高中数学选修2-1北师大版 双曲线的简单性质 课件 (33张)

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探究二
探究三
探究四
探究五
3.要注意正确判断焦点所在的坐标轴,焦点所在的坐标轴不同时,顶点 坐标、渐近线方程形式也是不同的.焦点在 x 轴上时,渐近线方程为 y=± x; 焦点在 y 轴上时,渐近线方程为 y=± x.
a b b探究五
【典型例题 1】求双曲线 4x2-y2=4 的顶点坐标、 焦点坐标、 实半轴长、 虚半轴长、离心率和渐近线方程,并作出草图. 思路分析:先将所给双曲线方程化为标准方程,再根据标准方程求出各 有关量.
c a 5 1
= 5,
b a
渐近线方程为 y=± x=± 2x,作草图如图.
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反思要注意正确判定焦点的位置;双曲线与椭圆相比,双曲线有
两个顶点,而椭圆有四个顶点;对渐近线方程的求法,一是利用渐近线方程写 出;二是由方程 x
2
y2 - =0 4
求解.
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求双曲线的离心率
1.双曲线的离心率公式 e= ,仅从形式上来看离心率似乎与焦点位置无 关,而实际上是与焦点有关的.仅由渐近线不能确定双曲线的焦点,故需要分 类讨论. 2.根据双曲线的 a,b,c,e 的关系,由题意转化为关于 e 的等式或不等式 来求解.求参数取值范围的题是各类考试中的常见题型,解题方法仍是充分 利用双曲线的性质. 3.求双曲线离心率或离心率范围的常用方法: c (1)求双曲线的离心率的常见方法:一是依据条件求出 a,c,再计算 e= ;
x2 标准形式 2 a
−
y2 b
2 =1
y2 x2 或 2- 2 a b
= 1 ;(2)根据它确定 a,b 的值(注意分母分别为
a2,b2,而不是 a,b);(3)求出 c,再对照双曲线的几何性质得到相应的答案.画近 似图形,要先画双曲线的两条渐近线(即:以 2a,2b 为两邻边的矩形的对角线 所在直线)和两个顶点,然后根据双曲线的变化趋势,就可画出双曲线的近 似图形.
b a 3 4 5 a2 + b 2 = a,故 4 5 3 3 4 b a
3 4
e= = .
a b a b 3 4 4 3
c a
5 4
当焦点在 y 轴上时,其渐近线方程为 y=± x,依题意, = ,则 b= a, 所以 c= a2 + b 2 = a,
c 5 a 3 5 5 答案: 或 3 4
x2 a2 y2 b x2 有相同渐近线的双曲线系为 2 a y2 b
−
2 =1
−
2 =λ(λ≠0),焦点可能在
x 轴上,
也可能在 y 轴上. 所有以 y=± kx 为渐近线的双曲线的方程可设为 k2x2-y2=λ(λ≠0).在画双 曲线的草图时,应先画出其两条渐近线,然后再标出两顶点的坐标,利用双曲 线的图形特征,即可作出比较准确的草图.
a
c a
二是依据条件提供的信息建立关于参数 a,b,c 的等式,进而转化为关于离心 率 e 的方程,再解出 e 的值. (2)求离心率的范围时,常结合已知条件构建关于 a,b,c 的不等关系.
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【典型例题 2】 双曲线的渐近线方程为 y=± x,则双曲线的离心率 为 . 解析:要求双曲线的离心率需找出 a 与 c 的关系.而本题已知渐近线方 程,需确定双曲线的焦点位置,因而需要分类讨论. 当焦点在 x 轴上时,其渐近线方程为 y=± x. 依题意, = ,则 b= a, 所以 c=
思考 2 双曲线中应注意的问题是什么?
提示:(1)双曲线是两支曲线,而椭圆是一条封闭的曲线; (2)双曲线的两条渐近线是区别于其他圆锥曲线所特有的; (3)双曲线只有两个顶点,离心率 e>1; (4)等轴双曲线是一种比较特殊的双曲线,其离心率为 2,实轴长与虚 轴长相等,两条渐近线互相垂直; (5)注意双曲线中 a,b,c,e 的等量关系与椭圆中 a,b,c,e 的等量关系的区 别.
3.2 双曲线的简单性质
课程目标 1.掌握双曲线的范围、对称性、顶点、渐近 线及离心率等简单几何性质. 2.感受双曲线在刻画现实世界和解决实际 问题中的作用,体会数形结合思想.
学习脉络
x2 双曲线 2 a
−
y2 b
2 =1(a>0,b>0)的简单性质
知识拓展(1)等轴双曲线:
实轴长与虚轴长相等的双曲线称为等轴双曲线,其方程为 x2-y2=± a2. 等轴双曲线有两个非常明显的特征:①离心率 e= 2;②两条渐近线互 相垂直.这两个特征可用来作为判断双曲线是否为等轴双曲线的充要条件 . (2)共轭双曲线: 以已知双曲线的虚轴为实轴、实轴为虚轴的双曲线叫作原双曲线的 共轭双曲线. 如 2−
x2 a y2 b
2 =1 的共轭双曲线是 2 −
x2 a
y2 b
2 =-1.
互为共轭的双曲线具有如下性质: ①它们具有相同的渐近线,反之不一定成立; ②它们的四个焦点共圆;
2 2 2 ③设它们的离心率分别为 e1,e2,则e1 + e2 2 = e1 e2 .
x2 记忆方法:将 2 a
−
y2
b
2 =1
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解:将 4x -y =4 变形为 x 即
x2 12
2
2
2
−
y2 22
y2 - =1, 4
=1.
∴ a=1,b=2,c= 5. 因此顶点为 A1(-1,0),A2(1,0), 焦点为 F1(- 5,0),F2( 5,0). 实半轴长是 a=1,虚半轴长是 b=2. 离心率 e= =
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双曲线的简单性质
1.已知双曲线的方程讨论其几何性质时,需先看所给方程是否为标准 方程,若不是,需先把方程化为标准方程,然后由标准方程确定焦点所在的坐 标轴,找准 a 和 b,才能正确地写出焦点坐标、顶点坐标等.注意与椭圆的相 关几何性质进行比较. 2.由双曲线的方程,求双曲线的有关性质的步骤:(1)将双曲线方程化为
中的 1 改为 0 即为渐近线,1 改为-1 即为共轭双
曲线.
思考 1 如何正确理解双曲线的渐近线?
提示:双曲线的渐近线是两条直线.随着 x 和 y 趋向于无穷大,双曲线将 无限地与渐近线接近,但永远没有交点.由双曲线的渐近线方程只能确定 a 与 b 或 b 与 a 的比值,却无法确定双曲线的焦点在哪一坐标轴上.与双曲线