北师大版高中数学必修二陕西省扶风县第二章圆与圆的方程圆的标准方程教案
陕西省扶风县高中数学 第二章《圆与圆的方程》空间两点间的距离公式教案6 北师大版必修2
第十五课时 空间两点间的距离公式一、教学目标：通过特殊到一般的情况推导出空间两点间的距离公式 二、教学重点、难点重点：空间两点间的距离公式难点：一般情况下，空间两点间的距离公式的推导。
三、教学方法：学导式 四、教学过程由平面上两点间的距离公式，引入空间两点距离公式的猜想 先推导特殊情况下的空间两点间的距离公式 推导一般情况下的空间两点间的距离公式 问题问题设计意图 师生活动在平面上任意两点A ),(11y x ，B ),(22y x 之间距离的公式为|AB |=221221)()(y y x x -+-，那么对于空间中任意两点A ),,(111z y x ，B ),,(222z y x 之间距离的公式会是怎样呢？你猜猜？ 通过类比，充分发挥学生的联想能力。
师：、只需引导学生大胆猜测，是否正确无关紧要。
生：踊跃回答（2）空间中任意一点P ),,(z y x 到原点之间的距离公式会是怎样呢？从特殊的情况入手，化解难度师：为了验证一下同学们的猜想，我们来看比较特殊的情况，引导学生用勾股定理来完五、教后反思：O yzxP(x,y,z)B(x,y,0)A[1]成学生：在教师的指导下作答得出222z y x OP ++=问题 问题设计意图 师生活动（3）如果OP 是定长r,那么2222r z y x =++表示什么图形？任何知识的猜想都要建立在学生原有知识经验的基础上，学生可以通过类比在平面直角坐标系中，方程222r y x =+表示原点或圆，得到知识上的升华，提高学习的兴趣。
师：注意引导类比平面直角坐标系中，方程222r y x =+表示的图形，让学生有种回归感。
生：猜想说出理由（4）如果是空间中任意一点),,(1111z y x P 到点),,(2222z y x P 之间的距离公式会是怎样呢？O yzxMP 1P 2NM 1N 2N 1M 2H [2]人的认知是从特殊情况到一般情况的师生：一起推导，但是在推导的过程中要重视学生思路的引导。
北师大版必修2,第二章,解析几何初步,教案(圆,空间直角坐标系)
4.1.1 圆的标准方程三维目标：知识与技能：1、掌握圆的标准方程，能根据圆心、半径写出圆的标准方程。
2、会用待定系数法求圆的标准方程。
过程与方法：进一步培养学生能用解析法研究几何问题的能力，渗透数形结合思想，通过圆的标准方程解决实际问题的学习，注意培养学生观察问题、发现问题和解决问题的能力。
情感态度与价值观：通过运用圆的知识解决实际问题的学习，从而激发学生学习数学的热情和兴趣。
教学重点：圆的标准方程教学难点：会根据不同的已知条件，利用待定系数法求圆的标准方程。
教学过程：1、情境设置：在直角坐标系中，确定直线的基本要素是什么？圆作为平面几何中的基本图形，确定它的要素又是什么呢？什么叫圆？在平面直角坐标系中，任何一条直线都可用一个二元一次方程来表示，那么，原是否也可用一个方程来表示呢？如果能，这个方程又有什么特征呢？ 探索研究：2、探索研究：确定圆的基本条件为圆心和半径，设圆的圆心坐标为A(a,b)，半径为r 。
（其中a 、b 、r 都是常数，r>0）设M(x,y)为这个圆上任意一点，那么点M 满足的条件是（引导学生自己列出）P={M||MA|=r},由两点间的距离公式让学生写出点M 适合的条件r = ①化简可得：222()()x a y b r -+-= ②引导学生自己证明222()()x a y b r -+-=为圆的方程，得出结论。
方程②就是圆心为A(a,b),半径为r 的圆的方程，我们把它叫做圆的标准方程。
3、知识应用与解题研究例（1）：写出圆心为(2,3)A -半径长等于5的圆的方程，并判断点12(5,7),(1)M M --是否在这个圆上。
分析探求：可以从计算点到圆心的距离入手。
探究：点00(,)M x y 与圆222()()x a y b r -+-=的关系的判断方法：（1）2200()()x a y b -+->2r ，点在圆外 （2）2200()()x a y b -+-=2r ，点在圆上 （3）2200()()x a y b -+-<2r ，点在圆内例（2）： ABC 的三个顶点的坐标是(5,1),(7,3),(2,8),A B C --求它的外接圆的方程师生共同分析：从圆的标准方程222()()x a y b r -+-= 可知，要确定圆的标准方程，可用待定系数法确定a b r 、、三个参数.（学生自己运算解决）例(3):已知圆心为C 的圆:10l x y -+=经过点(1,1)A 和(2,2)B -,且圆心在:10l x y -+=上,求圆心为C 的圆的标准方程.师生共同分析: 如图确定一个圆只需确定圆心位置与半径大小.圆心为C 的圆经过点(1,1)A 和(2,2)B -,由于圆心C 与A,B 两点的距离相等，所以圆心C 在险段AB 的垂直平分线m 上，又圆心C 在直线l 上，因此圆心C 是直线l 与直线m 的交点，半径长等于CA 或CB 。
北师大版高中数学必修二陕西省扶风县第二章圆与圆的方程直线与圆的位置关系教案
第十一课时 直线与圆的位置关系
一、教学目标
1、知识与技能：（1）理解直线与圆的位置的种类；（2）利用平面直角坐标系中点到直线的距离公式求圆心到直线的距离；（3）会用点到直线的距离来判断直线与圆的位置关系．
2、过程与方法：设直线l ：0=++c by ax ，圆C ：022=++++F Ey Dx y x ，圆的半径为r ，圆心)2
,2(E
D --
到直线的距离为d ，则判别直线与圆的位置关系的依据有以下几点：（1）当r d >时，直线l 与圆C 相离；（2）当r d =时，直线l 与圆C 相切；（3）当r d <时，直线l 与圆C 相交；
3、情态与价值观：让学生通过观察图形，理解并掌握直线与圆的位置关系，培养学生数形结合的思想．
二、教学重点、难点
重点：直线与圆的位置关系的几何图形及其判断方法．难点：用坐标法判直线与圆的位置关系．
三、教学方法：学导式 四、教学过程
五、教后反思：。
2021年高中数学第二章2.2.1圆的标准方程学案北师大版必修2
§2圆与圆的方程2．1圆的标准方程知识点一确定圆的条件[填一填]一个圆的圆心位置和半径一旦给定，这个圆就确定了，如图所示．[答一答]1．确定圆的标准方程需要具备的条件是什么？提示：由标准方程(x－a)2＋(y－b)2＝r2 知确定圆的标准方程需要确定三个参数a、b、r.其中圆心(a，b)是圆的定位条件，半径r是圆的定量条件．知识点二圆的标准方程[填一填](1)圆的定义：到定点的距离等于定长的点的集合叫作圆，定点叫作圆的圆心，定长称为圆的半径．(2)圆的标准方程：圆心为C(a，b)，半径为r的圆的标准方程是(x－a)2＋(y－b)2＝r2.(3)当圆心是坐标原点时，有a＝b＝0，那么圆的方程为x2＋y2＝r2[答一答]2．若圆的标准方程为(x＋m)2＋(y＋n)2＝a2(a≠0)，此圆的半径一定是a吗？圆心坐标是(m，n)吗？提示：圆的半径不一定是a，当a>0 时，半径是a；当a<0 时，半径是－a.圆心坐标不是(m，n)，应是(－m，－n)，因为(x＋m)2＋(y＋n)2＝a2 化为标准结构是[x－(－m)]2＋[y－(－n)]2＝|a|2.3．圆的标准方程有哪些优点？确定圆的标准方程有几个基本要素？提示：圆的标准方程的优点在于明确地指出了圆心和半径．在圆的标准方程中有两个基本要素：圆心坐标和半径，只要a，b，r三个量确定了，且r>0，则圆的标准方程就确定了，这就是说要确定圆的标准方程，必须具备三个独立的条件，注意确定a，b，r，可以根据条件利用待定系数法来解决．知识点三点与圆的位置关系[填一填]设点P到圆心的距离为d，半径为r，则点在圆内⇔d<r；点在圆上⇔d＝r；点在圆外⇔d>r.[答一答]4．判断点和圆的位置关系的依据是什么？提示：判断点与圆的位置关系的依据是圆心到该点的距离和圆的半径的大小关系．1．对于圆的标准方程，我们要从其结构形式上准确地记忆．2．由圆的标准方程，可直接得到圆的圆心坐标和半径大小；反过来说，给出了圆的圆心和半径，即可直接写出圆的标准方程，这一点体现了圆的标准方程的直观性．3．确定圆的标准方程需要三个独立的条件，一般运用待定系数法求a，b，r.类型一根据方程确定圆心和半径【例1】分别写出下列方程所表示圆的圆心坐标和半径．(1)(x－2)2＋(y－2)2＝8；(2)(x＋4)2＋y2＝4；(3)(x＋m)2＋(y－n)2＝p2.【思路探究】利用圆的标准方程的几何特征解答．【解】(1)原方程可化为(x－2)2＋(y－2)2＝(2 2)2，∴圆心坐标为(2,2)，半径r＝2 2.(2)原方程可化为[x－(－4)]2＋(y－0)2＝22，∴圆心坐标为(－4,0)，半径r＝2.(3)原方程可化为[x－(－m)]2＋(y－n)2＝p2，∴圆心坐标为(－m，n)，半径r＝|p|.规律方法由圆的标准方程可直接得出圆心坐标和半径，但要注意圆的标准方程(x－a)2＋(y－b)2＝r2 中，a，b前的运算符号均为减号．给定圆：(x－2)2＋(y＋8)2＝(－3)2，下列说法中正确的是(C)A．圆心坐标是(2，－8)，半径长为－3B．圆心坐标是(－2,8)，半径长为3C．圆心坐标是(2，－8)，半径长为3D．圆心坐标是(－2,8)，半径长为－3解析：对照圆的标准方程(x－a)2＋(y－b)2＝r2(r>0)，知圆心坐标是(2，－8)，半径长不可能是负数，故为3.类型二判断点与圆的位置关系【例2】已知两点P(3,8)，Q(5,4)，试分别判断点M(6，3)，N(3,5)在以线段PQ为直径的圆上，圆内，还是圆外？【解】线段PQ的中点为C(4,6)，|PQ|＝5－32＋4－82＝2 5，∴圆的半径r＝5，以线段PQ为直径的圆的标准方程为(x－4)2＋(y－6)2＝5.由于(6－4)2＋(3－6)2＝13>5，∴点M在圆外．由于(3－4)2＋(5－6)2＝2<5，∴点N在圆内．规律方法点与圆的位置关系及判断方法：(1)点M与圆心C的距离与半径r比较：|CM|＝r⇔点M在圆上；|CM|>r⇔点M在圆外；|CM|<r⇔点M在圆内．(2)利用圆的标准方程来确定：圆的标准方程(x－a)2＋(y－b)2＝r2，点M(m，n)．(m－a)2＋(n－b)2＝r2⇔点M在圆上；(m－a)2＋(n－b)2>r2⇔点M在圆外；(m－a)2＋(n－b)2<r2⇔点M在圆内．设圆C：(x－2)2＋(y＋3)2＝25，试判断下列各点是在圆内、圆外、还是圆上？(1)M(－1，－7)；(2)N(－3,1)；(3)P( 2，2)．解：(1)∵(－1－2)2＋(－7＋3)2＝25，∴点M在圆C上．(2)∵(－3－2)2＋(1＋3)2＝41>25，∴点N在圆C外．(3)∵( 2－2)2＋( 2＋3)2＝17＋2 2<25，∴点P在圆C内．类型三求圆的标准方程【例3】求经过两点A(－1,4)，B(3,2)且圆心在y轴上的圆的标准方程．【思路探究】用待定系数法，求出圆心(a，b)、半径r.也可用几何法．【解】解法一：∵圆心在y轴上，∴a＝0.设圆的标准方程是x2＋(y－b)2＝r2.∵该圆经过A、B两点，∴Error!∴Error!所以圆的标准方程是x2＋(y－1)2＝10.2－4 1解法二：线段AB的中点为(1,3)，k AB＝＝－，3－－1 2∴弦AB的垂直平分线方程为y－3＝2(x－1)，即y＝2x＋1.由Error!得(0,1)为所求圆的圆心．由两点间距离公式得圆半径r为0＋12＋1－42＝10，∴所求圆的标准方程为x2＋(y－1)2＝10.规律方法求圆的标准方程就是要求圆心坐标和圆的半径，解法一是先设出圆的标准方程，而后用待定系数法求出圆心坐标和圆半径，解法二抓住圆的性质及题目的特点，求出线段AB的垂直平分线方程并与y轴的方程联立组成方程组，先得出了圆心的坐标，而后求出圆的半径．已知一个圆经过两个点A(2，－3)和B(－2，－5)，且圆心在直线l：x－2y－3＝0 上，求此圆的标准方程．解：解法一：设所求圆的标准方程为(x－a)2＋(y－b)2＝r2.由已知条件得Error!即Error!∴Error!∴所求圆的标准方程为(x＋1)2＋(y＋2)2＝10.1解法二：由A(2，－3)，B(－2，－5)得AB的中点为(0，－4)，k AB＝，∴AB的垂直平2分线的方程为y＋4＝－2x，即2x＋y＋4＝0，解方程组Error!得Error!∴圆心为(－1，－2)，半径r＝2＋12＋－3＋22＝10.故所求圆的标准方程为(x＋1)2＋(y＋2)2＝10.解法三：设点C是圆心，∵点C在直线l上，∴设点C(2b＋3，b)．又∵|CA|＝|CB|，∴2b＋3－22＋b＋32＝2b＋3＋22＋b＋52，解得b＝－2，∴圆心为C(－1，－2)，半径r＝10，故所求圆的标准方程为(x＋1)2＋(y＋2)2＝10.——规范解答系列——数形结合解决与圆有关的最值问题【例4】设点P(x，y)是圆x2＋(y＋4)2＝4 上任意一点，求x－12＋y－12的最大值．【精解详析】因为点P(x，y)是圆x2＋(y＋4)2＝4 上的任意一点，因此x－12＋y－12表示点(1,1)与该圆上点的距离，如图所示．易知点(1,1)在圆x2 ＋(y＋4)2 ＝4 外，结合右图易得x－12＋y－12的最大值为1－02＋1＋42＋2＝26＋2.【解后反思】用数形结合的思想方法也能求出x－12＋y－12的最小值为26－2.求圆外一定点A与圆C上动点P连线距离的最值方法：设|AC|＝d，圆C半径为r，则|AP|max＝d＋r，|AP|min＝d－r；求圆内一定点A与圆C上动点P连线距离的最值方法：设|AC|＝d，圆C半径为r，则|AP|max＝d＋r，|AP|min＝r－d.已知点P(x，y)在圆(x－2)2＋(y＋3)2＝36 上，求x2＋y2＋2x－4y＋5的取值范围．解：x2＋y2＋2x－4y＋5＝[x－－1]2＋y－22，其最值可视为圆上一点P(x，y)到定点A(－1,2)的距离的最值，又(－1－2)2＋(2＋3)2<36，所以点A在圆内，问题可转化为圆心C(2，－3)到定点A(－1,2)的距离与半径6 的和或差．又圆心到定点(－1,2)的距离为34，所以x2＋y2＋2x－4y＋5的最大值为34＋6，最小值为6－34.所以x2＋y2＋2x－4y＋5的取值范围是[6－34，6＋34]．一、选择题1．点A(－2,3)与圆(x＋3)2＋(y－1)2＝9 的位置关系是(B)A．在圆外B．在圆内C．在圆上D．不确定解析：圆心坐标为C(－3,1)，半径r＝3，|AC|＝5<r，所以点A在圆内．二、填空题2．过A(2，－3)，B(－2，－5)两点且面积最小的圆的标准方程为x2＋(y＋4)2＝5.解析：过A，B两点且面积最小的圆就是以线段AB为直径的圆．∴圆心坐标为(0，－4)，1半径r＝|AB|＝ 5.2∴圆的标准方程为x2＋(y＋4)2＝5.3．若点M(5 a＋1，a)在圆(x－1)2＋y2＝26 的外部，则实数a的取值范围是(1，＋∞)．解析：由题意得(5 a＋1－1)2＋( a)2>26，即a>1.三、解答题4．已知圆的圆心M是直线2x＋y－1＝0 与直线x－2y＋2＝0 的交点，且圆过点P(－5,6)．求圆的标准方程，并判断点A(2，2)，B(1,8)，C(6,5)是在圆上，在圆内，还是在圆外？解：解方程组Error!得Error!∴圆心M的坐标为(0,1)．半径r＝|MP|＝52＋1－62＝5 2.∴圆的标准方程为x2＋(y－1)2＝50.∵|AM|＝2－02＋2－12＝5<r，∴点A在圆内．∵|BM|＝1－02＋8－12＝50＝r，∴点B在圆上．∵|CM|＝6－02＋5－12＝52>r，∴点C在圆外．∴圆的标准方程为x2＋(y－1)2＝50.点A在圆内，点B在圆上，点C在圆外．。
数学北师大版高中必修2圆的标准方程教案
圆的标准方程教案一、教材分析本章将在上章学习了直线与方程的基础上，学习在平面直角坐标系中建立圆的代数方程，运用代数方法研究直线与圆，圆与圆的位置关系，了解空间直角坐标系，在这个过程中进一步体会数形结合的思想，形成用代数方法解决几何问题的能力。
二、教学目标1、知识目标：使学生掌握圆的标准方程并依据不同条件求得圆的方程。
2、能力目标：(1)使学生初步熟悉圆的标准方程的用途和用法。
(2)体会数形结合思想，形成代数方法处理几何问题能力(3)培养学生观察、比较、分析、概括的思维能力。
三、重点、难点、疑点及解决办法1、重点：圆的标准方程的推导过程和圆的标准方程特点的明确。
2、难点：圆的方程的应用。
3、解决办法充分利用课本提供的2个例题，通过例题的解决使学生初步熟悉圆的标准方程的用途和用法。
四、学法在课前必须先做好充分的预习，让学生带着疑问听课，以提高听课效率。
采取学生共同探究问题的学习方法，五、教法先让学生带着问题预习课文，对圆的方程有个初步的认识，在教学过程中，主要采用启发性原则，发挥学生的思维能力、空间想象能力。
在教学中，还不时补充练习题，以巩固学生对新知识的理解，并紧紧与考试相结合。
六、教学步骤一、导入新课首先让学生回顾上一章的直线的方程是怎么样求出的。
二、讲授新课1、新知识学习在学生回顾确定直线的要素——两点（或者一点和斜率）确定一条直线的基础上，回顾确定圆的几何要素——圆心位置与半径大小，即圆是这样的一个点的集合在平面直角坐标系中，圆心可以用坐标表示出来，半径长是圆上任意一点与圆心的距离，根据两点间的距离公式，得到圆上任意一点的坐标满足的关系式。
经过化简，得到圆的标准方程2、知识巩固学生口答下面问题1、求下列各圆的标准方程。
①圆心坐标为（-4，-3）半径长度为6；②圆心坐标为（2，5）半径长度为3；2、求下列各圆的圆心坐标和半径。
①②3、知识的延伸根据“曲线与方程”的意义可知，坐标满足方程的点在曲线上，坐标不满足方程的点不在曲线上，为了使学生体验曲线和方程的思想，加深对圆的标准方程的理解，教科书配置了例1。
高中数学必修二《圆的标准方程》优秀教学设计
4.1.1圆的标准方程教学设计1．内容和内容解析：内容：圆的标准方程。
内容解析：解析几何是17世纪数学发展的重大成果之一，其本质是用代数方法研究图形的几何性质，体现数形结合的重要思想方法。
其中圆的标准方程的教学目标主要是：一是经历通过平面直角坐标系建立圆的代数方程的过程，在这个过程中进一步体会坐标法研究几何问题的思想和步骤；二是用两种方法求解圆的方程。
圆是解析几何中一类重要的曲线，在学生学习了直线与方程的基础知识之后，知道了在直角坐标系中通过建立方程可以达到研究图形性质，圆的标准方程正是这一知识运用的延续，处于直线与方程和点，直线与圆的关系的结合点和交汇点上。
学好圆的方程可以为圆锥曲线的学习奠定基础，有利于学生进一步体会数形结合的思想，形成用代数法解决几何问题的能力。
也是培养学生运用能力和运算能力的重要素材。
从知识的结构和内容上都起到相当重要的作用。
2．教学目标：知识与技能（1）在平面直角坐标系中，探索并掌握圆的标准方程；（2）能根据圆心坐标、半径及其特殊情况熟练地写出圆的标准方程；（3）会根据条件选择并求出圆的方程；过程与方法（1）通过平面直角坐标系建立圆的代数方程的过程，让学生进一步体会坐标法在研究几何问题的思想和步骤；（2）通过类比直线方程的学习，发现并理解圆的方程与直线方程学习中相同的知识结构，进一步体会类比的思想；（3）通过求解圆标准的方程，进一步培养学生能用解析法研究几何问题的能力，渗透数形结合思想；情感态度与价值观通过与直线方程的对比，体会类比思想的应用，让学生学会用联系的观点分析问题，认识事物之间的相互联系与转化；3．教学重难点：重点：（1）类比直线方程的学习，掌握圆的标准方程；难点：（1）圆的代数方程的建立过程；（2）圆的标准方程的灵活应用；落实的途径：（1）通过表格，建立直线与方程，圆与方程的结构图，在复习旧知的同时帮助学生经历坐标法建立圆的代数方程的如下过程：首先将几何问题代数化，用代数语言描述几何要素及其关系，进而将几何问题转化为代数问题，处理代数问题，分析代数结果的几何含义，最终解决几何问题。
北师大版高中数学必修2教案备课圆的标准方程
§2圆与圆的方程2．1圆的标准方程学习目标核心素养1.掌握圆的标准方程，会根据不同条件求圆的标准方程．(重点)2.能根据圆的标准方程求它的圆心和半径．(重点)3.掌握圆的标准方程在求最值和实际问题中的应用．(难点)1.通过学习圆的标准方程，培养数学抽象素养.2.通过求圆的标准方程及标准方程的应用培养数学运算素养.1．圆的标准方程圆的图示圆的几何特征圆上任一点到圆心的距离等于定长圆的标准方程圆心为(a，b)，半径是r的圆的方程为(x－a)2＋(y－b)2＝r2.特别地，当圆心在坐标原点时，有a＝b＝0，那么圆的方程为x2＋y2＝r2提示：确定圆的关键点有两个，即位置(圆心)与大小(半径)．2．点与圆的位置关系(1)中点坐标公式：A(x1，y1)，B(x2，y2)的中点坐标为⎛⎪⎫x1＋x22，y1＋y22.(2)点与圆的位置关系：已知圆O的半径为r，点P到圆心O的距离为d，则点P在圆O外⇔d>r；点P在圆O上⇔d＝r；点P在圆O内⇔d<r.1．圆(x－2)2＋(y＋3)2＝2的圆心和半径分别是()A．(－2,3)，1B．(2，－3)，3C．(－2,3), 2 D．(2，－3), 2D[由圆的标准方程可得圆心坐标为(2，－3)，半径为 2.]2．圆心为(1，－2)，半径为3的圆的方程是()A．(x＋1)2＋(y－2)2＝9B．(x－1)2＋(y＋2)2＝3C．(x＋1)2＋(y－2)2＝3D．(x－1)2＋(y＋2)2＝9D[由圆的标准方程可得，所求圆的方程为(x－1)2＋(y＋2)2＝9.] 3．点(1,1)在圆(x－1)2＋(y＋1)2＝r2上，则圆的半径r＝______.2[由于点(1,1)在圆上，所以(1－1)2＋(1＋1)2＝r2，即r＝2.]4．圆心是点(3,4)且过点(0,0)的圆的方程是________．[答案](x－3)2＋(y－4)2＝25直接法求圆的标准方程(1)圆心为(2，－2)，且过点(6,3)；(2)过点A(－4，－5)，B(6，－1)且以线段AB为直径；(3)圆心在直线x＝2上且与y轴交于两点A(0，－4)，B(0，－2)．[解](1)由两点间距离公式得r＝(6－2)2＋(3＋2)2＝41，∴所求圆的标准方程为(x－2)2＋(y＋2)2＝41.(2)圆心即为线段AB的中点，为(1，－3)．又|AB|＝(－4－6)2＋(－5＋1)2＝229，∴半径r＝29，∴所求圆的标准方程为(x－1)2＋(y＋3)2＝29.(3)由圆的几何意义知圆心坐标(2，－3)，半径r＝(2－0)2＋(－3＋2)2＝5，∴圆的方程为(x－2)2＋(y＋3)2＝5.直接法求圆的标准方程，就是根据题设条件，直接求圆心坐标和圆的半径这两个几何要素，然后将其代入标准方程.[跟进训练]1．(1)若圆C的半径为1，其圆心与点(1,0)关于直线y＝x对称，则圆C的标准方程为________．(2)以圆(x＋1)2＋(y－3)2＝9的圆心为圆心，且过原点的圆的标准方程为____________．(1)x2＋(y－1)2＝1(2)(x＋1)2＋(y－3)2＝10[(1)因为圆C的圆心与点(1,0)关于直线y＝x对称，即圆心坐标为(0,1)，而圆的半径不变，故所求圆C的标准方程为x2＋(y－1)2＝1.(2)法一：由题意可知，圆(x＋1)2＋(y－3)2＝9的圆心坐标为(－1,3)，所以所求圆的半径r＝(－1)2＋32＝10，即所求圆的标准方程为(x＋1)2＋(y－3)2＝10.法二：由题意可设所求圆的标准方程为(x＋1)2＋(y－3)2＝r2.又该圆过点(0,0)．故(0＋1)2＋(0－3)2＝r2，即r2＝10，所以所求圆的标准方程为(x＋1)2＋(y－3)2＝10.]点与圆的位置关系[思路探究]解答本题可以利用点P(2,0)到圆心的距离与半径比较大小，也可直接代入(x－2)2＋(y＋1)2与3比较大小．[解]法一：∵P(2,0)与圆心(2，－1)的距离d＝(2－2)2＋[0－(－1)]2＝1，圆的半径r＝3，∴d＜r，∴点P在圆的内部．法二：∵点P(2,0)满足(2－2)2＋(0＋1)2＝1＜3，∴点P在圆的内部．判断点P (x 0，y 0)与圆(x －a )2＋(y －b )2＝r 2的位置关系有几何法与代数法两种.对于几何法，主要是利用点与圆心的距离与半径比较大小；对于代数法，主要是把点的坐标直接代入圆的标准方程.,具体判断方法如下：①当(x 0－a )2＋(y 0－b )2＜r 2时，点在圆内； ②当(x 0－a )2＋(y 0－b )2＝r 2时，点在圆上； ③当(x 0－a )2＋(y 0－b )2＞r 2时，点在圆外. [跟进训练]2．(1)点M (a ，a ＋1)与圆C ：(x －1)2＋y 2＝1的关系是( ) A ．M 在C 外 B ．M 在C 上C ．M 在C 内D ．不确定与a 的取值有关(2)若点P (－2,4)在圆(x ＋1)2＋(y －2)2＝m 的外部，则实数m 的取值范围为________．(1)A (2)(0,5) [(1)因为圆心C (1,0)，|MC |＝(a －1)2＋(a ＋1)2＝2a 2＋2≥2＞1，故选A.(2)由于点P (－2,4)在圆的外部，所以有(－2＋1)2＋(4－2)2＞m ，解得m ＜5.又方程表示圆，所以有m ＞0.因此实数m 的取值范围是0＜m ＜5.]用待定系数法求圆的标准方程1．已知直线l 与圆C 相交于点P (1,0)和点Q (0,1)，你能求出圆心所在的直线方程吗？提示：PQ 的方程为x ＋y －1＝0， PQ 中点M ⎝ ⎛⎭⎪⎫12，12，k PQ ＝－1，所以圆心所在的直线方程为y ＝x .2．上述问题中，若圆C 的半径为1，请求出圆C 的方程． 提示：由条件设圆的方程为： (x －a )2＋(y －b )2＝1.由圆过P ，Q 点得⎩⎨⎧(1－a )2＋b 2＝1，a 2＋(1－b )2＝1，解得⎩⎨⎧ a ＝0，b ＝0或⎩⎨⎧a ＝1，b ＝1，所以圆C 方程为：x 2＋y 2＝1或(x －1)2＋(y －1)2＝1.【例3】 已知圆过两点A (3,1)，B (－1,3)，且它的圆心在直线3x －y －2＝0上，求此圆的方程．[思路探究] 解答本题可以由所给条件确定圆心和半径，再写出方程，也可以设出方程用待定系数法求解．[解] 法一：直线AB 的斜率为k ＝3－1－1－3＝－12，可知AB 垂直平分线m 的斜率为2. AB 中点的横坐标和纵坐标分别为 x ＝3－12＝1，y ＝1＋32＝2，因此m 的方程为y －2＝2(x －1)，即2x －y ＝0.又圆心在直线3x －y －2＝0上，所以圆心在这两条直线的交点上，联立方程组⎩⎨⎧ 2x －y ＝0，3x －y －2＝0，⎩⎨⎧x ＝2，y ＝4，所以圆心坐标为C (2,4)．又半径r ＝|CA |＝10， 则所求圆的方程是(x －2)2＋(y －4)2＝10.法二：设所求圆的方程为(x －a )2＋(y －b )2＝r 2，依题意，⎩⎨⎧(3－a )2＋(1－b )2＝r 2，(－1－a )2＋(3－b )2＝r 2，3a －b －2＝0，即⎩⎨⎧a 2＋b 2－6a －2b ＝r 2－10，a 2＋b 2＋2a －6b ＝r 2－10，3a －b －2＝0，解得⎩⎨⎧a ＝2，b ＝4，r ＝10，所以所求圆的方程是(x －2)2＋(y －4)2＝10.1．本例中若把直线方程改为x －y ＝0，其它条件不变，试求圆的标准方程． [解] 因为所求圆圆心在直线x －y ＝0上，故设圆心坐标为(a ，a )， 则圆的方程为(x －a )2＋(y －a )2＝r 2. 又∵圆过点A (3,1)，B (－1,3)．∴⎩⎨⎧ (3－a )2＋(1－a )2＝r 2，(－1－a )2＋(3－a )2＝r 2，解得⎩⎨⎧a ＝0，r ＝10， ∴所求圆的方程为x 2＋y 2＝10.2．本例中，若将“圆心在3x －y －2＝0上”改为“圆心在y 轴上，”试求圆的标准方程．[解] 设AB 中点为M ，则M (1,2)，又k AB ＝3－1－1－3＝－12，∴线段AB 中垂线l 的斜率为k l ＝2，∴线段AB 中垂线l 的方程为y －2＝2(x －1)，即y ＝2x ， 令x ＝0得y ＝0.∴圆心坐标为(0,0)，半径r ＝|OA |＝10. ∴所求圆的方程为x 2＋y 2＝10.1．用待定系数法求圆的标准方程的一般步骤： (1)设出圆的标准方程．(2)根据条件得关于a ，b ，r 的方程组，并解方程组得a ，b ，r 的值． (3)代入标准方程，得出结果．2．求圆的标准方程时，要注意平面几何知识的应用，如已知一个圆经过两个点时，其圆心一定在这两点的中垂线上．1．确定圆的方程主要方法是待定系数法，即列出关于a ，b ，r 的方程组求a ，b ，r 或直接求出圆心(a ，b )和半径r .另外依据题意适时运用圆的几何性质解题可以化繁为简，提高解题效率．2．讨论点与圆的位置关系可以从代数特征(点的坐标是否满足圆的方程)或几何特征(点到圆心的距离与半径的关系)去考虑，其中利用几何特征较为直观、快捷．1．思考辨析(1)方程(x －a )2＋(y －b )2＝m 2一定表示圆． ( ) (2)确定一个圆的几何要素是圆心和半径．( )(3)若(x 0－a )2＋(y －b )2>r 2，则说明点M (x 0，y 0)在圆(x －a )2＋(y －b )2＝r 2的外部．( ) (4)圆心定圆的位置，半径定圆的大小．( )[解析] (1)×，不一定，当m ＝0时表示点(a ，b )，当m ≠0时，表示圆． [答案] (1)× (2)√ (3)√ (4)√2．已知一圆的圆心为点(2，－3)，一条直径的两个端点分别在x 轴和y 轴上，则此圆的方程是( )A ．(x －2)2＋(y ＋3)2＝13B ．(x ＋2)2＋(y －3)2＝13C ．(x －2)2＋(y ＋3)2＝52D ．(x ＋2)2＋(y －3)2＝52A [设直径两端点为A (x,0)，B (0，y )， 则圆心(2，－3)为直径中点， ∴⎩⎪⎨⎪⎧2＝x ＋02，－3＝0＋y2，即⎩⎨⎧x ＝4，y ＝－6，∴A (4,0)，B (0，－6)， ∴r ＝12|AB |＝12×42＋62＝13， ∴圆的标准方程为(x －2)2＋(y ＋3)2＝13.]3．若点P (－1, 3)在圆x 2＋y 2＝m 2上，则实数m ＝______. ±2 [∵P 点在圆x 2＋y 2＝m 2上， ∴(－1)2＋(3)2＝4＝m 2， ∴m ＝±2.]4．△ABC 的三个顶点的坐标分别是A (5,1)，B (7，－3)，C (2，－8)，求它的外接圆的方程．[解] 设所求圆的方程是 (x －a )2＋(y －b )2＝r 2，①因为A (5,1)，B (7，－3)，C (2，－8)都在圆上，∴它们的坐标都满足方程①.于是⎩⎨⎧(5－a )2＋(1－b )2＝r 2，(7－a )2＋(－3－b )2＝r 2，(2－a )2＋(－8－b )2＝r 2，解此方程组得⎩⎨⎧a ＝2，b ＝－3，r ＝5，∴△ABC 的外接圆的方程是(x －2)2＋(y ＋3)2＝25.。
圆的标准方程教学设计
圆的标准方程教学设计王会群一、教材分析1．教学内容普通高中课程标准实验教科书《数学》必修2第二章平面解析几何初步中2﹒2节圆与方程。
本节主要研究圆的方程，直线与圆的位置关系，圆与圆的位置关系，以及他们在生活中的简单运用。
2．教材的地位与作用圆是最简单的曲线之一，这节教材安排在学习了直线之后，学习三大圆锥曲线之前，旨在熟悉曲线和方程的理论为后继学习作好准备。
同时有关圆的问题，特别是直线与圆的位置问题，也是解析几何中的基本问题，这些问题的解决为圆锥曲线问题的解决提供了基本的思想方法。
应此教学中应加强练习，使学生确实掌握这单元的知识和方法。
初中教材中对圆的内容降低最低要求。
本课是单元的第一课，和直线方程一样，教学中先设计一个问题情景，让学生讨论，并引导学生观察圆上点在运动时，不变的是什么，抓住圆的本质，突破难点。
3．三维目标(1)知识与技能A．掌握圆的标准方程，并根据方程写出圆的坐标和圆的半径。
B．会选择适当的坐标系来解决与圆有关的实际问题。
(2)过程与方法A.实际问题引入，师生共同探讨。
B.探究曲线方程的基本方法。
(3)情感态度与价值观培养用坐标法研究几何问题的兴趣。
4．教学重点圆的标准方程及运用5. 教学难点求圆的标准方程的条件的确定。
二．教法分析高一学生，在老师的引导下，已经具备一定探究与研究问题的能力。
所以在设计问题时应考虑周全和灵活性，采用启发式探索式教学，师生共同探讨，共同研究，让学生积极思考，主动学习。
在教学过程中采用讨论法，向学生提供具备启发式和思考性的问题。
因此，要求学生在课上讨论，提高学生的探索，推理，想象，分析和总结归纳等方面的能力。
三．学法分析从高考发展的趋势看，高考越来重视学生的分析问题解决问题的能力。
因此，要求学生在学习中遇到问题时，不要急于求成，而要根据问题提供的信息回忆所学知识，采用转化思想，数形结合的思想，选择最佳方案加以解决“瞎撞，乱撞”的不良思想。
四．教学过程项目具体内容教师活动学生活动教学意图复习复习上节课内容，思考一下几个问题什么是直线方程？确定直线方程的要素有哪些？直线方程有哪几种表达式，都是什么样的 ? 教师提问。
2.2.1 圆的标准方程 学案 学案(高中数学必修2北师大版)
2.1 圆的标准方程1．确定圆的条件圆的几何特征是圆上任一点到圆心的距离等于定长，这个定长称为半径，一个圆的圆心位置和半径一旦给定，这个圆就被确定下来．2．圆的标准方程(1)已知圆的圆心为(a ，b )，半径为r ，则圆的标准方程是(x －a )2＋(y －b )2＝r 2.(2)以原点为圆心，半径为r (r ＞0)的圆的标准方程为x 2＋y 2＝r 2. 预习交流1方程(x －a )2＋(y －b )2＝m 2一定表示圆吗？提示：方程(x －a )2＋(y －b )2＝m 2不一定表示圆，当m ＝0时，方程表示点(a ，b )．要使此方程表示圆，需保证m ≠0.圆的标准方程中，r 是半径，r ＞0.预习交流2当圆过原点、圆心在x 轴或在y 轴上时，圆的标准方程分别是什么？预习交流3(1)圆(x ＋5)2＋(y ＋4)2＝18的圆心坐标是________，半径是________． (2)圆心为(1,1)，半径为2的圆的标准方程是________________． (3)圆心为点(3,4)且过点(0,0)的圆的标准方程是( )．A ．x 2＋y 2＝25B ．x 2＋y 2＝5C ．(x －3)2＋(y －4)2＝25D ．(x ＋3)2＋(y ＋4)2＝25 提示：(1)(－5，－4) (2)(x －1)2＋(y －1)2＝4 (3)C3．点与圆的位置关系设点P 到圆心的距离为d ，圆的半径为r ，则点与圆的位置关系对应如下：若某点正好是圆的圆心，则该点是圆上的点吗？提示：不是，因为从几何意义上讲圆指的是“圆圈”，圆上的点并不含圆心．从点与圆的位置关系看，圆心应该在圆内.1．直接法求圆的标准方程求满足下列条件的圆的标准方程．(1)圆心为(2，－2)，且过点(6,3)；(2)过点A(－4，－5)，B(6，－1)且以线段AB为直径；(3)圆心在直线x＝2上且与y轴交于两点A(0，－4)，B(0，－2)．思路分析：首先确定圆心坐标和半径大小，然后再写出圆的标准方程．解：(1)由两点间距离公式，得r＝ 6－2 2＋ 3＋2 2＝41，∴所求圆的标准方程为(x－2)2＋(y＋2)2＝41.(2)圆心即为线段AB的中点，为(1，－3)．又|AB|＝ －4－6 2＋ －5＋1 2＝229，∴半径r＝29.∴所求圆的标准方程为(x－1)2＋(y＋3)2＝29.(3)由圆的几何意义知圆心坐标(2，－3)，半径r＝ 2－0 2＋ －3＋2 2＝5，∴圆的方程为(x－2)2＋(y＋3)2＝5.求满足下列条件的圆的标准方程．(1)圆心为(3,4)，半径是5；(2)圆心为(8，－3)，且经过点P(5,1)；(3)过两点P1(4,7)，P2(2,9)，且以线段P1P2为直径；(4)与圆(x－2)2＋(y＋3)2＝16同心，且过点P(－1,1)；(5)圆心在x轴上的圆C与x轴交于两点A(1,0)，B(5,0)．解：(1)圆的标准方程是(x－3)2＋(y－4)2＝5.(2)r＝ 8－5 2＋ －3－1 2＝32＋42＝5，∴圆的标准方程为(x－8)2＋(y＋3)2＝25.(3)圆心为(3,8)，半径r＝12|P1P2|＝124－2 2＋ 7－9 2＝2，∴圆的标准方程为(x－3)2＋(y－8)2＝2.(4)圆心为(2，－3)，半径r＝ 2＋1 2＋ －3－1 2＝5，∴圆的标准方程为(x－2)2＋(y＋3)2＝25.(5)圆心为(3,0)，半径r＝2，∴圆的标准方程为(x－3)2＋y2＝4.1.直接法求圆的标准方程，关键是确定圆心坐标与半径，结合圆的几何性质可简化计算过程．2．求圆的标准方程时常用的几何性质： (1)弦的垂直平分线必过圆心；(2)圆的两条不平行的弦的垂直平分线的交点必为圆心； (3)圆心与切点的连线长为半径；(4)圆心与切点的连线垂直于圆的切线；(5)圆的半径r ，半弦长d ，弦心距h ，满足r 2＝d 2＋h 2. 2．待定系数法求圆的标准方程(1)求过点A (6,0)，B (1,5)，且圆心在直线l ：2x －7y ＋8＝0上的圆的方程； (2)求圆心在直线5x －3y ＝8上，且圆与两坐标轴都相切的圆的方程． 思路分析：先设出圆的标准方程，由题设列出关系式，组成方程组，由待定系数法求解．解：(1)∵圆心在直线l ：2x －7y ＋8＝0上，∴可设圆心的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫a ，2a ＋87，由题意，得a －6 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫2a ＋87－02＝ a －1 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫2a ＋87－52， 解得a ＝3，∴圆心的坐标为(3,2)，∴r 2＝(3－6)2＋(2－0)2＝13，∴所求圆的标准方程为(x －3)2＋(y －2)2＝13.(2)设所求圆方程为(x －a )2＋(y －b )2＝r 2.∵圆与坐标轴相切，∴圆心满足a －b ＝0或a ＋b ＝0. 又圆心在直线5x －3y ＝8上，∴5a －3b ＝8.解方程组⎩⎪⎨⎪⎧a －b ＝0，5a －3b ＝8或⎩⎪⎨⎪⎧a ＋b ＝0，5a －3b ＝8，得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝4，b ＝4或⎩⎪⎨⎪⎧a ＝1，b ＝－1.∴圆心坐标为(4,4)或(1，－1)．∴可得半径r ＝|a |＝4或r ＝|a |＝1.∴所求圆的方程为(x －4)2＋(y－4)2＝16或(x －1)2＋(y ＋1)2＝1.1．求圆心在x 轴上，且过点A (5,2)和B (3，－2)的圆的标准方程． 解：设圆心坐标为M (a,0)，则|MA |＝|MB |，即 a －5 2＋ 0－2 2＝ a －3 2＋ 0＋2 2， 解得a ＝4.所以圆心坐标为(4,0)，半径r ＝|MA |＝ 5.所以圆的标准方程为(x －4)2＋y 2＝5.2．求过点A (2，－3)，B (－2，－5)，且圆心在直线x －2y －3＝0上的圆的方程． 解：因为圆心在直线x －2y －3＝0上， 故可设圆心为C (2b ＋3，b )，半径为r ，则圆的方程为(x －2b －3)2＋(y －b )2＝r 2. 又因为圆过A (2，－3)，B (－2，－5)两点，所以⎩⎪⎨⎪⎧ 2－2b －3 2＋ －3－b 2＝r 2， －2－2b －3 2＋ －5－b 2＝r 2.①②式①，②左边相等，即10b ＋10＝30b ＋50，所以b ＝－2，所以圆心坐标为(－1，－2)，r ＝10.所以所求圆的方程为(x ＋1)2＋(y ＋2)2＝10.待定系数法求圆的标准方程的一般步骤为：(1)设所求的圆的标准方程为(x －a )2＋(y －b )2＝r 2； (2)根据题意，建立a ，b ，r 的方程组； (3)解方程组，求出a ，b ，r 的值；(4)将a ，b ，r 代入所设的圆的方程中，即得所求． 3．点和圆的位置关系(1)圆的直径端点为(2,0)，(2，－2)，求此圆的方程，并判断A (5,4)，B (1,0)是在圆上、圆外，还是在圆内．(2)点P (3a ＋2,4a )在圆(x －2)2＋y 2＝1的内部，求a 的取值范围．思路分析：(1)求出圆心坐标和半径可得圆的标准方程．判断点在圆上、圆外、圆内的方法是：根据已知点到圆心的距离与半径的大小关系来判断．(2)利用点在圆的内部建立不等式求a 的取值范围． 解：(1)由已知得圆心坐标为C (2，－1)，半径r ＝1.∴圆的方程为(x －2)2＋(y ＋1)2＝1. ∵|AC |＝ 5－2 2＋ 4＋1 2＝34＞1，|BC |＝ 1－2 2＋ －1－0 2＝2＞1，∴A ，B 两点都在圆外．(2)∵点P (3a ＋2,4a )在圆(x －2)2＋y 2＝1的内部，∴(3a ＋2－2)2＋(4a )2＜1，即25a 2＜1，∴a 2＜125.解得－15＜a ＜15.∴a 的取值范围是⎝ ⎛⎭⎪⎫－15，15.1．点P (m 2,5)与圆x 2＋y 2＝24的位置关系是( )．A ．在圆外B ．在圆内C ．在圆上D ．不确定解析：∵(m 2)2＋52＝m 4＋25＞24，∴点P (m 2,5)在圆外． 答案：A2．求过点P 1(3,8)，P 2(5,4)且半径最小的圆的方程，并判断点M (5,3)，N (3,4)，P (3,5)是在此圆上，在圆内，还是在圆外．解：|P 1P 2|＝ 5－3 2＋ 4－8 2＝25， P 1P 2的中点坐标为(4,6)．依题意，所求圆的圆心为C (4,6)，半径为 5.∴所求圆的方程为(x －4)2＋(y －6)2＝5. ∵|MC |＝ 5－4 2＋ 3－6 2＝10＞5，|NC |＝ 3－4 2＋ 4－6 2＝5，|PC |＝ 3－4 2＋ 5－6 2＝2＜5， ∴点M 在圆外，点N 在圆上，点P 在圆内．点与圆的位置关系的判断方法：(1)几何法：利用圆心到该点的距离d 与圆的半径r 比较大小．(2)代数法：直接利用下面的不等式判定：①(x0－a)2＋(y0－b)2＞r2，点在圆外；②(x0－a)2＋(y0－b)2＝r2，点在圆上；③(x0－a)2＋(y0－b)2＜r2，点在圆内．1．圆心为C(－1，－1)，半径为2的圆的标准方程为( )．A．(x－1)2＋(y－1)2＝2 B．(x－1)2＋(y－1)2＝4 C． (x＋1)2＋(y＋1)2＝2 D．(x＋1)2＋(y＋1)2＝4答案：D2．以点P(2，－3)为圆心，并且与y轴相切的圆的方程是( )．A．(x＋2)2＋(y－3)2＝4 B．(x＋2)2＋(y－3)2＝9 C．(x－2)2＋(y＋3)2＝4 D．(x－2)2＋(y＋3)2＝9解析：半径r＝2，∴圆的方程为(x－2)2＋(y＋3)2＝4.答案：C3．圆x2＋y2＝1的圆心到直线3x＋4y－25＝0的距离是( )．A．5 B．3 C．4 D．2解析：d＝2532＋42＝5.答案：A4．若点(3，a)在圆x2＋y2＝16的外部，则a的取值范围是________．解析：由题意知32＋(a)2＞16，∴a＞7.答案：(7，＋∞)5．已知圆C与y轴相切，圆心在直线x－3y＝0上，且经过点A(6,1)，求圆C的方程．解：∵圆心在直线x－3y＝0上，∴设圆心坐标为(3a，a)．又圆C与y轴相切，∴半径r＝|3a|，圆的标准方程为(x－3a)2＋(y－a)2＝|3a|2.又过点A(6,1)，∴(6－3a)2＋(1－a)2＝9a2，即a2－38a＋37＝0，a＝1或a＝37.∴圆C的方程为(x－3)2＋(y－1)2＝9或(x－111)2＋(y－37)2＝1112.。
高中数学新北师大版精品教案《北师大版高中数学必修2 2.1圆的标准方程》0
《圆的标准方程》教学设计【一】教学背景分析1教材结构分析《圆的方程》是北师大版必修二第二章第二节内容圆作为常见的简单几何图形，在实际生活和生产实践中有着广泛的应用圆的方程属于解析几何学的基础知识，是研究二次曲线的开始，对后续直线与圆的位置关系、圆锥曲线等内容的学习，无论在知识上还是方法上都有着积极的意义，所以本节内容在整个解析几何中起着承前启后的作用2学情分析圆的方程是学生在初中学习了圆的概念和基本性质后，又掌握了求曲线方程的一般方法的基础上进行研究的但由于学生学习解析几何的时间还不长、学习程度较浅，且对坐标法的运用还不够熟练，在学习过程中难免会出现困难另外学生在探究问题的能力,合作交流的意识等方面有待加强根据上述教材结构与内容分析，考虑到学生已有的认知结构和心理特征，我制定如下教学目标：3教学目标1 知识目标：①掌握圆的标准方程;②会由圆的标准方程写出圆的半径和圆心坐标，能根据条件写出圆的标准方程;③利用圆的标准方程解决简单的实际问题2 能力目标：①进一步培养学生用代数方法研究几何问题的能力;②加深对数形结合思想的理解和加强对待定系数法的运用;③增强学生用数学的意识3 情感目标：①培养学生主动探究知识、合作交流的意识;②在体验数学美的过程中激发学生的学习兴趣根据以上对教材、教学目标及学情的分析，我确定如下的教学重点和难点：4 教学重点与难点1重点:圆的标准方程的求法2难点：会根据不同的已知条件求圆的标准方程。
为使学生能达到本节设定的教学目标，我再从教法和学法上进行分析：【二】教法学法分析1教法分析为了充分调动学生学习的积极性，本节课采用“启发式”问题教学法，用环环相扣的问题将探究活动层层深入，使教师总是站在学生思维的最近发展区上另外我恰当的利用多媒体课件进行辅助教学，借助信息技术创设实际问题的情境既能激发学生的学习兴趣，又直观的引导了学生建模的过程2学法分析通过推导圆的标准方程，加深对用坐标法求轨迹方程的理解通过求圆的标准方程，理解必须具备三个独立的条件才可以确定一个圆通过应用圆的标准方程，熟悉用待定系数法求的过程下面我就对具体的教学过程和设计加以说明：【三】教学过程与设计整个教学过程是由问题组成的问题链驱动的，共分为五个环节：一创设情境——启迪思维通过生活实例很自然的进入了本课的主题用实际问题创设问题情境，让学生感受到问题生的学习兴趣和学习欲望这样获取的知识，不但易于保持，而且易于迁移抓住了学生的注意力，此时再把问题深入，进入第二环节二深入探究——获得新知问题 1回顾圆的定义能不能得到圆心在原点，半径为的圆的方程2确定圆的要素是什么？3 能不能得到圆心在原点，半径为的圆的方程这一环节引导学生归纳出圆心在原点，半径为r的圆的标准方程然后再让学生对圆心不在原点的情况进行探究我预设了三种方法等待着学生的探究结果，分别是：坐标法、图形变换法、向量平移法得到圆的标准方程后，我设计了由浅入深的三个应用平台，进入第三环节三应用举例——巩固提高I直接应用内化新知试一试 1写出下列各圆的圆心坐标和半径；2写出圆的标准方程；3下列方程表示什么图形？这几道题比较简单，目的是先让学生熟练掌握圆心坐标、半径与圆的标准方程之间的关系，为后面探究问题作准备II灵活应用提升能力探究 1求圆心在直线上，且过两点的圆的方程2求圆心在直线，且与一条直线相切的圆的方程。
高中数学第二章解析几何初步22圆与圆的方程221圆的标准方程课件北师大版必修2(1)
所以 r＝|CA|＝ 5－42＋2－02＝ 5. 所以所求圆的方程为(x－4)2＋y2＝5.
类型二 点与圆的位置关系
[例 2] 如图，已知两点 P1(4,9)和 P2(6,3)． (1)求以 P1P2 为直径的圆的方程； (2)试判断点 M(6,9)，N(3,3)，Q(5,3)是在圆上，在圆内，还是 在圆外．
方法三：由已知可得线段 AB 的中点坐标为(0,0)，kAB＝1－－1－ －11 ＝－1，所以弦 AB 的垂直平分线的斜率为 k＝1，所以 AB 的垂直平 分线的方程为 y－0＝1·(x－0)，即 y＝x.则圆心是直线 y＝x 与 x＋y －2＝0 的交点，
由yx＝＋xy，－2＝0， 得xy＝＝11，， 即圆心为(1,1)，圆的半径为
1－12＋[1－－1]2＝2， 故所求圆的标准方程为(x－1)2＋(y－1)2＝4.
方法归纳
求圆的标准方程的主要方法 (1)几何法：利用圆的几何性质，直接求出圆心和半径，代入圆 的标准方程． (2)待定系数法：由三个独立条件得到三个方程，解方程组以得 到圆的标准方程中的三个参数，其步骤为设方程、列式、求解．
A．(－4,3) B．(－5,4) C．(－5,5) D．(－6,4)
解析：由 a2＋(a＋1)2<25，可得 2a2＋2a－24<0，解得－4<a<3. 答案：A
3．已知圆 C 经过 A(5,2)，B(－1,4)两点，圆心在 x 轴上，则圆 C 的方程为________．
解析：因为圆心在 x 轴上，设圆心为(a,0)， 所以圆的方程为(x－a)2＋y2＝r2. 又因为 A(5,2)，B(－1,4)在圆上． 所以5－－1a－2a＋24＋＝1r62＝r2， 解得 a＝1，r2＝20. 所以圆的方程为(x－1)2＋y2＝20. 答案：(x－1)2＋y2＝20
北师大必修2圆的标准方程1
这是本节课的第
学 1 圆心再圆点，半径为6的圆。 ①x2+y2=36学生分 二个重点，题目 活 2 经过原点，圆心为（2，—3）的圆。 析圆心已知还缺半 设计从难到易， 逐层深入，通过 动 3 经过点P（6，3），圆心为（2，—2） 径求得②r== 一系列题目的变 的圆。 x2+y2=36 化，使学生掌握 4 以点（—1，—5）为圆心，并且与y轴 相切的圆。 圆的标准方程。 同理③圆心（2， —2），r== 拓展：与y轴相切与x轴相切，与x，y轴 都相切的圆 （x—2）2+ （y+2）2=41 例3． 5 给学生时间讨 论，并引导学生 已知点A（4，9），B（6，3），求以 结合在坐标系中 线段AB为直径的圆的方程，并判断点 M（6，9），N（3，3），Q（5，3）与 的图象？ 圆的位置关系。 观察图象 老师总结：判断点与圆的位置关系只需 得，r=|—1|=1 判断（x0—a）2+（y0—b）2与r2的关 这道题是一道综 系。 合题，用到了数 （x+1）2+ 形结合的思想和 （y+5）2=1 两点间的距离公 式。采用男女生 学生自己画图， 分开讨论的方 观察分析：与y轴 法，既培养了学 相切时r=|a|；与x轴 生团结合作精 相切时r=|b|；与x， 神，又能形成竞 y轴都相切时 争意识。最后老 布置作业 r=|a|=|b| 师和学生一起总 结，掌握题目的 分组交流：男生做 本质。 前半题，女生思考 后半题。
八、教学反思
这堂课我觉得上的很轻松，学生也投入。他们通过独立思考，相互讨论，交流合 作，终于发现了知识，品尝到了成功的喜悦。教学不仅应向学生传授知识，而更 重要的在于让学生参与获得知识的活动。教师应使学生在解决问题的过程中积极 思考，使其在动手、动口，动脑的过程中懂得如何学习数学，体会数学知识的来 龙去脉，从而培养其主动获取数学知识的能力。
高中数学新北师大版精品教案《北师大版高中数学必修2 2.1圆的标准方程》6
【课题】圆的标准方程【使用教材】北师大版必修二78页至79页【课时安排】45分钟【教材分析】本节课是数学必修二第二章《圆与圆的方程》中第一课时的教学内容。
圆作为一种基本图形，在实际生活和生产实践中有着广泛的应用。
圆的方程作为解析几何的基本知识之一，是进一步学习圆锥曲线的基础。
在此之前，学生已经学习了“直线与方程”这为过渡到本节课起到铺垫作用，有利于学生进一步熟悉曲线与方程的研究方法。
同时，为下一节研究直线与圆、圆与圆的位置关系，为后面继续研究圆锥曲线及其方程方程等提供了基本模式和理论基础，所以本节内容在整个教材中起到承上启下、巩固与引导的作用【学情分析】学生初中学习过圆的定义，前面还学习了直线与直线的方程，初步掌握了坐标法，体会了数形结合的思想，已有运用代数解决几何问题的意识，在圆标准方程推导的上困难不大。
与此同时，学生运用图形分析问题、解决问题的能力仍较薄弱，学生在实际应用的探究过程中难免出现困难，需要适当引导启发。
【教学目标】✧知识与技能1掌握圆的标准方程及其推导过程；2会根据圆心坐标、半径写出圆的标准方程，以及从圆的标准方程中能准确地找出圆心坐标和半径；3初步掌握求圆的标准方程的两种方法——几何法与待定系数法。
✧过程与方法1进一步培养学生用代数方法研究几何问题的能力；2加深对数形结合思想的理解以及对待定系数法的运用；3通过圆的方程在实际中的应用，增强学生应用数学的意识✧情感态度价值观培养学生主动探究知识、合作交流的意识；通过圆的方程在实际中的应用，体验数学与生活的联系，培养学生用数学的眼光审视现实生活问题的意识。
【教学重点】圆的标准方程的推导以及求法。
【教学难点】根据已知条件，能初步运用几何法和待定系数法求圆的标准方程。
【教学关键点】一、教学流程设计二、教学过程设计(2)(x+3)2+y2=9(3)(x−a)2−(y−b)2=r2练习2：写出下列圆的标准方程(1)圆心在点(4,−6)，半径为3(2)已知点M(4,9),N(6,3)，且MN为圆的直径(3)经过原点，圆心坐标为（2，1）变式：圆心坐标为(2,1)，一条直径的端点分别在x轴、y轴上三、板书设计。
高中数学北师大版必修2 2.2 教学设计 《圆的标准方程》(北师大)
《圆的标准方程》◆教材分析圆是解析几何中一类重要的曲线，是在学生学习了直线与方程的基础知识之后，知道了在直角坐标系中通过建立方程可以达到研究图形性质，圆的标准方程正是这一知识运用的延续，在学习中使学生进一步体会数形结合思想，形成用代数方法解决几何问题的能力，是进一步学习圆锥曲线的基础，对于知识的后续学习，具有相当重要的意义。
◆教学目标【知识与能力目标】掌握圆的标准方程，能根据圆心、半径写出圆的标准方程；会用待定系数法求圆的标准方程。
【过程与方法目标】进一步培养学生能用解析法研究几何问题的能力，渗透数形结合思想，通过圆的标准方程解决实际问题的学习，注意培养学生观察问题、发现问题和解决问题的能力。
【情感态度价值观目标】通过运用圆的知识解决实际问题的学习，从而激发学生学习数学的热情和兴趣。
【教学重点】圆的标准方程。
【教学难点】会根据不同的已知条件，利用待定系数法求圆的标准方程。
电子课件调整、相应的教具带好、熟悉学生名单、电子白板要调试好。
一、导入部分如图，把石子看成点，把波纹看成圆．你知道石子与一圈圈的波纹是什么关系吗？二、研探新知，建构概念1.电子白板投影出上面实例。
点在圆内。
2.教师组织学生分组讨论：先让学生分析，师生一起归纳。
（1）圆的标准方程①圆心为(a，b)，半径为r，圆的标准方程是(x−a)2+(y−b)2=r2②圆心为坐标原点，半径为r，圆的标准方程是x2+y2=r2◆教学重难点◆课前准备◆教学过程注意：(1)圆的标准方程(x－a)2＋(y－b)2＝r2中有三个参数，要确定圆的标准方程需要确定这三个参数，其中圆心(a，b)是圆的定位条件，半径r是圆的定量条件。
反之，若已知圆的标准方程便可以直接得到圆心和半径。
(2)几种特殊位置的圆的标准方程：（3设圆的标准方程为(x－a)2＋(y－b)2＝r2，点M(m，n)，①点M在圆上⇔(m－a)2＋(n－b=r2；②点M在圆内⇔(m－a)2＋(n－b)2<r2；③点M在圆外⇔(m－a)2＋(n－b)2>r2。
高中数学学案北师大版必修2 圆的标准方程 教案
教学设计2．1圆的标准方程整体设计教学分析作为一般曲线的典型例子，课本安排了本节“圆的标准方程”．圆是学生比较熟悉的曲线，在初中曾经学习过圆的有关知识，本节内容是在初中所学知识及前几节内容的基础上，进一步运用解析法研究它的方程，它与其他图形的位置关系及其应用．同时，由于圆也是特殊的圆锥曲线，因此，学习了圆的标准方程，就为后面学习其他圆锥曲线的方程奠定了基础，也就是说，本节内容在教材体系中起到承上启下的作用，具有重要的地位，在许多实际问题中也有着广泛的应用．今天学习圆的标准方程，由于“圆的标准方程”一节内容的基础性和应用的广泛性，对圆的标准方程要求层次是“掌握”．为了激发学生的主体意识，教学生学会学习和学会创造，同时培养学生的应用意识，本节内容可采用“引导探究”型教学模式进行教学设计，所谓“引导探究”是教师把教学内容设计为若干问题，从而引导学生进行探究的课堂教学模式，教师在教学过程中，主要着眼于“引”，启发学生“探”，把“引”和“探”有机地结合起来．教师的每项教学措施，都是给学生创造一种思维情境，一种动脑、动手、动口并主动参与的学习机会，激发学生的求知欲，促使学生解决问题．三维目标1．使学生掌握圆的标准方程，能根据圆心、半径写出圆的标准方程，能根据圆的标准方程写出圆的圆心、半径，进一步培养学生能用解析法研究几何问题的能力，渗透数形结合思想，注意培养学生观察问题、发现问题和解决问题的能力．2．会用待定系数法求圆的标准方程，通过圆的标准方程解决实际问题的学习，形成代数方法处理几何问题的能力，从而激发学生学习数学的热情和兴趣，培养学生分析、概括的思维能力．3．理解掌握圆的切线的求法．包括已知切点求切线；从圆外一点引切线；已知切线斜率求切线等．把握运动变化原则，培养学生树立相互联系、相互转化的辩证唯物主义观点，欣赏和体验圆的对称性，感受数学美．重点难点教学重点：圆的标准方程的推导过程和圆的标准方程特点的明确．教学难点：会根据不同的已知条件，利用待定系数法求圆的标准方程．课时安排1课时教学过程导入新课思路1.(情境导入)情境一：如图1，已知隧道的截面是半径为4 m的半圆，车辆只能在道路中心线一侧行驶．一辆宽为2.7 m，高为3 m的货车能不能驶入这个隧道？图1如图2，以某一截面半圆的圆心为坐标原点，半圆的直径AB所在直线为x轴，建立直角坐标系，问题可以转化为求圆上的点的纵坐标，这就需要建立圆的方程．为此我们学习圆的标准方程．情境二：课前准备：用淀粉在一张白纸上画上海和山．引入：说明最终在白纸上要表演的是一个小魔术，名称是《日出》，所以还缺少一个太阳，请学生帮助在白纸上画出太阳．要求其他学生在自己的脑海里也构出自己的太阳．图2课堂估计：一种是非尺规作图(指出数学作图的严谨性)；一种作出后有同学觉得不够美(点评：其实每人心中都有一个自己的太阳，每个人都有自己的审美观点)．然后上升到数学层次：不同的圆心和半径对应着不同的圆，进而对应着不同的圆的方程．从用圆规作图复习初中所学圆的定义：到定点的距离等于定长的点的轨迹．那么在给定圆心和半径的基础上，结合我们前面所学的直线方程的求解，应该如何建立圆的方程？思路2.(直接导入)同学们，我们知道直线可以用一个方程表示，那么，圆可以用一个方程表示吗？圆的方程怎样来求呢？这就是本堂课的主要内容，教师板书本节课题圆的标准方程．推进新课新知探究提出问题①已知两点A(2，－5)，B(6,9)，如何求它们之间的距离？若已知C(3，－8)，D(x，y)，又如何求它们之间的距离？②具有什么性质的点的轨迹称为圆？③图3中哪个点是定点？哪个点是动点？动点具有什么性质？圆心和半径都反映了圆的什么特点？图3④我们知道，在平面直角坐标系中，确定一条直线的条件是两点或一点和倾斜角，那么决定圆的条件是什么？⑤如果已知圆心坐标为C(a，b)，圆的半径为r，我们如何写出圆的方程？⑥圆的方程形式有什么特点？当圆心在原点时，圆的方程是什么？活动：学生回忆学过的知识，注意观察图形，教师引导，学生思考、交流，学生之间可以相互讨论，学生有困难教师及时提示点拨．①教师引导学生回顾两点之间的距离公式，要正确代入点的坐标．②学生回顾初中学习的圆的定义，教师提示利用集合观点加以解释．③观察图形，结合圆的定义说明．④通过问题③的观察，不难得出确定圆的条件．⑤1°建立适当的直角坐标系，用(x，y)表示圆上任意点M的坐标，简称建系设点；2°写出适合条件P的点M的集合P＝{M|P(M)|}，简称写点集；3°用坐标表示条件P(M)，列出方程f(x，y)＝0，简称列方程；4°化方程f(x，y)＝0为最简形式，简称化简方程；5°证明化简后的方程就是所求曲线的方程，简称证明．⑥问题⑤完成后，说明方程形式的特点．讨论结果：①根据两点之间的距离公式d＝(x2－x1)2＋(y2－y1)2，得|AB|＝(x2－x1)2＋(y2－y1)2＝(6－2)2＋(9－5)2＝212.同理，|CD|＝(x－3)2＋(y＋8)2.②平面内与一定点距离等于定长的点的轨迹称为圆，定点是圆心，定长是半径(教师在黑板上画一个圆)．③圆心C是定点，圆周上的点M是动点，它们到圆心距离等于定长|MC|＝r，圆心和半径分别确定了圆的位置和大小．④确定圆的条件是圆心和半径，只要圆心和半径确定了，那么圆的位置和大小就确定了．⑤确定圆的基本条件为圆心和半径，设圆的圆心坐标为C(a，b)，半径为r(其中a，b，r都是常数，r＞0)．设M(x，y)为这个圆上任意一点，那么点M满足的条件是(引导学生自己列出)P＝{M||MC|＝r}，由两点间的距离公式让学生写出点M适合的条件(x－a)2＋(y－b)2＝r，将上式两边平方得(x－a)2＋(y－b)2＝r2.化简可得(x－a)2＋(y－b)2＝r2.(*)若点M(x，y)在圆上，由上述讨论可知，点M的坐标满足方程(*)，反之若点M的坐标满足方程(*)，这就说明点M与圆心C的距离为r，即点M在圆心为C的圆上．方程(*)就是圆心为C(a，b)，半径长为r的圆的方程，我们把它叫作圆的标准方程．⑥这是二元二次方程，展开后没有xy项，括号内变数x，y的系数都是1.点(a，b)，r 分别表示圆心坐标和圆的半径．当圆心在原点即C(0,0)时，方程为x2＋y2＝r2.提出问题①根据圆的标准方程说明确定圆的方程的条件是什么？②确定圆的方程的方法和步骤？③坐标平面内的点与圆有什么位置关系？如何判断？活动：学生观察圆的标准方程，指出其中的变量和常量，自己动手，画出圆，看点与圆有什么位置关系，教师可以提示引导．①从圆的标准方程中可以看出，确定圆的方程有两个要素，三个条件，两个要素即圆心和半径，三个条件是参数a，b，r且r＞0.只要两个要素或三个条件确定了，那么圆就确定了．②根据问题①我们知道，找到确定a，b，r的条件就可以了．③点与圆有什么位置关系，取决于点到圆心的距离和半径的大小关系．讨论结果：①圆的标准方程(x－a)2＋(y－b)2＝r2中，有三个参数a，b，r，只要求出a，b，r且r＞0，这时圆的方程就被确定了，因此确定圆的标准方程，需三个独立条件，其中圆心是圆的定位条件，半径是圆的定形条件．②确定圆的方程的主要方法是待定系数法，即列出关于a，b，r的方程组，求a，b，r，或直接求出圆心(a，b)和半径r，一般步骤为：根据题意，设所求的圆的标准方程(x－a)2＋(y－b)2＝r2；根据已知条件，建立关于a，b，r的方程组；解方程组，求出a，b，r的值，并把它们代入所设的方程中去，就得到所求圆的方程．③点M(x0，y0)与圆(x－a)2＋(y－b)2＝r2的关系的判断方法：当点M(x0，y0)在圆(x－a)2＋(y－b)2＝r2上时，点M的坐标满足方程(x－a)2＋(y－b)2＝r2.当点M(x0，y0)不在圆(x－a)2＋(y－b)2＝r2上时，点M的坐标不满足方程(x－a)2＋(y－b)2＝r2.用点到圆心的距离和半径的大小来说明：1°点到圆心的距离大于半径，点在圆外⇔(x0－a)2＋(y0－b)2＞r2，点在圆外；2°点到圆心的距离等于半径，点在圆上⇔(x0－a)2＋(y0－b)2＝r2，点在圆上；3°点到圆心的距离小于半径，点在圆内⇔(x0－a)2＋(y0－b)2＜r2，点在圆内．应用示例思路1例1 求以C (4，－6)为圆心、半径等于3的圆的方程．解：将圆心C (4，－6)、半径等于3代入圆的标准方程，可得所求圆的方程为(x －4)2＋(y ＋6)2＝9.例2 已知两点M 1(4,9)和M 2(6,3)．求以M 1M 2为直径的圆的方程．解：根据已知条件，圆心C (a ，b )是M 1M 2的中点，那么它的坐标为a ＝4＋62＝5，b ＝9＋32＝6. 根据两点间距离公式，得圆的半径r ＝|CM 1|＝(4－5)2＋(9－6)2＝10.因此，所求圆的方程是(x －5)2＋(y －6)2＝10.点评：A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)的中点坐标为⎝⎛⎭⎫x 1＋x 22，y 1＋y 22.例3 写出圆心为A (2，－3)，半径长等于5的圆的方程，并判断点M 1(5，－7)，M 2(－5，－1)是否在这个圆上．活动：学生阅读题目，分析探求，可以从计算点到圆心的距离入手，教师巡视指导，要求学生在黑板上板书，并说明自己解题的思维过程．先由圆心坐标和半径写出圆的方程，再探究点M (x 0，y 0)与圆(x －a )2＋(y －b )2＝r 2的位置关系．解：圆心为A (2，－3)，半径长等于5的圆的方程是(x －2)2＋(y ＋3)2＝25，把点M 1(5，－7)，M 2(－5，－1)分别代入方程(x －2)2＋(y ＋3)2＝25知道，M 1的坐标满足方程，所以M 1在圆上．M 2的坐标不满足方程，M 2不在圆上．点评：本题要求首先根据坐标与半径大小写出圆的标准方程，然后给一个点，判断该点与圆的关系，这里体现了坐标法的思想．根据圆的坐标及半径写方程——从几何到代数；根据坐标满足方程来看点在不在圆上——从代数到几何．例4 △ABC 的三个顶点的坐标是A (5,1)，B (7，－3)，C (2，－8)，求它的外接圆的方程．活动：教师引导学生从圆的标准方程(x －a )2＋(y －b )2＝r 2入手，要确定圆的标准方程，可用待定系数法确定a ，b ，r 三个参数．另外可利用直线AB 与AC 垂直平分线的交点确定圆心，从而得半径，圆的方程可求，师生总结、归纳，提炼方法．解法一：设所求圆的标准方程为(x －a )2＋(y －b )2＝r 2，因为A (5,1)，B (7，－3)，C (2，－8)都在圆上，它们的坐标都满足方程(x －a )2＋(y －b )2＝r 2，于是⎩⎪⎨⎪⎧ (5－a )2＋(1－b )2＝r 2，(7－a )2＋(－3－b )2＝r 2，(2－a )2＋(－8－b )2＝r 2.解此方程组得⎩⎪⎨⎪⎧ a ＝2，b ＝－3，r ＝5.所以△ABC 的外接圆的方程为(x －2)2＋(y ＋3)2＝25.解法二：线段AB 的中点坐标为(6，－1)，斜率为－2，所以线段AB 的垂直平分线的方程为y ＋1＝12(x －6)，即x －2y －8＝0.① 同理，线段AC 的中点坐标为⎝⎛⎭⎫72，－72，斜率为3，所以线段AC 的垂直平分线的方程为y ＋72＝－13⎝⎛⎭⎫x －72，即x ＋3y ＋7＝0.② 解由①②组成的方程组得⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝2，y ＝－3，所以圆心坐标为(2，－3)，半径r ＝(5－2)2＋(1＋3)2＝5.所以△ABC 的外接圆的方程为(x －2)2＋(y ＋3)2＝25.点评：△ABC 外接圆的圆心是△ABC 的外心，它是△ABC 三边的垂直平分线的交点，它到三顶点的距离相等，就是圆的半径，利用这些几何知识，可丰富解题思路．例5 已知圆心为C 的圆经过点A (1,1)和B (2，－2)，且圆心在直线l ：x －y ＋1＝0上，求圆心为C 的圆的标准方程．活动：学生阅读题目，分析条件，教师指导学生考虑问题的思路．(1)利用圆的标准方程(x －a )2＋(y －b )2＝r 2，只要能构造三个方程求出a ，b ，r 便可．(2)确定一个圆只需确定圆心位置与半径大小．圆心为C 的圆经过点A (1,1)和B (2，－2)，由于圆心C 与A ，B 两点的距离相等，所以圆心C 在线段AB 的垂直平分线m 上，又圆心C 在直线l 上，因此圆心C 是直线l 与直线m 的交点，半径长等于|CA |或|CB |.解法一：设所求的圆的标准方程为(x －a )2＋(y －b )2＝r 2，将点A (1,1)和B (2，－2)代入得⎩⎪⎨⎪⎧(1－a )2＋(1－b )2＝r 2，(2－a )2＋(－2－b )2＝r 2. 又圆心在l ：x －y ＋1＝0上，所以a －b ＋1＝0.联立方程组⎩⎪⎨⎪⎧ (1－a )2＋(1－b )2＝r 2，(2－a )2＋(－2－b )2＝r 2，a －b ＋1＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧ a ＝－3，b ＝－2，r ＝5.所以所求的圆的标准方程为(x ＋3)2＋(y ＋2)2＝25.解法二：因为A (1,1)和B (2，－2)，所以线段AB 的中点坐标为⎝⎛⎭⎫32，－12，直线AB 的斜率为k AB ＝－2－12－1＝－3，故线段AB 的垂直平分线方程为y ＋12＝13⎝⎛⎭⎫x －32， 即x －3y －3＝0.由⎩⎪⎨⎪⎧ x －3y －3＝0，x －y ＋1＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－3，y ＝－2. 因此圆心C 的坐标为(－3，－2)，半径r ＝|AC |＝(1＋3)2＋(1＋2)2＝5，所以所求的圆的方程为(x ＋3)2＋(y ＋2)2＝25.点评：比较解法一与解法二，不难看出解法二直接明了，思路明确，易于理解，而解法一则笼统，较繁．圆的几何性质的运用使圆的方程的求解运算简单、方便、快捷，这也是解析几何中以形助数的精髓，在以后的解题中要注意应用．思路2例1 图4是某圆拱桥的一孔圆拱的示意图，该圆拱跨度AB ＝20 m ，拱高OP ＝4 m ，在建造时每隔4 m 需用一个支柱支撑，求支柱A 2P 2的长度(精确到0.01 m)．图4解：建立坐标系如图，圆心在y 轴上，由题意得P (0,4)，B (10，0)．设圆的方程为x 2＋(y －b )2＝r 2，因为点P (0,4)和B (10,0)在圆上，所以⎩⎪⎨⎪⎧ 02＋(4－b )2＝r 2，102＋(0－b )2＝r 2，解得⎩⎪⎨⎪⎧b ＝－10.5，r 2＝14.52. 所以这个圆的方程是x 2＋(y ＋10.5)2＝14.52.设点P 2(－2，y 0)，由题意y 0＞0，代入圆方程得(－2)2＋(y 0＋10.5)2＝14.52，解得y 0＝14.52－22－10.5≈14.36－10.5＝3.86(m)．答：支柱A 2P 2的长度约为3.86 m.例2 求与圆x 2＋y 2－2x ＝0外切，且与直线x ＋3y ＝0相切于点(3，－3)的圆的方程． 活动：学生审题，注意题目的特点，教师引导学生利用本节知识和初中学过的几何知识解题．首先利用配方法，把已知圆的方程写成标准方程，再利用两圆外切及直线与圆相切建立方程组，求出参数，得到所求的圆的方程．解：设所求圆的方程为(x －a )2＋(y －b )2＝r 2.圆x 2＋y 2－2x ＝0的圆心为(1,0)，半径为1.因为两圆外切，所以圆心距等于两圆半径之和， 即(a －1)2＋(b －0)2＝r ＋1，①由圆与直线x ＋3y ＝0相切于点(3，－3)，得⎩⎪⎨⎪⎧ b ＋3a －3·⎝⎛⎭⎫－13＝－1，|a ＋3b |1＋(3)2＝r . ②③解①②③，得a ＝4，b ＝0，r ＝2或a ＝0，b ＝－43，r ＝6.故所求圆的方程为(x －4)2＋y 2＝4或x 2＋(y ＋43)2＝36.点评：一般情况下，如果已知圆心(或易于求出)或圆心到某一直线的距离(或易于求出)，可用圆的标准方程来求解，用待定系数法求出圆心坐标和半径.变式训练一圆过原点O 和点P (1,3)，圆心在直线y ＝x ＋2上，求此圆的方程．解法一：因为圆心在直线y ＝x ＋2上，所以设圆心坐标为(a ，a ＋2)．则圆的方程为(x －a )2＋(y －a －2)2＝r 2.因为点O (0,0)和P (1,3)在圆上，所以⎩⎪⎨⎪⎧ (0－a )2＋(0－a －2)2＝r 2，(1－a )2＋(3－a －2)2＝r 2，解得⎩⎨⎧ a ＝－14，r 2＝258.所以所求的圆的方程为⎝⎛⎭⎫x ＋142＋⎝⎛⎭⎫y －742＝258. 解法二：由题意得圆的弦OP 的斜率为3，中点坐标为⎝⎛⎭⎫12，32，所以弦OP 的垂直平分线方程为y －32＝－13⎝⎛⎭⎫x －12，即x ＋3y －5＝0. 因为圆心在直线y ＝x ＋2上，且圆心在弦OP 的垂直平分线上，所以由⎩⎪⎨⎪⎧ y ＝x ＋2，x ＋3y －5＝0，解得⎩⎨⎧ x ＝－14，y ＝74，即圆心坐标为C ⎝⎛⎭⎫－14，74. 又因为圆的半径r ＝|OC |＝⎝⎛⎭⎫－142＋⎝⎛⎭⎫742＝258， 所以所求的圆的方程为⎝⎛⎭⎫x ＋142＋⎝⎛⎭⎫y －742＝258. 点评：圆的标准方程中有a ，b ，r 三个量，要求圆的标准方程即要求a ，b ，r 三个量，有时可用待定系数法．要重视平面几何中的有关知识在解题中的运用.例3 求下列圆的方程：(1)圆心在直线y ＝－2x 上且与直线y ＝1－x 相切于点(2，－1)；(2)圆心在点(2，－1)，且截直线y ＝x －1所得弦长为2 2.解：(1)设圆心坐标为(a ，－2a )，由题意知圆与直线y ＝1－x 相切于点(2，－1)，所以|a －2a －1|12＋12＝(a －2)2＋(－2a ＋1)2，解得a ＝1.所以所求圆心坐标为(1，－2)，半径r ＝(1－2)2＋(－2＋1)2＝ 2.所以所求圆的标准方程为(x －1)2＋(y ＋2)2＝2.(2)设圆的方程为(x －2)2＋(y ＋1)2＝r 2(r ＞0)，由题意知圆心到直线y ＝x －1的距离为d ＝|2＋1－1|12＋12＝ 2.又直线y ＝x －1被圆截得弦长为22，所以由弦长公式得r 2－d 2＝2，即r ＝2.所以所求圆的标准方程为(x －2)2＋(y ＋1)2＝4.点评：本题的两个题目所给条件均与圆心和半径有关，故都利用了圆的标准方程求解，此外平面几何的性质的应用，使得解法简便了许多，所以类似问题一定要注意圆的相关几何性质的应用，从确定圆的圆心和半径入手来解决．知能训练1．说出下列圆的圆心和半径：(1)(x －3)2＋(y －2)2＝5；(2)(x ＋4)2＋(y ＋3)2＝7；(3)(x ＋2)2＋y 2＝4.2．写出下列各圆的标准方程：(1)圆心在原点，半径是3；(2)圆心在点C (3,4)，半径是5；(3)经过点P (5,1)，圆心在点C (8，－3)；(4)圆心在点C (1,3)，并且和直线3x －4y －7＝0相切．解答：1.(1)圆心坐标是(3,2)，半径是5；(2)圆心坐标是(－4，－3)，半径是7；(3)圆心坐标是(－2,0)，半径是2.点评：已知圆的标准方程，要能够熟练地求出它的圆心和半径．2．(1)由于圆心在原点，半径是3，所以圆的标准方程为(x －0)2＋(y －0)2＝32，即x 2＋y 2＝9.(2)由于圆心在点C (3,4)，半径是5，所以圆的标准方程为(x －3)2＋(y －4)2＝(5)2，即(x －3)2＋(y －4)2＝5.(3)方法一：圆的半径r ＝CP ＝(5－8)2＋(1＋3)2＝25＝5，因此，所求圆的标准方程为(x －8)2＋(y ＋3)2＝25.方法二：设圆的标准方程为(x －8)2＋(y ＋3)2＝r 2，因为圆经过点P (5,1)，所以(5－8)2＋(1＋3)2＝r 2，r 2＝25，因此所求圆的标准方程为(x －8)2＋(y ＋3)2＝25.点评：这里方法一是直接法，方法二是间接法，它需要确定有关参数来确定圆的标准方程，两种方法都可，要视问题的方便而定．(4)设圆的标准方程为(x －1)2＋(y －3)2＝r 2，由圆心到直线的距离等于圆的半径，所以r ＝|3－12－7|25＝1625，因此所求圆的标准方程为(x －1)2＋(y －3)2＝25625. 点评：要求能够用圆心坐标、半径长熟练地写出圆的标准方程．拓展提升求圆心在直线y ＝2x 上且与两直线3x ＋4y －7＝0和3x ＋4y ＋3＝0都相切的圆的方程． 活动：学生思考交流，教师提示引导，求圆的方程，无非就是确定圆的圆心和半径，师生共同探讨解题方法．解：首先两平行线的距离d ＝|C 1－C 2|A 2＋B 2＝2，所以半径为r ＝d 2＝1. 方法一：设与两直线3x ＋4y －7＝0和3x ＋4y ＋3＝0的距离相等的直线方程为3x ＋4y ＋k ＝0，由平行线间的距离公式d ＝|C 1－C 2|A 2＋B 2，得|k ＋7|32＋42＝|k －3|42＋32，即k ＝－2，所以直线方程为3x ＋4y －2＝0.解3x ＋4y －2＝0与y ＝2x 组成的方程组⎩⎪⎨⎪⎧3x ＋4y －2＝0，y ＝2x ，得⎩⎨⎧ x ＝211，y ＝411.因此圆心坐标为⎝⎛⎭⎫211，411.又半径为r ＝1，所以所求圆的方程为⎝⎛⎭⎫x －2112＋⎝⎛⎭⎫y －4112＝1. 方法二：解方程组⎩⎪⎨⎪⎧ 3x ＋4y －7＝0，y ＝2x 与⎩⎪⎨⎪⎧ 3x ＋4y ＋3＝0，y ＝2x ，得⎩⎨⎧ y ＝1411，x ＝711和⎩⎨⎧ y ＝－611，x ＝－311.因此圆心坐标为⎝⎛⎭⎫211，411.又半径r ＝1，所以所求圆的方程为⎝⎛⎭⎫x －2112＋⎝⎛⎭⎫y －4112＝1. 点评：要充分考虑各几何元素间的位置关系，把它转化为代数问题来处理． 课堂小结①圆的标准方程．②点与圆的位置关系的判断方法．③根据已知条件求圆的标准方程的方法．④利用圆的平面几何的知识构建方程．⑤直径端点是A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)的圆的方程是(x －x 1)(x －x 2)＋(y －y 1)(y －y 2)＝0. 作业习题2—2 A 组第1题．设计感想圆是学生比较熟悉的曲线，求圆的标准方程既是本节课的教学重点也是难点，为此本节布设了由浅入深的学习环境，先让学生熟悉圆心、半径与圆的标准方程之间的关系，逐步理解三个参数的重要性，自然形成待定系数法的解题思路，在突出重点的同时突破了难点．利用圆的标准方程由浅入深地解决问题，并通过圆的方程在实际问题中的应用，增强学生应用数学的意识．另外，为了培养学生的理性思维，在例题中，设计了由特殊到一般的学习思路，培养学生的归纳概括能力．在问题的设计中，用一题多解的探究，纵向挖掘知识深度，横向加强知识间的联系，培养了学生的创新精神，并且使学生的有效思维量加大，随时对所学知识和方法产生有意注意，能力与知识的形成相伴而行，这样的设计不但突出了重点，更使难点的突破水到渠成．备课资料备用习题1．已知圆C 与圆(x －1)2＋y 2＝1关于直线y ＝－x 对称，则圆C 的方程是( )A ．(x －1)2＋y 2＝1B ．x 2＋y 2＝1C ．x 2＋(y ＋1)2＝1D ．x 2＋(y －1)2＝1分析：圆C 与圆(x －1)2＋y 2＝1关于直线y ＝－x 对称，其半径不变，只求出圆心即可，而关于直线y ＝－x 对称，则横、纵坐标交换位置，并取相反数，由圆(x －1)2＋y 2＝1的圆心为(1,0)，知对称的圆心为(0，－1)．答案：C2．以点(2，－1)为圆心且与直线3x －4y ＋5＝0相切的圆的方程为( )A ．(x －2)2＋(y ＋1)2＝3B ．(x ＋2)2＋(y －1)2＝3C ．(x －2)2＋(y ＋1)2＝9D ．(x ＋2)2＋(y －1)2＝9分析：r ＝|3×2－4×(－1)＋5|32＋42＝3. 答案：C3．已知直线5x ＋12y ＋a ＝0与圆x 2－2x ＋y 2＝0相切，则a 的值为________．分析：圆的方程可化为(x －1)2＋y 2＝1，所以圆心坐标为(1,0)，半径为1.由已知可得|5＋a |13＝1 |5＋a |＝13，所以a 的值为－18或8. 答案：－18或84．已知圆x 2－4x －4＋y 2＝0的圆心是点P ，则点P 到直线x －y －1＝0的距离是________．分析：由已知得圆心为P (2,0)，由点到直线距离公式，得d ＝|2－0－1|1＋1＝22. 答案：22(设计者：国建群)。
2020-2021学年高一数学北师大版必修2第二章2.2.1 圆的标准方程 教案
2.1 圆的标准方程一、教材分析圆是解析几何中一类重要的曲线，是在学生学习了直线与方程的基础知识之后，知道了在直角坐标系中通过建立方程可以达到研究图形性质，圆的标准方程正是这一知识运用的延续，为后面学习其他圆锥曲线的方程奠定了基础。
本节内容在教材体系中起到承上启下的作用，具有重要的地位，在许多实际问题中也有着广泛的应用。
二、教学目标1、知识与技能：(1)会用定义推导圆的标准方程并掌握圆的标准方程的特征．(2)会由圆的标准方程写出圆的半径和圆心坐标，能根据条件写出圆的标准方程.(3)会判断点与圆的位置关系.2、过程与方法：渗透数形结合思想，加深对数形结合思想的理解和加强待定系数法的运用，注意培养学生观察问题和解决问题的能力.3、情感态度和价值观：通过运用圆的知识解决实际问题的学习，从而激发学生学习数学的热情和兴趣.三、教学重点掌握圆的标准方程的特征，能根据条件写出圆的标准方程.四、教学难点根据已知条件，会利用待定系数法和几何法求圆的标准方程.五、教学方法采用“合作探究”教学法.六、教学过程设计问题师生活动设计意图我们已经学习了圆的概念和平面直角坐标系，若将圆放到平面直角坐标系内，如何借助坐标描述圆的方程呢？回忆前面学习的要点，引入这节课所要学习的内容.从圆的定义引出圆的方程。
具有什么性质的点的轨迹称为圆？学生回答（平面内到一个定点的距离等于定长的点的集合）复习圆的定义，为后面推导圆的方程作铺垫.在直角坐标系中，确定圆的条件是学生集体回答师生合作，复习旧知识，七、板书设计八、教学反思利用圆的标准方程由浅入深的解决问题，增强学生应用数学的意识。
为了培养学生的理性思维，在例题3中用一题多解的探究，纵向挖掘知识深度，横向加强知识间的联系，培养了学生创新精神，同时锻炼了学生的思维能力。
2019—2020年最新北师大版高中数学必修二圆的标准方程教案(精品教学设计)
总课题圆与方程总课时第33课时分课题圆的标准方程分课时第1 课时教学目标掌握圆的标准方程，并根据圆的标准方程写出圆心坐标和圆的半径．会用代定系数法求圆的基本量a、b、r．重点难点根据圆的标准方程写出圆心坐标和圆的半径．会用代定系数法求圆的基本量a、b、r．引入新课问题1．在前面我们学习了直线的方程，只要给出适当的条件就可以写出直线的方程．那么，一个圆能不能用方程表示出来呢？问题2．要求一个圆的方程需要哪些条件？如何求得呢？1．圆的标准方程的推导过程：2． 圆的标准方程：_________________________________________________________．例题剖析例1 求圆心是)32(- ，C ，且经过原点的圆的标准方程．例2 已知隧道的截面是半径为m 4的半圆，车辆只能在道路中心线一侧行驶，一辆宽为m 7.2，高为m 3的货车能不能驶入这个隧道？思考：假设货车的最大宽度为m a 那么货车要驶入该隧道，限高为多少？例3 （1）已知圆的直径的两个端点是)21( -，A ，)87( ，B ．求该圆的标准方程．（2）已知圆的直径的两个端点是)(11y x A ，，)(22y x B ，．求该圆的标准方程．例4 求过点)11(- ，A ，)11( -，B ，且圆心C 在直线02=-+y x 上的圆的标准方程．巩固练习1．圆C ：9)2()3(22=++-y x 的圆心坐标和半径分别为__________；__________．2．圆心为)43(- ，且与直线0543=--y x 相切的圆的标准方程为 ．3．以)24(- ，为圆心且过点)21( ，的圆的标准方程为 ．4．若点)11( -，在圆25)2()(22=++-y a x 外，则实数a 的取值范围是．5．求过点)0P且与y轴切于原点的圆的标准方程．( ，12课堂小结圆的标准方程推导；根据圆的方程写出圆心坐标和半径；用代定系数法求圆的标准方程．课后训练一基础题1．写出满足下列条件的圆的标准方程：（1）圆心在原点，半径为6：；（2）经过点)3P，圆心为6( ，C：；2(- ，)2（3）经过点)2P，圆心为2(- ，C：；)03( ，（4）与两坐标轴都相切，且圆心在直线0+x-y532=上：；（5）经过点)5-，(B，且圆心在x轴3( ，3A和)7上：．2．求以点)51-，C为圆心，并与y轴相切的圆的标准方程．(3．已知点)56(- ，A和)1B，求以线段AB为直径的圆的标准方4-，(程．4．已知半径为5的圆过点)34( -，P ，且圆心在直线012=+-y x 上，求圆的标准方程．5．求过两点)40( ，A 和)64( ，B ，且圆心在直线022=--y x 上的圆的标准方程．二 提高题6．已知点)11( ，P 在圆4)()(22=++-a y a x 的内部，求实数a 的取值范围．7．若圆C经过点)1-y-x相切，并且圆心在直1=2(- ，且和直线0线x=上，y2-求圆C的标准方程．。
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§2、2 圆与圆的方程第九课时 圆的标准方程
一、三维目标：
知识与技能：1、掌握圆的标准方程，能根据圆心、半径写出圆的标准方程。
2、会用待定系数法求圆的标准方程。
过程与方法：进一步培养学生能用解析法研究几何问题的能力，渗透数形结合思想，通
过圆的标准方程解决实际问题的学习，注意培养学生观察问题、发现问题
和解决问题的能力。
情感态度与价值观：通过运用圆的知识解决实际问题的学习，从而激发学生学习数学的
热情和兴趣。
二、教学重点：圆的标准方程
教学难点：会根据不同的已知条件，利用待定系数法求圆的标准方程。
三、教学方法：学导式
四、教学过程
（一）、情境设置
在直角坐标系中，确定直线的基本要素是什么？圆作为平面几何中的基本图形，确定它的要素又是什么呢？什么叫圆？在平面直角坐标系中，任何一条直线都可用一个二元一次方程来表示，那么，原是否也可用一个方程来表示呢？如果能，这个方程又有什么特征呢？
探索研究：
（二）、探索研究
确定圆的基本条件为圆心和半径，设圆的圆心坐标为A(a,b)，半径为r 。
（其中a 、b 、r 都是常数，r>0）设M(x,y)为这个圆上任意一点，那么点M 满足的条件是（引导学生自己列出）P={M||MA|=r},由两点间的距离公式让学生写出点M 适合的条件
r = ①
化简可得：222()()x a y b r -+-= ②
引导学生自己证明222()()x a y b r -+-=为圆的方程，得出结论。
方程②就是圆心为A(a,b),半径为r 的圆的方程，我们把它叫做圆的标准方程。
（三）、知识应用与解题研究
例（1）：写出圆心为(2,3)A -半径长等于5的圆的方程，并判断点
12(5,7),(1)M M --是否在这个圆上。
分析探求：可以从计算点到圆心的距离入手。
探究：点00(,)M x y 与圆222()()x a y b r -+-=的关系的判断方法：
（1）2200()()x a y b -+->2r ，点在圆外
（2）2200()()x a y b -+-=2r ，点在圆上
（3）2200()()x a y b -+-<2r ，点在圆内
例（2）： ABC 的三个顶点的坐标是(5,1),(7,3),(2,8),A B C --求它的外接圆的方程 师生共同分析：从圆的标准方程222()()x a y b r -+-= 可知，要确定圆的标准方程，可用待定系数法确定a b r 、、三个参数.（学生自己运算解决）
例(3):已知圆心为C 的圆:10l x y -+=经过点(1,1)A 和(2,2)B -,且圆心在
:10l x y -+=上,求圆心为C 的圆的标准方程.
师生共同分析: 如图确定一个圆只需确定圆心位置与半径大小.圆心为C 的圆经过点(1,1)A 和(2,2)B -,由于圆心C 与A,B 两点的距离相等，所以圆心C 在险段AB 的垂直平分线m 上，又圆心C 在直线l 上，因此圆心C 是直线l 与直线m 的交点，半径长等于CA 或CB 。
（教师板书解题过程。
）
总结归纳：（教师启发，学生自己比较、归纳）比较例（2）、例(3)可得出ABC 外接圆的标准方程的两种求法：
1、根据题设条件，列出关于a b r 、、的方程组，解方程组得到a b r 、、得值，写出圆的标准方程.
2、根据确定圆的要素，以及题设条件，分别求出圆心坐标和半径大小，然后再写出圆的标准方程.
练习：课本127p 第1、3、4题
（四）、提炼小结：
1、 圆的标准方程。
2、 点与圆的位置关系的判断方法。
3、 根据已知条件求圆的标准方程的方法。
（五）、作业：课本130p 习题4.1第2、3、4题
五、教后反思：。