离散数学——公式与解释
离散数学——公式与解释
命题公式
定义4.2.1 命题公式是由下列规则生成： ①命题变元是公式; ②若A是一个公式，则┐A也是一个公式。 ③若A、B是公式，则A∧B、A∨B、A→B和
AB都是公式。 ④所有的公式只能有限次地使用①、②和③
生成。
3
ห้องสมุดไป่ตู้
简化规则： ①规定联结词的优先级由高到低的次序为： ┐、∧、∨、→、 ②公式(┐A)的括号可以省略，即(┐A) 写成┐A。 ③最外层的圆括号可以省略。
(1)若A在它的各种赋值下取值都为真，则称A为重言 式或恒真式
(2)若A在它的各种赋值下取值都为假，则称A为矛盾 式或恒假式
(3)若A至少存在一组赋值使A为真(A不是恒假的)，则 称A为可满足式
恒真式是可满足式，但可满足式不一定是恒真式
9
当公式G对赋值I为真时，称I满足G，或 I是G的成真赋值，记为TI(G) = 1；反之 I是G的成假赋值，或称I弄假G，记为 TI(G) = 0。
（见教材P89）
10
等值演算 ❖ n个命题变项只能生成22个n 不同的真值表
定义4.2.5 给定两个公式A和B， 设P1，P2，…，Pn为所有出现于A和B中的命题变元， 若给P1，P2，…，Pn任一组赋值，A和B的真值 都相同，则称A和B是等价的或逻辑相等的,记作AB. ❖ 可通过判断A与B的真值表是否相同，来判断A与B
离散数学公式及重要知识点
离散数学公式及重要知识点
这里谈论的是离散数学，一门用来探索和研究计算机科学领域中有限集合之间相互关系和操作的数学学科。它包括概率，组合学，图论，算法理论和程序设计等。它与连续数学有明显的不同，可以更好地应用到实际的计算机问题中。
离散数学的重要概念包括：基本集合操作，关系和函数，算法，图和树，定理证明，集合论和元素的结构，组合，概率和统计学等。基本集合操作是离散数学中最重要的概念，它既用于描述有限的项目集，也用于描述和表达集合内部元素之间的关系。比如，一个集合中元素之间的加法可以表示为一个总和。
算法是离散数学中不可或缺的概念，它是一组步骤，用来解决特定问题。它们有助于模拟解决实际问题的过程，帮助计算机完成指定任务，并解决特定类型的概率问题。例如，有一个算法可以确定一小时内最多可以完成多少份工作。
图是另一个离散数学的重要概念，它利用节点和边来表示元素之间的关系。它们可以用来模拟物理和社会网络/关系，以及实现特定的算法和搜索引擎。每个节
点都代表一种实体，边表示实体之间的关系。
定理证明是离散数学中另一个非常重要的概念。它涉及在一定条件下确定假设的真伪，定理有助于发现特定类型的解决方案，特别是那些可以在数学问题中使用的解决方案，这也是离散数学如此重要的原因之一。
离散数学有着多种重要的概念和应用，被用于许多不同的领域。它的理论和实践得到了计算机科学家们的使用，并成功地应用于操作系统，多媒体，自动导航，视觉计算，建模和可视化，信息安全等。
离散数学重要公式定理汇总
关系的性质
一. 自反性
定义:设R是集合A中的关系，如果对于任意x∈A都 有<x,x>∈R (xRx)，则称R是A中自反关系。 即 R是A中自反的关系x(xAxRx) 例如： 在实数集合中,“”是自反关系，因
例 邻居关系和朋友关系是对称关系。
四.反对称性
定义:设R为集合A中关系,若对任何x, y∈A,如果有 xRy,和yRx,就有x=y,则称R为A中反对称关系 。
R是A上反对称的 xy((xAyAxRyyRx) x=y) xy((xAyAxyxRy)y Rx) (P112) 由R的关系图看反对称性：两个不同的结点之间 最多有一条边。 从关系矩阵看反对称性：以主对角线为对称的两 个元素中最多有一个1。 另外对称与反对称不是完全对立的，有些关系它 既是对称也是反对称的，如空关系和恒等关系。
2013-12-16 7
Formula
• 蕴含的性质
*若AB且A为重言式，则B必为重言式 *若AB且BC，则AC (传递性) *若AB且AC，则A(B ∧ C) *若AB且C B，则(A∨C) B 证明见书P22
离散数学重要公式定理汇总分解
Formula
⑻ 同一律 P∨FP ⑼ 零律 P ∨ T T ⑽ 互补律 P∨PT P ∧ T P P ∧FF P∧PF
附加：
⑾ ⑿ ⒀ ⒁ ⒂ PQP∨Q PQQP PQ (PQ)∧(QP) PQ (P∨Q)∧(P∨Q) PQ (P∧Q)∨(P∧Q )
有关绝对补集的性质 设A、B、C是任意集合，则 ⑴ ~E=Φ ⑵ ~Φ=E ⑶~(~A)=A ⑷ A∩~A=Φ ⑸ A∪~A=E ⑹A-B=A∩~B ⑺~(A∩B)=~A∪~B ⑻ ~(A∪B)=~A∩~B ⑼AB ~B~A ⑽ ~A=B 当且仅当A∪B=E且 A∩B=Φ
有关对称差的性质
离散数学重要公式定理汇总
大一上
Formula
基本的等价公式
⑴ 对合律 PP ⑵ 幂等律 P∨PP P ∧ P P ⑶ 结合律 P∨(Q∨R)(P∨Q)∨R P∧(Q∧R)(P∧Q)∧R ⑷交换律 P∨QQ∨P P∧QQ∧P ⑸分配律 P∨(Q∧R)(P∨Q)∧(P∨R) P∧(Q∨R)(P∧Q)∨(P∧R) ⑹ 吸收律 P∨(P∧Q)P P∧(P∨Q)P ⑺德．摩根定律 (P∨Q)P∧Q (P∧Q)P∨Q
2018/10/25
12
Brief Summary
第一章 小结
知识网络：
原子命题 命题公式 永真式 永真蕴涵式 等价公式 范式 命题 复合命题 联结词
离散数学重要公式定理汇总
3.重要的重言蕴含式(如教材第43页所示)
I1.P∧QP ,
I2. P∧QQ
I3. PP∨Q
I4. QP∨Q
I5. PPQ
I6. QPQ
I7. (PQ)P
I8. (PQ)Q
I9. P,Q P∧Q
I10. P∧(P∨Q)Q
I11. P∧(PQ)Q I12. Q∧(PQ)P
I13. (PQ)∧(QR)PR
2020/12/28
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4
Formula
⑺德．摩根定律 ~(A∪B)~A∩~B ~(A∩B)~A∪~B
⑻ 同一律 A∪ΦA; A∩EA E表示全集 ⑼ 零律 A∪EE A∩ΦΦ ⑽ 否定律 A∪~AE A∩~AΦ
2020/12/28
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5ห้องสมุดไป่ตู้
Definition
永真(重言)式（Tautology）公式中的命题变量元论 怎样指派，公式对应的真值恒为T。
2020/12/28
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14
量词分配公式
1. x(A(x)∨B(x))xA(x)∨xB(x)
2. x(A(x)∧B(x))xA(x)∧xB(x)
3. x(A(x)∧B(x))xA(x)∧xB(x)
4. xA(x)∨xB(x)x(A(x)∨B(x))
证明：设论域为{a1,a2,....,an}，
x(A(x)∨B(x))
离散数学基本公式
一、基本等值式⑴双重否定律A A⑵幂等律A∧A A A∨A A⑶交换律A∧B B∧A A∨B B∨A⑷结合律A∨(B∨C)(A∨B)∨C
A∧(B∧C)(A∧B)∧C⑸分配律A∨(B∧C)(A∨B)∧(A∨C)
A∧(B∨C)(A∧B)∨(A∧C)(6)德摩根律
(A∨B)A ∧B(A∧B)A ∨B(7)吸收律A∨(A∧B) A
A∧(A∨B)A(8)零律A∨1 1 A∧00(9)同一律A∧1 A
A∨0A(10)排中律A ∨A1(11)矛盾律A ∧A0(12)蕴含等值式
A B A∨B(13)等价等值式
A B (A B)∧(B A)A B (A∨B)∧(A ∨B)A B(A∧B)∨(A ∧ B )(14)假言易位A B B A(15)等价否定等值式A B A B(16)归谬论
(A B)∧(A B) A
二、推理定律——重言蕴涵式
1.A (A B)附加律
2.(A B)A化简律
3.(A B)A B假言推理
4.(A B)B A拒取式
5.(A B)B A析取三段论
6.(A B)(B C)(A C)假言三段论
7.(A B)(B C)(A C)等价三段论
8.(A B)(C D)(A C)(B D)构造性二难(A B)(A B)B构造性二难(特殊形式)
9.(A B)(C D)(B D)(A C)破坏性二难
三、量词辖域收缩与扩张
x(A(x)∨B)xA(x)∨B x(A(x)∧B)xA(x)∧B x(A(x)→B)xA(x)→B x(B
1/ 2
→A(x))B→xA(x)x(A(x)∨B)xA(x)∨B x(A(x)∧B)xA(x)∧B x(A(x)→B )xA(x)→B x(B→A(x))B→xA(x)
离散数学基本公式
离散数学基本公式
离散数学是数学的一个重要分支，它主要研究的是非连续的、分离的对象，如集合、图论、数论、逻辑等。在这些领域中，一些基本的公式和定理是理解和应用离散数学的关键。以下是一些离散数学的基本公式：
1、德摩根定律
德摩根定律是布尔代数中的基本公式之一，它表示对于任何逻辑运算，如果我们把所有的否命题和原命题结合在一起，我们就会得到一个恒等式。
用符号表示为：
P ∧ Q) ∨(¬P ∧¬Q) ≡ P ∨ Q
P ∨ Q) ∧(¬P ∨¬Q) ≡ P ∧ Q
2.集合论中的互补律
在集合论中，互补律表示对于任何集合A和它的补集A'，我们有：
A ∪ A' = U,其中U是全集
A ∩ A' = ∅,其中∅表示空集
3.图论中的欧拉公式
欧拉公式是图论中的一个基本公式，它表示对于一个连通无向图G，其顶点数v、边数e和欧拉数euler(G)之间有以下关系：
euler(G) = v + e - 2
其中euler(G)是图G的欧拉数，v是图G的顶点数，e是图G的边数。这个公式在计算图的欧拉数或者判断一个图是否连通等方面都有重
要应用。
4.数论中的费马小定理
费马小定理是数论中的一个重要定理，它表示对于任何正整数n，如果它是质数p的幂次方，那么我们可以找到一个整数x，使得x的n 次方等于1（模p）。
用数学语言表示为：
x^n ≡ x (mod p)
其中n是正整数，p是质数，x是整数。这个定理在密码学、计算机
科学等领域都有广泛的应用。
5.逻辑中的排中律和反证法
排中律是指对于任何命题P，P或非P必定有一个是真命题。反证法则是通过假设相反的命题成立来证明原命题的一种方法。在证明过程中，如果假设的相反命题成立会导致矛盾，那么原命题就一定是正确的。
离散数学公式资料讲解
离散数学公式资料讲解
基本等值式
1.双重否定律 A ?┐┐A
2.幂等律 A ? A∨A, A ? A∧A
3.交换律A∨B ? B∨A，A∧B ? B∧A
4.结合律(A∨B)∨C ? A∨(B∨C) (A∧B)∧C ? A∧(B∧C)
5.分配律A∨(B∧C) ? (A∨B)∧(A∨C) （∨对∧的分配律）
A∧(B∨C) ? (A∧B)∨(A∧C) （∧对∨的分配律）
6.德·摩根律┐(A∨B) ?┐A∧┐B ┐(A∧B) ?┐A∨┐B
7.吸收律 A∨(A∧B) ? A，A∧(A∨B) ? A
8.零律A∨1 ? 1,A∧0 ? 0
9.同⼀律A∨0 ? A，A∧1 ? A
10.排中律A∨┐A ? 1
11.⽭盾律A∧┐A ? 0
12.蕴涵等值式A→B ?┐A∨B
13.等价等值式A?B ? (A→B)∧(B→A)
14.假⾔易位A→B ?┐B→┐A
15.等价否定等值式 A?B ?┐A?┐B
16.归谬论(A→B)∧(A→┐B) ?┐A
求给定公式范式的步骤
(1)消去联结词→、?(若存在)。
(2)否定号的消去(利⽤双重否定律)或内移(利⽤德摩根律)。
(3)利⽤分配律：利⽤∧对∨的分配律求析取范式，∨对∧的分配律求合取范式。推理定律--重⾔蕴含式
(1) A ? (A∨B) 附加律
(2) (A∧B) ? A 化简律
(3) (A→B)∧A ? B 假⾔推理
(4) (A→B)∧┐B ?┐A 拒取式
(5) (A∨B)∧┐B ? A 析取三段论
(6) (A→B) ∧(B→C) ? (A→C) 假⾔三段论
(7) (A?B) ∧(B?C) ? (A ? C) 等价三段论
离散数学公式范文
离散数学公式范文
离散数学是一门关于离散结构及其运算规则的数学课程。它研究的对象包括离散对象（如集合、图、函数等）和离散运算（如关系、代数运算等），以及这些对象和运算之间的关系和性质。离散数学具有广泛的应用领域，如计算机科学、信息技术、电子通信等。本文将介绍一些离散数学中常用的公式及其应用。
一、集合公式
1.交集运算：对于集合A和B，它们的交集记作A∩B，定义为A和B 中都包含的元素所组成的集合。
A∩B={x，x∈A且x∈B}
2.并集运算：对于集合A和B，它们的并集记作A∪B，定义为A和B 中所有元素所组成的集合。
A∪B={x，x∈A或x∈B}
3.差集运算：对于集合A和B，它们的差集记作A-B，定义为属于A 但不属于B的元素所组成的集合。
A-B={x，x∈A且x∉B}
4.对称差运算：对于集合A和B，它们的对称差记作A△B，定义为属于A或属于B但不同时属于A和B的元素所组成的集合。
A△B={x，(x∈A且x∉B)或(x∉A且x∈B)}
二、数学归纳法
数学归纳法是一种证明方法，用于证明一类命题对于所有正整数成立。它的基本思想是通过证明基本情况成立，然后证明如果对于一些正整数n
成立，则对于n+1也成立，从而得出结论对于所有正整数成立。
数学归纳法的三个步骤：
1.基础步骤：证明当n取最小值时命题成立。
2.归纳假设：假设当n=k时命题成立，即P(k)成立。
3.归纳步骤：证明当n=k+1时命题也成立，即P(k+1)成立。
三、逻辑公式
逻辑公式是描述命题之间关系的数学表达式。常用的逻辑公式有如下
几种：
1.否定：对于命题p，它的否定记为¬p，表示p是假的。
离散数学推理规则公式
离散数学推理规则公式
离散数学的推理规则包括以下几种：
1. 前提引入规则（P规则）：可以在证明的任何时候引入前提。
2. 结论引入规则（T规则）：在证明的任何时候，已证明的结论都可以作为后续证明的前提。
3. 置换规则：在证明的任何时候，命题公式中的任何子命题公式都可以用与之等价的命题公式置换。
4. 假言推理规则（P∧ (P→Q) ⇒ Q）。
5. 附加规则（P ⇒ P∨Q）。
6. 化简规则（P∧ Q ⇒ P）。
7. 拒收式规则（¬Q∧(P→Q) ⇒ ¬P）。
8. 假言三段论规则((P→Q)∧(Q→R) ⇒ P→R）。
9. 析取三段论规则（¬P∧(P∨Q) ⇒ Q）。
10. 构造性二难规则((P∨Q)∧(P→R)∧(Q→S) ⇒ (S∨R))。
以上内容仅供参考，建议查阅离散数学书籍或咨询数学领域专业人士获取更多专业信息。
离散数学谓词公式与解释
西 1）取解释I1为：D=R,F(x,y):x>y
华 大
则公式为： x y (x>y) y x(x>y)
学 =10=0，从而公式不是永真式；
2) 取解释I2为：D=R,F(x,y):x.y=0 则公式为：xy(x•y=0)yx(x•y=0) =11=1从而公式不是永假式；
2、 代替规则：对自由变元进行代入。
整个谓词公式中同一个字母的自由变元是指同一个个体 名词。因此可以用整个公式中没有的变元符号来代替， 且要求整个公式中该变元同时用同一个符号代替。
换名规则举例
西x F(x,y)∧x G(x,y) 华大改为：x F(x,y)∧u G(u,y) 学或者为： z F(z,y)∧x G(x,y)
例如公式：x F(x,a)∧x G(f(x),a)
三、谓词公式的赋值(解释)
一个解释由4部分组成：
（1） 非空个体域D；
西 华
（2）D中特定元素；
大 （3）D上特定函数； 学 （4）D上特定谓词。
公式x F(x,a)∧x G(f(x),a)
指定：D=实数集合；a=0；f(x):3x;F(x,y):x≥y； G(x,y):x=y。
1、永真式和永假式的代入实例是永真、永假式；
2. 对于某些简单的公式，特别对于简单的闭式，
西 华
可在假定给定任意解释的前提下该公式的真值
_离散数学重要公式定理汇总
关系的性质
一. 自反性
定义 :设 R是集合 A中的关系，如果对于任意x∈A都 有<x,x>∈R (xRx)，则称R是A中自反关系。 即 R是A中自反的关系x(xAxRx) 例如： 在实数集合中 , “ ”是自反关系，因
F T T F
T F F F
T T F T
QP
F T T T
F F T F
c
Q C9 C10 C11 C12 C13 C14 C15 C16
9
normal form
3.析取范式与合取范式的化法 化成限定性公式。 公式E16 PQP∨Q 公式E21 PQ (P∧Q)∨(P∧Q) 公式E20 PQ (PQ)∧(QP) 公式E16 PQ (P∨Q)∧(P∨Q) 将否定联结词移到命题变量的前面。 A(P1,P2,…,Pn)A*(P1,P2,…,Pn) (P∨Q)P∧Q 、(P∧Q)P∨Q 用分配律、幂等律等公式进行整理，使之成为所 要求的形式。
3
2018/10/12
Formula
等价公式(前10个)与集合论的公式比较： ⑴ 对合律 ~~AA ~A表示A的绝对补集 ⑵ 幂等律 A∪AA A ∩ A A ⑶ 结合律 A∪(B∪C)(A∪B)∪C； A∩(B∩C)(A∩B)∩C ⑷交换律 A∪BB∪A A∩BB∩A ⑸分配律 A∪(B∩C)(A∪B)∩(A∪C) A∩(B∪C)(A∩B)∪(A∩C) ⑹ 吸收律 A∪(A∩B)A A∩(A∪B)A
离散数学重要公式定理汇总
有关绝对补集的性质
设A、B、C是任意集合，则
⑴ ~E=Φ
⑵ ~Φ=E
⑶~(~A)=A
⑷ A∩~A=Φ
⑸ A∪~A=E
⑹A-B=A∩~B
⑺~(A∩B)=~A∪~B ⑻ ~(A∪B)=~A∩~B
⑼AB ~B~A
⑽ ~A=B 当且仅当A∪B=E且 A∩B=Φ
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自反和反自反性除外自反性反自反性对称性传递性反对称性每个结点都有环主对角线全是1每个结点都无环主对角线全是0不同结点间如果有边则有方向相反的两条边
离散数学重要公式定理汇总
大一上
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Formula
▪ 基本的等价公式
⑴ 对合律 PP ⑵ 幂等律 P∨PP P∧PP ⑶ 结合律 P∨(Q∨R)(P∨Q)∨R
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Formula
• 蕴含的性质
*若AB且A为重言式，则B必为重言式 *若AB且BC，则AC (传递性) *若AB且AC，则A(B ∧ C) *若AB且C B，则(A∨C) B
证明见书P22
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conjunction
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为了便于记忆，用图形表示上面八个公式。
离散数学公式大全总结
离散数学公式大全总结
离散数学是数学中的一个分支，涵盖了许多概念和公式。以下是一些离散数学中常见的公式和概念的总结：
1. 集合理论：
集合并：$A \cup B = {x | x \in A \text{或} x \in B}$
集合交：$A \cap B = {x | x \in A \text{且} x \in B}$
集合补：$A' = {x | x \notin A}$
集合差：$A - B = {x | x \in A \text{且} x \notin B}$
幂集：如果$A$有$n$个元素，$P(A)$有$2^n$个子集。
容斥原理：$|A \cup B| = |A| + |B| - |A \cap B|$
2. 排列和组合：
排列数：$P(n, k) = \frac{n!}{(n - k)!}$
组合数：$C(n, k) = \frac{n!}{k!(n - k)!}$
二项定理：$(a + b)^n = \sum_{k=0}^{n}C(n, k)a^{n-k}b^k$
3. 图论：
手握定理：$2 \cdot \text{边数} = \sum \text{度数}$
欧拉图：一个连通图是欧拉图，当且仅当每个顶点的度数都是偶
数。
哈密顿图：包含图中每个顶点的圈。
图着色：给定图中的顶点，用尽量少的颜色对它们进行着色，使得相邻的顶点颜色不相同。
图的最短路径：Dijkstra算法和Floyd-Warshall算法用于找到图中的最短路径。
4. 布尔代数：
布尔变量：$0$表示假，$1$表示真。
逻辑与：$A \land B$
离散数学定义定理
离散数学定义定理
1.3.1命题演算的合式公式规定为:
(1)单个命题变元本身是一个合式公式.
(2)如果A是合式公式,那么┐A是合式公式.
(3)如果A和B是合式公式,那么(A∨B),(A∧B),(A→B),(AB),都是合式公式.
(4)当且仅当有限次地应用(1)(2)(3)所得到的包含命题变元,连接词和圆括号的符号串是合式公式.
1.3.2 设Ai是公式A的一部分,且Ai是一个合式公式,称Ai是A的子公式.
1.3.3 设P为一命题公式,P1,P2,……,Pn为出现在P中的所有命题变元,对P1,P2,……,Pn指定一组真值称为对P的一种指派.若指定的一种指派,使P的值为真,则称这组指派为成真指派.若指定的一种指派,使P的值为假,则称这种指派为成假指派.
含n个命题变元的命题公式,共有2n个指派.
1.3.4 给定两个命题公式A和B,设P1,P2,……,Pn为所有出现于A和B中的原子变元,若给P1,P2,……,Pn任一组真值指派,A和B的真值都相同,称A和B是等价的,记做A B.
1.3.5 设A为一命题公式,若A在它的各种指派情况下,其取值均为真,则称A为重言式或永真式.
1.3.6 设A为一命题公式,若A在它的各种指派情况下,其取值均为假,则称A为矛盾式或永假式.
1.3.7设A为一命题公式,若A在它的各种指派情况下至少存在一组成真指派,则称A为可满足式.
1.4.1 设X式合式公式A的子公式,若有Y也是一个合式公式,且XY,如果将A中的X用Y 置换,得到公式B,则AB.
1.4.2 设A,B为两个命题公式,AB,当且仅当A ←→B为一个重言式.
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等值演算 2 n个命题变项只能生成 2 个不同的真值表
n
定义4.2.5 给定两个公式A和B， 设P1，P2，…，Pn为所有出现于A和B中的命题变元， 若给P1，P2，…，Pn任一组赋值，A和B的真值 都相同，则称A和B是等价的或逻辑相等的,记作AB.
可通过判断A与B的真值表是否相同，来判断A与B是 否等价。
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本节总结
本节主要内容有: 1.用递归的方法定义了命题公式； 2.给出了命题的解释或赋值的概念； 3.定义了公式的真值表； 4.给出了恒真、恒假及可满足公式的定义; 5.给出了两个命题公式等价的概念及13个基本的等价 式; 6.给出了命题逻辑的一个简单的实际应用.
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(1)若A在它的各种赋值下取值都为真，则称A为重言 式或恒真式 (2)若A在它的各种赋值下取值都为假，则称A为矛盾 式或恒假式 (3)若A至少存在一组赋值使A为真(A不是恒假的)， 则称A为可满足式
恒真式是可满足式，但可满足式不一定是恒真式
9
当公式G对赋值I为真时，称I满足G， 或I是G的成真赋值，记为TI(G) = 1；反 之I是G的成假赋值，或称I弄假G，记为 TI(G) = 0。
(4)
分配律： A∧(B∨C)(A∧B)∨(A∧C)， A∨(B∧C)(A∨B)∧(A∨C)。
德·摩根律：(A∧B)A∨B， (A∨B)A∧B。 幂等律：A∧AA，A∨AA。
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(5)
(6)
(7) (8) (9)
同一律：A∧1 A，A∨0 A。 零 律：A∧0 0，A∨1 1。
吸收律：A∧(A∨B)A，
A∨(A∧B)A。
(10)矛盾律：A∧A (11)
0
排中律：A∨A1。
(12)
条件式转化律： A→BB→A ，
16
A→BA∨B。
(13)
双条件式转化律：
AB(A→B)∧(B→A)
(A∧B)∨(A∧B)
AB(AB)
┐、∧、∨、→、
②公式 (┐A)的括号可以省略，即(┐A) 写成┐A。 ③最外层的圆括号可以省略。
4
公式的解释和赋值：
设G为一个命题公式，P1, P2,…，Pn为出现在 G中的所有的命题变元.给P1, P2,…，Pn指定一组 真值，称为对G的一个赋值或解释，记作I，公式 G在I下的真值记作TI(G). 例：公式G=p∧q→r，I:p=1,q=1,r=0是G的一个解释 在这个解释下G的真值为0，即TI(G)=0。 那么111，011，010…也是G的解释. 一般来说，有n个命题变元的公式共有2n 个不同的 解释。
p 0
q 0
p∨ q 0
p→(p∨q) 1
0
1 1
1
0 1
1
1 1
1
1 1
7
例2:G =p∧(p→q源自文库∧(p→┐q)，真值表为： p q ┐q p→ p∧(p→ p→┐q p∧(p→q)∧(p→ ┐q) q q)
0
0
0
1
1
0
1
1
0
0
1
1
0
0
1
1
0
1
1
0
0
1
0
1
1
0
0
0
8
定义4.2.4
设A为一个命题公式
公式与解释
在命题逻辑中，命题又有命题常元和命
题变元之分。一个确定的具体的命题，
称为命题常元；一个不确定的泛指的任 意命题，称为命题变元。
1
命题常元和命题变元均可用字母P等表示。由
于在命题逻辑中并不关心具体命题的涵义， 只关心其真值，因此，可以形式地定义它们
如下：
以真或1、假或0为其变域的变元，称为命题
变元；真或1、假或0称为命题常元。
2
命题公式
定义4.2.1 命题公式是由下列规则生成：
①命题变元是公式;
②若A是一个公式，则┐A也是一个公式。
③ 若 A 、 B 是 公 式 ， 则 A∧B 、 A∨B 、 A→B 和 AB都是公式。 ④所有的公式只能有限次地使用①、②和③ 生成。
3
简化规则：
①规定联结词的优先级由高到低的次序为：
11
例： p∧(p→q)→q 与p→(p∨q)是否等价？
p 0 q 0 p∧(p→q)→q 1 p→(p∨q) 1
0
1 1
1
0 1
1
1 1
1
1 1
12
定理1 A B当且仅当AB是恒真式。 有时
也称A B是恒真双条件式。
等价式有下列性质： ① 自反性，即对任意公式A，有A A。 ② 对称性，即对任意公式A和B，若A B， 则B A。 ③ 传递性，即对任意公式A、B和C，若A B、B C，则A C。
输出律：(A∧B)→CA→(B→C)。 归谬律：(A→B)∧(A→B)A。 恒真式与恒假式的判别法：A为恒真式当
且仅当A1， A为恒假式当且仅当A0
17
例：证明下列命题的等价关系： (1) (p ∨q) →r (p →r) ∧( q →r) (2) (q →(p →r) (p ∧q) →r
18
if (A) {
if (B) x;
else
y; } else {
if (B) x; else y;
}
19
分析： 执行ｘ的条件： （Ａ∧Ｂ）∨（Ａ∧Ｂ） （（Ａ∧Ｂ）∨ Ａ）∧（（Ａ∧Ｂ） ∨Ｂ） （Ａ∨Ａ）∧（Ｂ ∨Ａ）∧Ｂ Ｔ∧Ｂ Ｂ 执行 y 的条件：同理Ｂ 故程序化为：if (B) x; else y; 与Ａ无关。
5
将公式G在其所有解释下所取的真值列成一个表， 称为G的真值表。 构造真值表的步骤：
① 命题变元按一定顺序排列。 ② 对每个赋值，以二进制数从小到大或从大到小
顺序列出。
③ 若公式较复杂，可先列出各子公式的真值 (若有
括号，则应从里层向外层展开)，最后列出所求公 式的真值。
6
例1:G= p→(p∨q)，其真值表为：
13
基本等价式——命题定律
在判定公式间是否等价，有一些简单而
又经常使用的等价式，称为 基本等价式 或称命题定律。 现将这些命题定律列出 如下：
(1)双否定： AA。 (2) 交换律： A∧BB∧A，A∨BB∨A，
A B B A 。
14
(3)
结合律：(A∧B)∧CA∧(B∧C)， (A∨B)∨CA∨(B∨C)， (AB)CA(BC)。