第二十章-轴的设计计算(机)
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32
M e —— 当量弯矩，
M e M 2 (T )2
α —— 应力校正系数；
对称循环转矩：
1
[ 1b ] 0.6 脉动循环转矩 ： [ 0b ] [ ] 1b 0.3 （为安全，常按 不变转矩 ： [ 1b ] 脉动循环考虑）
天津大学专用 作者： 潘存云教授
碳素钢
合金钢
铸钢
天津大学专用
作者： 潘存云教授
二、轴的强度计算
3. 转轴的强度计算
转轴的一般设计步骤： ● 由转矩法作轴径的初步估算；
● 把估算直径作为轴受扭最细段直径，进行轴的初 步结构设计，即确定轴的外形与基本尺寸；
● 按弯扭复合应力作用（当量弯矩法）进行强度校 核；通常在初步完成结构设计之后进行。
M d 3 0.1[ ]W
式中 W —— 轴抗扭截面系数，mm3； ——许用弯Hale Waihona Puke Baidu应力（见表20-4 ），MPa； [ ]W
转动心轴取 [ 1b ] ；启动、停车较频繁固定心轴取[ 0b ]；
载荷平稳的固定心轴取 [ 1b ] 为许用应力。
天津大学专用 作者： 潘存云教授
二、轴的强度计算
s , s－材料的正应力和切应力屈服点；
[ss ]－静强度的许用安全因数，1.2～3。
天津大学专用
作者： 潘存云教授
提高轴的疲劳强度的措施：
（1）表面愈粗糙疲劳强度愈低； 减小表面粗糙度值；
（2）表面强化处理：
▲ 表面淬火 ▲ 表面渗碳、氰化、氮化等化学处理
▲ 碾压、喷丸等强化处理
天津大学专用
σ-1
MPa
剪切疲 许用弯 劳极限 曲应力 [σ-1] σ-1
应
用
≤ 100 热轧或锻 后空冷 > 100~250 ≤ 100 正火 > 100~300 45 ≤ 200 调质 ≤ 100 40Cr 调质 > 100~300 ≤ 100 40CrNi 调质 > 100~300 ≤ 100 38SiMnMo 调质 > 100~300 ≤ 60 38CrMoAlA 调质 > 60~100 > 100~160 渗碳 淬火 ≤ 60 20Cr 回火 调质 ≤ 100 3Cr13 ≤ 100 1Cr18NiTi 淬火 > 100~200 QT600-3 QT800-2 天津大学专用 Q235A
170
255 245 275 355 335 430 370 365 345 440 410 375 305 395 190 180 215 290
105
140 135 155 200 185 260 210 210 195 280 270 220 160 230 115 110 185 250
40
轴的振动分为：*横向振动（弯曲振动）、扭转振动、纵向振动 临界转速——轴发生共振时的转速，分为一阶、二阶、三阶…. 刚性轴：工作转速 n 低于一阶临界转速 设计原则：
nc1
的轴
n0.75nc1
挠性轴：工作转速 n 高于一阶临界转速 设计原则：
nc1 的轴
1.4nc1 n0.7nc 2
天津大学专用
振动稳定性 防止轴发生共振
天津大学专用 作者： 潘存云教授
三、 轴的材料
为了改善力学性能
轴材料应具备的性能：
具有足够的强度、刚度、韧性，对应力集中敏感性较低，有时 要求耐磨、耐腐蚀。
碳素钢：价廉，对应力集中的敏感性低，热处理后可提高耐磨
性和抗疲劳强度。 应用广泛。 45最常用。
合金钢: 具有较高的综合力学性能（主要是强度）和较好的可
二、轴的强度计算
3. 转轴的强度计算 实心圆截面轴按弯扭合成强度进行校核，轴的最小 直径 ： Me d min 3 0.1[ 1b ] 考虑键槽对轴有削弱，可按以下方式修正轴径
有一个键槽 轴径d＞100mm 轴径d≤100mm
天津大学专用
有两个键槽 d 增大7% d 增大10%～15%
作者： 潘存云教授
淬性。应力集中敏感。应用于受力大但要求直径小、质量较轻 或耐磨性较高的场合，如：20Cr、40Cr、40MnB
球墨或合金铸铁: 吸振、耐磨。铸造性能好，对应力集中不敏感
天津大学专用 作者： 潘存云教授
轴的常用材料及其主要力学性能
材料牌号 热处理 毛坯直径 /mm 硬度 /HBS 抗拉强 度极限 屈服强 弯曲疲 度极限 劳极限
● 心轴按弯曲强度计算； ● 转轴按弯扭合成强度进行计算。 计算方法：转矩法；当量弯矩法；安全因数校核法。
带轮 齿轮 滚动轴承
天津大学专用
作者： 潘存云教授
一、轴的力学计算简图
天津大学专用
作者： 潘存云教授
一、轴的力学计算简图
天津大学专用
作者： 潘存云教授
二、轴的强度计算
1. 传动轴的强度计算与转轴的轴径估算（转矩法） 传动轴工作时受扭，实心圆截面轴的强度条件为 6 T T 9.55 10 P T [ T ] 3 WT d 3 0.2d n 16 式中 T —— 转矩，N· mm； WT —— 轴抗扭截面系数，mm3；
最小轴径
P 9.55 10 33 P P P 33 d C d3 C C n 0.2[ ]T n nn
6
式中，系数C查表20-3 上式可作为转轴在结构设计前的轴径估算。
天津大学专用
作者： 潘存云教授
二、轴的强度计算
1. 传动轴的强度计算与转轴的轴径估算
P d C n
3
考虑键槽对轴有削弱，可按以下方式修正轴径
σb
400~420 375~390 590 570 640 735 685 900 785 735 685 930 835 785 640 835 530 490 600 800
σs
225 215 295 285 355 540 490 735 570 590 540 785 685 590 390 635 195 370 480
[s] 疲劳强度的许用安全因数，1.3～2.5。
天津大学专用 作者： 潘存云教授
（2）轴的静强度校核 目的：校核轴对塑性变形的抵抗能力
s S s max
s S s max
Ss
Ss Ss Ss2 Ss2
[ss ]
max , max－峰值载荷产生的弯曲应力和切应力；
● 重要的轴，一般采用安全系数法进行强度校核。
天津大学专用 作者： 潘存云教授
二、轴的强度计算
3. 转轴的强度计算 1）转轴的当量弯矩法强度计算 应用第三强度理论 当量弯曲应力及强度条件
天津大学专用
实心圆截面轴： T T T M M T w 3 3 WT 0.2d 2W W 0.1d 则 2 1 T 2 2 2 1 M 4 M T [ ]W2 T 2 [ ]W ew e M W W W 2W
[ T ]——许用扭应力，MPa；
P —— 轴传递的功率，kW； n —— 转速，r/min;
天津大学专用 作者： 潘存云教授
二、轴的强度计算
1. 传动轴的强度计算与转轴的轴径估算（转矩法）
T T 9.55 106 P T [ T ] 3 3 WT 0.2d n d 16
前轴
固定心轴
天津大学专用
作者： 潘存云教授
转
轴 ——既受扭矩又受弯矩的轴
带式运 输机
电动机 减速器
转轴
天津大学专用
作者： 潘存云教授
二、轴设计的主要内容 设计总原则：
在满足工作能力要求的前提下，力求轴的尺寸小、质量轻、 工艺性好。
需要完成的工作 ：
1. 选择适宜的材料 2. 合理地确定结构 强 度 3. 计算 刚 度 避免断裂和塑性变形 防止过大弹性变形
作者： 潘存云教授
§20-4 轴的振动与临界转速
一、单圆盘轴的一阶临界转速 质量偏心引起的惯性离心力：
F m 2 ( y e)
轴弯曲变形产生的弹性力： 则： F F '
F ' ky
e k 1 2 m
y
k c1 m
k mg / y0
c1
g y0
nc1
（1）轴的疲劳强度校核
弯矩、转矩作用下的安全因数及综合安全因数分别为：
S K N 1
S K N 1
k
a m
k
a m
S
S S S S
2 2
[ s]
KN 寿命因子；
k , k 弯矩、扭矩作用下的疲劳缺口因子； , 弯曲、扭转时的尺寸因子； , 弯矩、扭矩等效因子； 表面状态因子。
55 60 70 75 70
用于不太重要及受 载荷不大的轴 应用最为广泛 用于载荷较大，而无 大的冲击的重要轴 用于很重要的轴 用于重要轴，性能 近于40CrNi 用于要求高耐磨性， 高强度且热处理变 形很小的轴 用于要求强度及韧 性均较高的轴 用于腐蚀条件下的轴 用于高、低温及腐 蚀条件下的轴 用于制造复杂外形 的轴 作者： 潘存云教授
作者： 潘存云教授
§20-3 轴的刚度计算
一、扭转刚度校核计算
[ ]
－ [ ]－
轴的扭角； 轴的许用扭角。
二、弯曲刚度校核计算
y [ y]， [ ]
y,－ 轴的挠度和转角；
[ y ],[ ]－轴的许用挠度和许用转角。
天津大学专用 作者： 潘存云教授
§20-4 轴的振动与临界转速
第 二十 章
内容提要：
轴的设计计算 (Shaft)
1. 轴的功用、分类及材料
2. 强度计算（转轴）* 3. 轴的刚度计算
4. 振动稳定性
天津大学专用
作者： 潘存云教授
§20-1 概 述
轴的功用：用来支撑旋转的机械零件，如齿轮、带轮、链轮等， 并传递运动和动力。 一、轴的分类 直轴 阶梯轴 光轴 空心轴 按轴线形状分 曲轴
有一个键槽 轴径d＞100mm 轴径d≤100mm d 增大3% d 增大5%～7% 有两个键槽 d 增大7% d 增大10%～15%
天津大学专用
作者： 潘存云教授
二、轴的强度计算
2. 心轴的强度计算
一般情况下，心轴的抗弯强度条件为
M M M w [ ]W 3 3 W d 0.1d 32
170~217 162~217 217~255 241~286 270~300 240~270 229~286 217~269 293~321 277~302 241~277 渗碳 56~62 HRC ≥ 241 ≤ 192 190~270 245~335
75
60
75
45
§20-2 轴的强度计算
● 传动轴按扭转强度计算；
e 4
2 w
2 T
[ ]W
作者： 潘存云教授
对于转轴： [ ]W 为对称循环许用应力 [ 1b ] 考虑到实际的转矩变化情况，取
Me 1 2 2 e M ( T ) [ 1b ] W W d3 0.1d 3 W —— 轴的抗弯截面系数， W
30
g y0
结论： 轴的临界转速决定于轴系回转件的质量和轴的刚度， 而与偏心距无关 二、多圆盘轴的一阶临界转速
天津大学专用 作者： 潘存云教授
轴的设计实例
例20-1 试按当量弯矩法和安全因数法校核图20-9所示减速器 中间轴的强度。已知条件：中轴上转矩T=850N且变化不大， 小齿轮1的分度圆直径=85mm，螺旋角，方向为右旋。大齿 轮2为直齿轮，其分度圆直径=280mm，两对齿轮均为标准齿 轮。轴的材料为45钢调质，寿命因子=1。
2. 心轴的强度计算
表20－4 轴的许用弯曲应力
材料
b
400 500 600 700 800 1000 400 500
[ +1b ]
130 170 200 230 270 330 100 120
[ 0b ]
70 75 95 110 130 150 50 70
[ -1b ]
40 45 55 65 75 90 30 40
d 增大3% d 增大5%～7%
二、轴的强度计算
3. 转轴的强度计算
2）转轴的安全因数法强度校核
当量弯矩法适用于一般转轴的强度计算。当需 要精确评定轴的安全性时，应用安全因数校核
法对轴的危险截面进行校核计算。
内容包括： （1）轴的疲劳强度校核； （2）轴的静强度校核。
天津大学专用 作者： 潘存云教授
潘存云教授研制 潘存云教授研制
轴
挠性轴 传动轴
按受载情况分 心轴 转轴 转动心轴 固定心轴
作者： 潘存云教授
天津大学专用
传动轴 ——受（或主要受）扭矩的轴
发动机
传动轴
后桥
天津大学专用
作者： 潘存云教授
心
轴 ——只受弯矩的轴
车厢重力
潘存云教授研制
自行车 前轮毂
前叉
潘存云教授研制
支反力
火车 轮轴 转动心轴
M e —— 当量弯矩，
M e M 2 (T )2
α —— 应力校正系数；
对称循环转矩：
1
[ 1b ] 0.6 脉动循环转矩 ： [ 0b ] [ ] 1b 0.3 （为安全，常按 不变转矩 ： [ 1b ] 脉动循环考虑）
天津大学专用 作者： 潘存云教授
碳素钢
合金钢
铸钢
天津大学专用
作者： 潘存云教授
二、轴的强度计算
3. 转轴的强度计算
转轴的一般设计步骤： ● 由转矩法作轴径的初步估算；
● 把估算直径作为轴受扭最细段直径，进行轴的初 步结构设计，即确定轴的外形与基本尺寸；
● 按弯扭复合应力作用（当量弯矩法）进行强度校 核；通常在初步完成结构设计之后进行。
M d 3 0.1[ ]W
式中 W —— 轴抗扭截面系数，mm3； ——许用弯Hale Waihona Puke Baidu应力（见表20-4 ），MPa； [ ]W
转动心轴取 [ 1b ] ；启动、停车较频繁固定心轴取[ 0b ]；
载荷平稳的固定心轴取 [ 1b ] 为许用应力。
天津大学专用 作者： 潘存云教授
二、轴的强度计算
s , s－材料的正应力和切应力屈服点；
[ss ]－静强度的许用安全因数，1.2～3。
天津大学专用
作者： 潘存云教授
提高轴的疲劳强度的措施：
（1）表面愈粗糙疲劳强度愈低； 减小表面粗糙度值；
（2）表面强化处理：
▲ 表面淬火 ▲ 表面渗碳、氰化、氮化等化学处理
▲ 碾压、喷丸等强化处理
天津大学专用
σ-1
MPa
剪切疲 许用弯 劳极限 曲应力 [σ-1] σ-1
应
用
≤ 100 热轧或锻 后空冷 > 100~250 ≤ 100 正火 > 100~300 45 ≤ 200 调质 ≤ 100 40Cr 调质 > 100~300 ≤ 100 40CrNi 调质 > 100~300 ≤ 100 38SiMnMo 调质 > 100~300 ≤ 60 38CrMoAlA 调质 > 60~100 > 100~160 渗碳 淬火 ≤ 60 20Cr 回火 调质 ≤ 100 3Cr13 ≤ 100 1Cr18NiTi 淬火 > 100~200 QT600-3 QT800-2 天津大学专用 Q235A
170
255 245 275 355 335 430 370 365 345 440 410 375 305 395 190 180 215 290
105
140 135 155 200 185 260 210 210 195 280 270 220 160 230 115 110 185 250
40
轴的振动分为：*横向振动（弯曲振动）、扭转振动、纵向振动 临界转速——轴发生共振时的转速，分为一阶、二阶、三阶…. 刚性轴：工作转速 n 低于一阶临界转速 设计原则：
nc1
的轴
n0.75nc1
挠性轴：工作转速 n 高于一阶临界转速 设计原则：
nc1 的轴
1.4nc1 n0.7nc 2
天津大学专用
振动稳定性 防止轴发生共振
天津大学专用 作者： 潘存云教授
三、 轴的材料
为了改善力学性能
轴材料应具备的性能：
具有足够的强度、刚度、韧性，对应力集中敏感性较低，有时 要求耐磨、耐腐蚀。
碳素钢：价廉，对应力集中的敏感性低，热处理后可提高耐磨
性和抗疲劳强度。 应用广泛。 45最常用。
合金钢: 具有较高的综合力学性能（主要是强度）和较好的可
二、轴的强度计算
3. 转轴的强度计算 实心圆截面轴按弯扭合成强度进行校核，轴的最小 直径 ： Me d min 3 0.1[ 1b ] 考虑键槽对轴有削弱，可按以下方式修正轴径
有一个键槽 轴径d＞100mm 轴径d≤100mm
天津大学专用
有两个键槽 d 增大7% d 增大10%～15%
作者： 潘存云教授
淬性。应力集中敏感。应用于受力大但要求直径小、质量较轻 或耐磨性较高的场合，如：20Cr、40Cr、40MnB
球墨或合金铸铁: 吸振、耐磨。铸造性能好，对应力集中不敏感
天津大学专用 作者： 潘存云教授
轴的常用材料及其主要力学性能
材料牌号 热处理 毛坯直径 /mm 硬度 /HBS 抗拉强 度极限 屈服强 弯曲疲 度极限 劳极限
● 心轴按弯曲强度计算； ● 转轴按弯扭合成强度进行计算。 计算方法：转矩法；当量弯矩法；安全因数校核法。
带轮 齿轮 滚动轴承
天津大学专用
作者： 潘存云教授
一、轴的力学计算简图
天津大学专用
作者： 潘存云教授
一、轴的力学计算简图
天津大学专用
作者： 潘存云教授
二、轴的强度计算
1. 传动轴的强度计算与转轴的轴径估算（转矩法） 传动轴工作时受扭，实心圆截面轴的强度条件为 6 T T 9.55 10 P T [ T ] 3 WT d 3 0.2d n 16 式中 T —— 转矩，N· mm； WT —— 轴抗扭截面系数，mm3；
最小轴径
P 9.55 10 33 P P P 33 d C d3 C C n 0.2[ ]T n nn
6
式中，系数C查表20-3 上式可作为转轴在结构设计前的轴径估算。
天津大学专用
作者： 潘存云教授
二、轴的强度计算
1. 传动轴的强度计算与转轴的轴径估算
P d C n
3
考虑键槽对轴有削弱，可按以下方式修正轴径
σb
400~420 375~390 590 570 640 735 685 900 785 735 685 930 835 785 640 835 530 490 600 800
σs
225 215 295 285 355 540 490 735 570 590 540 785 685 590 390 635 195 370 480
[s] 疲劳强度的许用安全因数，1.3～2.5。
天津大学专用 作者： 潘存云教授
（2）轴的静强度校核 目的：校核轴对塑性变形的抵抗能力
s S s max
s S s max
Ss
Ss Ss Ss2 Ss2
[ss ]
max , max－峰值载荷产生的弯曲应力和切应力；
● 重要的轴，一般采用安全系数法进行强度校核。
天津大学专用 作者： 潘存云教授
二、轴的强度计算
3. 转轴的强度计算 1）转轴的当量弯矩法强度计算 应用第三强度理论 当量弯曲应力及强度条件
天津大学专用
实心圆截面轴： T T T M M T w 3 3 WT 0.2d 2W W 0.1d 则 2 1 T 2 2 2 1 M 4 M T [ ]W2 T 2 [ ]W ew e M W W W 2W
[ T ]——许用扭应力，MPa；
P —— 轴传递的功率，kW； n —— 转速，r/min;
天津大学专用 作者： 潘存云教授
二、轴的强度计算
1. 传动轴的强度计算与转轴的轴径估算（转矩法）
T T 9.55 106 P T [ T ] 3 3 WT 0.2d n d 16
前轴
固定心轴
天津大学专用
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转
轴 ——既受扭矩又受弯矩的轴
带式运 输机
电动机 减速器
转轴
天津大学专用
作者： 潘存云教授
二、轴设计的主要内容 设计总原则：
在满足工作能力要求的前提下，力求轴的尺寸小、质量轻、 工艺性好。
需要完成的工作 ：
1. 选择适宜的材料 2. 合理地确定结构 强 度 3. 计算 刚 度 避免断裂和塑性变形 防止过大弹性变形
作者： 潘存云教授
§20-4 轴的振动与临界转速
一、单圆盘轴的一阶临界转速 质量偏心引起的惯性离心力：
F m 2 ( y e)
轴弯曲变形产生的弹性力： 则： F F '
F ' ky
e k 1 2 m
y
k c1 m
k mg / y0
c1
g y0
nc1
（1）轴的疲劳强度校核
弯矩、转矩作用下的安全因数及综合安全因数分别为：
S K N 1
S K N 1
k
a m
k
a m
S
S S S S
2 2
[ s]
KN 寿命因子；
k , k 弯矩、扭矩作用下的疲劳缺口因子； , 弯曲、扭转时的尺寸因子； , 弯矩、扭矩等效因子； 表面状态因子。
55 60 70 75 70
用于不太重要及受 载荷不大的轴 应用最为广泛 用于载荷较大，而无 大的冲击的重要轴 用于很重要的轴 用于重要轴，性能 近于40CrNi 用于要求高耐磨性， 高强度且热处理变 形很小的轴 用于要求强度及韧 性均较高的轴 用于腐蚀条件下的轴 用于高、低温及腐 蚀条件下的轴 用于制造复杂外形 的轴 作者： 潘存云教授
作者： 潘存云教授
§20-3 轴的刚度计算
一、扭转刚度校核计算
[ ]
－ [ ]－
轴的扭角； 轴的许用扭角。
二、弯曲刚度校核计算
y [ y]， [ ]
y,－ 轴的挠度和转角；
[ y ],[ ]－轴的许用挠度和许用转角。
天津大学专用 作者： 潘存云教授
§20-4 轴的振动与临界转速
第 二十 章
内容提要：
轴的设计计算 (Shaft)
1. 轴的功用、分类及材料
2. 强度计算（转轴）* 3. 轴的刚度计算
4. 振动稳定性
天津大学专用
作者： 潘存云教授
§20-1 概 述
轴的功用：用来支撑旋转的机械零件，如齿轮、带轮、链轮等， 并传递运动和动力。 一、轴的分类 直轴 阶梯轴 光轴 空心轴 按轴线形状分 曲轴
有一个键槽 轴径d＞100mm 轴径d≤100mm d 增大3% d 增大5%～7% 有两个键槽 d 增大7% d 增大10%～15%
天津大学专用
作者： 潘存云教授
二、轴的强度计算
2. 心轴的强度计算
一般情况下，心轴的抗弯强度条件为
M M M w [ ]W 3 3 W d 0.1d 32
170~217 162~217 217~255 241~286 270~300 240~270 229~286 217~269 293~321 277~302 241~277 渗碳 56~62 HRC ≥ 241 ≤ 192 190~270 245~335
75
60
75
45
§20-2 轴的强度计算
● 传动轴按扭转强度计算；
e 4
2 w
2 T
[ ]W
作者： 潘存云教授
对于转轴： [ ]W 为对称循环许用应力 [ 1b ] 考虑到实际的转矩变化情况，取
Me 1 2 2 e M ( T ) [ 1b ] W W d3 0.1d 3 W —— 轴的抗弯截面系数， W
30
g y0
结论： 轴的临界转速决定于轴系回转件的质量和轴的刚度， 而与偏心距无关 二、多圆盘轴的一阶临界转速
天津大学专用 作者： 潘存云教授
轴的设计实例
例20-1 试按当量弯矩法和安全因数法校核图20-9所示减速器 中间轴的强度。已知条件：中轴上转矩T=850N且变化不大， 小齿轮1的分度圆直径=85mm，螺旋角，方向为右旋。大齿 轮2为直齿轮，其分度圆直径=280mm，两对齿轮均为标准齿 轮。轴的材料为45钢调质，寿命因子=1。
2. 心轴的强度计算
表20－4 轴的许用弯曲应力
材料
b
400 500 600 700 800 1000 400 500
[ +1b ]
130 170 200 230 270 330 100 120
[ 0b ]
70 75 95 110 130 150 50 70
[ -1b ]
40 45 55 65 75 90 30 40
d 增大3% d 增大5%～7%
二、轴的强度计算
3. 转轴的强度计算
2）转轴的安全因数法强度校核
当量弯矩法适用于一般转轴的强度计算。当需 要精确评定轴的安全性时，应用安全因数校核
法对轴的危险截面进行校核计算。
内容包括： （1）轴的疲劳强度校核； （2）轴的静强度校核。
天津大学专用 作者： 潘存云教授
潘存云教授研制 潘存云教授研制
轴
挠性轴 传动轴
按受载情况分 心轴 转轴 转动心轴 固定心轴
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传动轴 ——受（或主要受）扭矩的轴
发动机
传动轴
后桥
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作者： 潘存云教授
心
轴 ——只受弯矩的轴
车厢重力
潘存云教授研制
自行车 前轮毂
前叉
潘存云教授研制
支反力
火车 轮轴 转动心轴