几何体的展开与折叠 (讲义及答案)

合集下载

2展开与折叠

【知识与技能】

1.进一步认识立体图形与平面图形的关系，了解立体图形可由平面图形围成，立体图形可展开为平面图形；

2.了解圆柱、圆锥的侧面展开图.

【过程与方法】

经历展开与折叠、模型制作等活动发展空间观念，积累数学活动经验，形成较为规范的语言.

【情感态度】

在操作活动中揭发学生自主学习的热情和积极思考的习惯，体验学习数学的乐趣。

【教学重点】

在操作活动中，发展空间观念、积累数学活动经验，掌握和识别棱柱、圆柱、圆锥等几何体的展开图.

【教学难点】

根据几何体的展开图判断能折叠成什么样的几何体.

一、情境导入，初步认识

在生活中，我们经常见到正方体形状的盒子.为了设计和制作

这样的盒子，我们需要了解这种盒子展开后的平面图形.

1.正方体有多少个面？多少条棱？多少个顶点？

2.请同学们将自己准备的纸盒剪开，看看展开后的形状是怎

样的？

【教学说明】学生很容易得出正方体有6个面、12条棱、8个顶点，让学生自己动手操作有利于学生直观地了解正方体的展开图.

二、思考探究，获取新知

1.正方体的展开图

问题1将小正方形纸盒沿某些棱任意剪开，你能得到哪些形状的平面图形？能否将得到的平面图形分类？

【教学说明】学生进行裁剪，教师巡视.把学生剪好的平面图形贴在黑板上（重复的不再贴），再让学生讨论怎样分类.

【归纳结论】将正方体沿不同的棱展开可得到不同的表面展开图，共有如下11种情形，可分为四类.

141型（共6种）

231型（共3种）

33型（1种）

222型（1种）

问：一个正方体要将其展开成一个平面图形，必须沿几条棱剪开？

学生分组进行讨论，得出结论.

展开与折叠(二)

底面
1.棱柱的上、下底面都是多边形，并且形状相同
2.棱柱的侧面的形状都是长方形
3.侧面的个数和底面图形的边数相等
4.棱柱的所有侧棱长都相等侧棱
填一填
将下面的表格补全.
顶点棱
面
（个）（条） (个)
三棱柱 6
95
四棱柱 8
12
6
五棱柱 10 15 7
六棱柱 12 18 8
侧棱侧面（条）（个）
猜一猜
• 将下面四个图形折叠，你能说出这些多面体的名称吗?
四棱柱
三棱锥
三棱柱
活动二
圆柱的表面能展成什么样的平面图形呢？
圆锥的表面又展开后是一个怎样的平面图形呢？
想一想：
1、按照右边的方法把圆柱的侧面展开，会得到什么图形？
圆柱的侧面展开图是长方形
2、按照右边的方法把圆锥的侧面展开，会得到什么图形？圆锥的侧面展开图是扇形
找朋友
本节小结
⒈ 棱柱的主要特征有哪些？你是通过什么方法得到的?
⒉ 要做一个平面图形折叠成棱柱，应注意什么？
3.研究了圆柱与圆锥平面展开图。
作业：
1.《全品》第4页习题。 2.课本102页第7，8题；104页第18题。
午练
1.化:6 简 a22a b2(3a21a)b 2
2.已知 a2b120，

初一上册第一章生活中的立体图形展开与折叠讲义

生活中的立体图形展开与折叠

教学内容

一、重点知识归纳及讲解

1、常见几何体的特征及分类

几何体是从实物中抽象出来的数学模型，常见的几何体有圆柱、圆锥、正方体、长方体、棱柱、球体等，它们各有自身的特征，既有共同点，又有不同点，可以根据其共同点进行分类，可以根据其不同点进行区分.

2、点、线、面、体之间的关系

点动成线、线动成面、面动成体.几何图形是由点、线、面构成的；组成体的面可以是平的，也可以是曲的；面与面相交得到线、线可以是直的，也可以是曲的；线与线相交得到点.

3、棱柱的特性

在棱柱中，任何相邻两个面的交线都叫做棱，相邻两个侧面的交线叫做侧棱，棱柱的所有侧棱长都相等，棱柱的上、下底面是相同的多边形，侧面都是长方形.

根据底面图形的边数将棱柱分为三棱柱、四棱柱、五棱柱、六棱柱等，它们的底面图形的形状分别为三边形、四边形、五边形、六边形，长方体和正方体都是四棱柱.

底面多边形的边数为n的棱柱有2n个顶点、3n条棱、n条侧棱、(n＋2)个面、2个底面、n个侧面.

4、棱柱、圆柱、圆锥的表面展开图

棱柱的表面展开图是由两个相同的多边形和一些长方形连成的，沿棱柱表面不同的棱剪开，可以得到不同组合方式的平面展开图.

圆柱的表面展开图是由两个相同的圆形和一个长方形连成的.

圆锥的表面展开图是由一个圆形和一个扇形连成的.

二、难点知识剖析

1、棱柱与圆柱的异同点

相同点：圆柱和棱柱都有两个底面.

不同点：圆柱的底面是圆形，而棱柱的底面是多边形；圆柱的侧面是一个曲面，而棱柱的侧面是四边形.

2、圆柱、圆锥的侧面展开图

圆柱的侧面展开图是一个长方形，一边长是底面的圆周长，相邻一边的长是圆柱的高.

专题01_常见立体图形分类及展开与折叠(解析版)

专题01常见立体图形分类及展开与折叠考点1：立体图形就是各部分不都在同一平面内的几何图形，常见的立体图形有柱体(圆柱、棱柱)、锥体(圆锥、棱锥)、台体(圆台、棱台)(以后将学)和球体(球)四类．类型一：按柱、锥、球分类

1．下列各组图形中，都为柱体的是( )

A B

C D

【答案】C

2．在如图所示的图形中，是圆柱的有________，是棱柱的有________．(填序号)

(第2题)

【答案】④；①③⑥

3．(1)把图中的立体图形按特征分类，并说明分类标准；

(2)图中③与⑥各有什么特征？有哪些相同点和不同点？

(第3题)

【答案】解：(1)按柱体、锥体、球体分：①③⑤⑥⑦为柱体；④⑧为锥体；②为球体．

(2)③是圆柱，圆柱的上、下底面都是圆，侧面是一个曲面；⑥是五棱柱，上、下底面

是形状、大小相同的五边形，侧面是5个长方形，侧面的个数与底面边数相等．相同点：两者都有两个底面．

不同点：圆柱的底面是圆，五棱柱的底面是五边形；圆柱的侧面是一个曲面，五棱柱的侧面由5个长方形组成．

注：(1)中分类标准不唯一．

类型二：按有无曲面分类

4．下列几何体中，表面都是平面的是( )

A．圆锥B．圆柱C．棱柱D．球体

【答案】C

5．把一个三角尺绕任意一条边所在直线旋转一周得到一个几何体，则这个几何体________曲面．(填“有”或“无”)

【答案】有

6．如图，按组成的面来分类，至少有一个面是平面的图形有________，至少有一个面是曲面的图形有__________．(填序号)

(第6题)

【答案】①③④⑤⑥；②③④⑥

7．将如图所示的图形按有无曲面分类．

立体几何中的折叠问题含解析

高考热点问题：立体几何中折叠问题

一、考情分析

立体几何中的折叠问题是历年高考命题的一大热点与难点,主要包括两个方面：一是平面图形的折叠问题,多涉及到空间中的线面关系、体积的求解以及空间角、距离的求解等问题；二是几何体的表面展开问题,主要涉及到几何体的表面积以及几何体表面上的最短距离等.

二、经验分享

(1)立体几何中的折叠问题主要包含两大问题：平面图形的折叠与几何体的表面展开.把一个平面图形按照某种要求折起,转化为空间图形,进而研究图形在位置关系和数量关系上的变化,这就是折叠问题.把一个几何体的表面伸展为一个平面图形从而研究几何体表面上的距离问题,这就是几何体的表面展开问题.折叠与展开问题是立体几何的两个重要问题,这两种方式的转变正是空间几何与平面几何问题转化的集中体现,展开与折叠问题就是一个由抽象到直观,由直观到抽象的过程.此类问题也是历年高考命题的一大热点. (2) 平面图形通过折叠变为立体图形，就在图形发生变化的过程中，折叠前后有些量(长度、角度等)没有发生变化，我们称其为“不变量”．求解立体几何中的折叠问题，抓住“不变量”是关键．

(3)把曲面上的最短路线问题利用展开图转化为平面上两点间距离的问题，从而使问题得到解决，这是求曲面上最短路线的一种常用方法.

三、题型分析

(一) 平面图形的折叠

解答折叠问题的关键在于画好折叠前后的平面图形与立体图形,抓住两个关键点：不变的线线关系、不变的数量关系.不变的线线关系,尤其是平面图形中的线线平行、线线垂直关系是证明空间平行、垂直关系的起点和重要依据；不变的数量关系是求解几何体的数字特征,如几何体的表面积、体积、空间中的角与距离等的重要依据.

几何体的展开与折叠(讲义)(含答案)

几何体的展开与折叠（讲义）

➢课前预习

1.正方体的11种展开图：

①（1，4，1）型共_____种；

②（2，3，1）型共_____种；

③（3，3）型共______种；

④（2，2，2）型共_____种．

从上述的四种类型中各选一种，画出展开图，并用相同的符号标注相对面．

2.如图是一个正方体的展开图，如果从前面看是2，从左面看是3，那么从上面看是

__________．

➢知识点睛

1.研究几何体特征的思考顺序：

先研究_______________，再研究__________和__________．

2.正方体展开与折叠：

①一个面与_____个面相邻，与_____个面相对；

②一条棱与_____个面相连，一条棱被剪开成为_____条边；

③一个顶点连着_____条棱，一个点属于______个面．

3.利用三视图求几何体的表面积：

①_____________________；②________________________．

➢精讲精练

1.如图是某些几何体的表面展开图，请说出这些几何体的名称：

①②③

④⑤⑥

①____________；②____________；③____________；

④____________；⑤____________；⑥____________．

2.如图是一个三棱柱，下列图形中，能通过折叠围成这个三棱柱的是（）

A B C D

3.下列四个图中，是三棱锥的表面展开图的是（）

A B C D

4.如图所示，小颖有7块长方形硬纸板，她想从中选取5块拼成一个无盖的长方体

盒子，则其容积为__________．

2024年秋季新北师大版七年级上册数学教学课件 1.2.2 常见几何体的展开与折叠

小组展示
越展越优秀
提疑惑：你有什么疑惑？
知识点1：几何体的表面展开图(重难点)
名称立体图形底面形状侧面形状平面展开图(举例)
圆柱wenku.baidu.com
曲面(展开后圆
为长方形)
圆锥
曲面(展开后圆
为扇形)
名称立体图形底面形状侧面形状平面展开图(举例)
三棱柱
三角形
长方形
长方体
三棱锥 (拓展)
长方形 (或正方形)
图①②④经过折叠可以围成一个棱柱；图③不能围成棱柱，可以将左边的一个小正方形移到右边任何位置。
(3)一个长方体的长、宽、高分别为5 cm，4 cm，3 cm，请画出它的展开图。略。答案不唯一，可对比正方体的展开图。
1．什么样的平面图形才能折成棱柱？若能折成棱柱，一定要符合哪些特点？ ①棱柱的底面多边形的边数等于侧面数；②棱柱的上、下底面分别在侧面展开图的两侧；③底面多边形的各边分别与侧面的各对应边长度相等。
长方形
三角形
三角形
注：(1)不是所有的立体图形都可以展开，如球便不能展开；(2)对于同一个立体图形，当我们按不同的方式展开时，得到的平面展开图是不一样的。
知识点2：将表面展开图折叠成立体图形(难点) 注：将表面展开图折叠成立体图形的关键是找到重合的点和边。内容叙述：一个立体图形可以展开成一个平面图形，同时一个平面图形也可以折叠成一个立体图形。知识详解：由表面展开图通过折叠得到立体图形与将立体图形的表面展开是两个互逆的过程。由表面展开图判断立体图形的方法有两种：一是制作模型，动手操作；二是发挥空间想象力，根据图形特征来判断。

北师大版七年级数学上册《展开与折叠》例题讲解与变式(含答案)

《展开与折叠》例题讲解与变式

知识点1：正方体的展开与折叠

例1 在图中，各图形都是由六个大小相同的正方形拼接而成，它们是否可以折成一个正方体？为什么？

解为了表述的方便，我们随机地把六个小正方形编上数码．

（1）正方形2、3、4、6可折成一个无底的正方体，但正方形1、5重合，不能折成完整的正方体；

（2）正方形1、5正好可折成正方体的两底，可以折成一个正方体；

（3）正方形1、3可以折成正方体的两底，所以可以折成一个正方体；

（4）正方形2、3在折的过程中重合，所以不能折成正方体；

（5）正方形2、3或4、5在折的过程中重合，故不能折成正方体

说明由一个正方体拆分成或展开成一个展开图时，因展开的方式不同，所以会有不同的展开图．这时由展开图还原为正方体时，就要考虑是否成立，此时，成立的条件是六个小正方形在折的过程中不能有重合部分即可．

变式练习1 如图为正方体的一种平面展开图，各面都标有数字，则数字为－4的面与其对面上的数字之积是_____________．

A．4 B．12 C．－4 D．0

变式练习2 如图（a），一个正方体的每个面分别标有数字1，2，3，4，5，6．根据图中该正方体的三种状态所显示的数字，可推出“？”处的数字是什么？

参考答案：

1、B

2、“？”处的数字是6．

知识点2：一般棱柱、圆柱、圆锥的展开与折叠

例2 请你把几何体和它的平面展开图用线连起来．

分析此题实质就是在让我们分别找出长方体、圆锥体、圆柱体、六棱柱体的表面的平面展开图．

解

变式练习1 观察下图，请指出哪个图是长方体表面的平面展开图．

七年级数学上册专题第1讲图形的展开与折叠重点、考点知识总结及练习

第1讲图形的展开与折叠

⎧⎪⎨⎪⎩

几何体的展开图展开与折叠展开图折叠成几何体相对的面

知识点1：几何体的展开图

常见的几何体的展开图有圆柱、圆锥、棱柱、正方体、棱锥。特殊：球没有展开图圆柱的表面展开图是两个圆（作底面）和一个长方形（作侧面）。

圆锥的表面展开图是一个圆（作底面）和一个扇形（作侧面）

棱柱的表面展开图是两个完全相同的多边形（作底面）和几个长方形（作侧面）

正方体的表面展开图一共有11种可能。

【典例】

1.如图所示的正方体的展开图是（）

A. B. C. D.

【方法总结】

1.判断特定正方体的展开图首先判断是否是正确的展开图模型，其次通过相邻面的位置、方向来确定正确的展开图．

2.解决几何体的展开图的相关问题只需要记清楚不同立体图形的展开图的模型。

【随堂练习】

1．（2018•武汉模拟）如图所示的正方体的展开图是（）

A． B． C． D．

2．（2018•平谷区二模）如图所示是一个三棱柱纸盒．在下面四个图中，只有一个展开图是这个纸盒的展开图，那么这个展开图是（）

A．B．C．

D．

3．（2017秋•诸城市期末）如图，有一个无盖的正方体纸盒，下底面标有字母“M”，沿图中粗线将其剪开展成平面图形，想一想，这个平面图形是（）

A．B．C．D．

4．（2017秋•阜宁县期末）如果有一个正方体，它的展开图可能是下面四个展开图中的（）

A． B． C．D．

知识点2 展开图折叠成几何体

【典例】

1.将下面的纸片沿虚线折叠，不能折成长方体盒子的是（）

A. B. C. D.

【方法总结】

展开图折叠成几何体是将几何体展开的对应的操作，解决这类型题首先能够找到正确的几何

展开与折叠

活动一
知识准备
1、定义
在棱柱中，任何相邻两个面的交线都叫做棱。在棱柱中，相邻两个侧面的交线都叫做侧棱
2、棱柱的种类
三棱柱、四棱柱、五棱柱、六棱柱、……
n棱柱：底面图形的形状为n边形的棱柱叫做n棱柱。
议一议
（1）这个棱柱的上下底面一样吗？（2）这个棱柱有几个侧面？
侧面的形状是什么图形？（3）侧面的个数与底面图形的边数
6 个面，这些面的形状是长方形。
⑵ 哪些面的形状与大小一定完全相同？
C
⑶ 哪些棱的长度一定相等？
B
做一做
2.如图所示六棱柱，底面边长都是5厘米，侧棱长4厘米。观察并回答问题：
1）这六棱柱共多少个面？它们分别是什么形状？哪些面的形状和面积完全相同？
2 ）这六棱柱一共有多少条棱？它们的长度分别是多少？
有什么关系？（4）这个棱柱有几条侧棱？
它们的长度之间有什么关系？
棱柱的特点
（1）棱柱的所有侧棱长都相等。（2）棱柱的上、下底面形状相同。（3）棱柱的侧面的形状都是长方形。（4）侧面的个数和底面图形的边数相等。
做一做
D1 A1
D A
C1 1.如图： ⑴ 长方体有 8
个顶点， 12 条棱，
B1
棱柱的顶点、棱、侧棱、侧面数量之间的关系
顶点v 棱e 面f 侧棱侧面（个）（条） (个) （条）（个）

中考数学考前知识点命题点精讲3 立体图形的展开与折叠

（1）“一四一”型：
（2）“二三一”型：
（3）“三三”型：
（4）“二二二”型：
易错警示：正方体的表面展开图中不能出现“ ”“ ”“ ”图形，更不能出现五个面排一行.若出现“ ”类型，另两面必须在两侧，在做选择题时，可借助此方法排除错误选项.
第七章图形的变化
命题点3
立体图形的展开与折叠
考试要求
1.了解直棱柱、圆锥的侧面展开图，能根据展开图想象和制作实物模型；
2.通过实例，了解上述视图与展开图在现实生活中的应用.
1. 常见几何体的Hale Waihona Puke Baidu开图
常见几何体
展开图
图示（选其中一种）
六个大小相同的_________
两个大小相同的圆和一个_______
【巩固提升】
1. 下列图形是正方体的表面展开图的是( )
C
2. （2020天水）某正方体的每个面上都有一个汉字，如图是它的一种表面展开图，那么在原正方体中，与“伏”字所在面相对面上的汉字是( )
第2题图
A. 文 B. 羲 C. 弘 D. 化
D
3. 如图是一个正方体的表面展开图，在这个正方体中，与点重合的点为( )
第3题图
A. 点和点 B. 点和点 C. 点和点 D. 点和点
A
3.立体图形的折叠：一个几何体能展开成一个平面图形，这个平面图形也能折叠成相应的几何体，展开与折叠是一个互逆的过程.

立体几何中的折叠与展开问题

知识点梳理：

1.解决折叠问题最重要的就是对比折叠前后的图形，找到哪些线、面的位

置关系和数学量没有发生变化，哪些发生了变化，在证明和求解的过程中恰当地

加以利用．

解决此类问题的步骤：

考向导航

2.展开问题是折叠问题的逆向思维、逆过程，是将空间问题转化为平面问

题来处理．一般地，涉及到多面体表面的问题，解题时不妨将它展开成平面图形

试一试．

类型一折叠问题 (1)

类型二展开问题 (3)

类型一折叠问题

【例1】如图甲，在四边形ABCD中，23

AD=2

∆是边长为4的正三角形，

CD=，ABC

把ABC

∆的位置，使得平面PAC⊥平面ACD；如图乙所示，点O、M、∆沿AC折起到PAC

N分别为棱AC、PA、AD的中点．

（1）求证：平面PAD⊥平面PON；

（2）求三棱锥M ANO

-的体积．

【例2】如图，在平面图形PABCD 中，ABCD 为菱形，60DAB ∠=︒，2PA PD ==，M 为CD 的中点，将PAD ∆沿直线AD 向上折起，使BD PM ⊥．

（1）求证：平面PAD ⊥平面ABCD ；

（2）若直线PM 与平面ABCD 所成的角为30︒，求四棱锥P ABCD -的体积．

【变式1-1】如图甲的平面五边形PABCD 中，PD PA =，5AC CD BD ===，1AB =，2AD =，PD PA ⊥，现将图甲中的三角形PAD 沿AD 边折起，使平面PAD ⊥平面ABCD 得图乙的四棱锥P ABCD -．在图乙中

（1）求证：PD ⊥平面PAB ；

（2）求二面角A PB C --的大小；

展开与折叠

六棱柱一共有18条棱底面边长都相等线：六棱柱一共有多少条棱？
ห้องสมุดไป่ตู้
上、下底面的多边形各为六边形一共有12条边侧棱数：6
注意：展成平面图形的要求
问题：
①正方体有六个面，每个面都是正方形。
把一个正方体的表面沿着某些 ②正方体展开后所得六个正方形的每一个棱剪开，展开成一个平面图形，至少应有一条边与另外一个正方形的某条能得到那些平面图形？边相连。
⑴
⑵ 思考：下面两个图形，能把它们经过折这个可以折叠，围成一个正方体叠围成正方吗？体这个围不 ⑶ 成正方体
沿着这样的虚线把它们分别剪开，能展开成什么样的平面图形？
小结：㈠学习了棱柱的几个特征：
⑴上下底面完全相同。
⑵侧棱长都相等。 ⑶侧面都是长方形。
㈡学习了正方体的十一种形式的展开图和圆柱、圆锥的侧面展开图。
义务教育课程标准实验教科书
七年级上册数学
2 展开与折叠
第一章 1 2
丰富的图形世界
生活中的立体图形
展开与折叠截一个几何体从不同方向看生活中的平面图形
3
4
5
2
展开与折叠
底面
侧面
（1）这个棱柱的上、下底面一样吗它们各有几条边？
（2）这个棱柱有几个侧面？侧面的形状是什么图形？（3）侧面的个数与底面图形的边数有什么关系？

2021年北师大版小升初数学衔接专题02《展开与折叠》精编讲义

2021年北师大版暑假小升初数学衔接精编讲义

专题02《展开与折叠》

知识互联网

学习目标

1．了解直棱柱、圆柱、圆锥的侧面展开图，能根据展开图想象和制作立体模型．

知识要点

要点1：展开与折叠

有些立体图形是由一些平面图形围成，将它们的表面适当剪开，可以展开成平面图形，这样的平面图形称为相应立体图形的展开图．

要点分析：

(1)不是所有的立体图形都可以展成平面图形．例如，球便不能展成平面图形．

(2)不同的立体图形可展成不同的平面图形；同一个立体图形，沿不同的棱剪开，也可得到不同的平面图．

题型1：几何体的展开图

典例精讲

【典型例题1】（2021•顺义区二模）如图是某个几何体的展开图，该几何体是()

A．三棱柱B．四棱柱C．圆柱D．圆锥

【完整解答】从展开图可知，该几何体有五个面，两个三角形的底面，三个长方形的侧面，因此该几何体是三棱柱，

故选：A．

【典型例题2】（2020秋•中原区校级月考）如图①所示，从大正方体中截去一个小正方体之后，可以得到图②的几何体．

（1）设原大正方体的表面积为a，图②中几何体的表面积为b，那么a与b的大小关系是C；

A．a b

=；D．无法判断．

<；C．a b

>；B．a b

（2）小明说“设图①中大正方体的棱长之和为m，图②中几何体的各棱长之和为n，那么n比m正好多出大正方体的3条棱的长度．”你认为小明的说法正确吗？为什么？

（3）如果截去的小正方体的棱长为大正方体的棱长的一半，那么图③是图②几何体的表面展开图吗？如有错误，请予修正．

【完整解答】（1）根据“切去三个小面”但又“新增三个小面”，因此与原来的表面积相等，即a b

几何体的展开与折叠 (讲义及答案)

2展开与折叠

展开与折叠(二)

初一上册第一章生活中的立体图形 展开与折叠讲义

专题01_常见立体图形分类及展开与折叠(解析版)

立体几何中的折叠问题含解析

几何体的展开与折叠(讲义)(含答案)

2024年秋季新北师大版七年级上册数学教学课件 1.2.2 常见几何体的展开与折叠

北师大版七年级数学上册《展开与折叠》例题讲解与变式(含答案)

七年级数学上册专题第1讲图形的展开与折叠重点、考点知识总结及练习

展开与折叠

中考数学考前知识点命题点精讲3 立体图形的展开与折叠

立体几何中的折叠与展开问题

展开与折叠

2021年北师大版小升初数学衔接专题02《展开与折叠》精编讲义

初一上册第一章生活中的立体图形展开与折叠讲义