2014版更新高等数学作业题参考答案20140410_

东北农业大学网络教育学院 高等数学作业题（2014更新版）
一、单项选择题
1.
x y 1
sin
=在定义域内是（ ）。

A. 单调函数
B. 周期函数
C. 无界函数
D. 有界函数
2. 24
lim
22--→x x x =（ ）
A . -6 B. 4 C. 0 D . 2
3. x
e x
f 2)(=，则
)1(f '=（ ） A . 2e B . 2
2e C. e D. 2
4. ⎰=
dx e x ( )
A ．
2C
e x +
B ．2
C e x + C ．C e x
+ D ．
C e x
1+
5. 若曲线上任一点切线的斜率与切点横坐标成正比，则这条曲线是（ ） A.圆 B.抛物线 C.椭圆 D.双曲线
6. 下列函数是初等函数的是（ ）。

A.
3sin -=x y B.1sin -=x y
C.
⎪⎩⎪
⎨⎧=≠--=1,01,
112x x x x y
D.
⎩⎨
⎧≥<+=0
,0
,
1x x x x y
7. x x x sin lim
0→的值为（ ）。

A.1
B.∞
C.不存在
D.0 8.
)12ln(-=x y ，则)1(f '=（ ）
A . 0 B. 2 C. 1 D. 3 9. 若
()()x f x F ='，则()()=⎰dx x f d
（ ）
A. ()x f
B.
()dx
x
f C. ()x
F D. ()dx
x
F
10. 方程
2=
-'y
y
的通解是（）
A
x
y sin
= B x
e
y2
4
= C x
ce
y2
= D x e
y=
11. 下列函数是初等函数的是（）。

A.
3
sin-
=x
y
B.
1
sin-
=x
y
C.
⎪⎩
⎪
⎨
⎧
=
≠
-
-
=
1
,
1
,
1
1
2
x
x
x
x
y
D. ⎩
⎨
⎧
≥
<
+
=
,
,
1
x
x
x
x
y
12. x x
x
2 sin
lim
→
A. 1
B. 2
C. 0
D. 1
-
13.
)1
2
ln(-
=x
y
，则
)1(
f'
=（）
A . 0 B. 2 C. 1 D. 3
14. 若
()()x f
x
F=
'
，则
()
()=
⎰dx
x
f
d
（）
A. ()x f
B.
()dx
x
f C. ()x
F D. ()dx
x
F
15. 方程
2=
-'y
y
的通解是（）
A
x
y sin
= B x
e
y2
4
= C x
ce
y2
= D x e
y=
16. 下列函数是初等函数的是（）。

A.
3
sin-
=x
y
B.
1
sin-
=x
y
C.
⎪⎩
⎪
⎨
⎧
=
≠
-
-
=
1
,
1
,
1
1
2
x
x
x
x
y
D. ⎩
⎨
⎧
≥
<
+
=
,
,
1
x
x
x
x
y
17. 下列函数在指定的变化过程中，（）是无穷小量。

A．e
1
x x
,()
→∞
B.
sin
,()
x
x
x→∞
C. ln(),()
11
+→
x x
D.
x
x
x
+-
→
11
,()
18.
)1
2
ln(-
=x
y
，则
)1(
f'
=（）
A . 0 B. 2 C. 1 D. 3
19. 若()()x f x F ='，则
()()=⎰dx x f d （ ）
A. ()x f
B. ()dx x f
C. ()x F
D. ()dx x F
20. 微分方程⎩
⎨
⎧==+0)1(3
'y y xy 的解是（ ）
A ．
)
1
1(3x y -= B. )1(3x y -= C.
x y 1
1-
= D .x y -=1
21. 下列函数是初等函数的是（ ）。

A.
3sin -=x y B.1sin -=x y
C.
⎪⎩⎪
⎨⎧=≠--=1,01
,
112x x x x y D. ⎩⎨
⎧≥<+=0
,
,
1x x x x y
22. x x a x sin lim
-∞→等于 ( )。

A. a
B. 0
C. -a
D. 不存在 23. 3ln -=y ，则dy =（ ）
A . dx 3
B . dx 31- C. dx
31
D. 0
24. ⎰
=
dx e x
( )
A ．
2C
e x +
B ．2
C e x + C ．C e x
+ D ．
C e x 1+ 25. 微分方程
xdx dy 2=的解是（ ）
A 、x y 2=
B 、x y 2-=
C 、2x y =
D 、x y -=
二、填空题
1. 函数
11
42-+
-=x x y 的定义域是_______。

2.
32
+=
x y 的间断点是_______。

3. 设函数
)(x f y =在点x 可导，则函数)()(x kf x g =（k 是常数）在点x （可导、不可导）。

4. 设在),(b a 内曲线弧是凸的，则该曲线弧必位于其上每一点处的切线的( )方。

5. 在空间直角坐标系OXYZ 下，方程
422=+y x 表示的图形为___________； 6. 若一个数列
{}n x ，当n 时，无限接近于某一个常数a ，则称a 为数列{}n x 的极限。

7. )1ln(+-=x x y 在区间 内单调减少，在区间 内单调增加。

8.
y
x y
x z -+
+=
11的定义域为
___________；
9. x
x x 1
)
21(lim 0
+→=( )
三、计算题
1. 1
31
0)21(lim -→-x
x x
2. 求函数
2
2x y x +=的二阶导数x d y
d 2
2。

3. 试确定,,,c b a 使
c bx ax x y +++=2
3有一拐点)1,1(-,且在0=x 处有极大值1。

4. 判断广义积分dx
x
e x
⎰
∞+-
的敛散性，若收敛，计算其值。

5. 求函数
13
3+-=x y y x z 的一阶偏导数
6. 改变二次积分
⎰
⎰x e
dy
y x f dx ln 0
1
),(的次序
7. 求微分方程
0sin sin cos cos =+ydy x ydx x 的解
8. 4586lim 2
21+-+-→x x x x x
9. 求函数
5
555++=x x y 的微分。

10. 求
x y 45-=在[]1,1-区间的最大值和最小值。

11. 判断广义积分dx
x
e x
⎰
∞+-
的敛散性，若收敛，计算其值。

12. 求函数
xy y x z 32
3--= 的一阶偏导数
13. 改变二次积分
⎰
⎰y y
dx
y x f dy ),(10
的次序
14. 求微分方程e
y y y x y x ===2
,ln sin 'π的解。

15. 求函数
2
)1ln(++-=x x y 的定义域
16. 13lim 24
2+-+∞→x x x
x x
17. 求函数
x x
y sin 1cos 1+-=
的微分。

18. 求
)1ln(4
+=x y 在[]2,1-上的最大值与最小值。

19. 判断广义积分
dx
x
e x
⎰
∞+-
的敛散性，若收敛，计算其值。

20. 求函数
13
3+-=x y y x z 的一阶偏导数
21. 改变二次积分
⎰
⎰y y
dx
y x f dy ),(10
的次序
22. 求微分方程
0sin sin cos cos =+ydy x ydx x 的解
23. 1
31
0)
21(lim -→-x x x
24. 求函数
)2ln(3-=x y 的微分。

25. 求函数
x x y ln 22
-=的单调性
26. 求函数
1322
2++-=y xy x z 的全微分
27. 改变二次积分
⎰⎰y y
dx
y x f dy ),(10
的次序
28. 求微分方程
033'''=+-y y y 的解。

29. x x
x 23tan lim
0→
30. 求函数
2
2x y x +=的二阶导数x d y
d 2
2。

31. 求函数
3
23x x y -=的单调性
32. 判断广义积分
dx
x
e x
⎰
∞+-
的敛散性，若收敛，计算其值。

33. 求函数
xy y x z 32
3--= 的一阶偏导数
34. 求微分方程
044''=+'-y y y 的解。

四、求解题
1. 求由参数方程()
⎩
⎨
⎧-=+=t t y t x arctan 1ln 2所确定的函数的二阶
2. 求由曲线22x y =，2
x y =与
2=y 所围成的平面图形面积。

3. 试求
x y =''过点（0，1）
，且在此点与直线
1
2+=
x y 相切的积分曲线
4.
x x f 1)(=
，求x x f x x f x ∆-∆+→∆)
()(lim 0
5. 求由参数方程()
⎩⎨
⎧-=+=t
t y t x arctan 1ln 2
所确定的函数的二阶
6. 求函数
323x x y -=的单调区间
7. 求由曲线22x y =，2
x y =与
2=y 所围成的平面图形面积。

8. 一曲线通过点
)3,2(，它在两坐标轴间的任意切线线段均被切点所平分，求这条曲线。

9. 求由抛物线2
x y =及其在点)41,21(处的法线所围成的平面图形的面积。

10. 求一曲线，这曲线过点（0，1），且它在点(,)x y 处的切线斜率等于y x -。

11. 试求x y =''过点（0，1）
，且在此点与直线
1
2+=
x y 相切的积分曲线
五、应用题
1. 要做一个容积为250立方米的无盖圆柱体蓄水池，已知池底单位造价为池壁单位造价的两倍，设池底单位造价为a 元，试将总造价表示为底半径的函数。

2. 在边长为a 2的正方形铁皮上，四角各减去边长为x 的小正方形，试问边长x 取何值时，它的容积最大？
3. 把一个圆形铁片，自中心处剪去中心角为α的一扇形后，围成一个无底圆锥，试将此圆锥体积表达成α的函数。

4. 求面积为s 的一切矩形中，其周长最小者.
5. 要做一个底面为长方形的带盖的箱子，其体积为3
72cm ，其底边成2:1的关系，问各边的长怎样，才能使表面积为最小.
6. 某车间靠墙盖一间长方形小屋,现有存砖只够砌20米长的墙壁,问应围成怎样的长方形,才能使这间小屋的面积最大?
高等数学作业题参考答案（2014更新版）
一、单项选择题
1. D
2. B
3. B
4. A
5. B
6. B
7. A
8. B
9. B 10. C 11. B 12. B 13. B 14. B 15. C 16. B 17. D 18. B 19. B 20. A 21. B 22. C 23. D 24. A 25. C
二、填空题
1.
[)(]2,11,2 -
2. 3-=x
3. 可导
4. 下
5. 母线为z 轴，2240x y z ⎧+=⎨=⎩为准线的圆柱面
6. 无限增大 (或∞→)
7. )0,1(-；),0(+∞
8.
(){}x y x y x <<-,
9.
2e
三、计算题
1. 解：
131
21lim -→⎪⎭⎫ ⎝⎛-x
x x
⎪⎭
⎫
⎝⎛-⎪⎭⎫ ⎝⎛-⋅-→⎪⎭⎫ ⎝⎛-=131220
21lim x x x x x ⎪⎭
⎫ ⎝⎛+-⋅-→⎪⎭
⎫ ⎝⎛-=26120
21lim x x x x 6
1-
=e
2. 解：x dx dy x
22ln 2+= 2)2(ln 222
2+=x dx y d
3. 解：
b ax x y ++='232，a x y 26+=''
因为函数有拐点)1,1(-，所以⎩⎨⎧-==''1)1(0)1(y y ，即⎩
⎨⎧-=+++=+110
26c b a a 因为在0=x 处有极大值1，所以0)0(='y ，即0=b ，带入上式得
⎪⎩⎪
⎨⎧==-=103
c b a
4. 解：
dx x
e x
⎰
∞+-
22|2
e e +∞+∞==-=⎰
5. 2
3323,3xy x y z
y y x x z -=∂∂-=∂∂
6.
⎰
⎰---=22
111
),(y y dx
y x f dy
7. 解：分离变量得
xdx ydy cot tan -=
两边积分得
⎰⎰-=xdx ydy cot tan
从而)sin arccos(
x C y =
8. 解：4586lim 221+-+-→x x x x x 12lim 1--=→x x x ∞=
9. 解：
dx x
x dy x
)5
ln 551(
2
54
-
=
10. 解：
x y 452
--=
'，无驻点，y '不存在的点为
45=
x ，但]1,1[45
-∉=x
1)1(,3)1(==-y y
所以最大值是3)1(=-y ，最小值是1)1(=y
11. 解：
dx x
e x
⎰
∞+-
22|2
e e +∞+∞==-=⎰
12. y
x x z 332-=∂∂ ,x y y z 32--=∂∂
13.
⎰⎰=x
x
dy
y x f dx 2),(10
14. 解：分离变量得x dx y y dy sin ln =，两边积分得⎰⎰=x
dx
y y dy sin ln 两边积分得⎰⎰=x dx y y dy sin ln ，从而原方程的特解为2
tan x
e y =。

15. 解：120
20
1<≤
-⇒⎩⎨
⎧≥+>-x x x
16. 解：13lim 242+-+∞→x x x x x 22/13/11lim x x x x +-+=∞→0=
17. 解：
dx
x x dy '
⎪⎭⎫ ⎝⎛+-=sin 1cos 1
dx
x x x 2
)sin 1(1
cos sin ++-=
18. 解：
144
3
+='x x y ，令0='y ，求得驻点为0=x 17ln )2(,2ln )1(,0)0(==-=y y y
所以最大值是17ln )2(=y ，最小值是0)0(=y
19. 解：
dx x
e x
⎰
∞+-
22|2
e e +∞+∞==-=⎰
20. 2
3323,3xy x y z
y y x x z -=∂∂-=∂∂
21.
⎰⎰=x
x
dy
y x f dx 2),(10
22. 解：分离变量得
xdx ydy cot tan -=
两边积分得
⎰⎰-=xdx ydy cot tan
从而)sin arccos(x C y = 23. 解：
1310
21lim -→⎪⎭⎫ ⎝⎛-x
x x
⎪⎭
⎫ ⎝⎛-⎪⎭⎫ ⎝⎛-⋅-→⎪⎭⎫
⎝⎛-=131220
21lim x x x x x ⎪⎭
⎫ ⎝⎛+-⋅-→⎪⎭
⎫
⎝⎛-=26120
21lim x x x x 6
1-
=e
24. 解：dx
x x dy 2332
-=
25. 定义域为
),0(+∞
21
,21,014142-=
==-=-='x x x x x x y （舍去）
)(,0),21
,0(x f y <'为单调减函数 )(,0),,21
(x f y >'+∞为单调增函数
26. y
x x z 34-=∂∂y x y z 23+-=∂∂
dy y x dx y x dz )23()34(+-+-=
27. ⎰⎰=x x dy y x f dx 2),(10
28. 解：该方程的特征方程为0332=+-λλ，解得i 2323±=λ。

故原方程的通解为
)23sin 23cos (2123x C x C e y x +=。

29. 解：x x x 23tan lim
0→ x x x 23lim 0→= 23= 30. 解：x dx dy x 22ln 2+= 2)2(ln 2222+=x dx y d
31. 定义域为),(+∞-∞
0,2,0)2(3362===-=-='x x x x x x y
)(,0),0,(x f y <'-∞为单调减函数
)(,0),2,0(x f y >'为单调增函数
)(,0),,2(x f y <'+∞为单调减函数
32. 解：dx x e x ⎰∞+-00022|2e e +∞+∞==-=⎰ 33. y
x x z 332-=∂∂ ,x y y z 32--=∂∂
34. 解：该方程的特征方程为0442=+-λλ，解得21
=λ，22-=λ。

故原方程的通解为)(212x C C e y x +=。

四、求解题
1. 解：2))1(ln()arctan (2t t d t t d dx dy =+-=
2. 解：求得交点)2,1(),2,1(-
38328)2(220-=-=⎰dy y y S
3. 解：1221C x xdx dx y y +==''='⎰⎰
2131261)21(C x C x dx C x dx y y ++=+='=⎰⎰
由题意1)0(=y ，21)0(='y ，代入解得211=C ，12=C ，即121613++=x x y 。

4. 解：
()()()200011lim 11lim lim x x x x x x x x x x f x x f x x x -=∆+-=∆-∆+=∆-∆+→∆→∆→∆
5. 解：
2))1(ln()arctan (2t t d t t d dx dy =+-= 6. 解:函数323x x y -=的定义域是()+∞∞-,
)2(3362--=-='x x x x y ,令0='y ,求得驻点为2,0==x x
,0),0,(<'-∞∈y x 函数单调递减
,0),2,0(>'∈y x 函数单调递增
,0),,2(<'+∞∈y x 函数单调递减
7. 解：求得交点)2,1(),2,1(-
38328)2(22
0-=-=⎰dy y y S
8. 解：设),(00y x 为曲线上的一点，函数过该点处的切线方程为))((000x x x f y y -'=- 该切线与x 轴的交点为)(00
0x f y x '-，由题意0000))((21x x f y x ='-，简化得000)(x y x f -
='
),(00y x 的选取是任意的，∴所求曲线满足x y x f -=')(，解得x C y 1= 。

又3)2(=y ，x y 6=∴。

9. 解：因为x y 2='，所以1)21(='y ，
抛物线2x y =在点)41,21(处的法线方程为
)21)(1(41--=-x y ，即
43+-=x y 求得抛物线与其法线的交点为)
41,21(),49,23(-， 图形面积
⎰-=-+-=2123234)43(dx x x S
10. 解：由题意
y x y -='，1)0(=y 。

方程y x y -='对应的齐次方程为y dx dy -=，分离变量得dx y dy -=，解得x Ce y -=。

设原方程的解为x
e x h y -=)(，代入原方程得x
y e x h dx d x =+-))((， 解得x x x x Ce x e C e xe y --+-=+-=1)(。

又1)0(=y 得2=C ，从而原方程的解为x e x y -+-=21。

11. 解：1221C x xdx dx y y +==''='⎰⎰
2131261)21(C x C x dx C x dx y y ++=+='=⎰⎰
由题意1)0(=y ，21)0(='y ，代入解得211=C ，12=C ，即121613++=x x y 。

五、应用题
1. 解：设池底半径为x 米，总造价为y 元
)2250222r r a r a y πππ⋅+=
)250(2r r a +=π，0>r
2. 解：根据题意可知，容积2)22(x a x V -=，),0(a x ∈
)22)(62()(x a x a x V --='，令0)(='x V ，求得驻点为3a x =，a x =（舍去） 3a x =是开区间内唯一驻点，由实际问题可知容积有最大值，所以在边长3a x =时 容积最大。

3. 解：设圆锥体积为V ，圆形铁片半径为R ，则 圆锥底面半径
πα2R r =，高22222⎪⎭⎫ ⎝⎛-=-=παR R r R h 所以圆锥体积
2222
3242431αππαπ-==R h r V ，)2,0(πα∈
4. 解:设矩形的长为x ,则宽为x s
周长
)(2x s x l +=，0>x )1(22x s l -='，令0='l ，求得驻点为s x =，0)(>''s l 开区间内唯一驻点取得最小值，所以其周长最小者是长和宽都为s 的矩形。

5. 解：设底边长为x x 2,。

高为h
0)3(,3,0)(,0216821642722227224272
,722222
222>''=='=-='+=⨯⨯+⨯
+==
=⨯⨯s x x s x
x s x x x x x x x s x h h x x 所以x=3时取最小值，各边长分别为3，4，6
6. 解：设宽为x 米，则长为（x 220-）米，
面积
x x x x x S 202)220()(2+-=-=，)10,0(∈x 204)(+-='x x S ，令0)(='x S ，驻点为5=x
04)5(<-=''S ，开区间内唯一驻点取得最大值，此时小屋的长为10米，宽为5米。