三角函数图像及性质教师版

三角函数

一、三角函数的基本概念和同角三角函数关系

(一)知识内容

1. 角的概念的推广

⑴角：一条射线绕着端点从一个位置旋转到另一个位置所成的图形.其中顶点，始边，终边称为角的

三要素.角可以是任意大小的.

⑵角按其旋转方向可分为：正角，零角，负角.

①正角：习惯上规定，按照逆时针方向旋转而成的角叫做正角； ②负角：按照顺时针方向旋转而成的角叫做负角；

③零角：当射线没有旋转时，我们也把它看成一个角，叫做零角. ⑶在直角坐标系中讨论角：

①角的顶点在原点，始边在x 轴的非负半轴上，角的终边在第几象限，就说这个角是第几象限角. ②若角的终边在坐标轴上，就说这个角不属于任何象限，它叫轴线角.

2.终边相同的角的集合：设α表示任意角，所有与α终边相同的角，包括α本身构成一个集合，这个集合可记为{}360,Z S k k ββα==+⋅︒∈.集合S

的每一个元素都与α的终边相同，当0

k

=时，对应元

素为α.

3.弧度制和弧度制与角度制的换算

⑴角度制：把圆周360等分，其中1份所对的圆心角是1度，用度作单位来度量角的制度叫做角度制.

<教师备案>一些特殊角的度数与弧度数的对应表：

板块一：任意角的概念与弧度制

⑵1弧度的角：长度等于半径长的圆弧所对的圆心角叫做1弧度的角.

规定：正角的弧度数为正数，负角的弧度数为负数，零角的弧度数为零.任一已知角α的弧度数的绝对值l r

α

=，这种以“弧度”作为单位来度量角的制度叫做弧度制.

（3）弧长公式：R l θ=；扇形面积公式：Rl R

S 2

12

12

=

=θ。

（4）弧度与角度的换算：180πrad

=

，1801

rad 57.305718π︒⎛⎫'=≈︒=︒ ⎪⎝⎭

板块二：任意角的三角函数

(一）知识内容

1.三角函数定义

在直角坐标系中，设α是一个任意角，α终边上任意一点P （除了原点）的坐标为(,)x y ，它与原点

的距离为(0)r r ==>，那么

⑴比值

y r 叫做α的正弦，记作sin α，即sin y r α=；

⑵比值x r 叫做α的余弦，记作cos α，即cos x r α=；

⑶比值y x 叫做α的正切，记作tan α，即tan y x α=；

⑷比值x y

叫做α的余切，记作cot α，即cot x y

α=；

⑷比值

r x 叫做α的正割，记作sec α，即sec r x α=

；

⑸比值r y

叫做α的余割，记作csc α，即csc r y

α=.

2.三角函数的定义域、值域

3.由三角函数的定义，以及各象限内点的坐标的符号，我们可以得知： ⑴正弦值y r 对于第一、二象限为正（0,0y r >>）

，对于第三、四象限为负（0,0y r <>）；

⑵余弦值x r 对于第一、四象限为正（0,0x r >>）

，对于第二、三象限为负（0,0x r <>）；

⑶正切值

y x

对于第一、三象限为正（,

x y

同号），对于第二、四象限为负（,x y

异号）.

可以用下图表示：

说明：若终边落在轴线上，则可用定义求出三角函数值.

4.同角三角函数的基本关系式：

平方关系：22sin cos 1x x +=，22sec tan 1x x -=，22csc cot 1x x -= 商数关系：

sin tan cos x x

x

=，

cos cot sin x x

x

=

倒数关系：111sec ,csc ,tan cos cos cot x x x x

x

x

=

=

=

6.诱导公式：（奇变偶不变，符号看象限）：

sin(απ-)＝sin α，cos(απ-)＝－cos α，tan(απ-)＝－tan α； sin(απ+)＝－sin α，cos(απ+)＝－cos α，tan(απ+)＝tan α； sin(α-)＝－sin α，cos(α-)＝cos α，tan(α-)＝－tan α；

sin(απ-2)＝－sin α，cos(απ-2)＝cos α，tan(απ-2)＝－tan α； sin(απ+k 2)＝sin α，cos(απ+k 2)＝cos α，tan(απ+k 2)＝tan α )(Z k ∈； sin(απ-2

)＝cos α，cos(

απ-2

)＝sin α； sin(

απ+2

)＝cos α,cos(

απ+2

)＝-sin α。

4.三角函数式的化简与三角恒等式的证明是个难点，需要学生熟悉并灵活运用所学的公式与知识，一般情况下，化简的基本思路是：减少角的种数，减少三角函数的种数，适当配凑和拆分，统一切割化弦等等.

二、三角函数的图象与性质

（一）知识内容

⑴单位圆：

半径等于单位长的圆叫做单位圆.设单位圆的圆心与坐标原点重合，则单位圆与x 轴交点分别为

(1,0)A ，(1,0)A '-，而与y 轴的交点分别为(0,1)B ，(0,1)B '-.由三角函数的定义可知，点P 的坐标为

(cos ,sin )αα，即(cos ,sin )P αα.其中cos O M α=，sin O N α=

.

α)

这就是说，角α的余弦和正弦分别等于角α终边与单位圆交点的横坐标和纵坐标.过点

(1,0)A 作单位圆的切线，它与角α的终边或其反向延长线交与点T （或T '），则tan AT α=(或A T '). ⑵有向线段：

坐标轴是规定了方向的直线，那么与之平行的线段亦可规定方向.具有方向的线段叫做有向线段.

规定：与坐标轴方向一致时为正，与坐标方向相反时为负. ⑶三角函数线的定义：

设任意角α的顶点在原点O ，始边与x 轴非负半轴重合，终边与单位圆相交于点P (,)x y ，过P 作x 轴的垂线，垂足为M ；过点(1,0)A 作单位圆的切线，它与角α的终边或其反向延长线交与点T .我们就分别称有向线段M P

，OM

，AT

为正弦线、余弦线、正切线.

板块一：任意角的概念与弧度制