(浙江专版)高考数学一轮复习 7.7 空间向量在立体几何中的应用限时集训 理
高考数学一轮复习第七章《立体几何与空间向量》专项突破四立体几何-第1课时构建合适的空间直角坐标系解决
方法感悟 不规则几何体建立空间直角坐标系的思路 如果题中没有现成的两两垂直的三条线，那么我们应该先找到一个线面垂直关系， 再在这个面中找经过垂足的两条互相垂直的直线.虽然只要两两垂直就可以建系， 但是合理的建系方法能使坐标很容易找到，而且坐标的形式相对简单,从而大大减 少计算量，这就要求我们在建系的时候尽量多使用题目条件来建系.
迁移应用
题型一 柱体模型
方法感悟 柱体建立空间直角坐标系的思路 1.正方体、长方体可直接利用其侧棱和底面的两条垂直的棱直接建系. 2.正三棱柱、正四棱柱可利用一侧棱、底面一条棱及底面这条棱上的垂线建系.
迁移应用
题型二 锥体模型
迁移应用
题型三 不规则几何体模型
专项突破四 立体几何
第1课时 构建合适的空间直角坐标系解决立体几何问题
坐标法是利用空间向量的坐标运算解决立体几何问题的重要方法，运用坐标 法解题往往需要建立空间直角坐标系，而如何建立恰当的空间直角坐标系是本章 的难点，这就要求学生抓住空间几来自百度文库图形的结构特征，充分利用图形中的垂直关 系（或在图形中构造垂直关系）建系.
浙江专版高考数学一轮复习第七章立体几何第六节第二课时空间向量的应用课件
图所示空间直角坐标系 D-xyz,则 D(0,0,0)，A(2,0,0)，C(0,2,0)，
P(0，－1， 3)，又知 E 为 PC 的中点，
所以
E0，12，
23，设
F(2，t,0)，则―D→E ＝0，12，
3 2
，
―D→F ＝(2，t,0)，―D→P ＝(0，－1， 3)，―D→A ＝(2,0,0)．
m＝(0， 43，解得
3，1), t＝43.
∴当 AF＝43时满足 cos θ＝ 43.
[通法在握]
解立体几何中探索性问题的方法 (1)通常假设题中的数学对象存在(或结论成立)，然后在这 个前提下进行逻辑推理； (2)若能推导出与条件吻合的数据或事实，说明假设成 立，即存在，并可进一步证明； (3)若推导出与条件或实际情况相矛盾的结论，则说明假 设不成立，即不存在． [提醒] 探索线段上是否存在点时，注意三点共线条件的 应用．
解：(1)证明：在梯形ABCD中， ∵AB∥CD，AD＝DC＝CB＝1，∠BCD＝120°， ∴AB＝2，∴BD2＝AB2＋AD2－2AB·AD·cos 60°＝3. ∴AB2＝AD2＋BD2， ∴AD⊥BD. ∵平面BFED⊥平面ABCD，平面BFED∩平面ABCD＝ BD，DE⊂平面BFED，DE⊥DB， ∴DE⊥平面ABCD， ∴DE⊥AD，又DE∩BD＝D，∴AD⊥平面BFED.
高考数学(全国通用)一轮总复习(文理科)配套课件：第七章 立体几何 7.7
第七章
第七节 空间角与距离的求解
主干知识回顾
名师考点精讲
综合能力提升
-2-
考纲概述
考查热点
(1)能用向量方法证明立体几何中有关线面位 直线与直线的 置关系的一些简单定理(包括三垂线定理). 夹角 (2)能用向量方法解决直线与直线、直线与平 直线与平面的 面、平面与平面的夹角的计算问题,了解向量 夹角 方法在研究立体几何问题中的应用. (3)理解直线的方向向量及平面的法向量. 平面与平面的 (4)能用向量语言表述线线、线面、面面的平 夹角 行和垂直关系.
∴
������ + ������ = ������������ = 0,
0,令
x=1,则
y=-1,z=0,
∴n2=(1,-1,0),
由题知|cos<n1,n2>|=
������1·������2 |������1||������2|
= 36,
∴
������ =
������2+2
36,
则 a=2,即 PC=2,
-10-
第七章
第七节 空间角与距离的求解
主干知识回顾
名师考点精讲
综合能力提升
-11-
考点 1 利用空间向量证明平行与垂直关系
典例1 (1)(2015·江西师大附中期中考试)如图,在四棱锥S-ABCD中,侧棱SA⊥底面 ABCD,AD∥BC,∠ABC=90°,SA=AB=BC=2,AD=1,M是棱SB的中点.求证:AM∥面SCD.
高考数学一轮复习 第7章 空间几何体的结构及其三视图和直观图 第7讲 立体几何中的向量方法创新教学案
第7讲立体几何中的向量方法
[考纲解读] 1.理解直线的方向向量及平面的法向量，并能用向量语言表述线线、线面、面面的平行和垂直关系．(重点)
2．能用向量方法证明立体几何中有关线面位置关系的一些简单定理，并能用向量方法解决线线、线面、面面的夹角的计算问题．(难点)
[考向预测]从近三年高考情况来看，本讲为高考必考内容．预测2021年高考将会以空间向量为工具证明平行与垂直以及进行空间角的计算．试题以解答题的形式呈现，难度为中等偏上.
1.用向量证明空间中的平行关系
(1)设直线l1和l2的方向向量分别为v1和v2，那么l1∥l2(或l1与l2重合)⇔□01v1
∥v2⇔v1＝λv2.
(2)设直线l的方向向量为v，与平面α共面的两个不共线向量为v1和v2，那
么l∥α或l⊂α⇔存在两个实数x，y，使v＝□02x v1＋y v2.
(3)设直线l的方向向量为v，平面α的法向量为u，那么l∥α或l⊂α⇔□03v⊥
u⇔□04v·u＝0.
(4)设平面α和β的法向量分别为u1，u2，那么α∥β⇔□05u1∥u2⇔u1＝λu2.
2．用向量证明空间中的垂直关系
(1)设直线l1和l2的方向向量分别为v1和v2，那么l1⊥l2⇔□01v1⊥v2⇔□02v1·v2
＝0.
(2)设直线l的方向向量为v，平面α的法向量为u，那么l⊥α⇔□03v∥u⇔□04v
＝λu.
(3)设平面α和β的法向量分别为u1和u2，那么α⊥β⇔□05u1⊥u2⇔□06u1·u2＝0.
3．两条异面直线所成角的求法
设a，b分别是两异面直线l1，l2的方向向量，那么
空间向量在立体几何中的应用和习题含答案
空间向量在立体几何中的应用：
(1)直线的方向向量与平面的法向量：
①如图，l 为经过已知点A 且平行于已知非零向量a 的直线，对空间任意一点O ，点P 在直线l 上的充要条件是存在实数t ，使得a t OA OP +=，其中向量a 叫做直线的方向向量．
由此可知，空间任意直线由空间一点及直线的方向向量惟一确定．
②如果直线l ⊥平面α ，取直线l 的方向向量a ，则向量a 叫做平面α 的法向量．
由此可知，给定一点A 及一个向量a ，那么经过点A 以向量a 为法向量的平面惟一确定． (2)用空间向量刻画空间中平行与垂直的位置关系：
设直线l ，m 的方向向量分别是a ，b ，平面α ，β 的法向量分别是u ，v ，则 ①l ∥m ⇔a ∥b ⇔a ＝k b ，k ∈R ； ②l ⊥m ⇔a ⊥b ⇔a ·b ＝0； ③l ∥α ⇔a ⊥u ⇔a ·u ＝0；
④l ⊥α ⇔a ∥u ⇔a ＝k u ，k ∈R ； ⑤α ∥⇔u ∥v ⇔u ＝k v ，k ∈R ； ⑥α ⊥β ⇔u ⊥v ⇔u ·v ＝0．
(3)用空间向量解决线线、线面、面面的夹角问题：
①异面直线所成的角：设a ，b 是两条异面直线，过空间任意一点O 作直线a ′∥a ，b ′∥b ，则a ′与b ′所夹的锐角或直角叫做异面直线a 与b 所成的角．
设异面直线a 与b 的方向向量分别是v 1，v 2，a 与b 的夹角为θ ，显然],2
π,0(∈θ则
⋅=
><⋅|
||||
||,cos |212121v v v v v v
2018年高考数学浙江专用一轮复习练习：第7章 立体几何
第6讲 空间向量及其运算
,[学生用书P149])
1．空间向量的有关定理
(1)共线向量定理：对空间任意两个向量a ，b (b ≠0)，a ∥b 的充要条件是存在唯一的实数λ，使得a ＝λb ．
(2)共面向量定理：如果两个向量a ，b 不共线，那么向量p 与向量a ，b 共面的充要条件是存在唯一的有序实数对(x ，y )，使p ＝x a ＋y b ．
(3)空间向量基本定理：如果三个向量a ，b ，c 不共面，那么对空间任一向量p ，存在有序实数组{x ，y ，z }，使得p ＝x a ＋y b ＋z c ．其中{a ，b ，c }叫做空间的一个基底． 2．两个向量的数量积(与平面向量基本相同) (1)两向量的夹角
已知两个非零向量a ，b ，在空间中任取一点O ，作OA →＝a ，OB →
＝b ，则∠AOB 叫做向量a
与b 的夹角，记作〈a ，b 〉．通常规定0≤〈a ，b 〉≤π．若〈a ，b 〉＝π
2
，则称向量a ，b
互相垂直，记作a ⊥b . (2)两向量的数量积
两个非零向量a ，b 的数量积a ·b ＝|a ||b |cos 〈a ，b 〉． (3)向量的数量积的性质 ①a ·e ＝|a |cos 〈a ，e 〉(其中e 为单位向量)； ②a ⊥b ⇔a ·b ＝0； ③|a |2＝a ·a ＝a 2； ④|a ·b |≤|a ||b |.
(4)向量的数量积满足如下运算律 ①(λa )·b ＝λ(a ·b )； ②a ·b ＝b ·a (交换律)； ③a ·(b ＋c )＝a ·b ＋a ·c (分配律)． 3．空间向量的坐标运算
(浙江专版)2019高考数学一轮复习 第7章 立体几何 第6节 空间向量及其运算教师用书
（浙江专版）2019高考数学一轮复习第7章立体几何第6节空
间向量及其运算教师用书
1．空间向量的有关概念
(1)共线向量定理：对空间任意两个向量a，b(b≠0)，a∥b的充要条件是存在实数λ，使得a＝λb.
(2)共面向量定理：如果两个向量a，b不共线，那么向量p与向量a，b共面的充要条件是存在唯一的有序实数对(x，y)，使p＝x a＋y b.
(3)空间向量基本定理：如果三个向量a，b，c不共面，那么对空间任一向量p，存在有序实数组{x，y，z}，使得p＝x a＋y b＋z c，其中，{a，b，c}叫做空间的一个基底．3．两个向量的数量积
(1)非零向量a，b的数量积a·b＝|a||b|cos〈a，b〉．
(2)空间向量数量积的运算律：
①结合律：(λa)·b＝λ(a·b)；
②交换律：a·b＝b·a；
③分配律：a·(b＋c)＝a·b＋a·c.
4．空间向量的坐标表示及其应用
设a＝(a1，a2，a3)，b＝(b1，b2，b3).
1．(思考辨析)判断下列结合的正误．(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)空间中任意两非零向量a ，b 共面．( )
(2)对任意两个空间向量a ，b ，若a ·b ＝0，则a ⊥b .( ) (3)若a ·b ＜0，则〈a ，b 〉是钝角．( )
(4)若A ，B ，C ，D 是空间任意四点，则有AB →＋BC →＋CD →＋DA →
＝0.( ) [答案] (1)√ (2)× (3)× (4)√
2．(教材改编)如图761所示，在平行六面体ABCD A 1B 1C 1D 1中，M 为A 1C 1与B 1D 1的交点．若AB →
(浙江专用)新高考数学一轮复习 第八章 立体几何与空间向量 7 第7讲 立体几何中的向量方法 1 第
第1课时 空间角
[基础题组练]
1．在直三棱柱ABC A 1B 1C 1中，若∠BAC ＝90°，AB ＝AC ＝AA 1，则异面直线BA 1与AC 1所成的角等于( )
A ．30°
B ．45°
C ．60°
D ．90°
解析：选C.不妨设AB ＝AC ＝AA 1＝1，建立空间直角坐标系如图所示，则B (0，－1，0)，
A 1(0，0，1)，A (0，0，0)，C 1(－1，0，1)，
所以BA 1→
＝(0，1，1)，
AC 1→
＝(－1，0，1)，
所以cos 〈BA 1→，AC 1→
〉 ＝
BA 1→·AC 1
→
|BA 1→|·|AC 1→|
＝12×2＝12，
所以〈BA 1→，AC 1→
〉＝60°，
所以异面直线BA 1与AC 1所成的角等于60°.
2．在三棱锥P ABC 中，PA ⊥平面ABC ，∠BAC ＝90°，点D ，E ，F 分别是棱AB ，BC ，CP 的中点，AB ＝AC ＝1，PA ＝2，则直线PA 与平面DEF 所成角的正弦值为( )
A.15
B.255
C.55
D.25
解析：选C.以A 为原点，AB ，AC ，AP 所在直线分别为x 轴，y 轴，
z 轴建立如图所示的空间直角坐标系A xyz ，由AB ＝AC ＝1，PA ＝2，得
A (0，0，0)，
B (1，0，0)，
C (0，1，0)，P (0，0，2)，
D ⎝
⎛⎭⎪⎫12
，0，0，E ⎝
⎛⎭
⎪⎫12，1
2，0， F ⎝
⎛⎭
⎪⎫0，12
，1. 所以PA →＝(0，0，－2)，DE →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫
0，12，0，
DF →
＝⎝ ⎛⎭
近年高考数学一轮复习 第7章 立体几何 第7节 立体几何中的向量方法课时分层训练(2021年整理)
（浙江专版）2018高考数学一轮复习第7章立体几何第7节立体几何中的向量方法课时分层训练
编辑整理：
尊敬的读者朋友们：
这里是精品文档编辑中心，本文档内容是由我和我的同事精心编辑整理后发布的，发布之前我们对文中内容进行仔细校对，但是难免会有疏漏的地方，但是任然希望（（浙江专版）2018高考数学一轮复习第7章立体几何第7节立体几何中的向量方法课时分层训练）的内容能够给您的工作和学习带来便利。同时也真诚的希望收到您的建议和反馈，这将是我们进步的源泉，前进的动力。本文可编辑可修改，如果觉得对您有帮助请收藏以便随时查阅，最后祝您生活愉快业绩进步，以下为（浙江专版）2018高考数学一轮复习第7章立体几何第7节立体几何中的向量方法课时分层训练的全部内容。
课时分层训练（四十二） 立体几何中的向量方法
A 组 基础达标 （建议用时：30分钟）
一、选择题
1．已知平面α内有一点M (1，－1，2)，平面α的一个法向量为n ＝(6，－3,6），则下列点P 中，在平面α内的是（ )
A ．P (2,3，3）
B ．P （－2,0，1）
C ．P （－4,4,0)
D ．P （3，－3,4）
A [逐一验证法，对于选项A,错误!＝(1，4,1)，∴错误!·n ＝6－12＋6＝0，∴错误!⊥n ，∴点P 在平面α内，同理可验证其他三个点不在平面α内．］
2．如图7。7。9，在空间直角坐标系中有直三棱柱ABC 。A 1B 1C 1，CA ＝CC 1＝2CB ，则直线BC 1
与直线AB 1夹角的余弦值为( ) 【导学号：51062249】
高考数学新一轮总复习 7.7 立体几何中的向量方法基础
【高考领航】2015届高考数学新一轮总复习 7.7 立体几何中的向量
方法基础盘点系统化AB 演练（Ⅰ）理
A 组 基础演练
1．平面α的一个法向量为n ＝(1,2,0)，平面β的一个法向量为m ＝(2，－1,0)，则平面
α和平面β的位置关系是
( )
A ．平行
B ．相交但不垂直
C ．垂直
D ．重合
解析：∵m ·n ＝2－2＝0，∴m ⊥n ，∴平面α⊥平面β. 答案：C
2．设平面α的法向量为(1,2，－2)，平面β的法向量为(－2，－4，k )，若α∥β，则k 等于
( )
A ．2
B ．－4
C ．4
D ．－2
解析：∵α∥β，∴两平面的法向量平行， ∴
1－2＝2－4＝－2
k
，∴k ＝4. 答案：C
3．已知A (1,0,0)，B (0,1,0)，C (0,0,1)，则平面ABC 的一个单位法向量是
( )
A.⎝
⎛⎭⎪⎫3
3
，33，－33 B.⎝
⎛⎭⎪⎫3
3
，－33，33
C.⎝ ⎛
⎭
⎪⎫－
33，33，33 D.⎝ ⎛
⎭
⎪⎫－
33，－33，－33 解析：AB →＝(－1,1,0)，AC →＝(－1,0,1)，经验证只有选项D 中的向量同时垂直于向量AB →
和AC →
，即为平面ABC 的一个单位法向量． 答案：D
4．如图，在长方体ABCD —A 1B 1C 1D 1中，AB ＝2，AA 1＝3，AD ＝22，P 为C 1D 1的中点，M 为
BC 的中点．则AM 与PM 的位置关系为
( )
A ．平行
B ．异面
C ．垂直
D ．以上都不对
解析：以D 点为原点，分别以DA ，DC ，DD 1所在直线为x ，y ，z 轴，建立如图所示的空间直角坐标系D —xyz ，
数学(理)一轮复习 第七章 立体几何 第讲 空间向量及其运算
第6讲空间向量及其运算
）
1．空间向量的有关定理
(1)共线向量定理：对空间任意两个向量a，b(b≠0),a∥b的充要条件是存在唯一的实数λ，使得a＝λb．
(2）共面向量定理：如果两个向量a，b不共线，那么向量p与向量a，b共面的充要条件是存在唯一的有序实数对（x，y），使p ＝x a＋y b．
(3)空间向量基本定理：如果三个向量a，b，c不共面,那么对空间任一向量p，存在有序实数组{x，y，z},使得p＝x a＋y b＋z c．其中{a，b,c}叫做空间的一个基底．
2．两个向量的数量积（与平面向量基本相同）
（1）两向量的夹角:已知两个非零向量a，b，在空间中任取一点O，作错误!＝a，错误!＝b，则∠AOB叫做向量a与b的夹角，记作〈a，b〉．通常规定0≤<a，b〉≤π．若<a，b〉＝错误!，则称向量a,b 互相垂直，记作a⊥b。
(2)两向量的数量积
两个非零向量a，b的数量积a·b＝｜a|｜b|cos〈a，b>．
(3）向量的数量积的性质
①a·e＝｜a|cos〈a，e〉(其中e为单位向量）;
②a⊥b⇔a·b＝0；
③｜a|2＝a·a＝a2；
④｜a·b｜≤|a｜|b｜。
(4)向量的数量积满足如下运算律
①（λa）·b＝λ(a·b)；
②a·b＝b·a（交换律）；
③a·(b＋c)＝a·b＋a·c(分配律)．
3．空间向量的坐标运算
(1）设a＝(a1，a2，a3），b＝(b1，b2，b3)．
a＋b＝(a1＋b1，a2＋b2，a3＋b3),
a－b＝(a1－b1,a2－b2，a3－b3）,
高考数学(浙江文科专版)一轮复习重点精选课件+回扣主
高频考点全通关——直线与平面垂直的判定与性质
闯关二：典题针对讲解——以多面体为载体，证明线面垂直问题
[例 2] (2013·广东高考)如图 1，在边长为 1 的等边三角形 ABC 中，D，E 分别是 AB，
AC 上的点，AD＝AE，F 是 BC 的中点，AF 与 DE 交于点 G.将△ABF 沿 AF 折起，得
G 为线段 PC 上的点．
(1)证明：BD⊥平面 APC；
(2)若 G 满足 PC⊥平面 BGD，求PG的值． GC
解：(1)证明：设点 O 为 AC，BD 的交点．由 AB＝BC，AD＝CD，
得 BD 是线段 AC 的中垂线．所以 O 为 AC 的中点，BD⊥AC.
又因为 PA⊥平面 ABCD，BD⊂平面 ABCD，所以 PA⊥BD.
到如图 2 所示的三棱锥 ABCF，其中 BC＝ 2. 2
①证明：DE∥平面 BCF；
②证明：CF⊥平面 ABF；
③当
AD＝2时，求三棱锥 3
FDEG
的体积
VFDEG.
证明：（1）在等边三角形 ABC 中，AB＝AC.∵AD＝AE，
∴AD＝AE，∴DE∥BC，∴DG∥BF，又 BF⊂平面 BCF， DB EC
又 AC∩PA＝A，AC⊂平面 APC，PA⊂平面 APC，所以 BD⊥平面 APC.
(2)连接 OG.因为 PC⊥平面 BGD，OG⊂平面 BGD，
2020高考数学(理)一轮知能检测：第7章 第7节 空间向量在立体几何中的应用
第七节 空间向量在立体几何中的应用
[全盘巩固]
1.(2014·杭州模拟)已知在四棱锥P -ABCD 中，底面ABCD 是平行四边形，P A ⊥平面ABCD ，P A ＝3，AB ＝1，AD ＝2，∠BAD ＝120°，E ，F ，G ，H 分别是BC ，PB ，PC ，AD 的中点．
(1)求证：PH ∥平面GED ；
(2)过点F 作平面α使ED ∥平面α，当平面α⊥平面EDG 时，设P A 与平面α交于点Q ，求PQ 的长．
解：(1)证明：连接HC ，交ED 于点N ，连接GN ，EH ，
由条件得四边形DHEC 是平行四边形，∴N 是线段HC 的中点， 又∵G 是PC 的中点， ∴GN ∥PH ，
又GN ⊂平面GED ，PH ⊄平面GED ， ∴PH ∥平面GED .
(2)连接AE ，∵∠BAD ＝120°，∴△ABE 是等边三角形，设BE 的中点为M ，以AM ，AD ，AP 分别为x ，y ，z 轴建立空间直角坐标系．
则B ⎝⎛⎭⎫32，－12，0，C ⎝⎛⎭⎫32，32，0，D (0,2,0)，P (0,0，3)，E ⎝⎛⎭⎫32，12，0，F ⎝⎛⎭⎫34
，－14，3
2，G ⎝⎛
⎭
⎫34，34，
32. 设Q (0,0，t )，ED ―→＝⎝
⎛⎭⎫－
32，32，0，DG ―
→＝⎝⎛⎭⎫34
，－54，3
2. 设
n 1＝(x 1，y 1，z 1)是平面
EDG
的一个法向量，则
⎩⎨⎧
n 1
·ED ―→＝－32x 1
＋3
2y 1
＝0，n 1
·DG ―→＝－34x 1
－54y 1
＋32
z 1
高考数学一轮复习 7.7 空间向量在立体几何中的应用课
【与名师对话】2015高考数学一轮复习 7.7 空间向量在立体几何中
的应用课时作业 理（含解析）新人教A 版
一、选择题
1．如图所示，在三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，AA 1⊥底面ABC ，AB ＝BC ＝AA 1，∠ABC ＝90°，点E 、F 分别是棱AB 、BB 1的中点，则直线EF 和BC 1所成的角是( )
A ．45°
B ．60°
C ．90°
D ．120°
解析：以B 点为坐标原点，以BC 、BA 、BB 1分别为x 、y 、z 轴建立空间直角坐标系．设
AB ＝BC ＝AA 1＝2，
则B (0,0,0)，C 1(2,0,2)，E (0,1,0)，F (0,0,1)， ∴EF →＝(0，－1,1)，BC 1→
＝(2,0,2) ∴cos 〈EF →，BC 1→
〉＝EF →·BC 1
→
|EF →||BC 1→|
＝
2
2·8＝1
2.∴EF 与BC 1所成角为60°. 答案：B
2．如图，平面ABCD ⊥平面ABEF ，四边形ABCD 是正方形，四边形ABEF 是矩形，且AF ＝1
2
AD ＝a ，G 是EF 的中点，则GB 与平面AGC 所成角的正弦值为( )
A.6
6 B.33 C.63
D.
23
解析：
如图，以A 为原点建立空间直角坐标系，
则A (0,0,0)，B (0,2a,0)，C (0,2a,2a )，G (a ，a,0)，F (a,0,0)，AG →＝(a ，a,0)，AC →
＝(0,2a,2a )，BG →＝(a ，－a,0)，BC →
＝(0,0,2a )，
设平面AGC 的法向量为n 1＝(x 1，y 1,1)， 由⎩⎪⎨⎪⎧
(浙江专版)高考数学一轮复习 第7章 立体几何 第7节 立体几何中的向量方法教师用书-人教版高三全册
第七节 立体几何中的向量方法
1．直线的方向向量与平面的法向量
(1)直线的方向向量：如果表示非零向量a 的有向线段所在直线与直线l 平行或重合，则称此向量a 为直线l 的方向向量．
(2)平面的法向量：直线l ⊥α，取直线l 的方向向量a ，则向量a 叫做平面α的法向量．
2．空间位置关系的向量表示
直线l 1，l 2的方向向量分别为n 1，n 2
l 1∥l 2 n 1∥n 2⇔n 1＝λn 2 l 1⊥l 2 n 1⊥n 2⇔n 1·n 2＝0 直线l 的方向向量为n ，平面α的法向量为m
l ∥α n ⊥m ⇔n ·m ＝0 l ⊥α n ∥m ⇔n ＝λm 平面α，β的法向量分别为n ，m
α∥β n ∥m ⇔n ＝λm α⊥β
n ⊥m ⇔n ·m ＝0
设a ，b 分别是两异面直线l 1，l 2的方向向量，则
l 1与l 2所成的角θ
a 与
b 的夹角〈a ，b 〉
X 围 0<θ≤π2
0＜〈a ，b 〉＜π
关系
cos θ＝|cos 〈a ，b 〉|＝|a ·b |
|a ||b |
cos 〈a ，b 〉＝a ·b
|a ||b |
设直线l 的方向向量为a ，平面α的法向量为n ，直线l 与平面α所成的角为θ，则sin θ＝|cos 〈a ，n 〉|＝|a ·n |
|a ||n |
.
5．求二面角的大小
(1)若AB ，CD 分别是二面角αl β的两个面内与棱l 垂直的异面直线，则二面角的大小就是向量AB →与CD →
的夹角(如图①)．
图
(2)设n 1，n 2分别是二面角αl β的两个面α，β的法向量，则向量n 1与n 2的夹角(或其补角)的大小就是二面角的平面角的大小(如图②③)．
(浙江专用)高考数学总复习第八章立体几何与空间向量第7讲立体几何中的向量方法(一)—证明平行与垂直学
第7讲立体几何中的向量方法(一)——证明平行与垂直
最新考纲 1.理解直线的方向向量及平面的法向量；2.能用向量语言表述线线、线面、面面的平行和垂直关系；3.能用向量方法证明立体几何中有关线面位置关系的一些简单定理
.
知识梳理
1.直线的方向向量和平面的法向量
(1)直线的方向向量：如果表示非零向量a的有向线段所在直线与直线l平行或重合，则称此向量a为直线l的方向向量.
(2)平面的法向量：直线l⊥α，取直线l的方向向量a，则向量a叫做平面α的法向量.
2.空间位置关系的向量表示
位置关系向量表示
直线l1，l2的方向向量分别为n1，n2l1∥l2n1∥n2⇔n1＝λn2 l1⊥l2n1⊥n2⇔n1·n2＝0
直线l的方向向量为n，平面α的法向量为
m l∥αn⊥m⇔n·m＝0 l⊥αn∥m⇔n＝λm
平面α，β的法向量分别为n，m α∥βn∥m⇔n＝λm α⊥βn⊥m⇔n·m＝0
1.判断正误(在括号内打“√”或“×”)
(1)直线的方向向量是唯一确定的.( )
(2)若两直线的方向向量不平行，则两直线不平行.( )
(3)若两平面的法向量平行，则两平面平行或重合.( )
(4)若空间向量a平行于平面α，则a所在直线与平面α平行.( )
答案(1)×(2)√(3)√(4)×
2.(选修2－1P104练习2改编)已知平面α，β的法向量分别为n1＝(2，3，5)，n2＝(－3，1，－4)，则( )
A.α∥β
B.α⊥β
C.α，β相交但不垂直
D.以上均不对
解析∵n1≠λn2，且n1·n2＝2×(－3)＋3×1＋5×(－4)＝－23≠0，∴α，β不平行，也不垂直.
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(限时：50分钟满分：112分)
1．(满分14分)如图，在△ABC中，∠ABC＝60°，∠BAC＝90°，AD是BC上的高，沿AD把△ABD折起，使∠BDC＝90°.
(1)证明：平面ADB⊥平面BDC；
(2)设E为BC的中点，求AE与DB夹角的余弦值．
2．(满分14分)(2013·孝感模拟)如图所示，四棱锥P－ABCD中，
底面ABCD为正方形，PD⊥平面ABCD，PD＝AB＝2，E、F、G分别为PC、
PD、BC的中点．
(1)求证：PA⊥EF；
(2)求二面角D－FG－E的余弦值．
3.(满分14分)如图，在正三棱柱ABC－A1B1C1中，AB＝2AA1，点D
是A1B1的中点，点E在A1C1上且DE⊥AE.
(1)证明：平面ADE⊥平面ACC1A1；
(2)求直线AD和平面ABC1所成角的正弦值．
4．(满分14分)(2012·江西高考)如图所示，在三棱柱ABC－A1B1C1中，已知AB＝AC＝AA1＝5，BC＝4，点A1在底面ABC的投影是线段BC的中点O.
(1)证明在侧棱AA1上存在一点E，使得OE⊥平面BB1C1C，并求出
AE的长；
(2)求平面A1B1C与平面BB1C1C夹角的余弦值．
5．(满分14分)如图所示，在多面体ABCD－A1B1C1D1中，上，下两个底面A1B1C1D1和ABCD互相平行，且都是正方形，DD1⊥底面ABCD，AB＝2A1B1＝2DD1＝2a.
(1)求异面直线AB1与DD1所成角的余弦值；
(2)已知F是AD的中点，
求证：FB1⊥平面BCC1B1；
(3)在(2)的条件下，求二面角F－CC1－B的余弦值．
6．(满分14分)如图，在四棱锥P －ABCD 中，底面ABCD 为菱形，∠BAD ＝60°，Q 为AD 的中点．
(1)若PA ＝PD ，求证：平面PQB ⊥平面PAD ；
(2)设点M 在线段PC 上，PM MC ＝1
2
，求证：PA ∥平面MQB ；
(3)在(2)的条件下，若平面PAD ⊥平面ABCD ，且PA ＝PD ＝AD ＝2，求二面角M －BQ －C 的大小．
7．(满分14分)(2012·福建高考)如图所示，在长方体ABCD －
A 1
B 1
C 1
D 1中，AA 1＝AD ＝1，
E 为CD 中点．
(1)求证：B 1E ⊥AD 1；
(2)在棱AA 1上是否存在一点P ，使得DP ∥平面B 1AE ？若存在，求
AP 的长；若不存在，说明理由；
(3)若二面角A －B 1E －A 1的大小为30°，求AB 的长．
8．(满分14分)在直角梯形ABCD 中，AD ∥BC ，BC ＝2AD ＝2AB ＝22，∠ABC ＝90°，如图(1)．把△ABD 沿BD 翻折，使得平面ABD ⊥平面BCD .
(1)求证：CD ⊥AB ；
(2)若点M 为线段BC 中点，求点M 到平面ACD 的距离；
(3)在线段BC 上是否存在点N ，使得AN 与平面ACD 所成角为60°？若存在，求出BN BC
的值；若不存在，说明理由．
答 案
[限时集训(四十五)]
1．解：(1)证明：∵折起前AD 是BC 边上的高， ∴当△ABD 折起后，AD ⊥DC ，
AD ⊥DB ，
又DB ∩DC ＝D ， ∴AD ⊥平面BDC ， ∵AD ⊂平面ABD ， ∴平面ABD ⊥平面BDC .
(2)由∠BDC ＝90°及(1)知DA ，DB ，DC 两两垂直，不妨设|DB |＝1，以D 为坐标原点，以DB ，DC ，DA 的方向为x ，y ，z 轴的正方向建立如图所示的空间直角坐标系，易得D (0,0,0)，B (1,0,0)，
C (0,3,0)，A (0,0，3)，E ⎝ ⎛⎭
⎪⎫12，32
，0，
∴AE ＝⎝ ⎛⎭
⎪⎫12，32，－3，DB ＝(1,0,0)， ∴AE 与DB 夹角的余弦值为cos 〈AE ，DB 〉＝AE ·DB
|AE |·|DB |
＝
12
1×
224＝22
22. 2.解：(1)证明：以D 为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系D －xyz ，则D (0,0,0)，A (0,2,0)，C (－2,0,0)，P (0,0,2)，E (－1,0,1)，
F (0,0,1)，
G (－2,1,0)．
(1)∵PA ＝(0,2，－2)，EF ＝(1,0,0)， ∴PA ·EF ＝0， ∴PA ⊥EF .
(2)易知DF ＝(0,0,1)，FG ＝(－2,1， －1)．
设平面DFG 的法向量为m ＝(x 1，y 1，z 1)，
则⎩⎨
⎧
m ·DF ＝0，m ·FG ＝0，
即⎩
⎪⎨
⎪⎧
z 1＝0，－2x 1＋y 1－z 1＝0.
令x 1＝1，得m ＝(1,2,0)是平面DFG 的一个法向量． 同理可得n ＝(0,1,1)是平面EFG 的一个法向量，
∴cos 〈m ，n 〉＝m ·n |m |·|n |＝25×2
＝10
5，
由图可知二面角D －FG －E 为钝角， ∴二面角D －FG －E 的余弦值为－
10
5
. 3．解：(1)证明：由正三棱柱ABC －A 1B 1C 1的性质知AA 1⊥平面A 1B 1C 1，又DE ⊂平面A 1B 1C 1，所以DE ⊥AA 1.
而DE ⊥AE ，AA 1∩AE ＝A ，所以DE ⊥平面ACC 1A 1.又DE ⊂平面ADE ，故平面ADE ⊥平面ACC 1A 1. (2)如图所示，设O 是AC 的中点，以O 为原点建立空间直角坐标系．不妨设AA 1＝2，则AB ＝2，相关各点的坐标分别是A (0，－1,0)，B (3，0,0)，C 1(0,1，2)，D ⎝
⎛⎭
⎪⎫
32，－12，2.
易知AB ＝(3，1,0)，1AC ＝(0,2，2)，
AD ＝⎝ ⎛⎭
⎪⎫
32，12，2.