《力学》漆安慎答案07章

力学（第二版）漆安慎习题解答

第七章刚体力学

第七章 刚体力学 一、基本知识小结

⒈刚体的质心

定义：∑⎰⎰==dm dm r r m

r m r c i i c //ρ

ρρ

ρ

求质心方法：对称分析法，分割法，积分法。 ⒉刚体对轴的转动惯量

定义：∑⎰==dm r I r m I i

i 22

平行轴定理 I o = I c +md 2

正交轴定理 I z = I x +I y.

常见刚体的转动惯量：

（略） ⒊刚体的动量和质心运动定理

∑==c c a m F v m p ρ

ρρρ ⒋刚体对轴的角动量和转动定理

∑==βτω

I I L

⒌刚体的转动动能和重力势能

c p k mgy E I E ==221ω

⒍刚体的平面运动=随质心坐标系的平动+绕质心坐标系的转动

动力学方程：∑∑==c c c c I a m F βτρ

ρ（不必考虑惯性力矩）

动能：2

21

2

21c

c c k I mv E ω+= ⒎刚体的平衡方程 ∑=0F ρ

， 对任意轴 ∑=0τ

二、思考题解答

火车在拐弯时所作的运动是不是平动？

答：刚体作平动时固联其上的任一一条直线，在各时刻的位置（方位）始终彼此平行。若将火车的车厢看作一个刚体，当火车作直线运行时，车厢上各部分具有平行运动的轨迹、相同的运动速度和加速度，选取车厢上的任一点都可代替车厢整体的运动，这就是火车的平动。但当火车拐弯时，车厢上各部分的速度和加速度都不相同，即固联在刚体上任一条直线，在各时刻的位置不能保持彼此平行，所以火车拐弯时的运动不是平动。

对静止的刚体施以外力作用，如果合外力为零，刚体会不会运动？

答：对静止的刚体施以外力作用，当合外力为了零，即时，刚体的质心将保持静止，但合外力为零并不表明所有的外力都作用于刚体的同一点。所以，对某一确定点刚体所受合外力的力矩不一定为零。由刚体的转动定律可知，刚体将发生转动。比如，置于光滑水平面上的匀质杆，对其两端施以大小相同、方向相反，沿水平面且垂直于杆的两个作用力时，杆所受的外力的合力为零，其质心虽然保持静止，但由于所受合外力矩不为零，将作绕质心轴的转动。

如果刚体转动的角速度很大，那么（1）作用在它上面的力是否一定很大？（2）作用在它上面的力矩是否一定很大？

答：由刚体的定轴转动定律可知，刚体受对轴的合外力矩正比于绕定轴转动角速度的时间变化率。因此，刚体转动的角速度很大，并不意味这转动角速度的时间变化率也很大，所以，

（1）刚体定轴转动的角速度很大，与其受力没有直接关系。对于刚体的一般运动，所受合外力使刚体的质心产生加速度，即改变刚体的平动状态。

（2）刚体定轴转动的角速度很大，与其受到对定轴的力矩的大小也没有直接关系。合外力矩使刚体产生角加速度，改变刚体的转动状态。

为什么在研究刚体转动时，要研究力矩作用？力矩和哪些因素有关？

答：一个静止的刚体能够获得平动的加速度而运动起来的原因是，相对它的质心而言，所受的合外力不为零。一个静止的刚体相对某一转动，能够获得角加速度而转动起来的原因是，刚体所受到的外力对转轴的合外力矩不为零。因此，刚体的转动是与其受到的相对转轴的合外力矩密切相关的。取轴为刚体转动的固定轴时，对转动有贡献的合外力矩是，其中，是作用在刚体上的第个外力在转动平面内的分量，而是由转轴（轴）到的作用点的距离，是和间由右手定则决定的夹角。所以，对轴的力矩不但与各外力在转动平面内分量的大小有关，还与的作用线与轴的垂直距离（力臂）的值有关。

试证：匀质细棒在光滑平面上受到一对大小相等、方向相反的作用力作用时，不管力作用在哪里，它的质心加速度总是零。

答：匀质刚性细棒可以看作在运动中保持相对位置不变的质点系，其质心遵守运动定律 .当该棒受大小相等方向相反的作用力时，质心所受合力与各个力的作用点无关，加速度总为零。

在计算物体的转动惯量时，能把物体的质量集中的质心处吗？

答：物体的转动惯量时物体转动惯性大小的量度。影响转动惯量的因素有：物体的总质量、物体质量的分布以及转轴的位置。同一物体对质心轴和任意轴的转动惯量是不同的。所以，在计算物体的转动惯量时，不能简单地把物体的质量看作集中在质心处。

两个同样大小的轮子，质量也相同。一个轮子的质量均匀分布，另一个轮子的质量主要集中在轮缘，问：（1）如果作用在它们上面的外力矩相同，哪个轮子转动的角加速度较大？（2）如果它们的角加速度相等，作用在哪个轮子上的力矩较大？（3）如果它们的角动量相等，哪个轮子上的力矩较大？

答：质量相等、大小相同的轮子，由于质量分布情况的不同而使得它们对同一转轴的转动惯量不同。由转动惯量的意义可知，质量主要集中在轮缘的轮子，其转动惯量较大。由定轴的转动定律和角动量，可知：

（1）相同时，物体所获得的角加速度大小与转动惯量成反比，故质量均匀分布的轮子转动的角加速度较大；

（2）角加速度相等时，转动惯量大的轮子上作用的力矩也大，故质量主要集中在轮缘的轮子受到的力矩较大；

（3）两轮的角动量相等时，两轮的角速度与它们的转动惯量成反比，故质量均匀分布的轮子转动的角速度较大转的较快。

一个转动着的飞轮，如不供给它能量，最终将停下来。试用转动定律解释这个现象。答：一个转动着的飞轮，如不供给它能量，最终必将停下来，这是由于飞轮在转动过程中受到各种对转轴的阻力矩作功的缘故。根据动能定理可知，阻力矩的功使飞轮的转动动能减小，使它最终停下来。

、什么是刚体？

答：一般假定物体无论受多大外力或转动得多快都不变形，并称这样的物体为刚体。刚体是力学中关于研究对象的另一个理想模型

、什么是刚体的平动？其动力学方程为何？

答：如果在运动中，刚体上任意两质元连线的空间方向始终保持不变，这种运动就称为刚体的平动。例如电梯的升降、活塞的往返等都是平动。

动力学方程为：

、什么是刚体的定轴转动？其动力学方程为何？答：如果刚体上各质元都绕同一直线作圆周运动就称为刚体转动，这条直线称为转轴，转轴固定于参考系的情况称为定轴转动。

答：刚体定轴轴的角动量

转动定理（它表明：刚体绕固定轴转动时，刚体对该转动轴线的转动惯量与角加速度的乘积在数量上等于外力对此转动轴线的合力矩——刚体定轴的转动定理。）

刚体的定轴转动的动能和重力势能为何？

答：刚体绕固定轴转动的动能等于刚体对此轴的转动惯量与角速度平方乘积之半重力势能：

、转动惯量的大小和什么有关？