高等土力学作业

习题与思考题（第二章）
1、什么叫材料的本构关系？在上述的本构关系中，土的强度和应力-应变有什么关系？
答：材料的本构关系是反映材料的力学性状的表达式，表示形式一般为应力-应变-强度-时间的关系，也称为本构定律、本构方程，也叫做本构关系数学模型。

在上述的本构关系中，视强度为材料受力变形发展的一个阶段，对土体而言，在微小应力增量作用下土体单元会发生无限大（或不可控制）的应变增量，强度便在此应力应变状态过程中得以体现。

2、说明土与金属材料的应力应变关系有什么主要区别？
答：金属材料被视作线弹性材料，符合弹性力学中的五个假定：连续性、线弹性、均匀性、各向同性和微小变形假定，土体应力应变与金属材料完全不同，体现在以下几个方面：
1） 土体应力应变的非线性和弹塑性：金属材料的应力应变在各个阶段呈线性，在屈服强度以内呈弹性；而由于土体是由碎散的固体颗粒组成，其变形主要是由于颗粒间的错位引起，颗粒本身的变形不是主要因素，因此在不同应力水平下由相同的应力增量引起的变形增量不同，表现出应力应变关系的非线性。

土体在加载后再卸载到原有的应力状态时，其变形一般不会恢复到原来的应变状态，体现出土体变形的弹塑性。

2） 土体应力应变的不连续性：一般认为金属材料是由连续的介质组成，没有空隙，其应力和应变都是连续的；而土体颗粒之间存在空隙，在应力作用时使得颗粒间的相对位置发生变化，从而增大或减小土体颗粒间的空隙，引起“剪胀”、“剪缩”。

3） 金属材料的应力应变可以在不同的应力水平下分为四个阶段：弹性阶段、屈服阶段、强化阶段和颈缩阶段；土体材料的应力随应变非线性增加，增加到一定程度后或趋于稳定，亦可在应变增加的情形下应力急剧下降，最后也趋于稳定。

3、推导偏差应力张量ij ij kk ij 1S =σ-σδ3的第一、第二和第三不变量的一般表
达式与主应力表达的公式。

解：偏应力张量
x xy xz ij yx y yz zx zy z S S S S ττττττ⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦
其中：
()i i m S i x y z σσ=-=、、；
m 3
x y z
σσσσ++=。

根据不变量的定义，有行列式
0x xy
xz yx y yz
zx
zy
z S S S S
S S
ττττττ--=-
化简，有
322222
2
2
S ()()(2)0
x y z x y y z x z xy zx yz x y z xy yz zx x yz y xz z xy S S S S S S S S S S S S S S S S S τττττττττ-+++++----+---=
写成以下形式：
321230S J S J S J ---=
得到偏应力不变量的三个一般表达式：
12222222
30()2x y z x m y m z m x y y z x z xy zx yz x y z xy yz zx x yz y xz z xy J S S S J S S S S S S J S S S S S S σσσσσστττττττττ=++=-+-+-==-++---=+---
若用主应力表示时：
1
23000
00
ij S S S S ⎡⎤
⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦
其中
(13)i i m S i σσ=-=、2、
此时，有
11231230m m m J S S S σσσσσσ=++=-+-+-=
[]
21223131223132122313123222123122313222
121323()=
()()()()()()1()31()31()()()6
m m m m m m J S S S S S S σσσσσσσσσσσσσσσσσσσσσσσσσσσσσσσσσσσσ=-++--+--+--⎡⎤
=-++-++⎢⎥
⎣⎦
=++---⎡⎤=-+-+-⎣⎦
[]3123
123123
123
123123123213321()()()()()()
3
3
3
1
(2)(2)(2)27
m m m J S S S σσσσσσσσσσσσσσσσσσσσσσσσσσσ==--++++++=--
-
=
--+--+--
4、什么是八面体正（法向）应力和八面体剪（切向）应力、八面体法向应变和八面体剪切向应变？为什么土力学中常用p 和q 、v ε和ε表示他们。

答：八面体正应力是指作用在主应力空间中等倾面上的总应力沿着等倾面法向的分量；总应力在等倾面内的分量称为八面体切应力。

八面体法向应变是发生主应力空间中等倾面法线方向的应变；八面体切应变是发生在主应力空间中等倾面内的应变。

空间中任意一点的应力状态都有一个主应力状态与它对应，而在主应力空间中，过某一点总可以做出一个等倾面，该点的应力状态总可以在该等倾面的法向和切向进行分解。

通过分解得到的正应力和切应力，外加应力洛德角便可以以柱坐标（θσ、q 、p ）的形式表示出与（123σσσ、、）对应的应力状态。

在土力学中常用极限平衡分析法来解决问题，将应力在等倾面内分解后，在运用库仑-莫尔公式tan f C τσφ=+时，f τ与q 相对应，σ便与p 有关，方便了库仑-莫尔准则的应用。

5、证明在123σ、σ、σ分别为大中小主应力时，应力洛德角满足如下关系：
θππ
-≤θ≤66。

证明：已知123σσσ≥≥，分为以下几种情况讨论：
1）三轴压：此时123=σσσ>；213313
1313
221σσσσσσσμσσσσ----=
==---
tan σθ=
=，6σπ
θ=-；
2）三轴拉：123σσσ=>；213113
1313
221σσσσσσσμσσσσ----=
==--
tan σθ=
=
6σπθ=。

故有6
6
σπ
π
θ-
≤≤。

6、已知砂土试样的123σ=800kPa ，σ=500kPa ，σ=200kPa,1
2323I 、I 、I 、J 、J 、 p 、q 和θ各是多少，如果23σ=σ=200kPa ，
上述各值为多少？ 解：已知所求量的表达式如下：
()()()()()()(
)
1123
21223313123
222
21213323123213312123()16122227
1
3I I I J J p q σσσσσσσσσσσσσσσσσσσσσσσσσσσσσσσθ=++=-++=⎡⎤=-+-+-⎣⎦=------⎡⎤⎣⎦=++== 当123=800=500200kPa kPa kPa σσσ=，，时代入以上公式，分别求得：
12323150066000080000000900000
I I I J J ==-===
5000
p q σθ===同理，当123=800=200kPa kPa σσσ=，时，有：
1232312003600003200000012000016000000400600
30
I I I J J p q σθ==-======
-
7、什么是加工硬化？什么是加工软化？请绘出他们的典型的应力应变关系曲线。

答：加工硬化也称应变硬化，是指材料的应力随应变增加而增加，弹增加速率越来越慢，最后趋于稳定。

加工软化也称应变软化，指材料的应力在开始时随着应变增加而增加，达到一个峰值后，应力随应变增加而下降，最后也趋于稳定。

加工硬化与加工软化的应力应变关系曲线如下图：
1
σσ-
1ε
图1 加工硬化与加工软化的应力应变关系曲线。