8.1直线与方程
直线与方程知识点归纳
直线与方程知识点归纳直线与方程是高中数学中的一个重要内容，既是代数学又是几何学的一部分。
直线是平面几何的基本概念，而方程是数学中的基本工具。
在直线与方程的学习中，我们需要掌握直线的性质、方程的基本概念及解法，以及直线与方程之间的相互关系。
下面将详细介绍这些知识点。
一、直线的性质1.直线的定义：直线是由一点和一个方向确定的无限延伸的图形。
2.直线的特点：直线上的任意两点都可以确定这条直线；直线上的任意两点可以确定直线上的向量，该向量表示了直线的方向。
3.直线与坐标系：平面直角坐标系中，直线可以用方程来表示，方程形式多样，包括一般式、点斜式、斜截式和截距式等。
4.直线的倾斜性：斜率是刻画直线倾斜程度的重要指标，表示直线上一点到另一点的纵向距离与横向距离之比，不同的斜率代表不同的倾斜情况。
5.直线的截距：截距是直线与坐标轴的交点距离原点的距离，直线与x轴相交的点称为x截距，与y轴相交的点称为y截距。
二、方程的基本概念及解法1.方程的定义：方程是已知数与未知数之间相等关系的陈述，它包含了等号、数和运算符号。
2.方程的分类：方程可分为代数方程和几何方程。
代数方程是指包含有变量的代数式，并且通过变量能满足等号关系；几何方程是指与几何概念有关的方程。
3. 一元一次方程的解法：对于形如ax+b=0的方程，可以利用加法、减法、乘法、除法等基本运算，将未知数从方程中分离出来，从而求得方程的解。
4. 二次方程的解法：对于形如ax^2+bx+c=0的方程，可以利用求根公式和配方法等解法，求得方程的解。
5.系数与根的关系：通过分析方程的系数与方程根之间的关系，可以确定方程的特征，包括判别式和根与系数之间的关系等。
6.方程的实根与虚根：根据判别式的值，可以判断方程的根是实数还是虚数，并进一步获取方程的解集。
7.方程的应用：方程是数学在现实问题中的重要应用工具，在物理、经济、工程等领域中都有广泛的应用。
三、直线与方程的相互关系2.直线方程的求法：通过已知直线上的两个点可以得到直线的斜率，从而得到直线的方程。
直线与方程知识点总结
直线与方程知识点总结一、直线的表示1、比例表达式：对于任意的两个不同的点A(x1,y1)与B(x2,y2)，它们所连成的直线上任意的一点P(x,y)都满足比例关系：$$\frac{y-y_1}{y_2-y_1}=\frac{x-x_1}{x_2-x_1}$$2、斜截式：也叫斜率表达式：对于任意的两个不同的点A(x1,y1)与B(x2,y2)，它们所连成的直线可用如下斜率表达式：$$y-y_1=k(x-x_1)$$其中，k为斜率，可以根据两点A(x1,y1)与B(x2,y2)，计算得出：$$k=\frac{y_2-y_1}{x_2-x_1}$$3、标准方程：直线可以用标准方程表达：$$Ax+By+C=0$$其中，A、B、C可以根据两点A(x1,y1)与B(x2,y2)，计算得出：$$A=y_2-y_1,B=x_1-x_2,C=x_2y_1-x_1y_2$$二、方程的表示1、一元一次方程：一元一次方程可以按如下形式表示：$$Ax+B=0$$其中，A、B为常数，A≠0，解析解可以表示为：$$x=-\frac{B}{A}$$2、一元二次方程：一元二次方程可以按如下形式表示：$$Ax^2+Bx+C=0$$其中，A、B、C为常数，A≠0，解析解可以表示为：$$x=\frac{-B\pm\sqrt{B^2-4AC}}{2A}$$3、二元一次方程：二元一次方程可以按如下形式表示：$$Ax+By+C=0$$其中，A、B、C为常数，解析解可以表示为：$$x=\frac{-B\pm\sqrt{B^2-4AC}}{2A}$$$$y=\frac{-A\pm\sqrt{B^2-4AC}}{2B}$$4、同次及非同次线性方程组：。
高中数学直线与方程课件
突 破 点 一 突 破 点 二 突 破 点 三 课时达标检测
直线与方程 结 束
2．斜率公式 (1)定义式：直线 l 的倾斜角为 α≠π2，则斜率 k＝__ta_n__α_. (2)两点式：P1(x1，y1)，P2(x2，y2)在直线 l 上，且 x1≠x2，
y2－y1 则 l 的斜率 k＝_x_2_－__x_1 .
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(3)已知两直线的一般方程 设直线l1：A1x＋B1y＋C1＝0，l2：A2x＋B2y＋C2＝0，则 l1∥l2⇔A1B2－A2B1＝0且B1C2－B2C1≠0，l1⊥l2⇔A1A2＋B1B2 ＝0.该方法可避免对斜率是否存在进行讨论．
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[例 1] (1)直线 xsin α＋y＋2＝0 的倾斜角的取值范围是( )
A．[0，π) C．0，π4
B．0，π4∪34π，π D．0，π4∪π2，π
[解析] (1)因为直线 xsin α＋y＋2＝0 的斜率 k＝－sin α，又 －1≤sin α≤1，所以－1≤k≤1.设直线 xsin α＋y＋2＝0 的倾斜 角为 θ，所以－1≤tan θ≤1，而 θ∈[0，π)，故倾斜角的取值范
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6. [考点二] (2016·苏北四市一模)已知a，b为正数，且直线ax＋by－6
＝0与直线2x＋(b－3)y＋5＝0平行，则2a＋3b的最小值为_____．
解析：由两直线平行可得，a(b－3)－2b＝0，
即2b＋3a＝ab，2a＋3b＝1.
平面解析几何
怎样避免这种情况发生呢？解决办法是加上“重 合”两字。即，圆的切线是与圆有两个重合交点 的直线。这个定义可以推广到一般圆锥曲线。
6、如何看待解析几何成为教学难点？
在“平面解析几何初步”模块中，学生将在平面 直角坐标系中建立直线和圆的代数方程，运用代 数方法研究它们的几何性质及其相互位置关系， 并了解空间直角坐标系。体会数形结合的思想， 初步形成用代数方法解决几何问题的能力。
在“圆锥曲线与方程”模块中，学生将学习圆锥 曲线与方程，了解圆锥曲线与二次方程的关系， 掌握圆锥曲线的基本几何性质，感受圆锥曲线在 刻画现实世界和解决实际问题中的作用。结合已 学过的曲线及其方程的实例，了解曲线与方程的 对应关系，进一步体会数形结合的思想。
以二次曲线为例。二次曲线的方程之所以复杂， 是由于坐标系的任意选取所产生的。如果选取适 当的坐标系，那么曲线方程就可以大为简化，这 也就是通常所说的标准方程。我们就是通过标准 方程来研究相应曲线的性质的。
4、如何理解圆锥曲线的统一性
圆锥曲线是解析几何的核心内容，是解析几何基 本思想和基本方法的具体运用。高中学习三种圆 锥曲线是单独展开的，对它们统一性的揭示不够 充分。理解圆锥曲线的统一性至少有三个角度： 统一的来源、统一的定义、统一的方程。
◎统一的来源(圆锥截线的观点)
设圆锥面母线、截平面与轴线的夹角分别为α,θ
☆截面不过圆锥顶点(非退化圆锥曲线)
θ=π/2时，曲线是圆； α<θ<π/2时，曲线是椭圆； θ=α时，曲线是抛物线； 0≤θ<α时，曲线是双曲线． 上述曲线离心率均为cosθ/cosα
高考数学一轮复习 热点难点精讲精析 8.1直线与方程
2014年高考一轮复习热点难点精讲精析：8.1直线与方程一、直线的倾斜角与斜率 （一）直线的倾斜角 ※相关链接※2．已知斜率k 的范围，求倾斜角α的范围时，若k 为正数，则α的范围为(0,)2π的子集，且k=tan α为增函数；若k 为负数，则α的范围为(,)2ππ的子集，且k=tan α为增函数。
若k 的范围有正有负，则可所范围按大于等于0或小于0分为两部分，针对每一部分再根据斜率的增减性求倾斜角范围。
※例题解析※〖例〗已知直线的斜率k=-cos α(α∈R).求直线的倾斜角β的取值范围。
思路解析：cos α的范围→斜率k 的范围→tan β的范围→倾斜角β的取值范围。
解答：1cos 1,1cos 1.11,1tan 1,30,443[0,],.44k ααβππββπππβπ-≤≤∴-≤-≤-≤≤∴-≤≤∴≤≤≤≤⎡⎫∴⎪⎢⎣⎭即或倾斜角的范围为 （二）直线的斜率及应用 ※相关链接※ 1、斜率公式：2121y y k x x -=-与两点顺序无关，即两点的横纵坐标在公式中前后次序相同；2、求斜率的一般方法：（1）已知直线上两点，根据斜率公式 212121()y y k x x x x -=≠-求斜率；（2）已知直线的倾斜角α或α的某种三角函数根据tan k α=来求斜率； 3、利用斜率证明三点共线的方法：已知112233(,),(,),(,),A x y B x y C x y 若123AB AC x x x k k ===或，则有A 、B 、C 三点共线。
注：斜率变化分成两段，090是分界线，遇到斜率要谨记，存在与否需讨论。
※例题解析※〖例〗设,,a b c 是互不相等的三个实数，如果333(,)(,)(,)A a a B b b C c c 、、在同一直线上，求证：0a b c ++=思路解析：若三点共线，则由任两点所确定的直线斜率相等或都不存在。
解答：332233222222,,,.,()()0.,0.AB AC AB AC a b c A a b a ab b a b a c a ac c a cA B C a ac c a ac c b c a b c b c a b c ∴-==++--==++-∴=++=++-++=≠∴++=互不相等，过、B 、C 任两点的直线的斜率均存在。
(完整版)直线与方程知识点总结
直线与方程知识点总结一、直线基本知识 1、直线的倾斜角与斜率 （1）直线的倾斜角① 关于倾斜角的概念要抓住三点：ⅰ.与x 轴相交; ⅱ.x 轴正向; ⅲ.直线向上方向. ② 直线与x 轴平行或重合时,规定它的倾斜角为00. ③ 倾斜角α的范围000180α≤<.④ 0,900≥︒≤︒k α； 0,18090 k ︒︒α （2）直线的斜率①直线的斜率就是直线倾斜角的正切值，而倾斜角为090的直线斜率不存在。
②经过两点),(),,(222111y x P y x P （21x x ≠）的直线的斜率公式是1212x x y y k --=（21x x ≠） ③每条直线都有倾斜角，但并不是每条直线都有斜率。
2、两条直线平行与垂直的判定 （1）两条直线平行对于两条不重合的直线12,l l ，其斜率分别为12,k k ，则有1212//l l k k ⇔=。
特别地，当直线12,l l 的斜率都不存在时，12l l 与的关系为平行。
（2）两条直线垂直如果两条直线12,l l 斜率存在，设为12,k k ，则12121l l k k ⊥⇔=-注：两条直线12,l l 垂直的充要条件是斜率之积为-1，这句话不正确；由两直线的斜率之积为-1，可以得出两直线垂直，反过来，两直线垂直，斜率之积不一定为-1。
如果12,l l 中有一条直线的斜率不存在，另一条直线的斜率为0时，12l l 与互相垂直。
二、直线的方程 1、直线方程的几种形式注：过两点),(),,(222111y x P y x P 的直线是否一定可用两点式方程表示？（不一定。
（1）若2121y y x x ≠=且，直线垂直于x 轴，方程为1x x =；（2）若2121y y x x =≠且，直线垂直于y 轴，方程为1y y =； （3）（3）若2121y y x x ≠≠且，直线方程可用两点式表示） 2、线段的中点坐标公式若两点),(),,(222111y x P y x P ，且线段21,P P的中点M 的坐标为),(y x ，则⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+=+=222121y y y x x x 3. 过定点的直线系①斜率为k 且过定点),(00y x 的直线系方程为)(00x x k y y -=-；②过两条直线0:1111=++C y B x A l , 0:2222=++C y B x A l 的交点的直线系方程为0)(222111=+++++C y B x A C y B x A λ（λ为参数），其中直线l 2不在直线系中.三、直线的交点坐标与距离公式 1.两条直线的交点设两条直线的方程是0:1111=++C y B x A l , 0:2222=++C y B x A l 两条直线的交点坐标就是方程组⎩⎨⎧=++=++00222111C y B x A C y B x A 的解，若方程组有唯一解，则这两条直线相交，此解就是交点的坐标；若方程组无解，则两条直线无公共点，此时两条直线平行；反之，亦成立。
直线与方程(课堂PPT)
【例3】求下列直线l的方程.
(2)过点A(2,1),它的倾斜角是直线l1：3x+4y+10=0的
倾斜角的一半。
解(2)设直线l和l1的倾斜角分别为α、β，则有α= 又tanβ=- 3 ,∴tanβ=tan2α= 2tan α =- 3 ,
β
2
解∵得π t＜aβnα＜=4π3或,∴tanπ α＜=α 31=.β
12
举一反三
3. 设直线l的方程为（a+1）x+y+2-a=0(a∈R). (1)若l在两坐标轴上截距相等，求l的方程；
（2）若l不经过第二象限，求实数a的取值范围.
解析： (1)当直线过原点时，该直线在x轴和y轴上 的截距为零，当然相等，∴a=2,方程即为3x+y=0； 当直线不过原点时，∵截距存在且均不为0， ∴ a 2 =a-2,即a+1=1,
并指出倾斜角 α 的取值范围．
[解] 当 m＝1 时，直线的斜率不存在，此时直线的 倾斜角为 α＝90°.
当 m≠1 时，由斜率公式可得 k＝m3－－21＝m－1 1.
① 当 m＞1 时，k＝m－1 1＞0，所以直线的倾斜角的
取值范围是 0°＜α＜90°.
② 当 m＜1 时，k＝m－1 1＜0，所以直线的倾斜角的
11
举一反三
2．已知直线l在x轴上的截距比在y轴上的截距大1， 且过点(6，－2)，求直线l的方程． 解：设直线l在y轴上的截距为b，则其在x轴上的 截距为b＋1，设其方程为b＋x 1＋by＝1. 由于直线l过点(6，－2)， 所以b＋6 1＋－b2＝1，b＝1或b＝2. 所以直线l的方程为x＋2y－2＝0或2x＋3y－6＝0.
1. 直线xcosθ+y-1=0(θ∈R)的倾斜角的取值范围是 . 解析: 设倾斜角为α,则k=tanα=-cosθ.
高一数学必修：直线与方程(知识点)
α0°。
则直线的l 与x l 做直线的倾斜角。
当直线轴平行或重合时，我们规定它的倾斜角为倾斜角的取值2.确定一条直线的条件：直线上的一点和这个直线的倾斜角可以惟一确定一条直线。
3.确定平面直角坐标系中一条直线位置的几何要素是：直线上的一个定点以及它的倾斜角。
4.坡度（倾斜程度）：日常生活中，我们用“升高量与前进量的比”表示倾斜面的“坡度”（倾斜程度），即α的正切值叫做这条直线的斜率5.斜率：一条直线的倾斜角，我们用斜率表示直线的倾斜程度。
斜率常用表示，小写字母k注意：倾斜角是90°的直线没有斜率。
的直线的斜率公式(,),(,)6.经过两点≠P x y P x y x x 11122212()为l 1与l 2l l 1k 1=k 2l 1和l 2注意：若直线可能重合时，我们得到⇔∥2或重合8.如果两条直线都有斜率，且它们互相垂直，那么它们的斜率之积等于-1；反之，如果它们的斜率之积等于1⊥2⇔12=--1，那么它们互相垂直，即l l k k 15二、直线的方程（个）-0==0,l l 与x l 的倾斜角为0°时，tan0°=0，即k=0y -y 0=k (x -x 01.直线的点斜式方程（简称点斜式）：)【当直线，这是直线轴平行或重合，的方程就是y y y y 或0】注意：直线的点斜式方程仅适用于有斜率的情形，所以在求直线的方程时，应先讨论直线有无斜率。
0,y l x a l 与x 截距：我们把直线轴交点,0()的横坐标a 叫做直线在轴上的截距。
我们把直线与轴交点b () l 在y 的纵坐标b 叫做直线轴上的截距。
注意：截距不是距离，截距是数。
2.直线的斜截式方程（简称斜截式）：=+y kx b 注意：直线的斜截式方程仅适用于有斜率的直线。
注意：①直线的两点式方程不适用于没有斜率或斜率为0的直线。
一、直线的倾斜角与斜率1.倾斜角：当直线l 与x 轴相交时，我们取x 轴作为基准，x 轴正向与直线l 向上方向之间所成的夹角α叫高一数学必修：直线与方程（知识点）②若P x y P x y ,,,111222()()中有=x x 12或=y y 12时，直线PP 12没有两点式方程。
直线与方程 PPT课件 (20份) 人教课标版4
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61、在清醒中孤独，总好过于在喧嚣人群中寂寞。
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62、心里的感觉总会是这样，你越期待的会越行越远，你越在乎的对你的伤害越大。
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10、评价一个人对你的好坏，有钱的看他愿不愿对你花时间，没钱的愿不愿意为你花钱。
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11、明天是世上增值最快的一块土地，因它充满了希望。
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12、得意时应善待他人，因为你失意时会需要他们。
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13、人生最大的错误是不断担心会犯错。
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14、忍别人所不能忍的痛，吃别人所不能吃的苦，是为了收获别人得不到的收获。
反之，一般式能否化为其他几种特殊形式，要看 A，B，C 是否为零．
栏
(1)当 B＝0 时，x＝－CA表示与 y 轴平行(C≠0)或重合(C＝0)的直
目 链 接
线；
(2)当 B≠0 时，y＝－ABx－CB表示斜率为－AB，在 y 轴上的截距为
－CB的直线(常用于求斜率)；
(3)当 A＝0 时，y＝－CB表示与 x 轴平行(C≠0)或重合(C＝
跟踪 训练
解法二：(1)由题意，设所求直线方程为 3x＋4y＋c＝0，
将点 A(2,2)代入得 c＝－14，则所求直线方程为 3x＋4y
栏
－14＝0.
目 链
接
(2)由题意，设所求直线方程为 4x－3y＋c＝0，
将点 A(2,2)代入，得 c＝－2，则所求直线的方程为 4x
－3y－2＝0.
题型三 含参数的直线问题
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42、自信人生二百年，会当水击三千里。
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43、要纠正别人之前，先反省自己有没有犯错。
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44、仁慈是一种聋子能听到、哑巴能了解的语言。
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45、不可能！只存在于蠢人的字典里。
直线与方程知识点总结
直线与方程知识点总结直线是我们在数学学习中经常接触到的一个概念，而直线的方程则是描述直线位置的重要工具。
在本文中，我们将对直线与方程的相关知识点进行总结，希望能够帮助大家更好地理解和掌握这一部分内容。
首先，我们来看一下直线的一般方程。
一般来说，直线的一般方程可以写作Ax + By + C = 0，其中A、B、C为常数，且A和B不同时为0。
这个方程描述了平面上所有满足这个关系的点的集合，也就是直线的位置。
在实际应用中，我们可以通过这个方程来描述各种各样的直线，从而解决各种问题。
其次，我们需要了解直线的斜率和截距。
直线的斜率是描述直线倾斜程度的一个重要参数，通常用k来表示。
斜率的计算公式为k = (y2 y1) / (x2 x1)，其中(x1, y1)和(x2, y2)是直线上的两个点。
而直线的截距则是直线与坐标轴的交点坐标，分别记为x轴截距和y轴截距。
通过斜率和截距，我们可以更直观地理解直线的性质和特点。
另外，我们还需要掌握直线的点斜式和斜截式方程。
点斜式方程是描述直线的一种常用形式，它的形式为y y1 = k(x x1)，其中(x1, y1)是直线上的一个点，k是直线的斜率。
而斜截式方程则是另一种描述直线的形式，它的形式为y = kx + b，其中k是直线的斜率，b是直线与y轴的交点坐标。
这两种方程形式在不同情况下都有其独特的应用，我们需要根据具体问题选择合适的形式来描述直线。
最后，我们需要了解直线的平行和垂直关系。
两条直线平行的条件是它们的斜率相等，而两条直线垂直的条件是它们的斜率的乘积为-1。
通过这些条件，我们可以判断两条直线之间的相对位置关系，从而解决各种与直线相关的问题。
总的来说，直线与方程是数学中的重要知识点，它们在几何、代数、应用问题等方面都有着广泛的应用。
通过对直线的斜率、截距、方程形式以及相对位置关系的理解，我们可以更好地理解和运用直线的相关知识，解决各种实际问题。
希望本文的知识点总结能够帮助大家更好地掌握这一部分内容，提高数学学习的效果。
一轮复习课时训练§8.1：直线与方程
第八章§1：直线与方程(与一轮复习课件对应的课时训练)满分100，训练时间40钟一、选择题：本大题共5小题，每小题8分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．过点A(4，a)和点B(5，b)的直线与直线y ＝x ＋m 平行，则|AB|的值为A ．6B ． 2C ．2D ．不能确定2．已知等差数列{a n }中，a 2＝2，S 4＝10，则过点P(3，a 3)，Q(4，a 4)的直线的方程为A ．y ＝x ＋3B ．y ＝－x ＋4C ．y ＝xD ．y ＝－x3．下列四个命题中属真命题的是A ．经过定点P 0(x 0，y 0)的直线都可以用方程y －y 0＝k(x －x 0)表示B ．经过任意两个不同点P 1(x 1，y 1)、P 2(x 2，y 2)的直线都可以用方程 (y －y1)(x 2－x 1)＝(x －x 1)(y 2－y 1)表示C ．不经过原点的直线都可以用方程x a ＋y b＝1表示 D ．经过定点A(0，b)的直线都可以用方程y ＝kx ＋b 表示4．已知两直线的方程分别为l 1：x ＋ay ＋b ＝0，l 2：x ＋cy ＋d ＝0，它们在坐标系中的关系如图所示，则A ．b>0，d<0，a<cB ．b>0，d<0，a>cC ．b<0，d>0，a>cD ．b<0，d>0，a<c5．若直线l 与直线y ＝1，x ＝7分别交于点P ，Q ，且线段PQ 的中点坐标为(1，－1)，则直线l 的斜率为A ．13B ．－13C ．－32D ．23二、填空题：本大题共3小题，每小题8分，共24分．6．P(－1,3)在直线l 上的射影为Q(1，－1)，则直线l 的方程为________________．7．若点A(1,2)，B(a,0)，C(0，b)(a>0，b>0)共线，则a ＋b 的最小值为______．8．若直线l经过点P(a－2，－1)和Q(－a－2,1)且与斜率为3的直线垂直，则直线l的方程为____________．三、解答题：本大题共2小题，共36分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．9．（本小题满分18分，（1）小问8分，（2）小问10分）△ABC的三个顶点为A(－3,0)，B(2,1)，C(－2,3)，求：(1)BC所在直线的方程；(2)BC边上中线AD所在直线的方程．10．（本小题满分18分，（1）小问8分，（2）小问10分）已知三点A(5，－1)、B(1,1)、C(2，m)，分别求满足下列条件的m值．(1)若三点构成直角三角形ABC；(2)若A、B、C三点共线．参考答案及其解析一、选择题：本大题共5小题，每小题8分，共40分.1．解析：由题意得k AB ＝b －a 5－4＝1， 即b －a ＝1，所以|AB|＝(5－4)2＋(b －a )2＝ 2.答案：B2．解析：设{a n }的公差为d ，则a 1＋d ＝2,4a 1＋6d ＝10，∴a 1＝d ＝1，∴a 3＝3，a 4＝4，则P(3,3)，Q(4,4)，则PQ 直线为y ＝x.答案：C3．解析：由直线方程各种形式的使用范围知A 、C 、D 三项错误；而实质上方程 (y －y 1)(x 2－x 1)＝(x －x 1)(y 2－y 1)是过点P 1(x 1，y 1)、P 2(x 2，y 2)的直线的一般式方程．答案：B4．解析：由题中图象可知－1a >－1c >0，－b a<0， －d c>0，从而c<a<0，b<0，d>0. 答案：C5．解析：由直线l 与直线y ＝1，x ＝7分别交于点P ，Q ，可设P(x 1，1)，Q(7，y 1)，再由线段PQ 的中点坐标为(1，－1)，可得x 1＝－5，y 1＝－3.即直线l 上有两点P(－5,1)，Q(7，－3)，代入斜率公式可解得直线l 的斜率为k ＝1＋3－5－7＝－13.故选B 项． 答案：B 二、填空题：本大题共3小题，每小题8分，共24分．6．解析：由题意可知，直线l 的斜率k ＝－－1－13＋1＝12，则所求直线方程为 y －(－1)＝12(x －1)，即x －2y －3＝0. 答案：x －2y －3＝07．解析：由三点共线得－b a ＝21－a ，∴1a ＋2b ＝1，a ＋b ＝(a ＋b)(1a ＋2b )＝3＋b a ＋2a b≥3＋2 2.当且仅当a ＝1＋2，b ＝2＋2时取等号．答案：3＋2 28．解析：由已知直线l 的斜率为k l ＝1－(－1)(－a －2)－(a －2)＝－1a ＝－13，∴a ＝3. ∴点P(1，－1)，Q(－5,1)，∴l 的直线方程为y ＋1＝－13(x －1)，即x ＋3y ＋2＝0. 答案：x ＋3y ＋2＝0三、解答题：本大题共2小题，共36分．9.（本小题满分18分，（1）小问8分，（2）小问10分）解：(1)因为直线BC 经过B(2,1)和C(－2,3)两点，由两点式得BC 的方程为y －13－1＝x －2－2－2， 即x ＋2y －4＝0.(2)设BC 中点D 的坐标为(x ，y)，则x ＝2－22＝0，y ＝1＋32＝2. BC 边的中线AD 过点A(－3,0)，D(0,2)两点，由截距式得AD 所在直线方程为x －3＋y 2＝1，即2x －3y ＋6＝0. 10.（本小题满分18分，（1）小问8分，（2）小问10分）解：(1)若角A 为直角，则AC ⊥AB ，∴k AC ·k AB ＝－1，即m ＋12－5·1＋11－5＝－1，得m ＝－7； 若角B 为直角，则AB ⊥BC ，∴k AB ·k BC ＝－1，即－12·m －12－1＝－1，得m ＝3； 若角C 为直角，则AC ⊥BC ，∴k AC ·k BC ＝－1，即m ＋1－3·m －12－1＝－1，得m ＝±2， 综上可知，m ＝－7，或m ＝3，或m ＝±2.(2)方法一：∵A(5，－1)，B(1,1)，C(2，m)，∴k AB ＝－1－15－1＝－12，k AC ＝－1－m 5－2＝－1＋m 3，由k AB ＝k AC ，得－12＝－1＋m 3，即m ＝12. ∴当m ＝12时，三点A 、B 、C 共线． 方法二：∵A(5，－1)，B(1,1)，C(2，m)，∴AB →＝(－4,2)，AC →＝(－3，m ＋1)，由AB →＝λAC →，得⎩⎪⎨⎪⎧－4＝－3λ2＝λ(m ＋1)，得λ＝43，m ＝12， ∴当m ＝12时，三点A 、B 、C 共线． 法三：∵A(5，－1)，B(1,1)，C(2，m)，∴|AB|＝25，|BC|＝m 2－2m ＋2，|AC|＝m 2＋2m ＋10.结合图形，由|BC|＋|AC|＝|AB|， 即m 2－2m ＋2＋m 2＋2m ＋10＝25，m 2＋2m ＋10＝－m 2－2m ＋2＋25，两边平方，得5·m 2－2m ＋2＝3－m ，两边平方，得4m 2－4m ＋1＝0，∴m ＝12，经验证m ＝12符合题意， 故m ＝12时，三点A 、B 、C 共线． 法四：点A(5，－1)与B(1,1)确定的直线方程为x ＋2y －3＝0，将C(2，m)的坐标代入得m ＝12， 故m ＝12时，三点A 、B 、C 共线．。
(完整版)直线与方程知识点及公式
直线方程知识点及公式1.直线的倾斜角与斜率：在平面直角坐标系中，对于一条与x 轴相交的直线，如果把x 轴绕着交点按逆时针方向旋转到和直线重合时所转的最小正角记为，那么就叫做直线的倾斜角.当直线和x 轴平行或重合时，我们规定直线的αα倾斜角为0°.倾斜角的取值范围是0°≤＜180°.倾斜角不是90°的直线，它的倾斜角的正切叫做这α条直线的斜率，常用k 表示.倾斜角是90°的直线没有斜率.即tan k α=※2.斜率公式：经过两点的直线的斜率公式：),(),,(222111y x P y x P )(211212x x x x y y k ≠--=※3. 直线的点斜式方程：.直线的斜率时，直线方程为；当直线的斜率不存在时，不能用点斜式)(11x x k y y -=-0=k 1y y =k 求它的方程，这时的直线方程为.1x x =※4．直线的斜截式方程：.只有当时，斜截式方程才是一次函数的表达式.b kx y +=0≠k ※※5.直线方程的一般式：（）x 0A By C ++=220A B +≠6. 直线方程的两点式：.（，）121121x x x x y y y y --=--21x x ≠21y y ≠7．直线方程的截距式：. ,表示截距，它们可以是正，也可以是负.1=+by a x a b 8．斜率存在时两直线的平行：=且.21//l l ⇔1k 2k 21b b ≠9．斜率存在时两直线的垂直： ．⇔⊥21l l 121-=k k 10．特殊情况下的两直线平行与垂直:当两条直线中有一条直线没有斜率时：(1)当另一条直线的斜率也不存在时，两直线的倾斜角都为90°，互相平行；(2)一条直线的斜率不存在时，即倾斜角为90°，另一条直线的倾斜角为0°，两直线互相垂直．11.直线到的角的定义及公式：1l 2l 两条直线和相交构成四个角,它们是两对对顶角,我们把直线按逆时针方向旋转到与重合时所转的1l 2l 1l 2l 角,叫做到的角.到的角：0°＜＜1８0°， 如果1l 2l 1l 2l θθ,012121=+即k k k k 如果， 0121≠+k k 12121tan k k k k +-=θ12．直线与的夹角定义及公式: 到的角是, 到的角是π-,两角中的锐角或直角叫两条1l 2l 1l 2l 1θ2l 1l 1θ直线的夹角.显然当直线⊥时,直线与的夹角是.夹角的取值范围：0°＜≤90°.1l 2l 1l 2l 2πα计算方法：如果如果， .2,1,012121πα=-==+则即k k k k 0121≠+k k 12121tan k k k k +-=α13. 两点间距离公式：12PP =14．点到直线距离公式：点到直线的距离为：),(00y x P 0:=++C By Ax l 2200B A CBy Ax d +++=15. 两平行直线间距离公式：2212-B A C C d +=。
专题8.1 直线与方程-2020届高考数学一轮复习学霸提分秘籍(解析版)
第八篇 平面解析几何 专题8.01 直线与方程【考试要求】1.在平面直角坐标系中，结合具体图形，确定直线位置的几何要素；2.理解直线的倾斜角和斜率的概念，掌握过两点的直线斜率的计算公式；3.掌握确定直线位置的几何要素，掌握直线方程的几种形式(点斜式、两点式及一般式)，了解斜截式与一次函数的关系. 【知识梳理】 1.直线的倾斜角(1)定义：当直线l 与x 轴相交时，我们取x 轴作为基准，x 轴正向与直线l 向上方向之间所成的角α叫做直线l 的倾斜角；(2)规定：当直线l 与x 轴平行或重合时，规定它的倾斜角为0； (3)范围：直线的倾斜角α的取值范围是[0，π). 2.直线的斜率(1)定义：当直线l 的倾斜角α≠π2时，其倾斜角α的正切值tan α叫做这条直线的斜率，斜率通常用小写字母k 表示，即k ＝tan α；(2)斜率公式：经过两点P 1(x 1，y 1)，P 2(x 2，y 2)(x 1≠x 2)的直线的斜率公式为k ＝y 2－y 1x 2－x 1.3.直线方程的五种形式【微点提醒】1.直线的斜率k 和倾斜角α之间的函数关系：2.求直线方程时要注意判断直线斜率是否存在；每条直线都有倾斜角，但不一定每条直线都存在斜率.3.截距为一个实数，既可以为正数，也可以为负数，还可以为0，这是解题时容易忽略的一点. 【疑误辨析】1.判断下列结论正误(在括号内打“√”或“×”) (1)直线的倾斜角越大，其斜率就越大.( ) (2)直线的斜率为tan α，则其倾斜角为α.( ) (3)斜率相等的两直线的倾斜角不一定相等.( )(4)经过任意两个不同的点P 1(x 1，y 1)，P 2(x 2，y 2)的直线都可以用方程(y －y 1)(x 2－x 1)＝(x －x 1)(y 2－y 1)表示.( )【答案】 (1)× (2)× (3)× (4)√ 【解析】(1)当直线的倾斜角α1＝135°，α2＝45°时，α1＞α2，但其对应斜率k 1＝－1，k 2＝1，k 1＜k 2. (2)当直线斜率为tan(－45°)时，其倾斜角为135°. (3)两直线的斜率相等，则其倾斜角一定相等. 【教材衍化】2.(必修2P89B5改编)若过两点A (－m ，6)，B (1，3m )的直线的斜率为12，则直线的方程为________. 【答案】 12x －y －18＝0【解析】 由题意得3m －61＋m ＝12，解得m ＝－2，∴A (2，6)，∴直线AB 的方程为y －6＝12(x －2)，整理得12x －y －18＝0.3.(必修2P100A9改编)过点P (2，3)且在两坐标轴上截距相等的直线方程为________. 【答案】 3x －2y ＝0或x ＋y －5＝0【解析】 当纵、横截距均为0时，直线方程为3x －2y ＝0；当纵、横截距均不为0时，设直线方程为x a ＋y a ＝1，则2a ＋3a ＝1，解得a ＝5.所以直线方程为x ＋y －5＝0.【真题体验】4.(2019·济南调研)直线x －y ＋1＝0的倾斜角为( ) A.30° B.45°C.120°D.150°【答案】 B【解析】 由题得，直线y ＝x ＋1的斜率为1，设其倾斜角为α，则tan α＝1，又0°≤α＜180°，故α＝45°. 5.(2019·广东七校联考)若过点P (1－a ，1＋a )和Q (3，2a )的直线的倾斜角为钝角，则实数a 的取值范围是( ) A.(－2，1) B.(－1，2)C.(－∞，0)D.(－∞，－2)∪(1，＋∞)【答案】 A【解析】 由题意知2a －1－a 3－1＋a <0，即a －12＋a<0，解得－2<a <1.6.(2018·兰州模拟)已知直线l 过点P (1，3)，且与x 轴、y 轴的正半轴所围成的三角形的面积等于6，则直线l 的方程是( ) A.3x ＋y －6＝0 B.x ＋3y －10＝0 C.3x －y ＝0D.x －3y ＋8＝0【答案】 A【解析】 设直线l 的方程为x a ＋yb ＝1(a >0，b >0).由题意得⎩⎨⎧1a ＋3b ＝1，12ab ＝6，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝2，b ＝6.故直线l 的方程为x 2＋y6＝1，即3x ＋y －6＝0.【考点聚焦】考点一 直线的倾斜角与斜率【例1】 (1)直线2x cos α－y －3＝0⎝⎛⎭⎫α∈⎣⎡⎦⎤π6，π3的倾斜角的取值范围是( ) A.⎣⎡⎦⎤π6，π3 B.⎣⎡⎦⎤π4，π3 C.⎣⎡⎦⎤π4，π2D.⎣⎡⎦⎤π4，2π3(2)(一题多解)(经典母题)直线l 过点P (1，0)，且与以A (2，1)，B (0，3)为端点的线段有公共点，则直线l 斜率的取值范围为________.【答案】 (1)B (2)(－∞，－3]∪[1，＋∞)【解析】 (1)直线2x cos α－y －3＝0的斜率k ＝2cos α， 因为α∈⎣⎡⎦⎤π6，π3，所以12≤cos α≤32， 因此k ＝2cos α∈[1，3].设直线的倾斜角为θ，则有tan θ∈[1，3]. 又θ∈[0，π)，所以θ∈⎣⎡⎦⎤π4，π3， 即倾斜角的取值范围是⎣⎡⎦⎤π4，π3.(2)法一 设PA 与PB 的倾斜角分别为α，β，直线PA 的斜率是k AP ＝1，直线PB 的斜率是k BP ＝－3，当直线l 由PA 变化到与y 轴平行的位置PC 时，它的倾斜角由α增至90°，斜率的取值范围为[1，＋∞).当直线l 由PC 变化到PB 的位置时，它的倾斜角由90°增至β，斜率的变化范围是(－∞，－3]. 故斜率的取值范围是(－∞，－3]∪[1，＋∞). 法二 设直线l 的斜率为k ，则直线l 的方程为 y ＝k (x －1)，即kx －y －k ＝0.∵A ，B 两点在直线l 的两侧或其中一点在直线l 上， ∴(2k －1－k )(－3－k )≤0，即(k －1)(k ＋3)≥0，解得k ≥1或k ≤－ 3.即直线l 的斜率k 的取值范围是(－∞，－3]∪[1，＋∞).【迁移探究1】 若将例1(2)中P (1，0)改为P (－1，0)，其他条件不变，求直线l 斜率的取值范围. 【答案】见解析【解析】设直线l 的斜率为k ，则直线l 的方程为 y ＝k (x ＋1)，即kx －y ＋k ＝0.∵A ，B 两点在直线l 的两侧或其中一点在直线l 上， ∴(2k －1＋k )(－3＋k )≤0， 即(3k －1)(k －3)≤0，解得13≤k ≤ 3.即直线l 的斜率的取值范围是⎣⎡⎦⎤13，3. 【迁移探究2】 若将例1(2)中的B 点坐标改为B (2，－1)，其他条件不变，求直线l 倾斜角的取值范围. 【答案】见解析【解析】由例1(2)知直线l 的方程kx －y －k ＝0， ∵A ，B 两点在直线l 的两侧或其中一点在直线l 上， ∴(2k －1－k )(2k ＋1－k )≤0， 即(k －1)(k ＋1)≤0，解得－1≤k ≤1.即直线l 倾斜角的取值范围是⎣⎡⎦⎤0，π4∪⎣⎡⎭⎫3π4，π. 【规律方法】 1.由直线倾斜角的取值范围求斜率的取值范围或由斜率的取值范围求直线倾斜角的取值范围时，常借助正切函数y ＝tan x 在[0，π)上的单调性求解，这里特别要注意，正切函数在[0，π)上并不是单调的.2.过一定点作直线与已知线段相交，求直线斜率范围时，应注意倾斜角为π2时，直线斜率不存在.【训练1】 若直线l ：y ＝kx －3与直线2x ＋3y －6＝0的交点位于第一象限，则直线l 的倾斜角的取值范围是( )A.⎣⎡⎭⎫π6，π3B.⎝⎛⎭⎫π6，π2 C.⎝⎛⎭⎫π3，π2D.⎣⎡⎦⎤π3，π2【答案】 B【解析】 直线y ＝kx －3恒过点(0，－3)，可作两直线的图象，如图所示，从图中可以看出，直线l 的倾斜角的取值范围为⎝⎛⎭⎫π6，π2.考点二 直线方程的求法【例2】 求适合下列条件的直线方程：(1)经过点P (4，1)，且在两坐标轴上的截距相等；(2)经过点A (－1，－3)，倾斜角等于直线y ＝3x 的倾斜角的2倍； (3)经过点B (3，4)，且与两坐标轴围成一个等腰直角三角形. 【答案】见解析【解析】(1)设直线l 在x ，y 轴上的截距均为a ， 若a ＝0，即l 过点(0，0)和(4，1)， 所以l 的方程为y ＝14x ，即x －4y ＝0.若a ≠0，则设l 的方程为x a ＋ya ＝1，因为l 过点(4，1)，所以4a ＋1a ＝1，所以a ＝5，所以l 的方程为x ＋y －5＝0.综上可知，直线l 的方程为x －4y ＝0或x ＋y －5＝0.(2)由已知设直线y ＝3x 的倾斜角为α，则所求直线的倾斜角为2α. 因为tan α＝3，所以tan 2α＝2tan α1－tan 2 α＝－34. 又直线经过点A (－1，－3)，因此所求直线方程为y ＋3＝－34(x ＋1)，即3x ＋4y ＋15＝0.(3)由题意可知，所求直线的斜率为±1. 又过点(3，4)，由点斜式得y －4＝±(x －3). 所求直线的方程为x －y ＋1＝0或x ＋y －7＝0. 【规律方法】1.在求直线方程时，应选择适当的形式，并注意各种形式的适用条件.2.对于点斜式、截距式方程使用时要注意分类讨论思想的运用(若采用点斜式，应先考虑斜率不存在的情况；若采用截距式，应判断截距是否为零).【训练2】 (1)求过点A (1，3)，斜率是直线y ＝－4x 的斜率的13的直线方程；(2)求经过点A (－5，2)，且在x 轴上的截距等于在y 轴上截距的2倍的直线方程. 【答案】见解析【解析】(1)设所求直线的斜率为k ，依题意k ＝－4×13＝－43.又直线经过点A (1，3)，因此所求直线方程为y －3＝－43(x －1)，即4x ＋3y －13＝0.(2)当直线不过原点时，设所求直线方程为x 2a ＋y a ＝1，将(－5，2)代入所设方程，解得a ＝－12，所以直线方程为x ＋2y ＋1＝0；当直线过原点时，设直线方程为y ＝kx ，则－5k ＝2，解得k ＝－25，所以直线方程为y ＝－25x ，即2x ＋5y ＝0.故所求直线方程为2x ＋5y ＝0或x ＋2y ＋1＝0. 考点三 直线方程的综合应用 角度1 与不等式相结合的最值问题【例3－1】 设m ∈R ，过定点A 的动直线x ＋my ＝0和过定点B 的动直线mx －y －m ＋3＝0交于点P (x ，y )，则|PA |·|PB |的最大值是________. 【答案】 5【解析】 由直线x ＋my ＝0求得定点A (0，0)，直线mx －y －m ＋3＝0，即y －3＝m (x －1)，所以得定点B (1，3).当m ＝0时，两条动直线垂直，当m ≠0时，因为⎝⎛⎭⎫－1m m ＝－1，所以两条动直线也垂直，因为P 为直线x ＋my ＝0与mx －y －m ＋3＝0的交点，所以|PA |2＋|PB |2＝|AB |2＝10，所以|PA |·|PB |≤|PA |2＋|PB |22＝5(当且仅当|PA |＝|PB |＝5时，等号成立)，所以|PA |·|PB |的最大值是5. 角度2 由直线方程求参数范围【例3－2】 已知直线l 1：ax －2y ＝2a －4，l 2：2x ＋a 2y ＝2a 2＋4，当0<a <2时，直线l 1，l 2与两坐标轴围成一个四边形，当四边形的面积最小时，实数a ＝________. 【答案】 12【解析】 由题意知直线l 1，l 2恒过定点P (2，2)，直线l 1的纵截距为2－a ，直线l 2的横截距为a 2＋2，所以四边形的面积S ＝12×2(2－a )＋12×2(a 2＋2)＝a 2－a ＋4＝⎝⎛⎭⎫a －122＋154，又0<a <2，所以当a ＝12时，面积最小.【规律方法】 与直线方程有关问题的常见类型及解题策略(1)求解与直线方程有关的最值问题.先设出直线方程，建立目标函数，再利用基本不等式求解最值. (2)求参数值或范围.注意点在直线上，则点的坐标适合直线的方程，再结合函数的单调性或基本不等式求解.【训练3】 如图，在两条互相垂直的道路l 1，l 2的一角，有一个电线杆，电线杆底部到道路l 1的垂直距离为4米，到道路l 2的垂直距离为3米，现在要过电线杆的底部靠近道路的一侧修建一条人行直道，使得人行道与两条垂直的道路围成的直角三角形的面积最小，则人行道的长度为________米.【答案】 10【解析】 如图建立平面直角坐标系，设人行道所在直线方程为y －4＝k (x －3)(k <0)，所以A ⎝⎛⎭⎫3－4k ，0，B (0，4－3k )，所以△ABO 的面积S ＝12(4－3k )⎝⎛⎭⎫3－4k ＝12⎝⎛⎭⎫24－9k －16k ，因为k <0， 所以－9k －16k≥2（－9k ）⎝⎛⎭⎫－16k ＝24，当且仅当－9k ＝－16k ，即k ＝－43时取等号.此时，A (6，0)，B (0，8)，所以人行道的长度为62＋82＝10米.【反思与感悟】在求直线方程时，应先选择适当的直线方程的形式，并注意各种形式的适用条件.用斜截式及点斜式时，直线的斜率必须存在，而两点式不能表示与坐标轴垂直的直线，截距式不能表示与坐标轴垂直或经过原点的直线.故在解题时，若采用截距式，应注意分类讨论，判断截距是否为零；若采用点斜式，应先考虑斜率不存在的情况. 【易错防范】 倾斜角和斜率的范围(1)倾斜角是一种特殊规定的角，其范围是[0，π)，千万不要与其他角混淆，有些时候要依据图形而定. (2)斜率范围与倾斜角范围的转化，此时要结合y ＝tan x 在⎣⎡⎭⎫0，π2和⎝⎛⎭⎫π2，π上的变化规律. 【分层训练】【基础巩固题组】(建议用时：35分钟) 一、选择题1.直线x ＋3y ＋1＝0的倾斜角是( ) A.π6B.π3C.2π3D.5π6【答案】 D【解析】 由直线的方程得直线的斜率为k ＝－33，设倾斜角为α，则tan α＝－33，又α∈[0，π)，所以α＝5π6. 2.如图中的直线l 1，l 2，l 3的斜率分别为k 1，k 2，k 3，则( )A.k 1<k 2<k 3B.k 3<k 1<k 2C.k 3<k 2<k 1D.k 1<k 3<k 2 【答案】 D【解析】 直线l 1的倾斜角α1是钝角，故k 1<0，直线l 2与l 3的倾斜角α2与α3均为锐角且α2>α3，所以0<k 3<k 2，因此k 1<k 3<k 2.3.(2019·北京延庆区模拟)若平面内三点A (1，－a )，B (2，a 2)，C (3，a 3)共线，则a ＝( ) A.1±2或0 B.2－52或0C.2±52D.2＋52或0【答案】 A【解析】 由题意知k AB ＝k AC ，即a 2＋a 2－1＝a 3＋a3－1，即a (a 2－2a －1)＝0，解得a ＝0或a ＝1±2.4.(2019·福建六校联考)在同一平面直角坐标系中，直线l 1：ax ＋y ＋b ＝0和直线l 2：bx ＋y ＋a ＝0有可能是( )【答案】 B【解析】 当a >0，b >0时，－a <0，－b <0，结合选项知B 符合，其他均不符合.5.已知直线l 经过A (2，1)，B (1，m 2)两点(m ∈R )，那么直线l 的倾斜角的取值范围是( ) A.[0，π) B.⎣⎡⎦⎤0，π4∪⎝⎛⎭⎫π2，π C.⎣⎡⎦⎤0，π4D.⎣⎡⎭⎫π4，π2∪⎝⎛⎭⎫π2，π【答案】 B【解析】 直线l 的斜率k ＝1－m 22－1＝1－m 2，因为m ∈R ，所以k ∈(－∞，1]，所以直线的倾斜角的取值范围是⎣⎡⎦⎤0，π4∪⎝⎛⎭⎫π2，π. 6.已知直线l 的斜率为3，在y 轴上的截距为另一条直线x －2y －4＝0的斜率的倒数，则直线l 的方程为( )A.y ＝3x ＋2B.y ＝3x －2C.y ＝3x ＋12D.y ＝－3x ＋2 【答案】 A【解析】 因为直线x －2y －4＝0的斜率为12，所以直线l 在y 轴上的截距为2，所以直线l 的方程为y ＝3x ＋2.7.直线l 经过点A (1，2)，在x 轴上的截距的取值范围是(－3，3)，则其斜率的取值范围是( )A.⎝⎛⎭⎫－1，15B.⎝⎛⎭⎫－∞，12∪(1，＋∞) C.(－∞，－1)∪⎝⎛⎭⎫15，＋∞D.(－∞，－1)∪⎝⎛⎭⎫12，＋∞ 【答案】 D【解析】 设直线的斜率为k ，则直线方程为y －2＝k (x －1)，令y ＝0，得直线l 在x 轴上的截距为1－2k，则－3<1－2k <3，解得k >12或k <－1. 8.已知函数f (x )＝a sin x －b cos x (a ≠0，b ≠0)，若f ⎝⎛⎭⎫π4－x ＝f ⎝⎛⎭⎫π4＋x ，则直线ax －by ＋c ＝0的倾斜角为( )A.π4B.π3C.2π3D.3π4【答案】 D【解析】 由f ⎝⎛⎭⎫π4－x ＝f ⎝⎛⎭⎫π4＋x 知，函数f (x )的图象关于x ＝π4对称，所以f (0)＝f ⎝⎛⎭⎫π2，所以a ＝－b ，则直线ax －by ＋c ＝0的斜率为k ＝a b ＝－1，又直线倾斜角的取值范围为[0，π)，所以该直线的倾斜角为3π4. 二、填空题9.已知三角形的三个顶点A (－5，0)，B (3，－3)，C (0，2)，则BC 边上中线所在的直线方程为________.【答案】 x ＋13y ＋5＝0【解析】 BC 的中点坐标为⎝⎛⎭⎫32，－12，∴BC 边上中线所在直线方程为y －0－12－0＝x ＋532＋5，即x ＋13y ＋5＝0. 10.过点M (3，－4)，且在两坐标轴上的截距相等的直线的方程为____________.【答案】 4x ＋3y ＝0或x ＋y ＋1＝0【解析】 若直线过原点，则k ＝－43， 所以y ＝－43x ，即4x ＋3y ＝0. 若直线不过原点，设直线方程为x a ＋y a＝1， 即x ＋y ＝a ，则a ＝3＋(－4)＝－1，所以直线的方程为x ＋y ＋1＝0.11.若经过两点A (4，2y ＋1)，B (2，－3)的直线的倾斜角是直线4x －3y ＋2 019＝0的倾斜角的一半，则y 的值为________.【答案】 －32【解析】 因为直线4x －3y ＋2 019＝0的斜率为43，所以由倾斜角的定义可知直线4x －3y ＋2 019＝0的倾斜角α满足tan α＝43，因为α∈[0，π)，所以α2∈⎣⎡⎭⎫0，π2，所以2tan α21－tan 2 α2＝43，解得tan α2＝12，由已知及倾斜角与斜率的关系得2y ＋1＋34－2＝12，所以y ＝－32. 12.设点A (－1，0)，B (1，0)，直线2x ＋y －b ＝0与线段AB 相交，则b 的取值范围是________.【答案】 [－2，2]【解析】 b 为直线y ＝－2x ＋b 在y 轴上的截距，如图，当直线y ＝－2x ＋b 过点A (－1，0)和点B (1，0)时，b 分别取得最小值和最大值.所以b 的取值范围是[－2，2].【能力提升题组】(建议用时：20分钟)13.(2019·天津和平区调研)若θ是直线l 的倾斜角，且sin θ＋cos θ＝55，则l 的斜率为( )A.－12B.－12或－2C.12或2 D.－2【答案】 D 【解析】 因为sin θ＋cos θ＝55，① 所以(sin θ＋cos θ)2＝1＋sin 2θ＝15， 所以2sin θcos θ＝－45，所以(sin θ－cos θ)2＝95， 易知sin θ>0，cos θ<0，所以sin θ－cos θ＝355，② 由①②解得⎩⎨⎧sin θ＝255，cos θ＝－55， 所以tan θ＝－2，即l 的斜率为－2.14.已知数列{a n }的通项公式为a n ＝1n （n ＋1）(n ∈N *)，其前n 项和S n ＝910，则直线x n ＋1＋y n＝1与坐标轴所围成的三角形的面积为( )A.36B.45C.50D.55 【答案】 B【解析】 由a n ＝1n （n ＋1）可知a n ＝1n －1n ＋1， 所以S n ＝⎝⎛⎭⎫1－12＋⎝⎛⎭⎫12－13＋⎝⎛⎭⎫13－14＋…＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1n －1n ＋1＝1－1n ＋1， 又知S n ＝910，所以1－1n ＋1＝910，所以n ＝9. 所以直线方程为x 10＋y 9＝1，且与坐标轴的交点为(10，0)和(0，9)，所以直线与坐标轴所围成的三角形的面积为12×10×9＝45. 15.已知直线l 过点P (2，－1)，在x 轴和y 轴上的截距分别为a ，b ，且满足a ＝3b ，则直线l 的方程为________.【答案】 x ＋2y ＝0或x ＋3y ＋1＝0【解析】 若a ＝3b ＝0，则直线过原点(0，0)，此时直线斜率k ＝－12，直线方程为x ＋2y ＝0. 若a ＝3b ≠0，设直线方程为x a ＋y b＝1， 即x 3b ＋y b＝1. 由于点P (2，－1)在直线上，所以b ＝－13. 从而直线方程为－x －3y ＝1，即x ＋3y ＋1＝0.综上所述，所求直线方程为x ＋2y ＝0或x ＋3y ＋1＝0.16.已知直线l ：kx －y ＋1＋2k ＝0(k ∈R ).(1)证明：直线l 过定点；(2)若直线不经过第四象限，求k 的取值范围；(3)若直线l 交x 轴负半轴于A ，交y 轴正半轴于B ，△AOB 的面积为S (O 为坐标原点)，求S 的最小值并求此时直线l 的方程.【答案】见解析【解析】(1)证明 直线l 的方程可化为k (x ＋2)＋(1－y )＝0，令⎩⎪⎨⎪⎧x ＋2＝0，1－y ＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－2，y ＝1. ∴无论k 取何值，直线总经过定点(－2，1).(2)解 由方程知，当k ≠0时直线在x 轴上的截距为－1＋2k k，在y 轴上的截距为1＋2k ，要使直线不经过第四象限，则必须有⎩⎪⎨⎪⎧－1＋2k k ≤－2，1＋2k ≥1，解得k >0； 当k ＝0时，直线为y ＝1，符合题意，故k 的取值范围是[0，＋∞).(3)解 由题意可知k ≠0，再由l 的方程，得A ⎝⎛⎭⎫－1＋2k k ，0，B (0，1＋2k ). 依题意得⎩⎪⎨⎪⎧－1＋2k k <0，1＋2k >0，解得k >0. ∵S ＝12·|OA |·|OB |＝12·⎪⎪⎪⎪1＋2k k ·|1＋2k | ＝12·（1＋2k ）2k ＝12⎝⎛⎭⎫4k ＋1k ＋4≥12×(2×2＋4)＝4， “＝”成立的条件是k >0且4k ＝1k ，即k ＝12， ∴S min ＝4，此时直线l 的方程为x －2y ＋4＝0.。
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y-
y1/y-y2=x-x1/x-x2
2、直线的截距式方程：已知直线 l 与 x 轴的交点为 A (a,0) ，与 y 轴的交点为 B (0,b) ，
其中 a 0,b 0
3.2.3 直线的一般式方程
1、直线的一般式方程：关于 x, y 的二元一次方程 Ax By C 0 （A，B 不同时为
C．－3
D．－1
1 a6 解析：由题意，两直线斜率存在，由 l1∥l2 知a－2＝3≠2a，∴a＝－1 答案：D
14．直线 3x－2y－4＝0 的截距式方程是( )
3x y A. 4 －4＝1
xy 11 B.3－2＝4 3x y C. 4 ＋－2＝1 x 4y D.3＋－2＝1
答案：D
15．已知点 A(1,2)，B(3,1)，则线段 AB 的垂直平分线的方程是( )
B．3x－4x＋9＝0
C．3x－4y－11＝0 或 3x－4y＋9＝0
D．3x－4y＋11＝0 或 3x－4y－9＝0 答案：C
强化练习
一 选择题 1．直线 y＝－2x＋3 的斜率和在 y 轴上的截距分别是( )
A．－2,3
B．3，－2
C．－2，－2
D．3,3
[答案] A
2．过点(1,3)且斜率不存在的直线方程为( )
2 A.5
2 C．－ 5
B．6 D．－6
解析：令 y＝0，得(m＋2)x＝2m，将 x＝3 代入得 m＝－6，故选 D.
答案：D
8．过 P1(2,0)，P2(0,3)两点的直线方程是( )
xy
xy
A.3＋2＝1
B.2＋3＝1
xy
xy
C.3－2＝1
D.2－3＝1
答案：B
第一课时 直线与方程.pdf
直线方程与圆方程 本章知识结构直线与圆⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎪⎨⎧⎪⎩⎪⎨⎧⎪⎩⎪⎨⎧两圆位置关系直线与圆的位置关系圆的方程圆位置关系点到直线距离和两直线直线方程直线的倾斜角和斜率直线本章的重点难点聚焦本章的重点是直线方程和圆方程的确定以及它们之间位置关系的判定，难点是对解析几何的基本思想和基本方法的理解和应用。
本章学习中应当着重注意的问题理解直线方程的五种形式，能根据已知条件恰当选择方程的形式，在解决直线和圆的有关问题时，应充分利用几何图形的性质；注意体会数形结合思想、函数方程思想、分类讨论思想、等价转化思想和坐标法、向量法、参数法、待定系数法、配方法、换元法等数学思想和方法在解题中的应用。
本章高考分析及预测由于本章内容属解析几何的基础知识，在历年高考中多以中低档题出现，主要考查基础知识和基本方法，同时鉴于它的基础性和工具性，又容易和其他知识联系和交叉，如与向量、与圆锥曲线、与函数、不等式等的综合题等等。
第一课时 直线与方程【学习目标】1在平面直角坐标系中，结合具体图形，掌握确定直线位置的几何要素；2理解直线的倾斜角和斜率的概念，掌握过两点的斜率的计算公式；3掌握确定直线位置的几何要素，掌握直线方程的几种形式【考纲要求】直线方程为C 级要求【自主学习】32过点M（-2，m），N（m，4）的直线的斜率等于1，则m的值为 . 3已知直线l的倾斜角为α，且0°≤α＜135°，则直线l的斜率取值范围是 .4若直线l经过点（a-2，-1）和（-a-2，1）且与经过点（-2，1），斜率为2的直线垂直，则实数a的值为 .-35已知两点A（-1，-5），B（3，-2），若直线l的倾斜角是直线AB倾斜角的一半，则l的斜率是 .[典型例析]例1 已知直线L过点A（2，1），B（m,2）(1)求直线L的方程;(2)求直线L的倾斜角α的取值范围例2在ABC∆中，已知A(5，-2)，B（7，3），且AC边的中点M在y轴上，BC边的中点N在x轴上，（1）求顶点C的坐标（2）直线MN的方程例3已知直线L的倾斜角为锐角，并且与坐标轴围成的三角形的面积为6，周长为12，求直线L的方程。
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设P( x, 0), (1) Q MOP OPN , OM / / NP. kOM k NP 又kOM 1 20 0 (2) 2 1, k NP ( x 5), 20 x5 x 5
2 , x 7,即P(7, 0). x5 (2) Q MPN 900 , MP NP, k MP gk NP 1.
7
。若有一条直线的斜率不存在，那么另
二、直线的方程 （一）直线方程的求法 ※相关链接※ 1、求直线方程应先选择适当的直线方程形式并注意各种形式的适用条件。基本方法包括利用条件直 接求直线的基本量和利用待定系数法求直线的基本量。 用待定系数法求直线方程的步骤： （1）设所求直线方程的某种形式； （2）由条件建立所求参数的方程（组） ； （3）解这个方程（组）求参数； （4）把所求的参数值代入所设直线方程。 2、求直线方程时，首先分析具备什么样的条件；然后恰当地选用直线方程的形式准确写出直线方程。 要注意若不能断定直线具有斜率时，应对斜率存在与不存在加以讨论。在用截距式时，应先判断截距是否 为 0。若不确定，则需分类讨论。 ※例题解析※ 〖例〗求过点 P（2，-1） ，在 x 轴和 y 轴上的截距分别为 a、b,且满足 a=3b 的直线方程。 思路解析：对截距是否为 0 分类讨论 设出直线方程 代入已知条件求解 得直线方程。 解答：当 a=3,b≠0 时，设所求直线方程为
此公式为线段 三、直线的交点坐标与距离公式 1.两条直线的交点 设两条直线的方程是
的中点坐标公式。
，两方程组有唯一解，则这两条直线相交，此解就是交
点的坐标；若方程组无解，则两条直线无公共点，此时两条直线平行；反之，亦成立。 2.几种距离 （1）两点间的距离 平面上的两点 间的距离公式
注：过两点 P1(x1,y1)，P2(x2,y2)的直线是否一定可用两点式方程表示？（不一定。 （1）若 x1= x2 且 y1 ≠y2， 直线垂直于 x 轴， 方程为 （3）若 2、线段的中点坐标公式 若点 的坐标分别为 ，且线段 的中点 M 的坐标为（x,y） ，则 （2） ； 若 ，直线方程可用两点式表示） ， 直线垂直于 y 轴， 方程为 ；
1
2、主要考查直线及圆的方程，圆锥曲线的定义、性质及综合应用，符合考纲要求，这些知识属于本 章的重点内容，是高考的必考内容，有时还注重在知识交汇点处命题； 3、预计本章在今后的高考中仍将以直线及圆的方程，圆锥曲线的定义、性质及直线与圆锥曲线的位 置关系为主命题，且难度有所降低；更加注重与其他知识交汇，充分体现以能力立意的命题方向。
Q 1 cos 1,1 cos 1.即 1 k 1,1 tan 1, 3 0 或 , 4 4 3 倾斜角的范围为[0, ] U , . 4 4
（二）直线的斜率及应用 ※相关链接※ 1、斜率公式： k
斜截式
k 为斜率，b 是直线在 y 轴上的截距
不包括垂直于 x 轴的直线
3
两点式
是直线上两定点
不包括垂直于 x 轴和 y 轴 的直线
且 截距式 a 是直线在 x 轴上的非零截距， b 是直 线在 y 轴上的非零截距 一般式 A，B，C 为系数 不包括垂直于 x 轴和 y 轴 或过原点的直线 无限制，可表示任何位置 的直线
3 3 3
0
6
abc 0
思路解析：若三点共线，则由任两点所确定的直线斜率相等或都不存在。 解答：
Q a, b, c互不相等， 过A、B、C任两点的直线的斜率均存在。 a 3 b3 a 2 ab b 2 , a b a3 c3 k AC a 2 ac c 2 . ac Q A、B、C三点共线， k AB k AC， 又k AB 即a 2 ac c 2 a 2 ac c 2 , (b c)(a b c) 0. 而b c, a b c 0.
【重点关注】
1、关于直线的方程，直线的斜率、倾斜角，几种距离公式，两直线的位置关系，圆锥曲线的定义与 性质等知识的试题，都属于基本题目，多以选择题、填空题形式出现，一般涉及两个以上的知识点，这些 将是今后高考考查的热点； 2、关于直线与圆的位置关系，圆与圆的位置关系的题目出现次数较多，既有选择题、填空题，也有 解答题。既考查基础知识的应用能力，又考查综合运用知识分析问题、解决问题的能力； 3、直线与圆锥曲线联系在一起的综合题多以高档题出现，要求学生分析问题的能力，计算能力较高； 4、注重数学思想方法的应用 解析法、数形结合思想、函数与方程的思想、转化与化归的思想、分类讨论思想及待定系数法在各种 题型中均有体现，应引起重视。
第八章 平面解析几何
【知识特点】
1、本章内容主要包括直线与方程、圆与方程、圆锥曲线，是解析几何最基本，也是很重要的内容， 是高中数学的重点内容，也是高考重点考查的内容之一； 2、本章内容集中体现了用坐标法研究曲线的思想与方法，概念、公式多，内容多，具有较强的综合 性； 3、研究圆锥曲线的方法很类似，因此可利用类比的方法复习椭圆、双曲线、抛物线的定义与几何性 质，掌握解决解析几何问题的最基本的方法。
所范围按大于等于 0 或小于 0 分为两部分，针对每一部分再根据斜率的增减性求倾斜角范围。 ※例题解析※ 〖例〗已知直线的斜率 k=-cos ( ∈R).求直线的倾斜角 的取值范围。 思路解析：cos 的范围 斜率 k 的范围 tan 的范围 倾斜角 的取值范围。 解答：
2 2 2 2 ( x 2), k NP ( x 5), 1, 2 x x5 2 x x5 解得x 1或x 6, 又kMP 即P(1, 0)或(6, 0).
注： （1）充分掌握两直线平行的条件及垂直的条件是解决本题的关键，对于斜率都存在且不重合的两 条直线 l1 和 l2 ， 一条直线的斜率是多少一定要特别注意。 （2）注意转化与化归思想的应用。 （3）利用斜率的几何意义可以证明不等式，利用两斜率之间的关系可以判断两直线的平行或垂直， 数形结合的思想方法可帮助我们很直观地分析问题，抓住问题的实质。
第一节
【高考目标导航】
直线与方程
一、基本公式、直线的倾斜角与斜率及直线方程 （一）考纲点击 1、在平面直角坐标系中，结合具体图形，掌握确定直线位置的几何要素； 2、掌握两点间的距离公式； 3、理解直线的倾斜角和斜率的概念，掌握过两点的直线斜率的计算公式； 4、掌握确定直线位置的几何要素，掌握直线方程的几种形式（点斜式、两点及一般式） ，了解斜截式 与一次函数的关系。 （二）热点提示 1、基本公式、直线的斜率、方程以及两直线的位置关系是高考的重点； 2、常和圆锥曲线综合命题，重点考查函数与方程、数学形结合思想； 3、多以选择、填空题的形式出现，属于中低档题目。 二、两条直线的位置关系、点到直线的距离 （一）考纲点击 1、能根据两条直线的斜率判定这两条直线平行或垂直； 2、能用解方程组的方法求两条相交直线的交点坐标； 3、掌握两点间的距离公式、点到直线的距离公式，会求两条平行直线间的距离。 （二）热点提示 1、两条直线的平行与垂直是非常重要的位置关系，因此高考中对直线的考查多以此为载体； 2、两点间距离公式、点到直线的距离公式，两平行线间的距离公式是高考考查的重点； 3、常在与圆、椭圆、双曲线、抛物线的交汇处命题。
【地位和作用】
解析几何是 17 世纪数学发展的重大成果之一，其本质是用代数方法研究图形的几何性质，体现了数 形结合的重要数学思想。在本模块中，学生将在平面直角坐标系中建立直线和圆的代数方程，运用代数方 法研究它们的几何性质及其相互位置关系，并了解空间直角坐标系。体会数形结合的思想，初步形成用代 数方法解决几何问题的能力。 在平面解析几何初步的教学中，教师应帮助学生经历如下的过程：首先将几何问题代数化，用代数的 语言描述几何要素及其关系， 进而将几何问题转化为代数问题； 处理代数问题； 分析代数结果的几何含义， 最终解决几何问题。这种思想应贯穿平面解析几何教学的始终，帮助学生不断地体会“数形结合”的思想方 法。 从新课改近两年来的高考信息统计可以看出，命题呈现出以下特点： 1、各种题型均有所体现，分值大约在 19-24 分之间，比重较高，以低档题、中档题为主；
y2 y1 与两点顺序无关，即两点的横纵坐标在公式中前后次序相同； x2 x1
2、求斜率的一般方法： （1）已知直线上两点，根据斜率公式 k
y2 y1 ( x2 x1 ) 求斜率； x2 x1
（2）已知直线的倾斜角 或 的某种三角函数根据 k tan 来求斜率； 3、利用斜率证明三点共线的方法： 已知 A( x1 , y1 ), B ( x2 , y2 ), C ( x3 , y3 ), 若 x1 x2 x3或k AB k AC ，则有 A、B、C 三点共线。 注：斜率变化分成两段， 90 是分界线，遇到斜率要谨记，存在与否需讨论。 ※例题解析※ 〖例〗设 a, b, c 是互不相等的三个实数，如果 A( a, a )、B (b, b )、C (c, c ) 在同一直线上，求证：
0 0 0 0
③每条直线都有倾斜角，但并不是每条直线都有斜率。 2、两条直线平行与垂直的判定 （1）两条直线平行 对于两条不重合的直线 l1 , l2 ，其斜率分别为 k1 , k 2 ，则有 l1 / / l2 k1 k 2 。特别地，当直线 l1 , l2 的斜 率都不存在时， l1与l2 的关系为平行。 （2）两条直线垂直 如果两条直线 l1 , l2 斜率存在，设为 k1 , k 2 ，则 l1 l2 k1 gk 2 1 注：两条直线 l1 , l2 垂直的充要条件是斜率之积为-1，这句话不正确；由两直线的斜率之积为-1，可以 得出两直线垂直，反过来，两直线垂直，斜率之积不一定为-1。如果 l1 , l2 中有一条直线的斜率不存在，另 一条直线的斜率为 0 时， l1与l2 互相垂直。 二、直线的方程 1、直线方程的几种形式 名称 点斜式 方程的形式 已知条件 为直线上一定点， k 为斜率 局限性 不包括垂直于 x 轴的直线