⑥高二寒假伯乐教育--第八章解析几何学生(文科)--双曲线

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高二数学双曲线知识点总结

高二数学双曲线知识点总结高二数学双曲线知识点总结双曲线是高二数学中较难的内容，同时也是高中数学的重点。

下面小编给高二同学带来数学双曲线知识点，希望对你有帮助。

高二数学双曲线知识点总结1、向量的加法向量的加法满足平行四边形法则和三角形法则。

AB+BC=AC。

a+b=(x+x'，y+y')。

a+0=0+a=a。

向量加法的运算律：交换律：a+b=b+a;结合律：(a+b)+c=a+(b+c)。

2、向量的减法如果a、b是互为相反的向量，那么a=-b，b=-a，a+b=0. 0的反向量为0AB-AC=CB. 即“共同起点，指向被减”a=(x,y) b=(x',y') 则 a-b=(x-x',y-y').3、数乘向量实数λ和向量a的乘积是一个向量，记作λa，且∣λa∣=∣λ∣·∣a∣。

当λ>0时，λa与a同方向;当λ<0时，λa与a反方向;当λ=0时，λa=0，方向任意。

当a=0时，对于任意实数λ，都有λa=0。

注：按定义知，如果λa=0，那么λ=0或a=0。

实数λ叫做向量a的系数，乘数向量λa的几何意义就是将表示向量a的有向线段伸长或压缩。

当∣λ∣>1时，表示向量a的有向线段在原方向(λ>0)或反方向(λ<0)上伸长为原来的∣λ∣倍;当∣λ∣<1时，表示向量a的有向线段在原方向(λ>0)或反方向(λ<0)上缩短为原来的∣λ∣倍。

数与向量的乘法满足下面的运算律结合律：(λa)·b=λ(a·b)=(a·λb)。

向量对于数的分配律(第一分配律)：(λ+μ)a=λa+μa.数对于向量的分配律(第二分配律)：λ(a+b)=λa+λb.数乘向量的消去律：① 如果实数λ≠0且λa=λb，那么a=b。

② 如果a≠0且λa=μa，那么λ=μ。

4、向量的的数量积定义：两个非零向量的夹角记为〈a，b〉，且〈a，b〉∈[0，π]。

高考数学一轮复习第八章解析几何第6讲双曲线课件文新人教版

双曲线的实半轴长为半径长的圆与双曲线的两条渐近线相交于 A，B，
C，D 四点，四边形 ABCD 的面积为 2b，则双曲线的方程为( )
A.x42－34y2＝1
B.x42－43y2＝1
C.x42－y42＝1
D.x42－1y22 ＝1
[解析] 由题意知双曲线的渐近线方程为 y＝±b2x，圆的双曲线的定义有|PF1|－|PF2|＝|PF2|＝2a＝2 2， ∴|PF1|＝2|PF2|＝4 2，则 cos∠F1PF2＝|PF1|22＋|P|PFF1|2·||P2－F2||F1F2|2 ＝4 22×24＋22×222－2 42＝34.
[答案]
3 4
方法感悟 (1)利用双曲线的定义判定平面内动点与两定点的轨迹是否为双曲线，进而根据要求可求出双曲线方程； (2)在“焦点三角形”中，常利用正弦定理、余弦定理，经常结合||PF1|－|PF2||＝2a，运用平方的方法，建立与|PF1|·|PF2|的联系．
A1(0，－a)，A2(0，a) y＝±abx
e＝
c a
，e∈(1，＋∞)
实虚轴
线段 A1A2 叫做双曲线的实轴，它的长|A1A2| ＝2a；线段 B1B2 叫做双曲线的虚轴，它的长 |B1B2|＝2b；a 叫做双曲线的实半轴长，b 叫做双曲线的虚半轴长
a，b，c 的关系
c2＝ a2＋b2
3．等轴双曲线实轴和虚轴等长的双曲线叫做等轴双曲线，其标准方程
【针对补偿】
1．(2018·广西第一次质量检测)若以 F1(－ 3，0)，F2( 3，0)为焦点的双曲线过点(2,1)，则该双曲线的标准方程为________．
[解析] 依题意，设题中的双曲线方程是ax22－by22＝1(a>0，b>0)，

高等数学第八章解析几何(数学第八章平面解析几何)

高等数学第八章解析几何（数学第八章平面解析几何）
双曲线的定义：
2.双曲线的标准方程
双曲线与椭圆的比较
以F1,F2所在直线为某轴，线段F1F2的垂直平分线为y轴，建立平
面直角坐标系某Oy，此时双曲线的焦点分别为F1（-c,0）,F2（c,0）设
P（某,y）是双曲线上一点，则，(，PF1，-，PF2，)，=2a,因为，PF1，
=√(〖(某c)〗^2y^2),，PF_2，=√(〖(某-c)〗^2y^2),所以√(〖(某c)〗^2y^2)-√((某-c)^2y^2)=±2a①
且②与①右边同时取正号或负号，①②整理得
将③式平方再整理得〖c^2-a〗^2/a^2 某^2-y^2= 〖c^2-a〗^2 ④因
为c>a>0，所以〖c^2-a〗^2>0设〖c^2-a〗^2=b^2且b>0,则④可化为某
^2/a^2 -y^2/b^2 =1 (a>0，b>0) 求双曲线的标准方程：与求椭圆的标准
方程的方法相似,可以先根据其焦点位置设出标准方程,然后用待定系数法
求出a,b的值.若焦点位置不确定,可按焦点在某轴和y轴上两种情况讨论
求解,此方法思路清晰,但过程复杂.若双曲线过两定点,可设其方程为m某
² ny²=1(mn<0),通过解方程组即可确定m,n,避免了讨论,从而简化求解过程.双曲线的几何性质
(1)双曲线与椭圆的六个不同点:
(2)等轴双曲线：是实轴和虚轴等长的双曲线,它的渐近线方程是
y=±某,离心率为√2.(3)共轭双曲线:以已知双曲线的虚轴为实轴,实轴为
虚轴的双曲线叫做原双曲线的共轭双曲线
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2024届高考数学一轮复习第8章第6节双曲线课件

第八章平面解析几何
第六节双曲线
考试要求：1．了解双曲线的定义、几何图形和标准方程． 2．了解双曲线的简单几何性质．
01
必备知识·回顾教材重“四基”
一、教材概念·结论·性质重现
1．双曲线的定义平面内与两个定点F1，F2的距离的差___的_绝__对__值___等于非零常数(小于 |F1F2|)的点的轨迹叫做双曲线，这两个定点叫做双曲线的_焦__点__，两焦点间的距离叫做双曲线的_焦__距__．
焦点三角形，其中∠F1PF2为顶角θ，F1F2为底边． (1)在椭圆中， ①焦点三角形的周长是定值，l＝2a＋2c. ②△PF1F2中三边的关系，除定义|PF1|＋|PF2|＝2a外，还有余弦
定理： |F1F2|2＝|PF1|2＋|PF2|2－2|PF1|·|PF2|·cos θ. ③|PF1|·|PF2|的最大值为a2(当且仅当x0＝0时取得)，最小值为
图2
思路参考：设出点P(m，n)，利用过两点的斜率公式与倾斜角关系求解． C 解析：如图，作PM⊥AF于点M，
1．本题考查双曲线的离心率的计算，其基本策略是根据双曲线的几何性质寻找a，c的关系式． 2．基于课程标准，解答本题要熟练掌握双曲线的定义，直线的斜率公式和正切的二倍角公式．本题的解答体现了数学运算的核心素养． 3．基于高考数学评价体系，本题通过知识间的相互联系和转化，体现了基础性和综合性的统一．
集合P＝{M|||MF1|－|MF2||＝2a}，|F1F2|＝2c，其中a，c为常数且a>0， c>0. (1)当a<c时，点P的轨迹是双曲线． (2)当a＝c时，点P的轨迹是以F1，F2为端点的两条射线． (3)当a>c时，点P不存在．
2．双曲线的标准方程和几何性质

高考数学(文科)复习第八单元第43讲双曲线

[解析] ∵方程 ��2 + ��2 =1 表示双曲线,
�� -2 �� +3
∴(m-2)(m+3)<0,解得-3<m<2,∴实数
m 的取值范围是(-3,2).
课前双基巩固
3.[教材改编]
与双曲线�� 2
9
-��1��62
C 的渐近线上,∴c'=5,2��'=1,又 c'2=a'2+b'2,∴a'= 5,b'=2 5,
��'
∴双曲线
C
的方程为�� 2
5
-2��02=1.
综上,双曲线
C
的方程为2��02-��52=1
或�� 2
5
-2��02=1.
课堂考点探究
(1)当 a<c 时,M 点的轨迹是双曲线 ; (2)当 a=c 时,M 点的轨迹是两条射线 ; (3)当 a>c 时,M 点不存在.
课前双基巩固
2.双曲线的标准方程和几何性质
标准方程
xa22-by22=1(a>0,b>0)
y a
2 2
-bx22
=1(a>0,b>0)
范围
性对称性质
顶点渐近线
课堂考点探究
考点一双曲线的定义及标准方程
考向1 利用定义求方程
例 1 (1)若点 P 是以 F1,F2 为左、右焦点的双曲线
x2-��
2 2
=1(b>0)上一点,PF1⊥PF2,且|PF1|=2|PF2|,则

高考数学一轮复习第八章解析几何第四节双曲线讲义含解析051319.doc

第四节双曲线突破点一双曲线的定义和标准方程[基本知识]1．双曲线的定义平面内与两个定点F 1，F 2的距离的差的绝对值等于常数(小于|F 1F 2|)的点的轨迹叫做双曲线．这两个定点叫做双曲线的焦点，两焦点间的距离叫做双曲线的焦距．集合P ＝{M |||MF 1|－|MF 2||＝2a }，|F 1F 2|＝2c ，其中a ，c 为常数且a ＞0，c ＞0. (1)当2a ＜|F 1F 2|时，P 点的轨迹是双曲线； (2)当2a ＝|F 1F 2|时，P 点的轨迹是两条射线； (3)当2a ＞|F 1F 2|时，P 点不存在． 2．标准方程(1)中心在坐标原点，焦点在x 轴上的双曲线的标准方程为x 2a 2－y 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)；(2)中心在坐标原点，焦点在y 轴上的双曲线的标准方程为y 2a 2－x 2b2＝1(a ＞0，b ＞0)．[基本能力]一、判断题(对的打“√”，错的打“×”)(1)平面内到两定点的距离的差等于常数(小于两定点间距离)的点的轨迹是双曲线．( )(2)在双曲线标准方程x 2a 2－y 2b2＝1中，a ＞0，b ＞0且a ≠b .( )(3)双曲线标准方程中，a ，b 的大小关系是a ＞b .( ) 答案：(1)× (2)× (3)× 二、填空题1．已知F 为双曲线C ：x 29－y 216＝1的左焦点，P ，Q 为C 上的点．若P Q 的长等于虚轴长的2倍，点A (5,0)在线段P Q 上，则△P Q F 的周长为________．答案：442．经过点P (－3,27)和Q(－62，－7)，且焦点在y 轴上的双曲线的标准方程是________．答案：y 225－x 275＝13．已知定点A ，B 且|AB |＝4，动点P 满足|PA |－|PB |＝3，则|PA |的最小值为________．答案：72[全析考法]考法一双曲线的定义及应用(1)在解决与双曲线的焦点有关的问题时，通常考虑利用双曲线的定义解题； (2)在运用双曲线的定义时，应特别注意定义中的“差的绝对值”，弄清是整个双曲线还是双曲线的某一支．[例1] (1)(2019·宁夏育才中学月考)设P 是双曲线x 216－y 220＝1上一点，F 1，F 2分别是双曲线的左、右焦点，若|PF 1|＝9，则|PF 2|等于( )A ．1B ．17C ．1或17D ．以上均不对(2)已知点P 在曲线C 1：x 216－y 29＝1上，点Q 在曲线C 2：(x －5)2＋y 2＝1上，点R 在曲线C 3：(x ＋5)2＋y 2＝1上，则|P Q|－|PR |的最大值是( )A ．6B ．8C ．10D ．12[解析] (1)根据双曲线的定义得||PF 1|－|PF 2||＝8⇒PF 2＝1或17. 又|PF 2|≥c －a ＝2，故|PF 2|＝17，故选B.(2)由题意可知C 3，C 2的圆心分别是双曲线C 1：x 216－y 29＝1的左、右焦点，点P 在双曲线的左支上，则|PC 2|－|PC 3|＝8.|P Q|max ＝|PC 2|＋1，|PR |min ＝|PC 3|－1，所以|P Q|－|PR |的最大值为(|PC 2|＋1)－(|PC 3|－1)＝|PC 2|－|PC 3|＋2＝8＋2＝10.故选C.[答案] (1)B (2)C [方法技巧]双曲线定义的主要应用方面(1)判定平面内动点与两定点的轨迹是否为双曲线，进而根据要求可求出曲线方程． (2)在“焦点三角形”中，常利用正弦定理、余弦定理，结合||PF 1|－|PF 2||＝2a ，运用平方的方法，建立与|PF 1|·|PF 2|的联系．考法二双曲线的标准方程待定系数法求双曲线方程的5种类型[例2] (2018·天津高考)已知双曲线x 2a 2－y 2b2＝1(a ＞0，b ＞0)的离心率为2，过右焦点且垂直于x 轴的直线与双曲线交于A ，B 两点．设A ，B 到双曲线的同一条渐近线的距离分别为d 1和d 2，且d 1＋d 2＝6，则双曲线的方程为( )A.x 24－y 212＝1B.x 212－y 24＝1 C.x 23－y 29＝1 D.x 29－y 23＝1[解析] 法一：如图，不妨设A 在B 的上方，则A ⎝ ⎛⎭⎪⎫c ，b 2a ，B ⎝ ⎛⎭⎪⎫c ，－b 2a . 又双曲线的一条渐近线为bx －ay ＝0，则d 1＋d 2＝bc －b 2＋bc ＋b 2a 2＋b 2＝2bc c ＝2b＝6，所以b ＝3.又由e ＝c a＝2，知a 2＋b 2＝4a 2，所以a ＝ 3. 所以双曲线的方程为x 23－y 29＝1.法二：由d 1＋d 2＝6，得双曲线的右焦点到渐近线的距离为3，所以b ＝3.因为双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)的离心率为2，所以c a ＝2，所以a 2＋b 2a 2＝4，所以a 2＋9a2＝4，解得a 2＝3，所以双曲线的方程为x 23－y 29＝1，故选C.[答案] C[方法技巧]求双曲线方程的思路(1)如果已知双曲线的中心在原点，且确定了焦点在x 轴上或y 轴上，则设出相应形式的标准方程，然后根据条件确定关于a ，b ，c 的方程组，解出a 2，b 2，从而写出双曲线的标准方程(求得的方程可能是一个，也有可能是两个，注意合理取舍，但不要漏解)．(2)当焦点位置不确定时，有两种方法来解决：一种是分类讨论，注意考虑要全面；另一种是设双曲线的一般方程为mx 2＋ny 2＝1(mn ＜0)求解．[集训冲关]1.[考法一]虚轴长为2，离心率e ＝3的双曲线的两焦点为F 1，F 2，过F 1作直线交双曲线的一支于A ，B 两点，且|AB |＝8，则△ABF 2的周长为( )A ．3B ．16＋ 2C ．12＋ 2D ．24解析：选B ∵2b ＝2，e ＝c a＝3，∴b ＝1，c ＝3a ， ∴9a 2＝a 2＋1，∴a ＝24. 由双曲线的定义知：|AF 2|－|AF 1|＝2a ＝22， ① |BF 2|－|BF 1|＝22，②①＋②得|AF 2|＋|BF 2|－(|AF 1|＋|BF 1|)＝2，又|AF 1|＋|BF 1|＝|AB |＝8，∴|AF 2|＋|BF 2|＝8＋2，则△ABF 2的周长为16＋2，故选B.2.[考法二]设k ＞1，则关于x ，y 的方程(1－k )x 2＋y 2＝k 2－1所表示的曲线是( ) A ．长轴在x 轴上的椭圆 B ．长轴在y 轴上的椭圆 C ．实轴在x 轴上的双曲线D ．实轴在y 轴上的双曲线解析：选D ∵k ＞1，∴1－k ＜0，k 2－1＞0，∴方程(1－k )x 2＋y 2＝k 2－1所表示的曲线是实轴在y 轴上的双曲线，故选D.3.[考法二]已知双曲线过点(2,3)，渐近线方程为y ＝±3x ，则该双曲线的标准方程是( )A.7x 216－y 212＝1 B.y 23－x22＝1 C ．x 2－y 23＝1 D.3y 223－x223＝1解析：选C 法一：当双曲线的焦点在x 轴上时，设双曲线的标准方程是x 2a 2－y 2b2＝1(a ＞0，b ＞0)，由题意得⎩⎪⎨⎪⎧4a 2－9b 2＝1，ba ＝3，解得⎩⎨⎧a ＝1，b ＝3，所以该双曲线的标准方程为x2－y 23＝1；当双曲线的焦点在y 轴上时，设双曲线的标准方程是y 2a 2－x 2b2＝1(a ＞0，b ＞0)，由题意得⎩⎪⎨⎪⎧9a 2－4b 2＝1，ab ＝3，无解．故该双曲线的标准方程为x 2－y 23＝1，选C.法二：当其中的一条渐近线方程y ＝3x 中的x ＝2时，y ＝23＞3，又点(2,3)在第一象限，所以双曲线的焦点在x 轴上，设双曲线的标准方程是x 2a 2－y 2b2＝1(a ＞0，b ＞0)，由题意得⎩⎪⎨⎪⎧4a 2－9b 2＝1，b a ＝3，解得⎩⎨⎧a ＝1，b ＝3，所以该双曲线的标准方程为x 2－y 23＝1，故选C.法三：因为双曲线的渐近线方程为y ＝±3x ，即y3＝±x ，所以可设双曲线的方程是x 2－y 23＝λ(λ≠0)，将点(2,3)代入，得λ＝1，所以该双曲线的标准方程为x 2－y 23＝1，故选C.突破点二双曲线的几何性质[基本知识][基本能力]一、判断题(对的打“√”，错的打“×”)(1)双曲线方程x 2m 2－y 2n 2＝λ(m ＞0，n ＞0，λ≠0)的渐近线方程是x 2m 2－y 2n 2＝0，即x m ±yn＝0.( )(2)等轴双曲线的离心率等于2，且渐近线互相垂直．( ) 答案：(1)√ (2)√ 二、填空题1．双曲线x 216－y 29＝1的渐近线方程为________．答案：3x ±4y ＝02．若双曲线8kx 2－ky 2＝8的一个焦点坐标是(3,0)，则k ＝________. 答案：13．双曲线的渐近线方程为y ＝±34x ，则离心率为________．答案：54或53[全析考法]考法一渐近线问题[例1] (1)(2018·全国卷Ⅱ)双曲线x 2a 2－y 2b2＝1(a ＞0，b ＞0)的离心率为3，则其渐近线方程为( )A ．y ＝±2xB ．y ＝±3xC ．y ＝±22x D ．y ＝±32x (2)(2019·郑州一中入学测试)已知抛物线x 2＝8y 与双曲线y 2a2－x 2＝1(a ＞0)的一个交点为M ，F 为抛物线的焦点，若|MF |＝5，则该双曲线的渐近线方程为( )A ．5x ±3y ＝0B ．3x ±5y ＝0C ．4x ±5y ＝0D ．5x ±4y ＝0[解析] (1)∵e ＝c a ＝a 2＋b 2a＝3，∴a 2＋b 2＝3a 2，∴b ＝2a .∴渐近线方程为y ＝±2x .(2)设点M (x 0，y 0)，则有|MF |＝y 0＋2＝5，所以y 0＝3，x 20＝24，由点M (x 0，y 0)在双曲线y 2a 2－x 2＝1上，得y 20a2－x 20＝1，即9a 2－24＝1，解得a 2＝925，所以双曲线y 2a 2－x 2＝1的渐近线方程为y 2a2－x 2＝0，即3x ±5y ＝0，选B.[答案] (1)A (2)B [方法技巧]求双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)或y 2a 2－x 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)的渐近线方程的方法是令右边的常数等于0，即令x 2a 2－y 2b 2＝0，得y ＝±b a x ；或令y 2a 2－x 2b 2＝0，得y ＝±ab x .反之，已知渐近线方程为y ＝±b a x ，可设双曲线方程为x 2a 2－y 2b2＝λ(a ＞0，b ＞0)．考法二离心率问题[例2] (1)(2018·全国卷Ⅲ)设F 1，F 2是双曲线C ：x 2a 2－y 2b2＝1(a ＞0，b ＞0)的左、右焦点，O 是坐标原点．过F 2作C 的一条渐近线的垂线，垂足为P .若|PF 1|＝6|OP |，则C 的离心率为( )A. 5 B ．2 C. 3D. 2(2)(2018·长春二测)已知双曲线x 2a 2－y 2b2＝1(a ＞0，b ＞0)的左、右焦点分别为F 1，F 2，点P 在双曲线的右支上，且|PF 1|＝4|PF 2|，则双曲线离心率的取值范围是( )A.⎝ ⎛⎦⎥⎤53，2B.⎝ ⎛⎦⎥⎤1，53C ．(1,2]D.⎣⎢⎡⎭⎪⎫53，＋∞ [解析] (1)不妨设一条渐近线的方程为y ＝bax ，则F 2到y ＝b ax 的距离d ＝|bc |a 2＋b2＝b .在Rt △F 2PO 中，|F 2O |＝c ，所以|PO |＝a ，所以|PF 1|＝6a ，又|F 1O |＝c ，所以在△F 1PO 与Rt △F 2PO 中，根据余弦定理得 cos ∠POF 1＝a 2＋c 2－6a22ac＝－cos ∠POF 2＝－a c，即3a 2＋c 2－(6a )2＝0，得3a 2＝c 2，所以e ＝c a＝ 3.(2)由双曲线的定义可知|PF 1|－|PF 2|＝2a ，又|PF 1|＝4|PF 2|，所以|PF 2|＝2a3，由双曲线上的点到焦点的最短距离为c －a ，可得2a 3≥c －a ，解得c a ≤53，即e ≤53，又双曲线的离心率e ＞1，故该双曲线离心率的取值范围为⎝ ⎛⎦⎥⎤1，53，故选B. [答案] (1)C (2)B [方法技巧]求双曲线离心率或其范围的方法(1)求a ，b ，c 的值，由c 2a 2＝a 2＋b 2a 2＝1＋b 2a2直接求e .(2)列出含有a ，b ，c 的齐次方程(或不等式)，借助于b 2＝c 2－a 2消去b ，然后转化成关于e 的方程(或不等式)求解．[集训冲关]1.[考法一]已知双曲线y 2m －x 29＝1(m ＞0)的一个焦点在直线x ＋y ＝5上，则双曲线的渐近线方程为( )A ．y ＝±34xB ．y ＝±43xC ．y ＝±223xD ．y ＝±324x解析：选B 由于双曲线y 2m －x 29＝1(m ＞0)的焦点在y 轴上，且在直线x ＋y ＝5上，直线x ＋y ＝5与y 轴的交点为(0,5)，所以c ＝5，m ＋9＝25，则m ＝16，则双曲线的方程为y 216－x 29＝1，则双曲线的渐近线方程为y ＝±43x .故选B.2.[考法二]若a ＞1，则双曲线x 2a2－y 2＝1的离心率的取值范围是( )A ．(2，＋∞)B ．(2，2)C ．(1，2)D ．(1,2)解析：选C 由题意得双曲线的离心率e ＝a 2＋1a .即e 2＝a 2＋1a 2＝1＋1a2.∵a ＞1，∴0＜1a2＜1，∴1＜1＋1a2＜2，∴1＜e ＜ 2.3.[考法一、二](2018·全国卷Ⅲ)已知双曲线C ：x 2a 2－y 2b2＝1(a ＞0，b ＞0)的离心率为2，则点(4,0)到C 的渐近线的距离为( )A. 2 B ．2 C.322D ．2 2解析：选D ∵e ＝ca ＝1＋b 2a 2＝2，∴ba＝1.∴双曲线的渐近线方程为x ±y ＝0. ∴点(4,0)到C 的渐近线的距离d ＝42＝2 2.4.[考法一、二]已知F 1，F 2是双曲线y 2a 2－x 2b2＝1(a ＞0，b ＞0)的两个焦点，过其中一个焦点与双曲线的一条渐近线平行的直线交双曲线另一条渐近线于点M ，若点M 在以线段F 1，F 2为直径的圆内，则双曲线离心率的取值范围是( )A ．(1,2)B ．(2，＋∞)C ．(1，2)D ．(2，＋∞)解析：选A 如图，不妨设F 1(0，c )，F 2(0，－c )，则过点F 1与渐近线y ＝a b x 平行的直线为y ＝ab x ＋c ，联立得⎩⎪⎨⎪⎧y ＝ab x ＋c ，y ＝－ab x ，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－bc2a ， y ＝c2，即M ⎝ ⎛⎭⎪⎫－bc 2a ，c2.因为点M 在以线段F 1F 2为直径的圆x 2＋y 2＝c 2内，故⎝ ⎛⎭⎪⎫－bc 2a 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫c 22＜c 2，化简得b 2＜3a 2，即c 2－a 2＜3a 2，解得c a ＜2，又双曲线的离心率e ＝c a ＞1，所以双曲线离心率的取值范围是(1,2)．故选A .精美句子1、善思则能“从无字句处读书”。

高中数学解析几何专题之双曲线(汇总解析版)(K12教育文档)

高中数学解析几何专题之双曲线(汇总解析版)(word版可编辑修改)高中数学解析几何专题之双曲线(汇总解析版)(word版可编辑修改) 编辑整理：尊敬的读者朋友们：这里是精品文档编辑中心，本文档内容是由我和我的同事精心编辑整理后发布的，发布之前我们对文中内容进行仔细校对，但是难免会有疏漏的地方，但是任然希望（高中数学解析几何专题之双曲线(汇总解析版)(word版可编辑修改)）的内容能够给您的工作和学习带来便利。

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高中数学解析几何专题之双曲线(汇总解析版)(word版可编辑修改)高中数学讲义之解析几何圆锥曲线第 2 讲双曲线【知识要点】一、双曲线的定义1.双曲线的第一定义:平面内到两个定点F1 、F 的距离之差的绝对值等于定长2a（2叫双曲线,这两个定点叫做双曲线的焦点，两个焦点之间的距离叫做焦距.注1:在双曲线的定义中，必须强调：到两个定点的距离之差的绝对值（记作2a），不但要小于这两个定点之间的距离F1F2（记作2c），而且还要大于零，否则点的是一个双曲线。

具体情形如下：（ⅰ）当2a 0时，点的轨迹是线段F1F2的垂直平分线；(ⅱ）当2a 2c 时，点的轨迹是两条射线;（ⅲ)当2a 2c 时，点的轨迹不存在;高中数学解析几何专题之双曲线(汇总解析版)(word版可编辑修改)（ⅳ）当0 2a 2c时，点的轨迹是双曲线.特别地，若去掉定义中的“绝对值”，则点的轨迹仅表示双曲线的一支.MF MF 2a1 2注2：若用M 表示动点，则双曲线轨迹的几何描述法为F1F2 2c），即M F1 MF F F2 12。

2.双曲线的第二定义：平面内到某一定点的距离与它到定直线的距离之比等于常数e （e 1)的点的轨迹叫做双曲线.二、双曲线的标准方程1.双曲线的标准方程22xy122（1）焦点在x 轴、中心在坐标原点的双曲线的标准方程是0 ，b 0）;ab1高中数学解析几何专题之双曲线(汇总解析版)(word版可编辑修改) 高中数学讲义之解析几何（2）焦点在y 轴、中心在坐标原点的双曲线的标准方程是2y2a2x2b1（a0 ）注：若题目已给出双曲线的标准方程, 那其焦点究竟是在x 轴还是在y 轴, 主要看实半轴跟谁走. 若实半轴跟x 走，则双曲线的焦点在x 轴；若实半轴跟y 走，则双曲线的焦点在y 轴。

高考数学一轮复习第八章解析几何第51讲双曲线

3．双曲线 2x2－y2＝8 的实轴长是( C )
A．2
B．2 2
C．4
D．4 2
解析双曲线 2x2－y2＝8 的标准方程为x42－y82＝1，所以实轴长 2a＝4，故选 C．
4．设双曲线ax22－y92＝1(a＞0)的渐近线方程为 3x±2y＝0，则 a 的值为( C )
A．4
B．3
C．2
D．1
集合
P＝ M MF
1
－MF2＝2a，F1F2＝2c，其中
a，c
为常数，且
a>0，c>0.
(1)当_a_＜__c________时，点 P 的轨迹是双曲线；
(2)当_a_＝__c________时，点 P 的轨迹是两条射线；
(3)当__a_＞__c_______时，点 P 不存在．
2．双曲线的标准方程和几何性质
2．过双曲线 x2－y2＝8 的左焦点 F1 有一条弦 PQ 在左支上，若PQ＝7，F2 是双
曲线的右焦点，则△PF2Q 的周长是( C )
A．28
B．14－8 2
C．14＋8 2 解析由双曲线定义知，
D．8 2
PF2－PF1＝4 2，QF2－QF1＝4 2， ∴PF2＋QF2－(PF1＋QF1)＝8 2. 又PF1＋QF1＝PQ＝7， ∴PF2＋QF2＝7＋8 2. ∴△PF2Q 的周长为 14＋8 2.
标准方程
ax22－by22＝1(a＞0，b＞0)
ay22－bx22＝1(a＞0，b＞0)
图形
范围
x≥a 或 x≤－a，y∈R
y≤－a 或 y≥a，x∈R
性
对称性
对称轴：_坐__标__轴_______，对称中心：_原__点_________

年高二文科数学专题五双曲线

专题六---双曲线定义 a MF MF 221=-（其中2120F F a <<)标准方程x 2a 2-ｙ2b 2=1 (a ＞０,b >0）错误!-错误!=１ (ａ>0,b ＞0) 图形性质范围x ≥a 或x ≤-a y ≤-a 或y ≥ａ对称性对称轴：坐标轴,对称中心：原点焦点F 1(-c,0），F ２(ｃ,0) F 1(０，-c )，F 2(０,c ) 顶点（－a ，０)，(a,0) （0，-a ）,(0,ａ) 轴长焦距＝２c,实轴长＝2ａ，虚轴长＝2bc b a ,,三者间关系 c 2＝a 2+b 2离心率 e =c a 且e >1渐近线 y ＝±错误!ｘｙ＝±错误!x等轴双曲线x ２－ｙ２=λ（λ≠0)．①渐近线方程为:y ＝±x .②离心率为:e =错误!．判断(正确的打“√”,错误的打“×”) (1)平面内到两定点的距离的差等于常数（小于两定点间距离)的点的轨迹是双曲线.( )(2)点A （1,0）,B (-1,0),若|AC ｜-|B Ｃ｜=2，则点C 的轨迹是双曲线．（ )(3）到两定点F １(-3,0)、Ｆ2(3,0)的距离之差的绝对值等于6的点M 的轨迹是两条射线.( )（4)双曲线方程中a ，ｂ分别为实、虚轴长.( )（5)方程y 2a 2-错误!=1(a >0,b >0)的渐近线方程为y =±错误!ｘ.( ） (6)离心率e 越大,双曲线＼f(x 2，a 2）-ｙ2b 2=1的渐近线的斜率绝对值越大.( )【答案】(1)× （2)× (3)√ (４）× （5）× (6)√三、典例分析题型一：双曲线定义的应用例1. (1）设动点M 到Ａ(－５,0)的距离与它到B （5,0)的距离的差等于６,则P 点的轨迹方程是( )A.错误!－错误!=１B.错误!－错误!＝１C.错误!-错误!=1(x ＜0) Ｄ.＼f(x 2,9)－错误!＝1(ｘ>０)【解析】由双曲线的定义得,P 点的轨迹是双曲线的一支.由已知得错误!∴a ＝3,ｃ=5,ｂ＝4.故P 点的轨迹方程为ｘ2９－错误!＝1（x >０）,因此选D.【答案】 D(2) 双曲线1392522=-y x 的两个焦点分别是F １,F 2,双曲线上一点P 到F 1的距离是12，则P 到Ｆ2的距离是（）Ａ．１７ B ．2２Ｃ．7或１7 D ．2或2２【解析】由双曲线方程x 2２5－错误!=1得a =５，∴||P Ｆ１｜－|P Ｆ2｜|=2×５＝１0. 又∵｜PF 1|=12，∴|P Ｆ2|=２(舍）或22.故选B 【答案】 B(3）已知双曲线x ２６－错误!＝１的焦点为Ｆ1,F 2，点M 在双曲线上,且ＭＦ1⊥x 轴,则F 1到直线F ２M 的距离为( ）A.错误! B ．错误! C.错误! D.错误!【解析】不妨设点F １(－3,0），容易计算得出|MF 1|=错误!=错误!，|MF ２｜－|M Ｆ1|=2错误!.解得|MF 2|＝错误!错误!.而|Ｆ1Ｆ2|＝６,在直角三角形MF 1F ２中，由错误!|MF 1｜·|Ｆ1F 2|＝错误!|MF 2｜·d ，求得F １到直线Ｆ2M 的距离ｄ为错误!．故选Ｃ变式训练1：（1)已知圆M １：(x ＋4)2＋ｙ２＝25,圆Ｍ2:（x -4)２+y 2＝1,一动圆Ｐ与这两个圆都外切，则动圆圆心P 的轨迹方程为___＿＿_____＿【解】设动圆的半径是Ｒ,则由题意知错误!两式相减得|PM 1|－|P Ｍ2|=4＜|M 1M 2|=8,所以动圆圆心P 的轨迹是以点M 1（-4,0)、M 2(4,０）为焦点的双曲线中靠近焦点Ｍ２(4,0）的一支．)2(112422≥=-x y x (2）已知Ｆ是双曲线错误!－错误!=1的左焦点,点A (1,4）,P 是双曲线右支上的动点，则|ＰF |＋|PA |的最小值为＿_____＿_．【答案】 9【解析】设右焦点为Ｆ′,依题意,|PF |＝|ＰＦ′｜+4，∴｜PF |+|PA |=｜ＰF ′｜＋4+|PA |＝|PF ′｜+|ＰA ｜＋4≥|AF ′|+４=５+４=9．题型二：双曲线的标准方程例2. 根据下列条件,求双曲线的标准方程：(1）ａ=2＼r(5）,经过点A （2，－５）,焦点在y 轴上;(2)与椭圆错误!+错误!=1有共同的焦点，它们的一个交点的纵坐标为４;（3)求经过点(3,0),（－6，-３)的双曲线的标准方程．(４）虚轴长为12，离心率为＼f （5,４）；(5)顶点间距离为6，渐近线方程为y =±＼f(3,２)x ；(6)与双曲线x 2－2y 2=2有公共渐近线，且过点M (2，－2）.【解】 (１)因为双曲线的焦点在y 轴上，所以可设双曲线的标准方程为ｙ２ａ2-＼f(ｘ2,b 2）＝1(ａ>0,b >0）．由题设知，a ＝25，且点A （2，-5）在双曲线上,所以错误!解得a ２=20，b 2=16．故所求双曲线的标准方程为错误!-错误!=１．(2)椭圆x ２27＋错误!＝１的两个焦点为Ｆ1（0,-3）,Ｆ2(０,3)，双曲线与椭圆的一个交点为(错误!,4)或(－错误!，4)．设双曲线的标准方程为错误!-错误!＝1(ａ＞0,b ＞０), 则错误!解得错误!故所求双曲线的标准方程为错误!-错误!=1.(3）设双曲线的方程为mx 2＋ny 2＝1(mn <0),∵双曲线经过点（3，0),(－6,-３)， ∴错误!解得错误!故所求双曲线的标准方程为错误!-错误!=1．(4)设双曲线的标准方程为错误!－错误!=1或错误!-错误!=1（a >0,b >0)．由题意知2b =12，c a=错误!且c ２＝a ２+b 2，∴b ＝6，ｃ=10,a =8.∴双曲线的标准方程为错误!-＼f(y 2,36)＝1或y 264-＼f(x 2，36)=１. (5)当焦点在x 轴上时，由＼f(b,a ）=32且ａ＝３得b ＝错误!.∴所求双曲线的标准方程为＼f(x 2，9)-错误!＝１.当焦点在y 轴上时，由错误!＝错误!且a ＝3得ｂ=２.∴所求双曲线的标准方程为错误!－错误!=1.(６）设与双曲线错误!-y 2＝1有公共渐近线的双曲线方程为错误!－y 2＝k ,将点(2，－２)代入得k =２22-(-2)2＝-2.∴双曲线的标准方程为错误!-错误!=1．变式训练2.已知方程错误!＋错误!＝1表示的曲线为C ．给出以下四个判断：①当1＜t ＜4时，曲线Ｃ表示椭圆;②当t ＞4或ｔ＜1时,曲线C 表示双曲线;③若曲线C 表示焦点在x 轴上的椭圆，则1＜t ＜错误!;④若曲线Ｃ表示焦点在y 轴上的双曲线,则ｔ>４．其中判断正确的是________(只填正确命题的序号).【解析】 ①错误,当t ＝５2时,曲线Ｃ表示圆；②正确,若Ｃ为双曲线,则(4－t )（ｔ－1）<0,∴ｔ＜１或t >4;③正确，若C 为焦点在x 轴上的椭圆,则4-t ＞t －1＞0.∴1<ｔ<错误!;④正确，若曲线Ｃ为焦点在y 轴上的双曲线,则错误!,∴ｔ＞4.【答案】 ②③④题型三:双曲线中的焦点三角形问题例3．（1）如图２-2-１,双曲线＼ｆ(x 2,a 2）－错误!＝１(ａ>０，ｂ>0)的焦点为F 1,F 2,过点F 1作直线交双曲线的左支于点A ，Ｂ，且|AB |=m ,则△A ＢＦ2的周长为__＿＿____．图2-2-1(1)4a ＋2m ,因为错误!所以｜ＡF 2|＋｜ＢＦ2|-(|ＡF 1|＋｜BF 1|)＝4a .又因为|AF 1|+｜BF １|＝|AB |＝ｍ,所以|AF 2｜＋|BF 2|=4a ＋m .所以△A ＢF 2的周长为|AF 2|+｜BF 2｜＋|ＡＢ|＝4ａ＋２m ．（２)若F 1，F ２是双曲线x 29-错误!=1的两个焦点，Ｐ是双曲线上的点，且|P Ｆ1|·|PF ２|＝32,试求△Ｆ1PF ２的面积.【精彩点拨】双曲线方程错误!｜PF 1|－|PF 2|=±2a 错误!｜ＰF 1|2+｜P Ｆ2|２的值错误!∠F 1PF 2＝９0°错误!S △F １PF 2【自主解答】由双曲线方程错误!－错误!=１,可知a =３,b ＝4，c =错误!＝5. 由双曲线的定义，得|PF 1|－|PF 2｜＝±2ａ=±6，将此式两边平方,得|ＰF 1|２＋|ＰF 2｜2-2|ＰF 1|·|PF 2｜＝3６,∴|PF 1|2+|PF 2|2=3６+２｜PF 1|·|P Ｆ2|=36＋2×３2＝100. 如图所示,在△F 1ＰF 2中，由余弦定理,得c ｏs ∠F 1P Ｆ2＝|P Ｆ1|2+|PF ２｜２-|F 1F ２|22|PF 1|·|P Ｆ２|=＼f(100-100,2|PF 1|·|PF 2｜)=0， ∴∠F 1PF ２=90°，∴Ｓ△Ｆ1PF ２=错误!|PF 1|·｜P Ｆ2｜=错误!×32=16.变式训练3.（1）若Ｆ1,F ２是双曲线8x 2-y ２＝8的两焦点，点P 在该双曲线上,且△PF 1F 2是等腰三角形,则△PF １F ２的周长为＿＿_＿_＿＿_.【解析】双曲线8x ２-y 2=8可化为标准方程x 2－＼f(y ２,8)＝1，所以a =1，c ＝3,|F 1F 2｜＝2ｃ=6．因为点P 在该双曲线上,且△PF １Ｆ2是等腰三角形，所以|PF 1|＝｜F 1F 2｜=６，或|P Ｆ2｜＝|Ｆ1Ｆ2|＝6，当｜ＰＦ１|=6时，根据双曲线的定义有|P Ｆ２|=|P Ｆ1|-２a =6-2＝4,所以△ＰF １F 2的周长为6＋6＋４=16；同理当|PF 2|＝6时，△PF 1F ２的周长为６＋6+8=20.【答案】 1６或２0(2).如图2-2-2，已知双曲线中c =2a ，F 1，F ２为左、右焦点，P 是双曲线上的点，∠F 1PF 2＝60°,Ｓ△F 1PF ２=１２错误!.求双曲线的标准方程．图２-2-２【解】由题意可知双曲线的标准方程为错误!-错误!＝1.由于||PF 1｜-|ＰF 2｜｜=２a ，在△F 1PF ２中，由余弦定理得ｃo ｓ 60°＝错误!=(|PF 1|－|PF 2|)2＋2|PF 1|·|ＰF ２|-|F 1Ｆ2｜2２｜PF 1|·|PF 2|，所以｜ＰF 1|·|PF 2｜=4(c 2-a 2)＝4b 2，所以S △F 1P Ｆ２=＼f （1,２）|PF 1｜·|PF 2｜·sin 60°=2ｂ２·错误!=错误!b 2, 从而有3b 2=１２3，所以b 2＝1２，c ＝2a ,结合c 2＝ａ2+ｂ2,得a 2=4．所以双曲线的标准方程为＼ｆ(x 2,４)－错误!＝1.题型四:双曲线的几何性质例4．（1)求双曲线9y ２-4x 2＝－36的顶点坐标、焦点坐标、实轴长、虚轴长、离心率和渐近线方程.【解】将原方程转化为＼f(x ２,9)-ｙ2４=1，即＼f(x 2,32)－＼f(y 2，２2)＝1，∴a＝3，b =2，c =错误!,因此顶点坐标为A １(－3,0）,Ａ2(3,0)，焦点坐标为F 1(-错误!,０)，F ２(错误!，0),实轴长是２a =６,虚轴长是２b =4，离心率e =c a=错误!, 渐近线方程y ＝±23x ． (2)已知双曲线x ２-错误!＝1（ｂ>0)的一条渐近线的方程为y =2x ,则b =_＿____＿_．【解析】由双曲线x ２－错误!=１,得a ＝1,∴错误!=２,b ＝2.【答案】 2(3)双曲线x 2-y 2＝1的顶点到其渐近线的距离等于（ )A.错误!B.错误! C ．1 D.错误!(3)双曲线ｘ2－y 2=１的顶点坐标为(±1，０),渐近线为y ＝±x ,∴x ±ｙ=0，∴顶点到渐近线的距离为ｄ＝|±１±0|＼r(2)=错误!．选B (4)若实数k 满足０<ｋ<5，则曲线错误!－错误!＝1与曲线错误!－错误!=1的( )A ．实半轴长相等B ．虚半轴长相等C ．离心率相等D ．焦距相等(４）因为0＜k <５，所以两曲线都表示双曲线,在错误!－错误!＝１中a ２=16，ｂ2＝５－k ;在＼f （x 2,１6－ｋ）－ｙ２5=1中a ２＝１6－k ,b 2=5.由ｃ2＝a 2+b 2知两双曲线的焦距相等,故选Ｄ．(5）已知F 1，Ｆ２分别是双曲线的两个焦点，P 为该双曲线上一点，若△PF 1Ｆ2为等腰直角三角形,则该双曲线的离心率为( )A ．错误!＋1 B.错误!＋1 C ．2错误! D.２错误!(5)不妨设点P 在双曲线的右支上，则|PF 1|－｜PF 2|＝2a .∵△PF 1F 2是等腰直角三角形,∴只能是∠PF 2F 1=90°，∴|PF 2|＝|F １F ２|＝２ｃ，∴|ＰＦ1|=2a ＋|PF ２|=2a ＋2c ， ∴(2a ＋２c )2=2·（2c )2,即ｃ2-2ac -a 2＝0，两边同除以a ２,得ｅ2－２e -1=0.∵e ＞1，∴ｅ=错误!＋1选Ｂ(6）已知双曲线的顶点到渐近线的距离为2,焦点到渐近线的距离为6，则该双曲线的离心率为＿＿______.【解析】由三角形相似或平行线分线段成比例定理得错误!=错误!,∴错误!＝３，即ｅ＝3.【答案】３变式训练4：(１）已知双曲线x 2-＼f （y 2,3）＝1的左顶点为A 1,右焦点为F 2,P 为双曲线右支上一点,则错误!·错误!的最小值为______＿_.【解析】由题意得Ａ1（－1,０），F ２(2，0)，设Ｐ(x ,y )(x ≥1)，则错误!=（-1-x ，－ｙ),＼o(PF 2,＼s ＼ｕｐ1３(→))=(2-ｘ，－y )，∴错误!·错误!=(x ＋1)（x －2)＋ｙ2＝x ２－x -２＋ｙ2，由双曲线方程得y 2=3x 2-3,代入上式得错误!·错误!=4ｘ2－ｘ－5＝4错误!2-错误!，又x ≥１,所以当x ＝1时,错误!·错误!取得最小值，且最小值为-2.【答案】－2（2）双曲线ｘ２a ２－y ２b 2=1(a >０,b >０)的两个焦点为F 1,F 2，若双曲线上存在点P ，使|PF 1|=2|PF 2|,试确定双曲线离心率的取值范围.【解】由题意知在双曲线上存在一点P ，使得|PF 1|＝2｜P Ｆ２｜，如图所示.又∵|PF 1|-|PF 2|=2ａ，∴|PF 2|=2a ，即在双曲线右支上恒存在点P ,使得|P Ｆ2|=２ａ，即|ＡF ２|≤2a ．∴｜ＯＦ２|-｜OA |＝ｃ－ａ≤2a ，∴c ≤3a .又∵c >ａ，∴a ＜c ≤3ａ,∴１<c a≤３,即1<e ≤３. 四、课后巩固1．双曲线错误!－错误!=1的焦点坐标为（ )A ．(±＼ｒ(7），0) Ｂ．(０,±7) Ｃ.（±5,０) ﻩD.(０，±５）【解析】由双曲线的标准方程，知a =４，b =3,所以c =５.又由于焦点在ｘ轴上,故选Ｃ.【答案】 C2．已知方程错误!－错误!＝1表示双曲线,则k 的取值范围是( )Ａ.－1＜k ＜1 B.k ＞０ C.k ≥0 D.k >１或k ＜－1【解析】方程＼f(x 2,1+k )－＼f(y 2，1-k )=1表示双曲线,则(1＋ｋ)(1－k )＞0,∴（k ＋１）(k －1）＜０,∴-1<k ＜1.故选A.【答案】Ａ3．双曲线错误!－错误!＝１上一点A 到点(5,０)的距离为1５，则点A 到点（-５,0)的距离为（ )A.7 B ．２3 C.7或23 D ．5或２5易知双曲线的焦点坐标分别为F 1(-５,0），F 2(5,0）,||AF 1｜-｜ＡF 2||＝8,所以｜AF 1｜＝７或2３.【答案】Ｃ4.焦点分别为（-2,０),（2,0)且经过点(2,３)的双曲线的标准方程为( )A ．ｘ2－＼ｆ(y 2，3)=1B ．＼f(x 2,３)-y 2=1C ．y 2－＼f （x ２，3)=1 Ｄ.x ２２－＼ｆ(ｙ2，2)＝１【解析】由双曲线定义知,2ａ＝错误!-错误!＝5－3＝２,∴a ＝１．又ｃ=2，∴b 2=c２－ａ2＝4-1=３，因此所求双曲线的标准方程为x 2－错误!=1.【答案】 A5．双曲线＼f(x 2，9）-y ２１６=１的渐近线方程是（ ) A.4x ±３ｙ=０ B ．１６x ±９ｙ=0 Ｃ．３x ±4y =0 D ．9x ±16y =０【解析】由题意知,双曲线焦点在x 轴上,且a =3，ｂ＝4,∴渐近线方程为y =±43x ,即４x ±3ｙ=0.【答案】Ａ6．中心在原点,实轴在x 轴上,一个焦点在直线3ｘ-4y +1２=0上的等轴双曲线方程是( ）A.x 2－y ２＝8 Ｂ．ｘ2－y ２=4 C.y 2-ｘ2＝８Ｄ．y 2－x 2=4【解析】令y ＝0，得x ＝-4，∴等轴双曲线的一个焦点坐标为(-4，0),∴c =4,a ２=b 2=错误!c 2=错误!×1６=8,故选A ．【答案】 A7.设双曲线错误!－错误!=1(a >0,b >0)的虚轴长为２，焦距为2错误!，则双曲线的渐近线方程为( )A ．y =±错误!xB ．y ＝±２ｘＣ.ｙ=±错误!x D.y ＝±错误!ｘ【解析】由已知，得b ＝1，c ＝错误!，a =错误!＝错误!.因为双曲线的焦点在x轴上,所以渐近线方程为y =±b a x ＝±错误!x .【答案】Ｃ 8.已知双曲线错误!-错误!=1（a ＞0)的离心率为２，则a =( )A ．2B ．错误! Ｃ.错误! D ．１【解析】由题意得e =＼f(＼r(a 2+3）,a ）＝2，∴错误!=２a ，∴a 2＋３=4ａ２，∴a 2=1,∴a =１．【答案】 D9．椭圆错误!＋错误!＝1与双曲线错误!-错误!＝1有相同的焦点，则a 的值是( )A.错误! Ｂ．1或-2 C ．1或错误! D ．1【解析】由于a ＞0,０<ａ２<４,且4-a ２＝a ＋2，所以可解得ａ=1，故选Ｄ.【答案】 D1０.双曲线＼f(x 2，４)+ｙ２k ＝1的离心率ｅ∈(1，2),则k 的取值范围是（）A ．(-10,０) Ｂ.(－１２,0) C ．(－３,0) D.(－60，-1２)【解析】双曲线方程化为错误!-错误!＝1,则a ２=4,b 2＝－ｋ,c 2＝4-k ，e ＝错误!=错误!,又∵e ∈(1,2)，∴1<错误!<2,解得－１２<k ＜0.【答案】Ｂ11．与曲线错误!＋错误!=1共焦点,且与曲线错误!-错误!=１共渐近线的双曲线的方程为( )A ．错误!－错误!＝1 Ｂ.错误!－错误!=1 C.错误!-错误!＝１Ｄ．＼f(x ２,9）-错误!=1【解析】根据椭圆方程可知焦点为（0，－5),(0,5).设所求双曲线方程为＼f （x ２，36)－＼ｆ(y 2，６4)＝λ(λ<0)，即错误!－错误!=1.由-64λ+(-36λ)＝25，得λ=－14.故所求双曲线的方程为＼f （y 2,16）－错误!＝１．【答案】 A 1２.已知F １，F 2分别为双曲线C :x 2－y 2=1的左、右焦点，点P 在C 上，∠F １ＰF 2＝60°，则|ＰF 1｜|PF ２|=( ）A.2B.４C.６Ｄ．8【解析】由题意，得||PF 1|-|ＰF 2||＝2,|F １Ｆ2|＝2２．因为∠F 1PF ２＝60°，所以｜P Ｆ１|2＋|PF 2｜２-２|PF 1|·｜PF 2|·cos 6０°＝|F 1Ｆ２|２，所以(|PF 1|－|PF 2|)2+2|P Ｆ1||ＰＦ2|－2|ＰＦ1||PF 2|×错误!＝８,所以|PF 1|·｜PF 2|＝８-22＝4.【答案】 B13.已知双曲线的两个焦点Ｆ１(-错误!,0),F 2（错误!,０),M 是此双曲线上的一点，且错误!·错误!=0,|错误!｜·|错误!｜＝2,则该双曲线的方程是（ )A.错误!－y 2＝1 Ｂ.ｘ2-错误!=１ C.错误!－错误!=1 D.错误!-＼ｆ(y ２,3)＝1【解析】由双曲线定义｜|MF 1｜－|ＭF ２||=2ａ，两边平方得：｜MF 1|2+|MF 2|2-2｜MF 1||M Ｆ2｜＝4a 2，因为错误!·错误!=0,故△MF １F ２为直角三角形,有|MF 1|２＋|ＭF ２|2=(2ｃ）２＝40，而｜错误!|·｜错误!|=２，∴４０－2×２＝4a 2,∴a 2=9，∴b 2=1，所以双曲线的方程为错误!－y ２=1.【答案】 A14．若点P到点(0,-３)与到点（0,3)的距离之差为2,则点P的轨迹方程为_＿＿_____．【解析】由题意并结合双曲线的定义，可知点Ｐ的轨迹方程为双曲线的上支，且c=3,2a＝2，则a＝1,b2＝9-1=８,所以点P的轨迹方程为y2-＼f(ｘ２,８）＝１(y≥1)．【答案】ｙ2-错误!=1(y≥1)15．若直线ｘ=２与双曲线ｘ2－y２ｂ2＝1(b＞0）的两条渐近线分别交于点Ａ，B,且△AOB的面积为８,则焦距为_＿__＿__＿．【解析】由双曲线为x2－ｙ2b2=１得渐近线为y=±bx,则交点A(2，２b),B(2，－2b).∵S△AOB=错误!×2×4b＝8,∴b=2.又ａ2=1,∴c2＝a2＋b2=5.∴焦距2c＝2错误!.【答案】２＼r（5)1６.(1)已知双曲线中心在原点,一个顶点的坐标是(3，0)且焦距与虚轴长之比为５∶4,则双曲线的标准方程为＿____＿__．【解析】由题意得双曲线的焦点在ｘ轴上,且a=３,焦距与虚轴长之比为５∶4，即ｃ∶b=5∶４,解得c=5,b=4,∴双曲线的标准方程为＼ｆ(x2,9)-错误!＝１．【答案】＼f(x2，9)－错误!＝1(２）经过点P(-３,2＼r(7))和Q（－6错误!，-7）的双曲线的标准方程是＿_＿＿____.【解析】设双曲线的方程为ｍｘ２+ｎｙ2=1(mn<０），则错误!解得错误!故双曲线的标准方程为＼f（y2,25)-错误!＝1.【答案】错误!－错误!=1(3）以椭圆错误!＋错误!=1短轴的两个端点为焦点,且过点A(4，－5）的双曲线的标准方程为__＿______＿＿＿＿【解】由错误!＋错误!＝1，得a=4，ｂ=３，所以短轴两端点的坐标为(0，±3)，又双曲线过A点，由双曲线定义得２ａ=|错误!-错误!|＝２错误!,∴a=错误!,又ｃ＝3，从而b2＝c2－a２=4,又焦点在y轴上,所以双曲线的标准方程为y25-错误!=１.（４)已知双曲线C的方程为错误!-错误!＝１（a>0,b＞0），离心率e=错误!，顶点到渐近线的距离为错误!,则双曲线C的方程为__＿＿__＿_＿＿_＿____＿_＿【解】依题意，双曲线的焦点在ｙ轴上，顶点坐标为（0，a)，渐近线方程为ｙ＝±错误!ｘ，即ax±by=0,所以错误!＝错误!＝错误!.又e=错误!＝错误!，所以b＝1,即c2-a2=1,错误!2-a2＝1，解得a2=4,故双曲线方程为＼f（ｙ２,4)－x2＝１.(５)中心在坐标原点，对称轴为坐标轴,经过点(3,－2）,且一条渐近线的倾斜角为π6的双曲线的方程为__＿_____＿____【解】渐近线方程为ｙ=±＼f(＼r(３),3)x,设双曲线方程为x２-3y2=λ.将（3,-2)代入求得λ=-３，所以双曲线方程为ｙ２-错误!=1.。

高考总复习数学文科第八篇解析几何第6讲双曲线

高考总复习数学文科第八篇解析几何
第 6 讲双曲线 [最新考纲 ] 1．了解双曲线的定义、几何图形和标准方程，知道其简单的几何性质 (范围、对称性、顶点、离心率、渐近线 )． 2．了解双曲线的实际背景及双曲线的简单应用．
3．理解数形结合的思想 .
知识梳理
1．双曲线的定义
平面内动点 P 与两个定点 F1，F2(|F1F2|＝2c＞ 0)的距离之差的绝对值为常数
线平行时，直线与双曲线相交于一点，但不是相切；反之，当直线与双曲线相切
时，直线与双曲线仅有一个交点．如 (6)．
考点一双曲线的定义及应用
x2 y2 【例 1】 (1)若双曲线 4 －12＝1 上的一点 P 到它的右焦点的距离为 8，则
点 P 到它的左焦点的距离是 ( )．
A．4
B．12
C．4 或 12
[感悟 ·提升 ]
1．一点提醒双曲线定义中的 “差” 必须是 “绝对值的差 ” ，常数必须小
于 |F1F2|且大于零，如 (1)中应为双曲线的一支；如 (2)中应为两条射线．
2．三个防范一是双曲线中的 “a，b，c，e”和椭圆中的 “a， b，c， e” 既相似又有区别，椭圆中 a2＝ b2＋c2，而双曲线中 c2＝ a2＋b2，一定要注意它们
|F1F2|} 是解决与焦点三角形有关的计算问题的关键，切记对所求结果进行必要的
检验． (2)利用定义解决双曲线上的点与焦点的距离有关问题时，弄清点在双曲线
的哪支上．
x2 y2 【训练 1】 (1)(2014 大·连模拟 )设 P 是双曲线 16－ 20＝1 上一点， F1，F2 分
别是双曲线左、右两个焦点，若 |PF1|＝ 9，则 |PF2|＝ ( )．

高考数学复习第八章解析几何第6节双曲线课件文新人教A版

[训练 1] (2019·辽宁大连月考)已知点 F 是双曲线ax22－by22＝1(a>0，b>0)的左焦点，
点 E 是该双曲线的右顶点，过 F 且垂直于 x 轴的直线与双曲线交于 A、B 两点，若△
ABE 是锐角三角形，则该双曲线的离心率 e 的取值范围是
(B )
A．(1，＋∞)
B．(1,2)
C．(1,1＋ 2)
(B )
A．x82－1y02 ＝1
B．x42－y52＝1
C．x52－y42＝1
D．x42－y32＝1
解析
由
y＝
5 2x
可得ba＝
5 2.
①
由椭圆1x22 ＋y32＝1 的焦点为(3,0)，(－3,0)，
可得 a2＋b2＝9. ②
由①②可得 a2＝4，b2＝5. 所以 C 的方程为x42－y52＝1.
2．双曲线中的几个常用结论 (1)焦点到渐近线的距离为 b. (2)实轴长和虚轴长相等的双曲线叫做等轴双曲线． (3)双曲线为等轴双曲线⇔双曲线的离心率 e＝ 2⇔双曲线的两条渐近线互相垂直(位置关系)． (4)过双曲线的一个焦点且与实轴垂直的弦的长为2ab2. (5)过双曲线焦点 F1 的弦 AB 与双曲线交在同支上，则 AB 与另一个焦点 F2 构成的△ABF2 的周长为 4a＋2|AB|.
第八章解析几何
第六节双曲线
1.了解双曲线的实际背景，了解双曲线在刻画现实世界和解决实际问题中的作用． 2.了解双曲线的定义、几何图形和标准方程，知道其简单的几何性质(范围、对称性、顶点、离心率、渐近线)． 3.理解数形结合思想． 4.了解双曲线的简单应用．
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01 课前回扣·双基落实 02 课堂互动·考点突破

高三一轮总复习文科数学课件8-6双曲线

26
求双曲线标准方程的一般方法 (1)待定系数法：设出双曲线方程的标准形式，根据已知条件，列出参数 a，b，c 的方程并求出 a，b，c 的值．与双曲线ax22－by22＝1 有相同渐近线时，可设所求双曲线方程为ax22－by22＝λ(λ≠0)． (2)定义法：依定义得出距离之差的等量关系式，求出 a 的值，由定点位置确定 c 的值.
一点，A(0,6 6)．当△APF 周长最小时，该三角形的面积为________．
28
【解析】 (1)如图，内切圆圆心 M 到各边的距离分别为 MA，MB，MC，切点分别为 A，B，C，由三角形的内切圆的性质有|CF1|＝|AF1|，|AF2|＝|BF2|，|PC|＝|PB|， ∴|PF1|－|PF2|＝|CF1|－|BF2|＝|AF1|－|AF2|＝2a，又|AF1|＋|AF2|＝2c，∴|AF1|＝a＋c，则|OA|＝|AF1|－|OF1|＝a.
又双曲线的一个焦点为( 5，0)，所以 a2＋b2＝5.② 由①②得 a＝1，b＝2.
答案：1 2
18
3
考点疑难突破
19
求双曲线的标准方程
[题组训练]
1．(2016 年天津卷)已知双曲线ax22－by22＝1(a>0，b>0)的焦距为 2 5，且双曲线的
一条渐近线与直线 2x＋y＝0 垂直，则双曲线的方程为( )
31
[自主演练]
1．已知双曲线 x2－2y42 ＝1 的两个焦点为 F1，F2，P 为双曲线右支上一点．若|PF1|
＝43|PF2|，则△F1PF2 的面积为(
)
A．48
B．24
C．12
D．6
32
解析：由双曲线的定义可得|PF1|－|PF2|＝13|PF2|＝2a＝2，解得|PF2|＝6，故|PF1| ＝8，又|F1F2|＝10，由勾股定理可知三角形 PF1F2 为直角三角形，

高中数学高三一轮第八章平面解析几何 8.6 双曲线【教案】

高三一轮第八章平面解析几何8。

6双曲线【教学目标】1.了解双曲线的定义、几何图形和标准方程，知道其简单的几何性质(范围、对称性、顶点、离心率、渐近线）．2.理解数形结合的思想．3.了解双曲线的简单应用.【重点难点】1.教学重点：掌握双曲线的定义、几何图形、标准方程及简单性质；2。

教学难点：学会对知识进行整理达到系统化，提高分析问题和解决问题的能力;【教学策略与方法】自主学习、小组讨论法、师生互动法【教学过程】sin∠MBN＝2a sin 60°＝3a,x1＝|OB｜＋｜BN|＝a＋2a cos 60°＝2a.将点M(x1,y1)的坐标代入错误!－错误!＝1，可得a2＝b2,∴e ＝错误!＝错误!＝错误!,选D。

答案D4.（2015·全国Ⅰ,5）已知M(x0，y0)是双曲线C:错误!－y2＝1上的一点,F1，F2是C的两个焦点，若错误!·错误!<0,则y0的取值范围是（）A。

错误!B。

错误!C.错误!D。

错误!解析由题意知M在双曲线C：错误!－y2＝1上,又在x2＋y2＝3内教师引导学生及时总结，以帮助学生形成完整的认知结构.(2)当2a ＝｜F 1F 2|时,M 点的轨迹是两条射线；（3)当2a 〉|F 1F 2|时，M 点不存在．知识点2 双曲线的标准方程和几何性质错误!－错误!＝1（a >0,b >0)错误!－错误（a >0,b >x ≥a 或x ≤－ay ≤－a 或对称轴:坐标轴；对称中心:原A 1(－a ，0）,A 2(a,0）A 1(0，－a ),A y ＝±错误!xy ＝±错e ＝错误!，e ∈（1,＋∞),其中c ＝在解题中注意引导学生自主分析和解决问题，教师及时点拨从而提高学生的解题能力和兴趣。

教师引导学生及时总结,以帮助学生形成完整的认知结构。

引导学生对所学的知识考点一：双曲线的定义及应用1.已知双曲线C的离心率为2，焦点为F1、F2,点A在C上．若|F1A｜＝2|F2A｜,则cos∠AF2F1＝( )A.错误!B.错误!C错误! D.错误!【解析】由e＝错误!＝2得，c＝2a，如图，由双曲线的定义得|F1A｜－｜F2A|＝2a，又｜F1A｜＝2|F2A｜,故|F1A|＝4a，｜F2A|＝2a，∴cos∠AF2F1＝错误!＝错误!。

高考数学(文)一轮复习文档：第八章平面解析几何第6讲双曲线 Word版含答案

第6讲双曲线,)1．双曲线的定义2．双曲线的标准方程和几何性质1．辨明三个易误点(1)双曲线的定义中易忽视2a ＜|F 1F 2|这一条件．若2a ＝|F 1F 2|，则轨迹是以F 1，F 2为端点的两条射线，若2a ＞|F 1F 2|，则轨迹不存在．(2)区分双曲线中a ，b ，c 的关系与椭圆中a ，b ，c 的关系，在椭圆中a 2＝b 2＋c 2，而在双曲线中c 2＝a 2＋b 2.(3)双曲线的离心率e ∈(1，＋∞)，而椭圆的离心率e ∈(0，1)． 2．求双曲线标准方程的两种方法 (1)定义法根据题目的条件，判断是否满足双曲线的定义，若满足，求出相应的a ，b ，c ，即可求得方程．(2)待定系数法①与双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1共渐近线的可设为x 2a 2－y 2b 2＝λ(λ≠0)；②若渐近线方程为y ＝±b a x ，则可设为x 2a 2－y 2b 2＝λ(λ≠0)；③若过两个已知点，则可设为x 2m ＋y 2n＝1(mn ＜0)．3．双曲线几何性质的三个关注点(1)“六点”：两焦点、两顶点、两虚轴端点； (2)“四线”：两对称轴(实、虚轴)、两渐近线；(3)“两形”：中心、顶点、虚轴端点构成的三角形；双曲线上的一点(不包括顶点)与两焦点构成的三角形．1.教材习题改编双曲线y 264－x 216＝1上一点P 到一个焦点的距离为4，则P 到另一个焦点的距离为( )A ．20B ．16C ．12D ．8A 设P 到另一个焦点的距离为d ，则|d －4|＝2×8＝16，所以d ＝20，故选A.2.教材习题改编双曲线C 的焦点为(－6，0)，(6，0)，且经过点(－5，2)，则双曲线的标准方程为( )A ．x 220－y 24＝1 B ．x 220－y 216＝1 C ．y 220－x 216＝1 D ．y 220－x 24＝1 B 2a ＝|（－5＋6）2＋22－ |（－5－6）2＋22 ＝4 5.所以a ＝25，又c ＝6，所以b 2＝c 2－a 2＝36－20＝16.所以双曲线的标准方程为x 220－y 216＝1.故选B.3．(2017·南昌模拟)若双曲线C ：x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的一条渐近线的倾斜角为π6，则双曲线C 的离心率为( )A ．2或 3B ．233C ．2或233D ．2B 由题意知双曲线C ：x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的渐近线方程为y ＝±b a x ，所以b a ＝tan π6＝33，所以a ＝3b ，c ＝a 2＋b 2＝2b ，故双曲线C 的离心率e ＝c a ＝2b 3b＝233. 4.教材习题改编与椭圆x 249＋y 224＝1有相同焦点且离心率为54的双曲线的标准方程为________．椭圆x 249＋y 224＝1的焦点为(±5，0)．设双曲线方程为x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)，则c ＝5，c a ＝54，所以a ＝4，b 2＝c 2－a 2＝25－16＝9，所以所求双曲线的标准方程为x 216－y 29＝1.x 216－y 29＝1 5.教材习题改编经过点A (3，－1)，且对称轴都在坐标轴上的等轴双曲线方程为________．设双曲线的方程为x 2a 2－y 2a 2＝±1(a >0)，把点A (3，－1)代入，得a 2＝8，故所求方程为x 28－y 28＝1.x 28－y 28＝1双曲线的定义(1)设双曲线x 2－y 28＝1的两个焦点为F 1，F 2，P 是双曲线上的一点，且|PF 1|∶|PF 2|＝3∶4，则△PF 1F 2的面积等于( )A ．10 3B ．8 3C ．8 5D ．16 5(2)(2017·云南省第一次统一检测)已知F 1、F 2是双曲线M ：y 24－x 2m 2＝1的焦点，y ＝255x 是双曲线M 的一条渐近线，离心率等于34的椭圆E 与双曲线M 的焦点相同，P 是椭圆E 与双曲线M 的一个公共点，则|PF 1|·|PF 2|＝________．【解析】 (1)依题意|F 1F 2|＝6，|PF 2|－|PF 1|＝2，因为|PF 1|∶|PF 2|＝3∶4，所以|PF 1|＝6，|PF 2|＝8，所以等腰三角形PF 1F 2的面积 S ＝12×8×62－⎝ ⎛⎭⎪⎫822＝8 5. (2)由题意易得，双曲线的方程为y 24－x 25＝1，椭圆的方程为x 27＋y 216＝1，不妨设|PF 1|>|PF 2|，从而可知⎩⎪⎨⎪⎧|PF 1|＋|PF 2|＝8，|PF 1|－|PF 2|＝4⇒⎩⎪⎨⎪⎧|PF 1|＝6，|PF 2|＝2⇒|PF 1|·|PF 2|＝12.【答案】 (1)C (2)12若本例(1)中“|PF 1|∶|PF 2|＝3∶4”改为“PF 1⊥PF 2”，其他条件不变，如何求解．设|PF 1|＝m ，|PF 2|＝n ，则⎩⎪⎨⎪⎧m 2＋n 2＝36，m 2＋n 2－2mn ＝4，解得mn ＝16，所以S △PF 1F 2＝12mn ＝8.(1)在应用双曲线定义时，要注意定义中的条件，搞清所求轨迹是双曲线，还是双曲线的一支．若是双曲线的一支，则需确定是哪一支．(2)在“焦点三角形”中，正弦定理、余弦定理、双曲线的定义是经常使用的知识点．另外，还经常结合||PF 1|－|PF 2||＝2a ，运用平方的方法，建立它与|PF 1||PF 2|的联系．1．已知F 1，F 2为双曲线C ：x 2－y 2＝1的左、右焦点，点P 在C 上，∠F 1PF 2＝60°，则|PF 1|·|PF 2|等于( )A ．2B ．4C ．6D ．8B 由双曲线的方程得a ＝1，c ＝2，由双曲线的定义得||PF 1|－|PF 2||＝2. 在△PF 1F 2中，由余弦定理得|F 1F 2|2＝|PF 1|2＋|PF 2|2－2|PF 1|·|PF 2|cos 60°，即(22)2＝|PF 1|2＋|PF 2|2－|PF 1|·|PF 2| ＝(|PF 1|－|PF 2|)2＋|PF 1|·|PF 2| ＝22＋|PF 1|·|PF 2|. 解得|PF 1|·|PF 2|＝4.故选B.2．已知圆C ：(x －3)2＋y 2＝4，定点A (－3，0)，则过定点A 且和圆C 外切的动圆圆心M 的轨迹方程为________．设动圆M 的半径为R ，则|MC |＝2＋R ，|MA |＝R ，所以|MC |－|MA |＝2，由双曲线的定义知，M 点的轨迹是以A ，C 为焦点的双曲线的左支，且a ＝1，c ＝3，所以b 2＝8，则动圆圆心M 的轨迹方程为x 2－y 28＝1(x ≤－1)．x 2－y 28＝1(x ≤－1)双曲线的标准方程(1)(2016·高考天津卷)已知双曲线x 2a 2－y 2b2＝1(a ＞0，b ＞0)的焦距为25，且双曲线的一条渐近线与直线2x ＋y ＝0垂直，则双曲线的方程为( )A ．x 24－y 2＝1B ．x 2－y 24＝1C ．3x 220－3y25＝1D ．3x 25－3y220＝1(2)设双曲线与椭圆x 227＋y 236＝1有共同的焦点，且与椭圆相交，其中一个交点的坐标为(15，4)，则此双曲线的标准方程是________．【解析】 (1)由题意得c ＝5，b a ＝12，则a ＝2，b ＝1，所以双曲线的方程为x 24－y 2＝1.(2)法一：椭圆x 227＋y 236＝1的焦点坐标是(0，±3)，设双曲线方程为y 2a 2－x 2b2＝1(a >0，b >0)，根据双曲线的定义知2a ＝|（15－0）2＋（4－3）2－（15－0）2＋（4＋3）2|＝4，故a ＝2.又b 2＝32－22＝5，故所求双曲线的标准方程为y 24－x 25＝1.法二：椭圆x 227＋y 236＝1的焦点坐标是(0，±3)．设双曲线方程为y 2a 2－x 2b2＝1(a >0，b >0)，则a 2＋b 2＝9①，又点(15，4)在双曲线上，所以16a 2－15b2＝1②，联立①②解得a 2＝4，b 2＝5.故所求双曲线的标准方程为y 24－x 25＝1.法三：设双曲线的方程为x 227－λ＋y 236－λ＝1(27<λ<36)，由于双曲线过点(15，4)，故1527－λ＋1636－λ＝1，解得λ1＝32，λ2＝0，经检验λ1＝32，λ2＝0都是分式方程的根，但λ＝0不符合题意，应舍去，所以λ＝32.故所求双曲线的标准方程为y 24－x 25＝1.【答案】 (1)A (2)y 24－x 25＝1求双曲线标准方程的一般方法(1)待定系数法：设出双曲线方程的标准形式，根据已知条件，列出参数a 、b 、c 的方程并求出a 、b 、c 的值与双曲线x 2a 2－y 2b 2＝±1，(a >0，b >0)有相同渐近线时可设所求双曲线方程为x 2a 2－y 2b2＝λ(λ≠0，a >0，b >0)．(2)定义法：依定义得出距离之差的等量关系式，求出a 的值，由定点位置确定c 的值．分别求出适合下列条件的双曲线的标准方程：(1)虚轴长为12，离心率为54；(2)焦距为26，且经过点M (0，12)． (1)设双曲线的标准方程为x 2a 2－y 2b 2＝1或y 2a 2－x 2b2＝1(a >0，b >0)．由题意知，2b ＝12，e ＝c a ＝54，所以b ＝6，c ＝10，a ＝8.所以双曲线的标准方程为x 264－y 236＝1或y 264－x 236＝1.(2)因为双曲线经过点M (0，12)，所以M (0，12)为双曲线的一个顶点，故焦点在y 轴上，且a ＝12.又2c ＝26，所以c ＝13.所以b 2＝c 2－a 2＝25. 所以双曲线的标准方程为y 2144－x 225＝1.双曲线的几何性质(高频考点)双曲线的几何性质及应用，是高考命题的热点，多以选择题或填空题的形式呈现，多为容易题或中档题．高考对双曲线的几何性质的考查主要有以下三个命题角度： (1)求双曲线的离心率(或范围)； (2)求双曲线的渐近线方程； (3)由双曲线的性质求方程．(1)(2016·高考山东卷)已知双曲线E ：x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)．矩形ABCD 的四个顶点在E 上，AB ，CD 的中点为E 的两个焦点，且2|AB |＝3|BC |，则E 的离心率是__________．(2)过双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的左焦点F 作圆O ：x 2＋y 2＝a 2的两条切线，切点为A ，B ，双曲线左顶点为C ，若∠ACB ＝120°，则双曲线的渐近线方程为________．【解析】 (1)如图，不妨设|AB |＝3，则|BC |＝2，双曲线的左、右焦点分别为F 1，F 2，则AB 的中点为F 1，故|DF 1|＝52，|DF 2|＝32，根据双曲线的定义知2a ＝1，又2c ＝2，所以该双曲线的离心率为2c2a＝2.(2)如图所示，连接OA ，OB ，设双曲线x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)的焦距为2c (c >0)，则C (－a ，0)，F (－c ，0)．由双曲线和圆的对称性知，点A 与点B 关于x 轴对称，则∠ACO ＝∠BCO ＝12∠ACB ＝12×120°＝60°.因为|OA |＝|OC |＝a ，所以△ACO 为等边三角形，所以∠AOC ＝60°. 因为FA 与圆O 切于点A ，所以OA ⊥FA ，在Rt △AOF 中，∠AFO ＝90°－∠AOF ＝90°－60°＝30°，所以|OF |＝2|OA |，即c ＝2a ，所以b ＝c 2－a 2＝（2a ）2－a 2＝3a ，故双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的渐近线方程为y ＝±bax ，即y ＝±3x .【答案】 (1)2 (2)y ＝±3x与双曲线几何性质有关问题的解题策略(1)求双曲线的离心率(或范围)．依据题设条件，将问题转化为关于a ，c 的等式(或不等式)，解方程(或不等式)即可求得．(2)求双曲线的渐近线方程．依据题设条件，求双曲线中a ，b 的值或a 与b 的比值，进而得出双曲线的渐近线方程．(3)求双曲线方程．依据题设条件，求出a ，b 的值或依据双曲线的定义，即可求双曲线的方程．(4)求双曲线焦点(焦距)、实虚轴的长．依题设条件及a ，b ，c 之间的关系求解．角度一求双曲线的离心率(或范围)1．(2015·高考全国卷Ⅱ)已知A ，B 为双曲线E 的左，右顶点，点M 在E 上，△ABM 为等腰三角形，且顶角为120°，则E 的离心率为( )A ． 5B ．2C ． 3D ． 2D 不妨取点M 在第一象限，如图所示，设双曲线方程为x 2a 2－y 2b2＝1(a ＞0，b ＞0)，则|BM |＝|AB |＝2a ，∠MBx ＝180°－120°＝60°，所以M 点的坐标为(2a ，3a )．因为M 点在双曲线上，所以4a 2a 2－3a2b2＝1，a ＝b ，所以c ＝2a ，e ＝c a＝ 2.故选D. 角度二求双曲线的渐近线方程2．若双曲线x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)的离心率为3，则其渐近线方程为( )A ．y ＝±2xB ．y ＝±2xC ．y ＝±12xD ．y ＝±22x A 由于双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1的离心率为3，故e 2＝c 2a 2＝a 2＋b 2a 2＝1＋b 2a 2＝3，所以b a＝2，故其渐近线方程为y ＝±2x ，选A.角度三由双曲线的性质求方程3．已知双曲线的渐近线方程为y ＝±12x ，且经过点A (2，－3)，则双曲线的标准方程为( )A ．x 28－y 232＝1B ．y 28－x 232＝1C ．x 274－y 27＝1D ．x 27－y 274＝1B 若焦点在x 轴上，设所求双曲线的标准方程为x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)，因为双曲线的渐近线方程为y ＝±12x ，所以b a ＝12.①因为A (2，－3)在双曲线上，所以4a 2－9b2＝1.②①②联立，无解．若焦点在y 轴上，设所求双曲线的标准方程为y 2a 2－x 2b2＝1(a >0，b >0)，因为双曲线的渐近线方程为y ＝±12x ，所以a b ＝12.③因为A (2，－3)在双曲线上，所以9a 2－4b2＝1.④③④联立，解得a 2＝8，b 2＝32. 所以所求双曲线的标准方程为y 28－x 232＝1., )——方程思想在求离心率中的应用(2017·沈阳四校联考)设双曲线x 2a 2－y 2b2＝1(0<a <b )的半焦距为c ，直线l 过(a ，0)、(0，b )两点．已知原点到直线l 的距离为34c ，则双曲线的离心率为________．【解析】由已知，得直线l 的方程为ay ＋bx －ab ＝0，因为原点到直线l 的距离为34c ，所以ab a 2＋b2＝34c ，又c 2＝a 2＋b 2，所以4ab ＝3c 2，两边平方，得16a 2b 2＝3c 4，即16a 2(c 2－a 2)＝3c 4，两边同除以a 4，并整理，得 3e 4－16e 2＋16＝0，所以e 2＝4或e 2＝43.由0<a <b ，得e 2＝a 2＋b 2a 2＝1＋b 2a2>2，所以e 2＝4.故e ＝2. 【答案】 2(1)本题利用方程思想，将已知条件转化为关于a ，c 的方程，然后求出离心率e .(2)求解椭圆、双曲线的离心率或离心率的取值范围的方法通常是根据条件列出关于a ，c 的齐次方程或不等式，然后再转化成关于e 的方程或不等式求解．已知点F 是双曲线x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)的左焦点，点E 是该双曲线的右顶点，过F 且垂直于x 轴的直线与双曲线交于A ，B 两点，若△ABE 是锐角三角形，则该双曲线的离心率e 的取值范围是( )A ．(1，＋∞)B ．(1，2)C ．(2，1＋2)D ．(1，1＋2)B 若△ABE 是锐角三角形，只需∠AEF <45°，在Rt △AFE 中，|AF |＝b 2a ，|FE |＝a ＋c ，则b 2a<a ＋c ⇒b 2<a 2＋ac ⇒2a 2－c 2＋ac >0⇒e 2－e －2<0⇒－1<e <2，又e >1，则1<e <2，故选B., )1．(2017·石家庄一模)已知双曲线的离心率为2，焦点是(－4，0)，(4，0)，则双曲线的方程为( )A ．x 24－y 212＝1B ．x 212－y 24＝1 C ．x 210－y 26＝1 D ．x 26－y 210＝1A 已知双曲线的离心率为2，焦点是(－4，0)，(4，0)，则c ＝4，a ＝2，b 2＝12，双曲线方程为x 24－y 212＝1，故选A.2．(2017·惠州调研)若双曲线x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)的离心率为3，则其渐近线的斜率为( )A ．±2B ．± 2C ．±12D ．±22B 因为双曲线x 2a 2－y 2b2＝1的离心率为3，所以e ＝ca ＝1＋b 2a 2＝3，解得ba＝2，所以其渐近线的斜率为± 2.故选B.3．设F 1，F 2分别是双曲线x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)的左、右焦点，若双曲线上存在点A ，使∠F 1AF 2＝90°且|AF 1|＝3|AF 2|，则双曲线的离心率为( )A ．52B ．102C ．152D ． 5B 因为∠F 1AF 2＝90°，故|AF 1|2＋|AF 2|2＝|F 1F 2|2＝4c 2，又|AF 1|＝3|AF 2|，且|AF 1|－|AF 2|＝2a ，故10a 2＝4c 2，故c 2a 2＝52，故e ＝c a ＝102. 4．设F 1，F 2是双曲线x 2－y 224＝1的两个焦点，P 是双曲线上的一点，且3|PF 1|＝4|PF 2|，则△PF 1F 2的面积等于( )A ．4 2B ．8 3C ．24D ．48C 由题知，⎩⎪⎨⎪⎧|PF 1|－|PF 2|＝23|PF 1|＝4|PF 2|，解得⎩⎪⎨⎪⎧|PF 1|＝8|PF 2|＝6.又由|F 1F 2|＝10可得△PF 1F 2是直角三角形，则S △PF 1F 2＝12|PF 1|×|PF 2|＝24.5．(2017·江南十校联考(一))已知l 是双曲线C ：x 22－y 24＝1的一条渐近线，P 是l 上的一点，F 1，F 2分别是C 的左、右焦点，若PF 1→·PF 2→＝0，则点P 到x 轴的距离为( )A ．233B ． 2C ．2D ．263C 由题意知F 1(－6，0)，F 2(6，0)，不妨设l 的方程为y ＝2x ，点P (x 0，2x 0)，由 PF 1→·PF 2→＝(－6－x 0，－2x 0)·(6－x 0，－2x 0)＝3x 20－6＝0，得x 0＝±2，故点P 到x 轴的距离为2|x 0|＝2，故选C.6．已知焦点在y 轴上的双曲线C 的中心是原点O ，离心率等于52，以双曲线C 的一个焦点为圆心，1为半径的圆与双曲线C 的渐近线相切，则双曲线C 的方程为( )A ．y 216－x 24＝1 B ．y 2－x 24＝1C ．y 24－x 2＝1D ．x 24－y 2＝1C 设双曲线方程为y 2a 2－x 2b 2＝1(a >0，b >0)，所以其渐近线方程为y ＝±abx ，其中一个焦点为F 1(0，－c )，则以F 1为圆心，1为半径的圆的方程为x 2＋(y ＋c )2＝1.因为点F 1到直线y ＝a b x 的距离等于该圆的半径，所以|－bc |a 2＋b 2＝1，所以b 2c 2＝a 2＋b 2，又因为c 2＝a 2＋b 2，所以b 2＝1，因为e ＝c a ＝52，所以c 2＝54a 2，解得a 2＝4，所以双曲线的方程为y 24－x 2＝1.故选C.7．若双曲线x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)的一条渐近线经过点(3，－4)，则此双曲线的离心率为________．由双曲线的渐近线过点(3，－4)知b a ＝43，所以b 2a 2＝169.又b 2＝c 2－a 2，所以c 2－a 2a 2＝169，即e 2－1＝169，所以e 2＝259，所以e ＝53.538．已知双曲线x 2m －y 23m ＝1的一个焦点是(0，2)，椭圆y 2n －x 2m＝1的焦距等于4，则n ＝________．因为双曲线的焦点(0，2)，所以焦点在y 轴上，所以双曲线的方程为y 2－3m －x 2－m ＝1，即a 2＝－3m ，b 2＝－m ，所以c 2＝－3m －m ＝－4m ＝4，解得m ＝－1.所以椭圆方程为y 2n＋x 2＝1，且n >0且n ≠1，又椭圆的焦距为4，所以c 2＝n －1＝4或1－n ＝4，解得n ＝5或－3(舍去)．59．(2016·高考北京卷)双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)的渐近线为正方形OABC 的边OA ，OC 所在的直线，点B 为该双曲线的焦点．若正方形OABC 的边长为2，则a ＝________．双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1的渐近线方程为y ＝±bax ，由已知可得两条渐近线方程互相垂直，由双曲线的对称性可得ba＝1.又正方形OABC 的边长为2，所以c ＝22，所以a 2＋b 2＝c 2＝(22)2，解得a ＝2.210．设双曲线x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)的半焦距为c .已知原点到直线l ：bx ＋ay ＝ab 的距离等于14c ＋1，则c 的最小值为________．根据已知，得ab a 2＋b 2＝14c ＋1，又ab ≤a 2＋b 22＝c 22，故14c ＋1≤c2，解得c ≥4，即c 的最小值为4. 411．已知双曲线的中心在原点，焦点F 1，F 2在坐标轴上，离心率为2，且过点(4，－10)，点M (3，m )在双曲线上．(1)求双曲线的方程； (2)求证：MF 1→·MF 2→＝0； (3)求△F 1MF 2的面积．(1)因为e ＝2，则双曲线的实轴、虚轴相等．所以可设双曲线方程为x 2－y 2＝λ. 因为双曲线过点(4，－10)，所以16－10＝λ，即λ＝6. 所以双曲线方程为x 2－y 2＝6.(2)证明：设F 1(－23，0)，F 2(23，0)，则MF 1→＝(－23－3，－m )，MF 2→＝(23－3，－m )．所以MF 1→·MF 2→＝(3＋23)×(3－23)＋m 2＝－3＋m 2，因为M 点在双曲线上，所以9－m 2＝6，即m 2－3＝0，所以MF 1→·MF 2→＝0.(3)△F 1MF 2的底边长|F 1F 2|＝4 3. 由(2)知m ＝± 3.所以△F 1MF 2的高h ＝|m |＝3，所以S △F 1MF 2＝12×43×3＝6.12．过双曲线x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)的左焦点F 1作斜率为1的直线，该直线与双曲线的两条渐近线的交点分别为A ，B ，若F 1A →＝AB →，则双曲线的渐近线方程为________．设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，由⎩⎪⎨⎪⎧y 1＝x 1＋c ，y 1＝－b a x 1得x 1＝－ac a ＋b ，y 1＝bca ＋b ，由⎩⎪⎨⎪⎧y 2＝x 2＋c ，y 2＝b a x 2，得x 2＝ac b －a ，y 2＝bc b －a ，由已知得－2ac a ＋b ＝－c ＋acb －a，所以b ＝3a . 所以双曲线的渐近线方程为3x ±y ＝0. 3x ±y ＝013．中心在原点，焦点在x 轴上的椭圆与双曲线有共同的焦点F 1，F 2，且|F 1F 2|＝213，椭圆的长半轴长与双曲线实半轴长之差为4，离心率之比为3∶7.(1)求椭圆和双曲线的方程；(2)若P 为这两曲线的一个交点，求cos ∠F 1PF 2的值．(1)由题知c ＝13，设椭圆方程为x 2a 2＋y 2b 2＝1，双曲线方程为x 2m 2－y 2n 2＝1，则⎩⎪⎨⎪⎧a －m ＝4，7·13a ＝3·13m ，解得a ＝7，m ＝3.所以b ＝6，n ＝2.所以椭圆方程为x 249＋y 236＝1，双曲线方程为x 29－y 24＝1.(2)不妨设F 1，F 2分别为左、右焦点，P 是第一象限的一个交点，则|PF 1|＋|PF 2|＝14，|PF 1|－|PF 2|＝6，所以|PF 1|＝10，|PF 2|＝4. 又|F 1F 2|＝213，所以cos ∠F 1PF 2＝|PF 1|2＋|PF 2|2－|F 1F 2|22|PF 1||PF 2|＝102＋42－（213）22×10×4＝45.14．(2017·湛江模拟)已知双曲线x 2a 2－y 2b2＝1(a ＞0，b ＞0)的右焦点为F (c ，0)．(1)若双曲线的一条渐近线方程为y ＝x 且c ＝2，求双曲线的方程；(2)以原点O 为圆心，c 为半径作圆，该圆与双曲线在第一象限的交点为A ，过A 作圆的切线，斜率为－3，求双曲线的离心率．(1)因为双曲线的渐近线方程为y ＝±bax ，所以a ＝b ，所以c 2＝a 2＋b 2＝2a 2＝4，所以a 2＝b 2＝2，所以双曲线方程为x 22－y 22＝1.(2)设点A 的坐标为(x 0，y 0)，所以直线AO 的斜率满足y 0x 0·(－3)＝－1，所以x 0＝3y 0，①依题意，圆的方程为x 2＋y 2＝c 2，将①代入圆的方程得3y 20＋y 20＝c 2，即y 0＝12c ，所以x 0＝32c ，所以点A 的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫32c ，12c ，代入双曲线方程得34c 2a 2－14c 2b2＝1，即34b 2c 2－14a 2c 2＝a 2b 2，② 又因为a 2＋b 2＝c 2，所以将b 2＝c 2－a 2代入②式，整理得34c 4－2a 2c 2＋a 4＝0，所以3⎝ ⎛⎭⎪⎫c a 4－8⎝ ⎛⎭⎪⎫c a 2＋4＝0，所以(3e 2－2)(e 2－2)＝0，因为e ＞1，所以e ＝2，所以双曲线的离心率为 2.。

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纸上得来终觉浅绝知此事要躬行
第六节双曲线
1．了解双曲线的定义、几何图形和标准方程，知道其简单的几何性质(范围、对称性、顶点、离心率、渐近线)．
2
2
22
3.技巧与方法1．双曲线标准方程的求法
(1)定义法，根据题目的条件，判断是否满足双曲线的定义，若满足，求出相应的a ，b ，c ，即可求得方程．
(2)待定系数法
①与双曲线12222=-b y a x 共渐近线的可设为λ=-22
22b y a x (0≠λ)；
b
22y x
；渐近线方程为________．
5．两个正数a ，b 的等差中项是25，等比中项是6，且b a >，则双曲线122
22=-b
y a x 的离心率e ＝
________.
双曲线的定义
(2014·全国大纲卷)已知双曲线C 的离心率为2，焦点为1F ，2F ，
点A 在C 上，若||2||21A F A F =，则12cos F AF ∠＝( )
A ．41
B ．31
C ．42
D ．3
2
练习12，则
||1PF
练习22F 的内
A C
双曲线的标准方程
(1)(2014·北京西城一模)“8<m ”是“方程
18
102
2=---m y m x 表示双曲线”的( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C
( )
A ．13
2
2
=-y x B ．12
12
2
=-
x y C ．12
22
2=-x y D ．13
22
=-x y
(3)(2014·江西卷)过双曲线C ：122
22=-b
y a x 的右顶点作x 轴的垂线，与C 的一条渐近线相交于点A ．若
以C 的右焦点为圆心、半径为4的圆经过A ，O 两点(O 为坐标原点)，则双曲线C 的方程为( )
A ．
11242
2=-y x B ．1972
2=-y x B ．18
82
2=-y x D ．
14
122
2=-y x 练习1
练习2．
双曲线的几何性质
(1)(2014·广东卷)若实数k 满足90<<k ，则曲线
19252
2=--k
y x 与曲线192522=--y k x 的( )
A ．离心率相等
B ．虚半轴长相等 C
P 使得A
练习116m
) A ．x y ±= B ．x y 3
3±= C ．x y 2±= D ．x y 2
1±
=
练习2．(2014·福建漳州3月)焦点为)6,0(且与双曲线12
22
=-y x 有相同渐近线的双曲线方程是( ) A ．
124122
2=-y x B ．
124122
2=-x y C ．
112
242
2=-x y D ．
112
242
2=-y x
练习3A C
练习42
1F F A C
练习52F ，若
||1PF
练习6．已知双曲线13
2
2
=-y x 的左顶点为1A ，右焦点为2F ，P 为双曲线右支上一点，则21PF ⋅的最小值为( )
A ．2-
B ．16
81
-
C ．1
D ．0
直线与双曲线的位置关系
(2015·长沙四校联考)设A ，B 分别为双曲线122
22=-b
y a x )0,0(>>b a 的左、右顶点，双曲线的
实轴长为34，焦点到渐近线的距离为3.
(1)求双曲线的方程； (2)已知直线23
-=
x y 与双曲线的右支交于M 、N 两点，且在双曲线的右支上存在点D ，使
OM +
练习2
F
1．双曲线122=-my x 的实轴长是虚轴长的2倍，则m ＝( )
A ．14
B ．1
2 C ．2 D ．4
2．已知双曲线122
22=-b
y a x 与直线x y 2=有交点，则双曲线离心率的取值范围为( )
A
310，双
A B
41，1
C 与2C A C
5．(2014·东北三校第一次联考)双曲线C ：122=-b
a )0,0(>>
b a 的右焦点为)0,(
c F ，以原点为圆
心，c 为半径的圆与双曲线在第二象限的交点为A ，若此圆在A 点处切线的斜率为3
3
，则双曲线C 的离心率为( )
A ．13+
B ．6
C ．32
D ．2
6．已知双曲线的中心在原点，一个顶点的坐标是)0,3(-，且焦距与实轴长之比为3:5，则双曲线的标准方程是____________．
7．已知双曲线192
2=-a
y x 的右焦点的坐标为)0,13( ，则该双曲线的渐近线方程为____________．
8||PA
9
10
1．双曲线122
22=-b
y a x )0,0(>>b a 的两个焦点为1F ，2F ，若P 为其上一点，且||2||21PF PF =，则双
曲线的离心率的取值范围为( )
A ．)3,1(
B ．]3,1(
C ．),3(+∞
D ．),3[+∞
2
3E
4为-。