2014-2015学年高三数学总复习选修2-2教学课件：1章 阶段复习课
[整理]《年高考数学总复习系列》——高中数学选修2-2.
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《2012年高考数学总复习系列》——高中数学选修2-2第一章 导数及其应用无论哪个省市的考题中可以看出，一定会重视对导数的考察，所以同学一定将导数学细学精！ 基础知识【理解去记】 1．极限定义：（1）若数列{un}满足，对任意给定的正数ε，总存在正数m ，当n>m 且n ∈N 时，恒有|un-A|<ε成立（A 为常数），则称A 为数列un 当n 趋向于无穷大时的极限，记为)(lim ),(lim x f x f x x -∞→+∞→，另外)(lim 0x f x x +→=A 表示x 大于x0且趋向于x0时f(x)极限为A ，称右极限。
类似地)(lim 0x f x x -→表示x 小于x0且趋向于x0时f(x)的左极限。
2．极限的四则运算：如果limx x →f(x)=a,limx x →g(x)=b ，那么limx x →[f(x)±g(x)]=a ±b,limx x →[f(x)•g(x)]=ab,limx x →).0()()(≠=b b ax g x f3.连续：如果函数f(x)在x=x0处有定义，且0limx x →f(x)存在，并且limx x →f(x)=f(x0)，则称f(x)在x=x0处连续。
8．****【必会】复合函数求导法：设函数y=f(u),u=ϕ(x)，已知ϕ(x)在x 处可导，f(u)在对应的点u(u=ϕ(x))处可导，则复合函数y=f[ϕ(x)]在点x 处可导，且（f[ϕ(x)])'=)(')](['x x f ϕϕ.9.导数与函数的性质：单调性：（1）若f(x)在区间I 上可导，则f(x)在I 上连续；（2）若对一切x ∈(a,b)有0)('>x f ，则f(x)在(a,b)单调递增；（3）若对一切x ∈(a,b)有0)('<x f ，则f(x)在(a,b)单调递减。
10．极值的必要条件：若函数f(x)在x0处可导，且在x0处取得极值，则.0)('0=x f11.极值的第一充分条件：设f(x)在x0处连续，在x0邻域(x0-δ,x0+δ)内可导，（1）若当x ∈(x-δ,x0)时0)('≤x f ，当x ∈(x0,x0+δ)时0)('≥x f ，则f(x)在x0处取得极小值；（2）若当x ∈(x0-δ，x0)时0)('≥x f ，当x ∈(x0,x0+δ)时0)('≤x f ，则f(x)在x0处取得极大值。
高中数学选修2-2第1章第2节导数的计算课件
f′(x)＝__e_x_______ 1
f′(x)＝___x_ln__a____(a>0 且 a≠1) 1
f′(x)＝__x________
数学 选修2-2
1．指数函数与对数函数的导数公式的记忆
对于公式(logax)′＝
1 xln
a
，(ax)′＝axln
ห้องสมุดไป่ตู้
∴ lim Δx→0
2x＋Δx＋xx－＋2Δx＝2x－x22.
数学 选修2-2
[问题3] F(x)的导数与f(x)，g(x)的导数有何关系？ [提示3] F(x)的导数等于f(x)，g(x)导数和．
[问题 4] [提示 4]
试说明 y＝cos3x－π4如何复合的． 令 u＝g(x)＝3x－π4，y＝f(u)＝cos u，
导数几何意义的应用
已知曲线方程y＝x2，求过点B(3,5)且与曲线相切 的直线方程．
[思路点拨] 解决切线问题的关键是求切点的坐标，要注 意区分是曲线在某点处的切线还是过某点的切线．
设出切点 → 函数求导 → 写出切线方程 → 条件代入 → 解出切点 → 得出答案
数学 选修2-2
设 P(x0，y0)为切点，则切线斜率
数学 选修2-2
已知 f(x)＝x2，g(x)＝2x. [问题 1] f(x)，g(x)的导数分别是什么？ [提示 1] f′(x)＝2x，g′(x)＝－x22.
数学 选修2-2
[问题2] 试求F(x)＝f(x)＋g(x)的导数．
[提示 2] ΔΔxy＝x＋Δx2＋xΔ＋2xΔx－x2＋2x
＝2x＋Δx＋xx－＋2Δx，
数学 选修2-2
第一章
高中数学优质课件精选人教版选修2-2课件章末高效整合1
• (2)利用导数研究函数的单调区间是导数的主 要应用之一，其步骤为：
• ①求导数f′(x)； • ②解不等式f′(x)>0或f′(x)<0； • ③确定并指出函数的单调增区间、减区间．
• 特别要注意写单调区间时，区间之间用“和” 或“，”隔开，绝对不能用“∪”连接．
改变量和函数值的改变量的一致性．
• [说明] (1)函数y＝f(x)在点x0处的导数f′(x0)是 一个常数，而函数y＝f(x)在一个区间上的导数 指的是这个函数在这个区间上每点处的导数构 成的一个函数，它实际上是“导函数”的简称；
• (2)函数y＝f(x)和它的导数y′＝f′(x)具有相同的 定义域，并且y′＝f′(x)在定义域上点x0处的函数 值就是函数y＝f(x)在点x0处的导数值，这样求 函数在点x0处的导数值就可以先求出这个函数 的导数，再求这个导数在点x0处的函数值； • (3)并不是所有的函数在其定义域上每一点处 都有导数，如函数y＝|x|在点0处就没有导数，
• 2．导数的几何意义
• 函数y＝f(x)在点x0处的导数的几何意义，就是 曲线y＝f(x)在点P(x0，f(x0))处的切线的斜率， 即k＝f′(x0)． • 利用导数的几何意义求切线方程的关键是搞 清所给的点是不是切点，常见的类型有两种， 一是求“在某点处的切线方程”，则此点一定 为切点，先求导，再求斜率代入直线方程即可 得；另一类是求“过某点的切线方程”，这种 类型中的点不一定是切点，可先设切点为Q(x1， y1)，则切线方程为y－y1＝f′(x1)(x－x1)，再由切
求曲线 f(x)＝13x3＋x 在点1，43处的切线与坐标轴围
成的三角形面积．
高中数学选修2-2微积分基本定理课件
3 dx
-1 1 + x2
= arctanx
3 -1
= arctan 3 - arctan -1
=
π 3
-
-
π 4
=
7 12
π
新知探究
例2. 计算
3 1
2x
-
1 x2
dx
解: 因为x2来自'=2x,
1 x
'
=
-
1 x2
,
由微积分基本定理得：
3
1
2x
-
1 x2
dx
=
3
2xdx -
课前导入
学习微积分，数学和思维水平都将进入一个新的阶段，能切实地训练学生的辨证思维.毫不夸张地 说，不学或未学懂微积分，思维难以达到较高的水平，难以适应21世纪对高中学生素质的要求. 利用本节学习的微积分基本定理，我们就能轻松解决首页的问题.
课前导入
学习微积分的意义 微积分是研究各种科学的工具，在中学数学中是研究初等函数最有效的工具.恩格斯称之为“17 世纪自然科学的三大发明之一”. 微积分的产生和发展被誉为“近代技术文明产生的关键事件之一，它引入了若干极其成功的、对 以后许多数学的发展起决定性作用的思想.” 微积分的建立，无论是对数学还是对其他科学以至于技术的发展都产生了巨大的影响，充分显示 了数学对于人的认识发展、改造世界的能力的巨大促进作用.
新知探究
变速直线运动
如图，一个作变速直线运动的物体的运动规律是y=y(t).由导数的概念的可知，它在任意时刻t的
速度
v t = y' t .设这个物体在时间段[a,b]内的位移为s，你能分别用y(t),v(t)表示s吗？
2015高中数学选修2-2课件 2-3 数学归纳法(共41张PPT)
第八页，编辑于星期五：十二点 十四分。
2.3
问题导学
数学归纳法
课前预习导学
课堂合作探究
KEQIAN YUXI DAOXUE
KETANG HEZUO TANJIU
当堂检测
1
3
2+1
3
(2)①当 n=2 时,左边=1-4 = 4,右边=2×2 = 4,
∴左边=右边,∴n=2 时等式成立.
+3
2
)
1
A. 2+1
B.2+2
1
1
1
1
+
D.
−
2+1 2+2 2+1 2+2
C.
答案:D
1
1
1
1
1
1
解析:f(n+1)=
+
+…+ +
+
,∴f(n+1)-f(n)=
+2 +3
2
2+1 2+2
2+1
1
1
−
2+2 +1
1
+
1
= 2+1 − 2+2.
第十页，编辑于星期五：十二点 十四分。
4 -1
1
1
1
=
,
2+1
1
则当 n=k+1 时,3 + 15 + 35 + 63+…+
1
2
4 -1
=
2+1
+
2014-2015学年高中数学(人教版选修2-2)配套课件第一章 1.1 1.1.2 导数的概念
栏 目 链 接
∴4 s 时物体的瞬时速度为 2＋6×4＝26.
题型2
利用导数的定义求导数
例2 利用导数的定义解下列各题：
1 (1)求函数 f(x)＝ 在 x＝1 处的导数； x＋1 (2)已知函数 f(x)＝ax2＋2x 在 x＝1 处的导数为 6， 求a 的值．
－Δx 1 1 Δy 解析： (1)因为 Δy＝f(1＋Δx)－f(1)＝ － ＝ ， 所以 Δx 2＋Δx 2 22＋Δx 1 Δy 1 ＝－ ，于是 f(x)在 x＝1 处的导数 f′(1)＝Δ lim ＝－ . x→0 Δx 4 22＋Δx
1 2 2． 已知物体做自由落体运动的方程为 s(t)＝ gt ， 若 Δt→0 时， 2 s1＋Δt－s1 无限趋近于 9.8 m/s，则正确的说法是( Δt A．9.8 m/s 是物体在 0～1 s 这段时间内的速度 B．9.8 m/s 是物体在 1 s～(1＋Δt)s 这段时间内的速度 C．9.8 m/s 是物体在 t＝1 s 这一时刻的速度 D．9.8 m/s 是物体从 1 s～(1＋Δt)s 这段时间内的平均速度
栏 目 链 接
点评：由导数的定义求导数，是求导数的基本方法， 必须严格按以下三个步骤进行： ①求函数的增量 Δy＝f(x0＋Δx)－f(x0)； Δy fx0＋Δx－fx0 ②求平均变化率 ＝ ； Δx Δx Δy ③取极限，得导数 f′(x0)＝Δ lim . x→0 Δx
例：设函数 y＝f(x)＝3x2，则 Δy＝f(1＋Δx)－f(1) Δy Δy 2 6Δ x ＋ 3(Δ x ) 6 ＋ 3Δ x ＝________________， ＝______________，Δ lim x→0 Δx Δx
6 6 ＝______________ ；f′(1)＝______________.
高中数学选修2-2：1.2.1-1.2.2第1课时导数公式课件 (共31张PPT)
[解析] (1)y′＝－5x－6.
(2)y′＝4xln 4.
111
7
(3)∵y＝x 2 ·x 4 ·x 8 ＝x 8 ，
∴y′＝78x
1 8
.
(4)y′＝xln1 3.
(5)∵y＝sinπ2＋x＝cos x， ∴y′＝－sin x.
(6)∵sinπ3为常数，∴y′＝0. (7)∵y＝cos(2π－x)＝cos x， ∴y′＝－sin x.
公式，并能进行简单的应用. 的导数公式.
01 课前 自主梳理 02 课堂 合作探究 03 课后 巩固提升
课时作业
一、常用函数的导数
[自主梳理]
原函数 y＝c y＝x y＝x2 y＝1x
y＝ x
导函数
y′＝0
y′＝1
y′＝_2_x__
y′＝_－__x1_2 _
y′＝2
1 x
二、基本初等函数的导数公式
1 f′(x)＝__x_l_n__a_
1 f′(x)＝__x___
[双基自测]
1．下列结论正确的是( )
A．若 y＝cos x，则 y′＝sin x
B．若 y＝
x，则
y′＝
x 2
C．若 y＝ln 2，则 y′＝12 D．若 y＝3x，则 y′＝3xln 2
解析：A.y′＝－sin x，故 A 不正确；
用公式求函数导数的方法： (1)若所求函数符合导数公式，则直接利用公式求解． (2)对于不能直接利用公式的类型，关键是合理转化函数的关系式为可以直接
应用公式的基本函数的模式，如 y＝x14可以写成 y＝x－4，y＝5 x3可以写成 y
3
＝x 5 等，这样就可以直接使用幂函数的求导公式求导，以免在求导过程中出 现指数或系数的运算失误．
(北师大版)数学选修2-2：第1章《数学归纳法》ppt复习课件(1)
高中数学选修2-2课件1.3.1《函数的单调性与导数》课件
y y=x
y y = x2
y y = x3
y
y1 x
O
x
O
x
O
x
x
O
在某个区间(a,b)内,如果 f (x) 0 ,那么函数 y f (x)在这个区间内单调递增; 如果 f (x) 0 ,那
么函数 y f (x) 在这个区间内单调递减.
如果恒有 f '(x) 0 ，则 f (x) 是常数。
h
h
h
h
O
t
(A)
O
t
(B)
O
t
(C)
O
t
(D)
一般地, 如果一个函数在某一范围内导数 的绝对值较大, 那么函数在这个范围内变化得 快, 这时, 函数的图象就比较“陡峭”(向上 或向下); 反之, 函数的图象就“平缓”一些.
如图,函数 y f (x) 在 (0,b)或 (a,0)内的图 象“陡峭”,在(b,) 或(, a)
练习2
已知函数f(x)=2ax - x3，x (0,1],a 0,
若f(x)在（0，1]上是增函数，求a的取值范围。
[
3 2
,)
例3：方程根的问题
求证：方程 x 1 sin x 0 只有一个根。
2
f ( x ) x - 1 sin x,x ( , ) 2
f '( x ) 1 1 cos x 0 2
在（－ ∞ ，1）上是减 函数，在（1, ＋∞）上 是增函数。
在(－ ∞,＋∞)上是 增函数
(1)函数的单调性也叫函数的增减性； (2)函数的单调性是对某个区间而言的，它是个局部概
念。这个区间是定义域的子集。 (3)单调区间：针对自变量x而言的。
【全程复习方略】2014-2015学年高中数学 第二章 推理与证明 阶段复习课课件 新人教A版选修2-2
即a≥-x2在[1,e]上恒成立,所以a≥-1. (2)当a=1时,f(x)= 1 x2+lnx,x∈[1,e].
2 令F(x)=f(x)- 2 x3= 1 x2+lnx- 2 x3, 3 2 3 2 1 x 1 x 2x 1 2
又F′(x)=x+
阶段复习课 第 二 章
【答案速填】 ①由部分到整体,由个别到一般 ③演绎推理 ⑤综合法 ⑦反证法 ②类比推理 ④由一般到特殊 ⑥执果索因 ⑧数学归纳法
【核心解读】 1.合情推理 (1)归纳推理:由部分到整体、由个别到一般的推理. (2)类比推理:由特殊到特殊的推理. (3)合情推理:归纳推理和类比推理都是根据已有的事实,经过 观察、分析、比较、联想,再进行归纳、类比,然后提出猜想的 推理,我们把它们统称为合情推理.
3 3
此时三个角的正弦值之和为0，且第一个角为α,第二个角与 第一个角的差与第三个角与第二个角的差相等，即有
( 4 2 2 2 ) ( ) ( ) . 3 3 3 3
依此类推，可得当四点等分单位圆时，为四个角正弦值之和
为0，且第一个角为α,第二个角为 2 +α,第三个角
为 2 =π+α,第四个角为π+α+ 2 3 +α,即其关
4 2 系为 sin sin( ) sin sin( 3 ) 0. 2 2 3 答案： sin sin( ) sin sin( ) 0 2 2 2 4 4 2
x1x 2 当0<x1<x2≤ a 时,因为a>0,b>0, b 所以x2-x1>0,0<x1x2< a , a >b, b x1x 2
高中数学选修2-2复习教案1
上周反思：上周教了排列组合及计数原理，难度由低到高，学生掌握也越发吃力，整体效果需加强训练。
学生对于排列组合的各类别处理情况需要重点加强。
整体情况还不错。
选修2-2复习-第5周教学目标：1．重点理解导数，复数相关概念；2．掌握选修2-2的知识点3．利用选修2-2知识解决简单问题教学重点：利用导数研究与函数有关的简单问题，掌握推理证明的证明方法，会计算与复数有关的简单问题。
教学难点：用所学知识点解决常见问题。
授课类型：复习课课时安排：4课时第一章导数及其应用章末小结知识点一导数的概念与几何意义求曲线的切线的方法求曲线的切线分两种情况(1)求点P(x0，y0)处的切线，该点在曲线上，且点是切点，切线斜率k＝y′|x＝x0.(2)求过点P(x1，y1)的切线方程，此点在切线上不一定是切点，需设出切点(x0，y0)，求出切线斜率k＝y′|x＝x0，利用点斜式方程写出切线方程，再根据点在切线上求出切点坐标即可求出切线方程．已知函数y＝x3－x，求函数图象(1)在点(1，0)处的切线方程；(2)过点(1，0)的切线方程．知识点二导数与函数的单调性求函数f(x)的单调区间的方法步骤(1)确定函数f(x)的定义域；(2)计算函数f(x)的导数f′(x)；(3)解不等式f′(x)>0，得到函数f(x)的递增区间；解不等式f′(x)<0，得到函数f(x)的递减区间．提醒：求函数单调区间一定要先确定函数定义域，往往因忽视函数定义域而导致错误．(2014·高考大纲卷)函数f(x)＝ax3＋3x2＋3x(a≠0)．(1)讨论函数f(x)的单调性；(2)若函数f(x)在区间(1，2)是增函数，求a的取值范围．知识点三导数与函数的极值(1)可导函数y＝f(x)在点x0处取得极值的充要条件是f′(x0)＝0，且在x0左侧和右侧f′(x)的符号不同．特别注意，导数为零的点不一定是极值点．(2)若函数y＝f(x)在区间(a，b)内有极值，那么y＝f(x)在(a，b) 内绝不是单调函数，即在某区间上单调函数没有极值．(3)运用导数求可导函数y＝f(x)的极值的步骤：①先求函数的定义域，再求函数y＝f(x)的导数f′(x)；②求方程f′(x)＝0的根；③检查f′(x)在方程根的左右的值的符号，如果左正右负，那么f(x)在这个根处取得极大值，如果左负右正，那么f(x)在这个根处取得极小值．(2014·福建安溪一中、德化一中摸底考)已知函数f(x)＝ln x＋x2＋mx .(1)当m＝－3时，求函数f(x)的极值；(2)若函数f(x) 在定义域内为增函数，求实数m的取值范围．知识点四导数与函数的最值1．求函数f(x)在闭区间[a，b]上的最大值、最小值的方法与步骤(1)求f(x)在(a，b)内的极值．(2)将(1)求得的极值与f(a)，f(b)相比较，其中最大的一个值为最大值，最小的一个值为最小值．2．利用导数求函数的最值时的两个注意点(1)当f(x)在[a，b]上单调时，其最小值、最大值在区间端点取得．(2)当f(x)在(a，b)内只有一个极值点时，若在这一点处f(x)有极大(或极小)值，则可以断定f(x)在该点处取得最大(最小)值，这里(a，b)也可以是(－∞，＋∞)．已知函数f(x)＝x3＋ax2＋b的图象上一点P(1，0)，且在点P处的切线与直线3x＋y ＝0平行．(1)求函数f(x)的解析式；(2)求函数f(x)在区间[0，t](0<t<3)上的最大值和最小值．知识点五 导数在优化问题中的应用(1)利用导数解决生活中优化问题的一般步骤：①分析实际问题中各量之间的关系，构造出实际问题的数学模型，写出实际问题中变量之间的函数关系y ＝f (x )，并根据实际意义确定定义域；②求函数y ＝f (x )的导数f ′(x )，解方程f ′(x )＝0得出定义域内的实根，确定极值点； ③比较函数在区间端点和极值点处的函数值大小，获得所求的最大(小)值； ④还原到实际问题中作答．(2)在实际问题中，如果函数在区间内只有一个极值点，则只需根据实际情况判断是最大值还是最小值即可，不必再与端点的函数值比较．货车欲以x km/h 的速度行驶，去130 km 远的某地，按交通法规，限制x 的允许范围是50≤x ≤100，假设汽油的价格为2元/升，而汽车耗油的速率是⎝ ⎛⎭⎪⎫2＋x 2360升/小时．司机的工资是14元/小时，试问最经济的车速是多少？这次行车往返的总费用最低是多少？知识点六 定积分的计算及简单应用(1)用微积分基本定理求定积分，关键是找出被积函数的原函数，这就需要利用求导运算与求原函数是互逆运算的关系来求原函数．(2)利用定积分求平面图形的面积的步骤如下：①画出图形，确定图形范围；②解方程组求出图形交点坐标，确定积分上、下限；③确定被积函数，注意分清函数图形的上、下位置；④计算定积分，求出平面图形面积．(3)利用定积分求加速度或路程(位移)，要先根据物理知识得出被积函数，再确定时间段，最后用求定积分方法求出结果．(1)若函数f (x )在R 上可导，f (x )＝x 3＋x 2f ′(1)，则2f (x )d x ＝________________；(2)在平面直角坐标系xOy 中，直线y ＝a (a >0)与抛物线y ＝x 2所围成的封闭图形的面积为823，则a ＝________________．第二章 推理与证明章末小结知识点一 合情推理与演绎推理(1)归纳推理的难点是由部分结果得到一般结论，破解的方法是充分考虑这部分结果提供的信息，从中发现一般规律，解题的一般步骤是：①对有限的资料进行观察、分析、归纳整理；②提出带有规律性的结论，即猜想；③检验猜想．(2)类比是从已经掌握了的事物的属性，推测正在研究的事物的属性，是以旧有的认识为基础，类比出新的结果；类比是从一种事物的特殊属性推测另一种事物的特殊属性；类比的结果是猜测性的，不一定可靠，但它却有发现的功能．找出圆与球的相似性质，并用圆的下列性质类比球的有关性质． (1)圆心与弦(非直径)中点的连线垂直于弦． (2)与圆心距离相等的两弦相等． (3)圆的周长c ＝πd (d 为直径)． (4)圆的面积S ＝π4d 2.解析：圆与球具有下列相似性质．1．圆是平面上到一定点的距离等于定长的所有点构成的集合，球面是空间中到一定点的距离等于定长的所有点构成的集合．2．是平面内封闭的曲线所围成的对称图形，球是空间中封闭的曲面所围成的对称图形． 与圆的有关性质相比较，可以推测球的有关性质：由实数构成的集合A 满足条件：若a ∈A ，a ≠1，则11－a ∈A ，证明：(1)若2∈A ，则集合A 必有另外两个元素，并求出这两个元素； (2)非空集合A 中至少有三个不同元素． 分析：从集合中的元素满足的条件“若a ∈A ，则1a －1∈A (a ≠1)”出发；当a ＝2时，依次进行检验，即可得证．证明：(1)∵a ∈A ，a ≠1，则1a －1∈A . ∴2∈A 时，有11－2＝－1∈A .由于－1≠1，有11－（－1）＝12∈A .由于12≠1，有11－12＝2∈A .如此循环可知集合A 中的另外两个元素为12，－1.(2)∵集合A 非空，故存在a ∈A ，a ≠1，有11－a∈A ， ∴11－a ∈A 且11－a≠1， 即a ≠0时，有11－11－a ＝a －1a ∈A ，即如此循环出现三个数a ，11－a ，a －1a ∈A .若a ＝11－a ，则a 2－a ＋1＝0，方程无实根．若＝11－a ＝a －1a ，则a 2－a ＋1＝0，方程无实根．若a ＝a －1a，则a 2－a ＋1＝0，方程无实根． ∴a ，11－a ，a －1a互不相等，故集合A 中至少有三个不同元素．知识点二 综合法与分析法分析法和综合法是对立统一的两种方法，在使用这两种方法解题是，一般步骤是： (1)分析条件和结论之间的联系和区别，选择解题方向．(2)确定恰当的解题方法，若能够结合题设条件，通过相关的公理、定理、公式、结论推得所求结果，则用综合法，若从条件出发，应用相关的公理、定理、公式、结论难以推得所求结果，则可以考虑使用分析法．(3)解题反思，回顾解题过程，对所得结果和解题步骤进行检查，确保解题的严谨性和完备性．设a >0，b >0，a ＋b ＝1，求证：1a ＋1b ＋1ab≥8.证明：方法一 综合法 因为a >0，b >0，a ＋b ＝1，所以1＝a ＋b ≥2ab ，ab ≤12，ab ≤14，所以1ab ≥4，又1a ＋1b ＝(a ＋b )⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ＋1b ＝2＋b a ＋a b ≥4，所以1a ＋1b ＋1ab ≥8(当且仅当a ＝b ＝12时等号成立)．方法二 分析法因为a >0，b >0，a ＋b ＝1，要证1a ＋1b ＋1ab ≥8.只要证⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ＋1b ＋a ＋b ab≥8，只要证⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ＋1b ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1b ＋1a≥8，即证1a ＋1b≥4.也就是证a ＋b a ＋a ＋b b ≥4.即证b a ＋ab≥2， 由基本不等式可知，当a >0，b >0时，b a ＋ab≥2成立， 所以原不等式成立．知识点三 反证法反证法的理论基础是互为逆否命题的等价性，从逻辑角度看，命题“若p ，则q ”的否定是“若p ，则¬q ”，由此进行推理，如果发生矛盾，那么就说明“若p ，则¬q ”为假，从而可以导出“若p ，则q ”为真，从而达到证明的目的．反证法反映了“正难则反”的解题思想．一般以下题型用反证法：①当“结论”的反面比“结论”本身更简单、更具体、更明确；②否定性命题、唯一性命题，存在性命题、“至多”“至少”型命题；③有的肯定形式命题，由于已知或结论涉及无限个元素，用直接证明比较困难，往往用反证法．用反证法证明不等式要把握三点：①必须先否定结论，即肯定结论的反面；②必须从否定结论进行推理，即应把结论的反面作为条件，且必须依据这一条件进行推证；③推导出的矛盾可能多种多样，有的与已知矛盾，有的与假设矛盾，有的与已知事实矛盾等，但是推导出的矛盾必须是明显的．已知直线ax －y ＝1与曲线x 2－2y 2＝1相交于P ，Q 两点，证明：不存在实数a ，使得以PQ 为直径的圆经过坐标原点O .证明：假设存在实数a ，使得以PQ 为直径的圆经过坐标原点O ，则OP ⊥OQ .设P (x 1，y 1)，Q (x 2，y 2)，则y 1x 1·y 2x 2＝－1， 所以(ax 1－1)(ax 2－1)＝－x 1·x 2， 即(1＋a 2)x 1·x 2－a (x 1＋x 2)＋1＝0. 由题意得(1－2a 2)x 2＋4ax －3＝0， 所以x 1＋x 2＝－4a 1－2a 2，x 1·x 2＝－31－2a 2.所以(1＋a 2)·－31－2a 2－a ·－4a 1－2a 2＋1＝0，即a 2＝－2，这是不可能的．所以假设不成立．故不存在实数a ，使得以PQ 为直径的圆经过坐标原点O .知识点三 数学归纳法数学归纳法的两关关注(1)关注点一：用数学归纳法证明等式问题是数学归纳法的常见题型，其关键点在于“先看项”，弄清等式两边的构成规律，等式两边各有多少项，初始n 0是多少．(2)关注点二：由n ＝k 到n ＝k ＋1时，除等式两边变化的项外还要利用n ＝k 时的式子，即利用假设，正确写出归纳证明的步骤，从而使问题得以证明．设数列{a n }满足a n ＋1＝a 2n －na n ＋1，n ∈N *.(1)当a 1＝2时，求a 2，a 3，a 4，并由此猜想出a n 的一个通项公式； (2)当a 1≥2时，证明对所有的n ≥1，有a n ≥n ＋1. 解析：(1)由a 1＝2，得a 2＝a 21－a 1＋1＝3. 由a 2＝3，得a 3＝a 22－2a 2＋1＝4. 由a 3＝4，得a 4＝a 23－3a 3＋1＝5.由此猜想a n 的一个通项公式为a n ＝n ＋1(n ≥1)．(2)证明：①当n ＝1时，∵a n ＝a 1≥2，n ＋1＝1＋1＝2，∴不等式成立． ②假设当n ＝k 时不等式成立，即a k ≥k ＋1.那么当n ＝k ＋1时，a k ＋1＝a k (a k －k )＋1≥(k ＋1)(k ＋1－k )＋1＝k ＋2. 也就是说，当n ＝k ＋1时，a k ＋1>(k ＋1)＋1. 根据①和②，对于所有n ≥1，有a n ≥n ＋1.第三章 复数章末小结知识点一 复数概念的理解与应用(1)正确确定复数的实、虚部是准确理解复数的有关概念(如实数、虚数、纯虚数、相等复数、共轭复数、复数的模)的前提．(2)两复数相等的充要条件是复数问题转化为实数问题的依据． 例1 设z ＝lg(m 2－2m －2)＋(m 2＋3m ＋2)i(m ∈R)，求m 取何值时， (1)z 是纯虚数； (2)z 是实数．解析：(1)由⎩⎪⎨⎪⎧lg （m 2－2m －2）＝0，m 2＋3m ＋2≠0.即⎩⎪⎨⎪⎧m 2－2m －2＝1，m 2＋3m ＋2≠0.解得⎩⎪⎨⎪⎧m ＝3或m ＝－1，m ≠－1且m ≠－2.∴当m ＝3时，z 是纯虚数．(2)由⎩⎪⎨⎪⎧m 2＋3m ＋2＝0，m 2－2m －2>0.得⎩⎨⎧m ＝－1或m ＝－2，m <1－3或m >1＋ 3.∴当m ＝－1或m ＝－2时，z 是实数． 知识点二 复数的四则运算复数代数形式的加、减、乘、除运算是本章的重点，在四则运算时，不要死记结论．对于复数代数形式的加、减、乘运算，要类比多项式的加、减、乘运算进行；对于复数代数形式的除法运算，要类比分式的分母有理化的方法进行．另外，在计算时也要注意下面结论的应用．(1)(a ±b )2＝a 2±2ab ＋b 2； (2)(a ＋b )(a －b )＝a 2－b 2； (3)(1±i)2＝±2i ； (4)1i＝－i ； (5)1＋i 1－i ＝i ，1－i 1＋i ＝－i ； (6)a ＋b i ＝i(b －a i)． 例2 (1)已知z 是纯虚数，z ＋21－i是实数，那么z 等于( )A ．2iB ．iC ．－iD ．－2i(2)已知(1＋2i)z －＝4＋3i ，则z z－的值为( )A.35＋45iB.35－45i C ．－35＋45i D ．－35－45i解析：(1)设纯虚数z ＝b i(b ∈R)，代入z ＋21－i ＝b i ＋21－i ＝（b i ＋2）（1＋i ）（1－i ）（1＋i ）＝（2－b ）＋（b ＋2）i2，由于z 为实数，所以b ＝－2，所以z ＝－2i.(2)因为(1＋2i)z －＝4＋3i ，所以z －＝4＋3i 1＋2i ＝（4＋3i ）（1－2i ）5＝2－i ，所以z ＝2＋i ，所以zz－＝2＋i 2－i ＝（2＋i ）25＝35＋45i.知识点三 复数的几何意义(1)复数的几何意义主要体现在以下三个方面①复数z 与复平面内的点Z 及向量OZ →的一一对应关系； ②复数的加减运算与向量的加减运算的对应关系； ③复数z ＝z 0模的几何意义． (2)复数几何意义的应用①求复数问题转化为解析几何的求点问题； ②复数的加减运算与向量的加减运算的相互转化；③利用|z －z 0|判断复数所对应的点的轨迹及轨迹方程，也可以求|z |的最值． 例3 实数m 取什么值时，复平面内表示复数z ＝2m ＋(4－m 2)i 的点． (1)位于虚轴上； (2)位于一、三象限；(3)位于以原点为圆心，以4为半径的圆上．解析：(1)若复平面内对应点位于虚轴上，则2m ＝0，即m ＝0.(2)若复平面内对应点位于一、三象限，则2m (4－m 2)>0，解得m <－2或0<m <2. (3)若对应点位于以原点为圆心，4为半径的圆上， 则4m 2＋（4－m 2）2＝4即m 4－4m 2＝0，解得m ＝0或m ＝±2.规律方法：复数与复平面上的点是一一对应的，复数与复平面内以原点为起点的向量也是一一对应的，因此复数的加减法的几何意义可以按平面向量的加减法理解，用平行四边形法则或三角形法则解决问题．作业布置：试卷1，2 板书设计：高二数学选修2-2综合复习试题1（理科）一、选择题1．对任意的x，有f′(x)＝4x3，f(1)＝－1，则此函数解析式可以为(C)A．f(x)＝x4 B．f(x)＝x4＋1C．f(x)＝x4－2 D．f(x)＝－x4解析：由f′(x)＝4x3，可设f(x)＝x4＋c(c为常数)，由f(1)＝－1得－1＝1＋c，∴c ＝－2.故选C.2．设函数y＝f(x)在(a，b)上可导，则f(x)在(a，b)上为增函数是f′(x)>0的(A) A．必要不充分条件B．充分不必要条件C．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件解析：y ＝f (x )在(a ，b )上f ′(x )>0⇒y ＝f (x )在(a ，b )上是增函数，反之，y ＝f (x )在(a ，b )上是增函数⇒f ′(x )≥0⇒f ′(x )>0.3．下列函数中，在(0，＋∞)上为增函数的是(C) A ．y ＝sin 2x B ．y ＝x 3－x C ．y ＝xe xD ．y ＝－x ＋ln(1＋x )解析：对于C ，有y ′＝(xe x )′＝e x ＋xe x ＝e x(x ＋1)>0. 4．曲线y ＝13x 3－2在点⎝ ⎛⎭⎪⎫－1，－53处切线的倾斜角为(B) A ．30° B ．45° C ．135° D ．150°解析：∵y ′＝x 2，k ＝tan α＝y ′|x ＝－1＝(－1)2＝1，∴α＝45°.故选B. 5．曲线y ＝e－2x＋1在点(0，2)处的切线与直线y ＝0和y ＝x 围成的三角形面积为(A)A.13B.12C.23 D ．1 解析：y ′＝－2e－2x，y ′|x ＝0＝－2，点(0，2)处的切线方程为y －2＝－2x .令y ＝0得x ＝1.由⎩⎪⎨⎪⎧y －2＝－2x y ＝x 得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝23，y ＝23，∴S ＝12×23×1＝13.6．设函数f (x )的定义域为R ，x 0(x 0≠0)是f (x )的极大值点，以下结论一定正确的是(D) A ．∀x ∈R ，f (x )≤f (x 0) B ．－x 0是f (－x )的极小值点 C ．－x 0是－f (x )的极小值点 D ．－x 0是－f (－x )的极小值点解析：对于A.∀x ∈R ，f (x )≤f (x 0)错误．x 0(x 0≠0)是f (x )的极大值点，并不是最大值点．对于B ，－x 0是f (－x )的极小值点．错误．f (－x )相当于f (x )关于y 轴的对称图象，故－x 0应是f (－x )的极大值点．对于C ，－x 0是－f (x )的极小值点．错误．－f (x )相当于f (x )相当于关于x 轴的对称图象，故 x 0应是－f (x )的极小值点．跟－x 0没有关系．对于D ，－x 0是－f (－x )的极小值点．正确．－f (－x )相当于f (x )先关于y 轴的对称图象，再关于x 轴的对称图象．故D 正确．7．设f ′(x )是函数f (x )的导函数，将y ＝f (x )和y ＝f ′(x )的图象画在同一个直角坐标系中，不可能正确的是(D)8．已知a ≤1－x x ＋ln x 对任意x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，2恒成立，则a 的最大值为(A) A ．0 B ．1 C ．2 D ．3 解析：设 f (x )＝1－xx＋ln x ，则f ′(x )＝－x ＋x －1x 2＋1x ＝x －1x2. 当x ∈⎣⎢⎡⎭⎪⎫12，1时，f ′(x )<0，故函数f (x )在⎣⎢⎡⎭⎪⎫12，1上单调递减；当x ∈(1，2]时，f ′(x )>0，故函数f (x )在(1，2]上单调递增，所以f (x )min ＝f (1)＝0，所以a ≤0，即a 的最大值为0.二、填空题9．计算30(2x －1)d x ＝________________________________________________________________________.解析：由导数的运算法则知当F (x )＝x 2－x 时，F ′(x )＝2x －1，由定积分的定义得30(2x －1)d x ＝F (3)－F (0)＝9－3＝6.答案：611．(2015·江门一模)已知定义在区间(－π，0)上的函数f (x )＝x sin x ＋cos x ，则f (x )的单调递减区间是________．解析：f ′(x )＝sin x ＋x cos x －sin x ＝x cos x ，令f ′(x )<0，得－π2<x <0.所以f (x )的单调递减区间是⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2，0. 答案：⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2，0 12．一物体以初速度v ＝9.8t ＋6.5米/秒的速度自由落下，且下落后第二个4s 内经过的路程是________．解析： 84(9.8t ＋6.5)d t ＝(4.9t 2＋6.5t )|84＝4.9×64＋6.5×8－4.9×16－6.5×4 ＝313.6＋52－78.4－26＝261.2. 答案：261.2米三、解答题13．已知函数f 1(x )＝e|x －a |，f 2(x )＝e bx.(1)若f (x )＝f 1(x )＋f 2(x )－bf 2(－x )，是否存在a ，b ∈R ，使y ＝f (x ) 为偶函数？如果存在，请举例并证明你的结论；如果不存在，请说明理由．(2)若a ＝2，b ＝1.求函数g (x )＝f 1(x )＋f 2(x )在R 上的单调区间．解析：(1)存在a ＝0，b ＝－1使y ＝f (x )为偶函数，证明如下：此时：f (x )＝e |x |＋e －x＋e x，x ∈R ，所以f (－x )＝e|－x |＋e x ＋e －x＝f (x )，所以y ＝f (x )为偶函数．(注：a ＝0，b ＝0也可以)(2)因为g (x )＝e |x －2|＋e x＝⎩⎪⎨⎪⎧e x －2＋e x，x ≥2，e 2－x ＋e x ，x <2，①当x ≥2时，g (x )＝e x －2＋e x，所以g ′(x )＝ex －2＋e x>0，所以y ＝g (x )在[ 2，＋∞)上为增函数． ②当x <2时，g (x )＝e 2－x＋e x，则g ′(x )＝－e2－x＋e x，令g ′(x )＝0得到x ＝1，(i)当x <1时，g ′(x )<0，所以y ＝g (x )在(－∞，1)上为减函数．(ii)当1≤x <2时，g ′(x )>0，所以y ＝g (x )在(1，2)上为增函数． 综上所述：y ＝g (x )的增区间为[ 1，＋∞)，减区间为 (－∞，1)．14．用总长为14.8米的钢条制成一个长方体容器的框架，如果所制的容器的底面的长比宽多0.5米，那么高为多少时容器的容器最大？并求出它的最大容积．解析：设容器底面宽为x m ，则长为(x ＋0.5)m ，高为(3.2－2x )m.由⎩⎪⎨⎪⎧3.2－2x >0，x >0解得0<x <1.6， 设容器的容积为y m 3，则有y ＝x (x ＋0.5)(3.2－2x )＝－2x 3＋2.2x 2＋1.6x ， y ′＝－6x 2＋4.4x ＋1.6，令y ′＝0，即－6x 2＋4.4x ＋1.6＝0， 解得x ＝1，或x ＝－415(舍去)．∵在定义域(0，1.6)内只有一个点x ＝1使y ′＝0，且x ＝1是极大值点， ∴当x ＝1时，y 取得最大值为1.8. 此时容器的高为3.2－2＝1.2 m.因此，容器高为1.2 m 时容器的容积最大，最大容积为1.8 m 3.15．(2015·惠州第三次调研改编)已知函数f (x )＝x 2＋2ax ＋1(a ∈R)，f ′(x )是f (x )的导函数．(1)若x ∈[－2，－1]，不等式f (x )≤f ′(x )恒成立，求a 的取值范围； (2)解关于x 的方程f (x )＝|f ′(x )|.解析：(1)因为f (x )≤f ′(x )，所以x 2－2x ＋1≤2a (1－x )， 又因为－2≤x ≤－1，知1－x >0所以a ≥x 2－2x ＋12（1－x ）在x ∈[－2，－1]时恒成立，因为x 2－2x ＋12（1－x ）＝1－x 2≤32，所以a ≥32.(2)因为f (x )＝|f ′(x )|，所以x 2＋2ax ＋1＝2|x ＋a |，所以(x ＋a )2－2|x ＋a |＋1－a 2＝0，则|x ＋a |＝1＋a 或|x ＋a |＝1－a . ①当a <－1时，|x ＋a |＝1－a ，所以x ＝－1或x ＝1－2a ； ②当－1≤a ≤1时，|x ＋a |＝1－a 或|x ＋a |＝1＋a ， 所以x ＝±1或x ＝1－2a 或x ＝－(1＋2a )；③当a >1时，|x ＋a |＝1＋a ，所以x ＝1或x ＝－(1＋2a )．16．设f (x )＝a (x －5)2＋6ln x ，其中a ∈R，曲线y ＝f (x )在点(1，f (1))处的切线与y 轴相交于点(0，6)．(1)确定a 的值；(2)求函数f (x )的单调区间与极值．解析：(1)因为f (x )＝a (x －5)2＋6ln x ，所以f ′(x )＝2a (x －5)＋6x.令x ＝1，得f (1)＝16a ，f ′(1)＝6－8a .所以曲线y ＝f (x )在点(1，f (1))处的切线方程为：y －16a ＝(6－8a )·(x －1)，由点(0，6)在切线上可得6－16a ＝8a －6，故a ＝12.(2)由(1)知，f (x )＝12(x －5)2＋6ln x ，f ′(x )＝x －5＋6x＝（x －2）（x －3）x.令f ′(x )＝0，解得x 1＝2，x 2＝3.当0<x <2或x >3时，f ′(x )>0，故f (x )在(0，2)和(3，＋∞)上为增函数；当2<x <3时，f ′(x )<0，故f (x )在(2，3)上为减函数．由此可知f (x )在x ＝2处取得极大值f (2)＝92＋6ln 2，在x ＝3处取得极小值f (3)＝2＋6ln 3.高二数学选修2-2综合复习试题2（理科）一． 选择题（每小题5分，共60分）1.若复数ii z -++=12)1(2，则z 的虚部等于[ ] A.1 B.3 C.i D.i 3 2.)(x f 和)(x g 是R 上的两个可导函数，若)('x f =)('x g ，则有[ ] A.)()(x g x f = B.)()(x g x f +是常数函数 C.0)()(==x g x f D.)()(x g x f -是常数函数3.一个物体的运动方程是x t t s +=cos 3（x 为常数），则其速度方程为[ ] A.1sin 3cos 3+-=t t t v B.t t t v sin 3cos 3-= C.t v sin 3-= D.t t t v sin 3cos 3+=4.设复数z 满足i zz=+-11，则|1|z +的值等于[ ] A.0 B.1 C.2 D.25.定积分⎰20cos sin πxdx x 的值等于[ ]A.1B.21 C.41D.0 6.已知b a ,是不相等的正数，2b a x +=，b a y +=，则y x ,的大小关系是[ ]A.y x >B.y x <C.y x 2>D.不确定7.若函数162+=x xy ，则其[ ] A.有极小值3-，极大值3 B.有极小值6-，极大值6 C.仅有极大值6 D.无极值 8.已知复数z 的模等于2，则||i z -的最大值等于[ ]A.1B.2C.5D.3 9.设)(x f '是函数)(x f 的导函数，)(x f y '=的图象如图所示， 则)(x f y =的图象最有可能的是[ ]10.若2)11()11(=+-+-+nn ii i i ，则n 的值可能为[ ] A.4 B.5 C.6 D.711.若函数x x x f 12)(3-=在区间)1,1(+-k k 上不是单调函数，则实数k 的取值范围是[ ]A.3-≤k 或11≤≤-k 或3≥kB.13-<<-k 或31<<kC.22<<-kD.不存在这样的实数k 12.定义复数的一种运算1212||||*2z z z z +=(等式右边为普通运算),若复数z a bi =+,且实数a,b 满足3a b +=,则*z z 最小值为[ ]A.92B.2C.32D.94 二. 填空题（每小题4分，共16分）13.设复数2121,3,1z z z i z i z =+=-=则在复平面内对应的点位于第—————象限. 14.方程049623=-+-x x x 实根的个数为————————.15.已知函数c bx ax x x f +++=23)(，∈x [-2，2]表示的曲线过原点，且在x ＝±1处的切线斜率均为-1，有以下命题：①f （x ）的解析式为：x x x f 4)(3-=，∈x [-2，2]；②f （x ）的极值点有且仅有一个；③f （x ）的最大值与最小值之和等于零.其中正确的命题是——————————.16.仔细观察下面4个数字所表示的图形：请问：数字100所代表的图形中有 方格三. 解答题（共74分）17.设复数ii i z +-++=2)1(3)1(2，若i n mz z +=++12，求实数m ，n 的值.18.若函数x ax x x f 221ln )(2--=存在单调递减区间，求实数a 的取值范围. 19.观察给出的下列各式：（1）110tan 60tan 60tan 20tan 20tan 10tan 0=⋅+⋅+⋅；（2）15tan 70tan 70tan 15tan 15tan 5tan 0=⋅+⋅+⋅.由以上两式成立，你能得到一个什么的推广？证明你的结论. 20.满足ZZ 5+是实数，且Z+3的实部与虚部互为相反数的虚数Z 是否存在？若存在，求出虚数Z ；若不存在，请说明理由. 21.已知函数f(x)=(x 2+23)(x+a)(a ∈R).(1)若函数f(x)的图象上有与x 轴平行的切线，求a 的范围；(2)若'f (-1)=0,(I)求函数f(x)的单调区间；（II ）证明对任意的x 1、x 2∈(-1,0),不等式|f(x 1)-f(x 2)|<165恒成立. 22.已知函数mx x x f +-=)2ln()(在区间)1,0(上是增函数.（1）求实数m 的取值范围；（2）若数列{}n a 满足)()2ln(),1,0(11*+∈+-=∈N n a a a a n n n ，证明：101<<<+n n a a .精美句子1、善思则能“从无字句处读书”。
最新人教版高中数学选修2-2的复习纲要ppt课件
空间几何体 三维空间 面
相应的面积 相应几何体的体积
两平面的二面角 面垂直 面平行 四面体 球
在等差数列与等比数列的类比中： （1）等差数列的“和”类比等比数列的“积”； （2）等差数列的“差”类比等比数列的“商”； （3）等差数列的“积”类比等比数列的“幂”。
例题： 1：观察下列等式：
1＝1 2＋3＋4＝9 3＋4＋5＋6＋7＝25 4＋5＋6＋7＋8＋9＋10＝49
情况做出的判断。
若 b c; 而 a b;
则 a c.
三：直接证明常见的方法： 综合法；分析法；数学归纳法。
四：间接证明的常见方法： 1：反证法：证明原命题的否定是错误。 2：证明原命题的逆否命题是正确。
第三章 数系的扩充和复数的概念
一：复数的概念
i 1：虚数单位 ：满足
i2 1
在 x 的右a 侧附近单调递减，且在
的附近 f最(a大)。
xa
（2）在 x 的左b侧附近， 在 x 的b右侧附近，
f (b) 0.
f；(x) 0 f ；(x) 0
结论：
把 x 叫b 做函数
y 的极f大(x值) 点；
f (b叫)做函数
y 的 极f 大(x值) 。
由函数的极值点的定义可得： （1）函数的极值点一定出现在区间的内部，区间的 端点不可能成为函数的极值点。
的附近 f最(a小)。
xa
（2）在 x 的左a侧附近， 在 x 的右a 侧附近，
f (a) 0.
f；(x) 0 f ；(x) 0
结论： 把 x 叫a 做函数
y 的极f小(x值) 点；
f (a叫)做函数
y 的 极f 小(x值) 。
（1）函数 y 在f (x) 的x左侧b附近单调递增，