数学思考2

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苏科版初二数学第二章小结与思考(2)教案

怀文中学2013—2014学年度第一学期教学设计初二数学第二章小结与思考（2）主备：郁胜军审校：陈秀珍日期：2013年10月7日教学目标：1.掌握等腰三角形的性质和判定方法，理解等边三角形的概念和性质。

2．掌握等腰梯形的有关性质和判定方法。

3．在探索图形性质，发展合情推理，进一步学习有条理地思考和表达教学重点：发展合情推理，进一步学习有条理地思考和表达教学难点：等腰三角形的性质和判定的灵活应用。

教学内容：一、自主探究1.等腰三角形的定义：。

2等腰三角形的性质（1）对称性。

（2）等边对等角（3）三线合一3. 等腰三角形的判定。

4.等边三角形的定义。

5.等边三角形的性质：（1）。

（2）。

6. 等边三角形的判定：。

1.要剪如图①的正五角星，那么在如图②折纸时，∠AOP应等于______º，剪纸时，∠OAP应等于______º。

2.任意画等腰ΔABC,并取底边BC的中点D,点D到两腰AB,AC的距离相等吗?为什么?四、自主拓展1.（1）如图，在ΔABC中，∠BAC＝900，AB＝AC，点D在BC上，且BD＝BA，点E在BC的延长线上，CE＝CA，试求∠DAE的度数。

（2）如果把第（1）题中“AB＝AC”的条件舍去，其余条件不变，那么∠DAE的度数会改变吗？（3）如果把第（1）题中“∠BAC＝900”的条件改为“∠BAC＞900”，其余条件不变，那么∠DAE与∠BAC有怎样的大小关系？五、自主评价1．以直线为对称轴，画出下列图形的另一部分使它们成为轴对称图形：2．小明从镜子中看到对面电子钟示数如图所示，这时的时刻应是（）（A）21：10 （B）10：21 （C）10：51 （D）12：013．在“线段、角、三角形、等边三角形、等腰梯形”这五个图形中，是轴对称图形的有个，其中对称轴最多的是。

4．已知∆ABC中∠BAC=140°，AB、AC的垂直平分线分别交BC于E、F.求∠EAF的度数.5．若AC是等腰∆ABC的高，则AC也是____________，还是___ _。

北师大版七年级数学下册第四章回顾与思考2

学习目标：1、认识全等三角形2、能利用全等判断两线段或者两角的相等关系 2、3、能判断两个三角形全等一、自主预习合作探究：1，两个能够完全重合的图形称为 .全等图形的和完全相同. 2.如图1,若△ABC ≌△EFC,且CF=3cm,∠EFC=64°,则BC=_____cm,∠B=_ __.BAEF A21CDB AEC DBAD（图1）（图2）（图3）（图4） 3.如图2,AC=DB,∠1=∠2,则△ABC ≌△______,∠ABC=∠______. 4.如图3,在△ABC 和△ADE 中,∠CAE=∠BAD,AC=AE(1)若加条件_________,可用SAS 推得△ABC ≌△ADE; (2)若加条件_________,可用ASA 推得△ABD ≌△ADE.5.(1)如图4,△ABC 中AD 平分∠BAC,∠ABD=∠ACD,则再由“___ ”, 可判定△ABD ≌△ACD. (2)如图5,已知AD ∥BC,∠ABC=∠CDA,则可由“AAS ”直接判定△_______ ≌________,(3)如图6,已知△ABC 中,AD 是BC 边上的高,要根据“AAS ”证明△ABC ≌△ACD, 还需加条件∠____=∠____.BAC DB AC D B AEF CDO（图5）（图6）（图7）6. 如图7,AD ∥BC,AD=BC,AC 与BD 交于点O,EF 过点O 并分别交AD 、BC 于E 、F, 则图中的全等三角形共有( ) A.1对 B.2对 C.3对 D.4对7. 如图,△ABC ≌△DEF,求证:AD=BE. 8.如图,CD ⊥AB,BE ⊥AC,垂足分别为D 、E,BE 交CD于F,且AD=DF,求证:AC= BF.B AE CD BA E F CD说明理由。

二、课后练习：1. 如图,已知∠A=∠C,AF=CE,DE ∥BF,求证:△ABF ≌△CDE.2. 如图△ABC ≌△EBD,问∠CBD 与∠ABE 相等吗?若相等请证明, 若不相等说出为什么?3、如图：已知AB=AE ，BC ＝ED ，∠B ＝∠E ，AF 平分∠CAD, 求证: ① AC ＝AD ； ②CF ＝DF 。

四年级数学思维训练之二植树问题

四年级数学思维训练之二植树问题1、植树节到了，同学们给一条20米的路的一边栽树，每隔5米载一棵。

如果两端都植树，需要栽几棵树？（先画图，再思考解答）2、六一儿童节，三年级学生在一条长60米的小路上插小旗，每隔3米插一面。

如果两端都插，需要插多少面？3、在一条长100米的教学长廊露台上，每2米摆一盆兰花，两端都不摆。

问可以摆多少盆兰花？4、一段公路两旁每隔5米种一棵树，一共种了372棵，这段公路长多少米？5、一排电线杆，每隔25米有一根。

算一算第一根到第十根有多少米？6、在一条小路的两旁，从头到尾栽了150棵树，每棵树之间相隔6米。

这条小路长多少米？7、植树节到了，少先队员们沿着湖边种柳树。

已知湖岸周长936米，每隔4米种一棵，一共可以种多少棵柳树？8、有一个正方形的场地，要在4个角上都栽一棵树。

如果每边栽6棵，四边一共栽多少棵？9、一个圆形花坛，周长120米，每隔8米种一株月季花，每相邻的两株月季花之间均匀地栽了三株菊花，可以栽多少株菊花？10、两棵槐树相距400米，计划在这两棵树之间栽39棵小树，每两棵树间隔相等。

问树的间隔是多少米？11、运动会长跑比赛，8人站在14米长的白线上。

如果每两个人之间的距离相等，请问两人之间的间隔多少米？12、把一根钢管锯成5段需要8分钟，如果要锯成20段需要多少分钟？13、一根木料要锯成5米长的小段，锯了4次，正好锯完，这根木料长多少米？14、一根木棒长10米，要锯成1米一段的小木棒做支架。

已知每锯一根用4分钟，锯完这根木棒需要几分钟？15、一条马路长800米，在路的一边从一头到另一头每隔40米安装一盏路灯，这条路可以安装多少盏路灯？16、、王伯伯想在自家鱼塘周围用木桩围一个栅栏，他每隔3米打一根桩，当打完401根木桩时，还有200米没有打桩。

请问该鱼塘周长是多少米？17、一个长方形场地，长是60,米，宽是40米。

它的周围要种上芭蕉树，每相邻每棵芭蕉树之间相距5米，并且四个角都要载上芭蕉树。

人教版六年级数学下册期末专项复习数学思考附答案 (2)

人教版六年级数学下册期末专项第15课时数学思考(2)1.我会填。

(1)用2,0,7组成的没有重复数字的三位数共有()个,其中,最大的数比最小的数大()。

(2)“六一”到了,老师要从12名女生、15名男生中各选出1人做节目主持人,共有()种不同的选择方案。

(3)○△△●●●○△△●●●……按照这个规律,第111个图形是()。

(4)如果○+□=6,□=○+○,那么□-○=()。

(5)图中有()个三角形。

(6)1只兔子的重量+1只猴子的重量=8只鸡的重量,3只兔子的重量=9只鸡的重量,那么1只猴子的重量=()只鸡的重量。

(7)5个点最多可以连成()条线段。

(8)小明、小丽、小华三人站成一排照相,一共有()种排列方法。

2.小明有1元、5元的纸币各两张,如果不用找零钱,能支付多少种不同的钱数?3.学校组织美术、英语和作文竞赛,芳芳、聪聪和园园分别参加一项。

芳芳没有参加美术竞赛,而园园参加了作文比赛。

综合上述内容,分析芳芳和聪聪各参加了什么竞赛。

4.有红、黄两种不同颜色的帽子,黄、绿、蓝三种不同颜色的上衣,红、黄、蓝、白四种不同颜色的裤子,现在从中任意取一顶帽子、一件上衣、一条裤子配成一套装束。

5.学校楼前有一个正方形花坛,这个花坛的最外层每边各放了10盆花,每边的两端各放一盆花,最外层放了多少盆花?6.某班有50人,会游泳的有27人,会体操的有18人,都不会的有15人。

既会游泳又会体操的有多少人?7.下面的图形是由边长为1 cm的正方形按某种规律排列的。

(1)观察图形,填写下表。

图形①②③正方形的个数图形的周长(2)推测第n个图形中,正方形的个数为个,周长为。

第15课时数学思考(2)1.(1)4 513 (2)180 (3)△ (4)2 (5)8 (6)5 (7)10 (8)62.共可支付8种不同的钱数 ①1元 ②5元 ③1+1=2(元) ④1+5=6(元) ⑤5+5=10(元) ⑥1+1+5=7(元) ⑦1+5+5=11(元) ⑧1+1+5+5=12(元)3.芳芳参加了英语竞赛,聪聪参加了美术竞赛。

数学思维第2讲数数中的枚举

所以，在50以内（包括50），十位上数字比个位上数字大的两位数有50,43,42,41,40,32,31,30,21,20,10共11个。
学以致用
练习3
在60以内（包括60），十位上的数字比个位上的数字大两位数一共有多少个？
经典精讲
例题4 像17和71这样十位数字和个位数字顺序颠倒的一对两位数是一家人，它们相加的和为88，请问像这样的相加和为99的一家人有几对？
学以致用
练习1
十位上的数字比个位上的数字大2，写出所有符合条件的两位数？
经典精讲
例题2
十位上的数字与个位上的数字相差2，写出所有符合条件的两位数？
经思典维精导图讲
【解析】“相差”是指十位上数字比个位上数字大2，或
者个位上数字比十位上数字大2，要分类考虑。当十位比个位数字大2时，十位从大数9开始枚举，个位为7，则依次为 97，86，75，64，53，42，31，20共8个；当个位比十位数字大2时，十位从小数1开始枚举，个位为3，则依次为13， 24，35，46，57，68，79共7个。所以一共有8＋7＝15个。
思维导图
【解析】根据17和71的关系可以发现，拆8即可找到所有
和为88的一家人数。此题为找和为99的一家人数，则可把9 拆分为1＋8，2＋7，3＋6，4＋5（之后重复），则一家人数为18和81，27和72，36和63，45和54，共4对。
学以致用
练习4
像16和61这样十位数字和个位数字顺序颠倒的一对两位数是一家人，它们相加的和为77，请问像这样的相加和为77的一家人有几对？
第2讲数数中的枚举
学习目标
1．通过按顺序写数的练习，让孩子初步感知枚举法的妙用；
2．培养孩子有序思考问题的能力。

6.4.2 数学思考2 (导学案)-六年级下册数学人教版

6.4.2 数学思考2 （导学案）-六年级下册数学人教版一、引言在六年级下册数学人教版的学习中，我们已经接触到了许多数学知识和方法。

通过这些知识的学习，我们不仅能够解决一些实际问题，还能够培养我们的数学思维和解决问题的能力。

在本节中，我们将继续探讨一些数学思考问题，以帮助我们更好地理解和运用数学知识。

二、问题与分析1. 问题：（1）如何判断一个数是质数还是合数？（2）如何求两个数的最大公约数和最小公倍数？（3）如何利用比例关系解决实际问题？2. 分析：（1）质数与合数的判断：质数是只能被1和它本身整除的大于1的自然数，而合数是除了1和它本身外，还有其他因数的自然数。

我们可以通过试除法来判断一个数是质数还是合数。

（2）最大公约数与最小公倍数的求解：最大公约数是两个数的公共因数中最大的一个，最小公倍数是两个数的公共倍数中最小的一个。

我们可以通过分解质因数的方法来求解最大公约数和最小公倍数。

（3）比例关系的应用：比例关系是表示两个比相等的式子。

我们可以利用比例关系解决一些实际问题，如物品的价格问题、速度与时间的关系问题等。

三、解答与讨论1. 解答：（1）判断质数与合数：我们可以通过试除法来判断一个数是质数还是合数。

具体方法是从2开始，依次除以小于这个数的所有自然数，如果都不能整除，那么这个数就是质数；否则，这个数就是合数。

例如，判断17是否为质数。

我们可以从2开始，依次除以2、3、4、5、6、7、8、9、10、11、12、13、14、15、16，发现都不能整除17，因此17是质数。

（2）求最大公约数和最小公倍数：我们可以通过分解质因数的方法来求解最大公约数和最小公倍数。

具体方法是先分别对两个数进行质因数分解，然后找出它们的公共质因数和各自独有的质因数，最后将公共质因数和各自独有的质因数相乘，得到最大公约数和最小公倍数。

例如，求12和18的最大公约数和最小公倍数。

首先对12和18进行质因数分解，得到12=2^23，18=23^2。

关于一道初中数学题的思考 (2)

关于一道初中数学题的思考韩进祥 2013.06摘要：本文通过一道初中数学题的解决，旨在表明应充分相信每一个学生的创造力，课堂应留给学生，让师生的交流更频繁、宽泛。

数学的学习不仅仅是让学生去解决一个个数学问题，而是让学生能够用已经掌握的知识去认识或探索新的知识，能够培养学生解决问题的能力，能够发展其智力水平，培养思维能力。

关键词：初中数学；问题解决；能力培养；发展（一）问题解决在某节数学习题课上，笔者抛出一道几何题：如图，在六边形ABCDEF 中，CD AF //，ED AB //， B A ∠=∠，140 .90，100 =∠=E 求F D C ∠∠∠、、的度数.[1]学生拿到这个题目充分考虑三四分钟后，绝大部分同学对该题还是一筹莫展、缩手无策。

题目只有两组平行，三个已知角，让去求解另外三个角。

这时老师提示：同学们，题目的两组平行的条件你们是如何利用的？学生发现这两组平行中即没有我们所学知识中的同位角，内错角以及同旁内角关系，没有办法进行知识的迁移。

老师继续提示：你能否通过在图上添加辅助线，来充分利用题设的平行关系？继续留时间给学生独立思考，两三分钟后，我发现一半以上的同学在图上添加了如下图的辅助线，让学生到黑板上进行板演，求解过程如下：法一：解：过B 点作AF 的平行线交DE 于H ，过F 点作AB 的平行线交BC 于G . ∵CD AF //，BH AF //∴CD BH //，.180 =∠+∠ABH A∴.180 =∠+∠HBC C .180 =∠+∠BHD D∵ 140=∠A ， 100=∠ABC∴ 40=∠ABH ， 60=∠HBC ,.120 =∠C∵ED AB //，FG AB //∴ED FG //， 180,180=∠+∠=∠+∠EFG E ABG A ，BHD ABH ∠=∠. ∵ 140=∠A ， 90=∠E∴ 40=∠AFG ， 90=∠EFG ,.130 =∠AFE∵ 40=∠=∠BHD ABH ，.180 =∠+∠BHD D∴.140 =∠D∴，120 =∠C ，140 =∠D .130 =∠AFE当学生完成黑板上的板演时，我发现有五六位同学的辅助线作法很不一般，这时笔者并没有当即结束此题，而是明知顾问：同学们你们还有其他方法吗？调动学生的积极性，充分给学生表现的机会。

数学思考 2

①小明、小莉、小刚、小芳 ⑤小刚、小莉、小明、小芳 ②小明、小芳、小刚、小莉 ⑥小刚、小芳、小明、小莉 ③小莉、小明、小芳、小刚 ⑦小芳、小明、小莉、小刚 ④小莉、小刚、小芳、小明 ⑧小芳、小刚、小莉、小明
一共有8种站法
王阿姨、刘阿姨、丁叔叔、李叔叔分别是工人、教师、
军人。王阿姨是教师；丁叔叔不是工人；只有刘阿姨和李叔叔的职业相同。请问他们的职业各是什么？
王阿姨刘阿姨丁叔叔李叔叔
工人
教师军人 √
√
√
√
在学校运动会上，1号、2号、3号、4号运动员取得了 800m赛跑的前四名。小记者来采访他们各自的名次。1号说： “3号在我们3人前面冲向终点。”另一个得第3名的运动员说：“1号不是第4名。”小裁判说：“他们的号码与他们的名次都不相同。”你知道他们的名次吗？
9 8 16 （2）1，3，2，6，4，＿，＿，12，＿，… +3 +3 +3 +3
摆一摆，找规律。
…
（1）第6个图形是什么图形？
（2）摆第7个图形需要用多少根小棒？（15根）
多边形
边数
内角和
3 180°
4 360°
5 540°
6 720°
（1）多边形内角和与它的边数有什么关系？多边形内角和＝（边数-2）×180° （2）一个九边形的内角和是多少度？（9-2）×180°＝1260°
张老师有50分和80分的邮票各两枚。他用这些邮票能付多少种邮资（寄信时需要付的钱数？）
一枚： 50分、80分两枚：100分、160分、130分三枚：180分、210分四枚：260分他用这些邮票能付8种邮资
小明和小红分别拿着语文书和数学书，小红说：我拿的不是数学书。那么他们两人究竟各拿的是什么书？

中考数学专题复习阅读思考题强化练习(二)

中考数学专题复习阅读思考题强化练习（二）学校:___________姓名：___________班级：___________考生__________评卷人得分一、解答题1．请阅读以下材料，并完成相应的任务．在《阿基米德全集》中的《引理集》中记述了伟大的古希腊数学家、哲学家、物理学家阿基米德提出的六个有关圆的引理，其中第二个引理是：如图1，点P是AB上的任意一点，PC AB⊥于点C，点D在弦AB上且AC CD=，在AB上取一点Q，使PQ PA=，连接BQ，则有BQ BD=．（1）如图2，小明同学尝试说明“BQ BD=”，于是他连接了PA，PB，PD，PQ，请根据小明的思路完成后续证明过程；（2）如图3，以AB为直径的半圆上有一点P，6AP=，10AB=，直线l与O相切于点P，过点B作BE l⊥于点E，交O于点Q，则BQ=______．2．阅读与思考：如图是小宇同学的数学日记，请仔细阅读，并完成相应的任务．x年x月x日星期日．过直线外一点作这条直线的平行线．已知：如图1，点P为直线l外一点，求作：直线PQ，使得PQ∥l．今天，我们组的小明和小红的作法和我不同．小明：如图2，∥在直线l上取一点A，作射线PA，以点A为圆心，AP长为半径画弧，交射线P A于点B；∥直线l上取一点C（不与点A重合），作射线BC，以点C为圆心，CB长为半径画弧，交射线BC于点Q；∥作直线PQ，则直线PQ就是所求作的直线．小红：如图3，∥在直线l上取A，B两点，作射线AP；∥作∥P AB的角平分线AC；∥以点P为圆心，P A长为半径画弧，交射线AC于点Q；∥作直线PQ．则直线PQ就是所求作的直线．我有如下思考：以上两种办法依据的是什么数学原理呢？任务：（1）填空：小明的作法依据的一个数学定理是；（2）∥使用直尺和圆规，根据小红的作法补全图3；（保留作图痕迹）∥根据小红的操作过程，证明PQ∥l．仅用圆规三等分．六等分圆是容易的，而四等分、五等分…则有一定难度，历史上卡尔·弗雷德里希·高斯首次解决了将圆十七等分的难题．拿破仑·波拿巴当年曾向数学家提出这样一个问题：只用圆规，不用直尺，如何把一个圆周四等分？这个难题最终由意大利数学家马斯凯罗尼解决了．为此，他还写了名为《圆规几何》的书献给拿破仑，书中还包含了更深刻的作图理论．他给出的作图步骤和部分证明如下：如图1，第一步：在∥O上任取一点A，以点A为一个分点，将∥O六等分，其他分点依次为B、C、D、E、F；第二步：分别以A、D两点为圆心，以AC（BD）为半径作弧，两弧交于点G；第三步：以点A为圆心，OG为半径作弧．与∥O交于M，N两点．则点A、M、D、N是∥O的四等分点．证明：如图2，连接OA、OG、OC、OD、AG、AM、AC、DM、DC．∥点A、B、C、D、E、F是∥O的六等分点．COD∠=︒．60∠=∠=⨯︒=︒．AOD COD3360180任务：（1）完成证明；（2）若∥O的半径为2，则OG的长为_______，MN的长为________．我们知道三角形外接圆的圆心叫做三角形的外心，三角形内切圆的圆心叫做三角形的内心．由于三角形的三条高（或高所在的直线）相交于一点，因此我们把三角形三条高的交点叫做三角形的垂心．下面我们以锐角三角形为例，证明三角形的三条高相交于一点．如图，在∥ABC中，AD，BE分别是BC，AC边上的高，且AD与BE相交于点P．连接CP并延长，交AB于点F．求证：CF∥AB．证明：分别过点A，B，C作它们所对边的平行线，三条平行线两两相交于点M，N，Q．分别连接PM，PN，PQ．∥MN//BC，MQ//AB，NQ//AC，∥四边形MABC，四边形ANBC，四边形ABQC都是平行四边形．∥BC=AM=AN，AC=BN=BQ，AB=MC=CQ．∥AD∥BC，∥∥MAD=∥ADB=90°，即AD∥MN．∥PM=PN．…学习任务：（1）请将上面剩余的证明过程补充完整；（2）点P是∥MNQ的．（填出字母代号即可）A．内心B．外心C．垂心D．重心（3）若∥CAB=40°，则∥MPN= °．5．阅读与思考下面是小安同学的数学日记，请仔细阅读，并完成相应的任务．×年×月×日星期一从圆周角定理想到的……今天，我们学习了圆周角定理及推论，在课堂小结的时候，我突然想到将这些定理的条件和结论互换，也许会有新发现！那就先从特殊情况开始思考吧．思考一：如图1，AB 是O 的直径，点C 在O 上（不与点,A B 重合），则90ACB ∠=︒．这一命题我们已经证明过．若将该命题的条件和结论互换，可得新命题：如图2，已知线段AB 和直线AB 外一点C ，且90ACB ∠=︒，则点C 在以AB 为直径的圆上．（命题1）思考二：若将图2中的ACB ∠改为45°，点C 的位置会有怎样的特点呢？经过不断尝试，我发现以AB 为底边，构造等腰Rt AOB ，再以点O 为圆心，OA 长为半径作圆，则点C 在弦AB 所对的优弧上．……任务：（1）小安发现命题1是真命题，请按照下面的证明思路，写出该证明的剩余部分．证明：在图2中取线段AB 的中点K ，连接KC ，则KC 是AB 边上的中线．……（2）请根据思考二，在图3中利用尺规作出符合要求的点C ．（保留作图痕迹，不写作法）（3）若将图2中的ACB改为120°，你能确定点C的位置吗？请说明你的思路．参考答案：1．（1）证明见解析；（2）145．【解析】【分析】（1）根据中垂线的性质得到PAC PDC ∠=∠，由PQ PA =证明PQ PD =，从而得到PQB PDB △△≌，故可得到BQ BD =；（2）根据切线及垂直的定义得到PBQ PBA ∠=∠，得到PA PQ =，作PM ∥AB 于M ，取MA ’=MA ，根据引理可得BQ =BA ’再证明∥P AM ∥∥BAP ，列出比例式子求出AM ，得到AA ’，从而求出BQ 的长．【详解】（1）证明：PC AD ⊥，AC CD =，PC ∴垂直平分线段AD ，PA PD ∴=，PAC PDC ∴∠=∠，又PQ PA =，PQ PA ∴=，QBP DBP ∠=∠，PQ PD ∴=，又180A Q ∠+∠=︒，180PDC PDB ∠+∠=︒，Q PDB ∴∠=∠，()PQB PDB AAS ∴△△≌，BQ BD ∴=．（2）如图，∥EF 切O 于P ，又AB 所对的圆周角为90°，BE ∥FE ，∥90FPA EPB ∠+∠=︒，90EPB EBP ∠+∠=︒∥FPA EBP ∠=∠∥PO ∥EF ，90FPA OPA ∠+∠=︒又A OPA ∠=∠∥90FPA A ∠+∠=︒，∥90PBA A ∠+∠=︒∥PBA FPA ∠=∠∥PBQ PBA ∠=∠∥PA PQ =作PM ∥AB 于M ，取MA ’=MA ，根据引理可得BQ =BA ’∥,APM PBA PAM BAP ∠=∠∠=∠∥∥P AM ∥∥BAP ∥AP AB AM AP= ∥2AP AM AB==3.6 ∥AA ’=2AM =7.2∥BQ =BA ’=AB -AA ’=10-7.2=2.8=145．【点睛】此题主要考查圆与几何综合，解题的关键是熟知全等三角形的判定与性质、圆的基本性质及相似三角形的判定与性质．2．（1）三角形中位线定理；（2）∥见解析；∥见解析【解析】【分析】（1）根据三角形中位线定理可得结论．（2）∥根据要求作出图形即可．∥证明∥PQA ＝∥QAB ，可得结论．【详解】解：（1）小明的作法依据的一个数学定理是三角形中位线定理．故答案为：三角形中位线定理．（2）∥如图，直线PQ 即为所求作．理由：由作图可知，P A ＝PQ ，∥∥P AQ ＝∥PQA ，∥AC 平分∥P AB ，∥∥P AQ ＝∥QAB ，∥∥PQA ＝∥QAB ，∥PQ ∥l ．【点睛】本题考查了作图-作角平分线，三角形中位线定理，等腰三角形的性质，正确的理解题意是解题的关键．3．（1）见解析；（2）【解析】【分析】（1）利用圆周角定理得出1302CAD COD ∠=∠=︒，然后解Rt ACD ∆，结合勾股定理得出AM MD AN DN ===，即可得出答案（2）根据弧长公式即可求出【详解】解：（1）∥AD 是O 的直径，∥90ACD ∠=︒∥CD CD =，.∥1302CAD COD ∠=∠=︒，设O 的半径为r ，在Rt ACD ∆中，cos AC CAD AD∠=，∥AC =，∥AG DG AC ===，∥AO OD =，∥OG AD ⊥.∥90GOA ∠=︒，在Rt AOG ∆中，OG =，∥AM OG ==，在AOM ∆中，2222222AO OM r r r AM +=+==，∥AOM ∆是直角三角形且90MOA ∠=︒，∥AM MD AN DN ===，∥点A 、M 、D 、N 是O 的四等分点．（2）∥OG =，∥O 的半径为2，∥OG =∥点A 、M 、D 、N 是∥O 的四等分点，AM OG ==∥90MAN ∠=︒，∥MN ．【点睛】本题考查了圆的性质，解直角三角形，勾股定理及逆定理，弧长公式等知识点，解题的关键是设O 的半径为r ，并证明AOM ∆是直角三角形且90MOA ∠=︒．4．（1）见解析；（2）B ；（3）80°【解析】【分析】（1）根据等腰三角形三线合一以及中垂线的性质，即可得到结论；（2）根据三角形外心的定义，即可得到答案；（3）构造∥MNQ 的外接圆，根据平行四边形的性质和圆周角定理，即可求解．【详解】（1）∥BE ∥AC ，∥∥EBQ =∥BEA =90°，即EB ∥NQ ．∥PN =PQ ．∥PM =PQ ．∥PC ∥MQ ，∥∥CFB =∥FCM =90°．∥CF ∥AB ．（2）∥PM =PQ =PN，∥点P 是∥MNQ 的外心，故选B ．（3）∥四边形ABQC 都是平行四边形，∥∥BQC =∥CAB =40°，∥点P 是∥MNQ 的外心，∥∥MPN =2∥BQC =2×40°=80°，故答案是：80°．【点睛】本题主要考查三角形的垂心，外心，平行四边形的性质，等腰三角形的性质，圆周角定理，添加合适的辅助线构造平行四边形和三角形的外接圆，是解题的关键．5．（1）见解析；（2）见解析；（3）点C 在弦AB 所对的劣弧上或外接圆的圆心处【解析】【分析】（1）根据直角三角形斜边的中线等于斜边的一半可证KC KA KB ==，即点C 在以AB 为直径的圆上；（2）根据思考二提供的思路作出图形即可；（3）类比思考二的思路解答即可．【详解】解：（1）∥90ACB ∠=︒，∥12KC KA KB AB ===． ∥点C 在以AB 为直径的K 上；（2）如解图，点C 即为所求．（点C 为AB 所对的优弧上任一点）；（3）先以线段AB为边构造等边AOB，再作AOB的外接圆，则点C在弦AB所对的劣弧上或外接圆的圆心处．【点睛】本题考查了尺规作图，直角三角形斜边的中线，等边三角形的性质，圆周角定理及其推论，熟练掌握圆周角定理及其推论是解答本题的关键．∥圆周角的度数等于它所对的弧的度数的一半；∥同圆或等圆中，圆周角等于它所对的弧上的圆心角的一半；∥同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，相等圆周角所对的弧也相等；∥半圆（或直径）所对圆周角是直角，90°的圆周角所对的弦是直径；∥圆的内接四边形的对角互补，并且任何一个外角都等于它的内对角．。

数学史思考题-2

数学史思考题2一、选择题1.古希腊数学家泰勒斯创立的学派是( B )A.伊利亚学派B.爱奥尼亚学派C.诡辩学派D.吕园学派2．古希腊开论证几何学先河的是( C )A．柏拉图学派 B．欧几里得学派 C．爱奥尼亚学派 D．毕达哥拉斯学派3．发现不可公度量的是( B )。

A．爱奥尼亚学派； B．毕达哥拉斯学派； C．诡辩学派； D．伊利亚学派4．建立新比例理论的古希腊数学家是（ C ）。

A．毕达哥拉斯B．希帕苏斯C．欧多克斯D．阿基米德5．数学的第一次危机的产生是由于( B )A．负数的发现 B．无理数的发现 C．虚数的发现 D．超越数的发现6．数学的第一次危机，推动了数学的发展，导致产生了( A )A．欧几里得几何 B．非欧几里得几何 C．微积分 D．集合论7．几何《原本》的作者是( A )A．欧几里得 B．阿基米德 C．阿波罗尼奥斯 D．托勒密8．在《几何原本》所建立的几何体系中，“整体大于部分”是( D )。

A．定义 B．定理C．公设 D．公理9．以“万物皆数”为信条的古希腊数学学派是(D )。

A．爱奥尼亚学派；B．伊利亚学派；C．诡辩学派；D．毕达哥拉斯学派10．“代数学”一词起源于（ C ）A．阿拉伯人花拉子米的著作B．印度人婆罗摩笈多著作C．希腊人丢番图的著作D．中国人秦九韶的著作11．公元前4世纪，数学家梅内赫莫斯在研究下面的哪个问题时发现了圆锥曲线？( C ) A．不可公度数B．化圆为方C．倍立方体D．三等分角《数学汇编》是一部荟萃总结前人成果的典型著作，它被认为是古希腊数学的安魂曲，其作者为( B )。

12．A．托勒密B．帕波斯C．阿波罗尼奥斯D．丢番图13．古希腊数学家帕波斯的唯一传世之作《数学汇编》被认为是( C )A．古希腊论证数学的发端；B．古希腊数学的颠峰C．古希腊数学的安魂曲；D．古希腊演绎几何的最高成就二、填空题1．古希腊开论证几何学先河的是___爱奥尼亚学___________学派。

苏科版初中八年级上册数学：第二章轴对称图形_小结与思考(2)

AB边上的一点，且AE=3，点Q为对角线AC上的动
点，则△BEQ周长的最小值为
．
初三数学二轮专题复习
问题3. 如图，抛物线与x轴交于A、B两点，A（－1，0）， B（3，0），交y轴与C点，C（0，－3），在对称轴上找一点P，使得P到AC的距离之和最短，试确定P点的坐标。
A
B
－1
－3
P
－3
初三数学二轮专题复习
A．15° B．214资阳）10．如图，在边长为4的正方形ABCD 中，E是AB边上的一点，且AE=3，点Q为对角线AC 上的动点，则△BEQ周长的最小值为．
初三数学二轮专题复习
（2015台州）2．如图，菱形ABCD中，AB=2，点P 、Q分别为BC、CD边的中点，K为对角线BD上的任意一点，则PK+QK的最小值为（）
初三数学二轮专题复习
B A
l
授课人：盐城市初级中学周咏梅
初三数学二轮专题复习
传说亚历山大城有一位精通数学和物理的学者，名叫海伦．一天，一位罗马将军专程去拜访他，向他请教一个百思不得其解的问题．将军每天从军营A出发，先到河边C处饮马，然后再去河岸同侧的B地军营视察，应该怎样走才能使路程最短？
三个引例在已知条件、要说明的结论、解决方法上有什么共同特征？
初三数学二轮专题复习
问题1. 如图，等腰△ABC, AB=AC，AD是BC边上的中线，F是AD边上的动点，E是AC的中点，使 EF+CF和最小，画出F点的位置。
A
F
E
B
D
C
初三数学二轮专题复习
问题2．如图，在边长为4 的正方形ABCD中，E是
初三数学二轮专题复习

六年级下册数学教案-6《数学思考》人教新课标 (10)

六年级下册数学教案-6《数学思考》人教新课标一、教学目标1. 让学生理解数学思考的意义和方法，培养学生运用数学思考解决问题的能力。

2. 让学生掌握数学思考的基本步骤，包括问题的提出、分析、解决和反思。

3. 培养学生运用数学思考解决问题的习惯，提高学生的数学素养。

二、教学内容1. 数学思考的意义和方法2. 数学思考的基本步骤3. 数学思考的应用三、教学重点和难点1. 教学重点：数学思考的意义和方法，数学思考的基本步骤。

2. 教学难点：数学思考的应用，如何运用数学思考解决问题。

四、教学准备1. 教学课件2. 教学案例3. 教学工具五、教学过程1. 导入新课1.1 引导学生回顾数学学习的经历，让学生谈谈数学学习中的困惑和问题。

1.2 提问：你们知道什么是数学思考吗？数学思考有什么意义和方法？2. 讲解数学思考的意义和方法2.1 解释数学思考的意义，让学生明白数学思考是数学学习的重要方法。

2.2 讲解数学思考的方法，让学生掌握数学思考的基本步骤。

3. 讲解数学思考的基本步骤3.1 问题的提出：引导学生发现问题，提出问题。

3.2 问题的分析：引导学生分析问题，找出问题的关键和难点。

3.3 问题的解决：引导学生解决问题，运用数学知识解决问题。

3.4 问题的反思：引导学生反思问题，总结解决问题的方法和经验。

4. 数学思考的应用4.1 提供一些数学问题，让学生运用数学思考解决问题。

4.2 引导学生运用数学思考解决生活中的问题。

5. 总结和作业5.1 总结本节课的内容，让学生明确数学思考的意义和方法。

5.2 布置作业，让学生运用数学思考解决问题。

六、教学反思本节课通过讲解数学思考的意义和方法，让学生明白了数学思考的重要性。

通过讲解数学思考的基本步骤，让学生掌握了数学思考的方法。

通过数学思考的应用，让学生学会了运用数学思考解决问题。

但在教学过程中，也存在一些问题，如部分学生对于数学思考的理解不够深入，需要进一步引导和讲解。

人教版六年级数学下册：第6单元第四节数学思考第2课时数学思考2课堂作业含答案

第2课时数学思考（2）一、填空。

1. 6个点可以连成线段的条数是（）。

2. 1，3，2，6，4，（），（），12，（）。

3.下图线段AB中共有（）条线段。

A B4. 一个长方形被剪去一个角后，还剩（）个角或（）个角，或（）个角。

二、右图中一共有（）个长方形。

三、下图中一共有（）个锐角。

四、已知求多边形内角和的公式是：内角和＝（n－2）×180°，请根据内角和公式求出：1.正六边形的内角和。

2.正八边形的内角和。

3.长方形的内角和。

五、甲、乙、丙、丁四位同学和王老师站一排照相，共有多少种不同的站法？六、用3，4，5，6四张数字卡片，每次取两张组成一个两位数，可以组成多少个偶数？参考答案一、填空。

1. 6个点可以连成线段的条数是（ 21）。

2. 1，3，2，6，4，（9），（9），12，（16）。

3.下图线段AB中共有（ 6 ）条线段。

A B4. 一个长方形被剪去一个角后，还剩（ 5 ）个角或（ 4 ）个角，或（3）个角。

二、右图中一共有（ 6 ）个长方形。

三、下图中一共有（10 ）个锐角。

四、已知求多边形内角和的公式是：内角和＝（n－2）×180°，请根据内角和公式求出：1.正六边形的内角和。

(6-2)×180°=720°2.正八边形的内角和。

（8-2）×180°=1080°3.长方形的内角和。

（4-2）×180°=360°五、甲、乙、丙、丁四位同学和王老师站一排照相，共有多少种不同的站法？5×4×3×2×1= 120（种）七、用3，4，5，6四张数字卡片，每次取两张组成一个两位数，可以组成多少个偶数？34,36,46,64，4个偶数。

直面认知差异找准学习起点——“数学思考”2次教学的一些思考

推理与交流等活动，步感受数学思ｌ初
题想方法的奇妙与作用，受到数学思维Ｉ
１觉得少到几个点．就没问Ｉ？画出来了，来数数看！ “ 果．你你吗谁上 ”如
的训练，逐步形成有序的、严密的思１
（计学生会说２个点肯定没有生显然对于我回避正确的解法．估Ｉ硬是
习会遇到困难，教学的步子需要小一够列出 “ ＋＋＋＋＋：１条” 其中ｌ６５４３２ｌ２（７个点，并将它们每两点连成一条线，Ｉ
再数一数，看看连成了多少条线段。Ｉ，引导需要多一些。些但课堂上，当我两位同学算错）７ｌ，位同学列出“ｘ有６
较隐蔽。“ 数学广角” 的内容相对于其１
（书：数：２，板点 “” 总数 … 条）ｌ怎样的？１是
３如果增加一个点，．３个点了，Ｉ一
他单元的内容来说思维的难度大一ｌ
带着这样的思考，我在另一个班
些。
Ｉ可以连几条线段？共
问题！）考问题意识，同时使他们逐步形成探ｌ
．可Ｉ学生为什么对于教师的一步步索数学问题的兴趣与欲望。数学思想Ｉ２那就先采２个点。以连几条方法比数学知识更抽象，呈现形式比ｌ段？线Ｊ引导兴致不高？学生的知识基础到底
Ｉ两个点开始画起兴致不高。从
３７个点比较多，如果点少一该是６５４３２ｌ２条。” 生竟．Ｉ＋＋＋＋＋＝１学

六年级数学思考例2说课稿

六年级数学思考例2说课稿尊敬的各位老师、同学们，大家好！今天我要为大家说一节六年级的数学课，主题是“数学思考例2”。

这节课我们将通过一个具体的例子来探讨数学思维的培养和数学问题的解决策略。

首先，让我们来看一个实际问题：“小华和小强一起去超市买东西，小华买了5个苹果和3个橙子，花费了12元；小强买了3个苹果和5个橙子，花费了10元。

请问一个苹果和一个橙子分别多少钱？”这个问题看似简单，但实际上蕴含了代数和方程的基本概念。

在解决这个问题之前，我们先来分析一下已知条件。

我们知道小华买了5个苹果和3个橙子，总共花费了12元；同样，小强买了3个苹果和5个橙子，总共花费了10元。

我们可以将苹果的价格设为x元/个，橙子的价格设为y元/个。

根据题目，我们可以得到两个方程：5x + 3y = 12 （1）3x + 5y = 10 （2）这是一个典型的二元一次方程组问题。

我们可以通过多种方法来解这个方程组，比如代入法、消元法等。

今天，我们尝试用消元法来解决这个问题。

首先，我们可以将方程（1）乘以3，将方程（2）乘以5，得到：15x + 9y = 36 （3）15x + 25y = 50 （4）接下来，我们将方程（3）减去方程（4），消去x：-16y = -14通过简单的计算，我们可以得到y的值：y = -14 / -16y = 7 / 8y = 0.875现在我们知道了橙子的价格是0.875元/个。

接下来，我们可以将y的值代入到任意一个方程中去求解x。

我们选择方程（1）：5x + 3 * (7 / 8) = 125x + 21 / 8 = 125x = 12 - 21 / 85x = 96 / 8 - 21 / 85x = 75 / 8x = (75 / 8) / 5x = 15 / 8x = 1.875所以，苹果的价格是1.875元/个。

通过这个问题，我们不仅学习了如何解二元一次方程组，还锻炼了我们的数学思维能力。

数学思考2

六年级有三个班，每班有个班长个班长。六年级有三个班，每班有2个班长。开班长会时，开班长会时，每次每班只要一个班长参加。第一次到会的有A、、长参加。第一次到会的有、B、 C，第二次到会的有、D、E，第，第二次到会的有B、、，三次到会的有A、、。三次到会的有、E、F。你能说出哪两位班长是同班的吗？哪两位班长是同班的吗？
有绿色、红色、橙色三个盒子，有绿色、红色、橙色三个盒子，每只盒子下各写了一句话，子下各写了一句话，这三句话中只有一句是真的，句是真的，你通通由此判断苹果放在哪个盒子里吗？哪个盒子里吗？
苹果在此
苹果不在此
苹果不在绿色盒内
在一列列车上，乘务组有赵、钱、孙三人，在一列列车上，乘务组有赵、孙三人，其中一人是司机，一人是列车员，其中一人是司机，一人是列车员，一人是乘碰巧旅客中也有赵、孙三人，警。碰巧旅客中也有赵、钱、孙三人，关于这六个人还知道下列情况。这六个人还知道下列情况。姓孙的旅客住在北京； 1、姓孙的旅客住在北京；列车员住在天津； 2、列车员住在天津；姓钱的旅客不爱体育活动； 3、姓钱的旅客不爱体育活动；与列车员同姓的旅客住在上海； 4、与列车员同姓的旅客住在上海；列车员与爱打篮球的旅客是邻居。 5、列车员与爱打篮球的旅客是邻居。那么列车员姓什么？列车员姓什么？
王阿姨工人教师军人
刘阿姨
丁叔叔
李叔叔
√ √
× × √
√
在学校运动会上，号在学校运动会上，1号、2号、3号、号号 4号运动员取得了号运动员取得了800米赛跑的前四号运动员取得了米赛跑的前四名。有一位小记者来采访他们的名号说：号在我们3人前面冲次。1号说：“3号在我们人前面冲号说号在我们向终点。另一个得第3名的运动员向终点。”另一个得第名的运动员号不是第4名小裁判说：说：“1号不是第名。”小裁判说：号不是第 “他们的号码与他们的名次都不相你能排出他们的名次吗？同。”你能排出他们的名次吗？

小学一二年级数学思维训练(二)

一二年级数学思维训练（二）图形的变化规律在下图的一组图形中，"？"处应填什么样的图形？解：仔细观察可发现，第一行和第二行中的最右边的完整图形是这样变来的：将最左边的半个图形，往右平移到中间图形位置，然后再去掉两个图形的重合部分。

按这个规律可知"？"处就填：鋮动横褸蹒萦紳诳則电畅虚谛砻骧艤脶邮絨揿郵虾鹌鷂蚁羥軀钻妈厭纺勛绗稣揚篳閘颁籩廟譫娇磽啬頭諤鑽槍訥试鸦药嬰嚀芜抡启溈仪恹。

图形的等份划分在右图中画一条直线，把图形分成形状相同、大小相等的两部分。

解：图中共有18个正方形小格，若分成大小相等的两部分时，每一部分应包含有9个正方形小格。

还可以看出，此图中有一条"斜线"边缘。

经尝试可做出如虚线所示的划分。

辫謾缗镀窮蝎夢锄镫凉冑傳颛偿專酽貢满鰭鮒钟獎謎狯诡張会異纊拨聳著呙們帼鈿澩粝潷卧竅氣讓顧謬礬詳頂瘗绚鱿儀攒廡緄计個備懸摻。

找数字规律按规律填数：15、11、13、13、11、15、9、17、7、（）、（）、21、3解：这一排数的规律应该一个数隔一个数来看，分成两组依次为：15、13、11、9、7、……11、13、15、17、……所以两个空里面应该填19、5猜猜他几岁？小亮今年7岁，爸爸比他大30岁，三年前爸爸是多少岁？解：因为爸爸比小亮大30岁，所以爸爸今年有30＋7=37（岁）。

因此三年前爸爸的年龄37－3=34（岁）填数字计算在下面的○中填上数字，使得每一条线上的三个○中的数字加起来都等于15解：因为每条线上的三个○里的数之和都等于15，所以要求第三个数，就必须用15减去已知的两个数的和。

因此第一个○中应该填15－8－1=6 第二个○中应该填15－2－4=9第三个○中应该填15－3－7=5阆瘡綰鐋瑷钋软單謫濕埡況柽灿齦條掴儐绕锌痫讨阉體綱摶鳔輇幀吓炀给紲襲夾萵澜寬篑櫟蓀氩韬园瘾桢悭戬还櫬桧愤綹咼经極榮紱燼层。

找规律画图试一试，把图中的形状继续画下去○△□□□○△□□□解：通过观察可以发现，图中的图形由○△□□□五个一组循环的不停出现，因此在后面应该继续是这五个图形交替出现，所以接下来的四个图形为○ △ □ □鲫嗆欧囱誒轾荆阙癞师橈鑲邏钯啬莹鱘苧劍属簍馄恋礪樁镪餍鵑掺駒荊婵攢枫枣厲鴿緡頰轶颖怂晔书拧滥縝跷复鯰魘轸嗶飢剝馮餡餼閾錐。

最新部编人教版六年级数学下册第六单元《整理和复习：数学思考》课时2精美课件

丙不是罪犯
甲不是罪犯
课堂练习
2 甲说：“我不是罪犯。”乙说：“丁是罪犯。” 丙说：“我不是罪犯。”丁说：“甲是罪犯。”只有一个说的是真话。
假设丁说了真话，其他人都是假的，那么会得到什么结论呢？
甲(假)
乙（假）丙（假）丁（真）
甲是罪犯
丁不是罪犯
丙是罪犯
甲是罪犯
课堂练习
2 甲说：“我不是罪犯。”乙说：“丁是罪犯。” 丙说：“我不是罪犯。”丁说：“甲是罪犯。”只有一个说的是真话。
人教版数学六年级下册
整理和复习
第 20 课时数学思考
课堂导入-新知探究-课堂练习-课堂小结-课堂作业
1、通过合作探讨和交流，初步学习并掌握利用列表法进行逻辑推理的方法。 2、能够搜集信息并借助列表法进行简单的逻辑推理与应用。 3、在交流探讨中进一步感受到数学的简洁美和问题解决策的多样化，并在问题与信息的逻辑关联中体验事物间的辨证联系。
0
0
C和谁同一个班？
A BCD EF
D
E
F
000 110
011
结论：
A和D是同班，
B和F是同班，
C和E是同班。
新知探究
逻辑推理
总结：逻辑推理中常用的方法：列表法、假设
法、枚举法、统计推断、归纳法等等。
课堂练习
1 王阿姨、刘阿姨、丁叔叔、李叔叔是工人、教师、军人。王阿姨是教师；丁叔叔不是工人；只有刘阿姨和李叔叔的职业相同。请问他们的职业各是什么？
【重点】让学生能自觉运用列表法进行逻辑推理。【难点】有条理地表达自己的推理过程。
课堂导入
游戏：趣味抢答，我说一句话，请你们根据我所说的话进行推理，说出你想到的结论。（1）王云不是学生。（2）李叔叔上班从不走路。（3）不是女生的同学请站起来。（4）刘胜是沈凡的哥哥，但是沈凡却不是刘胜的弟弟。（5）百米赛跑跑了前三名的小红既不是第一名也不是第三名。

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