基于有限元的结构优化分析方法—拓扑优化

基于有限元的结构优化分析方法—拓扑优化
【摘要】本文针对在机械设计中结构优化与形状优化的不足，阐述了一种利用有限元原理，合理的分配在有限的区域内的材料分布的方法-拓补优化法，为设备的开发与实际的应用提供了更加精准的设计途径与手段，为工程设计提供了参考。

【关键词】有限元;拓补优化;结构分析
1.引言
结构拓扑优化是近20年来从结构优化研究中派生出来的新分支，它在计算结构力学中已经被认为是最富挑战性的一类研究工作。

1904 年Michell在桁架理论中首次提出了拓扑优化的概念。

自1964年Dorn 等人提出基结构法，将数值方法引入拓扑优化领域，拓扑优化研究开始活跃。

20世纪80年代初，程耿东和N.Olhoff在弹性板的最优厚度分布研究中首次将最优拓扑问题转化为尺寸优化问题，他们开创性的工作引起了众多学者的研究兴趣。

1988年Bendsoe和Kikuchi发表的基于均匀化理论的结构拓扑优化设计，开创了连续体结构拓扑优化设计研究的新局面。

1993年Xie.Y.M和Steven.G.P提出了渐进结构优化法。

1999年Bendsoe和Sigmund证实了变密度法物理意义的存在性。

2002年罗鹰等提出三角网格进化法，该方法在优化过程中实现了退化和进化的统一，提高了优化效率
2.拓扑优化工程背景及基本原理
通常的的结构优化按照设计变量的不同分为三个层次：结构尺寸优化，形状优化和拓扑优化。

结构尺寸优化，形状优化在目前已经发展到了很高的水平，但是它们依然存在不能变更结构拓扑的缺陷，在这样的情况下，人们开始研究拓扑。

拓扑结构形式有两种基本的原理：一种是退化原理，另一种是进化原理。

退化原理的基本思想是在优化前将结构所有可能杆单元或所有材料都加上，然后构造适当的优化模型，通过一定的优化方法逐步删减那些不必要的结构元素，直至最终得到一个最优化的拓扑结构形式。

进化原理的基本思想是把适者生存的生物进化论思想引入结构拓扑优化，它通过模拟适者生存、物竞天择、优胜劣汰等自然机理来获得最优的拓扑结构
3.拓扑优化的主要思想
拓朴优化的主要思想是将寻求结构的最优拓朴问题转化为在给定的设计区域内寻求最优的材料分布问题，最终得到最佳的材料分配方案，这种方案在拓朴优化中表现为“最大刚度”设计，即同一结构，不同的材料分布形式，在材料相同的情况下，拓朴优化结果可以使结构整体刚度最大。

正是由于拓朴优化的优越性以及实践操作的可行性，越来越多的工程设计人员开始在结构设计过程中应用拓
朴优化分析来指导结构设计。

图1便是对汽车轮毂进行拓朴优化所得到的不同结构形式，而这几种结构形式在现今的汽车轮毂结构中随处可见。

图1 对汽车轮毂进行拓朴优化所得到的不同结构形式
拓朴优化前处理阶段，关键是定义边界条件及确定结构的优化与非优化区域。

这其中确定结构的非优化区域是最值得推敲的，因为非优化区域的选择直接影响最终优化结果中优化区域的材料分布，如果选择不当，则最终结果可能会是匪夷所思的甚至无法转化为现实的结构，尤其是对于大型复杂的结构来说。

这是因为，拓朴优化的最终目的是确保在一定的边界条件下结构的整体刚度最大，其并不考虑现实中这种结构生产加工的可行性。

所以，如何将最终的优化结果转化为实际的工程结构，便成为工程设计人员较为棘手的问题，而这也确实需要丰富的工程实践经验。

于是，更多的工程师选择结构的局部拓朴优化，以便快速得到切实可行的拓朴优化结构。

图2箱形钢结构中间隔板开孔拓朴优化。

图2 箱形钢结构中间隔板开孔拓朴优化
拓朴优化求解是一个不断循环迭代的过程，FEA模型单元数目的多少，直接决定了最终的求解时间，所以，如果模型过于庞大，求解速度就会变得相当缓慢从而浪费大量的时间。

因而，尽可能地简化FEA模型，也是工程设计人员在拓朴优化前处理时就该着重考虑的问题。

许多空间问题根据结构本身的布局以及约束和承载形式都可以简化为平面问题来处理。

例如图3便是某尾车钢结构简化为二维模型的拓朴优化结果。

图3 尾车钢结构拓朴优化结果
当然，有些空间问题是不能转化为平面问题来解决的，正如上面所述，如果是局部问题的话，那么就可以只选择和优化问题相关的局部来建立FEA模型，从而提高拓朴优化的求解速度。

例如，要分析某门座架钢结构上部大盖板和顶部法兰间连接筋板的位置分布问题（究竟是与下面的隔板位置重合还是有一定的间距），就可以只将上部盖板、顶部法兰、中间立筒以及下面的隔板在FEA模型中建出并设为非优化区域，然后再选择上部盖板和顶部法兰间的区域为优化区域，求解看优化区域材料最终如何分布。

其最终优化结果如图4所示。

图4 底部有无隔板时结构截面材料分布
拓朴优化处理结果出来并转化为现实的结构后，并不意味着分析的最终结束，还应当将已经转化的结构进行FEA建模并分析计算，将计算结果和优化前相比较，以求证结构满足优化的目的。

例如上面提到的尾车钢结构拓朴优化算例，经过比较分析，最终得出如下结论（图5和图6为优化前后结果比较图）：
优化后尾车钢结构的刚度明显优于优化前;
优化后承载梁及底部平台受力相对较为平均（优化前最大综合应力为
202.161MPa，优化后变为168.755MPa），优化后的结构强度明显优于优化前;重量：优化前为36398kg，优化后为34269kg，减重约6%;基频：优化前为0.564Hz，优化后为0.702Hz，提高约24.5%。

图5 优化前后尾车上部承载各点竖直方向位移比较
图6 优化前后尾车钢结构综合应力比较
因此，我们可以看到拓朴优化在工程上应用的优点，它解决了材料在工程上合理分配的问题，将在机械设计中拥有广阔的前景。

参考文献
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