2013--2014房山数学二模答案
北京市房山区2013-2014年八年级下期末数学试卷含答案
A
B
C.
D.
二．填空题（本题共 16 分，每小题 4 分） 9. 如图，在□ABCD中，已知∠B=50°，那么∠C 的度数是
A
． B
D C
10.
已知一个菱形的两条对角线的长度分别为 6 和 8，那么这个菱形的周长
是
．
11. 甲和乙一起练习射击，第一轮 10 枪打完后两人的成绩如图所示.通常新手的成绩不太稳定，那么根据
D. D. 第四象限
3. 若一个多边形的内角和等于 720°，则这个多边形的边数是
A. 8
B. 7
C. 6
D. 5
4. 在一个不透明的盒子中放有 2 个黄色乒乓球和 4 个白色乒乓球，所有乒乓球除颜色外完全相同，从中
随机摸出 1 个乒乓球，摸出白色乒乓球的概率为
A． 1 2
B． 1 3
C．
2 3
D． 1 6
14. （本题 5 分）已知：如图，E、F 是□ABCD对角线 AC上两点，AF=CE. 求证：BE∥DF．
15. （本题 5 分）已知 x 2 5x 14 ，求代数式x 12x 1 x 12 1 的值.
16. （本题 5 分） 如 图 ， 四 边 形 ABCD 中 ， E、 F、 G、 H 分 别 是 AB、 BD、 CD、 AC 的 中 点 .
5
11
3
7
2
（1）请根据所给信息补全统计表；
（2）请你根据“2014年 3 月北京市空气质量等级天数统计表”，计算 2014年 3 月空气质量等级为优和良
的天数出现的频率一共是多少？（精确到 0.01） （3）市环保局正式发布了北京 PM2.5来源的最新研究成果，专家通过论证已经分析出汽车尾气排放是本 地主要污染源.在北京市小客车数量调控方案中，将逐年增加新能源小客车的指标. 已知 2014年的指标为
2014年北京市房山区高考数学二模试卷(文科)(附答案解析版)
2014年北京市房山区高考数学二模试卷（文科）一、选择题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．1. 若a ∈R ，i 为虚数单位，且(a −i)i =1+2i ，则a =( ) A.−1 B.0 C.1 D.22. 双曲线的x 2a 2−y 24=1(a >0)的一条渐近线方程是y =23x ，则a =( )A.√3B.3C.6D.93. 若向量a →、b →的夹角为60∘，|a →|=|b →|=1，则a →⋅(a →−b →)=( ) A.1+√32B.1−√32C.32D.124. 已知a >1，log a x <log a y <0，则（ ） A.1<x <y B.1<y <x C.0<x <y <1 D.0<y <x <15. 已知命题p:y =cos x 是偶函数，命题q:∃x ∈R ，sin x =2，则下列判断正确的是（ ） A.￢p 是真命题 B.￢q 是假命题 C.p ∧q 是真命题 D.￢p ∨q 是假命题6. 将函数y =sin 2x 的图象向右平移π8个单位后，所得图象的一条对称轴方程是（ ）A.x =π8B.x =−π8C.x =π4D.x =−π47. 对任意两实数a ，b ，定义运算“*”：a ∗b ={a,a ≥bb,a <b ，关于函数f(−x)=e −x ∗e x ，给出下列四个结论：①函数f(x)的最小值是e ； ②函数f(x)为偶函数；③函数f(x)在(0, +∞)上单调递增；④函数f(x)的图象与直线y =ex 没有公共点； 其中正确结论的序号是（ ） A.①③ B.②③C.①④D.②④8. 已知A(0, 1)，B(1, 0)，点C 在抛物线y 2=2x 的图象上，若△ABC 的面积大于32，则点C 纵坐标的取值范围为（ ）A.(−4, 2)B.(−2, 4)C.(−∞, −4)∪(2, +∞)D.(−∞, −2)∪(4, +∞)二、填空题共6小题，每小题5分，共30分．某校高三年级共400名学生，现用分层抽样的方法随机抽取32人进行健康调查．若男生抽取了12人，则高三年级共有女生________人．直线x +√3y =0被圆x 2+y 2−4y =0截得的弦长为________．一个体积为16的三棱锥的三视图如图所示，其俯视图是一个等腰直角三角形，则这个三棱锥左视图的面积为________．设不等式组{0≤x ≤10≤y ≤1表示的平面区域为D ，在区域D 内任取一点P(x 0, y 0)，则点P 满足y 0<2x 0的概率为________．某房地产开发公司用800万元购得一块土地，该土地可以建造每层1000平方米的楼房，已知第一层每平方米的建筑费用为600元，楼房每升高一层，每平方米的建筑费用增加40元．若把楼房建成n 层后，每平方米的平均综合费用最低（综合费用是建筑费用与购地费用之和），则n =________．设集合P n ={1, 2, ..., n}，n ∈N ∗，设集合A 同时满足以下三个条件：①A ⊆P n ；②若x ∈A ，则2x ∉A ； ③若x ∈∁P n A ，则2x ∉∁p n A ．当n =4时，写出一个满足条件的集合A ________；当N =9时，满足条件的集合A 的个数为________．三、解答题共6小题，共80分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程．在△ABC中，已知cos2C=−19，C为锐角．（1）求sin C的值；（2）若a=2，△ABC的面积为√5，求c的值．已知等比数列{a n}的公比为q，且q<0，其中a1，3a3，a2成等差数列．（1）求q的值；（2）设{b n}是以2为首项，q为公差的等差数列，其前n项和为S n，求使S n>0成立的最大正整数n．在长方体ABCD−A1B1C1D1中，AA1=2AB，E，F分别是AA1，DD1的中点．（1）求证：B1C1 // 平面EFC；（2）求证：C1F⊥平面EFC；（3）在棱BB1上是否存在一点P，使得平面ADP⊥平面EFC？若存在，求出BPBB1的值；若不存在，请说明理由．已知函数f(x)=ln x+2ax，a∈R．（1）若函数f(x)在x=1处取得极值，求a的值；（2）若函数f(x)的图象上的点都在直线y=2的上方，求a的取值范围．已知椭圆C:x2a2+y2b2=1(a>b>0)的两个焦点分别为F1(−1, 0)，F2(1, 0)，短轴的一个端点为M，△MF1F2为等边三角形．（1）求椭圆C的标准方程；（2）过点(0, −2)的直线l与椭圆C相交于A，B两点，在直线y=−12上是否存在点N，使得四边形OANB为矩形？若存在，求出N点坐标；若不存在，请说明理由．定义在区间(0, +∞)上的函数f(x)满足：①f(x)不恒为零；②对任意x∈R+，a∈R都有f(x a)=af(x)．（1）若f(2)=1，求f(√2)的值；（2）求证：方程f(x)=0有且只有一个实数根；（3）若f(x)在(0, +∞)上单调递增，且m>n>0时，有|f(m)|=|f(n)|=2|f(m+n2)|，求证：3<m<2+√2．参考答案与试题解析2014年北京市房山区高考数学二模试卷（文科）一、选择题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项． 1.【答案】 D【考点】复数代数形式的乘除运算 【解析】利用复数的运算法则即可得出． 【解答】解：∵ (a −i)i =1+2i ， ∴ −i ⋅i(a −i)=−i(1+2i)， ∴ a −i =−i +2， ∴ a =2． 故选：D ． 2.【答案】 B【考点】 双曲线的特性 【解析】 由双曲线的x 2a 2−y 24=1(a >0)的一条渐近线方程是y =23x ，可得2a =23，即可求出a 的值．【解答】解：∵ 双曲线的x 2a 2−y 24=1(a >0)的一条渐近线方程是y =23x ，∴ 2a =23， ∴ a =3． 故选：B ． 3. 【答案】 D【考点】平面向量数量积的性质及其运算律 【解析】由 a →⋅(a →−b →)=a →2−a →⋅b →=1−1×1cos 60∘，运算求得结果． 【解答】解：a →⋅(a →−b →)=a →2−a →⋅b →=1−1×1cos 60∘=12，故选D ．4.【答案】 C【考点】对数的运算性质 【解析】利用对数函数的单调性即可得出． 【解答】解：∵ a >1，log a x <log a y <0=log a 1， ∴ 0<x <y <1． 故选：C ． 5.【答案】 D【考点】复合命题及其真假判断 【解析】本题考查的知识点是复合命题的真假判定，解决的办法是先判断组成复合命题的简单命题的真假，再根据真值表进行判断． 【解答】解：∵ y =cos x 是偶函数， ∴ 命题p 为真命题；∵ 对于∀x ∈R ，都有sin x ≤1， ∴ 命题q 为假命题， ∴ ￢p 为假命题， ∴ ￢p ∨q 是假命题 故选：D ． 6.【答案】 B【考点】函数y=Asin （ωx+φ）的图象变换 正弦函数的对称性 【解析】由y =A sin (ωx +φ)的图象变换规律可得所得图象对应的函数解析式为y =sin (2x −π4)，令2x −π4=kπ+π2，k ∈Z ，求得x 的值，可得所得图象的一条对称轴方程． 【解答】解：将函数y =sin 2x 的图象向右平移π8个单位后，所得图象对应的函数解析式为y =sin 2(x −π8)=sin (2x −π4)， 令2x −π4=kπ+π2，k ∈Z ，求得x =kπ2+3π8，∴ y =sin (2x −π4)的对称轴方程为：x =kπ2+3π8，k ∈Z ．当k =−1时，x =−π8. 故选B ． 7. 【答案】 B【考点】函数解析式的求解及常用方法 函数的图象变换【解析】求出函数f(x)的解析式，求出函数的最小值判断①的正误；利用奇偶性定义判断②的正误；利用函数的单调性判断③的正误；利用函数的图象的交点判断④的正误． 【解答】解：由题意得，函数f(−x)=e −x ∗e x ={e x ，x ≥0e −x ，x <0∴ f(x)={e −x ，x ≤0e x，x >0对于①，∵ f(0)=e 0=1，∴ f(x)的最小值是1，∴ ①错误；对于②，∵ f(−x)=e −x ∗e x =e x ∗e −x =f(x)，∴ f(x)为偶函数，∴ ②正确； 对于③，当x >0时，f(x)=e x 是增函数，∴ ③正确；对于④，构造函数g(x)=e x −ex ，其中x >0，当x =1时，g(x)=0，∴ 函数g(x)有零点， ∴ 函数f(x)与y =ex 有公共点，∴ ④错误． 所以，正确的结论有②③． 故选：B ． 8.【答案】 C【考点】 抛物线的求解 【解析】利用△ABC 的面积大于32，可得C 到直线AB 的距离大于√2，根据点到直线的距离公式，即可得出结论．【解答】解：设C(x, y)，点C 到AB 的距离为d ，则直线AB 的方程为x +y −1=0，|AB|=√2 ∵ △ABC 的面积大于32，S =12|AB|d ， ∴ d >√2 ∴√2>√2， ∴ |x +y −1|>3， ∴y 22+y −1>3或y 22+y −1<−3，∴ y <−4或y >2． 故选：C ．二、填空题共6小题，每小题5分，共30分．【答案】 250【考点】 分层抽样方法 【解析】根据分层抽样的特征，求得样本中男女学生的比例，再根据比例计算总体中女生人数． 【解答】解：由题意知样本容量为32，男生抽取12人，女生抽取20人， 男女比例为12:20=3:5，∴ 高三年级共有女生数为400×58=250人．故答案为：250． 【答案】 2【考点】直线与圆相交的性质 【解析】写出圆的标准方程，求出弦心距，再利用弦长公式求得弦长． 【解答】解：圆x 2+y 2−4y =0即 x 2+(y −2)2=4，它的圆心为(0, 2)，半径为r =2． ∵ 圆心到直线x +√3y =0的距离为d =√3|√1+3=√3，∴ 弦长为2√r 2−d 2=2， 故答案为：2． 【答案】 √24【考点】由三视图求体积 【解析】根据三棱锥的俯视图是一个斜边长为√2的等腰直角三角形，可得左视图的宽，再根据体积求得左视图的高，代入三角形的面积公式计算． 【解答】解：由三棱锥的三视图知：底面等腰直角三角形斜边上的高为√22， ∴ 侧视图的宽为√22，设棱锥的高为H ，则13×12×√2×√22×H =16，∴ 棱锥的高H =1，∴ 侧视图的高为1，又侧视图为直角三角形， ∴ 侧视图的面积S =12×√22×1=√24． 故答案为：√24． 【答案】34【考点】 简单线性规划 【解析】作出不等式组对应的区域，利用几何概型的概率公式，即可得到结论． 【解答】解：不等式组{0≤x ≤10≤y ≤1表示的平面区域为D 的面积为1，不等式y <2x 对应的区域为梯形OABC ， 当y =1时，x =12，即C(12, 0)， 则梯形OABC 的面积S =(12+1)×12=34，则在区域D 内任取一点P(x 0, y 0)，则点P 满足y 0<2x 0的概率为341=34，故答案为：34．【答案】20【考点】函数解析式的求解及常用方法 【解析】根据题意，公司把楼建成n 层，求出每平方米的购地费用以及建n 层的每平方米的建筑费用，列出目标函数，利用均值不等式求最值即可． 【解答】解：建成x 层楼房，每平方米的购地费用为8000000÷1000n =8000n（元），∵ 第一层建筑成本为600元，每升高一层，每平方米的建筑费用增加40元， ∴ 每平方米的建筑费用为600+40+40×2+⋯+40(n−1)n=20n +580（元），所以每平方米的平均综合费用为：y =20n +580+8000n≥2√20n ×8000n+580=2×400+580=1380（元），当且仅当20n =8000n，即n =10时，该楼房每平方米的平均综合费用最低．故答案为：20． 【答案】{2}或{1, 4}或{2, 3}或{1, 3, 4},32 【考点】集合的包含关系判断及应用 【解析】(1)由题意可得P 4={1, 2, 3, 4}，符合条件的集合A 为：{2}，{1, 4}，{2, 3}，{1, 3, 4}，故可求f(4)；(2)任取偶数x ∈p n ，将x 除以2，若商仍为偶数，再除以2…，经过k 次后，商必为奇数，此时记商为m ，可知，若m ∈A ，则x ∈A ，⇔k 为偶数；若m ∉A ，则x ∈A ⇔k 为奇数，求出f(n)的解析式，将9代入可得答案． 【解答】解：(1)当n =4时，P 4={1, 2, 3, 4}，符合条件的集合A 为：{2}，{1, 4}，{2, 3}，{1, 3, 4}， 故答案为：{2}或{1, 4}或{2, 3}或{1, 3, 4}；(2)任取偶数x ∈p n ，将x 除以2，若商仍为偶数，再除以2…，经过k 次后，商必为奇数，此时记商为m ， 于是x =m ⋅2k ，其中m 为奇数，k ∈N ∗由条件可知，若m ∈A ，则x ∈A ⇔k 为偶数； 若m ∉A ，则x ∈A ⇔k 为奇数；于是x 是否属于A 由m 是否属于A 确定，设Q n 是P n 中所有的奇数的集合，因此f(n)等于Q n 的子集个数，当n 为偶数时（或奇数时），P n 中奇数的个数是12n （或n+12），∴ f(n)={2n2，n 为偶数2n+12，n 为奇数，故当N =9时，f(9)=25=32， 故答案为：32．三、解答题共6小题，共80分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程．【答案】解：（1）∵ △ABC 中，cos 2C =1−2sin 2C =−19，C 为锐角， ∴ sin 2C =59，则sin C =√53； （2）∵ a =2，S △ABC =√5， ∴ 12ab sin C =√53b =√5，即b =3，∵ sin C =√53，∴ cos C =√1−sin 2C =23，由余弦定理得：c 2=a 2+b 2−2ab cos C =4+9−12×23=5， 则c =√5．【考点】余弦定理正弦定理【解析】（1）已知等式左边利用二倍角的余弦函数公式化简，即可求出sin C的值；（2）利用三角形面积公式列出关系式，将a，sin C以及已知面积代入求出b的值，再由sin C的值求出cos C的值，利用余弦定理即可求出c的值．【解答】解：（1）∵△ABC中，cos2C=1−2sin2C=−19，C为锐角，∴sin2C=59，则sin C=√53；（2）∵a=2，S△ABC=√5，∴12ab sin C=√53b=√5，即b=3，∵sin C=√53，∴cos C=√1−sin2C=23，由余弦定理得：c2=a2+b2−2ab cos C=4+9−12×23=5，则c=√5．【答案】解：（1）由a1，3a3，a2成等差数列知6a3=a1+a2，即6a1q2=a1+a1q，所以6q2−q−1=0，因为q<0，所以q=−13；（2）S n=2n+n(n−1)2⋅(−13)=−n2+13n6，所以−n2+13n>0，解得0<n<13，所以满足条件的最大值为n=12．【考点】等比数列的性质【解析】（1）由a1，3a3，a2成等差数列知6a3=a1+a2，即6a1q2=a1+a1q，解方程可求q；（2）利用等差数列的求和公式可求S n，令S n>0可求n的范围，结合n∈N∗，即可得出结论．【解答】解：（1）由a1，3a3，a2成等差数列知6a3=a1+a2，即6a1q2=a1+a1q，所以6q2−q−1=0，因为q<0，所以q=−13；（2）S n=2n+n(n−1)2⋅(−13)=−n2+13n6，所以−n2+13n>0，解得0<n<13，所以满足条件的最大值为n=12．【答案】（1）证明：∵长方体ABCD−A1B1C1D1中，AA1=2AB，E，F分别是AA1，DD1的中点，∴B1C1 // A1D1，EF // A1D1，∴B1C1 // EF，∵B1C1不包含于平面EFC，EF⊂平面EFC，∴B1C1 // 平面EFC．（2）证明：设AB=1，则AA1=2AB=2，D1F=DF=1，∴C1F=CF=√2，∴C1F2+CF2=CC12，∴C1F⊥CF，∵A1D1⊥平面CDD1C1，EF // A1D1，∴EF⊥平面CDD1C1，∵C1F⊂平面CDD1C1，∴C1F⊥EF，∴C1F⊥平面EFC．（3）解：棱BB1上存在中点P，使得平面ADP⊥平面EFC．证明如下：∵长方体ABCD−A1B1C1D1中，F是DD1中点，P是BB1中点，∴C1F // AP，∵C1F⊥平面EFC，∴AP⊥平面EFC，∵AP⊂平面ADP，∴平面ADP⊥平面EFC，此时BPBB1=12．【考点】平面与平面垂直的性质直线与平面垂直的判定直线与平面平行的判定【解析】（1）由已知条件推导出B1C1 // EF，由此能证明B1C1 // 平面EFC．（2）设AB=1，则AA1=2AB=2，D1F=DF=1，所以C1F=CF=√2，从而C1F2+CF2=CC12，进而得到C1F⊥CF，由线面垂直得到C1F⊥EF，由此能证明C1F⊥平面EFC．（3）棱BB1上存在中点P，使得平面ADP⊥平面EFC．从而得到平面ADP⊥平面EFC，时BPBB1=12．【解答】（1）证明：∵长方体ABCD−A1B1C1D1中，AA1=2AB，E，F分别是AA1，DD1的中点，∴B1C1 // A1D1，EF // A1D1，∴B1C1 // EF，∵B1C1不包含于平面EFC，EF⊂平面EFC，∴B1C1 // 平面EFC．（2）证明：设AB=1，则AA1=2AB=2，D1F=DF=1，∴C1F=CF=√2，∴C1F2+CF2=CC12，∴C1F⊥CF，∵A1D1⊥平面CDD1C1，EF // A1D1，∴EF⊥平面CDD1C1，∵C1F⊂平面CDD1C1，∴C1F⊥EF，∴C1F⊥平面EFC．（3）解：棱BB1上存在中点P，使得平面ADP⊥平面EFC．证明如下：∵长方体ABCD−A1B1C1D1中，F是DD1中点，P是BB1中点，∴C1F // AP，∵C1F⊥平面EFC，∴AP⊥平面EFC，∵AP⊂平面ADP，∴平面ADP⊥平面EFC，此时BPBB1=12．【答案】解：（1）∵f(x)=ln x+2ax，∴f′(x)=1x −2ax2，∵函数f(x)在x=1处取得极值，∴f′(1)=0，∴1−2a=0，∴a=12；（2）∵函数f(x)的图象上的点都在直线y=2的上方，∴ln x+2ax≥2在(0, +∞)上恒成立，∴2a≥2x−x ln x，令y=2x−x ln x，则y′=2−ln x−1=1−ln x，∴函数在(0, e)上单调递增，在(e, +∞)上单调递减，∴x=e时，函数取得最大值2e−e ln e=e，∴2a≥e，∴a≥e2．【考点】利用导数研究函数的极值利用导数研究函数的单调性【解析】（1）求导数，利用函数f(x)在x=1处取得极值，可得f′(1)=0，即可求a的值；（2）函数f(x)的图象上的点都在直线y=2的上方，可得ln x+2ax≥2在(0, +∞)上恒成立，即2a≥2x−x ln x，求出右边的最大值，即可求a的取值范围．【解答】解：（1）∵f(x)=ln x+2ax，∴f′(x)=1x−2ax2，∵函数f(x)在x=1处取得极值，∴f′(1)=0，∴1−2a=0，∴a=12；（2）∵函数f(x)的图象上的点都在直线y=2的上方，∴ln x+2ax≥2在(0, +∞)上恒成立，∴2a≥2x−x ln x，令y=2x−x ln x，则y′=2−ln x−1=1−ln x，∴函数在(0, e)上单调递增，在(e, +∞)上单调递减，∴x=e时，函数取得最大值2e−e ln e=e，∴2a≥e，∴a≥e2．【答案】解：（1）∵椭圆C:x2a2+y2b2=1(a>b>0)的两个焦点分别为F1(−1, 0)，F2(1, 0)，短轴的一个端点为M，△MF1F2为等边三角形，∴c=1，a=2c=2，∴b2=4−1=3，∴椭圆C的标准方程为x24+y23=1．（2）在直线y=−12上不存在点N，使得四边形OANB为矩形．理由如下：∵过点(0, −2)的直线l与椭圆C相交于A，B两点，∴当l的斜率不存在时，l的方程为x=0，A(0, √3)，B(0, −√3)，在直线y=−12上不存在点N，使得四边形OANB为矩形．当直线l的斜率为0时，l的方程为y=−2，不成立，∴设直线l的方程为y=kx−2，k≠0，联立{y=kx−2x24+y23=1，得(3+4k2)x2−16kx+4=0，△=(−16k)2−16(3+4k2)>0，解得k2>14，设A(x1, y1)，B(x2, y2)，x1+x2=16k3+4k2，x1x2=43+4k2，y1y2=(kx1−2)(kx2−2)=k2x1x2−2k(x1+x2)+4，∴OA→⋅OB→=x1x2+y1y2=(k2+1)⋅43+4k2−2k⋅16k3+4k2+4=4−24k23+4k2，∵k2>14，∴OA→⋅OB→≠0，∴直线y=−12上是不存在点N，使得四边形OANB为矩形．【考点】直线与椭圆结合的最值问题【解析】（1）由已知条件推导出c=1，a=2c=2，由此能求出椭圆C的标准方程．（2）在直线y=−12上不存在点N，使得四边形OANB为矩形．设直线l的方程为y=kx−2，k≠0，联立{y=kx−2x24+y23=1，得(3+4k2)x2−16kx+4=0，由△>0，得k2>14，由韦达定理得OA→⋅OB→≠0，由此得直线y=−12上是不存在点N，使得四边形OANB为矩形【解答】解：（1）∵椭圆C:x 2a2+y2b2=1(a>b>0)的两个焦点分别为F1(−1, 0)，F2(1, 0)，短轴的一个端点为M，△MF1F2为等边三角形，∴c=1，a=2c=2，∴b2=4−1=3，∴椭圆C的标准方程为x24+y23=1．（2）在直线y=−12上不存在点N，使得四边形OANB为矩形．理由如下：∵过点(0, −2)的直线l与椭圆C相交于A，B两点，∴当l的斜率不存在时，l的方程为x=0，A(0, √3)，B(0, −√3)，在直线y=−12上不存在点N，使得四边形OANB为矩形．当直线l的斜率为0时，l的方程为y=−2，不成立，∴设直线l的方程为y=kx−2，k≠0，联立{y=kx−2x24+y23=1，得(3+4k2)x2−16kx+4=0，△=(−16k)2−16(3+4k2)>0，解得k2>14，设A(x1, y1)，B(x2, y2)，x1+x2=16k3+4k2，x1x2=43+4k2，y1y2=(kx1−2)(kx2−2)=k2x1x2−2k(x1+x2)+4，∴OA→⋅OB→=x1x2+y1y2=(k2+1)⋅43+4k2−2k⋅16k3+4k2+4=4−24k23+4k2，∵k2>14，∴OA→⋅OB→≠0，∴直线y=−12上是不存在点N，使得四边形OANB为矩形．【答案】解：（1）∵对任意x∈R+，a∈R都有f(x a)=af(x)，令x=2，则f(2a)=af(2)，∵f(2)=1，∴f(2a)=a，∴f(√2)=f(212)=12；（2）证明：∵对任意x∈R+，a∈R都有f(x a)=af(x)，∴令x=1则f(1)=af(1)，若a=1，则恒成立，若a≠1，则f(1)=0，∴f(x)=0有一个根为1，如果还有一个根设为m，m>0且m≠1，那么f(m)=0，f(m a)=af(m)，即有f(m a)=0，由于a为任意实数，m>0且m≠1，则由指数函数的值域得，m a>0，这与①f(x)不恒为零矛盾，所以f(m)=0不成立，故方程f(x)=0有且只有一个实数根；（3）证明：由|f(m)|=|f(n)|推出f(m)=f(n)或f(m)=−f(n)，∵f(x)在(0, +∞)上单调递增，∴f(m)=f(n)推出m=n，这与m>n>0矛盾，∴f(m)=−f(n)，∵f(x a)=af(x)，∴f(m)=f(n−1)，∴m=n−1，即n=1m，由于m>n>0，所以m>1，f(m)>f(1)=0，∵m+n2>√mn=1，∴f(m+n2)>0，又|f(m)|=2|f(m+n2)|，∴f(m)=2f(m+n2)=f(m2+n2+2mn4)，即有m=m 2+n2+2mn4，即m2+m−2−2=4(m−1)，∴(m−1m )2=4(m−1)，即(m−1)(m+1)2m2=4即m3−3m2−m−1=0，令f(m)=m3−3m2−m−1，由于f(3)=27−27−3−1<0，f(2+√2)=(6+4√2)(√2−1)−3−√2=√2−1>0，由零点存在定理得，3<m<2+√2．【考点】抽象函数及其应用函数单调性的性质【解析】（1）运用赋值法，令x=2，由f(2)=1，得f(2a)=a，再令a=12，即可求出f(√2)；（2）运用赋值令x=1，得到f(1)=0，如果还有一个根设为m，m>0且m≠1，推出f(m a)=0，由a为任意实数，得到与①f(x)不恒为零矛盾，故结论得证；（3）由|f(m)|=|f(n)|推出mn=1，由f(x)在(0, +∞)上单调递增，f(m)>0，f(m+n2)>0，由|f(m)|=2|f(m+n2)|推出m3−3m2−m−1=0，令f(m)=m3−3m2−m−1，运用零点存在定理，求出f(3)<0，f(2+√2)>0，故结论成立．【解答】解：（1）∵对任意x∈R+，a∈R都有f(x a)=af(x)，令x=2，则f(2a)=af(2)，∵f(2)=1，∴f(2a)=a，∴f(√2)=f(212)=12；（2）证明：∵对任意x∈R+，a∈R都有f(x a)=af(x)，∴令x=1则f(1)=af(1)，若a=1，则恒成立，若a≠1，则f(1)=0，∴f(x)=0有一个根为1，如果还有一个根设为m，m>0且m≠1，那么f(m)=0，f(m a)=af(m)，即有f(m a)=0，由于a为任意实数，m>0且m≠1，则由指数函数的值域得，m a>0，这与①f(x)不恒为零矛盾，所以f(m)=0不成立，故方程f(x)=0有且只有一个实数根；（3）证明：由|f(m)|=|f(n)|推出f(m)=f(n)或f(m)=−f(n)，∵f(x)在(0, +∞)上单调递增，∴f(m)=f(n)推出m=n，这与m>n>0矛盾，∴f(m)=−f(n)，∵f(x a)=af(x)，∴f(m)=f(n−1)，∴m=n−1，即n=1m，由于m>n>0，所以m>1，f(m)>f(1)=0，∵m+n2>√mn=1，∴f(m+n2)>0，又|f(m)|=2|f(m+n2)|，∴f(m)=2f(m+n2)=f(m2+n2+2mn4)，即有m=m2+n2+2mn4，即m2+m−2−2=4(m−1)，∴(m−1m)2=4(m−1)，即(m−1)(m+1)2m2=4即m3−3m2−m−1=0，令f(m)=m3−3m2−m−1，由于f(3)=27−27−3−1<0，f(2+√2)=(6+4√2)(√2−1)−3−√2=√2−1>0，由零点存在定理得，3<m<2+√2．。
2014北京房山中考二模数学(含解析)
8
x
二、填空题（本题共 16 分，每小题 4 分） 9．分解因式： a3 9a= __________________．
x 2014 10．若 x ， y 为实数，且 x y y 2 0 ，则 ( ) 的值为__________________． y
11．如图，在平行四边形 ABCD 中，对角线 AC ， BD 相交于点 O ，点 E ，
3 / 14
18． 已知： 如图， 反比例函数 y 两点． （1）求反比例函数 y
k (k 0) 与一次函数 y kx b(k 0) 的图象交于 A(3 , 1) 、B(m , 3) x
k (k 0) 与一次函数 y kx b(k 0) 的解析式． x
1 （2）若点 P 是直线 y kx b(k 0) 上一点，且 OP OA ，请直接写出点 P 的坐标． 2
D E AD AE BAD CAE
∴ △ABD △ACE (ASA) ． 16．解：原式 =m2 2m 1 m2 m 6
=m 7 ．
∵ m 1，
2
∴ m 1 ． 当 m 1 时，原式 =8 ； 当 m 1 时，原式 =6 ； 原式的值为 8 或 6 ． 17． 解： 设北京西到石家庄的快速火车速度约为 x 公里/小时， 则北京西到石家庄的轻轨速度约为 4 x 公里/小时，依题可得：
的矩形 ABCD ？若存在，求出过 O 、 C 、 D 三点的抛物线的表达式；若不存在，说明理由； （3）在（ 2 ）的条件下，若以点 E 为圆心， r 为半径的圆与线段 AD 只有一个公共点，求出 r 的 取值范围． [来源： 年北京房山中考二模数学试卷答案
） ． D．正十一边形 ） ．
2013北京房山高三二模数学试题及答案
房山区2013年高考第二次模拟试卷数 学 （理科）本试卷共4页，150分。
考试时间长120分钟。
考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效。
考试结束后，将答题卡交回。
一、选择题：本大题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题列出的四个选项中,选出符合题目要求的一项. 1.若﹁p ∨q 是假命题，则 A. p ∧q 是假命题 B. p ∨q 是假命题 C. p 是假命题D. ﹁q 是假命题2.下列四个函数中,既是奇函数又在定义域上单调递增的是 A. 1y x =-B. tan y x =C. 3y x =D. 2log y x =3.如图，,,,A B C D 是⊙O 上的四个点，过点B 的切线与DC 的 延长线交于点E .若110BCD ︒∠=，则DBE ∠= A. 75︒ B. 70︒ C. 60︒ D. 55︒4.设平面向量(1,2),(2,)y ==-a b ，若a //b ，则2-a b 等于A. 4B. 5C.D.5.已知,M N 是不等式组1,1,10,6x y x y x y ≥⎧⎪≥⎪⎨-+≥⎪⎪+≤⎩所表示的平面区域内的两个不同的点，则||MN 的最大值是C.D.1726.已知数列{}n a 的前n 项和为n S ,11a =,12n n S a +=,则n S =A. 12n -B. 21n -C. 13n -D. 1(31)2n -7.一个几何体的三视图如图所示，则这个几何体 的表面积为 A．9+B. 18+C. 18+D. 98.定义运算a b ⎡⎢⎣ c d ⎤⎥⎦x ax cy y bx dy +⎡⎤⎡⎤=⎢⎥⎢⎥+⎣⎦⎣⎦，称x a y b '⎡⎤⎡=⎢⎥⎢'⎣⎦⎣ c d ⎤⎥⎦x y ⎡⎤⎢⎥⎣⎦为将点(),x y 映到点(),x y ''的 一次变换.若x y '⎡⎤⎢⎥'⎣⎦＝2p ⎡⎢⎣1q -⎤⎥⎦x y ⎡⎤⎢⎥⎣⎦把直线y kx =上的各点映到这点本身，而把直线 y mx =上的各点映到这点关于原点对称的点.则,,,k m p q 的值依次是A.1,2,3,3k m p q ==-==B. 1,3,3,2k m p q ====-C.2,3,3,1k m p q =-===D. 2,1,3,3k m p q =-===二、填空题:本大题共6小题,每小题5分,共30分. 9.在复平面内，复数(2)i i -对应的点的坐标为 .10.直线l 的参数方程为1312x ty t =+⎧⎨=-⎩（t 为参数），则直线l 的斜率为 .11.在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别是a b c ,,.326a b A π===,,，则tan B = . 12.若21()n x x+展开式中的二项式系数和为64，则n 等于 ，该展开式中的常数项为 . 13.抛物线2:2C y px =的焦点坐标为1(,0)2F ，则抛物线C 的方程为 ，若点P 在抛物线C 上运动，点Q 在直线50x y ++=上运动，则PQ 的最小值等于 .14.在数列{}n a 中，如果对任意的*n ∈N ，都有211n n n na a a a λ+++-=（λ为常数），则称数列{}n a 为 比等差数列，λ称为比公差．现给出以下命题：俯视图侧（左）视图正（主视图）①若数列{}n F 满足1212(3)n n n F F F F F n --=+≥=1,=1,，则该数列不是比等差数列； ②若数列{}n a 满足123-⋅=n n a ，则数列{}n a 是比等差数列，且比公差0=λ；③等比数列一定是比等差数列，等差数列一定不是比等差数列； ④若{}n a 是等差数列，{}n b 是等比数列，则数列{}n n a b 是比等差数列． 其中所有真命题的序号是 .三、解答题: 本大题共6小题,共80分.解答应写出文字说明, 演算步骤或证明过程. 15.（本小题满分13分）已知函数()sin()(00)f x x ωϕωϕ=+><<π,的最小正周期为π，且图象过点1(,)62π. （Ⅰ）求,ωϕ的值；（Ⅱ）设()()()4g x f x f x π=-，求函数()g x 的单调递增区间.16.（本小题满分14分）如图, ABCD 是正方形， DE ⊥平面ABCD ， DE AF //，3DE DA AF ==. (Ⅰ) 求证：AC ⊥BE ；(Ⅱ) 求二面角D BE F --的余弦值；（Ⅲ）设点M 是线段BD 上一个动点，试确定点M 的位置， 使得//AM 平面BEF ，证明你的结论.17.（本小题满分13分）小明从家到学校有两条路线，路线1上有三个路口，各路口遇到红灯的概率均为12；路线2上有两个路口，各路口遇到红灯的概率依次为34,45． （Ⅰ）若小明上学走路线1，求最多遇到1次红灯的概率；FEDCB A（Ⅱ）若小明上学走路线2，求遇到红灯次数X 的数学期望；（Ⅲ）按照“平均遇到红灯次数越少为越好”的标准，请你帮助小明从上述两条路线中选择一条最好的上学路线，并说明理由．18.（本小题满分13分）已知函数2()()x af x x x a e =+-（0a >）.（Ⅰ）当1=a 时，求函数()f x 的单调区间； （Ⅱ）当5x =-时，()f x 取得极值.① 若5m ≥-，求函数()f x 在[],1m m +上的最小值；② 求证：对任意12,[2,1]x x ∈-，都有12|()()|2f x f x -≤.19.（本小题满分14分）已知椭圆C ：22221(0)x y a b a b +=>>的离心率为22，且过点A ．直线y m =+交椭圆C 于B ,D （不与点A 重合）两点． （Ⅰ）求椭圆C 的方程；（Ⅱ）△ABD 的面积是否存在最大值？若存在，求出这个最大值；若不存在，请说明 理由．20.（本小题满分13分）设3>m ，对于项数为m 的有穷数列{}n a ，令k b 为)(,,,21m k a a a k ≤ 中的最大值，称数列{}n b 为{}n a 的“创新数列”．例如数列3，5，4，7的创新数列为3，5，5，7．考查自然数)3(,,2,1>m m 的所有排列，将每种排列都视为一个有穷数列{}n c ． （Ⅰ）若5m =，写出创新数列为3，5，5，5，5的所有数列{}n c ；（Ⅱ）是否存在数列{}n c 的创新数列为等比数列？若存在，求出符合条件的创新数列；若不存在，请说明理由；（Ⅲ）是否存在数列{}n c，使它的创新数列为等差数列？若存在，求出所有符合条件的数列{}n c的个数；若不存在，请说明理由．房山区2013年高考第二次模拟考试参考答案数 学 （理科） 2013.05一、选择题：本大题共8小题,每小题5分,共40分.1A 2C 3B 4D 5B 6C 7A 8B二、填空题:本大题共6小题,每小题5分,共30分.9. (1,2) 10.23- 12. 6,15 13. 22,4y x =①② 三、解答题: 本大题共6小题,共80分. 15（本小题满分13分）（Ⅰ）由最小正周期为π可知 22==Tπω， ………………2分由1()62f π=得 1sin()32πϕ+=，又0ϕπ<<，333πππϕπ<+<+所以 536ππϕ+=2πϕ=， ………………5分（Ⅱ）由（Ⅰ）知 ()sin(2)cos 22f x x x π=+=所以()cos 2sin[2()]cos 2sin 242g x x x x x ππ=⋅-+=1sin 42x =…………………………………………………………………9分解24222k x k ππππ-≤≤+得(Z)2828k k x k ππππ-≤≤+∈ ……………………………12分 所以函数()g x 的单调增区间为[,] (Z)2828k k k ππππ-+∈. …………………………………………………13分所以AC ⊥平面BDE , …………………3分 从而 AC ⊥BE ……………………4分 (Ⅱ)解：因为DE DC DA ,,两两垂直，所以建立空间直角坐标系xyz D -如图所示. …………5分 设3=AD ，可知1,3==AF DE . ……………………6分则)0,0,0(D ,(3,0,0)A ，)1,0,3(F ，)3,0,0(E ，(3,3,0)B ，(0,3,0)C ， 所以)1,3,0(-=，)2,0,3(-=， ………………7分设平面BEF 的法向量为=n (,,)x y z ，则0BF EF ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩n n ，即⎩⎨⎧=-=+-．023,03z x z y ， 令3=z ，则=n )3,1,2(. …………………8分因为AC ⊥平面BDE ，所以CA 为平面BDE 的法向量， (3,3,0)CA =-，所以147,cos ==><CA n ………………………………………9分 因为二面角为锐角，所以二面角D BE F --的余弦值为147. …………10分 (Ⅲ)解：点M 是线段BD上一个动点，设(,,0)(0M t t t ≤≤.则(3,,0)AM t t =-，因为//AM 平面BEF ，所以AM ⋅n 0=， ……………11分即0)3(2=+-t t ，解得2=t . ……………13分 此时，点M 坐标为(2,2,0)，13BM BD =，符合题意. ……………14分17（本小题满分13分）（Ⅰ）设走路线1最多遇到1次红灯为A 事件，则0312331111()=()()2222P A C C ⨯+⨯⨯=． ………………2分（Ⅱ）依题意，X 的可能取值为0，1，2．341(=0)=(1)(1)4520P X -⨯-=，34347(=1)=(1)(1)454520P X ⨯-+-⨯=，343(=2)=455P X ⨯=． ………………………………8分随机变量的分布列为：………………………………………………9分173310122020520EX =⨯+⨯+⨯=． ………………10分（Ⅲ）设选择路线1遇到红灯次数为Y ，则1(3,)2Y B ，所以13322EY =⨯=． ………………12分 因为EX EY >，所以选择路线1上学最好． ………………13分18（本小题满分13分）（Ⅰ）211'()()(21)(12)x x xa a af x x x a e x e x x a e a a=+-++=++ …………1分当1=a 时，'()(3)xf x x x e =+解()0f x '>得0x >或3x <-, 解()0f x '<得30x -<< ……………2分 所以()f x 单调增区间为(,3)-∞-和(0,)+∞，单调减区间为(3,0)-………3分（Ⅱ）①当5x =-时，()f x 取得极值， 所以1'(5)(5)(512)0xa f a e a-=--++=解得2a =（经检验2a =符合题意） ……………4分()1'()52x f x x x e =+所以函数()f x 在(),5-∞-，()0+∞递增，在()5,0-递减. ……5分当51m -≤≤-时，()f x 在[],1m m +单调递减，12min ()(1)(3)m f x f m m m e+=+=+………………6分当10m -<<时 01m m <<+()f x 在[],0m 单调递减，在[]0,1m +单调递增，min ()(0)2f x f ==-. ………………7分当0m ≥时，()f x 在[],1m m +单调递增，2min ()()(2)(1)mf x f m m m e ==+- ……………………8分综上，()f x 在[],1m m +上的最小值12min 2(3),51,()2,10,(2)(1),0.m mm m e m f x m m m e m +⎧+-≤≤-⎪⎪=--<<⎨⎪⎪+-≥⎩ ……………………9分②令'()0f x = 得0,5x x ==-（舍） 因为(2)0,(0)2,(1)0f f f -==-= 所以max min ()0,()2f x f x ==- ……………11分所以，对任意12,[2,1]x x ∈-，都有12max min |()()|()()2f x f x f x f x -≤-= ……………13分19（本小题满分14分） （Ⅰ） ace ==22， 22211a b +=，222c b a +=∴2=a ，2=b ，2=c∴22142x y +=． ------------------------------------------3分（Ⅱ）设11(,)B x y ，22(,)D x y ，由22=+2142y x m x y ⎧⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩2220x m ⇒+-= ∴282m 0∆=-> 22m ⇒-<<12,x x += ① 2122x x m =- ②----------------------5分12BD x =-= --------------------8分 设d 为点A 到直线BD：=+2y x m 的距离，∴d =--------------------10分∴12ABD S BD d ∆==分当且仅当m =(2,2)∈-时等号成立∴当m =时，ABD ∆分20（本小题满分13分）（Ⅰ）由题意，创新数列为3，5，5，5，5的所有数列{}n c 有6个，3，5，1，2，4； ……………………………………………………………2分 3，5，1，4，2； 3，5，2，1，4； 3，5，2，4，1； 3，5，4，1，2；3，5，4，2，1；………………………………………………………………4分 （Ⅱ）存在数列{}n c 的创新数列为等比数列． 设数列{}n c 的创新数列为}{n e ，因为m e 为前m 个自然数中最大的一个，所以m e m =．若}{n e 为等比数列，第 11 页 设公比为q ，因为)1,,2,1(1-=≥+m k e e k k ，所以1≥q ．……………7分 当1=q 时，}{n e 为常数列满足条件，即为数列m m m ,,, 当1>q 时，}{n e 为增数列，符合条件的数列只能是m ,,2,1 ， 又m ,,2,1 不满足等比数列．综上符合条件的创新数列只有一个．………………………………………………………………8分（Ⅲ）存在数列{}n c ，使它的创新数列为等差数列，设数列{}n c 的创新数列为}{n e ，因为m e 为前m 个自然数中最大的一个， 所以m e m =．若}{n e 为等差数列，设公差为d ，因为)1,,2,1(1-=≥+m k e e k k ，所以0≥d ．且*N d ∈当0=d 时，}{n e 为常数列满足条件，即为数列m m m ,,, （或写通项公式),,2,1(m n m e n ==）， 此时数列{}n c 是首项为m 的任意一个排列，共有11m m A --个数列；………………………………………11分当1=d 时，符合条件的数列}{n e 只能是m ,,2,1 ，此时数列{}n c 是m ,,2,1 ， 有1个；当2≥d 时，)1(2)1(11-+≥-+=m e d m e e m 21-++=m m e 又3>m 02>-∴m m e m >∴这与m e n =矛盾，所以此时}{n e 不存在.综上满足条件的数列{}n c 的个数为111m m A --+个（或回答1)!1(+-m 个）． ……………………………………………13分。
2013房山高三数学二模(理)试题_及答案
房山区2013年高考第二次模拟试卷数 学 （理科）本试卷共4页，150分。
考试时间长120分钟。
考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效。
考试结束后，将答题卡交回。
一、选择题：本大题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题列出的四个选项中,选出符合题目要求的一项. 1.若﹁p ∨q 是假命题，则 A. p ∧q 是假命题 B. p ∨q 是假命题 C. p 是假命题D. ﹁q 是假命题2.下列四个函数中,既是奇函数又在定义域上单调递增的是 A. 1y x =-B. tan y x =C. 3y x =D. 2log y x =3.如图，,,,A B C D 是⊙O 上的四个点，过点B 的切线与DC 的 延长线交于点E .若110BCD ︒∠=，则DBE ∠= A. 75︒ B. 70︒ C. 60︒ D. 55︒4.设平面向量(1,2),(2,)y ==-a b ，若a //b ，则2-a b 等于A. 4B. 5C.D.5.已知,M N 是不等式组1,1,10,6x y x y x y ≥⎧⎪≥⎪⎨-+≥⎪⎪+≤⎩所表示的平面区域内的两个不同的点，则||MN 的最大值是C.D.1726.已知数列{}n a 的前n 项和为n S ,11a =,12n n S a +=,则n S =A. 12n -B. 21n -C. 13n -D. 1(31)2n -7.一个几何体的三视图如图所示，则这个几何体 的表面积为 A．9+B. 18+C. 18+D. 98.定义运算a b ⎡⎢⎣ c d ⎤⎥⎦x ax cy y bx dy +⎡⎤⎡⎤=⎢⎥⎢⎥+⎣⎦⎣⎦，称x a y b '⎡⎤⎡=⎢⎥⎢'⎣⎦⎣ c d ⎤⎥⎦x y ⎡⎤⎢⎥⎣⎦为将点(),x y 映到点(),x y ''的 一次变换.若x y '⎡⎤⎢⎥'⎣⎦＝2p ⎡⎢⎣ 1q -⎤⎥⎦x y ⎡⎤⎢⎥⎣⎦把直线y kx =上的各点映到这点本身，而把直线 y mx =上的各点映到这点关于原点对称的点.则,,,k m p q 的值依次是A.1,2,3,3k m p q ==-==B. 1,3,3,2k m p q ====-C.2,3,3,1k m p q =-===D. 2,1,3,3k m p q =-===二、填空题:本大题共6小题,每小题5分,共30分. 9.在复平面内，复数(2)i i -对应的点的坐标为 .10.直线l 的参数方程为1312x ty t =+⎧⎨=-⎩（t 为参数），则直线l 的斜率为 .11.在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别是a b c ,,.326a b A π===,,，则tan B = . 12.若21()n x x+展开式中的二项式系数和为64，则n 等于 ，该展开式中的常数项为 . 13.抛物线2:2C y px =的焦点坐标为1(,0)2F ，则抛物线C 的方程为 ，若点P 在抛物线C 上运动，点Q 在直线50x y ++=上运动，则PQ 的最小值等于 .14.在数列{}n a 中，如果对任意的n N ∈*，都有211n n n na a a a λ+++-=（λ为常数），则称数列{}n a 为比等差数列，λ称为比公差．现给出以下命题：①若数列{}n F 满足1212(3)n n n F F F F F n --=+≥=1,=1,，则该数列不是比等差数列； ②若数列{}n a 满足123-⋅=n n a ，则数列{}n a 是比等差数列，且比公差0=λ；俯视图侧（左）视图③等比数列一定是比等差数列，等差数列一定不是比等差数列； ④若{}n a 是等差数列，{}n b 是等比数列，则数列{}n n a b 是比等差数列． 其中所有真命题的序号是 .三、解答题: 本大题共6小题,共80分.解答应写出文字说明, 演算步骤或证明过程. 15.（本小题满分13分）已知函数()sin()(00)f x x ωϕωϕ=+><<π,的最小正周期为π，且图象过点1(,)62π. （Ⅰ）求,ωϕ的值；（Ⅱ）设()()()4g x f x f x π=-，求函数()g x 的单调递增区间.16.（本小题满分14分）如图, ABCD 是正方形， DE ⊥平面ABCD ， DE AF //，3DE DA AF ==. (Ⅰ) 求证：AC ⊥BE ；(Ⅱ) 求二面角D BE F --的余弦值；（Ⅲ）设点M 是线段BD 上一个动点，试确定点M 的位置， 使得//AM 平面BEF ，证明你的结论.17.（本小题满分13分）小明从家到学校有两条路线，路线1上有三个路口，各路口遇到红灯的概率均为12；路线2上有两个路口，各路口遇到红灯的概率依次为34,45． （Ⅰ）若小明上学走路线1，求最多遇到1次红灯的概率； （Ⅱ）若小明上学走路线2，求遇到红灯次数X 的数学期望；（Ⅲ）按照“平均遇到红灯次数越少为越好”的标准，请你帮助小明从上述两条路线中选择一条最好的上学路线，并说明理由．FEDCB A18.（本小题满分13分）已知函数2()()x af x x x a e =+-（0a >）.（Ⅰ）当1=a 时，求函数()f x 的单调区间； （Ⅱ）当5x =-时，()f x 取得极值.① 若5m ≥-，求函数()f x 在[],1m m +上的最小值；② 求证：对任意12,[2,1]x x ∈-，都有12|()()|2f x f x -≤.19.（本小题满分14分）已知椭圆C ：22221(0)x y a b a b +=>>的离心率为22，且过点A ．直线2y x m =+交椭圆C 于B ,D （不与点A 重合）两点． （Ⅰ）求椭圆C 的方程；（Ⅱ）△ABD 的面积是否存在最大值？若存在，求出这个最大值；若不存在，请说明 理由．20.（本小题满分13分）设3>m ，对于项数为m 的有穷数列{}n a ，令k b 为)(,,,21m k a a a k ≤ 中的最大值，称数列{}n b 为{}n a 的“创新数列”．例如数列3，5，4，7的创新数列为3，5，5，7．考查自然数)3(,,2,1>m m 的所有排列，将每种排列都视为一个有穷数列{}n c ． （Ⅰ）若5m =，写出创新数列为3，5，5，5，5的所有数列{}n c ；（Ⅱ）是否存在数列{}n c 的创新数列为等比数列？若存在，求出符合条件的创新数列；若不存在，请说明理由；（Ⅲ）是否存在数列{}n c ，使它的创新数列为等差数列？若存在，求出所有符合条件的数列{}n c 的个数；若不存在，请说明理由．房山区2013年高考第二次模拟考试参考答案数 学 （理科） 2013.05一、选择题：本大题共8小题,每小题5分,共40分.1A 2C 3B 4D 5B 6C 7A 8B二、填空题:本大题共6小题,每小题5分,共30分.9. (1,2) 10.23-12. 6,1513. 22,y x =①② 三、解答题: 本大题共6小题,共80分. 15（本小题满分13分）（Ⅰ）由最小正周期为π可知 22==Tπω， ………………2分由1()62f π=得 1sin()32πϕ+=，又0ϕπ<<，333πππϕπ<+<+所以 536ππϕ+=2πϕ=， ………………5分（Ⅱ）由（Ⅰ）知 ()sin(2)cos 22f x x x π=+=所以()cos 2sin[2()]cos 2sin 242g x x x x x ππ=⋅-+=1sin 42x =…………………………………………………………………9分解24222k x k ππππ-≤≤+得(Z)2828k k x k ππππ-≤≤+∈ ……………………………12分 所以函数()g x 的单调增区间为[,] (Z)2828k k k ππππ-+∈. …………………………………………………13分16（本小题满分14分）(Ⅰ)证明： 因为DE ⊥平面ABCD ，所以AC DE ⊥. ……………………1分 因为ABCD 是正方形， 所以BD AC ⊥，所以AC ⊥平面BDE , …………………3分 从而 AC ⊥BE ……………………4分(Ⅱ)解：因为DE DC DA ,,两两垂直，所以建立空间直角坐标系xyz D -如图所示. …………5分 设3=AD ，可知1,3==AF DE . ……………………6分则)0,0,0(D ,(3,0,0)A ，)1,0,3(F ，)3,0,0(E ，(3,3,0)B ，(0,3,0)C ， 所以)1,3,0(-=，)2,0,3(-=， ………………7分设平面BEF 的法向量为=n (,,)x y z ，则0BF EF ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩n n ，即⎩⎨⎧=-=+-．023,03z x z y ， 令3=z ，则=n )3,1,2(. …………………8分因为AC ⊥平面BDE ，所以CA 为平面BDE 的法向量， (3,3,0)CA =-，所以147,cos ==><CA n ………………………………………9分 因为二面角为锐角，所以二面角D BE F --的余弦值为147. …………10分 (Ⅲ)解：点M 是线段BD上一个动点，设(,,0)(0M t t t ≤≤.则(3,,0)AM t t =-，因为//AM 平面BEF ，所以AM ⋅n 0=， ……………11分即0)3(2=+-t t ，解得2=t . ……………13分 此时，点M 坐标为(2,2,0)，13BM BD =，符合题意. ……………14分17（本小题满分13分）（Ⅰ）设走路线1最多遇到1次红灯为A 事件，则0312331111()=()()2222P A C C ⨯+⨯⨯=． ………………2分（Ⅱ）依题意，X 的可能取值为0，1，2．341(=0)=(1)(1)4520P X -⨯-=，34347(=1)=(1)(1)454520P X ⨯-+-⨯=，343(=2)=455P X ⨯=． ………………………………8分随机变量X 的分布列为：………………………………………………9分173310122020520EX =⨯+⨯+⨯=． ………………10分（Ⅲ）设选择路线1遇到红灯次数为Y ，则1(3,)2Y B ，所以13322EY =⨯=． ………………12分 因为EX EY >，所以选择路线1上学最好． ………………13分18（本小题满分13分）（Ⅰ）211'()()(21)(12)x x xa a af x x x a e x e x x a e a a=+-++=++ …………1分当1=a 时，'()(3)x f x x x e =+解()0f x '>得0x >或3x <-, 解()0f x '<得30x -<< ……………2分 所以()f x 单调增区间为(,3)-∞-和(0,)+∞，单调减区间为(3,0)-………3分（Ⅱ）①当5x =-时，()f x 取得极值， 所以1'(5)(5)(512)0xa f a e a-=--++=解得2a =（经检验2a =符合题意） ……………4分()1'()52x f x x x e =+所以函数()f x 在(),5-∞-，()0+∞递增，在()5,0-递减. ……5分当51m -≤≤-时，()f x 在[],1m m +单调递减，12min ()(1)(3)m f x f m m m e+=+=+………………6分当10m -<<时 01m m <<+()f x 在[],0m 单调递减，在[]0,1m +单调递增，min ()(0)2f x f ==-. ………………7分当0m ≥时，()f x 在[],1m m +单调递增，2min ()()(2)(1)mf x f m m m e ==+- ……………………8分综上，()f x 在[],1m m +上的最小值12min 2(3),51,()2,10,(2)(1),0.m mm m e m f x m m m e m +⎧+-≤≤-⎪⎪=--<<⎨⎪⎪+-≥⎩ ……………………9分②令'()0f x = 得0,5x x ==-（舍） 因为(2)0,(0)2,(1)0f f f -==-= 所以max min ()0,()2f x f x ==- ……………11分所以，对任意12,[2,1]x x ∈-，都有12max min |()()|()()2f x f x f x f x -≤-= ……………13分19（本小题满分14分） （Ⅰ） ace ==22， 22211a b +=，222c b a +=∴2=a ，2=b ，2=c∴22142x y +=． ------------------------------------------3分 （Ⅱ）设11(,)B x y ，22(,)D x y ，由22+142y x m x y ⎧⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩2220x m ⇒+-= ∴282m 0∆=-> 22m ⇒-<<12,x x += ① 2122x x m =- ②----------------------5分12BD x =-= --------------------8分设d 为点A 到直线BD ：=+2y x m 的距离，∴d =分∴12ABD S BD d ∆==≤分当且仅当m =(2,2)∈-时等号成立∴当m =时，ABD ∆分20（本小题满分13分）（Ⅰ）由题意，创新数列为3，5，5，5，5的所有数列{}n c 有6个，3，5，1，2，4； ……………………………………………………………2分 3，5，1，4，2； 3，5，2，1，4； 3，5，2，4，1； 3，5，4，1，2；3，5，4，2，1；………………………………………………………………4分 （Ⅱ）存在数列{}n c 的创新数列为等比数列． 设数列{}n c 的创新数列为}{n e ，因为m e 为前m 个自然数中最大的一个，所以m e m =．若}{n e 为等比数列， 设公比为q ，因为)1,,2,1(1-=≥+m k e e k k ，所以1≥q ．……………7分 当1=q 时，}{n e 为常数列满足条件，即为数列m m m ,,, 当1>q 时，}{n e 为增数列，符合条件的数列只能是m ,,2,1 ， 又m ,,2,1 不满足等比数列．综上符合条件的创新数列只有一个．………………………………………………………………8分（Ⅲ）存在数列{}n c ，使它的创新数列为等差数列，设数列{}n c 的创新数列为}{n e ，因为m e 为前m 个自然数中最大的一个， 所以m e m =．若}{n e 为等差数列，设公差为d ，因为)1,,2,1(1-=≥+m k e e k k ，所以0≥d ．且*N d ∈当0=d 时，}{n e 为常数列满足条件，即为数列m m m ,,, （或写通项公式),,2,1(m n m e n ==）， 此时数列{}n c 是首项为m 的任意一个排列，共有11m m A --个数列；………………………………………11分当1=d 时，符合条件的数列}{n e 只能是m ,,2,1 ，此时数列{}n c 是m ,,2,1 ， 有1个；当2≥d 时，)1(2)1(11-+≥-+=m e d m e e m 21-++=m m e 又3>m02>-∴m m e m >∴这与m e n =矛盾，所以此时}{n e 不存在.综上满足条件的数列{}n c 的个数为111m m A --+个（或回答1)!1(+-m 个）． ……………………………………………13分。
2013北京房山中考二模数学(含解析)
21．某学校为了进一步丰富学生的体育活动，欲增购一些体育器材，为此对该校一部分学生进行 了一次“你最喜欢的体育活动”的问卷调查（每人只选一项） ．根据收集到的数据，绘制成如下 统计图（不完整） ．
请根据图中提供的信息，完成下列问题： （ 1 ）在这次问卷调查中，一共抽查了__________名学生； （ 2 ）请将上面两幅统计图补充完整； （ 3 ）在图①中，“踢毽”部分所对应的圆心角为__________度； （ 4 ）如果全校有 1860 名学生，请问全校学生中，最喜欢“球类”活动的学生约有多少人？
∴
∴⊙ O 的半径为
5 ． 2
1 BC 5 ， 2
过点 B 作 BD AC 于点 D ，由（ 1 ）得 BN CN 在 Rt△CAN 中， AN AC 2 CN 2 2 5 ，
在 △CAN 和 △CBD 中， ANC BDC 90 ， ACN BCD ，
4 / 15
22 ．如图 1 ，在矩形 MNPQ 中，点 E ， F ， G ， H 分别在边 NP ， PQ ， QM ， MN 上，当
1 2 3 4时，我们称四边形 EFGH 为矩形 MNPQ 的反射四边形．
已知：矩形 ABCD 的四个顶点均为边长为 1 的正方形网格的格点，请解决下列问题：
3．在直角坐标系中，点 M (1, 2) 关于 y 轴对称的点的坐标为（ A． (1, 2) B． (2 , 1) C． (1, 2)
4．如图：⊙ A 、⊙ B 、⊙ C 两两不相交， 且半径均为 1 ，则图中三个阴影扇形的面积之和为 （ π A．
1 B． π 2 C． 2 π 1 D． π 4
AD BC A B ， AE BF
【初中数学】北京市房山区2013年中考二模数学试卷 通用
北京市房山区2013年中考二模数学试卷一、选择题（本题共32分，每小题4分）下面各题均有四个选项，其中只有一个是符合题意的．用铅笔把“机读答题卡”上对应题目答案的相应字母处涂黑．1．-2的倒数为A ．2 B.-2 C.21 D.21- 2．国家统计局22日公布的2012年统计公报显示，我国2012年全年研究与试验发展(R ＆D)经费支出10240亿元，比上年增长17.9％，占国内生产总值的1.97％.将10240用科学记数法表示应为A ．4100240.1⨯B ．5100240.1⨯C ．410240.10⨯D.41010240.0⨯3．在直角坐标系中，点M （1，2）关于y 轴对称的点的坐标为A.（1，-2）B.（2，-1）C. （-1，2）D. （-1，-2）4、如图：⊙A 、⊙B 、⊙C 两两不相交，且半径均为1，则图中三个阴影扇形的面积之和为（ ） A .π B .π21 C .π2 D .π415.某场射击比赛中，第一小组10人第一轮射击成绩分别为8、9、9、10、7、8、8、9、8、8（单位：环），则这组数据的众数和中位数分别为 A ．8、8B ．8、9C ．7、8D ．9、86.若两圆的半径分别是2和3，圆心距为5，则这两圆的位置关系是 A．内切 B ．相交 C ．外切 D ．外离7.若一个多边形的内角和等于720，则这个多边形的边数是 A ．5B ．6C ．7D ．8第4题图8.在正方体的表面上画有如图所示的粗线， 则其展开后正确的是二、填空题（本大题共16分，每小题4分）：9．图象过点A （-1，2）的反比例函数的解析式为_____________． 10．分解因式：22363a ab b -+= __________． 11．如图，△ABC 中，D 为AB 上一点，且∠ACD=∠B ，若AD=2，BD=52，则AC= ．12．观察下列等式：①23a a +=；②65a a +=；③127a a+=；④209a a +=…；则根据此规律第6个等式为 ，第n 个等式为 ．三、解答题（本大题共30分，每小题5分）：13．2sin ４５°+02π-（）212---（）．14．解不等式组:31422x x x -≥⎧⎨=⎩，并把它的解集在数轴上表示出来.15.已知 210a a --=，求代数式aa aa a a +⋅-+-2111的值．16已知：如图，点C 、D 在线段AB 上，E 、F在AB 同侧，DE 与CF 相交于点O ，且AC =BD ， AE =BF ，A B ∠=∠.求证：DE =CF .17.如图，直线AB 过点A ，且与y 轴交于点B .DCBAD.C.B.A. B.A.（1）求直线AB 的解析式；（2）若P 是直线AB 上一点，且⊙P 的半径为1，请直接写出⊙P 与坐标轴相切时点P 的坐标；18．据媒体报道，2010年北京市民到郊区旅游总人数约5000万人，2012年市民到郊区旅游总人数增长到约7200万人.求这两年北京市民到郊区旅游总人数的年平均增长率.四、解答题（本大题共20分，每小题5分）：19.如图，四边形ABCD 中，AB ∥CD ，AB =13，CD =4，点E 在边AB 上，DE ∥BC ．若CB CE =，且3tan =∠B ，求四边形ABCD 的面积.20. 如图，在△ABC 中，∠ABC=∠ACB ，以AC 为直径的⊙O 分别交AB 、BC 于点M 、N ，点P 在AB 的延长线上，且∠CAB=2∠BCP.（1）求证：直线CP 是⊙O 的切线；（2）若BC=25，sin ∠BCP=55，求⊙O 的半径及△ACP的周长. 21. 某学校为了进一步丰富学生的体育活动，欲增购一些体育器材，为此对该校一部分学生进行了一次“你最喜欢的体育活动”的问卷调查（每人只选一项）．根据收集到的数据，绘制成如下统计图（不完整）（1）在这次问卷调查中，一共抽查了 名学生； （2）请将上面两幅统计图补充完整； （3）在图1中，“踢毽”部分所对应的圆心角为 度；（4）如果全校有1860名学生，请问全校学生中，最喜欢“球类”活动的学生约有多少人？22.如图1，在矩形MNPQ 中，点E ，F ，G ，H 分别在边NP ，PQ ，QM ，MN 上， 当4321∠=∠=∠=∠时，我们称四边形EFGH 为矩形MNPQ 的反射四边形. 已知：矩形ABCD 的四个顶点均为边长为1的正方形网格的格点，请解决下列问题：（1）在图2中，点E ，F 分别在BC ，CD 边上，请作出矩形ABCD 的反射四边形EFGH ，并求出反射四边形EFGH 的周长.（2）在图3中作出矩形ABCD 的所有反射四边形，并判断它们的周长之间的关系.五、解答题（本大题共22分，第23题7分，第24题7分，第25题8分）23.已知二次函数217=22y x kx k ++-．（1）求证：不论k 为任何实数，该函数的图象与x 轴必有两个交点；（2）若该二次函数的图象与x 轴的两个交点在点A （1，0）的两侧，且关于x 的一元二次方程k 2x 2＋(2k ＋3)x ＋1=0有两个不相等的实数根，求k 的整数值；（3）在（2）的条件下，关于x 的另一方程 x 2＋2(a ＋k )x ＋2a －k 2＋6 k －4=0 有大于0且小于3的实数根，求a 的整数值．24.（1）如图1，正方形ABCD 中，E 、F 分别是BC 、CD 边上的点，且满足BE=CF，联结AAE 、BF 交于点H..请直接写出线段AE 与BF 的数量关系和位置关系；（2）如图2，正方形ABCD 中，E 、F 分别是BC 、CD 边上的点，联结BF ，过点E 作EG ⊥BF 于点H ，交AD 于点G ，试判断线段BF 与GE 的数量关系，并证明你的结论； （3）如图3，在（2）的条件下，联结GF 、HD. 求证：①FG+BE②∠HGF=∠HDF.25.已知抛物线()()22-43-2-3m m x m x m y ++=的最低点A 的纵坐标是3，直线b mx y +=经过点A ，与y 轴交于点B ，与x 轴交于点C.（1）求抛物线与直线AB 的解析式.（2）将直线AB 绕点O 顺时针旋转90°，与x 轴交于点D ，与y 轴交于点E ，求sin ∠BDE 的值.（3）过B 点作x 轴的平行线BG,点M 在直线BG 上，且到抛物线的对称轴的距离为初三数学综合练习（二）参考答案及评分标准一、选择题：1.D ；2.A ；3. C ；4. B ；5.A ；6.C ；7.B； 8.D. 二、填空题：第25题图第24题图1F BA 第24题图2FBD GE第21题图3FBGE9..2y x =- ； 10..23()a b - 11.3 ； 12.1342=+a a ； 122+=++n an n a . 三、解答题：13.解： 原式=4122222-+⨯- -------------------------------4分 32-= ------------------------------5分14. 解：由不等式413-≥-x ，得≥x -1． -----------------------1分 由不等式22+<x x ，得2<x ． -----------------------2分 ∴ 原不等式组的解集是21<<-x ． -----------------------3分 ∴ 原不等式组的解集在数轴上表示为：-3-2-142-------------------------5分15． 解： ∵2111a a a a a a +-∙-+ =1a -11a a +∙-1aa a +（） ------------------1分=1a -11a - ----------------------------------2分=11a aa a ---（）=21a a-- ------------------------------------------3分∵210a a --=，∴21a a -=． --------------------------------------4分 当21a a -=时,原式=-1 ---------------------------------------5分16．证明：∵ AC =BD ,∴ AD =BC . -----------------------------------------1分 ∵ A B ∠=∠ ，AE =BF ------------------------------------3分 ∴ △ADE ≌△BCF . - -----------------------------------4分 ∴ DE =CF . ------------------------------5分17.解：（1）由图可知：A （-3，-3），B （0,3） ------------1分 设直线AB 的解析式为y=kx+b （k ≠0）则333k b b -+=-⎧⎨=⎩，解得23k b =⎧⎨=⎩.∴直线AB 的解析式为y=2x+3. ------------2分 （2）P 1（-2，-1），P 2（-1，1），P 3（1，5）. ------------5分18．解：设这两年北京市民到郊区旅游总人数的年平均增长率为x -------1分 根据题意，得5000（1+x ）2=7200 ------------------------2分 解得2.01=x ，2.22-=x -----------------------3分 ∵增长率不能为负，∴只取x =0.2=20% ------------------------4分 答：这两年北京市民到郊区旅游总人数的年平均增长率为20％. ------5分19.解：过点C 作AB CF ⊥于点F . -------1分∵AB ∥CD ，DE ∥BC∴四边形BCDE 为平行四边形 ------------2分 ∴BE=CD∵CD=4 ，∴BE=4. ∵CB CE =，BE CF ⊥∴BF=2 --------------------------------3分 在Rt△BCF 中， 3tan =∠B ，2=BF∴6=CF . ---------------------------------4分∴四边形ABCD 的面积=6)94(21⨯+=39 ----------------------5分20.证明：（1）连接AN ，∵∠ABC=∠ACB ，∴AB=AC ， ∵AC 是⊙O 的直径，∴AN ⊥BC ， ∴∠CAN=∠BAN ，BN=CN ， ∵∠CAB=2∠BCP ，∴∠CAN=∠BCP ， ------------------------1分 ∵∠CAN ＋∠ACN=90°， ∴∠BCP ＋∠ACN=90°， ∴CP ⊥AC∵OC 是⊙O 的半径∴CP 是⊙O 的切线. ------------------------2分解：（2）∵∠ANC=90°，sin ∠∴CNAC=5∴AC=5，∴⊙O 的半径为52 ----------------3分过点B 作BD ⊥AC 于点D ，由（1）得BN=CN=12在Rt △CAN 中，=在△CAN 和△CBD 中， ∠ANC=∠BDC=90°，∠ACN=∠BCD ，∴△CAN ∽△CBD ， ∴BC BDAC AN=，∴BD=4. （3）在Rt △BCD 中，=2， ∴AD=AC —CD=5—2=3， ∵BD ∥CP ，∴BD AD CP AC =, BPABDC AD = ∴CP=203, 310=BP ---------------------- -----------------4分∴△APC 的周长是AC ＋PC ＋AP=20； -------------------------5分21. 解：(1)200 ………1分(2)图略 ………3分 (3)54 ………4分 (4)744人 ………5分22. 解：（1）如图，∴四边形EFGH 即为所求，且周长为58 ------------------2分（2）如图：指明结果（略） -------------------4分 矩形ABCD 的反射四边形的周长为定值． -------------------5分23.（1）证明：△1=222174421422b ac k k k k ==+----（） 222113=113k k k =++-+-（）＞0∴不论k 为任何实数，该函数的图象与x 轴必有两个交点 -------------1分（2）∵二次函数217=22y x kx k ++-的图象与x 轴的两个交点在点（1，0）的两侧， 且二次函数开口向上∴当x=1时，函数值y ＜0, 即17122k k ++-＜0，解得k ＜53-----------------------------2分 ∵关于x 的一元二次方程k 2x 2＋(2k ＋3)x ＋1=0有两个不相等的实数根∴k ≠0且△2=222224234=41294=129b ac k k k k k k =+++--+-（）＞0 ∴k ＞34-且k ≠0 ------------------------------------4分 ∴34-＜k ＜53且k ≠0∴k=1 --------------------------------5分（3）由（2）可知，k=1∴x 2＋2(a ＋1)x ＋2a ＋1=0解得x 1=-1，x 2=-2a -1 ---------------------------------6分根据题意，0＜-2a -1＜3∴122a --＜＜ ∴a 的整数值为-1. -------------------------------7分24（1）AE=BF 且AE ⊥BF. -----------------------------------------------1分 （2）判断：BF=GE. -------------------------------------------------2分 证明：过点A 作AM ∥GE 交BC 于M ∵EG ⊥BF ∴AM ⊥BF∴∠BAM+∠ABF=90°M FBE∵正方形ABCD∴AB=BC ，AD ∥BC ，∠ABC=∠BCD=90° ∴∠CBF+∠ABF=90° ∴∠BAM=∠CBF∴△ABM ≌△BCF∴AM=BF -------------------------------------------------3分 ∵AM ∥GE 且AD ∥BC ∴AM=GE∴BF=GE -------------------------------------------------4分 （3）①：过点B 作BN ∥FG ，且使BN=FG 联结NG 、NE∴四边形NBFG 是平行四边形 ∴BF=NG ，BF ∥NG由（2）可知，BF ⊥GE ，且BF=GE ∴NG ⊥EG 且NG=EG∴△NGE 为等腰直角三角形 由勾股定理得∴当点F 与点D 不重合，点E 与点C 不重合时，N 、B 、E 三点不共线此时，在△BEN 中，NB+BE ＞NE ，即FG+BE-------------------------------5分 当点F 与点D 重合，点E 与点C 重合时，N 、B 、E 三点共线此时， NB+BE=NE ，即----------------------------------------------6分 ②：∵正方形ABCD ∴∠ADC=90°以GF 为直径作⊙P ，则点D 在⊙P 上 ∵∠GHF=90° ∴点H 也在⊙P 上∴∠HGF=∠HDF. ---------------------------------------------7分25. 解：（1）∵抛物线的对称轴x=)3(2)3(22m m a b ---=-=1 且抛物线()()22-43-2-3m m x m x m y ++=的最低点A 的纵坐标是3 ∴抛物线的顶点为A （1，3）FEBE∴0652=+-m m∴m=3或m=2,∵3-m ﹥0， ∴ m=2, -----------------------------1分 ∴直线为b y +=x 2∴抛物线的解析式为：224y x x =-+ --------------------------------2分 直线AB 为:y=2x+1； ----------------------------3分（2）令x=0,则y=1, ）令y=0,则x=21-, ∴B （0,1），C （-21，0） 将直线AB 绕O 点顺时针旋转900，设DE 与BC 交于点F ∴D(1,0),E(0, 21) 090=∠CFD -------------------------4分 ∴OB=OD=1 OC=21, ∴ CD=23 25=CB 2=BD∵DF CB OB CD ⨯=⨯ ∴553=DF ------------------------5分 ∴55=BF ∴ Si n ∠BDE=BD BF =1010 -----------6分 (3) 12(5,1),(3,1)N N - --------8分。
北京市房山区2013年中考二模数学试题(附答案)
房山区2013年初三统一练习(二模)数学考生须 知1.本试卷共6页，共五道大题，25道小题，满分120分，考试时间120分钟。
2.在试卷和答题纸上准确填写学校名称、姓名和准考证号。
3.试题答案一律填涂或书写在答题纸上，在试卷上作答无效。
4.在答题纸上，选择题、作图题用2B 铅笔作答，其他试题用黑色字迹签字笔作答。
5.考试结束，将本试卷、答题纸和草稿纸一并交回。
一、选择题（本题共32分，每小题4分）下面各题均有四个选项，其中只有一个是符合题意的．用铅笔把“机读答题卡”上对应题目答案的相应字母处涂黑．1．-2的倒数为A ．2 B.-2 C.21 D.21- 2．国家统计局22日公布的2012年统计公报显示，我国2012年全年研究与试验发展(R ＆D)经费支出10240亿元，比上年增长17.9％，占国内生产总值的1.97％.将10240用科学记数法表示应为A ．4100240.1⨯B ．5100240.1⨯C ．410240.10⨯D.41010240.0⨯3．在直角坐标系中，点M （1，2）关于y 轴对称的点的坐标为A.（1，-2）B.（2，-1）C. （-1，2）D. （-1，-2）4、如图：⊙A 、⊙B 、⊙C 两两不相交，且半径均为1，则图中三个阴影扇形的面积之和为（ ）A .πB .π21C .π2D .π415.某场射击比赛中，第一小组10人第一轮射击成绩分别为8、9、9、10、7、8、8、9、8、8（单位：环），则这组数据的众数和中位数分别为 A ．8、8B ．8、9C ．7、8D ．9、86.若两圆的半径分别是2和3，圆心距为5，则这两圆的位置关系是 A ．内切 B ．相交 C ．外切 D ．外离7.若一个多边形的内角和等于720，则这个多边形的边数是 A ．5B ．6C ．7D ．8ABC第4题图8.在正方体的表面上画有如图所示的粗线，则其展开后正确的是二、填空题（本大题共16分，每小题4分）：9．图象过点A （-1，2）的反比例函数的解析式为_____________． 10．分解因式：22363a ab b -+= __________． 11．如图，△ABC 中，D 为AB 上一点，且∠ACD=∠B ，若AD=2，BD=52，则AC= ．12．观察下列等式：①23a a +=；②65a a +=；③127a a +=；④209a a+=…；则根据此规律第6个等式为 ，第n 个等式为 ．三、解答题（本大题共30分，每小题5分）：13． 计算：8-2sin ４５°+02π-（）212---（）．14．解不等式组:31422x x x -≥⎧⎨=⎩，并把它的解集在数轴上表示出来.15.已知 210a a --=，求代数式aa aa a a +⋅-+-2111的值．16已知：如图，点C 、D 在线段AB 上，E 、F在AB 同侧，DE 与CF 相交于点O ，且AC =BD ， AE =BF ，A B ∠=∠.求证：DE =CF .17.如图，直线AB 过点A ，且与y 轴交于点B .DCB A第11题图D.C.B.A. B.A.第8题图A C D BE FO 第16题图 xy-33Bo（1）求直线AB 的解析式；（2）若P 是直线AB 上一点，且⊙P 的半径为1，请直接写出⊙P 与坐标轴相切时点P 的坐标；18．据媒体报道，2010年北京市民到郊区旅游总人数约5000万人，2012年市民到郊区旅游总人数增长到约7200万人.求这两年北京市民到郊区旅游总人数的年平均增长率.四、解答题（本大题共20分，每小题5分）： 19.如图，四边形ABCD 中，AB ∥CD ，AB =13，CD =4，点E 在边AB 上，DE ∥BC ．若CB CE =，且3tan =∠B ，求四边形ABCD 的面积.20. 如图，在△ABC 中，∠ABC=∠ACB ，以AC 为直径的⊙O 分别交AB 、BC 于点M 、N ，点P 在AB 的延长线上，且∠CAB=2∠BCP.（1）求证：直线CP 是⊙O 的切线；（2）若BC=25，sin ∠BCP=55，求⊙O 的半径及△ACP的周长. 21. 某学校为了进一步丰富学生的体育活动，欲增购一些体育器材，为此对该校一部分学生进行了一次“你最喜欢的体育活动”的问卷调查（每人只选一项）．根据收集到的数据，绘制成如下统计图（不完整）请根据图中提供的信息，完成下列问题： M NACOP B第20题图 第19题图 ABC D E图1 球类 40% 跳绳 其它 踢毽15% 第21题图1 100 90 80 7060 50 403020 100 球类 跳绳 踢毽 其它 类别30 4080 人数图2 第21题图2（1）在这次问卷调查中，一共抽查了 名学生； （2）请将上面两幅统计图补充完整；（3）在图1中，“踢毽”部分所对应的圆心角为 度；（4）如果全校有1860名学生，请问全校学生中，最喜欢“球类”活动的学生约有多少人？22.如图1，在矩形MNPQ 中，点E ，F ，G ，H 分别在边NP ，PQ ，QM ，MN 上， 当4321∠=∠=∠=∠时，我们称四边形EFGH 为矩形MNPQ 的反射四边形. 已知：矩形ABCD 的四个顶点均为边长为1的正方形网格的格点，请解决下列问题：（1）在图2中，点E ，F 分别在BC ，CD 边上，请作出矩形ABCD 的反射四边形EFGH ，并求出反射四边形EFGH 的周长.（2）在图3中作出矩形ABCD 的所有反射四边形，并判断它们的周长之间的关系.五、解答题（本大题共22分，第23题7分，第24题7分，第25题8分）23.已知二次函数217=22y x kx k ++-．（1）求证：不论k 为任何实数，该函数的图象与x 轴必有两个交点；（2）若该二次函数的图象与x 轴的两个交点在点A （1，0）的两侧，且关于x 的一元二次方程k 2x 2＋(2k ＋3)x ＋1=0有两个不相等的实数根，求k 的整数值； （3）在（2）的条件下，关于x 的另一方程 x 2＋2(a ＋k )x ＋2a －k 2＋6 k －4=0 有大于0且小于3的实数根，求a 的整数值．第22题图2 F D C E A B 第22题图 3D CA B4321E H G FD C A B 第22题图1 M N Q P D CA B备用图24.（1）如图1，正方形ABCD 中，E 、F 分别是BC 、CD 边上的点，且满足BE=CF ，联结AE 、BF 交于点H..请直接写出线段AE 与BF 的数量关系和位置关系； （2）如图2，正方形ABCD 中，E 、F 分别是BC 、CD 边上的点，联结BF ，过点E 作EG ⊥BF 于点H ，交AD 于点G ，试判断线段BF 与GE 的数量关系，并证明你的结论； （3）如图3，在（2）的条件下，联结GF 、HD. 求证：①FG+BE ≥2BF;②∠HGF=∠HDF.25.已知抛物线()()22-43-2-3m m x m x m y ++=的最低点A 的纵坐标是3，直线b mx y +=经过点A ，与y 轴交于点B ，与x 轴交于点C.（1）求抛物线与直线AB 的解析式.（2）将直线AB 绕点O 顺时针旋转90°，与x 轴交于点D ，与y 轴交于点E ，求sin ∠BDE 的值.（3）过B 点作x 轴的平行线BG,点M 在直线BG 上，且到抛物线的对称轴的距离为6，设点N 在直线BG 上，请你直接写出使得∠AMB+∠ANB=450的点N 的坐标.y x3O14-112345-125-2第25题图第24题图 1F B CA DEH 第24题图 2FBC D AGEH第21题图3FBCADGEH初三数学综合练习（二）参考答案及评分标准一、选择题：1.D ；2.A ；3. C ；4. B ；5.A ；6.C ；7.B ；8.D. 二、填空题：9..2y x =- ； 10..23()a b - 11.3 ； 12.1342=+aa ； 122+=++n a n n a . 三、解答题：13.解： 原式=4122222-+⨯- -------------------------------4分 32-= ------------------------------5分14. 解：由不等式413-≥-x ，得≥x -1． -----------------------1分 由不等式22+<x x ，得2<x ． -----------------------2分 ∴ 原不等式组的解集是21<<-x ． -----------------------3分 ∴ 原不等式组的解集在数轴上表示为：-5-4-3-2-143210-------------------------5分15． 解： ∵2111a a a a a a +-∙-+ =1a -11a a +∙-1aa a +（） ------------------1分 =1a -11a - ----------------------------------2分=11a aa a ---（）=21a a-- ------------------------------------------3分∵210a a --=，∴21a a -=． --------------------------------------4分 当21a a -=时,原式=-1 ---------------------------------------5分16．证明：∵ AC =BD ,∴ AD =BC . -----------------------------------------1分 ∵ A B ∠=∠ ，AE =BF ------------------------------------3分 ∴ △ADE ≌△BCF . - -----------------------------------4分 ∴ DE =CF . ------------------------------5分17.解：（1）由图可知：A （-3，-3），B （0,3） ------------1分设直线AB 的解析式为y=kx+b （k ≠0）则333k b b -+=-⎧⎨=⎩，解得23k b =⎧⎨=⎩.∴直线AB 的解析式为y=2x+3. ------------2分 （2）P 1（-2，-1），P 2（-1，1），P 3（1，5）. ------------5分18．解：设这两年北京市民到郊区旅游总人数的年平均增长率为x -------1分 根据题意，得5000（1+x ）=7200 ------------------------2分 解得2.01=x ，2.22-=x -----------------------3分 ∵增长率不能为负，∴只取x =0.2=20% ------------------------4分 答：这两年北京市民到郊区旅游总人数的年平均增长率为20％. ------5分19.解：过点C 作AB CF ⊥于点F . -------1分∵AB ∥CD ，DE ∥BC∴四边形BCDE 为平行四边形 ------------2分 ∴BE=CD∵CD=4 ，∴BE=4. ∵CB CE =，BE CF ⊥∴BF=2 --------------------------------3分 在Rt△BCF 中， 3tan =∠B ，2=BF∴6=CF . ---------------------------------4分∴四边形ABCD 的面积=6)94(21⨯+=39 ----------------------5分20.证明：（1）连接AN ，∵∠ABC=∠ACB ，∴AB=AC ，∵AC 是⊙O 的直径，∴AN ⊥BC ， ∴∠CAN=∠BAN ，BN=CN ， ∵∠CAB=2∠BCP ，∴∠CAN=∠BCP ， ------------------------1分MNACO P B D∵∠CAN ＋∠ACN=90°， ∴∠BCP ＋∠ACN=90°， ∴CP ⊥AC∵OC 是⊙O 的半径∴CP 是⊙O 的切线. ------------------------2分 解：（2）∵∠ANC=90°，sin ∠BCP=55， ∴CN AC =55， ∴AC=5，∴⊙O 的半径为52----------------3分 过点B 作BD ⊥AC 于点D ，由（1）得BN=CN=12BC=5， 在Rt △CAN 中，AN=22AC CN -=25在△CAN 和△CBD 中， ∠ANC=∠BDC=90°，∠ACN=∠BCD ，∴△CAN ∽△CBD ， ∴BC BDAC AN=，∴BD=4. （3）在Rt △BCD 中，CD=22BC BD -=2， ∴AD=AC —CD=5—2=3， ∵BD ∥CP ，∴BD AD CP AC =, BPABDC AD =∴CP=203, 310=BP ---------------------- -----------------4分∴△APC 的周长是AC ＋PC ＋AP=20； -------------------------5分21. 解：(1)200 ………1分(2)图略 ………3分 (3)54 ………4分 (4)744人 ………5分22. 解：（1）如图，∴四边形EFGH 即为所求，且周长为58 ------------------2分（2）如图：GFDCEHA BD CABDCAB指明结果（略） -------------------4分 矩形ABCD 的反射四边形的周长为定值． -------------------5分23.（1）证明：△1=222174421422b ac k k k k ==+----（）222113=113k k k =++-+-（）＞0∴不论k 为任何实数，该函数的图象与x 轴必有两个交点 -------------1分（2）∵二次函数217=22y x kx k ++-的图象与x 轴的两个交点在点（1，0）的两侧， 且二次函数开口向上∴当x=1时，函数值y ＜0, 即17122k k ++-＜0，解得k ＜53-----------------------------2分 ∵关于x 的一元二次方程k 2x 2＋(2k ＋3)x ＋1=0有两个不相等的实数根∴k ≠0且△2=222224234=41294=129b ac k k k k k k =+++--+-（）＞0∴k ＞34-且k ≠0 ------------------------------------4分 ∴34-＜k ＜53且k ≠0 ∴k=1 --------------------------------5分 （3）由（2）可知，k=1∴x 2＋2(a ＋1)x ＋2a ＋1=0解得x 1=-1，x 2=-2a -1 ---------------------------------6分根据题意，0＜-2a -1＜3∴122a --＜＜ ∴a 的整数值为-1. -------------------------------7分24（1）AE=BF 且AE ⊥BF. -----------------------------------------------1分（2）判断：BF=GE. -------------------------------------------------2分 证明：过点A 作AM ∥GE 交BC 于M∵EG ⊥BF∴AM ⊥BF∴∠BAM+∠ABF=90° ∵正方形ABCD∴AB=BC ，AD ∥BC ，∠ABC=∠BCD=90° ∴∠CBF+∠ABF=90° ∴∠BAM=∠CBF∴△ABM ≌△BCF∴AM=BF -------------------------------------------------3分 ∵AM ∥GE 且AD ∥BC ∴AM=GE∴BF=GE -------------------------------------------------4分 （3）①：过点B 作BN ∥FG ，且使BN=FG 联结NG 、NE∴四边形NBFG 是平行四边形∴BF=NG ，BF ∥NG由（2）可知，BF ⊥GE ，且BF=GE∴NG ⊥EG 且NG=EG∴△NGE 为等腰直角三角形 由勾股定理得NE=2NG ∴NE=2BF.当点F 与点D 不重合，点E 与点C 不重合时，N 、B 、E 三点不共线此时，在△BEN 中，NB+BE ＞NE ，即FG+BE ＞2BF. -------------------------------5分 当点F 与点D 重合，点E 与点C 重合时，N 、B 、E 三点共线 此时，NB+BE=NE，即FG+BE=2BF.----------------------------------------------6分②：∵正方形ABCD ∴∠ADC=90°以GF 为直径作⊙P ，则点D 在⊙P 上 ∵∠GHF=90° ∴点H 也在⊙P 上∴∠HGF=∠HDF. ---------------------------------------------7分M F B C DA G E H NF BCA DG EH P FBCADGEH25. 解：（1）∵抛物线的对称轴x=)3(2)3(22m m a b ---=-=1 且抛物线()()22-43-2-3m m x m x m y ++=的最低点A 的纵坐标是3∴抛物线的顶点为A （1，3）∴0652=+-m m∴m=3或m=2,∵3-m ﹥0， ∴ m=2, -----------------------------1分∴直线为b y +=x 2∴抛物线的解析式为：224y x x =-+ --------------------------------2分 直线AB 为:y=2x+1； ----------------------------3分（2）令x=0,则y=1, ）令y=0,则x=21-, ∴B （0,1），C （-21，0） 将直线AB 绕O 点顺时针旋转900，设DE 与BC 交于点F∴D(1,0),E(0, 21) 090=∠CFD -------------------------4分 ∴OB=OD=1 OC=21, ∴ CD=23 25=CB 2=BD∵DF CB OB CD ⨯=⨯∴553=DF ------------------------5分 ∴55=BF ∴ Si n ∠BDE=BD BF =1010 -----------6分 (3) 12(5,1),(3,1)N N - --------8分G F B C E D。
2013年高三数学二模文科试卷(房山区带答案)
2013年高三数学二模文科试卷（房山区带答案）房山区2013年高考第二次模拟试卷数学（文科）本试卷共4页，150分。
考试时间长120分钟。
考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效。
考试结束后，将答题卡交回。
一、选择题：本大题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题列出的四个选项中,选出符合题目要求的一项.1.若﹁p∨q是假命题，则A.p∧q是假命题B.p∨q是假命题C.p是假命题D.﹁q是假命题2.下列四个函数中，既是奇函数又在定义域上单调递增的是A.B.3.为了得到函数的图象，只需把函数的图象上A.所有点向右平移个单位长度B.所有点向下平移个单位长度C.所有点的横坐标缩短到原来的（纵坐标不变）D.所有点的纵坐标缩短到原来的（横坐标不变）4.设平面向量，若//，则等于A.D.5.执行如图所示的程序框图．则输出的所有点A.都在函数的图象上B.都在函数的图象上C.都在函数的图象上D.都在函数的图象上6.已知是不等式组所表示的平面区域内的两个不同的点，则的最大值是A.B.C.D.7.一个几何体的三视图如图所示，则这个几何体的表面积为A．B.C.D.8.定义运算，称为将点映到点的一次变换.若＝把直线上的各点映到这点本身，而把直线上的各点映到这点关于原点对称的点.则的值分别是二、填空题:本大题共6小题,每小题5分,共30分.9.在复平面内，复数对应的点的坐标为.10.已知角A为三角形的一个内角，且，则，.11.数列是公差不为0的等差数列，，且是的等比中项，则数列的通项公式.12.实数满足，则的最大值为.13.抛物线的焦点坐标为，则抛物线的方程为，若点在抛物线上运动，点在直线上运动，则的最小值等于.14.对于三次函数，给出定义：设是函数的导数，是的导数，若方程有实数解，则称点为函数的“拐点”.某同学经过探究发现：任何一个三次函数都有“拐点”；任何一个三次函数都有对称中心，且拐点就是对称中心.若，则该函数的对称中心为，计算. 三、解答题:本大题共6小题,共80分.解答应写出文字说明,演算步骤或证明过程.15.（本小题满分13分）已知函数的最小正周期为，且图象过点.（Ⅰ）求的值；（Ⅱ）设，求函数的单调递增区间.16.（本小题满分14分）如图,是正方形，平面，，.(Ⅰ)求证：平面；(Ⅱ)求证：平面；(Ⅲ)求四面体的体积.17.（本小题满分13分）一个质地均匀的正方体的六个面上分别标有数字，一个质地均匀的正四面体的四个面上分别标有数字．将这个正方体和正四面体同时抛掷一次，正方体正面向上的数字为，正四面体的三个侧面上的数字之和为．（Ⅰ）求事件的概率；（Ⅱ）求事件“点满足”的概率．18.（本小题满分13分）已知函数在处取得极值.（Ⅰ）求的值；（Ⅱ）求函数在上的最小值；（Ⅲ）求证：对任意，都有.19.（本小题满分14分）已知椭圆（）的焦点坐标为，离心率为．直线交椭圆于，两点．（Ⅰ）求椭圆的方程；（Ⅱ）是否存在实数，使得以为直径的圆过点？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由．20.（本小题满分13分）已知数列的前项和为，且，其中．（Ⅰ）求；（Ⅱ）求数列的通项公式；（Ⅲ）设数列满足，为的前项和，试比较与的大小，并说明理由．房山区2013年高考第二次模拟考试参考答案数学（文科）2013.05一、选择题：本大题共8小题,每小题5分,共40分. 1A2D3B4D5C6B7A8B二、填空题:本大题共6小题,每小题5分,共30分.9.10.11.12.13.14.三、解答题:本大题共6小题,共80分.15（本小题满分13分）（Ⅰ）由最小正周期为可知，………………2分由得，又，所以，………………5分（Ⅱ）由（Ⅰ）知所以…………………………………………………………………9分解得……………………………12分所以函数的单调增区间为. …………………………………………………13分16（本小题满分14分）(Ⅰ)证明：因为平面，所以.…………………1分因为是正方形，所以，…………………2分因为…………………3分所以平面.…………………4分(Ⅱ)证明：设，取中点，连结，所以，.…………………5分因为，，所以，…………………6分从而四边形是平行四边形，.………………7分因为平面,平面,…………………8分所以平面，即平面.……………………9分（Ⅲ）解：因为平面所以因为正方形中，,所以平面.…………………11分因为,，所以的面积为，所以四面体的体积.……………14分17（本小题满分13分）（Ⅰ）由题可知的取值为，的取值为基本事件空间：共计24个基本事件……………………3分满足的有共2个基本事件所以事件的概率为……………………7分（Ⅱ）设事件B=“点（a,b）满足”当时，满足当时，满足当时，满足所以满足的有，所以18（本小题满分13分）（Ⅰ）……………1分由已知得即……………2分解得：…………………………3分当时，在处函数取得极小值，所以（Ⅱ），.减增所以函数在递减，在递增.……………………4分当时，在单调递增，. ………………………5分当时，在单调递减，在单调递增，. …………………………6分当时，，在单调递减，…………………………7分综上在上的最小值………………………………………8分（Ⅲ）由（Ⅰ）知，.令得因为所以……………11分所以，对任意，都有………………………………………13分19（本小题满分14分）（Ⅰ）由，，得，，所以椭圆方程是：……………………4分（Ⅱ）设，则，将代入，整理得（*）则………………………7分以PQ为直径的圆过，则，即．………………………………12分解得，此时（*）方程，所以存在，使得以为直径的圆过点．……14分20（本小题满分13分）（Ⅰ）由于，………………2分（Ⅱ）由已知可知，故．因为，所以．………………4分于是，，所以．………………6分（Ⅲ）…………………………………………7分要比较与的大小，只需比较的大小由，得，故．…………………………………………8分从而．因此设，则，故，又，所以．所以对于任意都有，从而．所以．即……………………………………………13分。
2013年高三数学二模文科试卷(房山区带答案)-数学试题
2013年高三数学二模文科试卷（房山区带答案）-数学试题2013年高三数学二模文科试卷（房山区带答案）房山区2013年高考第二次模拟试卷数学（文科）本试卷共4页，150分。
考试时间长120分钟。
考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效。
考试结束后，将答题卡交回。
一、选择题：本大题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题列出的四个选项中,选出符合题目要求的一项.1.若﹁p∨q是假命题，则A. p∨q是假命题B. p∨q是假命题C. p是假命题D. ﹁q是假命题2.下列四个函数中，既是奇函数又在定义域上单调递增的是A.B.3.为了得到函数的图象，只需把函数的图象上A. 所有点向右平移个单位长度B. 所有点向下平移个单位长度C. 所有点的横坐标缩短到原来的（纵坐标不变）D. 所有点的纵坐标缩短到原来的（横坐标不变）4.设平面向量，若// ，则等于A.D.5.执行如图所示的程序框图．则输出的所有点A.都在函数的图象上B.都在函数的图象上C.都在函数的图象上D.都在函数的图象上6.已知是不等式组所表示的平面区域内的两个不同的点，则的最大值是A.B.C.D.7.一个几何体的三视图如图所示，则这个几何体的表面积为A．B.C.D.8.定义运算，称为将点映到点的一次变换.若＝把直线上的各点映到这点本身，而把直线上的各点映到这点关于原点对称的点.则的值分别是二、填空题:本大题共6小题,每小题5分,共30分.9.在复平面内，复数对应的点的坐标为.10.已知角A为三角形的一个内角，且，则，.11.数列是公差不为0的等差数列，，且是的等比中项，则数列的通项公式.12.实数满足，则的最大值为.13.抛物线的焦点坐标为，则抛物线的方程为，若点在抛物线上运动，点在直线上运动，则的最小值等于.14.对于三次函数，给出定义：设是函数的导数，是的导数，若方程有实数解，则称点为函数的“拐点”.某同学经过探究发现：任何一个三次函数都有“拐点”；任何一个三次函数都有对称中心，且拐点就是对称中心.若，则该函数的对称中心为，计算.三、解答题: 本大题共6小题,共80分.解答应写出文字说明, 演算步骤或证明过程.15.（本小题满分13分）已知函数的最小正周期为，且图象过点.（∨）求的值；（∨）设，求函数的单调递增区间.16.（本小题满分14分）如图, 是正方形，平面，，.(∨) 求证：平面；(∨) 求证：平面；(∨) 求四面体的体积.17.（本小题满分13分）一个质地均匀的正方体的六个面上分别标有数字，一个质地均匀的正四面体的四个面上分别标有数字．将这个正方体和正四面体同时抛掷一次，正方体正面向上的数字为，正四面体的三个侧面上的数字之和为．（∨）求事件的概率；（∨）求事件“点满足”的概率．18.（本小题满分13分）已知函数在处取得极值.（∨）求的值；（∨）求函数在上的最小值；（∨）求证：对任意，都有.19.（本小题满分14分）已知椭圆（）的焦点坐标为，离心率为．直线交椭圆于，两点．（∨）求椭圆的方程；（∨）是否存在实数，使得以为直径的圆过点？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由．20.（本小题满分13分）已知数列的前项和为，且，其中．（∨）求；（∨）求数列的通项公式；（∨）设数列满足，为的前项和，试比较与的大小，并说明理由．房山区2013年高考第二次模拟考试参考答案数学（文科）2013.05一、选择题：本大题共8小题,每小题5分,共40分. 1A 2D 3B 4D 5C 6B 7A 8B二、填空题:本大题共6小题,每小题5分,共30分.9. 10. 11.12. 13. 14.三、解答题: 本大题共6小题,共80分.15（本小题满分13分）（∨）由最小正周期为可知，………………2分由得，又，所以，………………5分（∨）由（∨）知所以…………………………………………………………………9分解得……………………………12分所以函数的单调增区间为.…………………………………………………13分16（本小题满分14分）(∨)证明：因为平面，所以. …………………1分因为是正方形，所以，…………………2分因为…………………3分所以平面. …………………4分(∨)证明：设，取中点，连结，所以，. …………………5分因为，，所以，…………………6分从而四边形是平行四边形，. ………………7分因为平面, 平面, …………………8分所以平面，即平面. ……………………9分（∨）解：因为平面所以因为正方形中，,所以平面. …………………11分因为, ，所以的面积为，所以四面体的体积. ……………14分17（本小题满分13分）（∨）由题可知的取值为，的取值为基本事件空间：共计24个基本事件……………………3分满足的有共2个基本事件所以事件的概率为……………………7分（∨）设事件B=“点（a,b）满足”当时，满足当时，满足当时，满足所以满足的有，所以18（本小题满分13分）（∨）……………1分由已知得即……………2分解得：…………………………3分当时，在处函数取得极小值，所以（∨），.减增所以函数在递减，在递增. ……………………4分当时，在单调递增，.………………………5分当时，在单调递减，在单调递增，.…………………………6分当时，，在单调递减，…………………………7分综上在上的最小值………………………………………8分（∨）由（∨）知，.令得因为所以……………11分所以，对任意，都有………………………………………13分19（本小题满分14分）（∨）由，，得，，所以椭圆方程是：……………………4分（∨）设，则，将代入，整理得（*）则………………………7分以PQ为直径的圆过，则，即．………………………………12分解得，此时（*）方程，所以存在，使得以为直径的圆过点．……14分20（本小题满分13分）（∨）由于，………………2分（∨）由已知可知，故．因为，所以．………………4分于是，，所以．………………6分（∨）…………………………………………7分要比较与的大小，只需比较的大小由，得，故．…………………………………………8分从而．因此设，则，故，又，所以．所以对于任意都有，从而．所以．即……………………………………………13分。
2013年北京市房山区高三第二次模拟考试-文科数学-Word版含答案
2013年北京市房山区高三第二次模拟考试-文科数学-Word版含答案房山区2013年高考第二次模拟试卷数 学 （文科）本试卷共4页，150分。
考试时间长120分钟。
考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效。
考试结束后，将答题卡交回。
一、选择题：本大题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题列出的四个选项中,选出符合题目要求的一项.1.若﹁p ∨q 是假命题，则A. p ∧q 是假命题B. p ∨q 是假命题C. p 是假命题D. ﹁q 是假命题 2.下列四个函数中，既是奇函数又在定义域上单调递增的是 A. 1y x =-B.tan y x= C.2y x=-D. 3y x =3.为了得到函数lg 10xy =的图象，只需把函数lg y x =的图象上A. 所有点向右平移1个单位长度B. 所有点向下平移1个单位长度C. 所有点的横坐标缩短到原来的110（纵坐标不变）D. 所有点的纵坐标缩短到原来的110（横坐标不变）4.设平面向量(1,2),(2,)y==-a b，若a//b，则2-a b等于A. 4B. 5C. 35D. 455.执行如图所示的程序框图．则输出的所有点(,)x yA.都在函数1y x=+的图象上B.都在函数2y x=的图象上C.都在函数2xy=的图象上D.都在函数12xy-=的图象上6.已知,M N是不等式组1,1,10,6xyx yx y≥⎧⎪≥⎪⎨-+≥⎪⎪+≤⎩所表示的平面区域内的两个不同的点，则||MN的最大值是3417C. 32D. 172否是开1,2x y==4x≤1,2x x y y =+=结输出19a a ,的等比中项，则数列{}na 的通项公式na = .12.实数,a b 满足25a b +=，则ab 的最大值为 . 13.抛物线2:2C y px =的焦点坐标为1(,0)2F ，则抛物线C的方程为 ，若点P 在抛物线C上运动，点Q 在直线50x y ++=上运动，则PQ 的最小值等于 . 14.对于三次函数32()(0)f x ax bx cx d a =+++≠，给出定义：设'()f x 是函数()y f x =的导数，''()f x 是'()f x 的导数，若方程''()0f x =有实数解0x ，则称点0(,())x f x 为函数()y f x =的“拐点”.某同学经过探究发现：任何一个三次函数都有“拐点”；任何一个三次函数都有对称中心，且拐点就是对称中心.若32111()1326f x x x x =-++，则该函数的对称中心为 ，计算1232012()()()()2013201320132013f f f f ++++= .三、解答题: 本大题共6小题,共80分.解答应写出文字说明, 演算步骤或证明过程.15.（本小题满分13分）已知函数()sin()(00)f x x ωϕωϕ=+><<π,的最小正周期为π，且图象过点1(,)62π.（Ⅰ）求,ωϕ的值； （Ⅱ）设()()()4g x f x f x π=-，求函数()g x 的单调递增区间.16.（本小题满分14分） 如图,ABCD 是正方形，DE ⊥平面ABCD ，DEAF //，22===AF DA DE .(Ⅰ) 求证：AC ⊥平面BDE ； (Ⅱ) 求证：//AC 平面BEF ； (Ⅲ) 求四面体BDEF 的体积.17.（本小题满分13分）一个质地均匀的正方体的六个面上分别标有数字0,1,2,3,4,5，一个质地均匀的正四面体的四个面上分别标有数字1,2,3,4．将这个正方体和正四面体同时抛掷一次，正方体正面向上的数字为a ，正四面体的三个侧面上的数字之和为b ．（Ⅰ）求事件3b a =的概率； （Ⅱ）求事件“点(,)a b 满足22(5)9a b +-≤”的概率．18.（本小题满分13分）FEDCBA已知函数()(2)e xf x ax =-在1x =处取得极值.（Ⅰ）求a 的值；（Ⅱ）求函数()f x 在[],1m m +上的最小值； （Ⅲ）求证：对任意12,[0,2]x x∈，都有12|()()|e f x f x -≤.19.（本小题满分14分）已知椭圆12222=+b y a x （0>>b a ）的焦点坐标为(2，离心率为63．直线2+=kx y 交椭圆于P ，Q 两点．（Ⅰ）求椭圆的方程；（Ⅱ）是否存在实数k ，使得以PQ 为直径的圆过点)0,1(-D ？若存在，求出k 的值；若不存在，请说明理由．20.（本小题满分13分）已知数列{}na 的前n 项和为nS ，且*12()nn nS an a +=∈N ，其中11,0n aa =≠．（Ⅰ）求23,a a ；（Ⅱ）求数列{}na 的通项公式；（Ⅲ）设数列{}nb 满足(21)(21)1n b na--=，nT 为{}nb 的前n 项和，试比较nT 与2log (21)n a房山区2013年高考第二次模拟考试参考答案数 学 （文科） 2013.05一、选择题：本大题共8小题,每小题5分,共40分.1A 2D 3B 4D 5C 6B 7A 8B二、填空题:本大题共6小题,每小题5分,共30分.9. (1,2) 10. 4,73- 11. n12.25813.2922,y x = 14.1(,1),20122三、解答题: 本大题共6小题,共80分.15（本小题满分13分）（Ⅰ）由最小正周期为π可知 22==T πω， ………………2分由1()62f π=得 1sin()32πϕ+=， 又0ϕπ<<，333πππϕπ<+<+ 所以 536ππϕ+=2πϕ=， ………………5分（Ⅱ）由（Ⅰ）知 ()sin(2)cos 22f x x x π=+=所以()cos 2sin[2()]cos 2sin 242g x x x x x ππ=⋅-+=1sin 42x = …………………………………………………………………9分解24222k x k ππππ-≤≤+ 得(Z)2828k k x k ππππ-≤≤+∈ ……………………………12分所以函数()g x 的单调增区间为[,] (Z)2828k k k ππππ-+∈.…………………………………………………13分16（本小题满分14分） (Ⅰ)证明：因为DE ⊥平面ABCD ，所以AC DE ⊥. …………………1分因为ABCD 是正方形，所以BD AC ⊥， …………………2分 因为D BD DE =⋂ …………………3分所以AC ⊥平面BDE . …………………4分 (Ⅱ)证明：设AC BD O =，取BE 中点G ，连结OG FG ,，GOFEDCBA所以，OG //=12DE . …………………5分因为DEAF //，AFDE 2=，所以AF //=OG ， …………………6分从而四边形AFGO是平行四边形，AOFG //. ………………7分 因为FG ⊂平面BEF ,AO ⊄平面BEF , …………………8分所以//AO 平面BEF ，即//AC 平面BEF . ……………………9分 （Ⅲ）解：因为DE ⊥平面ABCD所以 AB DE ⊥ 因为正方形ABCD 中，AB AD ⊥, 所以AB ⊥平面ADEF . …………………11分因为DE AF //,22===AF DA DE ，所以DEF ∆的面积为122ED AD ⨯⨯=， 所以四面体BDEF的体积=⨯=∆AB S DEF 3143. ……………14分17（本小题满分13分）（Ⅰ）由题可知a 的取值为0,1,2,3,4,5，b 的取值为6,7,8,9 基本事件空间：Ω={(0,6),(0,7),(0,8),(0,9),(1,6),(1,7),(1,8),(1,9),(2,6),(2,7),(2,8),}(2,9),(3,6),(3,7),(3,8),(3,9),(4,6),(4,7),(4,8),(4,9),(5,6),(5,7),(5,8),(5,9)共计24个基本事件 ……………………3分满足3b a =的有(2,6),(3,9)共2个基本事件所以事件3b a=的概率为212412= ……………………7分（Ⅱ）设事件B=“点（a,b ）满足22(5)9a b +-≤”当8b =时，0a =满足22(5)9ab +-≤ 当7b =时，0,1,2b =满足22(5)9a b +-≤ 当6b =时，0,1,2b =满足22(5)9a b +-≤所以满足22(5)9a b +-≤的有(0,6),(0,7),(0,8),(1,6),(1,7),(2,6),(2,7)，所以7()24P B =……………………13分18（本小题满分13分） （Ⅰ）'()(2)(2)x x xf x ae ax e ax a e =+-=+- ……………1分由已知得'(1)0f =即(22)0x a e -= ……………2分 解得：1a = …………………………3分当1a =时，在1x =处函数()(2)xf x x e =-取得极小值，所以1a =（Ⅱ）()()2xf x x e =-， ()()'()+21xxxf x e x e x e =-=-.x (,1)-∞ 1(1,)+∞()f x ' - 0 + ()f x减增所以函数()f x 在(),1-∞递减，在()1,+∞递增. ……………………4分当1m ≥时，()f x 在[],1m m +单调递增，min ()()f x f m =me m )2(-=.………………………5分 当01m <<时，11m m <<+()f x 在[],1m 单调递减，在[]1,1m +单调递增，min ()(1)f x f e==-.…………………………6分 当0m ≤时，+11m ≤，()f x 在[],1m m +单调递减，1min()(1)(1).m fx f m m e +=+=-…………………………7分 综上()f x 在[],1m m +上的最小值min 1(2),1,(),01,(1),0.m m m e m f x e m m e m +⎧-≥⎪=-<<⎨⎪-≤⎩………………………………………8分（Ⅲ）由（Ⅰ）知()()2xf x x e =-， ()()'()+21xxxf x e x e x e =-=-.令'()0f x = 得1x = 因为(0)2,(1)e,(2)0f f f =-=-=所以max min ()0,()ef x f x ==- ……………11分所以，对任意12,[0,2]x x ∈，都有12maxmin|()()|()()e f x f x f x f x -≤-=………………………………………13分19（本小题满分14分） （Ⅰ）由63c e a==，2=c ，222c b a+= 得3=a ，1=b ，所以椭圆方程是：1322=+y x (4)分（Ⅱ）设),(11y x P ，),(22y x Q 则211+=kx y，222+=kx y将2+=kx y 代入1322=+y x ，整理得0912)13(22=+++kx x k（*） 则121222129,3131k x x x x k k +=-=++ ………………………7分以PQ 为直径的圆过)0,1(-D ，则PD QD ⊥，即0PD QD ⋅=PD QD ⋅=11221212(1,)(1,)(1)(1)x y x y x x y y +⋅+=+++121212()1x xx x y y =+++++21212(1)(21)()5k x x k x x =+++++2121431k k -+==+． ………………………………12分解得67=k ，此时（*）方程0>∆， 所以 存在67=k ，使得以PQ 为直径的圆过点)0,1(-D ． ……14分20（本小题满分13分） （Ⅰ）由于11211222S a a a a ===，21232222()3S a a a a a +=== ………………2分（Ⅱ）由已知可知112n n n S a a +=，故111211122n n n n n n n a S S a a a a +++++=-=-．因为10n a +≠，所以22n na a +-=*()n ∈N ． ………………4分于是 2112(1)21m a m m -=+-=-，222(1)2ma m m =+-=， 所以 na n =*()n ∈N ． ………………6分（Ⅲ）2log (21)n nT a >+ …………………………………………7分要比较n T 与2log (21)na +的大小，只需比较22,log (21)n nT a +的大小由(21)(21)1n b na --=，得(21)(21)1,nb n --=2221nb nn =-， 故22log 21n nb n =-． …………………………………………8分 从而 1222462log 13521nn n T b b b n ⎛⎫=+++=⋅⋅⋅⋅⎪-⎝⎭．2246222log 13521n n T n ⎛⎫=⋅⋅⋅⋅ ⎪-⎝⎭222462log 13521n n ⎛⎫=⋅⋅⋅⋅ ⎪-⎝⎭因此22log (21)n n T a -+222462log 13521n n ⎛⎫=⋅⋅⋅⋅ ⎪-⎝⎭2log (21)n -+ 22224621log log 1352121n n n ⎛⎫=⋅⋅⋅⋅+ ⎪-+⎝⎭2224621log []1352121n n n ⎛⎫=⋅⋅⋅⋅⋅ ⎪-+⎝⎭． 设224621()1352121n f n n n ⎛⎫=⋅⋅⋅⋅⋅ ⎪-+⎝⎭，则22462221(1)135212123n n f n n n n +⎛⎫+=⋅⋅⋅⋅⋅⋅ ⎪-++⎝⎭，故22(1)2122(22)()2321(23)(21)f n n n n f n n n n n ++++⎛⎫=⋅=⎪++++⎝⎭224841483n n n n ++=>++，又()0f n >，所以(1)()f n f n +>．所以对于任意 *n ∈N 都有4()(1)13f n f ≥=>， 从而222log (21)log ()0nn T a f n -+=>．所以*22log (21)nnTa n >+∈N ，．即2log (21)n n T a >+ ……………………………………………13分。
2013年北京市房山区高三二模数学文科含答案
xy6
最大值是
A. 34 2
B. 17
C. 3 2
17 D. 2
7.一个几何体的三视图如图所示，则这个几何体
的表面积为
A． 9 18 2
B. 18 9 3
3
6 主主主主 主主
3
主主主主 主主
C. 18 3 2 D. 9
主主 主
ac x 8.定义运算 b d y
ax cy
x
bx dy ，称 y
ac x b d y 为将点 x, y 映到点 x , y 的
C. 所有点的横坐标缩短到原来的10 1 （横坐标不变）
D. 所有点的纵坐标缩短到原来的10
y x3 D.
பைடு நூலகம்
4.设平面向量 a (1,2) , b ( 2, y) ，若 a b 2a b 等于
A. 4
// ，则
B. 5
C. 3 5
D. 4 5
5.执行如图所示的程序框图．则输出的所有点 (x, y)
A.都在函数 y x 1的图象上
…………………11分
……………14分
17（本小题满分 13分）
（Ⅰ）由题可知 a 的取值为 0,1, 2,3, 4,5 ， b 的取值为 6, 7,8,9
基本事件空间：
(0, 6), (0, 7), (0,8), (0,9), (1,6), (1,7), (1,8), (1,9), (2, 6), (2, 7), (2,8),
f (x)
-
0
+
f (x)
减
所以函数 f (x) 在
,1 递减，在 1,
递增.
增 ……………………4分
第8页
当 m 1时， f (x) 在 m, m 1 单调递增， fmin (x) f (m) (m 2)e m .
2013房山区高三二模数学(文科)
2013房山区高三二模数学（文科）一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项.1．（5分）若￢p∨q是假命题，则（）A．p∧q是假命题B．p∨q是假命题C．p是假命题D．￢q是假命题2．（5分）下列四个函数中，既是奇函数又在定义域上单调递增的是（）A．y=x﹣1 B．y=tanx C．D．y=x33．（5分）为了得到函数的图象，只需把函数y=lgx的图象上（）A．所有点向右平移1个单位长度B．所有点向下平移1个单位长度C．所有点的横坐标缩短到原来的（纵坐标不变）D．所有点的纵坐标缩短到原来的（横坐标不变）4．（5分）设平面向量=（1，2），=（﹣2，y），若∥，则|2﹣|等于（）A．4 B．5 C．D．5．（5分）执行如图所示的程序框图．则输出的所有点（x，y）（）A．都在函数y=x+1的图象上B．都在函数y=2x的图象上C．都在函数y=2x的图象上D．都在函数y=2x﹣1的图象上6．（5分）已知M，N是不等式组所表示的平面区域内的两个不同的点，则|MN|的最大值是（）A．B．C．D．7．（5分）一个几何体的三视图如图所示，则这个几何体的表面积为（）A． B． C． D．98．（5分）定义运算[][]=[]，称[]=[][]为将点（x，y）映到点（x′，y′）的一次变换．若=[][]把直线y=x上的各点映到这点本身，而把直线y=3x上的各点映到这点关于原点对称的点．则p，q的值分别是（）A．p=3，q=3 B．p=3，q=﹣2 C．p=3，q=1 D．p=1，q=1二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分.9．（5分）在复平面内，复数i（2﹣i）对应的点的坐标为．10．（5分）已知角A为三角形的一个内角，且，则tanA=，tan（A+）=．11．（5分）数列{a n}是公差不为0的等差数列，a1=1，且a3是a1，a9的等比中项，则数列{a n}的通项公式a n=．12．（5分）实数a，b满足2a+b=5，则ab的最大值为．13．（5分）抛物线C：y2=2px的焦点坐标为，则抛物线C的方程为．14．（5分）对于三次函数f（x）=ax3+bx2+cx+d（a≠0），给出定义：设f′（x）是函数y=f（x）的导数，f″（x）是f′（x）的导数，若方程f″（x）=0有实数解x0，则称点（x0，f（x0））为函数y=f（x）的“拐点”．某同学经过探究发现：任何一个三次函数都有“拐点”；任何一个三次函数都有对称中心，且拐点就是对称中心．若，则该函数的对称中心为，计算=．三、解答题：本大题共6小题，共80分.解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程.15．（13分）已知函数f（x）=sin（ωx+φ）（ω＞0，0＜φ＜π）的最小正周期为π，且图象过点．（Ⅰ）求ω，φ的值；（Ⅱ）设，求函数g（x）的单调递增区间．16．（14分）如图，ABCD是正方形，DE⊥平面ABCDAF∥DE，DE=DA=2AF=2．（Ⅰ）求证：AC⊥平面BDE；（Ⅱ）求证：AC∥平面BEF；（Ⅲ）求四面体BDEF的体积．17．（13分）一个质地均匀的正方体的六个面上分别标有数字0，1，2，3，4，5，一个质地均匀的正四面体的四个面上分别标有数字1，2，3，4．将这个正方体和正四面体同时抛掷一次，正方体正面向上的数字为a，正四面体的三个侧面上的数字之和为b．（Ⅰ）求事件b=3a的概率；（Ⅱ）求事件“点（a，b）满足a2+（b﹣5）2≤9”的概率．18．（13分）已知函数f（x）=（ax﹣2）e x在x=1处取得极值．（Ⅰ）求a的值；（Ⅱ）求函数f（x）在[m，m+1]上的最小值；（Ⅲ）求证：对任意x1，x2∈[0，2]，都有|f（x1）﹣f（x2）|≤e．19．（14分）已知椭圆（a＞b＞0）的焦点坐标为，离心率为．直线y=kx+2交椭圆于P，Q两点．（Ⅰ）求椭圆的方程；（Ⅱ）是否存在实数k，使得以PQ为直径的圆过点D（﹣1，0）？若存在，求出k的值；若不存在，请说明理由．20．（13分）已知数列{a n}的前n项和为S n，且，其中a1=1，a n≠0．（Ⅰ）求a2，a3；（Ⅱ）求数列{a n}的通项公式；（Ⅲ）设数列{b n}满足，T n为{b n}的前n项和，试比较T n与的大小，并说明理由．参考答案与试题解析一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项.1．【解答】由于￢p∨q是假命题，则￢p是假命题，q是假命题，所以p是真命题，q是假命题，所以p∧q是假命题，p∨q是真命题，￢q是真命题，故选A．2．【解答】y=x﹣1的图象不过原点，所以y=x﹣1不是奇函数，故排除A；y=tanx在每个区间（kπ﹣，kπ+）（k∈Z）上单调递增，但在定义域内不单调，故排除B；y=﹣在（﹣∞，0），（0，+∞）上单调递增，但在定义域内不单调，故排除C；令f（x）=x3，其定义域为R，且f（﹣x）=（﹣x）3=﹣x3=﹣f（x），所以f（x）为奇函数，又f′（x）=3x2≥0，所以f（x）在R上单调递增，故选D．3．【解答】∵函数y=lg=lgx﹣1，∴把函数y=lgx的图象上所有的点向下平移1个单位长度，可得函数函数y=lg=lgx﹣1的图象，故选B．4．【解答】∵∥，∴﹣2×2﹣y=0，解得y=﹣4．∴=2（1，2）﹣（﹣2，﹣4）=（4，8），∴|2﹣|==．故选D．5．【解答】开始：x=1，y=2，进行循环：输出（1，2），x=2，y=4，输出（2，4），x=3，y=8，输出（3，8），x=4，y=16，输出（4，16），x=5，y=32，因为x=5＞4，∴退出循环，则输出的所有点（1，2），（2，4），（3，8），（4，16）都在函数y=2x的图象上．故选C．6．【解答】作出不等式组表示的平面区域，得到如图的四边形ABCD，其中A（1，1），B（5，1），C（，），D（1，2）∵M、N是区域内的两个不同的点∴运动点M、N，可得当M、N分别与对角线BD的两个端点重合时，距离最远因此|MN|的最大值是|BD|==故选：B7．【解答】三视图复原的几何体是长方体的一个角，如图：直角顶点处的三条棱长：3，，3．其中斜侧面的高为：3．几何体的表面积是：=．故选A．8．【解答】设（1，1）是曲线y=x上的点，在矩阵的作用下的点为（1，1），即，即P+q=1①设（1，3）是曲线y=3x上的点，在矩阵的作用下的点为（﹣1，﹣3），∴，即p+3q=﹣3②．由①②得p=3，q=﹣2故选B．二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分.9．【解答】∵复数i（2﹣i）=1+2i．∴复数i（2﹣i）对应的点的坐标为（1，2）．故答案为（1，2）．10．【解答】已知角A为三角形的一个内角，且，则sinA=，∴tanA==．∴tan（A+）===﹣7，故答案为，﹣7．11．【解答】∵数列{a n}是公差不为0的等差数列，a1=1，且a3是a1，a9的等比中项，设公差为d，则有（1+2d）2=1×（1+8d），解得d=1，故数列{a n}的通项公式a n=1+（n﹣1）×1=n，故答案为n．12．【解答】由2a+b=5，得：b=5﹣2a，所以ab=a（5﹣2a）=﹣2a2+5a=﹣2=．所以ab的最大值为．故答案为：．13．【解答】由题意，=∴p=1，则抛物线C的方程为y2=2x．故答案为：y2=2x．14．【解答】∵，则f′（x）=x2﹣x+，f″（x）=2x﹣1，令f″（x）=2x﹣1=0，求得x=，故函数y=f（x）的“拐点”为（，1）．由于函数的对称中心为（，1），∴f（x）+f（1﹣x）=2，∴=2×1006=2012，故答案为（，1），2012．三、解答题：本大题共6小题，共80分.解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程.15．【解答】（Ⅰ）因为函数f（x）=sin（ωx+φ）（ω＞0，0＜φ＜π）的最小正周期为π，所以T=，ω=2，图象过点．所以，0＜φ＜π，所以φ=．（Ⅱ）因为=sin（2x+）sin（2x﹣）=cos2xsin2x=sin4x，由2kπ，k∈Z得，所以函数的单调增区间为16．【解答】（Ⅰ）证明：因为DE⊥平面ABCD，AC⊂平面ABCD，所以DE⊥AC．…（1分）又因为ABCD是正方形，所以AC⊥BD，…（2分）因为DE∩BD=D…（3分）由线面垂直的判定定理可得：AC⊥平面BDE．…（4分）（Ⅱ）证明：设AC∩BD=O，取BE中点G，连结FG，OG，所以OG∥DE，且OG=DE，因为AF∥DE，DE=2AF，所以AF∥OG，AF=OG，所以，OG∥，且OG=．…（5分）因为AF∥DE，DE=2AF，所以AF=OG，且AF∥OG…（6分）故可得四边形AFGO是平行四边形，所以FG∥AO．…（7分）因为FG⊂平面BEF，AO⊄平面BEF，…（8分）所以AO∥平面BEF，即AC∥平面BEF．…（9分）（Ⅲ）解：因为DE⊥平面ABCD，所以DE⊥AB因为正方形ABCD中，AB⊥AD，所以AB⊥平面ADEF．…（11分）因为AF∥DE，DE=DA=2AF=2，所以△DEF的面积为，所以四面体BDEF的体积==．…（14分）17．【解答】（Ⅰ）由题可知a的取值为0，1，2，3，4，5，b的取值为6，7，8，9基本事件空间：Ω={（0，6），（0，7），（0，8），（0，9），（1，6），（1，7），（1，8），（1，9），（2，6），（2，7），（2，8），（2，9），（3，6），（3，7），（3，8），（3，9），（4，6），（4，7），（4，8），（4，9），（5，6），（5，7），（5，8），（5，9）}共计24个基本事件…（3分）满足b=3a的有（2，6），（3，9）共2个基本事件所以事件b=3a的概率为…（7分）（Ⅱ）设事件B=“点（a，b）满足a2+（b﹣5）2≤9”当b=8时，a=0满足a2+（b﹣5）2≤9当b=7时，a=0，1，2满足a2+（b﹣5）2≤9当b=6时，a=0，1，2满足a2+（b﹣5）2≤9所以满足a2+（b﹣5）2≤9的有（0，6），（0，7），（0，8），（1，6），（1，7），（2，6），（2，7），所以…（13分）18．【解答】（Ⅰ）f′（x）=ae x+（ax﹣2）e x=（ax+a﹣2）e x，由已知得f′（1）=0，即（2a﹣2）e=0，解得：a=1，验证知，当a=1时，在x=1处函数f（x）=（x﹣2）e x取得极小值，所以a=1；（Ⅱ）f（x）=（x﹣2）e x，f′（x）=e x+（x﹣2）e x=（x﹣1）e x．所以函数f（x）在（﹣∞，1）上递减，在（1，+∞）上递增．当m≥1时，f（x）在[m，m+1]上单调递增，f min（x）=f（m）=（m﹣2）e m．当0＜m＜1时，m＜1＜m+1，f（x）在[m，1]上单调递减，在[1，m+1]上单调递增，f min（x）=f（1）=﹣e．当m≤0时，m+1≤1，f（x）在[m，m+1]单调递减，．综上，f（x）在[m，m+1]上的最小值（Ⅲ）由（Ⅰ）知f（x）=（x﹣2）e x，f′（x）=e x+（x﹣2）e x=（x﹣1）e x．令f′（x）=0得x=1，因为f（0）=﹣2，f（1）=﹣e，f（2）=0，所以f max（x）=0，f min（x）=﹣e，所以，对任意x1，x2∈[0，2]，都有|f（x1）﹣f（x2）|≤f max（x）﹣f min（x）=e，19．【解答】（Ⅰ）由，，a2=b2+c2得，，b=1，所以椭圆方程是：；（Ⅱ）设P（x1，y1），Q（x2，y2），则y1=kx1+2，y2=kx2+2，将y=kx+2代入，整理得（3k2+1）x2+12kx+9=0（*），则，以PQ为直径的圆过D（﹣1，0），则，即，所以=（x1+1，y1）•（x2+1，y2）=（x1+1）（x2+1）+y1y2=x1x2+（x1+x2）+y1y2+1=（k2+1）x1x2+（2k+1）（x1+x2）+5=．解得，此时（*）方程△＞0，所以存在，使得以PQ为直径的圆过点D（﹣1，0）．20．【解答】（Ⅰ）∵，其中a1=1，a n≠0．∴，．（Ⅱ）由已知可知，故．∵a n+1≠0，∴a n+2﹣a n=2（n∈N*）．于是数列{a2m﹣1}是以a1=1为首项，2为公差的等差数列，∴a2m﹣1=1+2（m﹣1）=2m﹣1，数列{a2m}是以a2=2为首项，2为公差的等差数列，∴a2m=2+2（m﹣1）=2m，∴a n=n（n∈N*）．（Ⅲ）可知．下面给出证明：要比较T n与的大小，只需比较2T n与log2（2a n+1）的大小．由，得，，故．从而．=因此2T n﹣log2（2a n+1）=﹣log2（2n+1）==．设，则，故=，又f（n）＞0，∴f（n+1）＞f（n）．所以对于任意n∈N*都有，从而2T n﹣log2（2a n+1）=log2f（n）＞0．所以．即．第11页共11 页。
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2014年房山区初三适应性训练参考答案和评分参考数学一、选择题（本题共32分，每小题4分，）下列各题均有四个选项，其中只有一个．．是符合题意的．用铅笔把“机读答题卡”上对应题目答案的相应字母处涂黑．1.A2.D3.C4.B5.B6.A7.D8.D 二、填空题（本题共16分，每小题4分）9.(3)(3)a a a +- 10.1 11.1312.22y x =+, (7,8), (21,2)n n - 三、解答题（本题共30分，每小题5分）13.1+42⨯解：原式 ......................................4分.....................................5分14.解: ()242x x x +=- ..................................1分24x =-2x =- ..................................3分经检验：2x =-是原方程的解∴原方程的解为2x =- ..................................5分15. ∵∠1＝∠2 ∴∠1+∠EAB ＝∠2+∠EAB 即∠BAD =∠CAE 在△ABD 和△ACE 中D E AD AEBAD CAE ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩∴△ABD ≌△ACE(ASA).............................................................5分16. 解：原式=m ²+2m +1-m ²-m +6=m +7 ...............................................................2分∵12=m ，∴m =±1 .................................................................3分当m =1时，原式=8； ..............................................................4分 当m =-1时，原式=6；原式的值为8或6 ...............................................................5分17.解：设北京西到石家庄的快速火车速度约为x 公里/小时， 则北京西到石家庄的轻轨速度约为4x 公里/小时. ..................1分 24280280=-xx ....................................................2分 ∴x =105 ....................................................3分 经检验：x =105是原方程的根且符合题意.....................................4分 ∴4x =420答：北京西到石家庄的快速火车速度约为105公里/小时，北京西到石家庄的轻轨速度约为420公里/小时. ...............................5分18. 解：（1）k =3×1=3 ∴y =x3..........................................1分∴-3m =3, ∴m =-1 ∴B (-1,-3) ........................................................2分∴331a b a b -+=-⎧⎨+=⎩ ∴12a b =⎧⎨=-⎩∴y =x -2 .......................................3分(2)13,22⎛⎫- ⎪⎝⎭，31,22⎛⎫- ⎪⎝⎭.....................................................5分四、解答题（本题共20分，每小题5分） 19.连接BE ，EF BC ⊥，且平分BC BE CE ∴=梯形ABCD 中，AD=BC ，60D C ∴∠=∠=∴△BEC 是等边三角形 ...........................................................3分60BEC ∴∠=BE ∴∥AD ..........................................................4分ADEB ∴为平行四边形 2DE AB ∴==3EF =,60C ∠=EC ∴=2CD ∴=+ ............................................................5分20.(1)500 ...............................................................1分 (2)...............................................................4分(3)300 ...............................................................5分21.解：（1）连接AO ∵30B ∠=0∴060AOC ∠= ..........................................................1分∵AO=CO ∴060OAC ∠= ∴090OAD ∠=P FDHOCA B∴AD 是⊙O 的切线 ...............................................................2分 （2）∵060AOC ∠=,OA=OC∴ ∆AOC 为等边三角形 在Rt ∆AOD 中， ∵060AOC ∠=,AD =∴10AC OC == ∵OH AC ⊥∴OH = ................................................................3分作A 关于OD 的对称点F ,连接EH 交OD 于点P ，根据对称性及两点之间线段最短可知此点P 使PA+PH 的值最小....................................4分 ∴0120FOA ∠= ∴090FOH ∠=∵OH =OF =10∴FH = ..............................................................5分 即PA+PH的最小值为22．（1） C .............................................................2分 （2）∠ABC 的度数为60°，90°，150° ...........................5分 (注：答对1个给1分）五、解答题（本题22分，第23题7分，第24题8分，第25题7分） 23.(1)解：∵ 方程有实数根 ∴0∆≥∴1340k -≥∴134k ≤..........................................................1分 ∵k 为正整数∴k 为1，2，3........................................2分（2）当1k =时，9∆=，方程的两个整数根为6，0当2k =时，5∆=，方程无整数根当3k =时，1∆=，方程的两个整数根为2，1∴3k =,原抛物线的解析式为：232y x x =-+ ..................................4分 ∴平移后的图象的解析式为 23y x x =-...............................................5分 （3）∴b 的取值范围为161b -<< ....................................................7分 24.（1）∵A 点第一次落在DF 上时停止旋转， ∴DA 旋转了045.∴DA 在旋转过程中所扫过的面积为24523602ππ⨯=......................................2分 （2）∵MN ∥AC ，∴45BMN BAC ∠=∠=︒,45BNM BCA ∠=∠=︒. ∴BMN BNM ∠=∠.∴BM BN =. 又∵BA BC =，∴AM CN =.又∵DA DC =,DAM DCN ∠=∠,∴DAM DCN ∆≅∆.∴ADM CDN ∠=∠.∴1(90452ADM ∠=︒-︒)=22.5︒.∴旋转过程中，当MN 和AC 平行时，正方形ABCD 旋转的度数为45︒-22.5︒=22.5︒ ....................................................5分(3)证明：延长BA 交DE 轴于H 点，则045ADE ADM ∠=-∠，000904545CDN ADM ADM ∠=--∠=-∠， ∴ADE CDN ∠=∠.又∵DA DC =，0001809090DAH DCN ∠=-==∠. ∴DAH DCN ∆≅∆. ....................................................6分 ∴,DH DN AH CN ==.又∵045MDE MDN ∠=∠=,DM DM =,∴DMH DMN ∆≅∆. ........................................................7分 ∴MN MH AM AH ==+. ∴MN AM CN =+，∴4p MN BN BM AM CN BN BM AB BC =++=+++=+=. ∴在旋转正方形ABCD 的过程中，p 值无变化............................8分25. （1）等腰 ..........................................1分 （2）存在．如图，作△OCD 与△OAB 关于原点O 中心对称， 则四边形ABCD 为平行四边形．当=OA OB 时，平行四边形ABCD 为矩形 ..................................2分 又∵=AO AB ， ∴△O A B 为等边三角形． 作AE OB ⊥，垂足为E ． ∴=AE ．∴242b b=(b ﹥0)∴b =∴)A，()B ．∴()C，()D ..........................................4分 设过点O C D 、、三点的抛物线2=+y mx nx ，则12=03=-3.m m ⎧⎪⎨⎪⎩，解之，得=1m n ⎧⎪⎨⎪⎩， ∴所求抛物线的表达式为2=y x ..........................................5分 （3）①⊙E 与AD 相切时，..........................................6分 ②⊙E 过点D 时，r =3 ③⊙E 过点A 时，r=综上所述，r=2或3﹤r≤ ..........................................7分。