直接开平方解一元二次方程
直接开平方法解一元二次方程
练习2： 16(1 2x)2 9 0
解：161- 2x2 9
1 2x2 9
16
1 2x 3 或1- 2x 3
4
4
17 x1 8 , x2 8
想一想：像上面4x2-49=0，9x2-16=0， 9(2y+1)2-16=0，16(1-2x)2-9=0，5x2=20这些能 用直接开平方法来解的一元二次方程有什么特点？ 解这些一元二次方程的基本思路是什么？
复习引入
负 1、(±2)2=( 4数 ) (±3)2=(9 ) (±4) 2=(16 ) (±5)2=2(5 )
2、若 x2=36 ，则x= ± 。 6
若 x2=49 ，则x= ± 。 7
如果r2=a，则r是的a平方根，可表示为
r a
3、解方程：x
5
1 2
x
3
解一元一次方程的步骤： ①去分母、②去括号、③移项、 ④合并同类项、⑤把未知数的 系数化为1。
湘教版九年级数学上册
直接开平方法解一元二次方程
涟源市七星街镇中心学校 肖建红 2016年9月
学习目标：
1、知道形如x2 p p 0或mx n2 p p 0的
一元二次方程可以用直接开平方法求解；
2、知道直接开平方法求一元二次方程的解 的依据是平方根的意义；
直接开方法解一元二次方程
以上解某些一元二 次方程的方法叫做 直接开平方法。
这里，一个数(x)的平方根等于4， 这个数(x)叫做4的什么？ 这个数(x)叫做4的平方根(或二 次方根)。 一个正数有几个平方根？ 一个正数有两个平方根，它们 互为相反数。 求一个数的平方根的运算叫做 什么？
求一个数的平方根的运算叫做 开平方。
x2 4x 4 3
• 2. x2-6x+9=7 • 3. 4x2+4x+1=4
解下列关于x的方程：
1 x2 a
1
a
0;
2x2 a 0 a 0;
3x a2 b2;
4ax c2 d d 0, a 0
5 mx2 n 0 m 0
注意：解方程 x2 b b 0; 或
时，应先把方
程变形为： x a2 b b 0。
例题讲解
1解方程(2x－1)2=(x－2)2 -
2、（3x -4）²=（4x -3）²
解：两边开平方，得：
3x-4=±（4x-3） 3x -4=4x-3或3x-4= -4x+3 -x=1或 7x=7 x=-1，x=1
方程 ax2 c 0 a 0 一定有解吗?
a0
x2
c a
;
1当
c a
初中数学例题：用直接开平方法解一元二次方程
初中数学例题：用直接开平方法解一元二次方程
4.（2016春•仙游县月考）求下列x的值
（1）x2﹣25=0
（2）（x+5）2=16．
【思路点拨】（1）移项后利用直接开方法即可解决．（2）利用直接开方法解决．
【答案与解析】
解：（1）∵x2﹣25=0，
∴x2=25，
∴x=±5．
（2）∵（x+5）2=16，
∴x+5=±4，
∴x=﹣1或﹣9．
【总结升华】应当注意，形如=k或（nx+m）2=k(k≥0)的方程是最简单的一元二次方程，“开平方”是解这种方程最直接的方法．“开平方”也是解一般的一元二次方程的基本思路之一．
举一反三：
【变式1】用直接开平方法求下列各方程的根：
(1)x2=361；(2)2y2-72=0；(3)5a2-1=0；
(4)-8m2+36=0．
【答案】(1)∵ x2=361，
∴ x=19或x=-19．
(2)∵2y2-72=0，
2y2=72，
y2=36，
∴ y=6或y=-6．
(3)∵5a2-1=0，
5a2=1，
a2=，
∴a=或a=-．
(4)∵-8m2+36=0，
-8m2=-36，
m2=，
∴m=或m=-．
【变式2】解下列方程：
(1)（2015 •东西湖区校级模拟）(2x+3)2-25=0；
(2)（2014秋•滨州校级期末）（1﹣2x）2=x2﹣6x+9. 【答案】解：(1)∵ (2x+3)2=25，
∴ 2x+3=5或2x+3=-5．
∴x1=1，x2=-4．
(2)∵（1﹣2x）2=x2﹣6x+9，
∴（1﹣2x）2=（x﹣3）2，
∴1﹣2x=±（x﹣3），
∴1﹣2x=x﹣3或1﹣2x=﹣（x﹣3），∴x1=4
一元二次方程的解法(直接开方法).2.1一元二次方程的解法---直接开平方法_
x2 5,x2 5,
方程的两根为 x1 2 5
x2 2 5.
6 9x2＋6x＋1 4
解： 3x 12 4,
3x 1 2,
3x 1 2， 3x 1 2,
方程的两根为
x1
1 3
x2 1.
1.直接开平方法的理论根据是 平方根的定义
2.如果 x2 a(a 0) ， 则x = a
。
3.如果x2 64，则x = 8 。
4.如何解方程x2-2500=0？
分析：方程x2-2500=0可写成 x2=2500
这表明x是2500的平方根。 根据平方根的意义，得
X= 2500 或 x=- 2500 。
因此，原方程的解为：x1=50 ，x2=-50. 一元二次方程的解也叫做一元二次方程的根。
1.会用直接开平方法解形如(x a)2 b(b 0)
的方程. 2.灵活运用直接开平方法解一元二次方程. 3.了解转化、降次思想在解方程中的运用。
用直接开平方法较熟练地解一元二次方程。
1.什么叫做平方根？ 2.平方根的性质有哪些？ 3.求下列个数的平方根：
25
25，81，0.49，
4
a x 1.如果 x2 a(a 0) ，则 就叫做 的 平方根 。
显然，方程中的(x+3) 是2的平方根。
一元二次方程直接开平方法
直接开平方法是解一元二次方程的方法之一。主要适用于没有一次项的一元二次方程。直接开平方法就是用直接开平方求解一元二次方程的方法。
用直接开平方法解形如(x-m)²=n (n≥0)的方程，其解为x=± m.
直接开平方法就是平方的逆运算.通常用根号表示其运算结果.
一般用于解一元二次不等式.
对于形如a(x−k)^2 = b(a≠0，ab≥0)的方程，只要把(x−k)看作一个整体，就可转化为x^2 = b/a的形式,然后开平方得x-k=±√（b/a），所以x=k±√（b/a），这种求方程根的方法叫做直接开平方法。
比如：解方程：x^2－4=0。
先移项，得：x^2=4。
（这里，一个数x的平方等于4，这个数x叫做4的平方根或二次方根；一个正数有两个平方根，它们互为相反数；求一个数的平方根的运算叫做开平方。）
上面的x^2=4，实际上就是求4的平方根。
因此，x=± 2
即，x1=2，x2=－2。
这种解某些一元二次方程的方法叫做直接开平方法。
例：解下列方程：
1、x^2－144=0；
2、x^2－3=0；
3、x^2+16=0；
4、x^2=0。
（1、x1=12，x2=－12；2、X1=√3（根号3），X2=-√3 （负根号3）；3、4i(i是虚数)；4、x=0——0有一个平方根，它是0本身）。
一元二次方程的解法(直接开平方法)
一元二次方程的解法(直接开平方法)
研究目标：
1、理解直接开平方法的定义和基本思想；
2、掌握用直接开平方法解一元二次方程的技巧；
3、了解哪些形如（含有未知数）2＝非负数的方程可以用直接开平方法解。
教学过程：
一、检查预
1、解方程：x²-36=0
二、复练
1、将下列方程化为一般形式，并列出各项及系数：
1）5=4x-x²
2）5=3x²
3）y²-(y+1)=(y+2)(y-2)²
2、要求学生复述平方根的意义：
1）用文字语言表示：如果一个数的平方等于a，这个数叫a的平方根。
2）用式子表示：若x²=a，则x叫做a的平方根。
一个正数有两个平方根，这两个平方根互为相反数；
零的平方根是零；
负数没有平方根。
3）4的平方根是2，81的平方根是9，100的算术平方根是10.
三、新课讲解
例1：解下列方程（1）x²=4；（2）x²-1=0；
处理：1、让学生尝试解，然后总结方法。
2、形如x²=a(a≥0)，x=±√a
练：解下列方程
1）x²-9=0；（2）x²-2=0；
例2、解方程16x²-25=0
练：解下列方程：
1）12y²-25=0；（2）4x²-16=0；
例3、解方程(x+1)²=144
练：解方程4(x+2)²-25=0
四、巩固练
1、请挑选一下列一元二次方程，哪些更适宜用直接开平方法来解？
⑴x²=3⑵3t²-t=0⑶3y²=27⑷(y-1)²-4=0⑸(2x+3)²=6⑹x²+x-
9=0⑺x²=36x⑻x²+2x+1=0
2、解下列方程
1）2x²-8=0；（2）9x²-5=3；
3）(x+6)²-9=0；（4）3(x-1)²-6=0；
中考数学专题练习直接开平方法解一元二次方程（含解析）
中考数学专题练习直接开平⽅法解⼀元⼆次⽅程（含解析）
2019中考数学专题练习-直接开平⽅法解⼀元⼆次⽅程（含解析）
⼀、单选题
1.若分式的值为0，则x的值是（）
A.1或
-1 B.1 C. -1 D.0【答案】B
【考点】分式的值为零的条件，解⼀元⼆次⽅程-直接开平⽅法
【解析】【分析】根据分⼦为0，同时分母不等于0时，分式值是零，即可得到结果．
由题意得，解得，则x=1，
故选B.
【点评】解答本题的关键是熟练掌握分式值是零的条件：分⼦为0，同时分母不等于0．2.若25x2=16，则x的值为（）A. B. C.
D.
【答案】A
【考点】直接开平⽅法解⼀元⼆次⽅程
【解析】【解答】解：25x2=16，x2= ，
x=± ，
故答案为：A
【分析】观察次⽅程缺⼀次项，可以⽤直接开平⽅法求解或利⽤因式分解法求解。
3.⽅程的根是（）
A. B. C. D.
【答案】A
【考点】解⼀元⼆次⽅程-直接开平⽅法
【解析】【解答】⽤开平⽅法可得
【分析】将原⽅程变形为=4，⽤直接开平⽅法解得x=2，即= 2 ，= ? 2.
4.⼀元⼆次⽅程x2=2的解是（）
A.x=2或x=﹣2
B.x=2
C.x=4或x=﹣4
D.x=或x=
﹣
【答案】D
【考点】解⼀元⼆次⽅程-直接开平⽅法
【解析】【解答】解：∵x2=2，
∵x=±．
故选：D．
【分析】直接开平⽅解⽅程得出答案．
5.⽅程x2=9的解是（）
A.x1=x2=3
B.x1=x2=9
C.x1=3，x2=﹣3
D.x1=9，x2=﹣9【答案】C
【考点】解⼀元⼆次⽅程-直接开平⽅法
【解析】【解答】解：x2=9，
一元二次方程的几种解法直接开平方及配方法
解：
练习：x2 6x 7 0.
二次项系数化1：两边同时
除以二次项系数，得
移项：将常数项移到等号一边，得
配方：左右两边同时加上一次项
系数一半的平方，得
写成（）2 的形式，得 开平方，得 解这两个方程，得
解：
练习：x2 6x 7 0.
移项：将常数项移到等号一边，得 x2 6x 7.
(1) x2 6x 4 0.
解： x2 6x 4, x2 6x 9 4 9,
x 32 5,
x 3 5,
x1 3 5, x2 3 5.
(2) 2t 2 7t 4 0.
解： 2t 2 7t 4,t 2 7 t 2, 2
t2
7
t
7
2
2
7
2
,
2 4
移项：将常数项移到等号一边，得
配方：左右两边同时加上一次项
系数一半的平方，得
写成（）2 的形式，得
开平方，得
解这两个方程，得
解：
练习： 2x2 3 7x.
二次项系数化1：两边同时
除以二次项系数，得
x 2 3 7 x.
2
2
移项：将常数项移到等号一边，得 x 2 7 x 3 .
2
2
配方：左右两边同时加上一次项
数，凑成完全平方，得
x2 4x 4 5.
解一元二次方程 直接开方法、配方法、公式法的计算
直接开方法与配方法
一 直接开方法
形如()()02
≥=-b b a x 的方程，可用直接开平方法，求得方程的根为：()0≥±=b b a x 。
例3．解方程：
（1）()512=-x （2）()162812
=-x
（3）()()22322+=-x x （4）01532
=+x
4．一般的一元二次方程，可用配方法求解。其步骤是：
①化二次项系数为1，并把常数项移项到方程的另一侧，即把方程化为q px x -=+2的形式； ②方程两边都加上22⎪⎭⎫ ⎝⎛p ，把方程化为44222q p p x -=⎪⎭⎫ ⎝
⎛+； ③当042≥-q p 时，利用开平方法求解。
1．把下列各式配成完全平方式
（1）()22__________-=+-x x a
b x （2） ()22____25____-=+-x x x
（2）()22___________3
2+=++x x x 10．关于x 的方程()2222b ab a a x ++=-的根是 。
11．把方程0562=+-x x 化成()k m x =+2
的形式，则m =_______，k =_________。
例4.用配方法解下列方程：
（1）0542=--x x （2）01322
=-+x x
（3）01842=+--x x （4）0222=-+n mx x
练习
3．方程052=x 的解是（ ）
A ．有一个解x =0
B ．有两个解x 1=x 2=0
C ．有一个解51=
x D ． 以上都不对 4．方程()()02>=-q q p x 的根是（ ）
A ．q p x ±=
一元二次方程的解法(直接开平方法)
直接开平方法
【 1】 解下列方程：
（1）y2=0.49
（2）a2=0.5
2 3 x （3） 27
【解析】(1)用直接开平方法解得 y=〒0.7，所以 y1=0.7, y2= -0.7 (2)用直接开平方法解得 a=
2 2 ,所以a1= , 2 2
a 2=
2 2
(3)变形得x2=9，所以x1=3 , x2=-3.
1.解下列方程：
2
1 2 x 2 32 0 2 25 x 2 16 0 3 x 2 3 28
1 2 4 2 x 8 0 （ ） 2
1 2 x 32 0 2 25 x 2 16 0 2 =16，用直接开平方法解得 2 （1）变形得x 【解析】 3 x 3 28
3 ຫໍສະໝຸດ Baidu x2= 3 3 ， x 2= 3 .
答案：x1=
【3 】 （1)x2+2x+1=3.(2)4y2-12y+9=16
【想一想】 两边都含有未知数的方程,例如:(2x-3)2=(3x-2)2怎么求解? 提示:用直接开平方法求解.(2x-3)2=(3x-2)2,两边开平方得 2x-3=〒(3x-2),解得x1=-1,x2=1.
x= 4， x 2 8 0 4 〒 所以x1=4, x2= -4. (2)变形得x2=-16，∵x2 ＜0 ，∴原方程无解.
02 解一元二次方程(1)—直接开平方法、配方法
课堂练习
3．用配方法解下列方程．
（1）x2– 4x + 4 = 0
（2）x2 + 12x = –9
（3）– x2 – 6x – 10 = 0
课堂练习
3．用配方法解下列方程．
（4）– 2x2 + 12x = 8
பைடு நூலகம்
（5）4y2 – 3y – 1= – y –2
课堂练习
3．用配方法解下列方程．
（6）– 2x2 + x +1 = 0
（4）4x2 4x 1 9
课堂练习
1．用直接开平方法解下列方程． （5）(2 x 1)2 ( x 3)2 （6）20( x 1)2 5( x 3)2 0
总结
对于 (x + n)2 = p 形式的一元二次方程： 当 p > 0 时，方程有两个不等的实数根
x1 n p，x2 n p 当 p = 0 时，方程有两个相等的实数根
x1 = x2 = –n 当 p < 0 时，方程无实数根.
二、配方法
通过配成完全平方形式来解一元二次方程的方法， 叫做配方法.
课堂练习 2．配方． （1）x2 + 2x + ____ = ( x + ___)2； （2）x2 – 4x + ____ = ( x – ___)2； （3）x2 + 6x + ____ = ( x + ___)2； （4）x2 + 3x + ____ = ( x + ___)2．
11.2.1 一元二次方程的解法-直接开平方法(七大题型)-原
1.2.1一元二次方程的解法-直接开平方法
考点一、直接开方法解一元二次方程：
(1)直接开方法解一元二次方程：
利用平方根的定义直接开平方求一元二次方程的解的方法称为直接开平方法.(2)直接开平方法的理论依据：
平方根的定义.
(3)能用直接开平方法解一元二次方程的类型有两类：
①形如关于x 的一元二次方程，可直接开平方求解.
若，则
；表示为
，有两个不等实数根；
若，则x=O；表示为，有两个相等的实数根；
若
，则方程无实数根．
②形如关于x 的一元二次方程，可直接开平方求解，两根是
.
要点：用直接开平方法解一元二次方程的理论依据是平方根的定义，应用时应把方程化成左边是含未知数的完全平方式，右边是非负数的形式，就可以直接开平方求这个方程的根.
题型1：直接开平方法解一元二次方程
1．一元二次方程2250x -=的解为（）
A ．125
x x ==B ．15=x ，25
x =-C ．125
x x ==-D ．1225
x x ==2．若()2
22a =-，则a 是（）
A ．-2
B ．2
C ．-2或2
D ．4
3．方程x 2-
=0的根为_______．
4．有关方程290x +=的解说法正确的是（）
A ．有两不等实数根3和3-
B ．有两个相等的实数根3
C ．有两个相等的实数根3
-D ．无实数根
5．若方程()2
0ax b ab =>的两个根分别是4m -与38m -，则
b
a
=_____．6．解方程：（1）23270x -=；
（2）2(5)360x --=；
（3）2
1(2)62
x -=；
（4）()()4490+--=y y ．
一元二次方程的解法(直接开平方法、配方法3种题型)-2023年新九年级数学精品课(苏科版)(解析版)
一元二次方程的解法（直接开平方法、配方法3种题型）
1.会把一元二次方程降次转化为两个一元一次方程.
2.运用开平方法解形如x 2=p 或（x+n) 2
=p (p≥0)的方程.
3.理解配方的基本过程，会运用配方法解一元二次方程.
4.经历探索利用配方法解一元二次方程的过程，体会转化的数学思想.
知识点1：直接开平方法
形如x 2＝p 或（nx +m ）2＝p （p ≥0）的一元二次方程可采用直接开平方的方法解一元二次方程．
如果方程化成x 2＝p 的形式，那么可得x ＝±；
如果方程能化成（nx +m ）2＝p （p ≥0）的形式，那么nx +m ＝±
． 注意：①等号左边是一个数的平方的形式而等号右边是一个非负数．
②降次的实质是由一个二次方程转化为两个一元一次方程．
知识点2：配方法
（1）将一元二次方程配成（x +m ）2＝n 的形式，再利用直接开平方法求解，这种解一元二次方程的方法叫配方法．
（2）用配方法解一元二次方程的步骤：
①把原方程化为ax 2+bx +c ＝0（a ≠0）的形式；
②方程两边同除以二次项系数，使二次项系数为1，并把常数项移到方程右边；
③方程两边同时加上一次项系数一半的平方；
④把左边配成一个完全平方式，右边化为一个常数；
⑤如果右边是非负数，就可以进一步通过直接开平方法来求出它的解，如果右边是一个负数，则判定此方程无实数解．
要点诠释：
（1）配方法解一元二次方程的口诀：一除二移三配四开方；
（2）配方法关键的一步是“配方”，即在方程两边都加上一次项系数一半的平方.
（3）配方法的理论依据是完全平方公式222
17.2一元二次方程的解法----------直接开平方法
将方程化成
x2 p
(p≥0）的形 式,再求解
例2、 解方程 x 32 2 0
解： 移项，得
x 32 2
x3 2
显然，方程中的 (x+3)是2的平方根.
即：x 3 2,或x 3 2; x1 3 2, x2 3 2;
小试身手 :
判断下列一元二次方程能否用直接开平方法求解并 说明理由.
第一课时 直接开平方法
知识回顾
• 1.什么叫做平方根?
如果一个数的平方等于a，那么这个数就叫做a的平方根
。用式子表示：若x2=a，则x叫做a的平方根。
记作 x a （a 0)
如：9的平方根是__3
4 25
的平方根是___52___
2.平方根有哪些性质？
(1)一个正数有两个平方根，这两个平方根是互为
x1 2, x2 2
以上解某些一元二 次方程的方法叫做 直接开平方法.
求一个数的平方根的运算叫做 什么？
求一个数的平方根的运算叫做 开平方.
用直接开平方法解下列方程：
（1） y2 121 0 ;
y 11
（2） x2 2 0
x 2
(3) 16x2 25 0
x5 4
(4)2x2 1 0 2
作业
1、P30 习题17.2 第1题 2、同步练习17.2（一）
应先把方程变形
直接开平方法解一元二次方程
直接开平方法解一元二次方程
直接开平方法
解形如p x =2（p ≥0）和()c b ax =+2
（c ≥0）的一元二次方程,用直接开平方法. 用直接开平方法解一元二次方程的一般步骤:
（1）把一元二次方程化为p x =2（p ≥0）或()c b ax =+2
（c ≥0）的形式; （2）直接开平方,把方程转化为两个一元一次方程;
（3）分别解这两个一元一次方程,得到一元二次方程的两个解.
注意:
（1）直接开平方法是最直接的解一元二次方程的方法,并不适合所有的一元二次方程的求解;
（2）对于一元二次方程p x =2,当0<p 时,方程无解;
（3）对于一元二次方程()c b ax =+2
: ①当0>c 时,一元二次方程有两个不相等的实数根;
②当0=c 时,一元二次方程有两个相等的实数根;
③当0<c 时,一元二次方程没有实数根.
例1. 解下列方程:
（1）022=-x ; （2）081162=-x .
分析:观察到两个方程的特点,都可以化为p x =2（p ≥0）的形式,所有选择用直接开平方法求解.当一元二次方程缺少一次项时,考虑使用直接开平方法求解.
解:（1）22=x
2±=x ∴2,221-==x x ;
（2）16
81,811622==x x 491681±=±
=x ∴4
9,4921-==x x .
（1）()0932=--x ; （2）()092122
=--x . 分析:观察到两个方程的特点,都可以化为()c b ax =+2
（c ≥0）的形式,所有选择用直接开平方法求解.
解:（1）()932=-x
一元二次方程的解法直接开平方法
一元二次方程的解法直接开平方法
直接开平方法是求解一元二次方程的常用方法之一。它的基本思想是通过将方程化为完全平方形式，然后直接开平方根得到方程的解。
假设一元二次方程为：ax^2 + bx + c = 0，其中a、b、c为已知实数且a≠0。
一元二次方程的直接开平方法如下：
1. 将方程化为完全平方形式：将方程左右两边同时加上c，并将方程左边的二次项乘以2/a，得到(ax^2 + bx + c + c) +
2ax^2/a = 0。
2. 整理方程，得到(2ax^2 + bx + (b^2-4ac))/a = 0。
3. 化简方程，得到2ax^2 + bx + (b^2-4ac) = 0。
4. 利用二次方程的求根公式，计算方程的两个根：x = (-b ±√(b^2-4ac))/(2a)。
根据方程b^2-4ac的取值情况，可以得到一元二次方程的根的不同情况：
1. 当b^2-4ac > 0时，方程有两个不相等的实根。
2. 当b^2-4ac = 0时，方程有两个相等的实根。
3. 当b^2-4ac < 0时，方程没有实根，而是有两个共轭复根。
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请同学们试着解下列方程？
x2-4=0 同学们用以下方法解： 同学们用以下方法解：
x2=4
X=+2 这种解一元二次方程的方 法叫直接开平方法 法叫直接开平方法
例2：解方程（x+3）2=2 ：解方程（ ） 的平方根， 解：因为x+3是2的平方根，所以 因为 是 的平方根 X+3=+√2 即X+3=+ √ 2，或X+3= √ 2 ， X=-3+ √ 2，x=-3- √ 2 ，
百度文库 练习： 练习：
解方程： 解方程：
2=256 x 2 -9 =0 X
例4：解方程： ：解方程： 2=9 16x 2 - 9 =7 3x
解方程 2 -25 =0 4X 2 -7 =2 16X
解方程： 解方程： 2 -25 =0 1、（ 、（X-3） 、（ ） 2 -7 =2 2、（ 、（2X+1） 、（ ）
解方程： 解方程： 2 -C =0 1、ax 、 2 -n =2 2、（ 、（2X+m） 、（ ）
作业： 作业：
P7 练习 、2 练习1、