线性代数基础解系求法举例
线性代数求解方法和技巧
线性代数求解方法和技巧线性代数是数学中重要的一个分支，研究向量空间、线性变换和线性方程组等内容。
在实际问题中，我们常常需要用线性代数的方法来解决问题，因此掌握线性代数的求解方法和技巧对于理解和应用数学是非常重要的。
首先，我们讨论线性方程组的求解方法。
线性方程组是由一组线性方程组成的方程组，其中每个方程的未知数的次数都为1。
对于n个未知数和m个方程的线性方程组，我们有以下几种常用的求解方法：1. 列主元消元法：这是最常用的线性方程组求解方法之一。
它的基本思想是通过行变换将线性方程组化为一个三角形式，进而求解得到方程组的解。
在进行行变换时，要选择合适的列主元，即选择主元元素绝对值最大的一列作为主元素。
2. 矩阵求逆法：对于一个可逆的n阶方阵A，我们可以通过求A的逆矩阵来求解线性方程组Ax=b。
具体地，我们首先通过高斯消元法将方程组化为三角形式，然后根据三角形式的矩阵求逆公式来求解x。
3. LU分解法：对于一个n阶非奇异矩阵A，我们可以将其分解为一个下三角矩阵L和一个上三角矩阵U的乘积，即A=LU。
接着，我们可以通过LU分解来求解线性方程组Ax=b。
具体地，我们首先通过LU分解将方程组化为Lc=b和Ux=c两个方程组，然后依次求解这两个方程组得到x的值。
除了以上的求解方法，还有一些线性方程组的特殊情况和对应的求解方法：1. 齐次线性方程组：如果线性方程组右边的常数项都为0，即b=0，那么我们称为齐次线性方程组。
对于齐次线性方程组，其解空间是一个向量空间。
我们可以通过高斯消元法来求解齐次线性方程组，先将其化为三角形式，然后确定自由未知量的个数，最后确定解空间的基底。
2. 奇异线性方程组：如果线性方程组的系数矩阵A是奇异矩阵，即det(A)=0，那么我们称为奇异线性方程组。
对于奇异线性方程组，其解可能不存在，或者存在无穷多解。
我们可以通过计算矩阵A的秩来确定线性方程组的解的情况。
另外，在实际问题中，我们可能会遇到大规模的线性方程组，这时候求解方法和技巧还需要考虑到计算效率的问题。
[全]线性代数之齐次线性方程组基础解系问题的求解方法总结[下载全]
![[全]线性代数之齐次线性方程组基础解系问题的求解方法总结[下载全]](https://img.taocdn.com/s3/m/38a7d25fb8f67c1cfbd6b801.png)
线性代数之齐次线性方程组基础解系问题的求解方法总结
解答题的形式出现，分值为11分，2016年数学一考了一道大题，11分，2017年也考察了一道大题，11分。
往年考题中，方程组出现的频率较高，几乎每年都有考题，也是线性代数部分考查的重点内容。
但也不会简单到仅考方程组的计算，还需灵活运用，比如2014年的线性代数第一道解答题，解矩阵方程，而且系数矩阵是不可逆的，这是考研以来第一次这样考，最后归结为求三个非齐次线性方程组通解。
重点内容：
(1)齐次线性方程组基础解系的求解与证明
(2)齐次(非齐次)线性方程组的求解(含对参数取值的讨论)。
常见题型：
(1) 线性方程组的求解
(2) 齐次线性方程组的基础解系
(3) 两个方程组的公共解、同解问题
齐次线性方程组的基础解系：
齐次线性方程组的基础解系基础解系及通解的求法：
基础解系及通解的求法
题型一：齐次线性方程的基础解系的求解
例1：
分析：对方程组的系数矩阵作初等行变换，化成阶梯型矩阵。
解：由题意得：齐次线性方程组的系数矩阵为：
本例给出了基础解系的基本方法。
线性代数的基本解法
线性代数的基本解法介绍线性代数是数学中的一个重要分支，研究向量空间和线性变换的代数结构和性质。
在数学、物理学、计算机科学等领域都有广泛的应用。
本文将介绍线性代数中常见的基本解法，包括行列式、矩阵运算、向量空间、线性方程组等内容。
行列式行列式是线性代数中重要的概念，它可以判断矩阵的可逆性以及线性方程组的解情况。
行列式的计算可以通过数值法和性质法两种方法进行。
数值法通过将矩阵转化为上三角矩阵或下三角矩阵，利用对角元素相乘得到行列式的值。
性质法则利用行列式的一系列性质进行计算，包括行列互换、行加倍等。
矩阵运算矩阵运算在线性代数中非常重要，包括矩阵的加法、减法、乘法等。
矩阵加法和减法主要通过对应位置元素的相加或相减来实现。
矩阵乘法则需要注意行和列的对应关系，具体的计算方法是将矩阵的行与另一个矩阵的列进行内积运算，得到最终的矩阵。
向量空间向量空间是线性代数中的一个基本概念，它由一组满足一定条件的向量组成。
向量空间具有封闭性、线性组合和线性相关性等特性。
通过研究向量空间的性质，可以对向量进行分析和运算。
线性方程组的解可以表示为向量空间的交集。
线性方程组线性方程组是线性代数中的核心问题之一，它表示为多个线性方程组成的方程组。
求解线性方程组可以通过消元法、矩阵法、逆矩阵等方法。
消元法通过逐步消去未知数来求解，最终得到唯一解、无穷解或无解。
矩阵法则通过转化为矩阵形式，利用矩阵的性质求解。
逆矩阵则需要判断方程组的系数矩阵是否可逆，若可逆则可以求解出唯一解。
总结线性代数的基本解法包括行列式、矩阵运算、向量空间和线性方程组等。
行列式可以判断矩阵的可逆性和解的情况；矩阵运算可以进行不同矩阵的加法、减法和乘法；向量空间具有封闭性和线性相关性等特性；线性方程组的解可以通过消元法、矩阵法和逆矩阵等方法求解。
掌握这些基本解法将有助于在实际问题中应用线性代数的知识。
线性代数线性方程组求解
线性代数线性方程组求解线性代数中，线性方程组求解是一个重要的问题。
在实际应用中，求解线性方程组是解决很多问题的基础。
本文将介绍线性代数中线性方程组的求解方法，包括高斯消元法、矩阵的逆和行列式等方法。
1. 高斯消元法高斯消元法是求解线性方程组的一种常见方法。
它基于矩阵变换的原理，通过对增广矩阵进行一系列的变换，将线性方程组转化为简化的阶梯形矩阵，从而求解方程组的解。
首先，将线性方程组写成增广矩阵的形式，例如：[[a11, a12, a13, ..., a1n, b1],[a21, a22, a23, ..., a2n, b2],...[an1, an2, an3, ..., ann, bn]]其中，a11到ann是系数矩阵的元素，b1到bn是常数矩阵的元素。
然后，通过一系列的行变换，将增广矩阵转化为阶梯形矩阵。
具体的行变换包括交换两行、某一行乘以非零常数、某一行加上另一行的若干倍等。
接着，从底部开始，依次回代求解未知数的值。
由于阶梯形矩阵的特点，可以从最后一行开始，将已求解的未知数代入到上一行的方程中，以此类推，最终求解出所有未知数的值。
2. 矩阵的逆和行列式除了高斯消元法外，还可以通过矩阵的逆和行列式来求解线性方程组。
当系数矩阵存在逆矩阵时，可以直接通过逆矩阵求解线性方程组。
假设系数矩阵为A，未知数向量为X，常数向量为B，那么可以使用以下公式求解线性方程组：X = A^(-1) * B其中，A^(-1)表示A的逆矩阵。
当系数矩阵不可逆时，可以通过行列式来判断是否有唯一解。
如果系数矩阵的行列式为非零，说明线性方程组存在唯一解；如果行列式为零，说明线性方程组没有解或者有无穷多个解。
3. MATLAB求解线性方程组除了手动求解线性方程组外，还可以借助计算工具如MATLAB进行求解。
MATLAB提供了函数例如“linsolve”、“inv”等，可以方便地求解线性方程组。
使用MATLAB求解线性方程组通常先定义系数矩阵A和常数向量B，然后通过相关函数求解。
2--基础解系的求法
则称 1, 2 , , s是齐次方程组的一个基础解系。
基础解系的求法
a11 a12 a21 a22 A a m1 am 2
1 0 0 0 0
a1n 设 r(A) =r < n ,且不妨设A 中最左 a2n 上角的 r 阶子式不为零。则经有限 次行初等变换，矩阵 A 化为： amn
A( A E ) O. r ( A) r ( A E) r ( A) r ( E A) r ( E) n.
推论2：n 元齐次线性方程组有非零解的充要条件是其系 数行列式为零。
n 元齐次线性方程组有非零解即有基础解系。。。
1写出系数矩阵a并对其作初等行变换化为行最简形式同时得到ra这样也就可以确定基础解系所含解向量的个数
基础解系 怎么求？
定义：若齐次方程组的有限个解1 , 2 , , s , 满足：
(i) 1 , 2 ,, s线性无关；
(ii) 方程组的任一解都可由1, 2 , , s 线性表示；
练习
求方程组的通解
x1 x2 x3 x4 x5 0, 3x 2 x x x 3x 0, 1 2 3 4 5 x2 2 x3 2 x4 6 x5 0, 5 x1 4 x2 3x3 3x4 x5 0.
基础解系为 (5,3,1) .
T
通解为 k k (5,3,1) .
T
步骤：
(1) 写出系数矩阵 A 并对其作初等行变换化为行最简形式（同时得 到 r(A)，这样也就可以确定基础解系所含解向量的个数）；
(2) 由行最简形式确定真未知量和自由未知量并写出与原方程组同 解的方程组； (3) 对自由未知量赋值，求出基础解系（有几个自由未知量，就应 赋几组值，将其视为向量组，它们是线性无关的）.
1线性代数 3.3线性方程组的解
x1 x2 x3 x4 0,
例4
求解方程组
x1 x2 x3 3 x4 1,
x1 x2 2 x3 3 x4 1 2.
解 对增广矩阵B施行初等行变换:
1 1 1 1 0 B 1 1 1 3 1
1 1 2 3 1 2
~
1 0
1 0
0 1
1 2
1 2 1 2,
c1
br
1
r1 1
br
2
r2 0
n
br ,n 0
r
cr
r1
0
1
0
r
2
0
0
1 n
由于与都是方程Ax 0的解,而Ax 0又等价于
方程组
x1 b11 xr1 b1,nr xn
x
r
br1 xr1
br ,nr xn
3 x3 3 x3
5 x4 2 x4
5x5 0 x5 0
3 x1 x2 5 x3 6 x4 7 x5 0
解 对系数矩阵施 行初等行变换
1 1 1 4 3
A
2 1
1 1
3 3
5 2
5 1
3 1 5 6 7
1 1 1 4 3 1 1 1 4 3
~
0 0
1 2
1 2
若至少有一个bi 0(i 1, 2, , m), 则称方程组(3.3)为非齐次线性方程组;
能使每个方程变为恒等式的n个数 x1, x2 , xn 称为
方程组的解.
至少有一个解的方程组称为相容的. 如果方程组没有解,就称这个方程组不相容.
具有惟一解的方程组称为确定方程组. 具有多于一个解的方程组称为不定方程组.
线性方程组的基础解系及其通解的计算
习题33-1．求下列齐次线性方程组的通解：解 对系数矩阵施行行初等变换，得⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-----−→−⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-----=1440720211873153211A)(000720211阶梯形矩阵B =⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-−→−⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-−→−0002720211)(000271021101行最简形矩阵C =⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛−→−， 与原方程组同解的齐次线性方程组为⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+=+0270211z y z x ， 即⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-=-=z y z x 27211（其中z 是自由未知量）， 令1=z ，得到方程组的一个基础解系T )1,27,211(--=ξ, 所以，方程组的通解为 ,)1,27,211(T k k --=ξk 为任意常数．（2）⎪⎩⎪⎨⎧=+++=+++=++++086530543207224321432154321x x x x x x x x x x x x x .解 对系数矩阵施行行初等变换，得⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--−→−⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=21202014101072211086530543272211A)(7000014101072211阶梯形矩阵B =⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-−→−⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-−→−70000141010211201)(100000101001201行最简形矩阵C =⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛−→−，与原方程组同解的齐次线性方程组为⎪⎩⎪⎨⎧==+=++0002542431x x x x x x ， 即⎪⎩⎪⎨⎧=-=--=02542431x x x x x x （其中43,x x 是自由未知量）， 令34(,)T x x =(1,0)T ，(0,1)T，得到方程组的一个基础解系 T )0,0,1,0,2(1-=ξ，T )0,1,0,1,1(2--=ξ，所以，方程组的通解为=+2211ξξk k T T k k )0,1,0,1,1()0,0,1,0,2(21--+-，21,k k 为任意常数．（3）⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=-+-+=-++-=-+-=--+0742420436240203543215432143215421x x x x x x x x x x x x x x x x x x ． 解 对系数矩阵施行行初等变换，得11031112104263424247A --⎛⎫ ⎪-- ⎪= ⎪-- ⎪ ⎪--⎝⎭11031022210003100000--⎛⎫ ⎪- ⎪−−→ ⎪- ⎪ ⎪⎝⎭)(阶梯形矩阵B = )(00000311000650110670101行最简形矩阵C =⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛----−→−， 与原方程组同解的齐次线性方程组为⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧=-=--=-+03106506754532531x x x x x x x x ， 即⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧=+=+-=54532531316567x x x x x x x x （其中53,x x 是自由未知量），令=T x x ),(53(1,0)T ，(0,1)T ，得到方程组的一个基础解系T )0,0,1,1,1(1-=ξ，T )1,31,0,65,67(2=ξ， 所以，方程组的通解为 =+2211ξξk k T T k k )1,31,0,65,67()0,0,1,1,1(21+-，21,k k 为任意常数． 3-2．当λ取何值时，方程组⎪⎩⎪⎨⎧=-+=+-=++z z y x y z y x x z y x λλλ6774334有非零解？解 原方程组等价于⎪⎩⎪⎨⎧=+-+=++-=++-0)6(707)4(303)4(z y x z y x z y x λλλ,上述齐次线性方程组有非零解的充分必要条件是它的系数行列式0671743134=-----λλλ， 即 0)756(2=-+λλλ，从而当0=λ和2123±-=λ时方程组有非零解．3-3．求解下列非齐次线性方程组：（1）.解 对增广矩阵A 施行行初等变换⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-----=551211112111121A ⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-−→−000001100011121B =， 因为()()r A r A =，所以方程组有解，继续施行行初等变换B ⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-−→−000001100000121C =， 与原方程组同解的齐次线性方程组为⎩⎨⎧==+-1024321x x x x , 即⎩⎨⎧=-=124321x x x x （其中32,x x 为自由未知量）， 令T T x x )0,0(),(32=，得到非齐次方程组的一个解T )1,0,0,0(0=η，对应的齐次方程组（即导出方程组）为⎩⎨⎧=-=024321x x x x （其中32,x x 为自由未知量）， 令T x x ),(32(1,0)T =，(0,1)T，得到对应齐次方程组的一个基础解系 T )0,0,1,2(1=ξ，T )0,1,0,1(2-=ξ,方程组的通解为0112212(0,0,0,1)(2,1,0,0)(1,0,1,0)T T T k k k k ηηξξ=++=++-，其中21,k k 为任意常数．（2）⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+--=+--=+--=-+-810957245332231324321432143214321x x x x x x x x x x x x x x x x .解 对增广矩阵A 施行行初等变换⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--------=810957245113322311312A ⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛----−→−000000000039131024511B =， 因为()()r A r A =，所以方程组有解，继续施行行初等变换B ⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛----−→−000000000039131015801C =， 与原方程组同解的齐次线性方程组为⎩⎨⎧-=-+-=-+3913158432431x x x x x x , 即⎩⎨⎧+--=+--=4324319133581x x x x x x （其中43,x x 为自由未知量）， 令34(,)(0,0)T T x x =，得到非齐次方程组的一个解T )0,0,3,1(0--=η,对应的齐次方程组（即导出方程组）为⎩⎨⎧+-=+-=43243191358x x x x x x （其中43,x x 为自由未知量）， 令34(,)T x x =(1,0)T ，(0,1)T，得到对应齐次方程组的一个基础解系 T )0,1,13,8(1--=ξ，T )1,0,9,5(2-=ξ，方程组的通解为0112212(1,3,0,0)(8,13,1,0)(5,9,0,1)T T T k k k k ηηξξ=++=--+--+-,其中21,k k 为任意常数．（3）⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=++=-+=-+-=-+10013212213321321321321x x x x x x x x x x x x ． 解 对增广矩阵A 施行行初等变换⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---−→−⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛----=101400201034101311100111132112121311A ⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛----→⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛----−→−96000540034101311101400540034101311， 因为3)(4)(=≠=A r A r ，所以方程组无解.3-4．讨论下述线性方程组中，λ取何值时有解、无解、有惟一解？并在有解时求出其解．⎪⎩⎪⎨⎧=++++=+-+=+++3)3()1(3)1(2)3(321321321x x x x x x x x x λλλλλλλλ． 解 方程组的系数行列式为231211(1)3(1)3A λλλλλλλλ+=-=-++.（1）当0A ≠时，即01λλ≠≠且时，方程组有惟一解．（2）当0A ＝时，即01λλ＝或＝时， (i) 当0λ＝时,原方程组为12323133200333x x x x x x x ++=⎧⎪-+=⎨⎪+=⎩， 显然无解．(ii) 当1λ＝时，原方程组为 ⎪⎩⎪⎨⎧=++=+=++346112432131321x x x x x x x x ， 对该方程组的增广矩阵A 施行行初等变换412110111011012361430000A ⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪=→-- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， 因为()()23r A r A ==<，所以方程组有无穷多组解，与原方程组同解的方程组为1323123x x x x +=⎧⎨-=-⎩， 即1323132x x x x =-⎧⎨=-+⎩（其中3x 为自由未知量）， 令30x =，得到非齐次方程组的一个解0(1,3,0)T η=-，对应的齐次方程组（即导出方程组）为13232x x x x =-⎧⎨=⎩（其中3x 为自由未知量）， 令31x =，得到对应齐次方程组的一个基础解系(1,2,1)T ξ=-，方程组的通解为0(1,3,0)(1,2,1)T T k k ηηξ=+=-+-，其中k 为任意常数．3-5．写出一个以1222341001x c c -⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪- ⎪ ⎪=+ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭为通解的齐次线性方程组． 解 由已知，1(2,3,1,0)T ξ=-和2(2,4,0,1)T ξ=-是齐次线性方程组AX O =的基础解系，即齐次线性方程组AX O =的基础解系所含解向量的个数为2，而未知数的个数为4，所以齐次线性方程组AX O =的系数矩阵A 的秩为422-=，故可设系数矩阵1112131421222324a a a a A a a a a ⎛⎫= ⎪⎝⎭, 由AX O =可知()111121314,,,a a a a α=和()221222324,,,a a a a α=满足方程组()12342234,,,1001x x x x O -⎛⎫ ⎪- ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭, 即方程组123124230240x x x x x x -+=⎧⎨-++=⎩的线性无关的两个解即为12,αα, 方程组的系数矩阵2310204324010111-⎛⎫⎛⎫→ ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭, 该方程组等价于134234243x x x x x x =--⎧⎨=--⎩（其中43,x x 为自由未知量）， 令34(,)T x x =(1,0)T ，(0,1)T，得到该齐次方程组的一个基础解系 1(2,1,1,0)T α=--，23(,1,0,1)2T ξ=--，故要求的齐次线性方程组为AX O =，其中211031012A --⎛⎫ ⎪= ⎪--⎝⎭, 即 12312420302x x x x x x --+=⎧⎪⎨--+=⎪⎩. 3-6．设线性方程组⎪⎩⎪⎨⎧=+++=++0022111212111n mn m m n n x a x a x a x a x a x a， 的解都是02211=+++n n x b x b x b 的解，试证T n b b b ),,,(21 =β是向量组 T n a a a ),,,(112111 =α,T n a a a ),,,(222212 =α, ,),,,(21m n m m m a a a =α的线性组合．证 把该线性方程组记为（*），由已知，方程组（*）的解都是02211=+++n n x b x b x b 的解，所以方程组（*）与方程组11112211122112200n n m m mn n n n a x a x a x a x a x a x b x b x b x ++=⎧⎪⎪⎨+++=⎪⎪+++=⎩ , 同解，从而有相同的基础解系，于是二者有相同的秩，则它们系数矩阵的行向量组 12,,,m ααα 和12,,,,m αααβ 的秩相同，故β可由12,,,m ααα 线性表示．3-7．试证明：()()r AB r B =的充分必要条件是齐次线性方程组O ABX =的解都是O BX =的解．证 必要性.因为()()r AB r B =，只须证O ABX =与O BX =的基础解系相同．O ABX =与O BX =的基础解系都含有()n r B -个线性无关的解向量．又因为O BX =的解都是O ABX =得解．所以O BX =的基础解系也是O ABX =的基础解系．即O ABX =与O BX =有完全相同的解．所以O ABX =的解都是O BX =的解．充分性.因O ABX =的解都是O BX =的解，而O BX =的解都是ABX O =的解，故O ABX =与O BX =有完全相同的解，则基础解系也完全相同，故()()n r AB n r B -=-，所以()()r AB r B =．3-8．证明()1r A =的充分必要条件是存在非零列向量a 及非零行向量Tb ，使T A ab =．证 充分性.若存在列向量12m a a a a ⎛⎫ ⎪ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭及行向量()12Tn b b b b = ，其中,i j a b 不全为零1,,i m = ，1,,j n = ，则有()1111212212221212n n T n m m m m n a a b a b a b a a ba b a b A ab b b b a a b a b a b ⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪⎪ ⎪=== ⎪ ⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭,显然矩阵A 的各行元素对应成比例，所以()1r A =．必要性.若()1r A =，则A 经过一系列的初等变换可化为标准形100000000D ⎛⎫ ⎪⎪= ⎪ ⎪⎝⎭， 而矩阵D 可以表示为()100100001,0,,00000D ⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪⎪ ⎪== ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， 则存在可逆矩阵P ，Q 使得1P AQ D -=，从而()11101,0,,00A PDQ P Q --⎛⎫ ⎪ ⎪== ⎪ ⎪⎝⎭，其中1,P Q -均可逆， 记100a P ⎛⎫ ⎪ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭， ()11,0,,0T b Q -= ，又因为P 可逆，则P 至少有一行元素不全为零，故列向量a 的分量不全为零，同理，因为1Q -可逆，所以行向量Tb 的分量不全为零．因此，存在非零列向量a 及非零行向量Tb ，使TA ab =．补充题B3-1.设A 是m n ⨯矩阵，AX O =是非其次线性方程组AX b =所对应齐次线性方程组，则下列结论正确的是（ D ）.（A ） 若AX O =仅有零解，则AX B =有惟一解； （B ） 若AX O =有非零解，则AX B =有无穷多个解； （C ） 若AX B =有无穷多个解，则AX O =仅有零解； （D ） 若AX B =有无穷多个解，则AX O =有非零解．B3-2.设A 为n 阶实矩阵，TA 是A 的转置矩阵，则对于线性方程组 （ⅰ）AX O =； （ⅱ）TA AX O =，必有（ D ）． （A ）（Ⅱ）的解是（Ⅰ）的解，（Ⅰ）的解也是（Ⅱ）的解； （B ）（Ⅱ）的解是（Ⅰ）的解，但（Ⅰ）的解不是（Ⅱ）的解； （C ）（Ⅰ）的解不是（Ⅱ）的解，（Ⅱ）的解也不是（Ⅰ）的解； （Ｄ）（Ⅰ）的解是（Ⅱ）的解，但（Ⅱ）的解不是（Ⅰ）的解．B3-3．设线性方程组AX B =有n 个未知量，m 个方程组，且()r A r =，则此方程组（ A ）．（Ａ）r m =时，有解； （Ｂ）r n =时，有惟一解；（Ｃ）m n =时，有惟一解； （Ｄ）r n <时，有无穷多解．B3-4．讨论λ取何值时，下述方程组有解，并求解：⎪⎩⎪⎨⎧=++=++=++21λλλλλz y x z y x z y x ． 解 （法一）方程组的系数行列式21111(1)(2)11A λλλλλ==-+，（1）当0A ≠时，即12λλ≠≠-且时，方程组有惟一解211(1),,222x y z λλλλλ++=-==+++．（2）当0A ＝时，即12λλ-＝或＝时 (i) 当λ＝1时,原方程组为1x y z ++=，因为()()1r A r A ==，所以方程组有无穷多组解，其通解为0112212(1,0,0)(1,1,0)(1,0,1)T T T k k k k ηηξξ=++=+-+-,其中21,k k 为任意常数． (ii) 当λ＝-2时，原方程组为212224x y z x y z x y z -++=⎧⎪-+=-⎨⎪+-=⎩， 对该方程组的增广矩阵A 施行行初等变换2111112412120112112400015A --⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪=--→- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭，因为()2()3r A r A =≠=，所以方程组无解．解 （法二）对该方程组的增广矩阵A 施行行初等变换2211111111111111A λλλλλλλλλλ⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪=→ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭2223110110111λλλλλλλλλ⎛⎫⎪→--- ⎪ ⎪---⎝⎭22223110110021λλλλλλλλλλλ⎛⎫ ⎪→--- ⎪⎪--+--⎝⎭2221101100(1)(2)(1)(1)B λλλλλλλλλλ⎛⎫ ⎪→---= ⎪ ⎪-+-+⎝⎭， (1)当 12λλ≠≠-且时, ()()3r A r A ==，方程组有惟一解211(1),,222x y z λλλλλ++=-==+++.(2) 当λ＝1时， ()()1r A r A ==，方程组有无穷多组解，其通解为0112212(1,0,0)(1,1,0)(1,0,1)T T T k k k k ηηξξ=++=+-+-,其中21,k k 为任意常数．(3) 当λ＝-2时，由B 知，()2()3r A r A =≠=，所以方程组无解．B3-5.若321,,ηηη是某齐次线性方程组的一个基础解系，证明：122331,,ηηηηηη+++也是该方程组的一个基础解系．证 设有三个数123,,k k k 使得112223331()()()0k k k ηηηηηη+++++=,则有131122233()()()0k k k k k k ηηη+++++=,因为321,,ηηη是某齐次线性方程组的一个基础解系，所以321,,ηηη线性无关，故131223000k k k k k k +=⎧⎪+=⎨⎪+=⎩, 该方程组的系数行列式10111020011=≠, 所以该方程组只有零解．即1230k k k ===．即122331,,ηηηηηη+++线性无关． 又由齐次线性方程组的性质知122331,,ηηηηηη+++都是方程组的解．所以122331,,ηηηηηη+++构成方程组的一个基础解系．B3-6.设四元非齐次线性方程组的系数矩阵的秩为3，已知321,,ξξξ是它的三个解向量，且⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=54321ξ，⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=+432132ξξ，求该方程组的通解．解 因为4,3n r ==，故原方程组的导出组的基础解系含有1n r -=个解向量，所以只须找出其导出组的一个非零解向量即可．由解的性质知，1213,ξξξξ--均为导出组的解，所以1213123()()2()ξξξξξξξ-+-=-+为导出组的解，即123342()56ηξξξ⎛⎫ ⎪ ⎪=-+= ⎪ ⎪⎝⎭,为导出组的解．故原方程组的通解为123344556k k ξξη⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪=+=+ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，k 为任意常数．B3-7. 设*ξ是非齐次线性方程组B AX =的一个解，r n -ηηη,,,21 是它对应的齐次线性方程组的一个基础解系，证明：（1）,*ξr n -ηηη,,,21 线性无关；（2）r n -+++ηξηξηξξ*2*1**,,,, 线性无关．证（１） 反证法.设,*ξr n -ηηη,,,21 线性相关，由r n -ηηη,,,21 是对应的齐次线性方程组的一个基础解系知r n -ηηη,,,21 线性无关，故*ξ可由r n -ηηη,,,21 线性表示，即*ξ是对应的齐次线性方程组的解，与题设矛盾．故,*ξr n -ηηη,,,21 线性无关．证（2） 反证法.设r n -+++ηξηξηξξ*2*1**,,,, 线性相关，则存在不全为零的数012,,,,n r k k k k - ，使得****01122()()()0n r n r k k k k ξξηξηξη--+++++++= ,即*0121122()0n r n r n r k k k k k k k ξηηη---++++++++= ,由（１）知，,*ξr n -ηηη,,,21 线性无关，则0120n r k k k k -++++= ，10k =，20k =，．．．，0n r k -=, 从而00k =，这与012,,,,n r k k k k - 不全为零矛盾, 故r n -+++ηξηξηξξ*2*1**,,,, 线性无关．B3-8．设线性方程组⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+++=+++=+++nn nn n n n n n n b x a x a x a b x a x a x a b x a x a x a 22112222212111212111， 的系数矩阵的秩等于矩阵⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛02121222221111211nn nnn n n n b b b b a a a b a a a b a a a的秩，试证这个方程组有解．证 令111212122212n n n n nn a a a a a a A a a a ⎛⎫ ⎪⎪= ⎪ ⎪⎝⎭, 11121121222212n n n n nn n a a a b a a a b A a a a b ⎛⎫⎪⎪= ⎪⎪⎝⎭,11121121222212120n n n n nn n n a a a b a a a b B a a a b b b b ⎛⎫⎪⎪ ⎪= ⎪⎪ ⎪⎝⎭,因为A 比A 多一列，B 比A 多一行，故()()()r A r A r B ≤≤,而由题设()()r A r B =，所以()()r A r A =，所以原方程组有解．B-9．设A 是n 阶方阵，*A 是A 的伴随矩阵，证明：⎪⎩⎪⎨⎧-<-===*1,01,1,n r n r n r n r A A A A 当当当. 证 若A r n =，因为0A ≠，而**AA A A A E ==，1*0n A A-=≠，故A r n *=．若1A r n =-，因为0A =，所以*AA A E O ==，又因为A AA A r r r n **≥+-，而0AA r *=，所以1A r *≤；又因为1A r n =-，所以至少有一个代数余子式0ij A ≠，从而1A r *≥，故1A r *=．若1A r n <-，则A 的任一个代数余子式0ij A =，故*0A =，所以0A r *=． B3-10．设A 是m n ⨯阶方阵，证明：AX AY =，且A r n =，则X Y =． 证 因为AX AY =，所以()A X Y O -=，又因为A r n =，所以方程组()A X Y O -=只有零解，即X Y O -=，所以X Y =．。
线性代数基础解系求法举例
11 0 01 11 0 0 1 11001 A～ 1 1 1 0 0 ～ 0 0 1 0 1 ～ 0 0 1 0 1
00 1 11 00 0 1 0 00010
x1 x2
x5 0
得同解方程组：
x3
x5 0 ,
x4
0
线性代数 第四章 向量组的线性相关性
15
第十一讲：方程组解的解构与向量空间
n 5, R( A) 3,自由变量 n r 2,为行最简形的
（4）由此还可以推断：齐次线性方程组的基础解系不是 唯一的 .齐次线性方程组的通解形式也是不唯一的 .
线性代数 第四章 向量组的线性相关性
14
第十一讲：方程组解的解构与向量空间
例题 （1 96，数学一，6分）
x1 x2
x5 0
求齐次线性方程组
x1 x2 x3
0
x3 x4 x5 0
的基础解系和通解 解：对系数矩阵作初等 行变换，化成行最简有 ：
线性代数 第四章 向量组的线性相关性
17
第十一讲：方程组解的解构与向量空间
（二）非齐次线性方程组的通解
1.非齐次线性方程组的解向量的性质
设有非齐次线性方程组
a11 x1 a12 x2
a1n xn b1,
a21 x1 a22 x2
a2n xn b2 ,
am1 x1 am2 x2
它也可写作向量方程
amn xn bm ,
Ax 0的解集的秩 Rs n r , R(a1 ,a2 , an r ,b) n r n r 1 由相关性秩的判别法， a1 , a2 , an r， b线性相关。 a1 , a2 , an r线性无关，并且 a1 , a2 , an r， b线性相关。 由相关性与线性表示的 关系定理， b能由 a1,a2 , an r 唯一线性表示。由最大 无关组定义，
求基础解系的步骤例题
求基础解系的步骤例题
求基础解系的步骤如下：
定义基础解系：基础解系是解一个方程组的最基本的解系，即使用若干线性无关的解带出该方程组的其余解。
求基础解系的常用方法：
（1）分配系数法：将系数矩阵以行列式的形式表示，对系数进行分配。
（2）初等行变换法：将系数矩阵进行初等行变换，将其变为最简形矩阵，然后根据最简形矩阵求解基础解系。
例：求方程组x1+x2+x3=0,x2+x3=0的基础解系。
解：将系数矩阵表示为A=(α1,α2,α3)，其中
α1=(1,1,1),α2=(0,1,1),α3=(0,0,1)。
对系数矩阵进行初等行变换，将其变为最简形矩阵，即
|1110||011||001||011||001|
然后根据最简形矩阵求解基础解系，即
x1=-x2-x3,x2=x2,x3=x3
因此，方程组的基础解系为(1,0,0),(0,1,0),(0,0,1)。
基础解系的求法举例
基础解系的求法举例
基础解系的求法是求解微分方程的一种方法，其目的在于求出微分方程的一组基础解，从而得到通解。
下面以一些简单的微分方程为例，说明基础解系的求法。
例1：求解二阶齐次线性微分方程 y'' + 4y = 0
设y = e^(λx) 代入微分方程得到λ^2 + 4 = 0，解得λ = ±2i
因此 y1 = e^(2ix) 和 y2 = e^(-2ix) 是微分方程的基础解系。
通解为 y = C1cos(2x) + C2sin(2x)
首先求解对应的齐次方程 y' + y = 0，得到其基础解 yh = Ce^(-x)
再求非齐次方程的一个特解 yp，可以采用常数变易法或者待定系数法。
这里采用待
定系数法，设 yp = Ae^x，代入非齐次方程得到 A = 1，因此 yp = e^x
总解为 y = yh + yp = C1e^(-x) + C2xe^(-x) - 1/2x + 5/2。
线性代数 基础解系求法举例
教学目的理解齐次线性方程组的基础解系的概念与求法。
掌握非齐次线性方程组通解的结构。
掌握向量空间的基的概念与求法作业重点基础解系及其求法、向量空间的基练习册P37－40第13题至第19题，期中交：P37－40难点方程组解的结构讲授方法媒体与投影讲授内容主线齐次解的基础解系概念－基础解系求法－举例－非齐次通解的求法－向量空间的封闭与生成性－基与坐标－向量内积与长度。
内容概括齐次方程组的基础解系由n-r 个无关解向量组成，非齐次是齐次解加特解，向量组生成具有封闭线性运算的向量空间。
向量内积实际上是矩阵运算，由施瓦茨不等式引出长度与正交。
班级：时间：年月日；星期本次课讲第四章第四节第五节，方程组解的结构与向量空间，下次课讲第五章第一二节，下次上课时交作业P37～P40二、齐次线性方程组解的结构：1.复习齐次线性方程组解的秩的判定定理2.解向量的概念nr A R AX n n A R AX <=⇔==⇔=)(0()(0有非零解（无穷多解）齐次方程组为解向量的维数）有唯一零解齐次方程组设有齐次线性方程组⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+++=+++=+++000221122221211212111n m n m m n n n n x a x a x a x a x a x a x a x a x a （1）设,212222111211⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛m n m m n n a a a a a a a a aA =x =,21⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛n x x x 则（1）式可写成向量方程Ax = 0（2）⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=====12111112121111,,,n n n x x x x x x x ξξξξ）的解则为（若称为方程组（1）的解向量，它也是向量方程（2）的解.第十讲向量组的秩与方程组解的结构2.解向量的性质性质1若为齐次方程组的解，则也是相应齐次方程组的解.21,ξξ==x x 21ξξ+=x 证()21ξξ+A 21ξξA A +=00+=0=性质2若为齐次方程组的解，k 为实数，则k也是相应齐次线性方程组的解.1ξ=x 1 ξ=x 证：)()00.k k k ==⨯=（11A ξA ξ的解（向量）。
线性代数4-4—基础解系
b1 2 b1 1 x1 x1 br 2 br 1 x x 2 1 , 2 0 1 2 1 0 x x n n 0 0
x1 b1 1 x2 b21 xr br 1 c1 1 x r1 xr2 0 xn 0
1
2
nr
求出（2）的一个基础解系，写出其通解 A
x r 1 x r2 xn
1 0 0 1 , , 0 0
,
0 0 1
；
x1 x2 xr
1 , 2 , , n r 是 组 （ 2 ） 的 全 部 解 向 量 组 的 最 大 无 关 组 ！
3、求解方法
方程组(2)的通解是其一个基础解系的线性组合
求出方程组(2)的通解, 可求出其一个基础解系 A
(r<n)行变换
行最简形
b1 2 b22 br 2 c2 0 1 0 cnr b1 n r b2 n r b rn r 0 0 1
（2）的通解
x1 b1 1 x2 b21 xr br 1 c1 1 x r1 xr2 0 xn 0 b1 2 b22 br 2 c2 0 1 0
线性代数讲义 (17)
x1 x2 x3 x4 0,
例4
求解方程组
x1 x2 x3 3 x4 1,
x1 x2 2 x3 3 x4 1 2.
解 对增广矩阵 A 施行初等行变换 :
1 A 1
1
1 1 1
1 1 2
1 3 3
~ 0 r12(1)
1 1 2
r13 ( 1)
1 1 1 1 0 0 2 4
解，则
11
x
1
21
n1
称为方程组(1) 的解向量，它也就是向量方程 (2)的解．
２．齐次线性方程组 Ax 0 解的性质
（1）若 x 1 , x 2 为 Ax 0 的解，则 x 1 2
也是 Ax 0 的解.
证明: A1 0, A2 0
A1 2 A1 A2 0
0 1
~
1 0
1 0
0 1
1 2
1 2 1 2,
0 0 1 2 1 2 0 0 0 0 0
x1
x3
可见r( A) r( A) 2,故方程组有解,并有
x1 x2 x4 1 2,
x3
2 x4 1 2.
取 x2
x4
0,则 x1
x3
1 ,即得方程组的一个特解 2
1 2
0 12
所以方程组有无穷多解. 且原方程组等价于方程组
x1 x2
1 2
x3
1 2 x3
2 x5 x4
3
9 2 x5
23 2
令x3 k1, x4 k2 , x5 k3 ,即得
x1
1 2
k1
2k3
9 2
x2
1 2
k1
k2
3k3
基础解系怎么求 如何计算_1
基础解系怎么求如何计算
基础解系不是唯一的，因个人计算时对自由未知量的取法而异，但不同的基础解系之间必定对应着某种线性关系。
基础解系怎么求
线性代数的基础解系求法：
基础解系针对齐次线性方程组AX = 0而言的.
当r(A)n(n是A的列数)时, 方程组存在基础解系.
基础解系是AX = 0的n-r(A)个线性无关的解向量, 方程组的任一解都可表示为基础解系的线性组合.
以齐次方程组为例：
假如是3阶矩阵r(A)=1
矩阵变换之后不就是只剩一个方程.这时候,可以设x3为1,x2为0,得出x1，然后设x3为0,x2为1,得出x1由于只要(0,1)和（1,0）确定无关,所以所得解就无关,而这个方程基础解系的个数为n-r(A)=2个.假如r(A)=2的话,就剩下来两个方程。
极大线性无关组基本性质
（1）只含零向量的向量组没有极大无关组；
（2）一个线性无关向量组的极大无关组就是其本身；
（3）极大线性无关组对于每个向量组来说并不唯一，但是每个向量组的极大线性无关组都含有相同个数的向量；
（4）齐次方程组的解向量的极大无关组为基础解系。
（5）任意一个极大线性无关组都与向量组本身等价。
（6）一向量组的任意两个极大线性无关组都是等价的。
（7）若一个向量组中的每个向量都能用另一个向量组中的向量线性表出，则前者极大线性无关向量组的向量个数小于或等于后者。
怎么解非齐次方程得出基础解系
怎么解非齐次方程得出基础解系
非齐次线性方程组的解法和齐次线性方程组的解法不同，需要求
出特解和基础解系，基础解系也称为齐次线性方程组的解。
非齐次线性方程组解法步骤如下：
1. 求出对应的齐次线性方程组的基础解系。
首先，要求出对应的齐次线性方程组的基础解系是必须的。
因为
非齐次线性方程组的解等于其对应的齐次线性方程组的解加上特解，
特解会在后面进行求解。
设对应的齐次方程为：
Ax = 0
其中，A 表示系数矩阵，x 表示未知向量，0 表示零向量。
2. 求出非齐次线性方程组的一组特解。
将非齐次线性方程组表示为：
Ax = b
其中，b 表示非零右端向量，即非齐次线性方程组。
设 x0 为 Ax0 = b 的一组特解。
可以使用高斯消元法或矩阵求
逆法求解。
3. 求出非齐次线性方程组的通解。
使用齐次线性方程组的基础解系，以及特解来求出非齐次线性方
程组的通解，即形如：
x = x0 + c1x1 +c2 x2+...+cnxn
其中，cx 表示常数。
通过上述步骤，我们就能得到非齐次线性方程组的通解。
在确定
了特解之后，基础解系的选择可以使用高斯消元法或矩阵求逆法进行。
本文主要介绍了非齐次线性方程组的解法，包括求对应齐次方程
的基础解系和求出非齐次方程的特解，最终得到非齐次线性方程组的
通解。
掌握这些知识可以更好地解决非齐次线性方程组问题。
基础解系
基础解系的求法袁娇摘要:本文首先陈述了基础解系的概念，求齐次线性方程组非齐次线性方程组的基础解系 的简化解法,进一步利用矩阵的初等变换给出了一种很有使用价值的解决方法.关键词：基础解系 初等变换 矩阵的秩 齐次线性方程组 非齐次线性方程组 1.基本定义 一个齐次线性方程组的解空间的一个基叫作这个方程组的一个基础解系. 2.齐次线性方程组基础解系的求法定理 数域F 上一个n 个未知量的齐次线性方程组的一切解作成nF 的一个子空间，称为这个齐次线性方程组的解空间。
如果所给的方程组的系数矩阵的秩是r ，那么解空间的维数等于n r -. 2.1.定义法例1 求下列齐次线性方程组的一个基础解系12312312323020420x x x x x x x x x -+=⎧⎪++=⎨⎪++=⎩ 解:对齐次线性方程组的系数矩阵A 施行行初等变换，化为阶梯形矩阵22131321223213213213211022011412034034213011001r r r r r r r A ------⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪ ⎪=−−−→-−−→- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪--⎝⎭⎝⎭⎝⎭-⎛⎫⎪−−−→- ⎪ ⎪-⎝⎭与阶梯形矩阵对应的齐次线性方程组是12323323000x x x x x x -+=⎧⎪-=⎨⎪-=⎩解方程组得1230x x x ===.所以，齐次线性方程组只有零解，从而齐次线性方程组没有基础解系例2 求下列齐次线性方程组的一个基础解系，并求其一般解：12451234512345123453020426340242470x x x x x x x x x x x x x x x x x x x +--=⎧⎪-+-+=⎪⎨-++-=⎪⎪+-+-=⎩ 解:对齐次线性方程组的系数矩阵施行行初等变换，化为阶梯形矩阵：413122142322412261103111031112110222242634066150242470221051103111031011110111106615000036022105002163r r r r r r r r r r r -----+----⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪--- ⎪ ⎪−−−→→⎪ ⎪--- ⎪ ⎪----⎝⎭⎝⎭----⎛⎫⎛ ⎪------ ⎪−−−→ ⎪--- ⎪----⎝⎭⎝34433110311103101111011110021630021630003600036r r r r ↔+⎫⎪⎪−−−→ ⎪⎪⎭----⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪------ ⎪ ⎪−−−→ ⎪ ⎪---- ⎪ ⎪----⎝⎭⎝⎭与阶梯形矩阵对应的齐次线性方程组12452345345453002020x x x x x x x x x x x x x +--=⎧⎪---=⎪⎨-+-=⎪⎪+=⎩取5x 为自由未知量令51x =， 解得432132,,5,02x x x x =-=-=-= 由此得齐次线性方程组的一个基础解系为130,5,,2,12η⎛⎫=--- ⎪⎝⎭所以齐次线性方程组的一般解为130,5,,2,2k k k k k ηη⎛⎫==--- ⎪⎝⎭，其中k 为任一数.例3 求下列齐次线性方程组的一个基础解系，并求其一般解.123412341234123450230380390x x x x x x x x x x x x x x x x -+-=⎧⎪+-+=⎪⎨-++=⎪⎪+-+=⎩ 解：对齐次线性方程组的系数矩阵施行行初等变换，化为阶梯行矩阵：3142313221231151115111511123027402743181027400001397041480000r r r r r r r r r r -----------⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪--- ⎪ ⎪ ⎪−−−→−−−→ ⎪ ⎪ ⎪-- ⎪ ⎪ ⎪--⎝⎭⎝⎭⎝⎭于是得到与其次线性方程组同解的方程组：123423450270x x x x x x x -+-=⎧⎨-+=⎩由于基础解系所含解向量的个数为：n r - 取34,x x 为自由未知量令342,0x x ==，解得217,3x x ==- 令340,1x x ==，解得212,1x x =-=- 由此得齐次线性方程组的一个基础解系为()()123,7,2,0,1,2,0,1ηη=-=--所以齐次线性方程组的一般解为()11221212123,72,2,h h h h h h h h ηηη=+=---，其中12,h h 为任意数.2.2.矩阵理论法例4 求齐次线性方程组1234123412341234502303803970x x x x x x x x x x x x x x x x -+-=⎧⎪+-+=⎪⎨-++=⎪⎪+-+=⎩ 的一个基础解系. 解： 4142313221231151115101511123027402743181027400001397041480000r r r r r r r r r r A -----------⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪ ⎪--- ⎪ ⎪ ⎪=−−−→−−−→ ⎪ ⎪ ⎪-- ⎪ ⎪ ⎪--⎝⎭⎝⎭⎝⎭取34,x x 为自由未知量，得方程组为12342345274x x x x x x x -=-+⎧⎨=-⎩令341,0x x ==，得1237,22x x =-=340,1x x ==，得121,2x x =-=-则()()1237,,1,0,1,2,0,122∂=-∂=--为所求的一个基础解系.下面我们来导出一个求基础解系的简便方法.为变换上的方便，不妨把线性方程组写成矩阵方程110n n m m X A ⨯⨯⨯=，因m n ⨯矩阵A 必有n 阶和m 阶可逆矩阵P 和 Q ，使000rI PAQ ⎛⎫=⎪⎝⎭，其中r =秩A ，r I 为m n ⨯阶单位矩阵，故10000r r I D PA Q -⎛⎫⎛⎫==⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，这里r D 为满秩。
[全]线性代数之齐次线性方程组基础解系问题的求解方法总结[下载全]
线性代数之齐次线性方程组基础解系问题的求解方法总结
解答题的形式出现，分值为11分，2016年数学一考了一道大题，11分，2017年也考察了一道大题，11分。
往年考题中，方程组出现的频率较高，几乎每年都有考题，也是线性代数部分考查的重点内容。
但也不会简单到仅考方程组的计算，还需灵活运用，比如2014年的线性代数第一道解答题，解矩阵方程，而且系数矩阵是不可逆的，这是考研以来第一次这样考，最后归结为求三个非齐次线性方程组通解。
重点内容：
(1)齐次线性方程组基础解系的求解与证明
(2)齐次(非齐次)线性方程组的求解(含对参数取值的讨论)。
常见题型：
(1) 线性方程组的求解
(2) 齐次线性方程组的基础解系
(3) 两个方程组的公共解、同解问题
齐次线性方程组的基础解系：
齐次线性方程组的基础解系基础解系及通解的求法：
基础解系及通解的求法
题型一：齐次线性方程的基础解系的求解
例1：
分析：对方程组的系数矩阵作初等行变换，化成阶梯型矩阵。
解：由题意得：齐次线性方程组的系数矩阵为：
本例给出了基础解系的基本方法。
基础解系解法
有解判定定理
有无穷多解
(1)含n个未知量的齐次线性方程组 Am×n x = 0有非零解 ⇔ 系数矩阵A的秩 R ( A) < n. ⇔ A的列向量组的秩 < n (1)含n个未知量的齐次线性方程组 Am×n x = 0只有零解
⇔ 系数矩阵A的秩 R ( A) = n. A列满秩） （ ⇔ A的列向量组的秩=n
ξ1
ξ2
L
ξ n− r
3、求解方法 、
要求方程组(2)的全部解 要求方程组 的全部解, 只需求出其一个基础解系 的全部解 A
(r<n)行变换 行变换
行最简形
求基础解系
令自由未知量取n-r维 令自由未知量取 维 基本单位向量的分量， 基本单位向量的分量， 维基本单位向量组； 得n-r维基本单位向量组； 维基本单位向量组 得出相应的非自由未知量 构成方程组的解向量。 值，构成方程组的解向量。
x r +1 1 x 0 r + 2 = M , M 0 xn
0 0 x1 1 0 x2 = M , L , M ； M 0 1 xr
ξ 1 , ξ 2 , ,ξ n − r 是 组 （2 ） 的 全 部 解 向 量 组 的 最 大 无 关 组 ！ L
3、求解方法 、
求出方程组(2)的通解, 可求出其一个基础解系 A
(r<n)行变换 行变换
行最简形
x1 − b11 − b12 − b1n− r x2 − b21 − b22 − b2 n− r M M M M xr = c − br 1 + c − br 2 + L + c − brn− r n− r xr + 1 1 1 2 0 0 xr + 2 0 1 0 M M M M 0 0 1 x n
方程组的基础解系
方程组的基础解系
基础解系是指方程组的解集的极大线性无关组，即若干个无关的解构成的能够表示任意解的组合。
值得注意的是：基础解系不是唯一的，因个人计算时对自由未知量的取法而异。
证明
必须证明一组向量为齐次线性方程组ax=0的基础卢播时，必须满足用户以下三条：
（1）这组向量是该方程组的解；
（2）这组与向量必须就是线性毫无关系组，即为基础卢播各向量线性毫无关系；
（3）方程组的任意解均可由基础解系线性表出，即方程组的所有解都可以用基础解系的量来表示。
另外，这组与向量所不含向量的个数s=n-r（a），其中就是未知量的个数，即为系数矩阵a的列数。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
6
第十讲 向量组的秩与方程组解的结构
x1
b11 c1 b12 c2
b c 1 ,n r n r
xr xr 1 xr 1
br 1 c1 c1 0 0 c2
br 2 c2 0 0
b c r ,n r n r 0 0
xn 0 0 0
根据上式求得通解，用 矩阵表示通解，并写成
x1
b11c1 b12 c2
b c 1,n r n r
证 A 1 2 A1 A 2 0 0 0
性质 2 若 x 1为齐次方程组 的解 ，k为实数，则 x k 1 也是 相应齐次线性方程组 的解 .
证： A（kξ1) k( Aξ1) k 0 0.
结论： AX 0的解向量 1, 2 , , t的线性组合
x k1 1 k2 2
kt t均是 AX 0的解（向量）。
0
0
第二步：仍然是写出与 A 对应的齐次线性方程组的同解方程组
x1
b x 11 r 1
b1,n r xn ,
xr
br 1 xr 1
br ,n r xn .
线性代数 第四章 向量组的线性相关性
9
第十一讲：方程组解的解构与向量空间
第三步 :自由变量取值 :由于 c1, cn r的任意性 ,原自由变量 的取值相当于对自由变 量向量组的取值 , 依次令
均可用 1, 2 , , t线性表示，即：
x k1 1 k2 2
kt t
4. 求AX=0的基础解系－－ AX＝0的通解：
事实上，上一章我们已经学会了用矩阵的秩求线性方程 组通解的方法：假定 AX=0,A的秩为 R(A)=r, 求解步骤如下
线性代数 第四章 向量组的线性相关性
Байду номын сангаас
5
第十讲 向量组的秩与方程组解的结构
a a m1
m2
a mn
xn
则（ 1）式可写成向量方程 Ax = 0 （2）
x11
若 x1 11 , x2
,21 , xn
n1为（1）的解则 x 1
x21
称为方程组（ 1）的解向量， 它也是向量方程（ 2）的解 . xn1
线性代数 第四章 向量组的线性相关性
3
第十讲 向量组的秩与方程组解的结构
2.解向量的性质 性质 1 若 x 1, x 2 为齐次方程组 的解 ，则x 1 2 也是 相应齐次方程组 的解 .
本次课讲第四章第四节第五节， 方程组解的结构与向量空间，
下次课讲第五章第一二节， 下次上课时交作业 P37～P40
线性代数 第四章 向量组的线性相关性
2
第十讲 向量组的秩与方程组解的结构
二、齐次线性方程组解的结构： 1.复习齐次线性方程组解的秩的判定定理 齐次方程组 AX 0有唯一零解 R( A) n(n为解向量的维数）
xr 1
xi
xn r 0 1 0 ,其中 i r 1, ,n r .
xr 1
10
0
xr 2
0 ,
1 ,
0 ,,
xn
00
1
代入同解方程组依次可得：
x1
b11
b12
b1 ,n r
x2
b21 ,
b22 ,
,
b2 ,n r ,
xr
br 1
br 2
线性代数 第四章 向量组的线性相关性
线性代数 第四章 向量组的线性相关性
8
第十一讲：方程组解的解构与向量空间
定理：设 n元齐次方程组 AX=0的系数矩阵的秩 R(A)=r ,解
集（解向量组）为 S,则R(S)=n-r
证：
1
0 b11
b1 ,n r
第一步：和以前一样，将 系数矩阵化成行最简形：
0 A~
0
1 br 1
br ,n r , 0
第十一讲：方程组解的解构与向量空间
班级：
时间：
年 月 日；星期
教学目的
理解齐次线性方程组的基础解系的概念与求法。 掌握非齐次线性方程组通解的结构。掌握向量空 间的基的概念与求法
重点 难点 讲授方法
讲授内容 主线
基础解系及其求法、向量空间的基
方程组解的结构
媒体与投影
齐次解的基础解系概念－基础解系求法－举例－ 非齐次通解的求法－向量空间的封闭与生成性－ 基与坐标－向量内积与长度。
内容概括
齐次方程组的基础解系由 n-r 个无关解向量组成， 非齐次是齐次解加特解，向量组生成具有封闭线 性运算的向量空间。向量内积实际上是矩阵运算， 由施瓦茨不等式引出长度与正交。
作业
练习册 P37－ 40 第13题
至 第19题， 期 中交： P37 －40
线性代数 第四章 向量组的线性相关性
1
第十一讲：方程组解的解构与向量空间
b11
cn r
向量（列矩阵）的形式 为：
b12
b1(n r )
xr
br c1 1 br 2c2
xr 1
c1 0 0
b c r ,n r n r 0
br 1 c1 1
0
br 2 c2 0
1
br (n r )
cn r
1
0
xn
000
cn-r
0
0
线性代数 第四章 向量组的线性相关性
0
7
第十一讲：方程组解的解构与向量空间
化A 为行最简形矩阵 为
1
0 b11
b1,n r
0
A
0
1 br1
br ,n r , 0
0
与 A 对应的方程组的同解方程组为
x1
b x 11 r 1
0
b1,n r xn ,
令自由未知数
xr
br1 xr 1
br ,n r xn .
xr 1 c1 , xr 2 c2 , xn cn r 则：
线性代数 第四章 向量组的线性相关性
3.AX=0的基础解系
定义：设 AX 0的全体解向量组成解集 （或解向量组） S，则 S中 的任一个最大无关组称 为 AX 0的一个基础解系。
线性代数 第四章 向量组的线性相关性
4
第十讲 向量组的秩与方程组解的结构
（1）由于基础解系是解集 的最大无关组，所以 AX 0的
基础解系不唯一
（2）由最大无关组定义， 设解向量 1 , 2 , , t为线性 方程组 AX 0的一个基础解系，则 AX 0的任意解 x
得到齐次方程组通解如 下：
x c1 1 c2 2
cn r n r （* ）
巧得很， AX=0的通解正好是 n-r 个解向量的线 性组合，如果这 n-r 个解向量就是解集的最大无 关组，我们就等于找到了 AX=0的基础解系。事实
上，我们有如下定理：
（ 2）定理：设 n元齐次方程组 AX=0的系数矩阵 的秩 R(A)=r , 解集（解向量组）为 S, 则R(S)=n-r
齐次方程组 AX 0有非零解（无穷多解） R( A) r n
2.解向量的概念
设有齐次线性方程组
a11x1 a12 x2
a1n xn 0
a a 11
12
a1n
x1
a21 x1 a22 x2
a2n xn 0（1）设 A= a21 a22
a2n , x = x2 ,
am1 x1 am2 x2
amn xn 0