第11章 电势2009版

1 2 ...... n i
i 1
n
各点电荷单独存在时在该点电势的代数和
点电荷电势

点电荷系的电势
4 0 r
qi
q1
dq
q
由电势叠加原理，P 的电势为
q2 r1
r2
qn
r
P
rn
i
连续带电体的电势
4 0 ri
P
由电势叠加原理，P 的电势为
P2 A12 q0 E dr q0 1 2 P1
三、电势的计算
1、点电荷电场中的电势
q
er
P
q 如图P点的场强为 E e 2 r 4 0 r q q E dr Edr dr 2 r r 4 r P 4 0 r
dr
§11.4 等势面
等势面 ： 电场中电势相等的点组成的曲面
+
电偶极子的等势面
+
人 体 心 脏 周 围 的 电 势
等势面的性质
⑴ 等势面与电场线处处正交，电场线指向电势降 落的方向。 ⑵ 电荷沿等势面移动时，电场力不做功。 ★a,b为等势面上任意两点，移动q, 从a到b
a b
Aab q E dr q( a b )
a 由电场强度的分布可求得电势的分布，那么 由电势分布能否求出电场强度的分布呢？
一、场强与电势的微分关系
单位正电荷从 a 到 b 电场力的功
d
a b a b E dl ( b a )
E dr
U12 1 2
电势差：a、b两点的电势差等于将单位正电荷从 a点移到b时，电场力所做的功。
二、电势
电势零点：为了给出静电场中各点的电势值而选取 的参考位置。
电势： P点的电势等于将单位正电荷从P点沿任意 路径移到电势能零点时，电场力做的功。
P0 E dr P
d
4 0 r q dl 4 0 r 4 0 R 2 x 2
dq

Z
R

O

x
X
P
P d
P
2 R

0
q
2
dl 2 R 4 0 r 4 0 r q / 2 R
2
q P 4 0 r
4 0 x R
连续带电体产生。
一、点电荷形成的电场中，静电力做的功 P2 P2
A12 L
P1
F dr q0 L
2 1
P1
E dr
P A12 L E dr P q0
P2
r2
将单位正电荷 从P1 移到P2点时电场力所 做的功
d El dl
E grad
物理意义：电势梯度是一个矢量，它的大小为电势沿 等势面法线方向(即场强方向)的变化率，它的方 向沿等势面法线方向且指向电势增大的方向。
例1．利用场强与电势梯度的关系， 计算均匀带电 细圆环轴线上一点的场强。
4 0 R2 x 2 q ( 1 Ex ) x x 4 0 R2 x 2 1 qx 4 0 ( R 2 x 2 ) 3 2 E y Ez 0
方法二 定义法由电场强度的分布来自dlY



r
x
E


qx 4 0 ( x R )
2 2 3 2
Z
R

O

X
P

Edx


qxdx 4 0 ( x R )
2 2 3 2
xp
xp
q 4 0


xdx (x R )
2 2 3 2
xp

1
2 2

x R xp
电势和电势差的单位：伏特
1V=1J/C
注 意
1、电势是相对的，与电势零的选取有关； 而两点间的电势差却与零点的选取无关。
2、电势零点的选取：视方便而定。
电荷分布在有限区域时，电势零点通常选在无穷 远处。此时 E dr
P
在实际问题中，常选地球的电势为零电势。
3、利用电势差计算点电荷在静电场中移动时电场 力做的功。 电荷 q0 从P1移到P2时，电场力做的功为：
2 1 2

P1 P2
P1
P P E1 dr E2 dr En dr
2 2
qi 1 1 ( ) 4 0 ri 1 ri 2 i
P1
P1
——与路径无关
三、连续带电体形成的电场中，静电力做的功
ln r ln r0 2 0 2 0
故上式可一般地表示为：
ln r C 2 0
选定电势零点后， 该值就定了 与电势零点有关 的常数。
§11.3 电势叠加原理
一、电势叠加原理
场源为q1 、q2 qn的点电荷系，电场中任一点的 场强为： E E1 E2 ....... En 电势
b
E dl
E
dl
a El b
b
a
a E cos dl a d
b
设电场强度沿dl方向的分 量为El=Ecos，故：
d
a El dl a d
El dl d
d El dl
b
b

E
dl
a El b
场强方向与电势 梯度方向相反 电场中某点场强沿某方向 的分量等于电势沿此方向 的空间变化率的负值。
r

4 0 r
对称性
q
大小
0
q 0 0, r , r 最小
q 0 0, r , r 最大
以q为球心的同一球面上的点电势相等
2、已知静止的电荷分布，求电势分布 方法一： ① 选定电势零点； ② 求出电场分布； ③ 选一条路径积分以求电势的分布。 方法二： 由点电荷电势公式， 利用电势叠加原理计算
方法二
定义法

q 4 0 r 2
由高斯定理求出场强分布 E 由定义
rR


E dr

0
R
O
rR
rR
E dr E dr
R r
P
0

q
R
2
4 0 r R q 4 0 R
dr
rR
r

r
P
q
2
4 0 r q 4 0 r
r
P

P´
P P0 P0 E dr E dr E dr P P P P PP E , E dr 0 P
P0
r0
r0 P0 dr E dr 故： r 2 0 r P

4 0 r
q
例：求无限长均匀带电直线的电场中电势分布 ① 选取电势零点 r P 选离直线为r0 的 P0 点为电势零点。 ② 电场分布

P´ r0
P0
无限长均匀带电直线的场强分布为：
E 2 0 r
方向垂直于带电直线
③ 选取积分路线求电势分布 选取PP´平行于带电直线，而P´P0与带电直线垂直。
d
4 0 r
dq
注意：这三个公式 中，电势零点都选 在无穷远！
例1 、求电偶极子电场中任一点P的电势
q( r2 r1 ) P 1 2 4 0 r1 4 0 r2 4 0 r1r2 q q
由叠加原理
Y

P ( x, y )
r l

q 4 0 x R
2 2
例3、求均匀带电球面电场中电势的分布，已知R，q 解: 方法一 叠加法 (微元法)
dq dS 2R 2 sind 任一圆环 dS 2R sinRd dq 1 2 R2 sin d d d l 4 0 l 4 0 l R q sind O P 8 0 l r 由图 l 2 R 2 r 2 2 Rr cos r R r R qdl q 2ldl 2rR sind 8 0 rR 4 0 r rR sin d 2ldl / 2rR r R R r qdl q qdl d 8 0 rR 4 0 R 8 0 rR R r
Aab q(a b ) 0

a
b
⑶ 两等势面相距较近处的场强数值大，相 距较远处场强数值小。 ⑷ 沿电力线方向电势降低。 ★沿电力线移动 q
c
d
Acd
d
c d
c
E dr q(c d ) 0
E
§11.5 电势梯度
电场强度与电势之间的关系 功、电势差、电势能之间的关系 b
P0 P0 E dr ( E1 E2 En ) dr P P
P0 P0 P0 E1 dr E2 dr ....... En dr P P P

r2

O
r2 r1 l cos , r1r2 r
l cos 4 0 r 2 q
x x y
2 2
2
r r1
q
X
q
其中 r 2 x 2 y 2
l

4 0 1 px ( x2