216C.72D.10.72（3）如图3，将△ADE绕正方形ABCD的顶点A顺时针旋转90°得△ABF，连结EF交AB于H，则下列结论错误的是（）图3A.AE⊥AFB.EF∶A F=2∶1C.AF2=FH·FED.FB∶FC=HB∶EC三、用数学眼光看世界如图4，要测一个小湖上相对两点A、B的距离，要求在AB所在直线同一侧岸上测.小明采取了以下三种方法，如图5，6，7.图4（1）请你说明他各种测量方法的依据.（2）根据所给条件求AB的长.方法一：已知BC=50米，AC=130米，则AB=________米，其依据是________.图5方法二：已知AO∶OD=OB∶OC=3∶1,CD=40米，则AB=________米，其依据是_____________.图6方法三：已知E、F分别为AC、BC的中点，EF=60米，则AB=________米，其依据是_____________.图7参考答案一、（1）21.6 （2）2.5 （3）2nb a二、（1）C （2）B （3）C 三、方法一：AB =120米，△ABC 为直角三角形，根据勾股定理可得AB 长. 方法二：AB =120米，△AOB ∽△DOC 则对应边成比例.方法三：AB =120米，EF 是△ABC 的中位线，由三角形中位线定理得EF =21AB .。
鲁教版初中数学八年级下册《相似三角形的性质》随堂练习1
8 相似三角形的性质
1．如图1，用放大镜将图形放大，应该属于（ ）
A ．相似变换
B ．平移变换
C ．对称变换
D ．旋转变换
2．图中2，两三角形相似，则_______x ．
3．两个全等三角形的相似比是________．
4．已知△ABC ∽△A’B’C’, △ABC 三边的比为1:2:3, △A’B’ C’的最长边为18,求△A’B’C’的周长．
5．我们已经学习了相似三角形,也知道:如果两个几何图形形状相同而大小不一定相同,我们就把它们叫做相似图形,比如两个正方形,它们的边长、对角线等所有元素都对应成比例，就可以称它们为相似图形。
现给出4对几何图形：①两个圆②两个菱形③两个长方形④两个正六边形。
请指出哪几对是相似图形，哪几对不是相似图形，并简单地说明理由．
图1 30 45 30 105 1 2 4 x 图2
参考答案
1．A 2．2 3．1 4．36
5．①和④分别为形状相似图形，因为它们的对应元素都成比例；②和③不是形状相似图形，因为它们的对应元素不一定都成比例．。
八下第9章图形的相似专题四相似三角形的四大模型习题鲁教版五四制
模型2 8字型 【模型解读】两个三角形若有“一对对顶角＋一对等角”， 则出现“8”字型相似．没有说明对应角的关系时，需分 ∠B＝∠C或∠B＝∠D两种情况讨论．
模型展示
结论
条件：AB∥CD． 结论：△AOB∽△DOC．
条件：∠A＝∠C或∠B＝∠D． 结论：△AOB∽△COD．
2 【2023·济南期末】如图，AD，BC相交于点P，连接 AC，BD，且∠1＝∠2，AC＝3，CP＝2，DP＝1，求 BD的长．
第九章 图形的相似
专题(四) 相似三角形的四大 模型
模型1 A字型 【模型解读】两个三角形若有“一个公共角＋一对等角”， 则出现“A”字型相似，没有说明对应角的关系时，需分 ∠AED＝∠B或∠AED＝∠C两种情况讨论．
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结论
条件：DE∥BC． 结论：△AED∽△ACB．
模型展示
结论 条件：∠AED＝∠B 或AADC＝AAEB. 结论：△ AED∽△ABC．
【证明】∵∠ACD＝∠BCA，∠DAC＝∠B， ∴△ACD∽△BCA，∴CADD＝AACB. ∵CD＝CE，∴∠CDE＝∠CED，∴∠ADB＝∠CEA. ∵∠DAC＝∠B，∴△ADB∽△CEA， ∴AACB＝BADE，∴CADD＝BADE，∴CD·BD＝AD·AE.
模型展示
结论 条件：∠C＝∠ABD 或AADB＝AABC. 结论：△ ABD∽△ACB． 条件：CD⊥AB，AC⊥BC． 结论：①△ADC∽△CDB； ②△ADC∽△ACB；③△CDB∽△ACB．
4 【2023·泰安肥城市开学】如图，E为AD上一点，若 ∠DAC＝∠B，CD＝CE，求证：CD·BD＝AD·AE.
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结论
条件：∠C＝∠ABD＝∠E＝90°. 结论：△ABC∽△BDE.
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鲁教版中考数学三角形分类训练四（相似三角形）相似三角形的几种基本图形：(1)如图1-10-63：称为“平行线型”的相似三角形.图1-10-63(2)如图1-10-64，其中∠1=∠2，则△ADE∽△ABC称为“相交线型”的相似三角形.图1-10-64(3)如图1-10-65：∠1=∠2，∠B=∠D，则△ADE∽△ABC，称为“旋转型”的相似三角形.图1-10-65(4)如图1-10-66，其他类型的相似三角形.图1-10-66典例诠释：考点一平行线分线段成比例定理的应用例1 (2016·平谷一模)如图1-10-67，在△ABC中，DE∥BC，AE∶EC=2∶3，DE=4，则BC 的长为( )图1-10-67A．10 B．8 C．6 D．5【答案】 A【名师点评】此题通过两个三角形相似，找到对应边之比DE∶BC=AE∶AC，从而计算出BC 的长.例2 (2016·东城一模)如图1-10-68，有一池塘，要测池塘两端A，B间的距离，可先在平地上取一个不经过池塘可以直接到达点A和B的点C，连接AC并延长至D，使CD=CA，连接BC并延长至E，使CE=CB，连接ED. 若量出DE=58米，则A，B间的距离为( )图1-10-68A．29米B． 58米C．60米D．116米【答案】 B考点二相似三角形的判定和性质的应用例3 (2016·西城二模)利用复印机的缩放功能，将原图中边长为5 cm的一个等边三角形放大成边长为20 cm的等边三角形，则放大前后的两个三角形的面积比为( )A.1∶2B.1∶4C.1∶8D.1∶16【答案】 D【名师点评】此题考查两个三角形相似的性质，即相似比的平方=面积比，从而得到答案. 例4 (2016·东城二模)如图1-10-69，点P在△ABC的边AC上，请你添加一个条件，使得△ABP∽△ACB，这个条件可以是 .图1-10-69【答案】∠ABP=∠C(答案不唯一)【名师点评】此题考查两个三角形相似的条件，注意图中隐含有一对公共角∠A，此题答案不唯一.考点三相似三角形的实际应用例5 (2016·房山一模)为了估算河的宽度，我们可以在河对岸的岸边选定一个目标记为点A，再在河的这一边选点B和点C，使得AB⊥BC，然后再在河岸上选点E，使得EC⊥BC，设BC与AE交于点D，如图1-10-70所示，测得BD=120米，DC=60米，EC=50米，那么这条河的大致宽度是( )图1-10-70A.75米B.25米C.100米D.120米【答案】 C【名师点评】此题利用两个三角形相似来解决实际问题，学生要能准确地列出AB∶EC=BD∶DC，从而计算出河宽AB的长.基础精练11.(2016·燕山一模)为了加强视力保护意识，小明要在书房里挂一张视力表．由于书房空间狭小，他想根据测试距离为5 m的大视力表制作一个测试距离为3 m的小视力表．如图1-10-71，如果大视力表中“E”的高度是3.5 cm，那么小视力表中相应“E”的高度是( )图1-10-7A．3 cm B．2.5 cm C．2.3 cm D．2.1 cm【答案】 D2.(2016·房山二模)如图1-10-72，在△ABC中，点D，E分别在边AB,AC上，且∠AED= ∠ABC,DE=3,BC=5,AC=12.求AD的长.图1-10-72【解】∵∠AED=∠ABC,∠A=∠A,∴△AED∽△ABC,∴ =.∵DE=3,BC=5,AC=12,∴ =,∴AD=.3.(2016·海淀二模)据传说，古希腊数学家、天文学家泰勒斯曾利用相似三角形的原理，在金字塔影子的顶部立一根木杆，借助太阳光线构成两个相似三角形，来测量金字塔的高度. 如图1-10-73所示，木杆EF的长为2 m，它的影长FD为3 m，测得OA为201 m，则金字塔的高度BO为 m．图1-10-73【答案】 1344.(2016·石景山二模)如图1-10-74，为了估计河的宽度，在河的对岸选定一个目标点A，在近岸取点B，C，D，E，使点A，B，D在一条直线上，且AD⊥DE，点A，C，E也在一条直线上且DE∥BC．如果BC=24 m，BD=12 m，DE=40 m，则河的宽度AB约为( )图1-10-74A．20 m B．18 m C．28 m D．30 m【答案】 B5.(2016·东城期末)如图1-10-75，在△ABC中，D为BC上一点，∠BAD=∠C，AB=6，BD=4，求CD的长.图1-10-75【解】∵∠BAD=∠C，∠B=∠B，∴△ABC∽△DBA.∴ =.∴ =BD·BC.∴BC=9，∴CD=BC－BD=5.6.(2014 ·丰台一模)如图1-10-76是小明设计用手电筒来测量某古城墙高度的示意图,点P 处放一水平的平面镜,光线从点A发出经平面镜反射后刚好射到古城墙CD的顶端C处，已知AB⊥BD，CD⊥BD，且测得AB=1.2米，BP=1.8米，PD=12米，那么该古城墙的高度是( )图1-10-76A．6米B．8米C．18米D．24米【答案】 B7.如图1-10-77，在△ABC中，D，E分别是AB，AC上的点，DE∥BC，且AD=AB，则△ADE的周长与△ABC的周长的比为 .图1-10-77【答案】 1∶38.如图1-10-78，在△ABC中，D，E分别是AB，AC边上的点，且DE∥BC，如果DE∶BC=3∶5,那么AE∶AC的值为( )图1-10-78A.3∶2B.2∶3C.2∶5D.3∶5【答案】 D9.如图1-10-79，点A(6，3)，B(6，0)在直角坐标系内,以原点O为位似中心，相似比为，在第一象限内把线段AB缩小后得到线段CD，那么点C的坐标为( )图1-10-79A．(3，1) B．(2，0) C．(3，3) D．(2，1)【答案】 D10.(2016·房山期末)如图1-10-80，在矩形ABCD中，边AD=8，将矩形ABCD折叠，使得点B落在CD边上的点P处．图1-10-80(1)如图1-10-81，设折痕与边BC交于点O，连接OP，OA．已知△OCP与△PDA的面积比为1∶4，求边AB的长.图1-10-81(2)动点M在线段AP上(不与点P，A重合)，动点N在线段AB的延长线上，且BN=PM，连接MN，PB，交于点F，过点M作ME⊥BP于点E．①在图1-10-80中画出图形.②在△OCP与△PDA的面积比为1∶4不变的情况下，试问动点M,N在移动的过程中，线段EF的长度是否发生变化？请你说明理由．【解】 (1)如图1-10-82.图1-10-82∵四边形ABCD是矩形，∴∠C=∠D=90°,∴∠1+∠3=90°．∵由折叠可得∠APO=∠B=90°，∴∠1+∠2=90°．∴∠2=∠3．又∵∠D=∠C，∴△OCP∽△PDA．∵△OCP与△PDA的面积比为1∶4，∴ ===,∴CP=AD=4．设OP=x，则CO=8－x．在Rt△PCO中，∠C=90°，由勾股定理得．解得x=5．∴AB=AP=2OP=10,∴边AB的长为10．(2)①如图1-10-83.图1-10-83②在△OCP与△PDA的面积比为1∶4这一条件不变的情况下，点M,N在移动过程中，线段EF的长度是不变的．过点M作MQ∥AN，交PB于点Q，如图1-10-84．∵AP=AB，MQ∥AN，∴∠APB=∠ABP=∠MQP,∴MP=MQ．图1-10-84又ME⊥PQ,∴点E是PQ的中点.∵BN=PM，∴BN=MQ.又MQ∥AN，∴∠QMF=∠N.在△MQF和△NBF中，∴△MQF≌△NBF,∴QF=BF.∴EF=PB．∵在△BCP中，∠C=90°，PC=4，BC=AD=8，∴PB=4为定值，∴EF=PB为定值.故在△OCP与△PDA的面积比为1∶4这一条件不变的情况下，点M，N在移动过程中，线段EF的长度是不变的，且EF=2．11.如图1-10-85,在四边形ABCD中，AB∥CD，∠A=90°，AB=2，AD=5，P是AD上一动点(点P不与A,D重合)，PE⊥BP，PE交DC于点Ｅ．图1-10-85(1)求证：△ABP∽△DPE.(2)设AP＝x，DE=y，求y与x之间的函数关系式，并写出x的取值范围.(3)请你探索在点P运动的过程中，四边形ABED能否构成矩形？如果能，求出AP的长；如果不能，请说明理由．(1)【证明】∵∠A=90°，∴∠1+∠3=90°.∵PE⊥BP，∴∠1+∠2=90°,∴∠3=∠2.∵AB∥CD，∠A=90°，∴∠D=∠A=90°∴△ABP∽△DPE.图1-10-86(2)【解】由△ABP∽△DPE可得=.∵AB=2，AD=5，AP＝x，DE=y,∴DP=5－x,∴ =,整理，得y=－+x(0<x<5).(3)【解】能构成矩形．当DE=AB=2时，四边形ABED构成矩形，即DE=y=－+x=2,解得x=1或x=4,∴AP的长为1或4.真题演练：1.(2016·北京)如图1-10-87，小军、小珠之间的距离为2.7 m，他们在同一盏路灯下的影长分别为1.8 m,1.5 m，已知小军、小珠的身高分别为1.8 m,1.5 m，则路灯的高为m.图1-10-87【答案】 32.阅读下面材料：小腾遇到这样一个问题：如图1-10-88，在△ABC中，点D在线段BC上，∠BAD=75°，∠CAD=30°，AD=2，BD=2DC，求AC的长.图1-10-88小腾发现，过点C作CE∥AB，交AD的延长线于点E,通过构造△ACE，经过推理和计算能够使问题得到解决(如图1-10-89).图1-10-89请回答：∠ACE的度数为 ,AC的长为 .参考小腾思考问题的方法，解决问题：如图1-10-90，在四边形ABCD中，∠BAC=90°，∠CAD=30°，∠ADC=75°，AC与BD交于点E，AE=2，BE=2ED，求BC的长.图1-10-90【解】∠ACE=75°，AC的长为3．如图1-10-91,过点D作DF⊥AC于点F．图1-10-91∵∠BAC=90°=∠DFA，∴AB∥DF，∴△ABE∽△FDE，∴ ===2，∴EF=1，AB=2DF．在△ACD中，∠CAD=30°，∠ADC=75°，∴∠ACD=75°，AC=AD．∵DF⊥AC，∴∠AFD=90°，在△AFD中，AF=2+1=3，∠FAD=30°，∴DF=AF tan 30°=，AD=2DF=2.∴AC=AD=2，AB=2DF=2.∴BC==2.3.如图1-10-92，小明同学用自制的直角三角形纸板DEF测量树的高度AB，他调整自己的位置，设法使斜边DF保持水平，并且边DE与点B在同一直线上.已知纸板的两条直角边DE＝40 cm,EF=20 cm，测得边DF离地面的高度AC＝1.5 m，CD＝8 m，则树高AB＝ m.初中数学精选资料名师精心整理 助您一臂之力 11 【答案】5.5图1-10-924.如图1-10-93，在△ABC 中，点D ,E 分别在AB ,AC 边上，DE ∥BC ，若AD ∶AB =3∶4，AE =6，则AC 等于( ) 图1-10-93A.3B.4C.6D.8【答案】 D。