最新必修5-解三角形知识点归纳总结(1)

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解三角形知识点

《必修五》解三角形知识点归纳一、正弦定理正弦定理：2sin sin sin a b cR A B C=== 文字语言：在一个三角形中，各边和它所对角的正弦的比相等. 符号语言：2sin sin sin a b cR A B C=== 特点：对称美、和谐美（一）理解定理1、正弦定理：在△ABC 中，2sin sin sin sin sin sin a b c a b cR A B C A B C++====++【在这个式子当中，已知两边和一角或已知两角和一边，可以求出其它所有的边和角，从而知正弦定理的基本作用是进行三角形中的边角互化】2、正弦定理的基本作用：①已知三角形的任意两角及其一边可以求其他边，如角化边sin sin b Aa B=②已知三角形的任意两边与其中一边的对角可以求其他角的正弦值，如sin sin a BA b= 3、常用公式及其结论⑴正弦定理包含三个等式sin sin a b A B =，sin sin b c B C =，sin sin a c A C=每一个等式中都包含四个量，可以“知三求一” (2)三内角和为180︒即180A B C ︒++=，222A B C π+=- (3)两边之和大于第三边，两边之差小于第三边,,;,,.a b c a c b b c a a b c b c a a c b +>+>+>-<-<-< (4)面积公式：2111sin sin sin 2sin sin sin 2224abcS ab C bc A ac B R A B C R===== ⑸三角函数的恒等变形：sin()sin A B C +=，cos()cos A B C +=- ，()tan tan A B C +=-，sincos 22A B C +=，cos sin 22A B C+=，tan tan 22A B C +=，tan tan +tan tan tan tan A B C A B C +=⋅⋅ ⑹C B A c b a sin :sin :sin ::= ⑺角化边: C R c B R b A R a sin 2sin 2sin 2===⑻边化角:RcC Rb B Ra A 2sin 2sin 2sin ===⑼在△ABC 中，①若B b A a cos cos =，则△ABC 是等腰三角形或直角三角形; ②若B a A b cos cos =，则△ABC 是等腰三角形;③若222cos cos +cos 1A B C +=或cos cos cos a A b B c C +=，则△ABC 是直角三角形.⑽在△ABC 中，sin sin sin A B C a b c A B C >>⇔>>⇔>>（二）题型：使用正弦定理解三角形共有三种题型题型1：利用正弦定理公式原型解三角形题型2：利用正弦定理公式的变形(边角互化)解三角形：关于边或角的齐次式可以直接边角互化.例如：222222sin 3sin 2sin 32A B C a b c +=⇒+=题型3：三角形解的个数的讨论方法一：画图看方法二：通过正弦定理解三角形，利用三角形内角和与三边的不等关系检验解出的结果是否符合实际意义，从而确定解的个数.（三）三角形内角平分线定理：△ABC 中，AD 是A ∠的角平分线，则DCBDAC AB = 我们知道，当一个三角形已知任意两角和一边时，根据全等三角形的判定定理可以得知这个三角形就是唯一确定的,也就是可解的.先由三角形内角和定理求出第三个角，再由正弦定理计算另两边.另外，一个三角形的三边之间必须满足：任意两边之和大于第三步且任意两边之差小于第三边.当已知一个三角形的三边时，已知的三条边必须满足上面的条件才能够作出三角形.否则作不出三角形，当然也无法解三角形.从上面的探讨可以得知，已知三角形的三边要解三角形时，必须满足三边关系，解三角形才有意义.当已知三边时，连续利用余弦定理的推论求出较小边的对角，再用三角形内角和求出第三个角. 如果已知三角形的两边及其夹角，那么根据三角形的判定定理我们知道这个三角形是唯一确定的，也就是可解的.我们可以利用余弦定理计算第三边，用余弦定理的推论或正弦定理计算其余两个角. 如果已知任意两边及其中一边的对角如何来解三角形呢？我们先看下面的例题：例题：已知：在△ABC 中，22,25,133,a cm b cm A ︒===解三角形. 解：22,25,133a cm b cm A ︒===∴根据正弦定理，得sin 25sin133sin 0.831122b A B a ︒==≈ 0180B ︒︒<< ∴56.21B ︒≈，或123.79B ︒≈ 180A B C ︒++= ∴9.21C ︒=-或76.79C ︒=-【师】：问题出在哪里呢？【生】：分析已知条件，我们注意到,133a b A ︒<=，是一个钝角，根据三角形的性质应该有A B <,因而B 也是一个钝角.而在一个三角形中是不可能存在两个钝角的.【师】：从上面的分析我们发现，在已知三角形的两边及其中一边的对角解三角形时，在某些条件下会出现无解的情形.如：①已知32,2,60===O b a A ,求B (有一个解);②已知32,2,60===O a b A ,求B (有两个解)二、余弦定理（一）知识与工具：余弦定理：222222222222222222cos 22cos 2cos cos 22cos cos 2b c a A bc a b c bc A a c b b a c ac B B ac c a b ab C a b c C ab ⎧+-=⎪⎧=+-⎪+-⎪⎪=+-⇒=⎨⎨=+-⎪⎪⎩+-⎪=⎪⎩（二）题型:使用余弦定理解三角形共有三种现象的题型题型1:利用余弦定理公式的原型解三角形题型2:利用余弦定理公式的变形(边角互换)解三角形：凡在同一式子中既有角又有边的题，要将所有角转化成边或所有边转化成角，在转化过程中需要构造公式形式。

必修五知识点归纳

必修五知识点归纳高中数学必修五包含了众多重要的知识点，对于我们的数学学习和解题能力的提升具有关键作用。

以下是对必修五主要知识点的详细归纳。

一、解三角形（一）正弦定理正弦定理指出：在任意一个三角形中，各边和它所对角的正弦值的比相等，且等于外接圆的直径。

即\（＼frac{a}｛＼sin A} ＝＼frac{b}｛＼sin B} ＝＼frac{c}｛＼sin C} ＝ 2R\）（其中\（R\）为三角形外接圆的半径）。

正弦定理可以用于以下两类问题：1、已知两角和一边，求其他两边和一角。

2、已知两边和其中一边的对角，求另一边的对角，进而求出其他的边和角。

（二）余弦定理余弦定理描述了三角形中三边长度与一个角的余弦值之间的关系。

对于三角形的三边\（a\）、＼（b\）、＼（c\），对应的角为\（A\）、＼（B\）、＼（C\），有：＼（a^2 ＝ b^2 ＋ c^2 2bc\cos A\）＼（b^2 ＝ a^2 ＋ c^2 2ac\cos B\）＼（c^2 ＝ a^2 ＋ b^2 2ab\cos C\）余弦定理常用于：1、已知三边，求三个角。

2、已知两边和它们的夹角，求第三边和其他两个角。

（三）三角形面积公式常见的三角形面积公式有：1、＼（S ＝＼frac{1}｛2}ab\sin C ＝＼frac{1}｛2}bc\sin A ＝＼frac{1}｛2}ac\sin B\）2、＼（S ＝＼sqrt{p(p a)（p b)（p c)｝＼），其中\（p ＝＼frac{a ＋ b ＋ c}｛2}＼），称为半周长。

二、数列（一）数列的概念数列是按照一定顺序排列的一列数。

数列中的每一个数都叫做这个数列的项。

（二）等差数列1、定义：如果一个数列从第二项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数，那么这个数列就叫做等差数列。

这个常数叫做等差数列的公差，通常用字母\（d\）表示。

2、通项公式：＼（a_n ＝ a_1 ＋（n 1)d\）3、前\（n\）项和公式：＼（S_n ＝＼frac{n(a_1 ＋ a_n)｝｛2} ＝na_1 ＋＼frac{n(n 1)｝｛2}d\）（三）等比数列1、定义：如果一个数列从第二项起，每一项与它前一项的比等于同一个常数，那么这个数列就叫做等比数列。

高中数学的必修五解三角形知识点归纳

解三角形一.三角形中的基本关系： (1)sin()sin ,A B C +=cos()cos ,A B C +=-tan()tan ,A B C +=-(2)sin cos ,cos sin ,tan cot 222222A B C A B C A B C+++===(3)a>b 则Ａ＞Ｂ则sinA>sinB,反之也成立二.正弦定理：2sin sin sin a b cR C===A B ．R 为C ∆AB 的外接圆的半径）正弦定理的变形公式：①化角为边：2sin a R =A ，2sin b R =B ，2sin c R C =；②化边为角：sin 2aR A =，sin 2b R B =，sin 2c C R=；③::sin :sin :sin a b c C =A B ；④sin sin sin sin sin sin a b c a b cC C++===A +B +A B ．两类正弦定理解三角形的问题：①已知两角和任意一边求其他的两边及一角. ②已知两边和其中一边的对角，求其他边角. (对于已知两边和其中一边所对的角的题型要注意解的情况（一解、两解、无解）) 三．余弦定理：2222cos a b c bc =+-A2222cos b a c ac =+-B 2222cos c a b ab C =+-．注意：经常与完全平方公式与均值不等式联系推论：222cos 2b c abc+-A =222cos 2a c bac+-B =222cos 2a b cC ab+-=．①若222ab c+=，则90C=； ②若222a b c +>，则90C<；③若222a b c +<，则90C >．余弦定理主要解决的问题：（1）.已知两边和夹角求其余的量。

（2）.已知三边求其余的量。

注意：解三角形与判定三角形形状时，实现边角转化，统一成边的形式或角的形式四、三角形面积公式：等差数列一．定义：如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数，则这个数列称为等差数列，这个常数称为等差数列的公差．二．符号表示:1n n a a d +-=（n>=1）三．判断数列是不是等差数列有以下四种方法： (1)),2(1为常数d n d a a n n ≥=-- （可用来证明）(2)211-++=n n n a a a (2≥n )（可用来证明） (3)b kn a n +=(k n ,为常数)(4)12n n s a a a =+++是一个关于n 的2次式且无常数项四.等差中项a ，A ，b 成等差数列，则A 称为a 与b 的等差中项．若2a cb +=，则称b 为a 与c 的等差中项．五.通项公式:()11n a a n d =+-(是一个关于的一次式,一次项系数是公差)通项公式的推广：()n m a a n m d =+-； n ma a d n m -=-．六.等差数列的前n 项和的公式：①()12n n n a a S +=(注意利用性质特别是下标为奇数)②()112n n n S na d -=+(是一个关于n 的2次式且无常数项,二次项系数是公差的一半) 七.等差数列性质:(1)若m n p q +=+则m n p q a a a a +=+； (2)若2n p q =+则2n p q a a a =+．(3) (4)且公差为原公差的成等差数列,}S {nn(5)①若项数为()*2n n ∈N ，则()21n n n S n a a +=+，成等差数列 n n n S S 232n n S ,S ,S --且S S nd -=偶奇，1nn S a S a +=奇偶． ②若项数为()*21n n -∈N ，则()2121n n S n a -=-，且n S S a -=奇偶，1S nS n =-奇偶（其中n S na =奇，()1n S n a =-偶）．（6）若等差数列{ an} {bn}的前n 项和为则八．等差数列前n 项和的最值(1)利用二次函数的思想:n da n d S n )2(212-+=(2)找到通项的正负分界线若则有最大值，当n=k 时取到的,n n S T ⎩⎨⎧<>001d a n s 1212--=n n n n T S b a最大值k 满足若则有最大值，当n=k 时取到的最大值k 满足等比数列一．定义、如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的比等于同一个常数，则这个数列称为等比数列，这个常数称为等比数列的公比．⎩⎨⎧≤≥+001k k a a ⎩⎨⎧><001d a ⎩⎨⎧≥≤+01k k a a ns二．符号表示：1n na q a +=注：①等比数列中不会出现值为0的项；②奇数项同号，偶数项同号（３）合比性质的运用三．数列是不是等比数列有以下四种方法： ①)0,,2(1≠≥=-且为常数q n q a a n n （可用来证明）②112-+⋅=n n n a a a (2≥n )（可用来证明）③nn cq a =(q c ,为非零常数).（指数式）④从前n 项和的形式（只用来判断）四.等比中项:在a 与b 中间插入一个数G ，使a ，G ，b 成等比数列，则G 称为a 与b 的等比中项．若2G ab =，则称G 为a 与b 的等比中项．（注：由2G ab =不能得出a ，G ，b 成等比，由a ，G ，b ⇒2Gab=）五.等比数列的通项公式：11n n a a q-=．通项公式的变形： (1) n mn m a a q-=；(2)n mn m a qa -=．(注意合比性质的利用)六．前n 项和的公式：①()()()11111111n n n na q S a q a a qq qq =⎧⎪=-⎨-=≠⎪--⎩． ②12n ns a a a =+++=A+B*q n ,则A+B=0七．等比数列性质: (1)若m n p q +=+，则m n p q a a a a ⋅=⋅；(2)若2n p q =+则2np q a a a =⋅． (3)通项公式的求法: (1).归纳猜想(2).对任意的数列{na }的前n 项和nS 与通项na 的关系：⎩⎨⎧≥-===-)2()1(111n s s n a s a n n n检验第②式满不满足第①式，满足的话写一个式子，不满足写分段的形式 (3).利用递推公式求通项公式 1、定义法:符合等差等比的定义 2、迭加法: 成等比数列n n n S S 232n nS ,S ,S--1()n n a a f n +-=3、迭乘法:4、构造法:5.如果上式后面加的是指数时可用同除指数式6.如果是分式时可用取倒数 (4)同时有和与通项有两种方向一种:当n 大于等于2,再写一式,两式相减,可以消去前n 项和二种:消去通项数列求和的常用方法1. 公式法:适用于等差、等比数列或可转化为等差、等比数列的数列。

必修5第一章解三角形知识点全面总结

必修5第一章解三角形知识总结1、正弦定理：在一个三角形中，各边和它所对角的正弦的比相等，即sin sin a b A B =sin cC==2R （1）正弦定理说明同一三角形中，边与其对角的正弦成正比，且比例系数为同一正数2R ，即2sin =a R A ， 2sin =b R B ，2sin =c R C ；（2）sin sin a b A B =sin c C =等价于sin sin a b A B =变形：sin sin a Ab B =, （3）正弦定理的基本作用为：①已知三角形的两角及其一边可以求其他边，即先用内角和求第三角，再用正弦定理求另外两边；②已知三角形的两边与一边的对角可以先求另一对角的正弦值，然后用内角和定理求第三角，再用正弦定理求第三边如先求sin sin aA B b=——A ——C ——c2、余弦定理：三角形中任何一边的平方等于其它两边的平方的和减去这两边与它们的夹角的余弦的积的两倍。

即：2222cos a b c bc A =+- 或 2222cos b c a bc A +-= 2222cos =+-b a c ac B 或 2222cos a c b ac B +-= 2222cos c a b ab C =+- 或 2222cos a b c ab C +-= 从余弦定理，又可得到以下推论：222cos 2b c a A bc +-=222cos 2a c b B ac +-= 222cos 2a b c C ab+-= 在△ABC 中，由222cos 2a b cC ab+-=得：若222a b c +=，则cosC=0, 角C 是直角；若222a b c +<，则cos C <0, 角C 是钝角；若222a b c +>，则cos C >0, 角C 是锐角．3、三角形面积公式：三角形的面积等于三角形的任意两边以及它们夹角的正弦之积的一半．S =12ab sin C =12bc sin A=12ac sin B4、三角形中的三角变换，除了应用上述公式和上述变换方法外，还要注意三角形自身的特点。

必修5知识点总结

必修5知识点总结第一章解三角形（一）正弦定理知识点一：1、正弦定理： Cc B b A a s i n s i n s i n == 2、R Cc B b A a 2sin sin sin ===(其中R 是△ABC 的外接圆半径) 3、三角形面积公式：B ac A bc C ab S ABC sin 21sin 21sin 2121===⨯⨯=∆高底知识点二：正弦定理的应用:利用正弦定理解三角形（1）两角与一边→（三角形内角和）另一个角→（正弦定理）另两条边（2）两边与其中一边的对角→（正弦定理）→另一边的对角的正弦值→确定此角与其他的边和角注：大角对大边，大边对大角结合几何图形拓展点一：1、正弦定理的几种变形:(1)C R c B R b A R a sin 2,sin 2,sin 2===(2)Rc C R b B R a A 2sin ,2sin ,2sin ===(3)c b a C B A ::sin :sin :sin =在判断三角形的形状时，可利用（1）将边化为角，利用（2）将角化为边了解决。

2、利用等比定理将正弦定理变形:C B c b A a s i n s i n s i n ++=或CB A c b a A a sin sin sin sin ++++=等。

拓展点二：三角形中几个隐含的条件（1）π=++C B A（2）2sin 2cos ,2cos 2sin C B A C B A =+=+ （3）C B A C B A cos )cos(,sin )sin(-=+=+（4）判断角的不等关系：C B A c b a C B A s i n s i ns i n ≥≥⇔≥≥⇔≥≥ ，B A B A cos cos ≤⇔≥练习：1、在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且A=60°，B=45°，b=2√2，则a=2、在△ABC 中，已知b=4，c=8，B=30°，求C ，A ，a3、已知△ABC 中，AB=2√3，AC=4，A=60°，则△ABC 的面积是多少？4、在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且Cc B b A a cos cos cos ==，试判断三角形的形状。

数学必修五复习提纲——解三角形

第一章解三角形一、知识点总结1．正弦定理:2sin sin sin ===a b cRA B C变形：2.余弦定理：3.三角形面积公式：4.射影定理（了解）：a=bcosC+ccosB,b=acosC+ccosA,c=acosB+bcosA5.三角形中的常用结论：二、常见题型1、解三角形利用正弦定理：①已知两角和任意一边(AAS 、ASA )，求其他的两边及一角（只有一解）②已知两边和其中一边的对角(SSA )，求其他边角（无解，一解，两解）2sin ,2sin ,2sin sin =,sin ,sin 222::sin :sin :sin ++=2sin sin sin sin +sin +sin sin sin sin A B C a b a R A b R B c R C a b cA B C R R R a b c A B C a b c a b c R A B A B C C C A B c >===⎫⎪⎬==>⇔>>⇔>>⎪⎭====边角互化（大角对大边：）①②③④2222222222cos 2cos 2cos a b c bc A b a c ac B c b a ba C ⎧=+-⎪=+-⎨⎪=+-⎩222222222cos 2cos 2cos 2⎧+-=⎪⎪+-⎪⇒=⎨⎪⎪+-=⎪⎩b c a A bc a c b B ac b a c Cab 111222∆===ABC a b c S ah bh ch 111sin sin sin =2224ABC abc S ab C bc A ac B R∆===或(1),(+>-<a b c a b c 即两边之和大于第三边，两边之差小于第三边）(2)sin sin cos cos ∆>⇔>⇔>⇔<ABC A B a b A B A B在中，(3)sin cos .0sin()sin cos sin 2222(4) C >,sin cos .20sin sin()sin cos 2222(5)A B A B A B B A B A B A A B A B A B A B A Bπππππππππ>+>⇒<-<<⇒-<⇒<<+<⇒<<-<⇒<-⇒<在锐角三角形中，和是任意两个角，则理由：在 (文字说明：锐角三角形中，任一角的钝角三角形中，若正则弦值大于其他角的理由：在一般三余弦值)角形中，cos cos 00cos cos()cos cos cos cos 0A B A B A B A B A B A B ππππ+>+<⇒<<-<⇒>-⇒>-⇒+> 理由：(6)222sin()sin ,cos()cos tan()tan ,sin cos ,cos sin ,2222A B CA B C A B C A B C A B C A B C A B A B C C πππ+++=⇒⇒=-+=+=-+=-+=-++==三角形中的诱导公式：，利用余弦定理：①已知三边(SSS )求三角（只有一解）②已知两边及夹角(SAS )，求第三边和其他两角（只有一解）③已知两边和其中一边的对角(SSA )，求其他边角（无解，一解，两解）已知“SSA ”利用正弦定理与余弦定理求解的区别：2、判断三角形形状或求值方法一：确定最大角（只要知道三边的关系，就可以利用余弦定理的推论求出角）方法二：边化角（统一化成角）方法三：角化边（统一化成边）常见的形式：2222222sin ,2sin ,2sin ,2cos sin sin sin 2sin sin cos a R A b R B c R C a b c bc A A B C B C A====+-⇒=+-⋅①常用公式：222222222sin ,sin ,sin ,222cos ,cos ,cos ,222a b cA B C R R R b c a a c b a b c A B C bc ac ab===+-+-+-===①常用公式：sin =sin ()(sin sin +22)sin 2=sin 2()()2A B A B k k A B A B A B αβαβπαπβππ⇒=⎫⎪=⇔==-+⎬⇒=+=⎪⎭②常见结论：等腰三角形原理：或等腰三角形或直角三角形2222222222222229090a b c A a b c A a b c b a c c a b>+⇒>=+⇒=⎧<+⎪<+⇒⎨⎪<+⎩②常见结论：(钝角三角形)(直角三角形)锐角三角形cos cos ()()cos cos cos cos ()sin 2sin cos ())()3,sin 2sin cos ()a Ab B a bc A B C b a C A B C a b c b c a bc A B C =====+++-==①等腰三角形或直角三角形②等边三角形③直角三角形④等腰三角形⑤（且等边三角形3、构成三角形三边的问题4、周长面积问题（记得同时利用两个公式：余弦定理和完全平方公式）5、正、余弦定理的综合应用【例4】在ABC ∆中，角,,A B C 所对应的边分别为,,a b c，a =tan tan 4,22A B C++= 2s i nc o s s i n B C A =，求,A B 及,b c【解析】由tan tan 422A B C ++=得cossin224sin cos22C CC C +=∴14sin cos 22C C =∴1sin 2C =，又(0,)C π∈∴566C C ππ==，或由2sin cos sin B C A =得 2sin cos sin()B B B C =+，即sin()0B C -=∴B C =，6B C π==，2()3A B C ππ=-+=()()222121,,21.2121,2821(12)a a a a a a a a a a a a +-⎧+>+-⎪∴<<⎨+->+⎪⎩【例】设为钝角三角形的三边，求实数的取值范围解考虑最大角：依题意，，即为钝角和两边之和大的取值范围为(于第三边2,8)2222222,3,23,32x x x x x x⎧<+⎪<⎨<+⎪⎩【例2】已知锐角三角形边长分别为，求的取值范围.解：依题意，即的取值范围是(考虑三个角都是锐角)()22222cos =2abc A b c bb c c++=+-()()22222220601sin ,402=20,20,2cos 220120,77.ABC A BC S bc A bc a b c b c a a b c bc A b c bc bc a a a BC ∆∠=︒=∴=++∴+=-∴=+-=+--∴=--∴=【例3】在的周长等于，面积是，边的长。

必修5解三角形知识点归纳

知识点归纳：1．.正弦定理：R Cc B b A a 2sin sin sin ===（R 为△ABC 外接圆的半径）变形：C B A c b a sin :sin :sin ::=. 另：三角形的内切圆半径cb a S r ABC ++=∆2. 2．余弦定理：A bc c b a cos 2222-+=；变形：（1）bca cb A 2cos 222-+=； B ac c a b cos 2222-+=；acb c a B 2cos 222-+=； C ab b a c cos 2222-+=.abc b a C 2cos 222-+= 变形：（2）A C B C B A cos sin sin 2sin sin sin 222-+=3．三角形中的边角关系和性质：（1）π=++C B A 2222π=++C B A 在Rt △中，222c b a =+，C=A+B=900.（2）C B A sin )sin(=+ nC B A cos )cos(-=+ C B A t a n )t a n (-=+（3）2cos 2sin C B A =+ 2t a n 2c o s C B A =+ 2c o t 2t a n C B A =+ （4）tanA+tanB+tanC=tan A ·tanB ·tanC（5）b a >⇔B A >⇔B A sin sin >.⇔B cos cos <（6）21sin 21==C ab S ×底×高Rabc 4=.)(2c b a r ++=（三角形的内切圆半径r ，外接圆半径R ）（7）ma+nb=kc ⇔msinA+nsinB=ksinC（8）ma=nb ⇔msinA=nsinB(9)a:b:c=sinA:sinB:sinC(10)若A 、B 、C 成等差数列，则B 060=.2．在△ABC 中，cos(A －B )＋sin(A ＋B )＝2，则△ABC 的形状是（）A.等边三角形B.等腰钝角三角形C.等腰直角三角形D.锐角三角形3．在△ABC 中，由已知条件解三角形，其中有两解的是（）A.b ＝20，A ＝45°，C ＝80°B.a ＝14，b ＝16，A ＝45°C.a ＝30，c ＝28，B ＝60°D.a ＝12，c ＝15，A ＝120°6．在△ABC 中，tan A ＋tan B ＋tan C ＞0，则△ABC 是（）A.锐角三角形B.钝角三角形C.直角三角形D.任意三角形7．在△ABC 中，下列三式：·>0，·>0，·>0中能够成立的个数为（）A.至多1个B.有且仅有1个C.至多2个D.至少2个8．在△ABC 中，若(a ＋b ＋c )(b ＋c －a )＝3bc ，且sin A ＝2sin B cos C ，那么△ABC 是（）A.直角三角形B.等边三角形C.等腰三角形D.等腰直角三角形9．如果把直角三角形的三边都增加同样的长度，则这个新的三角形的形状为（）A.锐角三角形B.直角三角形C.钝角三角形D.由增加的长度决定10．已知△ABC 中，AB ＝1，BC ＝2，则角C 的取值范围是（）A.0＜C ≤B.0＜C ＜C.＜C ＜D.＜C ≤12．在△ABC 中，若)＝)＝)，则△ABC 的形状是_____________.13．在△ABC 中，A 、B 、C 相对应的边分别是a 、b 、c ，则a cos B ＋b cos A ＝______.14．在△ABC 中，tan B ＝1，tan C ＝2，b ＝100，求a ＝__________.15．在△ABC 中，a 、b 、c 分别是角A 、B 、C 所对的边长，若(a ＋b －c )·(sin A ＋sin B －sin C )＝3a sin B ，则C ＝________.16．在不等边△ABC 中，a 为最大边，如果a 2＜b 2＋c 2，则A 的范围是_____________.18．(本小题满分14分)在△ABC 中，a 、b 、c 分别是角A 、B 、C 所对的边长，若a 2＋c 2＝b 2＋ac 且＝＋1,2)，求角C 的大小.19．(本小题满分14分)在△ABC 中，已知＝，求∠A .21．（本小题满分15分）如图，有两条相交成60°角的直线xx ′，yy ′，交点是O ，甲、乙分别在Ox ，Oy 上，起初甲离O 点3km ，乙离O 点1km ，后来两人同时用每小时4km 的速度，甲沿xx ′方向，乙沿y ′y 方向步行，问：（1）起初两人的距离是多少？（2）用包含t 的式子表示t（3）什么时候两人的距离最短？5、在ABC △中，13,34,7===c b a ，则最小角为A 、3πB 、6πC 、4πD 、12π 8、在ABC △中，根据下列条件解三角形，则其中有二个解的是 A 、10,45,70b A C ===B 、60,48,60a c B ===C 、7,5,80a b A ===D 、14,16,45a b A ===10．在△ABC 中，已知sin B sin C ＝cos 22A ，则此三角形是__________三角形． 11.在△ABC 中，∠A 最大，∠C 最小，且∠A ＝2∠C ，a ＋c ＝2b ，求此三角形三边之比为．13．如图所示，在斜度一定的山坡上的一点A 测得山顶上一建筑物顶端C 对于山坡的斜度为15°，向山顶前进100米后到达点B ，又从点B 测得斜度为45°，建筑物的高CD 为50米．求此山对于地平面的倾斜角?．14．在△ABC 中，∠A ，∠B ，∠C 的对边分别为a ，b ，c ，若b cos C ＝(2a －c )cos B ，(Ⅰ)求∠B 的大小；(Ⅱ)若b ＝7，a ＋c ＝4，求△ABC 的面积．2．在ABC ∆中，若bB a A cos sin =，则B 的值为（） A ． 30 B ． 45C ． 60D ． 903．在ABC ∆中，若B a b sin 2=，则这个三角形中角A 的值是（）A ． 30或 60B ． 45或 60C ． 60或 120D ． 30或 150 (第13题)6．在ABC ∆中，如果bc a c b c b a 3))((=-+++，那么角A 等于（）A ． 30B ． 60C ． 120D ． 1509．在ABC ∆中，若12+=+c b ， 45=C ， 30=B ，则（）A ．2,1==c bB ．1,2==c bC ．221,22+==c bD ．22,221=+=c b 10．如果满足 60=∠ABC ，12=AC ，k BC =的△ABC 恰有一个，那么k 的取值范围是（）A ．38=kB ．120≤<kC ．12≥kD ．120≤<k 或38=k16．在△ABC 中，已知角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且bcosB ＋ccosC ＝acosA ，试判断△AB C的形状．17.如图，海中有一小岛，周围3.8海里内有暗礁。

高中数学必修五第一章《解三角形》知识点

高中数学必修五第一章解三角形知识点归纳1、三角形三角关系：A+B+C=180°；C=180°—(A+B)；2、三角形三边关系：a+b>c; a-b<c3、三角形中的基本关系：sin()sin ,A B C +=cos()cos ,A B C +=-tan()tan ,A B C +=-sincos ,cos sin ,tan cot 222222A B C A B C A B C+++=== 4、正弦定理：在C ∆AB 中，a 、b 、c 分别为角A 、B 、C 的对边，R 为C ∆AB 的外接圆的半径，则有2sin sin sin a b c R C===A B ．5、正弦定理的变形公式：①化角为边：2sin a R =A ，2sin b R =B ，2sin c R C =；②化边为角：sin 2a R A =，sin 2b R B =，sin 2c C R=； ③::sin :sin :sin a b c C =A B ；④sin sin sin sin sin sin a b c a b cC C++===A +B +A B ． 6、两类正弦定理解三角形的问题：①已知两角和任意一边，求其他的两边及一角.②已知两角和其中一边的对角，求其他边角.(对于已知两边和其中一边所对的角的题型要注意解的情况（一解、两解、三解） 7、三角形面积公式：111sin sin sin 222C S bc ab C ac ∆AB =A ==B ．=2R 2sinAsinBsinC=R abc 4=2)(c b a r ++=))()((c p b p a p p ---8、余弦定理：在C ∆AB 中，有2222cos a b c bc =+-A ，2222cos b a c ac =+-B ，2222cos c a b ab C =+-．9、余弦定理的推论：222cos 2b c a bc +-A =，222cos 2a c b ac +-B =，222cos 2a b c C ab+-=．10、余弦定理主要解决的问题：①已知两边和夹角，求其余的量。

必修5-解三角形知识要点

《解三角形》知识要点1．内角和定理A B C π++= 2．正弦定理2sin sin sin a b c R A B C===(R 为三角形外接圆的半径⑴变形公式：(1)2sin ,2sin ,2sin (2)sin ,sin ,sin 222(3)::sin :sin :sin a R A b R B c R Ca b c A B C R R Ra b c A B C======= ⑵应用①已知两边和其中一边的对角，求另一边的对角 ②已知两角和任一边，求其它两边和角 (3)注意：已知三角形两边及一边对角，求解三角形时，若运用正弦定理，则务必注意可能有两解.3．余弦定理22222222222222222222()2cos cos 1222cos cos 22cos cos 2b c a b c a a b c bc A A bc bc c a b b c a ca B B ca a b cc a b ab C C ab +-+-=+-⇔==-+-=+-⇔=+-=+-⇔=应用:①已知两边与它们的夹角,求第三边和其它两角 ②已知三边,求三角4．三角形面积公式 1(1)2111(2)sin sin 2221(3)()2(4),()(5)4aS ah S ab C bc A casimBS p a b c S pr r abcS R======++==是内切圆的半径.6．ABC ∆形状的判定(1)锐角三角形⇔三内角都是锐角⇔三内角的余弦值为正值⇔任两角和都是钝角⇔任意两边的平方和大于第三边的平方.(2)直角三角形⇔有一角等于090⇔有一角的余弦值为零⇔勾股定理(3)钝角三角形⇔有一角090> ⇔有一角的余弦值0<⇔任意两边的平方和小于第三边的平方. (4)等腰三角形⇔有两边相等或两角相等 (5)利用余弦定理判定①锐角三角形222222222a b c b c a c a b ⎧+>⎪⇔+>⎨⎪+>⎩②直角三角形222a b c ⇔+=或222a cb +=或222b c a += ③钝角三角形222a b c ⇔+<或222a c b +<,或222b c a +< 总之,求最大的角α的余弦值 cos α0>⇔锐角三角形;cos 0α<⇔钝角三角形; cos 0α=⇔直角三角形.7．在ABC ∆中，有以下常用结论⑴三角恒等变形:22sin cos 1αα+=⑵两角和差公式:sin()sin cos cos sin cos()cos cos sin sin αβαβαβαβαβαβ±=±±=⑶0000sin15cos 7575sin105cos15===== ⑷sin sin sin a b c A B C A B C >>⇔>>⇔>>⑸sin sin(),sin sin(),sin sin()A B C B A C C A B =+=+=+⑹sin cos ,cos sin2222A B C A B C ++== ⑺tan tan tan tan tan tan A B C A B C ++= ⑻sin sin a b A B A B =⇔=⇔=⑼ABC ∆中三内角,,A B C 成等差数列060B ⇔=⑽锐角三角形中任两角之和090>8．在实际问题中的有关术语⑴仰角与俯角:在同一铅直平面(与水平面或海平面垂直的平面)内,视线与水平线的夹角.视线在水平线之上时,称为仰角;视线在水平线之下时,称为俯角⑵方向角:从指定方向线到目标方向线的水平角,如北偏东030. ⑶坡角:坡面与水平面的夹角,坡角α的正切值叫坡度tan α.9. 解三角形的应用⑴距离问题 ⑵高度问题 ⑶角度问题10.2011年江西高考题在ABC ∆中，C B A ,,的对边分别是c b a ,,，已知C b B c A a cos cos cos 3+=.（1）求A cos 的值； (2)若332cos cos ,1=+=C B a ，求边c 的值．解：（1）由 C b B c A a cos cos cos 3+=,正弦定理得：)sin(cos sin cos sin cos sin 3C B C B B C A A +=+=sin A =, 所以31cos =A 。

高中数学必修五解三角形知识点归纳

解三角形一.三角形中的基本关系：sin(A?B)?sinC, (1)cos(A?B)??cosC,tan(A?B)??tanC,A?BCA?BCA?BCsin?cos,cos?sin,tan?cot (2)222222(3)a>b则Ａ＞Ｂ则sinA>sinB,反之也成立二.正弦定理：abc???C R．R2???的外接圆的半径为）sin?sin?sinC正弦定理的变形公式：b?2Rsin?a?2Rsin?，，；①化角为边：CRsinc?2c b a sinC?；，②化边为角：，?sin???sin R2R2R2a:b:c?sin?:sin?:sinC；③a?b?cabc???．④Csin?sin?sinsin??sin?sin?C两类正弦定理解三角形的问题：①已知两角和任意一边求其他的两边及一角.②已知两边和其中一边的对角，求其他边角.(对于已知两边和其中一边所对的角的题型要注)意解的情况（一解、两解、无解）．三．余弦定理：222?cosc?2bca?b?222??2accosb?a ?c222C2abcosac??b?．注意：经常与完全平方公式与均值不等式联系推论：222a?cb?cos??2bc222b?a?c??cosac2222a?b?ccosC?．2ab222c?ba?C?90；①若，则C?90222cb?a?，则②若；22290?Cc?ab?，则③若．余弦定理主要解决的问题：（1）.已知两边和夹角求其余的量。

（2）.已知三边求其余的量。

注意：解三角形与判定三角形形状时，实现边角转化，统一成边的形式或角的形式四、三角形面积公式：等差数列一．定义：如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数，则这个数列称为等差数列，这个常数称为等差数列的公差．a?a?d（二．符号表示:n>=1）n?1n三．判断数列是不是等差数列有以下四种方法：a?a?d(n?2,d为常数)（可用来证明）(1)1nn?a?a?a n?2)(（可用来证明）21nn??1n(2)a?kn?b n,k为常数()(3)n(4)s?a?a??a是一个关于n 的2次式且无常数项n21n四.等差中项a b成等差数列，则称为与的等差中，，?a b?a?cb?c a b的等差中项．，则称与项．若为2五.通项公式:??d1n?a?a?(是一个关于的一次式,一次项系数是公差)1n：通项公式的推广a?a??mn d?dn?m?a?a．；mn m?n六.等差数列的前项和的公式：n??aan?n1S?①(注意利用性质特别是下标为奇数) ??1nn?dS?na?(是一个关于n 的②2次式且n21n2无常数项,二次项系数是公差的一半)七.等差数列性质:a?a?a?a m?n?p?q mnpq； (1)若则2a?a?a q?n?p2．若则(2)qpn(3) ,S?SS,S?S nn232nnn成等差数列(4)S n{}成等差数列,且公差为原公差的n??*???n?2n aa?Sn?，则，①若项数为(5)ndS?S?奇n?，．且奇偶aS1?n偶1nnn?2Sa??*??1?nn2??an?1S?2，且，则②若项数为?SaS?奇?，（其中，．）??an?1?Sna?S n偶n?n12Sn奇S1?n nn偶奇偶．（6）若等差数列{ an} {bn}的前n项和为aS S,T1n?2n?则nn Tb1n?2n项和的最值八．等差数列前n dd2na(?)S?n?利用二次函数的思想:(1)1n22(2)找到通项的正负分界线0a??s1时取到的则有最大值，当n=k ?若?n0d??0?a?k?最大值k满足0?a?1k?0a??1s?n=k时取到的最大当则若有最大值，?n0d??a?0?k?满足k值a?0?1k?等比数列一．定义、如果一个数列从第项起，每一项与2它的前一项的比等于同一个常数，则这个数列称为等比数列，这个常数称为等比数列的公比．a n?1?q二．符号表示：a n注：①等比数列中不会出现值为0的项；②奇数项同号，偶数项同号（３）合比性质的运用三．数列是不是等比数列有以下四种方法：a?aq(n?2,q为常数,且?0)（可用来证明）①a?a?a n?2)(（可用来证明）②11nn?n?1nn?2n cq?a q,c n③(（指数式）为非零常数). 项和的形式（只用来判断）④从前n:.等比中项四a G ba bG成等在与，中间插入一个数，，使2abG?，比数列，则称为与的等比中项．若a bG2abG?不能的等比中项．（注：由与则称为a bG，成等比，由，得出，，）2aa?abG?bGbGn?1q?aa．五.等比数列的通项公式：1n通项公式的变形：n?m qaa?；(1) mn a m?nn?q ．(2)(注意合比性质的利用)a m六．前项和的公式：???S n qa?1?a?aq n1??．①n11q??? n??1?qna?1?1?q1?q?s?a?a??a n,则A+B=0A+B*q=②nn12: 七．等比数列性质p??qm?n a?a?a?a；，则(1)若qnmp2q??p2n aa?a?npq则(2)若．(3)S,S?S,S?S nn32nnn2成等比数列通项公式的求法:(1).归纳猜想(2).对任意的数列{}的前项和与通项的关aaSn nnn s?a(n?1)?11a??n 系：)2(n??ss?1nn?检验第②式满不满足第①式，满足的话写一个式子，不满足写分段的形式(3).利用递推公式求通项公式1、定义法:符合等差等比的定义a?a?f(n): 2、迭加法n1n?a: 3、迭乘法n?1?f(n)a n: 、构造法4a?qa?p nn?1 5.如果上式后面加的是指数时可用同除指数式6.如果是分式时可用取倒数(4)同时有和与通项有两种方向一种:当n大于等于2,再写一式,两式相减,可以消去前n项和二种:消去通项数列求和的常用方法1. 公式法:适用于等差、等比数列或可转化为等差、等比数列的数列。

高中数学必修5--第一章-解三角形复习知识点总结与练习

高中数学必修5 第一章解三角形复习一、知识点总结【正弦定理】1．正弦定理:2sin sin sin a b cR A B C=== (R 为三角形外接圆的半径). 2.正弦定理的一些变式：()sin sin sin i a b c A B C ::=::；()sin ,sin ,sin 22a b ii A B C R R ==2cR=； ()2sin ,2sin ,2sin iii a R A b R B b R C ===；（iv ）R CB A cb a 2sin sin sin =++++ 3．两类正弦定理解三角形的问题：（1）已知两角和任意一边，求其他的两边及一角.（2）已知两边和其中一边的对角，求其他边角.（可能有一解，两解，无解）【余弦定理】1．余弦定理： 2222222222cos 2cos 2cos a b c bc A b a c ac B c b a ba C⎧=+-⎪=+-⎨⎪=+-⎩ 2.推论： 222222222cos 2cos 2cos 2b c a A bc a c b B ac b a c C ab ⎧+-=⎪⎪+-⎪=⎨⎪⎪+-=⎪⎩.3.设a 、b 、c 是C ∆AB 的角A 、B 、C 的对边，则：①若222a b c +=，则90C =；②若222a b c +>，则90C <；③若222a b c +<，则90C >． 4.两类余弦定理解三角形的问题：（1）已知三边求三角.（2）已知两边和他们的夹角，求第三边和其他两角.【面积公式】已知三角形的三边为a,b,c,1.111sin ()222a S ah ab C r a bc ===++= Rabc 4=2R 2sinAsinBsinC （其中r 为三角形内切圆半径）2.设)(21c b a p ++=,))()((c p b p a p p S ---=(海伦公式)【三角形中的常见结论】（1）π=++C B A (2) sin()sin ,A B C +=cos()cos ,A B C +=-tan()tan ,A B C +=-2cos 2sinC B A =+,2sin 2cos CB A =+; （3）若⇒>>C B A c b a >>⇒C B A sin sin sin >>若C B A sin sin sin >>⇒c b a >>⇒C B A >>（大边对大角，小边对小角）（4）三角形中两边之和大于第三边，两边之差小于第三边(5) 锐角三角形⇔三内角都是锐角⇔三内角的余弦值为正值⇔任意两边的平方和大于第三边的平方.钝角三角形⇔最大角是钝角⇔最大角的余弦值为负值（6）C ∆AB 中，A,B,C 成等差数列的充要条件是 60=B .(7) C ∆AB 为正三角形的充要条件是A,B,C 成等差数列，且a,b,c 成等比数列. 二、题型汇总题型1【判定三角形形状】判断三角形的类型（1）利用三角形的边角关系判断三角形的形状:判定三角形形状时，可利用正余弦定理实现边角转化，统一成边的形式或角的形式.（2）在ABC ∆中，由余弦定理可知:222222222是直角ABC 是直角三角形是钝角ABC 是钝角三角形是锐角a b c A a b c A a b c A =+⇔⇔∆>+⇔⇔∆<+⇔⇔ABC 是锐角三角形∆（注意：是锐角A ⇔ABC 是锐角三角形∆）(3) 若B A 2sin 2sin =，则A=B 或2π=+B A .例1.在ABC ∆中，A b c cos 2=，且ab c b a c b a 3))((=-+++，试判断ABC ∆形状.题型2【解三角形及求面积】一般地，把三角形的三个角A,B,C 和它们的对边a,b,c 叫做三角形的元素.已知三角形的几个元素求其他元素的过程叫做解三角形.例2.在ABC ∆中，1=a ，3=b ，030=∠A ，求的值例3.在ABC ∆中，内角C B A ,,对边的边长分别是c b a ,,，已知2=c ，3π=C ．（Ⅰ）若ABC ∆的面积等于3，求b a ,；（Ⅱ）若A A B C 2sin 2)(sin sin =-+，求ABC ∆的面积．题型3【证明等式成立】证明等式成立的方法：（1）左⇒右，（2）右⇒左，（3）左右互相推.例4.已知ABC ∆中，角C B A ,,的对边分别为c b a ,,，求证：B c C b a cos cos +=. 题型4【解三角形在实际中的应用】仰角俯角方向角方位角视角例5．如图所示，货轮在海上以40km/h 的速度沿着方位角（从指北方向顺时针转到目标方向线的水平转角）为140°的方向航行，为了确定船位，船在B 点观测灯塔A 的方位角为110°，航行半小时到达C 点观测灯塔A 的方位角是65°，则货轮到达C 点时，与灯塔A 的距离是多少？解三角形高考题精选一．选择题。

(完整版)高中数学必修五解三角形知识点归纳

a
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e a
n d
A
l l t h i n
g s
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t h
e i r
b e
i n g
a
d
o
o
g
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r
a
同侧的点代入后符号相同，异
0x y C A +B +=侧的点相反
2.由A 的符号来确定：先把x 的系数A 化为正
后，看不等号方向：
①若是“>”号，则所表示的区
0x y C A +B +>域为直线:的右边部分。

0x y C A +B +=②若是“<”号，则所表示的区0x y C A +B +<域为直线的左边部分。

0x y C A +B +=注意：
不包括边界；
)0(0<>++或C By Ax 包括边界
)0(0≤≥++C By Ax 3.求解线性线性规划问题的步骤
(1)画出可行域(注意实虚)
(2)将目标函数化为直线的斜截式(3)看前的系数的正负.若为正时则上大下小,若
为负则上小下大
4.非线性问题:
(1)看到比式想斜率
（2）看到平方之和想距离四、均值不等式。

高中数学必修5__第一章_解三角形复习知识点总结

1 高中数学必修5 第一章解三角形复习一、知识点总结 1．正弦定理:2sin sin sin a b c R ABC===或变形：::sin :sin :sin a b c A B C =.2．余弦定理： 2222222222cos 2cos 2cos a b c bc Ab ac ac B c b a ba C ⎧=+-⎪=+-⎨⎪=+-⎩或222222222cos 2cos 2cos 2b c a A bca cb B ac b a c C ab ⎧+-=⎪⎪+-⎪=⎨⎪⎪+-=⎪⎩. 3．（1）两类正弦定理解三角形的问题：1、已知两角和任意一边，求其他的两边及一角.2、已知两角和其中一边的对角，求其他边角. （2）两类余弦定理解三角形的问题：1、已知三边求三角.2、已知两边和他们的夹角，求第三边和其他两角. 4．判定三角形形状时，可利用正余弦定理实现边角转化，统一成边的形式或角的形式.5．解题中利用ABC ∆中A B C π++=，以及由此推得的一些基本关系式进行三角变换的运算，如：sin()sin ,A B C +=cos()cos ,A B C +=-tan()tan ,A B C +=-sin cos,cossin,tancot222222A B C A B C A B C +++===.、已知条件定理应用一般解法一边和两角（如a 、B 、C ）正弦定理由A+B+C=180˙，求角A ，由正弦定理求出b 与c ，在有解时有一解。

两边和夹角 (如a 、b 、c) 余弦定理由余弦定理求第三边c ，由正弦定理求出小边所对的角，再由A+B+C=180˙求出另一角，在有解时有一解。

三边(如a 、b 、c) 余弦定理由余弦定理求出角A 、B ，再利用A+B+C=180˙，求出角C 在有解时只有一解。

二、巩固练习一、选择题1、ΔABC 中,a=1,b=3, ∠A=30°,则∠B 等于（）A ．60°B ．60°或120°C ．30°或150°D ．120° 2、符合下列条件的三角形有且只有一个的是（）A ．a=1,b=2 ,c=3B ．a=1,b=2 ,∠A=30°C ．a=1,b=2,∠A=100° C ．b=c=1, ∠B=45° 3、在锐角三角形ABC 中，有（）A ．cosA>sinB 且cosB>sinAB ．cosA<sinB 且cosB<sinA2 C ．cosA>sinB 且cosB<sinA D ．cosA<sinB 且cosB>sinA4、若(a+b+c)(b+c －a)=3abc,且sinA=2sinBcosC, 那么ΔABC 是（）A ．直角三角形B ．等边三角形C ．等腰三角形D ．等腰直角三角形二填空题5、A 为ΔABC 的一个内角,且sinA+cosA=127, 则ΔABC 是______三角形.6、在ΔABC 中，若S ΔABC =41 (a 2+b 2－c 2),那么角∠C=______.7、在ΔABC 中，a =5,b = 4,cos(A －B)=3231,则cosC=_______.三、解答题8、在ΔABC 中,求分别满足下列条件的三角形形状： ①B=60°,b 2=ac ； ②b 2tanA=a 2tanB ； ③sinC=BA B A cos cos sin sin ++④ (a 2－b 2)sin(A+B)=(a 2+b 2)sin(A －B).9. (本小题共14分) 一缉私艇发现在北偏东45方向,距离12 nmile 的海面上有一走私船正以 10 nmile/h 的速度沿东偏南15方向逃窜.缉私艇的速度为14 nmile/h, 若要在最短的时间内追上该走私船,缉私艇应沿北偏东α+45的方向去追,.求追及所需的时间和α角的正弦值.ABC北东。

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高中数学必修五第一章解三角形知识点归纳1、三角形三角关系： A+B+C=180 ; C=180°— (A+B);2、三角形三边关系： a+b>c; a-b<c3、三角形中的基本关系:sin (A B) sinC, cos(A B)cosC, tan(AB)tan.ABCB.Csincos ,cossin ,22 224、正弦定理：在C 中，a 、 b 、 c 分别为角、、C 的对边,R为C 的外接圆的半径，则有a b c 2R .sinsin sinC5、正弦定理的变形公式:①化角为边:a 2Rsi n,b 2Rsi n ,c2Rsin C ；②化边为角：a sin,sinbsin Cc2R2R '2R '③a: b:c sin :sin :sin C;a b c abc④—.si sin sin C sin sinsin6、两类正弦定理解三角形的问题：①已知两角和任意一边，求其他的两边及一角 ②已知两角和其中一边的对角，求其他边角 .(对于已知两边和其中一边所对的角的题型要注意解的情况2 2 2cab 2abcosC .①已知两边和夹角，求其余的量。

②已知三边求角如何判断三角形的形状：判定三角形形状时，可利用正余弦定理实现边角转化, 成边的形式或角的形式7、三角形面积公式：S C1 bcsin2 1 absin C 2 1 acs in 2 2 .=2RsinAsinBsinC=abc4R 8、余弦定理：在C 中, 有a 2 b 22bc cos ,b 2c 2 2ac cos9、余弦定理的推论：cosb 2 2bccos cosCa 2b 22ab a 2 b 2 c 2 2abcosC, b 2 c 2a 222bc cosA,ac 22b 2accosB10、余弦定理主要解决的问题:11、坐标运算；设两个非零向量5 = （ V 1T Jl ） J 0二（耳-门），则N j 二5 _,则 \S\ = x* + v ,lr ,或石二 Jf c * ・设&=（却J 》方二（XjjJ,则：」口岳+ jy“D ・设讥油是非零向氤方=b 二厲V 小0是刀⑺的夬角，肌OS0二仝1W ： ’ y化两角和公式sin(A4-B) = siiiAcosB+cosAsinB sin(A-B) = sinAccsB -cosAsiiiB cos(A+B) = cos A cosB- anA sinBcos(A-B) = cosAcosB —aiiAsinB 一，、 tatiA + tauBtan(A+B )= --------------------- 1 -tanAtauBtan(A-B)tanA - tanB1 - tanAtiuiB倍角公式tati2A =2tanA1 — tan *ASin2A=2SinA<osACos2A = Cos 2 A-Sin 2A=2Cos'A-1=1 -2 sin 2A3m(-a) = -sin a cos(-a) = cosa疝1（时--cosa=siuhsin( : -a) 一cosn co< 寸+Q =-ana sin(z- a)■sina= -cosasi n( a)= 吗iim co^jr^--d )平面向量的数量积；aS^\a\b w &6 j 工I （T 冬日180"）。