(定价策略)大飞机定价数模

（定价策略）大飞机定价数
模
问题重述
国产大飞机C919项目的上马和良好进展向世界展示了中国的大国实力。

近日，中国商用飞机公司销售经理陈进表示国产大飞机C919在燃油消耗方面将比目前所有机型减少12-15%，且在上市时定价将会低于5000万美元/架，大大低于波音和空客同类产品的定价。

这将为国产大飞机开辟广阔的市场。

在放手开发研制一种新飞机时，除了技术细节外，还有很多经济问题需要回答。

其中最重要的是飞机制造商需要知道他的原始投资是否能够收回来，多久才能收回来。

这就要预测一下飞机的上市价格和市场前景。

毕竟对于飞机这样庞然大物的高科技商品，高投入，也高风险，周期还长，其销售价格除了和制造商的制造成本、航空公司的运营成本有关外，还和同类型飞机的市场前景、竞争格局等其它因素有关。

而飞机的技术数据往往能够一定程度上反映其中的一些因素。

我们要解决的问题有：
1、假如你是中国商用飞机公司销售经理，请你对比同类客机B737-800，
以航空公司的角度，结合飞机运营成本，评估一下国产大飞机C919未
来的市场潜力；
2、假如你是飞机制造商，请你建立一合理的数学模型为将新开发的商用飞
机预测一个较合理的价格，并结合你的模型对C919的价格进行预测；
3、以你所建立的模型，结合相关数据，计算当前A380-800和B737-800
两种商用飞机的价格，并说明所建价格预测模型的优缺点；
一、C919市场潜力分析
2.1基本假设
在问题（1）中，根据实际情况，可以做如下假设来简化问题：
1、本题所进行的C919和B737-800的运营成本的对比，是在同一航空公司、
同样的航线、同一时间段下所进行的，也就是说，忽略各航空公司经营模式和飞行天气的影响。

而且，两者每年起降次数、飞行时间、里程相同。

2、基于第一个假设，两种机型的运营成本中的机务人员工资、航空食品配送费、
飞机入库费用、起飞场地费等都可以认为相同。

3、由于B737-800的座位数为经济舱158座，C919有三种类型，分别为156
座、158座、180座，可以认为两者座位数大致相等，因此在计算平均每座运营成本时对二者取相同座数。

4、不考虑汇率变动通货膨胀。

5、C919的价格按官方透露的比同款机型低10%来计算。

2．2问题分析
要分析一种待上市产品的市场潜力，必须剖析它与同类产品相比所具有的竞争力，并以现有产品的市场为基础来预估。

考虑到航空运输业的特点，以下我们将通过层次分析法按重要性大小从几方面对B737-800和C919进行对比。

1、运营成本：航空公司生产的最终目的是在满足经济和社会需求的同时，最大限度地获取利润。

在交通技术日新月异的今天，各航空公司不断进行价格战，机票已不再昂贵，各航空公司尤其是民营航空公司将不断降低成本作为实现航空
公司盈利目标最主要、最可靠的途径。

购买飞机时，航空公司也就更看重飞机在使用维护阶段的经济性，其评估标准是飞机的直接运营成本(DOC)和间接运营成本(LOC)。

LOC整体呈现很不稳定状态，并且变化具有非线性的趋势，不好控制，所以对于飞机使用维护经济性分析的依据选定为直接运营成本(D0C)。

DOC费用包括拥有飞机费用(折旧费、利息、保险金、高价件摊销、经营性租赁等)、空勤组费用(驾驶员成本、客舱服务员成本)、维修成本(机体维修成本、发动机维修成本)、运行费用、燃油成本和餐食费等。

考察1995～2000五年直属航空公司的成本结构可以发现，航油、维修、折旧、起降、旅客服务等费用占据全部DOC成本的80%以上。

又由于假设二的存在，应认为C919和B737-800的旅客服务费、起降费用相同，因此我们选择航行飞机每航行一公里的折旧费、燃油费、维修费和航材费的总和来作为飞机的运营成本。

2、安全系数：近年来由于飞机动力、操纵、起降系统故障和极端天气引发的飞行事故频频出现，给航空公司和社会都造成巨大损失，安全问题已成为备受关注的问题。

因此，商用飞机的安全可靠性也成为航空公司选购时的一项重要指标。

由于C919尚未投入使用，没有可统计的事故率，这里我们采用两者发动机和操纵系统的技术可靠系数来衡量飞机的安全可靠性。

3、舒适度系数：由于各机型的设计方案不同，座椅排距、行李箱高度、机身稳定性都影响着乘客舒适度，而乘客满意度是决定该航班满客率的重要因素，也在很大程度上影响着航空公司的盈利水平。

所以，飞机的舒适度也是其竞争力的一项重要指标。

我们用客舱宽度、座椅排距来衡量舒适度。

4、环保系数：随着全球变暖的趋势不断加剧，环保因素越来越多地被考虑
到工业生产和服务行业中来，环保力度也逐渐成为影响企业声誉的重要因素。

这里我们用航行每公里的二氧化碳排放量来衡量飞机的污染水平。

基于以上考虑，我们将采用综合指数评价方法来比较B737-800和C919对购买方的吸引力，并以B737-800为参考量预估C919的市场潜力。

对于其中最关键的运营成本，我们在已经成熟的兰德模型下用工程估算法来计算。

2.3符号约定
：飞机使用时间（单位：年）；
：飞机的年折旧率；
：飞机折旧N年后的成本核算；
：飞机N年所消耗的航空燃油总费用；
：飞机N年所维修总费用；
：飞机购入时的价格（单位：百万）；
：飞机年耗油费用（单位：百万）；
(∑C)：飞机的年维修费用；
：飞机年维修费用中各组成部分的权重；
：航材费用；
：定检维修费用；
：机务人员工资；
：飞机潜力综合指数；
：第i个评价项目的值；
：每个评价项目在该机型潜力综合指数中的权重
2.4模型建立与计算
1、在计算飞机运营成本时，我们采用工程估算法。

这种方法的思路是将飞机的所需的维修费用项目细分，直到最小的本费用单元，然后自下而上累加而成。

单架飞机运营成本∑
其中飞机第年后由于折旧而付出的成本；
由于发动机在老化过程中燃料利用效率会不断下架，因此∑；
飞机第年后共用维修费用×；
在计算时，我们采用已经很成熟并被广泛使用的兰德DAPCA IV 模型。

该模型是飞机发展与采购费用（Development and Procurement Costs of Aircraft――DAPCA）模型的最终形式。

由此得到
这个模型比较简单，所以我们选择使用matlab分别作出C919和B737-800的基于时间序列的运营成本曲线，如下：
图1 两者运营成本比较
从图中我们可以明显看出，两者的运营成本都随使用时间非线性上升，且斜率越来越高。

但C919的运营成本较B737-800低，且随着使用时间的增长二者差距也随之增大，优势越来越明显。

另外，鉴于全球航空汽油的价格呈上涨趋势，我们在两个增长后的航油价格
下得到以下两个结果：
图2 航油价格增长5%时运营成本比较
图3 航油价格增长10%运营成本比较
由图可知，当航油价格上涨时，二者运营成本都会有所升高，但C919的运营成本增长缓慢，较之B737-800的优势更明显。

根据官方信息，将两种机型的使用寿命都取为25年，以目前的航油价格为标准，则在使用周期内两者运营成本之比为。

设B737-800的运营成本效率为1，则C919运营成本相应为1.391。

2、在比较安全系数时，鉴于两者制造工艺、材料、发动机、电子设备水平大体相当，其安全系数皆取为1。

3、在比较舒适度时，乘客的舒适感与空间拥挤度有直接的关系，B737-800的两排座椅间距为30厘米，C919的间距为32厘米，设B737-800舒适度为1，则C919舒适度为1×=1.067。

4、在比较环保系数时，由于二氧化碳排放量与单位航程燃油量成正比，将B737-800的环保系数设为1，则根据官方消息，C919排放量将是类似机型的一半，即其环保系数为2。

现在来求B737-800和C919的潜力综合评价指数：∑
其中按照各评价项目的重要程度取，，，
将两者参数带入计算，得到,
销量与购买方对飞机的满意度成正比，所以可以认为C919的销售量为B737-800的1.302倍。

目前中国大陆共有商用飞机1383架，其中波音公司占有53%的市场份额,2009年B737-800的销售量为128架。

而未来五年中国（包括香港、澳门）的商用飞机市场将有3700架的需求量.按照我们计算的结果，根据比例可粗略预计2016年C919将拿到446架的订单。

2.5模型评价与改进
我们认为综合指数更有利于客观全面反映水质的标准，它体现出了一种细分的评测标准。

当然，由于掌握资料广度所限，我们略去了一些因素，采取的假设也比较理想化，选取的加权系数是否有一个通用的标准还有待商榷。

基于相似机型B737-800的销售量的市场潜力预测简单易行，但是同时也略显粗糙，忽视了未来几年市场可能的变化和其他竞争者的可能竞争。

在工程估算法的应用中，将总系统费用分解为许多用费用方程联系起来的项目细节，其反映的因果关系与实际情况更加接近，因此具有如下优点：○1结果准确，○2能对竞争的各个方案研究其费用差异，○3允许进行详细地模拟和灵敏度分析。

但是它也具有对数据要求高、估算结果很难进行评价与鉴定等明显的缺点，有待改进。

对于本问中的模型，我们可以进一步结合民机发展的几十年中市场的变化，
建立基于时间序列的市场潜力预测模型对其进行改进。

三、C919价格预测
3.1基本假设
1、由于商飞是国防性质的国有，为简化计算，不考虑税率问题。

2、C919的研制不仅仅是一种商业行为，还关系到中国的经济安全和国力体
现，牵扯到众多的不易量化的政治因素。

为了简化和明朗问题，这里我
们只考虑经济因素，不考虑政治利益。

3、使用兰德模型计算成本时，只考虑中美人工费用差异，不考虑技术差异。

4、C919的研发情况由已经生产的国产运十、新舟60来类推。

3.2问题分析
对于民用飞机而言，其出售时要收回研究、发展、试验与鉴定费用和生产费用两部分（包括合理的利润）。

为了收回这两部分费用，需要合理确定民机售价。

国外各大飞机制造商，如波音公司，已经根据经验数据建立了非常合理的定价系统，能够对新机型很快作出合理的成本和价格预测，如B737-800的定价。

然而，由于缺乏自主研发新机型的经验和有效数据，国内很少有人进行这方面的研究，对飞机的采购价格预测也仅局限于军用飞机方面。

因为国产商用飞机和军机同样存在样本小、数据少、性能因素影响显著等特点，在解决本题时我们可以借鉴军机价格预测中广泛使用的偏最小二乘法、类比法和参数法，并使用具有学习训练功能的神经网络来对其进行修正。

价格，是价值的货币表现，价值是其决定、支配因素。

商用飞机是一种高成
本、高科技、高价格的产品，对于制造商来说，出售飞机的目的是收回成本即在研制期间花费的大量研究、试验经费以及鉴定费用，而经费的多少与研制难度即飞机的各项性能指标有关；对于购买方（主要是航空公司）来说，飞机的运营成本及其能够带来的利益是它们关心的主要问题，而这两方面也与飞机的燃油利用效率、载重、巡航速度等技术参数息息相关。

因此，从买卖双方来说，一架飞机的价值都应该取决于它的功能，也就是说，飞机是一种基于功能的产品。

由此，我们可以认为飞机的功能是其价格的主要影响因素。

因为飞机的参数可以在很大程度上反映其功能并且比较容易量化，我们选取一些性能参数作为变量来对价格进行多元拟合。

又由于对我们来说参数与价格的关系还是一个黑箱系统，所以选用逐步回归来选择在价格函数中真正起作用的参数。

步骤如下：
1、采集产品数据。

搜集目前仍在使用的所有商用飞机的各项性能参数，构建性能参数及价格数据的初始样本集。

2、性能参数数据的标准化。

对所采集的样本数据进行整理,对于可以直接量化且数据大小与产品价格明显相关的功能数据,可以不予标准化直接作为输入进行计算, 对于不可量化或数据大小与产品价格不明显相关的数据, 则根据产品支持的同类功能的复杂程度采用0～1 进行打分。

3、对性能参数和价格进行逐步回归。

根据偏相关系数筛选出对价格影响较大的参数，最后确定价格的表达式。

4、C919价格的预测。

通过分析数据，我们发现不同型号的商用飞机之间功能、造价差异较大，四发的大型客机样本的引入可能造成预测两发的支线飞机C919的价格时的误差，
因此通过估算法，参考和C919参数相近的A320、B737-800的功能、价格关系，比较三者之间的差异，对C919价格进行预测，并与第一种方法比较、调整。

另外，对于民用飞机而言，其出售时要收回研究、发展、试验与鉴定费用和生产费用两部分（包括合理的利润）。

为了收回这两部分费用，需要合理确定民机售价。

因为研究、发展、试验与鉴定费用是确定的，所以必须根据市场需求，对生产飞机的架数做出合理的预测，以确定每架飞机的售价中要包含多少成本。

先使用第一个问题中求出的C919的预估销量，计算该销量下的成本，与售价比较；再求在保证收回成本的情况下的销售量，结合市场发展情况进行前景分析和对策决策。

3.3模型建立与计算
1、基于功能驱动的产品价格预测模型
根据问题分析，首先进行样本数据采集。

商用飞机的性能参数有：
○1几何参数：翼展、机长、高度；
○2性能参数：经济/最大巡航速度、最大起飞重量、空重、业载、发动机台数/型号、油箱容量、载客量。

由于参数过多而样本太小，需要把内在相关的一些参数进行合理的整合和选择。

○1翼展的大小主要由飞机的气动布局决定，不能较好地反映飞机的规格，所以我们选择机身的剖面积来衡量飞机规格；
○2商用飞机一般在经济巡航速度上使用，所以舍弃最大巡航速度，选择经济巡航速度作为一个参数；
○3航空公司最注重的是经济效益，所以飞机的最大载客量和最大业载也是影响价格的重要因素；
○4发动机是飞机的心脏，同时发动机成本和维修费用也是飞机成本的重要组成部分。

根据空气动力学，最大推力与最大起飞重量有关，为了减少参数交互，舍弃最大推力和发动机台数。

综上所述，使用Matlab，我们先选取飞机规格、经济巡航速度、最大载客量、、飞机运营成本、最大业载作为参数对价格进行逐步回归。

部分波音、空客商用飞机数据见附录。

当然，这些数据之间还是存在一定的交互性，而且在这个黑箱模型下我们也不能确定它们是否对价格函数作用。

下面开始进行参数的筛选：
第一步，将、、、、作为变量对价格进行函数拟合
∑（）
并分别求每个回归变量系数m的置信区间。

得到六个回归系数的估计值及其置信区间如下：
的置信区间为（-0.0025，0.0153）；
的置信区间为（-0.0001，0.0512）；
的置信区间为（0.0676，0.2004）；
的置信区间为（0.2114，0.2634）；
的置信区间为（0.0867，0.1974）。

检查它们的置信区间发现,和的系数的置信区间包含了零点, 表明回归变量和对的影响不是太显著,因此从模型中移出次变量和
第二步，由于、、对具有较明显的显著性,用更为精确的拟合曲线来拟合表示、、和的关系。

做、、分别对的散点图，再分别进行拟合，结果如下：
图4 以为变量的的拟合曲线
图5 以为变量的的拟合曲线
图6 以为变量的的拟合曲线
具体表示式如下：
对应的Norm of residuals分别为46.2、43.14、45.645，由此可以看出,对应的拟合方程的拟合程度较高。

所以,用拟合后的曲线来代替原来的、、,得到如下回归模型:
∑(1)
其中，，
由于计算时涉及到一些性能参数，所以、之间存在相互制约，它们的交互作用会对有影响，不妨简单地用、的乘积代表它们的交互作用，于是，模型（1）增加一项，得到：
（2）
再次进行回归分析，得到修正后的系数
相关系数为0.9773，说明该模型比较接近真实情况。

至此，第一个模型已经建成。

将C919的有关数据代入模型（2），得到第一个预测价格5984.65万美元。

2、类比法预测C919价格
由第一个模型得到的C919价格为5984.65万美元，这与官方公布的低于5000万美元有不小的差距。

经过分析数据，我们发现样本中的四发大型商用飞机与两发支线飞机相比，各项性能参数以及价格差距甚大，从而影响了模型（2）的通用性。

我们又将一些样本外的机型的数据代入进行检验，结果显示该模型用于大型飞机的价格预测时比较准确，而在对中小型飞机的预测中结果总是偏高。

因此，我们决定使用类比法，将样本划分为○1四发大型飞机样本和○2两发中小型飞机样本两部分，分别进行逐步回归。

其中样本○2选取与C919性能参数比较接近的B737系列和A320系列的参数。

具体步骤同上节，得到两个模型，形式与（2）相同，系数不同：
模型（3）（适用于样本○1）
模型（4）（适用于样本○2）
运用模型（4）再一次计算C919的价格，结果为4710.53万美元，这一结果比较符合官方消息。

3、成本导向定价模型
飞机，尤其是商用飞机的生产和销售时是以盈利为目的的高投资的商业行为，必须结合市场来制定合适的价格保证盈利。

虽然C919项目有国家资金支持，并且考虑到一定的政治利益因素，为了国家的利益，我们还是要保证成本的回收，甚至一定的利润。

因此，在问题一预测的销量下求解C919的利润以及在预测盈亏平衡点的价格并与上一模型求解结果比较具有很大的实际意义。

1、首先我们来计算C919的研制成本。

兰德DAPCA IV 模型是飞机发展与采购费用（Development and Procurement Costs of Aircraft――DAPCA）模型的最终形式，在飞机寿命周期费用分析领域有相当的影响力。

按照1986 年定值美元，兰德DAPCA IV 模型中工时、费用的计算公式如下：
工程工时
工艺装备工时
制造工时
质量控制工时
发展支援工时
飞行试验费用
制造材料费用
发动机制造费用
研究、发展、试验与鉴定费用＋生产费用
式中
：空重（kg）；
：最大飞行速度（km/h）
：产量；
：飞行试验机架数（一般为2~6 架）；
：总产量乘以每架飞机的发动机台数；
：发动机最大推力（kg）
：发动机最大Ma 数；
：涡轮进口温度（K）
：综合费率（数值见附录）
：航空电子设备费用
C919有关参数如见附录：
代入计算得到
鉴于C919应用了20%的复合材料，在上述结果上应乘以相应的软糖系数；考虑到中国的人工费用与欧美的差异以及目前美元价值与1986年的差异，在上述结果上再乘以一个换算系数1.522，最终得到成本关于产量的函数
（5）
2、当使用平均成本加成定价法对C919价格进行预估时，根据千分之一法则将利润率定为0.1%。

在这种情况下得到
÷×=6078.65（万美元）
这表明若要获得千分之一的利润，定价需在六千万美元左右。

3、鉴于国产大飞机C919的研制与B737-800相比基础较差，国家前期投入
较高，因此收回成本是一项重要的任务。

用盈亏平衡定价法来计算保本点的价格及产量：
○1取模型（4）中计算的较为合理的单价4710.53万美元，代入模型（5），得到保本点销量673（架）
○2取问题一中的销售量446架，代入模型（5），得到6072.58（万美元）
从这两个结果我们可以看出，想要保证回收成本，必须上调价格或者提高产量。

但是，C919的最大优势在于低廉的价格，一旦价格上调，必然影响销量，这样很难实现盈亏平衡。

因此，只能提高它的销量。

由于问题一的销量是在中国2016年市场饱和情况下求得的，所以唯一的手段是大力开拓海外市场，而我们认为其重点应该放在发展中国家等价格和燃油对决策影响巨大的民机市场上。

四、A380-800和B737-800价格计算与模型的评价改进
4.1A380-800和B737-800价格的计算
这两种机型的有关数据见附录。

其中，A380-800属于大型商用飞机，B737-800属于中小型商用飞机，所以应该分别使用模型（3）和（4）进行计算，结果如下：
(million)(真实价格为327.4million，误差为1.81%)
(million) （真实价格为72.5million，误差为6.52%）
由此看出，我们的模型能够比较准确地计算各种机型的价格。

4.2模型评价与改进
1、模型评价
多元逐步回归针对本题中众多的原始参数和较为复杂的互相制约，有效地筛选出对价格函数起作用的变量，能够较准确地反映各有效变量对价格函数的作用，稳定性也比较强。

另外，此种算法充分利用了Matlab工具箱的优势，简化了运算。

然而，由于各参数之间存在交互作用，参数之间的关系以及各参数对价格函数的真实作用并不明朗，这个模型实际上是在黑箱下得到的结果，对不同参数变化的灵敏度有很大差异。

另外，大型飞机与中小型飞机两类分歧显著，对结果的精确度造成了极大的影响。

类比法正是针对这个问题而补充的，它将待求对象分为两类，分别通过逐步回归得到不同的模型，提高的预测的准确度，更为科学与合理。

成本导向定价法的引入进一步解决了题干中的成本回收和盈利问题，为C919的生产、上市提供了合理、可行的建议，提高了本文结论的实用价值。

2.使用最小二乘支持向量机对模型进行优化
逐步回归分析通常需要大样本容量空间的支持，并且模型泛化能力差，而本题中能够使用的样本经过分类后数量过少，不足以保证模型的精准和稳定。

为了解决本模型在小样本下的失准问题，我们又选择了能够在Matlab工具箱中方便使用的最小二乘支持向量机作为预测工具，对模型进行优化。

这种算法基于以小样本数据为主要研究对象的统计学习理论,采用结构风险最小化准则来代替传统的经验风险最小化准则,根据有限的样本信息在模型的复杂度和模型的学习能力
之间寻求最佳折衷,同时最小化VC维和经验风险,以获取期望风险的最小化,它不像神经网络等其他预测方法一样需要大样本空间的支持,并最终转化为二次寻优问题,可获得问题的全局最优解,较好地解决了易陷入局部最优的问题。

最小二乘支持向量机优化指标采用了平方项,只有等式约束,而没有标准支持向量机的不等式约束,从而推出不同的一系列等式约束,将二次规划问题转变成线性方程组的求解,简化了计算复杂性,因此具有较快的运算速度。

模型建立如下：∑
式中,为飞机的参数数值,为核函数,为待定参数,其值可由下式计算：
式中
；；；、为飞机参数和飞机价格。

具体代码和核函数求解见附录。

经过多次学习训练后得到C919的预测价格为4967.56万美元，相比前述模型更为可信。

五、参考资料
【1】《数学模型》（第三版）姜启源谢金星叶俊高等教育出版社2003年
【2】《基于MATLAB和LINGO的数学实验》肖华勇西北工业大学出版社2008年
【3】《人工神经网络原理及仿真实例（第二版）高隽机械工业出版社。