高等动力学 第二章 2.3
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§2.3 阿佩尔方程和凯恩方程
§2.3 阿佩尔方程
阿佩尔方程是处理非完整系统的经典方法之一，其 理论基础是以准速度作为系统的独立变量，代替传统使 用的广义坐标。
准速度和准坐标 阿佩尔方程
刚体的加速度能量
1.准速度和准坐标
设质点系由N个质点Pi（i=1,2，…，N）组成，且 存在r 个完整约束和 s个线性非完整约束。选择l=3N-r 个广义坐标qj（j=1,2, …，l）描述系统的位形。 j的非完整约束方程如式 （ 限制广义速度 q 1.1.13 ）所示：
(2.3.18)
由 于 δ uv （ v=1,2, … ， l-s ） 为 独 立 变 分 ， 方 程 （2.3.18）成立的充分必要条件为各变分前的系数为 零，从而导出f个独立的运动微分方程
G ~ Qv (v 1， 2， ，f ) (2.3.19) v u
上式由阿佩尔于1899年导出，称为阿佩尔方程。
1 1 2 2 cos ) 2 (l sin ) 2 ] G mAx mB[(l x x 2 2 1 1 2 2l cos 2 sin )] (与加速度无关项 ) (a) 2 mB[l 2 ( (mA mB ) x x 2 2
利用上式计算各个质点在同一时间同一位置的速度变 分，得到 l i r i j (i 1 r q ， 2， ，N ) (2.3.9) j q
j 1
j以准速度变分 uv表示为 利用式（ 2.3.4）可将其中的 q j q
v 1
f
hjvuv
百度文库
(2.3.10)
则式（2.3.13）化作
l
f
(
Qjhjv
v 1
j 1
N i 1
ri mi ri )uv 0 v u
(2.3.15)
引入以下物理量：
~ Qv
l j 1
Qjhjv (v 1 ， 2， f )（2.3.16）
G
N i 1
1 mi ri ri (2.3.17) 2
为计算广义力，先列出全 部作用力的虚功率，
kx)x P (cx (b) mBgl sin
对于准速度即广义速度的特殊情形，准速度对应的 广义力与广义坐标对应的广义力完全相同。由上式 导出
~ ~ kx)，Q Q mBgl sin Qx Qx (cx
将式（2.3.9），（2.3.10）和（2.3.12）代入动力 学普遍方程（2.3.7），适当改变求和顺序，得到
l N
f
[
(
v 1
j 1
i 1
ri Fi )hjv qj
N l
mi ri (
i 1
j 1
ri hjv)]uv 0 j q
(2.3.13)
i
mi m ，
i
mii 0 ，
i
mi 2 i Jc
(2.3.22)
导出加速度能量的计算公式 1 2 c Jcw 2 ) (与加速度无关项 ) (2.3.23) G (mv 2
因此作平面运动刚体的加速度能量等于质心运动 与绕质心转动的加速度能量之和，与计算刚体动能 的柯尼希定理相似。 对于作任意运动的刚体，其加速度能量的计算公 式将在第四章§4.3中导出。
(d )
利用式（2.3.23）计算冰刀的加速度能量G，并利用
c，得到 上式消去 y
1 1 2 2 2 2 c c l ） G m( x y 2 12 1 1 2 2 2 2 c 2 t anx c c ) l ] (与加速度无关项 ) (e) m[sec ( x x 2 12
(v 1 ， 2， ，f ) （2.3.2）
式中系数fvj，fv0均为qj和t的函数。
准速度：具有速度量纲的变量uv。可在形式上写作
v uv (v 1 ， 2， ，f ) (2.3.3)
此方程通常不可积。
变量π v（v=1,2，…，f）通常只具有坐标形式而
无物理意义，称为准坐标。 只有在准速度等于广义速度的特殊情形时，准 坐标才等于广义坐标。一般情况下，不可能用准 坐标表示系统的位形。 注意
例2.5 滑块A及悬挂在滑块上的单摆B组成的系统，摆 长为l，滑块和摆的质量分别为mA，mB，滑块受弹簧 约束且受粘性摩擦力作用，弹簧刚度系数为k,粘性 摩擦系数为c。试用阿佩尔方程建立滑块-单摆系统 的运动微分方程。
解：将广义坐标 x，的导数 ，u 2 取作准速度，令 u1 x ，滑块 A和摆 B的加速度如 图所示。系统的加速度 能量为
(c)
将式（a）和（c）代入阿佩尔方程（2.3.19），得到 与例1.10相同的运动微分方程。
3.刚体的加速度能量
刚体内质量为 mi的质点的加速度 ri可分解为 i 质心加速度 rc和由转动引起的相对加 速度 p i c i (2.3.20) r r p
~ Qv(v 1 ， 2， ，f )称为与准速度 uv对应的广义力
G称为质点系的加速度能量或吉布斯函数，是系 统的另一类动力学函数。它与动能的表达式形式上相 似，但不具有能量的含意，只是用加速度代替了动能 中的速度。
可将利用上述物理量方程（2.3.15）写作
v 1
f
~ G (Qv )uv 0 v u
N i 1
i 0 ( Fi mi ri ) r
(2.3.7)
(i 1 j完全确定 各质点的速度 r ， 2， ，N )由广义速度 q i r i(q 1，q 2， j；q1，q 2， r ，q ，ql，t ) （i 1 ， 2， ，N）（2.3.8）
将式（2.3.8）对t再微分一次。得到
ri
l j 1
i r j (与q j无关项 ) （i 1 q ， 2， ，N）（2.3.11 ） j q
利用上式及P20（1.3.16a）导出
i ri ri r j q j qj q (i 1 ， 2， ，N；j 1， 2， ，l ) （2.3.12）
例2.6 在倾角为α 的冰面上运动的冰刀，简化为长度 为l的均质杆AB，其质心0c的速度方向保持与刀刃AB一 致。试利用阿佩尔方程建立冰刀的运动微分方程。
解：将广义坐标中的xc，ϑ的
导数取作准速度，令
，从例1.3给 c，u 2 u1 x 出的约束方程解出 c x c tan (a) y
与广义坐标xc，yc，ϑ对应的广义力依次为
Q1 0，Q2 -mgsin ，Q3 0
代入式（2.3.16），令h11=1，
（b）
h12=tanϑ，h32=1，其余hjv为零， 导出
~ ~ Q1 mgsin tan，Q2 0 (c)
将约束方程（a）对t微分一次，化作
2 yc xc tan xc sec
对于刚体作平面运动的特殊情形，刚体的角速度 垂直此平面，质点的相对加速度可分解为切向和 径向分量。设vc为刚体的质心速度，则有
c rc v 2 i w ie t w ie r p
(2.3.21)
式中 et ， er 为质点相对质心 Oc 的切向和径向基矢量。 将式（2.3.21）代入式（2.3.20）和（2.3.17），展 开后考虑 er ， et 正交，设刚体质量为 m ，相对质心的 转动惯量为Jc，令
由于（ 2.3.1 ）和（ 2.3.2 ）各式均相互独立，构 j，得到 成l个线性无关的代数方程组。 从中解出 q
j q
v 1
f
hjvuv hj 0
( j 1 ， 2， ，l ) （2.3.4）
将上式对t再微分一次，得到
j q
v 1
f
v (与u v无关项) （j 1 hjvu ， 2， ，l） （2.3.5）
l j 1
j Bk 0 0 Bkjq
(k 1,2, ，s）
（2.3.1）
式中系数Bkj，Bk0的定义见式P7（1.1.14）。
在普遍情况下，可构造出f个相互独立的广义速度的 线性组合作为独立变量，记作uv（v=1,2, …，f）
uv
l j 1
j fv 0 fvjq
上式第一项圆括号内的求和式即式P18（1.3.4）所 定义的广义力Qj（1,2，…，l）。 将式（2.3.6）代入上式第二项圆括号，化作
l j 1
ri hjv j q
l j 1
j ri q ri j u v u v q
(i 1 ， 2， ，N；v 1 ， 2， ，f ) (2.3.14)
式中参数hjv应满足
j q j q hjv v uv u
( j 1， 2， ，l；v 1， 2， ，f ) （2.3.6）
2.阿佩尔方程
列出虚功率形式的动力学普遍方程 P15 （ 1.2.6 ）， 限制虚速度为无限小量，将变更符号△改用变分 符号δ 代替。得到
将式（c），（e）代入阿佩尔方程（2.3.19），导出 冰刀的运动微分方程
tan g sin cos sin 0 c x c x 0
(f)
例2.4导出的微分方程消去λ 乘子后，可以化作同 样结果。
§2.3 阿佩尔方程
阿佩尔方程是处理非完整系统的经典方法之一，其 理论基础是以准速度作为系统的独立变量，代替传统使 用的广义坐标。
准速度和准坐标 阿佩尔方程
刚体的加速度能量
1.准速度和准坐标
设质点系由N个质点Pi（i=1,2，…，N）组成，且 存在r 个完整约束和 s个线性非完整约束。选择l=3N-r 个广义坐标qj（j=1,2, …，l）描述系统的位形。 j的非完整约束方程如式 （ 限制广义速度 q 1.1.13 ）所示：
(2.3.18)
由 于 δ uv （ v=1,2, … ， l-s ） 为 独 立 变 分 ， 方 程 （2.3.18）成立的充分必要条件为各变分前的系数为 零，从而导出f个独立的运动微分方程
G ~ Qv (v 1， 2， ，f ) (2.3.19) v u
上式由阿佩尔于1899年导出，称为阿佩尔方程。
1 1 2 2 cos ) 2 (l sin ) 2 ] G mAx mB[(l x x 2 2 1 1 2 2l cos 2 sin )] (与加速度无关项 ) (a) 2 mB[l 2 ( (mA mB ) x x 2 2
利用上式计算各个质点在同一时间同一位置的速度变 分，得到 l i r i j (i 1 r q ， 2， ，N ) (2.3.9) j q
j 1
j以准速度变分 uv表示为 利用式（ 2.3.4）可将其中的 q j q
v 1
f
hjvuv
百度文库
(2.3.10)
则式（2.3.13）化作
l
f
(
Qjhjv
v 1
j 1
N i 1
ri mi ri )uv 0 v u
(2.3.15)
引入以下物理量：
~ Qv
l j 1
Qjhjv (v 1 ， 2， f )（2.3.16）
G
N i 1
1 mi ri ri (2.3.17) 2
为计算广义力，先列出全 部作用力的虚功率，
kx)x P (cx (b) mBgl sin
对于准速度即广义速度的特殊情形，准速度对应的 广义力与广义坐标对应的广义力完全相同。由上式 导出
~ ~ kx)，Q Q mBgl sin Qx Qx (cx
将式（2.3.9），（2.3.10）和（2.3.12）代入动力 学普遍方程（2.3.7），适当改变求和顺序，得到
l N
f
[
(
v 1
j 1
i 1
ri Fi )hjv qj
N l
mi ri (
i 1
j 1
ri hjv)]uv 0 j q
(2.3.13)
i
mi m ，
i
mii 0 ，
i
mi 2 i Jc
(2.3.22)
导出加速度能量的计算公式 1 2 c Jcw 2 ) (与加速度无关项 ) (2.3.23) G (mv 2
因此作平面运动刚体的加速度能量等于质心运动 与绕质心转动的加速度能量之和，与计算刚体动能 的柯尼希定理相似。 对于作任意运动的刚体，其加速度能量的计算公 式将在第四章§4.3中导出。
(d )
利用式（2.3.23）计算冰刀的加速度能量G，并利用
c，得到 上式消去 y
1 1 2 2 2 2 c c l ） G m( x y 2 12 1 1 2 2 2 2 c 2 t anx c c ) l ] (与加速度无关项 ) (e) m[sec ( x x 2 12
(v 1 ， 2， ，f ) （2.3.2）
式中系数fvj，fv0均为qj和t的函数。
准速度：具有速度量纲的变量uv。可在形式上写作
v uv (v 1 ， 2， ，f ) (2.3.3)
此方程通常不可积。
变量π v（v=1,2，…，f）通常只具有坐标形式而
无物理意义，称为准坐标。 只有在准速度等于广义速度的特殊情形时，准 坐标才等于广义坐标。一般情况下，不可能用准 坐标表示系统的位形。 注意
例2.5 滑块A及悬挂在滑块上的单摆B组成的系统，摆 长为l，滑块和摆的质量分别为mA，mB，滑块受弹簧 约束且受粘性摩擦力作用，弹簧刚度系数为k,粘性 摩擦系数为c。试用阿佩尔方程建立滑块-单摆系统 的运动微分方程。
解：将广义坐标 x，的导数 ，u 2 取作准速度，令 u1 x ，滑块 A和摆 B的加速度如 图所示。系统的加速度 能量为
(c)
将式（a）和（c）代入阿佩尔方程（2.3.19），得到 与例1.10相同的运动微分方程。
3.刚体的加速度能量
刚体内质量为 mi的质点的加速度 ri可分解为 i 质心加速度 rc和由转动引起的相对加 速度 p i c i (2.3.20) r r p
~ Qv(v 1 ， 2， ，f )称为与准速度 uv对应的广义力
G称为质点系的加速度能量或吉布斯函数，是系 统的另一类动力学函数。它与动能的表达式形式上相 似，但不具有能量的含意，只是用加速度代替了动能 中的速度。
可将利用上述物理量方程（2.3.15）写作
v 1
f
~ G (Qv )uv 0 v u
N i 1
i 0 ( Fi mi ri ) r
(2.3.7)
(i 1 j完全确定 各质点的速度 r ， 2， ，N )由广义速度 q i r i(q 1，q 2， j；q1，q 2， r ，q ，ql，t ) （i 1 ， 2， ，N）（2.3.8）
将式（2.3.8）对t再微分一次。得到
ri
l j 1
i r j (与q j无关项 ) （i 1 q ， 2， ，N）（2.3.11 ） j q
利用上式及P20（1.3.16a）导出
i ri ri r j q j qj q (i 1 ， 2， ，N；j 1， 2， ，l ) （2.3.12）
例2.6 在倾角为α 的冰面上运动的冰刀，简化为长度 为l的均质杆AB，其质心0c的速度方向保持与刀刃AB一 致。试利用阿佩尔方程建立冰刀的运动微分方程。
解：将广义坐标中的xc，ϑ的
导数取作准速度，令
，从例1.3给 c，u 2 u1 x 出的约束方程解出 c x c tan (a) y
与广义坐标xc，yc，ϑ对应的广义力依次为
Q1 0，Q2 -mgsin ，Q3 0
代入式（2.3.16），令h11=1，
（b）
h12=tanϑ，h32=1，其余hjv为零， 导出
~ ~ Q1 mgsin tan，Q2 0 (c)
将约束方程（a）对t微分一次，化作
2 yc xc tan xc sec
对于刚体作平面运动的特殊情形，刚体的角速度 垂直此平面，质点的相对加速度可分解为切向和 径向分量。设vc为刚体的质心速度，则有
c rc v 2 i w ie t w ie r p
(2.3.21)
式中 et ， er 为质点相对质心 Oc 的切向和径向基矢量。 将式（2.3.21）代入式（2.3.20）和（2.3.17），展 开后考虑 er ， et 正交，设刚体质量为 m ，相对质心的 转动惯量为Jc，令
由于（ 2.3.1 ）和（ 2.3.2 ）各式均相互独立，构 j，得到 成l个线性无关的代数方程组。 从中解出 q
j q
v 1
f
hjvuv hj 0
( j 1 ， 2， ，l ) （2.3.4）
将上式对t再微分一次，得到
j q
v 1
f
v (与u v无关项) （j 1 hjvu ， 2， ，l） （2.3.5）
l j 1
j Bk 0 0 Bkjq
(k 1,2, ，s）
（2.3.1）
式中系数Bkj，Bk0的定义见式P7（1.1.14）。
在普遍情况下，可构造出f个相互独立的广义速度的 线性组合作为独立变量，记作uv（v=1,2, …，f）
uv
l j 1
j fv 0 fvjq
上式第一项圆括号内的求和式即式P18（1.3.4）所 定义的广义力Qj（1,2，…，l）。 将式（2.3.6）代入上式第二项圆括号，化作
l j 1
ri hjv j q
l j 1
j ri q ri j u v u v q
(i 1 ， 2， ，N；v 1 ， 2， ，f ) (2.3.14)
式中参数hjv应满足
j q j q hjv v uv u
( j 1， 2， ，l；v 1， 2， ，f ) （2.3.6）
2.阿佩尔方程
列出虚功率形式的动力学普遍方程 P15 （ 1.2.6 ）， 限制虚速度为无限小量，将变更符号△改用变分 符号δ 代替。得到
将式（c），（e）代入阿佩尔方程（2.3.19），导出 冰刀的运动微分方程
tan g sin cos sin 0 c x c x 0
(f)
例2.4导出的微分方程消去λ 乘子后，可以化作同 样结果。