离散数学——公式与解释
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（见教材P89）
10
等值演算 2 n个命题变项只能生成 2 个不同的真值表
n
定义4.2.5 给定两个公式A和B， 设P1，P2，…，Pn为所有出现于A和B中的命题变元， 若给P1，P2，…，Pn任一组赋值，A和B的真值 都相同，则称A和B是等价的或逻辑相等的,记作AB.
可通过判断A与B的真值表是否相同，来判断A与B是 否等价。
20
本节总结
本节主要内容有: 1.用递归的方法定义了命题公式； 2.给出了命题的解释或赋值的概念； 3.定义了公式的真值表； 4.给出了恒真、恒假及可满足公式的定义; 5.给出了两个命题公式等价的概念及13个基本的等价 式; 6.给出了命题逻辑的一个简单的实际应用.
21
(1)若A在它的各种赋值下取值都为真，则称A为重言 式或恒真式 (2)若A在它的各种赋值下取值都为假，则称A为矛盾 式或恒假式 (3)若A至少存在一组赋值使A为真(A不是恒假的)， 则称A为可满足式
恒真式是可满足式，但可满足式不一定是恒真式
9
当公式G对赋值I为真时，称I满足G， 或I是G的成真赋值，记为TI(G) = 1；反 之I是G的成假赋值，或称I弄假G，记为 TI(G) = 0。
(4)
分配律： A∧(B∨C)(A∧B)∨(A∧C)， A∨(B∧C)(A∨B)∧(A∨C)。
德·摩根律：(A∧B)A∨B， (A∨B)A∧B。 幂等律：A∧AA，A∨AA。
15
(5)
(6)
(7) (8) (9)
同一律：A∧1 A，A∨0 A。 零 律：A∧0 0，A∨1 1。
吸收律：A∧(A∨B)A，
A∨(A∧B)A。
(10)矛盾律：A∧A (11)
0
排中律：A∨A1。
(12)
条件式转化律： A→BB→A ，
16
A→BA∨B。
(13)
双条件式转化律：
AB(A→B)∧(B→A)
(A∧B)∨(A∧B)
AB(AB)
┐、∧、∨、→、
②公式 (┐A)的括号可以省略，即(┐A) 写成┐A。 ③最外层的圆括号可以省略。
4
公式的解释和赋值：
设G为一个命题公式，P1, P2,…，Pn为出现在 G中的所有的命题变元.给P1, P2,…，Pn指定一组 真值，称为对G的一个赋值或解释，记作I，公式 G在I下的真值记作TI(G). 例：公式G=p∧q→r，I:p=1,q=1,r=0是G的一个解释 在这个解释下G的真值为0，即TI(G)=0。 那么111，011，010…也是G的解释. 一般来说，有n个命题变元的公式共有2n 个不同的 解释。
p 0
q 0
p∨ q 0
p→(p∨q) 1
0
1 1
1
0 1
1
1 1
1
1 1
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例2:G =p∧(p→q源自文库∧(p→┐q)，真值表为： p q ┐q p→ p∧(p→ p→┐q p∧(p→q)∧(p→ ┐q) q q)
0
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0
0
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定义4.2.4
设A为一个命题公式
公式与解释
在命题逻辑中，命题又有命题常元和命
题变元之分。一个确定的具体的命题，
称为命题常元；一个不确定的泛指的任 意命题，称为命题变元。
1
命题常元和命题变元均可用字母P等表示。由
于在命题逻辑中并不关心具体命题的涵义， 只关心其真值，因此，可以形式地定义它们
如下：
以真或1、假或0为其变域的变元，称为命题
变元；真或1、假或0称为命题常元。
2
命题公式
定义4.2.1 命题公式是由下列规则生成：
①命题变元是公式;
②若A是一个公式，则┐A也是一个公式。
③ 若 A 、 B 是 公 式 ， 则 A∧B 、 A∨B 、 A→B 和 AB都是公式。 ④所有的公式只能有限次地使用①、②和③ 生成。
3
简化规则：
①规定联结词的优先级由高到低的次序为：
11
例： p∧(p→q)→q 与p→(p∨q)是否等价？
p 0 q 0 p∧(p→q)→q 1 p→(p∨q) 1
0
1 1
1
0 1
1
1 1
1
1 1
12
定理1 A B当且仅当AB是恒真式。 有时
也称A B是恒真双条件式。
等价式有下列性质： ① 自反性，即对任意公式A，有A A。 ② 对称性，即对任意公式A和B，若A B， 则B A。 ③ 传递性，即对任意公式A、B和C，若A B、B C，则A C。
输出律：(A∧B)→CA→(B→C)。 归谬律：(A→B)∧(A→B)A。 恒真式与恒假式的判别法：A为恒真式当
且仅当A1， A为恒假式当且仅当A0
17
例：证明下列命题的等价关系： (1) (p ∨q) →r (p →r) ∧( q →r) (2) (q →(p →r) (p ∧q) →r
18
if (A) {
if (B) x;
else
y; } else {
if (B) x; else y;
}
19
分析： 执行ｘ的条件： （Ａ∧Ｂ）∨（Ａ∧Ｂ） （（Ａ∧Ｂ）∨ Ａ）∧（（Ａ∧Ｂ） ∨Ｂ） （Ａ∨Ａ）∧（Ｂ ∨Ａ）∧Ｂ Ｔ∧Ｂ Ｂ 执行 y 的条件：同理Ｂ 故程序化为：if (B) x; else y; 与Ａ无关。
5
将公式G在其所有解释下所取的真值列成一个表， 称为G的真值表。 构造真值表的步骤：
① 命题变元按一定顺序排列。 ② 对每个赋值，以二进制数从小到大或从大到小
顺序列出。
③ 若公式较复杂，可先列出各子公式的真值 (若有
括号，则应从里层向外层展开)，最后列出所求公 式的真值。
6
例1:G= p→(p∨q)，其真值表为：
13
基本等价式——命题定律
在判定公式间是否等价，有一些简单而
又经常使用的等价式，称为 基本等价式 或称命题定律。 现将这些命题定律列出 如下：
(1)双否定： AA。 (2) 交换律： A∧BB∧A，A∨BB∨A，
A B B A 。
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(3)
结合律：(A∧B)∧CA∧(B∧C)， (A∨B)∨CA∨(B∨C)， (AB)CA(BC)。
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等值演算 2 n个命题变项只能生成 2 个不同的真值表
n
定义4.2.5 给定两个公式A和B， 设P1，P2，…，Pn为所有出现于A和B中的命题变元， 若给P1，P2，…，Pn任一组赋值，A和B的真值 都相同，则称A和B是等价的或逻辑相等的,记作AB.
可通过判断A与B的真值表是否相同，来判断A与B是 否等价。
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本节总结
本节主要内容有: 1.用递归的方法定义了命题公式； 2.给出了命题的解释或赋值的概念； 3.定义了公式的真值表； 4.给出了恒真、恒假及可满足公式的定义; 5.给出了两个命题公式等价的概念及13个基本的等价 式; 6.给出了命题逻辑的一个简单的实际应用.
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(1)若A在它的各种赋值下取值都为真，则称A为重言 式或恒真式 (2)若A在它的各种赋值下取值都为假，则称A为矛盾 式或恒假式 (3)若A至少存在一组赋值使A为真(A不是恒假的)， 则称A为可满足式
恒真式是可满足式，但可满足式不一定是恒真式
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当公式G对赋值I为真时，称I满足G， 或I是G的成真赋值，记为TI(G) = 1；反 之I是G的成假赋值，或称I弄假G，记为 TI(G) = 0。
(4)
分配律： A∧(B∨C)(A∧B)∨(A∧C)， A∨(B∧C)(A∨B)∧(A∨C)。
德·摩根律：(A∧B)A∨B， (A∨B)A∧B。 幂等律：A∧AA，A∨AA。
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(5)
(6)
(7) (8) (9)
同一律：A∧1 A，A∨0 A。 零 律：A∧0 0，A∨1 1。
吸收律：A∧(A∨B)A，
A∨(A∧B)A。
(10)矛盾律：A∧A (11)
0
排中律：A∨A1。
(12)
条件式转化律： A→BB→A ，
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A→BA∨B。
(13)
双条件式转化律：
AB(A→B)∧(B→A)
(A∧B)∨(A∧B)
AB(AB)
┐、∧、∨、→、
②公式 (┐A)的括号可以省略，即(┐A) 写成┐A。 ③最外层的圆括号可以省略。
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公式的解释和赋值：
设G为一个命题公式，P1, P2,…，Pn为出现在 G中的所有的命题变元.给P1, P2,…，Pn指定一组 真值，称为对G的一个赋值或解释，记作I，公式 G在I下的真值记作TI(G). 例：公式G=p∧q→r，I:p=1,q=1,r=0是G的一个解释 在这个解释下G的真值为0，即TI(G)=0。 那么111，011，010…也是G的解释. 一般来说，有n个命题变元的公式共有2n 个不同的 解释。
p 0
q 0
p∨ q 0
p→(p∨q) 1
0
1 1
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0 1
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例2:G =p∧(p→q源自文库∧(p→┐q)，真值表为： p q ┐q p→ p∧(p→ p→┐q p∧(p→q)∧(p→ ┐q) q q)
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定义4.2.4
设A为一个命题公式
公式与解释
在命题逻辑中，命题又有命题常元和命
题变元之分。一个确定的具体的命题，
称为命题常元；一个不确定的泛指的任 意命题，称为命题变元。
1
命题常元和命题变元均可用字母P等表示。由
于在命题逻辑中并不关心具体命题的涵义， 只关心其真值，因此，可以形式地定义它们
如下：
以真或1、假或0为其变域的变元，称为命题
变元；真或1、假或0称为命题常元。
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命题公式
定义4.2.1 命题公式是由下列规则生成：
①命题变元是公式;
②若A是一个公式，则┐A也是一个公式。
③ 若 A 、 B 是 公 式 ， 则 A∧B 、 A∨B 、 A→B 和 AB都是公式。 ④所有的公式只能有限次地使用①、②和③ 生成。
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简化规则：
①规定联结词的优先级由高到低的次序为：
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例： p∧(p→q)→q 与p→(p∨q)是否等价？
p 0 q 0 p∧(p→q)→q 1 p→(p∨q) 1
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定理1 A B当且仅当AB是恒真式。 有时
也称A B是恒真双条件式。
等价式有下列性质： ① 自反性，即对任意公式A，有A A。 ② 对称性，即对任意公式A和B，若A B， 则B A。 ③ 传递性，即对任意公式A、B和C，若A B、B C，则A C。
输出律：(A∧B)→CA→(B→C)。 归谬律：(A→B)∧(A→B)A。 恒真式与恒假式的判别法：A为恒真式当
且仅当A1， A为恒假式当且仅当A0
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例：证明下列命题的等价关系： (1) (p ∨q) →r (p →r) ∧( q →r) (2) (q →(p →r) (p ∧q) →r
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if (A) {
if (B) x;
else
y; } else {
if (B) x; else y;
}
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分析： 执行ｘ的条件： （Ａ∧Ｂ）∨（Ａ∧Ｂ） （（Ａ∧Ｂ）∨ Ａ）∧（（Ａ∧Ｂ） ∨Ｂ） （Ａ∨Ａ）∧（Ｂ ∨Ａ）∧Ｂ Ｔ∧Ｂ Ｂ 执行 y 的条件：同理Ｂ 故程序化为：if (B) x; else y; 与Ａ无关。
5
将公式G在其所有解释下所取的真值列成一个表， 称为G的真值表。 构造真值表的步骤：
① 命题变元按一定顺序排列。 ② 对每个赋值，以二进制数从小到大或从大到小
顺序列出。
③ 若公式较复杂，可先列出各子公式的真值 (若有
括号，则应从里层向外层展开)，最后列出所求公 式的真值。
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例1:G= p→(p∨q)，其真值表为：
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基本等价式——命题定律
在判定公式间是否等价，有一些简单而
又经常使用的等价式，称为 基本等价式 或称命题定律。 现将这些命题定律列出 如下：
(1)双否定： AA。 (2) 交换律： A∧BB∧A，A∨BB∨A，
A B B A 。
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(3)
结合律：(A∧B)∧CA∧(B∧C)， (A∨B)∨CA∨(B∨C)， (AB)CA(BC)。