用“顶点式”求二次函数解析式
初中数学-二次函数的解析式
∴a(2-1)2-2=3，得：a=5,
∴解析式为y=5(x- 1)2-2
注：此题运用了二次函数的顶点式
2.已知抛物线过三点：A（－1，2），B（0，1）， C（2，－7），求二次函数的解析式.
解：设二次函数的解析式为： y ax bx 1
2
a b 1 2 由已知得： 4a 2b 1 7
∵抛物线过点C（1，2）
注：此题运用了
二次函数的双根式
解析式为: 1 y ( x 1)(x 3) 2
∴ a (1 1)(1 3) 2
4a 2 1 a 2
3 3.已知抛物线和y轴的交点（0，－ 2 ）
和x 轴的一个交点（-1，0），对称轴是x =1. （1）求图象是这条抛物线的二次函数的解析式； （2）判断这个二次函数是有最大值还是有最小值， 并求出这个最大值或最小值
2 2
y
A O
B
x
公式：AB | x2 x1 | |a|
b 2 4ac |a| |a|
y ax2 bx c, (a 0)
6.抛物线y=-2x2+4x+1 在 x轴上截得的线段长度
为
6
.
y
16 8 6 解: AB |a| 2
A O B
当x
b 1 1时 1 2a 2 2
y最小值
4ac b 2 4a
1 3 4 ( ) (1) 2 2 ＝ 2 ＝－2 1 4 2
b 1 当x 1时函数有最小值 1 2a 2 2 1 2 3 y最小值 1 1 2 2 2
x1, x2 为方程： a(x－x1)(x－x2)=0的两个 根，即抛物线与x的两个交点的横坐标，
用顶点式确定二次函数表达式
(2,5) (0,1)
知识迁移
抛物线 y 2 x bx c（a≠0），经过向左平移 3个单位，向下平移2个单位，得到新的顶点为 （-2，3）；求抛物线原解析式。
2
知识迁移
已知抛物线C1的解析式为 y 2 x 4 x 5
2
抛物线C2与抛物线C1关于x轴对称，则抛物线C2的解 析式为：_________________ _； 若抛物线C3关于抛物线C1 y轴对称，则抛2 9 8
知识迁移
1.已知二次函数的对称轴为直线x=2,函数的最小值 是-3，且过（0，1），求二次函数解析式？
知识迁移
2.已知抛物线对称轴是直线x＝2，且经过(3，1) 和(0，－5)两点，求二次函数的关系式。
知识迁移
3.抛物线如图所示，请求出抛物线的解析式。
综合应用
要修建一个圆形喷水池,在池中心竖直安 装一根水管.在水管的顶端安装一个喷水 头,使喷出的抛物线形水柱在与池中心的 水平距离为1m处达到最高,高度为3m,水柱 落地处离池中心3m,水管应多长?
解:由题可得, 点(1,3)是图中这段抛 y B(1，3) 物线的顶点.因此可设这段抛物线 3 对应的函数是 A 2 y=a(x－1)2＋3 (0≤x≤3) ∵这段抛物线经过点(3,0) 3 1 2 a= － ∴ 0=a(3－1) ＋3 解得: 4 因此抛物线的解析式为: 2 1 3 O y=－4(x－1)2＋3 (0≤x≤3) 当x=0时,y=2.25 答:水管长应为2.25m.
数形结合 双壁辉映
曾鹏志
顶点式确定二次函数
知识回顾
用待定系数法求二次函数的解析式 常见类型
本节重点 运用
1.顶点式：y a( x h) k (a 0)
顶点式法求二次函数解析式
顶点式法求二次函数解析式①二次函数y=ax+bx+c(a,b,c是常数，a≠0)用配方法可化成：y=a(x-h)+k，顶点是(h,k)22b24ac-b2）+,2a4abbb4ac-b24ac-b2对称轴是x=，顶点坐标是（-，）,h=-，k=,所以，我们2a2a2a4a4a配方:y=ax+bx+c=___________=_______________=______________＝（x+2把y=a(x-h)+k叫做二次函数的顶点式②未知二次函数图象的顶点座标（h，k）或者对称轴方程x=h或者最大值k，最小值k，当2然还要知道抛物线上的一个一般点时，通常设函数解析式为y=a(x-h)+k(a≠0)，再将那个通常点的座标带进，算出a的值，最后写下函数解析式再化为通常式就行了，有时可能将须要两个通常四元组方程组算出a的值或h或k的值。
例：已知抛物线的顶点为（－1，－3），与y轴交点为（0，－5），求抛物线的解析式解：设所求的二次函数为y=a〔x-（-1）〕-3=a（x+1）-3，由条件得：点(0,-5)在抛物线上，a-3=-5,得a=-2，故所求的抛物线解析式为y=－2(x＋1)-3，即：y=－2x-4x－5基准：未知二次函数y=ax2+bx+c的最大值就是2，图象顶点在直线y=x+1上，并且图象经过点（3，-6），谋此二次函数的解析式解：∵二次函数的最大值是2∴抛物线的顶点纵坐标为2又∵抛物线的顶点在直线y=x+1上，∴当y=2时，x=1。
故顶点坐标为（1，2），所以可设二次函数的解析式为22y=a(x-1)+2，又∵图象经过点（3，-6），∴-6=a(3-1)+2，得a=-2，故所求二次函数的22解析式为：y=-2(x-1)+2，即：y=-2x+4x基准：例如图,存有一座抛物线形拱桥,在正常水位时水面ab•的阔为20m,如果水位下降3m时,水面cd的阔就是10m.(1)创建如图所示的直角坐标系则,谋此抛物线的解析式;(2)现有一辆载有救援物资的货车从甲地启程须要经过此桥驶往乙地,未知甲地距此桥280km(桥短忽略不计).货车正以每小时40km的速度驶往乙地,当高速行驶1小时时,•忽然收到紧急通知:前方连跌暴雨,导致水位以每小时0.25m的速度持续下跌(货车收到通告时水位在cd处为,当水位达至桥拱最高点o时,严禁车辆通行),何况:如果货车按原来速度高速行驶,若想全然通过此桥?若能够,恳请表明理由;若无法,•必须并使货车安全通过此桥,速度应当少于每小时多少千米?22解：因为抛物线的顶点为（0,0），所以可设抛物线解析式为y=a（x-0）+0，即y=ax，桥拱最高点o至水面cd的距离为hm,则d(5,-h),b(10,-h-3).∴⎨⎨25a=-h,Champsaur⎨100a=-h-3.1⎨a=-,12⎨抛物线的解析式为y=-x.25⎨25⎨h=1.⎨(2)水位由cd处涨到点o的时间为:1÷0.25=4(小时).货车按原来速度行驶的路程为:40×1+40×4=200①抛物线顶点p(－1，－8)，且过点a(0，－6)，谋这个二次函数的解析式②二次函数的图象的顶点在原点，且过点(2，4)，求这个二次函数的关系式③未知抛物线的顶点座标为(－1，－3)，与y轴交点为(0，－5)，谋二次函数的关系式④已知一个二次函数的图象过点(0，1)，它的顶点坐标是(8，9)，求这个二次函数的关系式⑤未知二次函数的图象经过原点，且当x=3时，存有最小值-4，谋这个二次函数的解析式⑥已知抛物线顶点（1，16），且抛物线与x轴的两交点间的距离为8⑦未知二次函数当x＝－3时，存有最大值－1，且当x＝0时，y＝－3，谋二次函数的关系式。
用顶点式求二次函数解析式
一、 用顶点式求二次函数解析式。
例题：已知抛物线的顶点为（1,3）经过点（3,0） 解：设抛物线的解析式为k h x a y +-=2)(把顶点（1,3）代入得：3)1(2+-=x a y把点（3,0）代入得：03)13(2=+-a 解得：43-=a ∴抛物线解析式为：3)1(432+--=x y练习1：已知抛物线的顶点为（-1,4）经过点（2，-5）2．已知抛物线y ＝ax 2经过点A (1，1)．(1)求这个函数的解析式；3．已知二次函数的图象顶点坐标为(－2，3)，且过点(1，0)，求此二次函数的解析式．4．抛物线y ＝ax 2＋bx ＋c 的顶点坐标为(2，4)，且过原点，求抛物线的解析式．5.已知二次函数为x ＝4时有最小值 -3且它的图象与x 轴交点的横坐标为1，求此二次函数解析式．6．抛物线y ＝ax 2＋bx ＋c 经过(0，0)，(12，0)两点，其顶点的纵坐标是3，求这个抛物线的解析式．7．把抛物线y ＝(x －1)2沿y 轴向上或向下平移后所得抛物线经过点Q (3，0)，求平移后的抛物线的解析式．8．已知二次函数m x x y +-=62的最小值为1，求m 的值．9．已知抛物线经过A （0，3），B （4,6）两点，对称轴为ｘ＝53 ，求这条抛物线的解析式； 10． 若一抛物线与x 轴两个交点间的距离为8，且顶点坐标为（1, 5），则它们的解析式为 。
二、 用三个点求二次函数解析式 例题：二次函数的图象经过（-1,10），（1,4），（2,7） 解：设二次函数的解析式为：c bx ax y ++=2 把点（-1,10），（1,4），（2,7）代入得： ⎪⎩⎪⎨⎧=++=++=+-724410c b a c b a c b a 解得：⎪⎩⎪⎨⎧=-==532c b a ∴抛物线解析式为：5322+-=x x y 练习11：二次函数的图象经过（0,0），（-1,-1），（1,9） 12.已知二次函数y=ax 2＋bx ＋c ，当 x=0时，y=0；x=1时，y=2；x=-1时，y=1．求a 、b 、c ，并写出函数解析式。
怎样求二次函数的解析式
怎样求二次函数的解析式-CAL-FENGHAI.-(YICAI)-Company One1怎样求二次函数的解析式二次函数是中考数学的一个重要考点也是一个难点，往往会综合其他函数和几何而作为压轴题，有一定的难度。
这些问题又常常以求二次函数的解析式作为解题的起点，因此学会求二次函数的解析式成为解决此类问题的第一关。
一、三点型若已知二次函数图像上任意三点的坐标，则可以用一般式y = ax 2 +bx +c . 解题策略：通过各种途径搜索转化题目的各个信息找到三个点的坐标，然后用待定系数法求解析式，此类问题是中考中最常见的一类。
例1 已知二次函数图像经过（1，0）、（-1，-4）和（0，-3）三点，求这个二次函数解析式.解：设二次函数的解析式为y =ax 2+bx +c ,由已知可得043a b c a b c c ++=⎧⎪-+=-⎨⎪=-⎩ ，解之得1,2,3.a b c =⎧⎪=⎨⎪=-⎩故所求二次函数解析式为y=x 2+2x-3.例2 （2010四川宜宾）将直角边长为6的等腰Rt △AOC 放在如图所示的平面直角坐标系中，点O 为坐标原点，点C 、A 分别在x 、y 轴的正半轴上，一条抛物线经过点A 、C 及点B (–3，0)． 求该抛物线的解析式； 解：由题意知：A （0，6），C （6，0）， 设经过点A 、B 、C 的抛物线解析式为y =ax 2+bx +c ,则：⎪⎩⎪⎨⎧++=+-==c b a c b a c63603906解得：⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧==-=6131c b a∴该抛物线的解析式为6312++-=x x y例3 （2010 山东省德州）已知二次函数c bx ax y ++=2A (3，0)，B (2，-3)，C (0，-3)． 求此函数的解析式及图象的对称轴； 解：∵二次函数c bx ax y ++=2的图象经过点C (0，-3)，∴c =-3．x将点A (3，0)，B (2，-3)代入c bx ax y ++=2得⎩⎨⎧-+=--+=.32433390b a b a ，解得：a =1，b =-2． ∴322--=x x y ．配方得：412--=）（x y ，所以对称轴为=1． 例4 （2010 山东莱芜）在平面直角坐标系中，已知抛物线c bx ax y ++=2交x 轴于)0,6(),0,2(B A 两点，交y 轴于点)32,0(C .求此抛物线的解析式；解：∵抛物线c bx ax y ++=2经过点)0,2(A ，)0,6(B ，)320(，C ． ∴⎪⎩⎪⎨⎧==++=++320636024c c b a c b a ， 解得343323a b c ⎧=⎪⎪⎪=-⎨⎪⎪=⎪⎩. ∴抛物线的解析式为：32334632+-=x x y . 例5．（2010湖北鄂州）如图，在直角坐标系中，A （-1，0），B （0，2），一动点P 沿过B 点且垂直于AB 的射线BM 运动，P 点的运动速度为每秒1个单位长度，射线BM 与x 轴交与点C ． （1）求点C 的坐标．（2）求过点A 、B 、C 三点的抛物线的解析式．解：（1）点C 的坐标是（4，0）；（2）设过点A 、B 、C 三点的抛物线的解析式为y =ax 2+bx +c （a ≠0），将点A 、B 、C 三点的坐标代入得：xyOA BCP Q MN020164a b c c a b c =-+⎧⎪=⎨⎪=++⎩解得12322a b c ⎧=-⎪⎪⎪=⎨⎪=⎪⎪⎩，∴抛物线的解析式是：y = 12-x 2+32x +2． 二、顶点型若直接或间接已知二次函数图像的顶点坐标，则可以用顶点式y =a (x-h )2+k . 解题策略：想方设法找到顶点的坐标，然后用待定系数法求解析式，此法比较简单。
求二次函数解析式
回头看了一眼，朝独自跪在那里的人最后投去悲哀的一瞥。因为挨了四鞭，那人的背还在火辣辣的痛，他的膝盖也跪疼了。不过，这个老人会带着尊严死去，或至少是抱着这样的想法死去。 （节选自《偷书贼》第七章P265～267，略有删改） 致中国读者的信 亲爱的中国读者： ? 谢谢您阅读了这
本《偷书贼》。 ? 我小时候长听故事。我的爸爸妈妈经常在厨房里，把他们小时候的故事告诉我的哥哥、两个姐姐和我，我听了非常着迷，坐在椅子上动都不动。他们提到整个城市被大火笼罩，炸弹掉在他们家附近，还有童年时期建立的坚强友谊，连战火、时间都无法摧毁的坚强友谊。 ? 其中有
个故事，一直留在我心里…… ? 我妈妈小时候住在慕尼黑近郊。她说她六岁的时候，有一天听见大街上传来一阵嘈杂的声音。她跑到外面一看，发现有一群犹太人正被押解到附近的达豪集中营。队伍的最后是一位精疲力竭的老人，他已经快跟不上队伍的脚步了。有个男孩子看到老人的惨状后，飞
奔回家拿了一片面包给这位老人。老人感激地跪下来亲吻这位少年的脚踝。结果有个士兵发现了，走过来抢走了老人手上的面包，并用力鞭打了老人。随后士兵转身追赶那个男孩，把男孩也打了一顿。在同一时刻里，伟大的人性尊贵与残酷的人类暴力并存。我认为这恰好可以阐释人性的本质。 ?
听了这些故事之后，我一直想把它们写成一本小书。结果就是《偷书贼》的诞生。而《偷书贼》这本书对我的意义，远远超过我当初的想象。对我来讲，《偷书贼》就是我生命的全部。不管别人怎么看这本书，不管评价是好是坏，我内心明白，这是我最好的一次创作。身为作者，当然会为自己“最
好的一次创作”深感满意。再次感谢您，并致以诚挚的祝福！? ?马克斯/苏萨克 2007年7月27日 ? 【背景概览】 5．《致中国读者的信》放在《偷书贼》（孙张静/译，代谢联合出版公司2014年版）正文之前。你认为作者写这封信有哪些用意？（3分） 答： 6．阅读《致中国读者的信》，从下列选
求二次函数解析式几种常用方法
求二次函数的解析式的几种方法山东省沂水县高桥镇初级中学 王瑞辉二次函数解析式的求法是二次函数知识的重点，也是中考必考内容。
现在举例，说明求二次函数解析式的常用方法，希望对同学们学习有所帮助。
一、二次函数常见的三种表达式：（1）一般式：y ax bx c a =++≠20()；（2）交点式：y a x x x x =--()()12，其中点(,)()x x 1200，，为该二次函数与x 轴的交点；（3）顶点式：()2()0y a x h k a =-+≠，其中点(),h k 为该二次函数的顶点。
二、利用待定系数法求二次函数关系式(1)、已知二次函数图象上任意三个点的坐标，可设一般式求二次函数的关系式。
例1、已知抛物线2y ax bx c =++，经过点（2，1）、（-1，-8）、（0，-3）．求这个抛物线的解析式． 解：根据题意得421,8,3,a b c a b c c ++=⎧⎪-+=-⎨⎪=-⎩ 解之得1,4,3,a b c =-⎧⎪=⎨⎪=-⎩所以抛物线为243;y x x =-+-说明：用待定系数法求系数a b c 、、需要有三个独立条件，若给出的条件是任意三个点，可设解析式为2(0)y ax bx c a =++≠，然后将三个点的坐标分别代入，组成一次方程组用加减消元法来求解．(2)、已知抛物线与x 轴的两个交点坐标和图象上另一个点坐标，可设交点式求二次函数的关系式。
若知道二次函数与x 轴有两个交点()()1200x x ，，，，则相当于方程20ax bx c ++=有两个不相等的实数根12x x ，，从而212()()ax bx c a x x x x ++=--，故二次函数可以表示为12()()(0)y a x x x x a =--≠．例2、已知一个二次函数的图象经过点A （－1，0），B （3，0），C （0，－3）三点．求此二次函数的解析式．解：根据题设，设此二次函数的解析式为(1)(3)y a x x =+-．又∵该二次函数又过点（0，－3）， ∴(01)(03)3a +-=-． 解得1a =．因此，所求的二次函数解析式为(1)(3)y x x =+-，即223y x x =--．说明：在把函数与x 轴的两个交点坐标代入12()()(0)y a x x x x a =--≠求值时，要注意正确处理两个括号内的符号．(3)、已知抛物线顶点和另外一个点坐标时，设顶点式y =a (x -h )2+k (a ≠0)例3、对称轴与y 轴平行的抛物线顶点是(-2，-1)，抛物线又过(1，0)，求此抛物线的函数解析式。
09 专题 运用顶点坐标与对称轴求二次函数解析式
专题 运用顶点坐标与对称轴求二次函数解析式
【方法归纳】运用对称轴，结合顶点式求解析式
一、已知对称轴或顶点坐标
1．如图，抛物线与x 轴交于A 、B 两点，与y 轴交于C 点，点A 的坐标为(2，0)，点C 的坐标为(0，3)，它的对称轴是直线x ＝2
1 ,求抛物线的解析式．
2．已知抛物线y ＝a (x ＋2)2－1交x 轴于A 、B 两点(A 点在B 点的左边)且AB ＝2 ，求抛物线的解析式．
3．在平面直角坐标系中，顶点为(3，4)的抛物线交y 轴于A 点，交x 轴于B 、C 两点(点B 在点C 的左侧)，已知A 点坐标为(0，－5)，求此抛物线的解析式．
4．经过原点的抛物线的解析式可以是y ＝ax 2＋bx (a ≠0)．
(1)对于这样的抛物线，当顶点坐标为(1，1)时，a ＝________;
(2)当顶点坐标为(m ,n ),m ≠0时，a 与m 之间的关系式是________．
二、隐藏对称轴或顶点坐标
5．已知二次函数的图像与x 轴交于A (－2，0)，B (3，0)两点，且函数有最大值为2，求二次函数的解析式
6．二次函数y ＝ax 2＋4ax ＋c 的最大值为4，且图像过点(－3，0)，求二次函数的解析式．。
微课小专题17求二次函数解析式(一)运用顶点(勤学早)
[方法技巧]由题意分析得到抛物线的顶点坐标,运用顶点式求二次函数的解析式.
金例讲析
[例]抛物线y=ax2+bx经过点A(4,0),顶点M在直线y=-2x+8上,求抛物线的解析式
实战演练,
1.已知当x=-2时,二次函数y=ax2+bx+c取得最大值为4,且图象经过点(-3,0),求此二次函数的解析式.
实战演练。
1.已知二次函数y=ax2-4ax+3a,若当1≤x≤4时,y的最大值是4,则a的值为
2.二次函数y=-(x-1)2+5,当m≤x≤n且mn<0时,y的最小值为2m,最大值为2n,则m+n的值为_
微课小专题23数形结合(三)分析一元二次方程的根
[方法技巧]抛物线与x轴(或直线)交点的横坐标为对应一元二次方程的两根,要善于利用二次函数的图象解决对应--元二次方程的根的问题.
金例讲析，
[例]已知抛物线y=a(x-h)2+k经过点(-3,m),(1,m),(2,-4)三点,则关于x的方程a(x- h+2)2+k+4=0的解为
实战演练。
1.将抛物线y=- (x+1)2-2沿直线y=x向右上平移2 个单位长度,则得到的抛物线的解析式为
2.将抛物线y=(x- 1)2-4沿直线x= 翻折.则翻折后的抛物线的解析式为.
微课小专题20二次函数性质之区间增减性
[方法技巧]二次函数的增减性与其图象的开口方向,对称轴以及区间直接相关,注意结合图象分析对称轴与区间的位置关系.
微课小专题21数形结合(一)二次函数y值大小比较
[方法技巧]通常结合抛物线的开口方向,利用点到对称轴的距离大小来得到函数值的大小关系.金例讲析
求二次函数解析式的三种方法
求二次函数解析式的三种基本方法四川 倪先德二次函数是初中数学的一个重要内容，也是高中数学的一个重要基础。
熟练地求出二次函数的解析式是解决二次函数问题的重要保证。
二次函数的解析式有三种基本形式：1、一般式：y=ax 2+bx+c (a ≠0)。
2、顶点式：y=a(x －h)2+k (a ≠0)，其中点(h,k)为顶点，对称轴为x=h 。
3、交点式：y=a(x －x 1)(x －x 2) (a ≠0)，其中x 1,x 2是抛物线与x 轴的交点的横坐标。
求二次函数的解析式一般用待定系数法，但要根据不同条件，设出恰当的解析式：1、若给出抛物线上任意三点，通常可设一般式。
2、若给出抛物线的顶点坐标或对称轴或最值，通常可设顶点式。
3、若给出抛物线与x 轴的交点或对称轴或与x 轴的交点距离，通常可设交点式。
探究问题，典例指津：例1、已知二次函数的图象经过点)4,0(),5,1(---和)1,1(．求这个二次函数的解析式． 分析：由于题目给出的是抛物线上任意三点，可设一般式y=ax 2+bx+c (a ≠0)。
解：设这个二次函数的解析式为y=ax 2+bx+c (a ≠0)依题意得：⎪⎩⎪⎨⎧=++-=-=+-145c b a c c b a 解这个方程组得：⎪⎩⎪⎨⎧-===432c b a∴这个二次函数的解析式为y=2x 2+3x －4。
例2、已知抛物线c bx ax y ++=2的顶点坐标为)1,4(-，与y 轴交于点)3,0(，求这条抛物线的解析式。
分析：此题给出抛物线c bx ax y ++=2的顶点坐标为)1,4(-，最好抛开题目给出的c bx ax y ++=2，重新设顶点式y=a(x －h)2+k (a ≠0)，其中点(h,k)为顶点。
解：依题意，设这个二次函数的解析式为y=a(x －4)2－1 (a ≠0)又抛物线与y 轴交于点)3,0(。
∴a(0－4)2－1=3 ∴a=41 ∴这个二次函数的解析式为y=41(x －4)2－1，即y=41x 2－2x+3。
22.1.4.4求二次函数解析式顶点式与交点式学案人教版九年级数学上册
初三数学二次函数c bx ax y ++=2的图象与性质——求解析式（2） 班级： 姓名：一、课前3分钟复习用配方法解方程： 010422=--x x知识点一：选用顶点式()k h x a y +-=2求二次函数解析式 已知条件选用二次函数的解析式 已知抛物线的顶点及另一点()k h x a y +-=2例1： 1．已知抛物线的顶点为（﹣1，2）且过（0，﹣1），求其解析式．知识点二：选用交点式()()21x x x x a y --=求二次函数解析式已知条件选用二次函数的解析式 已知抛物线与x 轴的两个交点及另一点()()21x x x x a y --=例2：2．已知抛物线过点（﹣3，0）、（5，0），（1，6），求其解析式．三．课堂分层练习A 层：1．已知抛物线的顶点坐标是（3，﹣1），且经过点（4，1），求二次函数的表达式．2．抛物线的对称轴为直线x ＝3，y 的最大值为﹣5，且与y ＝x 2的图象开口大小相同．则这条抛物线解析式为（ ）A ．y ＝﹣（x +3）2+5B ．y ＝﹣（x ﹣3）2﹣5C ．y ＝（x +3）2+5D ．y ＝（x ﹣3）2﹣5 3．如图，抛物线经过A ．B 、C 三点，求它的解析式和顶点P 的坐标．B 层：4．已知一个二次函数，当x ＝1时，函数有最大值﹣6，且图象过点（2，﹣8）．（1）求此二次函数的解析式；（2）若抛物线l 的开口大小和方向与（1）中抛物线相同，且与x 轴的交点为（﹣1，0），（5，0）．求l 的解析式及顶点坐标．C 层：5．如图，抛物线y ＝ax 2+bx +c 经过点A （﹣1，0），点B （3，0），且OB ＝OC ．（1）求抛物线的表达式；（2）如图，点D 是抛物线的顶点，求△BCD 的面积． 分层作业：A 层：1．已知抛物线经过点A （﹣1，0），B （5，0），C （0，5），求该抛物线的函数关系式．2．抛物线的顶点坐标为（2，﹣1），且过（3，0），求出这个二次函数的解析式．3．已知二次函数y ＝ax 2+bx +c 的图象如图所示．（1）对称轴方程为 ；（2）当x 时，y 随x 的增大而减小；当x 时，y 随x 的增大而增大；（3）求函数解析式．（4）当52<<-x 时，y 的取值范围是B 层：4．已知二次函数的图象经过点A （3，0）．B （﹣1，0）．且顶点M 的纵坐标是﹣4．（1）求函数解析式；（2）在下方表格中画出它的图象；（3）点P 在图象上，若△P AB 的面积是8，求P 点坐标．C 层5．已知二次函数y ＝ax 2+bx +c （a ≠0）的图象与x 轴交于点A （﹣1，0），与x 轴交于另一点B ，与y 轴交于点C （0，3），对称轴是直线x ＝1，顶点是点M ．（1）求二次函数的解析式；（2）求△MBC 的面积；（3）过原点的直线l 平分△MBC 面积，求l 的解析式．课堂小测1．已知抛物线y＝ax2+bx+c与x轴的交点坐标为（﹣1，0），（3，0），y的最大值为12，求该解析式．。
用顶点式求二次函数解析式
1/1 一、 用顶点式求二次函数解析式。
（一）例题：已知抛物线的顶点为（1,3）经过点（3,0）解：设抛物线的解析式为k h x a y +-=2)(把顶点（1,3）代入得：3)1(2+-=x a y把点（3,0）代入得：03)13(2=+-a 解得：43-=a ∴抛物线解析式为：3)1(432+--=x y练习1：已知抛物线的顶点为（-1,4）经过点（2，-5）2．已知抛物线y ＝ax 2经过点A (1，1)．(1)求这个函数的解析式；3．已知二次函数的图象顶点坐标为(－2，3)，且过点(1，0)，求此二次函数的解析式．4．抛物线y ＝ax 2＋bx ＋c 的顶点坐标为(2，4)，且过原点，求抛物线的解析式．5.已知二次函数为x ＝4时有最小值 -3且它的图象与x 轴交点的横坐标为1，求此二次函数解析式．6．抛物线y ＝ax 2＋bx ＋c 经过(0，0)，(12，0)两点，其顶点的纵坐标是3，求这个抛物线的解析式．7．把抛物线y ＝(x －1)2沿y 轴向上或向下平移后所得抛物线经过点Q (3，0)，求平移后的抛物线的解析式．8．已知二次函数m x x y +-=62的最小值为1，求m 的值．9．已知抛物线经过A （0，3），B （4,6）两点，对称轴为ｘ＝53 ，求这条抛物线的解析式；10． 若一抛物线与x 轴两个交点间的距离为8，且顶点坐标为（1,5），则它们的解析式为。
二、 用三个点求二次函数解析式例题：二次函数的图象经过（-1,10），（1,4），（2,7） 解：设二次函数的解析式为：c bx ax y ++=2把点（-1,10），（1,4），（2,7）代入得： ⎪⎩⎪⎨⎧=++=++=+-724410c b a c b a c b a 解得：⎪⎩⎪⎨⎧=-==532c b a ∴抛物线解析式为：5322+-=x x y 练习11：二次函数的图象经过（0,0），（-1,-1），（1,9） 12.已知二次函数y=ax 2＋bx ＋c ，当 x=0时，y=0；x=1时，y=2；x=-1时，y=1．求a 、b 、c ，并写出函数解析式。
北师大数学九年级下册第二章-确定二次函数的表达式(含解析)
第02讲_确定二次函数的表达式知识图谱二次函数解析式的求法知识精讲 一般式 ()20y ax bx c a =++≠已知任意3点坐标，可用一般式求解二次函数解析式待定系数法已知抛物线2y ax bx c =++过()1,1-、()2,4-和()0,4三点，求a b c、、的值解：把点()1,1-，()2,4-和()0,4代入抛物线解析式可得14244a b c a b c c ++=-⎧⎪++=-⎨⎪=⎩，解得164a b c =⎧⎪=-⎨⎪=⎩，顶点式 ()2y a x h k =-+()0a ≠已知顶点坐标或对称轴时，可用顶点式求解二次函数解析式顶点式求解析式 一抛物线和y =﹣2x 2的形状和开口方向完全相同，且顶点坐标是（﹣2，1），求其解析式解：∵两条抛物线形状与开口方向相同，∴a =﹣2，又∵顶点坐标是（﹣2，1），∴y =﹣2（x +2）2+1易错点：顶点式中符号容易代错，例如顶点为()1,3-，错把解析式设为()213y a x =-+三．二次函数的两根式两根式 1．已知抛物线与x 轴的两个交点坐标，可用两根式求解析式； 2. 已知抛物线经过两点，且这两点的纵坐标相等时，可在两根式的基础上求解析式两根式求解析式 已知抛物线y ＝ax 2＋bx ＋c 过点A （－1，1），B （3，1），3(2,)2C - 求解析式解：设抛物线的解析式为y ＝a （x ＋1）（x －3）+1把3(2,)2c -代入解析式，求出a 即可 易错点：（1）任何二次函数的解析式都可以化成一般式或顶点式，但并非所有的二次函数都可以写成交点式，只有抛物线与x 轴有交点，即240b ac -≥时，抛物线的解析式才可以用交点式表示（2）二次函数解析式的这三种形式可以互化三点剖析一．考点：二次函数解析式的求法．二．重难点：任何二次函数的解析式都可以化成一般式或顶点式，但并非所有的二次函数都可以写成交点式，只有抛物线与x 轴有交点，即240b ac -≥时，抛物线的解析式才可以用交点式表示．二次函数解析式的这三种形式可以互化．三．易错点：顶点式中符号容易代错，例如顶点为()1,3-，错把解析式设为()213y a x =-+．待定系数法例题1、 已知抛物线2y ax bx c =++过()1,1-、()2,4-和()0,4三点，那么a b c 、、的值分别是（ ）A.164a b c =-=-=，，B.164a b c ==-=-，，C.164a b c =-=-=-，，D.164a b c ==-=，，【答案】 D【解析】 把点()1,1-，()2,4-和()0,4代入抛物线解析式可得14244a b c a b c c ++=-⎧⎪++=-⎨⎪=⎩，解得164a b c =⎧⎪=-⎨⎪=⎩，故答案为D 选项．例题2、 已知二次函数的图象经过（0，0）（－1，－1），（1，9）三点．（1）求这个函数的解析式；（2）求这个函数图象的顶点坐标．【答案】 （1）y ＝4x 2＋5x（2）（58-，2516-）． 【解析】 （1）设所求二次函数的解析式为y ＝ax 2＋bx ＋c （a≠0），根据题意，得019c a b c a b c =⎧⎪-+=-⎨⎪++=⎩，解得450a b c =⎧⎪=⎨⎪=⎩，∴所求二次函数的解析式为y ＝4x 2＋5x ．（2）由22525454()816y x x x x =+=+-， ∴顶点坐标为（58-，2516-）． 例题3、 已知抛物线2y x bx c =-++经过点A （3，0），B （－1，0）．（1）求抛物线的解析式；（2）求抛物线的对称轴．【答案】 （1）y=-x 2+2x+3（2）x=1【解析】 暂无解析随练1、 已知二次函数的图像经过点()1,5--，()0,4-和()1,1，则这个二次函数的解析式为（ ） A.2634y x x =-++ B.2234y x x =-+- C.224y x x =+- D.2234y x x =+-【答案】 D【解析】 由待定系数法可求得2234y x x =+-．随练2、 已知一个二次函数过()0,0，()1,11-，()1,9三点，求二次函数的解析式．【答案】 210y x x =-【解析】 设二次函数的解析式为2y ax bx c =++（0a ≠），因为抛物线经过点()0,0，()1,11-，()1,9，所以0119c a b c a b c =⎧⎪-+=⎨⎪++=⎩，解得1010a b c =⎧⎪=-⎨⎪=⎩，所以二次函数解析式为210y x x =-．顶点式例题1、 函数21212y x x =++写成y ＝a （x －h ）2＋k 的形式是（ ） A.21(1)22y x =-+ B.211(1)22y x =-+ C.21(1)32y x =-- D.21(2)12y x =+- 【答案】 D【解析】 22211121(44)21(2)1222y x x x x x =++=++-+=+-． 例题2、 二次函数的顶点为（﹣2，1），且过点（2，7），则二次函数的解析式为_____________．【答案】 y=23(x 2)18++ 【解析】 设抛物线解析式为y=a （x+2）2+1，把（2，7）代入得a•（2+2）2+1=7，解得a=38， 所以抛物线解析式为y=38（x+2）2+1。
求二次函数解析式的四种方法详解
求二次函数解析式的四种基本方法二次函数是初中数学的一个重要内容，也是高中数学的一个重要基础。
熟练地求出二次函数的解析式是解决二次函数问题的重要保证。
二次函数的解析式有三种基本形式:1、一般式:y=ax 2+bx ＋ｃ (ａ≠０)。
２、顶点式：y=a(x －h)2+k (a ≠０），其中点(h,k)为顶点,对称轴为x=ｈ。
３、交点式：y=a(x-x 1)（x －x 2） (a ≠0）,其中x 1，x 2是抛物线与x 轴的交点的横坐标。
4．对称点式： y=a(x-ｘ1)（x －x 2)＋ｍ （a ≠0)求二次函数的解析式一般用待定系数法，但要根据不同条件，设出恰当的解析式:１、若给出抛物线上任意三点，通常可设一般式。
2、若给出抛物线的顶点坐标或对称轴或最值,通常可设顶点式。
３、若给出抛物线与x 轴的交点或对称轴或与ｘ轴的交点距离，通常可设交点式。
4.若已知二次函数图象上的两个对称点(x 1、ｍ)(x 2、m),则设成: y=a （x-x 1)(x-x 2)+ｍ (a ≠0)，再将另一个坐标代入式子中,求出ａ的值，再化成一般形式即可。
探究问题，典例指津:例1、已知二次函数的图象经过点)4,0(),5,1(---和)1,1(.求这个二次函数的解析式. 分析:由于题目给出的是抛物线上任意三点,可设一般式y=ax 2+ｂｘ＋c (a ≠０)。
解：设这个二次函数的解析式为y=ax 2＋bx ＋c (a ≠0） 依题意得：⎪⎩⎪⎨⎧=++-=-=+-145c b a c c b a 解这个方程组得:⎪⎩⎪⎨⎧-===432c b a∴这个二次函数的解析式为y=2ｘ2+3ｘ-４。
例２、已知抛物线c bx ax y ++=2的顶点坐标为)1,4(-,与y 轴交于点)3,0(，求这条抛物线的解析式。
分析：此题给出抛物线c bx ax y ++=2的顶点坐标为)1,4(-,最好抛开题目给出的c bx ax y ++=2，重新设顶点式ｙ＝a(x-h)2+k （a ≠0),其中点（ｈ，ｋ）为顶点。
二次函数浙教版
一、二次函数的解析式1. ^'般式：y = ax 2 + bx + c (a 丰 0)已知图象上三点(x, y )、(x , y )、(x , y )，可用一般式求解二次函数解析式. 11 22 332.顶点式：y = a(x—h)2 + k(a 中 0)已知抛物线的顶点或对称轴，可用顶点式求解二次函数解析式.3.两点式：y = a (x—x )(x—x )(a 丰 0)12已知抛物线与x轴的两个交点坐标，可用交点式求解二次函数解析式.4.对称式：y = a(x—x )(x—x ) + k (a 丰 0)12已知抛物线经过点(x , k)、(x ,k)时，可以用对称式来求二次函数的解析式. 12注意：(1)二次函数的解析式求解，最后结果一般写成一般式或顶点式，不写成交点式；(2)任何二次函数的解析式都可以化成一般式或顶点式，但并非所有的二次函数都可以写成交点式，只有抛物线与x轴有交点，即b2 — 4ac三0时，抛物线的解析式才可以用交点式表示.二次函数解析式的这三种形式可以互化.二、二次函数的几何变换1.二次函数图象的平移平移规律：在原有函数的基础上“左加右减”，“上加下减”.2.二次函数图象的对称一般有五种情况，可以用一般式或顶点式表达.(1)关于x轴对称y = ax2 + bx + c关于x轴对称后，得到的解析式是y = —ax2 —bx —c .y = a(x—h)2 + k关于x轴对称后，得到的解析式是y = —a(x—h)2 —k .(2)关于y轴对称y = ax2 + bx + c关于y轴对称后，得到的解析式是y = ax2 —bx + c .y = a(x—h)2 + k关于y轴对称后，得到的解析式是y = a(x + h)2 + k .(3)关于原点对称y=ax 2 + bx + c关于原点对称后，得到的解析式是y=-ax 2 + bx - c .y=a (x - h )2 + k关于原点对称后，得到的解析式是y=-a (x + h )2 —k .(4)关于顶点对称b2y=ax2 + bx + c关于顶点对称后，得到的解析式是y=—ax2 —bx + c - .2ay=a(x —h)2 + k关于顶点对称后，得到的解析式是y=—a(x—h)2 + k(5)关于点(m, n)对称y=a(x—h)2 + k关于点(m, n)对称后，得到的解析式是y=—a(x + h — 2m)2 + 2n —k 3.二次函数图象的翻折函数y =1 f (x) I的图象可以由函数y = f (x)通过关于x轴的翻折变换得到.具体规则为函数y = f (x)图象在x轴上方的部分不变，在x轴下方的部分翻折到x轴上方4、.二次函数与一元二次方程的关系(二次函数与x轴交点情况)：一元二次方程ax2+ bx + c = 0是二次函数y = ax2+ bx + c当函数值y = 0时的特殊情况. 图象与x轴的交点个数：①当' =b2 —4ac >0时，图象与x轴交于两点A(x J0)，B^x2，°) (x i* x2),其中的x i，x 2是一元二次方程ax 2 + bx + c= °(a丰°)的两根.这两点间的距离AB = |x - x | = b2^4a^2 1a|.三、二次函数的面积最值11.铅垂法：S = -x水平宽x铅垂高. 2分三步走：(1)过动点作铅垂线，交另外两个定点连成的直线于一点； (2)设出点坐标，表示线段长；(3)利用二次函数配方求最值.2.切线法：直线与抛物线相切，即联立解析式使△ ° .例2、(1)若二次函数y = ax2 + bx + a2 -2 (a, b为常数)图象如图2-1,则a值(2)如图2-2,抛物线①②③④对应的解析式为y = a x2, y = a x2 , y = a x2, y = a x2 ,1234将a、a、a、a从小到大排列为^1234巩固2、(1)已知抛物线经过点4(-2, 7) , B(6,7), C(3,—8), D(m,- 8),则m =.(2)已知抛物线y = x2+ 2x +1 经过点A(m, n), B(m + 6, n)，则n =.(3)已知点A (x,5) , B (x ,5)是函数y = x 2 - mx + 3上两点，则当x = x + x和x = 1 2 12时的函数值相等．巩固5、(2)已知函数y = x2-1x I-12的图象与x轴交于相异两点A、B,另一抛物线y = ax2 + bx + c过A、B，顶点为尸，且△ APB是等腰直角三角形，求a、b、c.例8、(1)已知二次函数y = ax2+ bx + c的图象如图2-1所示，有下列结论：①b2 -4ac〉0 ；② abc > 0 ; @ 2a + b > 0 ; ® 9a + 3b + c < 0 ; @ 8a + c > 0 .正确的是(2)如图2-2,抛物线y=ax2 + bx + c的图象交x轴于A(x , 0)、B(2, 0),交歹轴正半轴于C, 1且OA = OC .下列结论：①a-b- > 0 ；②ac = b -1 ;③a =--;④2b + c = 2，其中结论正c2确的是_______ ．图2-1图2-2例9、(1)已知二次函数y =ax 2 + bx + c + 2的图象如图4-1所示，顶点为(-1,0),下列结论: ①abc <0 ； 0 b 2-4 ac = 0 ； © a >2 ； ® 4 a -2 b + c >0 .其中正确结论的个数是(2)二次函数y = +施+ c 的图象如图4-2所示，给出下列结论：①2a + ~>0；②若b-1 < m < n < 1 ,贝U m + n <——；③31 a I +1 c 1< 21 b I ；④b > a > c ,其中正确的结论有 a(2)如图1-2,二次函数y = ax 2 + bx + c 的图象经过点(-1,2)和(1,0),给出五个结论：① abc < 0 ;® 2 a + b > 0 ;@ a + c = 1;④ a > 1 ;@ 9 a + 6 b + 4 c > 0 .其中结论正确的是.(3)二次函数y = ax 2 + bx + c 的图象如图1-3,小丹观察得出了下面五条信息：①c < 0 :②巩固1：巩固6、(1)如图2-1,二次函数y = ax 2 + bx + c 的图象经过点(-例题1c不经过第 象限.1,2),下列结论:①4a - 2b + c < 0 ；②2a -b < 0 ；③b <-2 ；④(a + c)2 < b2 ,其中正确的结论有.(填序号)(2)如图2-2,已知二次函数y = ax2 + bx + c的图象经过点(1,2),下列结论：①2a + b < 0 ；②abc < 0=③a + c <-1 ；© b2 + 8a < 4ac，其中正确结论的有.(填序号)图3-1 图3-2 图3-3(3)(成外半期)二次函数y =依2+ bx + c (a*0)的图象如图2-3所示，有下列5个结论：① abc < 0 :② b < a + c ；③ 4 a + 2b + c > 0 ； @ b 2 - 4 ac > 0 ； @ a + b > m （am + b ）, （ m 丰 1 的实数），其中正确的结论的有.（填序号）图2-1 图2-2 图2-3巩固2：巩固7、(1)已知二次函数y =ax 2 + bx + c (a w 0)的图像如图3-1所示，它与x 轴两1个交点分别为(-1,0)，G ，0).对于下列命题：①b - 2 a = 0 ；②abc < 0 ；③—a —1 b + c < 0 ；2④8a + c > 0 .其中正确的有.(填序号)一.一 ............................. 一 _____ 一、，」1 1 ______ (2)如图3-2,抛物线y =ax 2 + bx + c (a w 0)的对称轴是x = -1,且过点—,0，有下列结 12 ) 论：① abc > 0 ; ® a - 2b + 4c = 0 ; @ 25a -10b + 4c = 0 ; ® 3b + 2c > 0 .其中正确的结论有 .(填序号)(3)如图3-3,已知二次函数y =ax 2 + bx + c (a w 0)的图象与x 轴交于点A (-1,0),对称轴为 直线x = 1,与歹轴的交点B 在(0, 2)和(0,3)之间(包括这两点)，下列结论：①当x > 3时，2y < 0 ；②3a + b < 0 ；③-1 < a < ——；④4ac -b 2 > 8a ；其中正确的结论是 .(填 3 序号)例11、(3)如果将抛物线y = -2%2 + 8向右平移a 个单位后，恰好过点(3,6),那么a 值为例12、已知二次函数y二%2 -2%—1，求：(1)与此二次函数关于x轴对称的二次函数解析式为；(2)与此二次函数关于歹轴对称的二次函数解析式为；(3)与此二次函数关于原点对称的二次函数解析式为 ___________________ ．例13、已知二次函数y=a%2 +4a% + 4a -1的图象是C . 1(1)求C关于点R(1,0)中心对称的图象C的解析式；12(2)设曲线C、C与歹轴的交点分别为A, B，当I AB1= 18时，求a的值. 12巩固8、(1)如图6-1所示，已知抛物线C的解析式为y = %2 -2%，则抛物线C的顶点坐00标；将抛物线C每次向右平移2个单位，平移n次，依次得到抛物线C、C、0 12C、…、C (n为正整数)，则抛物线C的解析式为.3n n(2)如图6-2,把抛物线y =1%2平移得到抛物线m，抛物线m经过点A(-6, 0)和原点0(0, 0), 2巩固9、已知关于x的一元二次方程2%2 + 4% + k -1 = 0有实数根，k为正整数.(1)求k的值；(2)当此方程有两个非零的整数根时，将关于x的二次函数y = 2%2 + 4% + k-1的图象向下平移8个单位，求平移后的图象的解析式；（3）在（2）的条件下，将平移后的二次函数的图象在x轴下方的部分沿x轴翻折，图象的其余部分保持不变，得到一个新的图象．请你结合这个新的图象回答：当直线1y = -x + b（b < k）与此图象有两个公共点时，b的取值范围. 21例14、分别求出在下列条件下，函数y = -2 x 2 + 3 x +1的最值:（1）x取任意实数；（2）当-2 W x W 0时；（3）当1W x W3时;（4）当-1W x W 2 时.巩固11、试求y = (x +1)(x + 2)(x + 3)(x + 4) + 5 在-3 W x W 3 的最值．例15、已知函数y=x2 -2x + 2在t W x W t +1范围内的最小值为s，写出函数s关于t的函数解析式．11例16、已知函数y = -9 x2- 6 ax - a2+ 2 a在区间一W x W 有最大值-3，求实数a的值.3 3巩固13、设y=x2+ ax + 3-a ,当-2 W x W 2时，y的最小值不小于0,求实数a范围.巩固16、某集团公司试销一种成本为每件60元的节能产品，规定试销期间销售单价不低于成本单价，且获利不得高于40%.经试销发现，销售量y（万件）与销售单价x（元）之间的函数图象如图．（1）求y与x之间的函数关系式，并写出自变量x的取值范围.（2）设该集团公司销售这种节能产品获得利润为W（万元），试求出利润W（万元）与销售单价x（元）之间的函数关系式；并求出当销售单价定为多少元时，公司可获得最大利润，最大利润是多少万元？(3)该公司决定每销售一件产品，就抽出5元钱捐给希望工程.若除去捐款后，所获利润不低于450万元，请你确定此时销售单价的范围.例19、( 1 )抛物线y=％ 2 + 5 % + a 2与一次函数y = ac + 2a -1有交点，则a的范围(2)已知函数y=mc2 -3% + 2 (m是常数)，若一次函数y = % +1的图象与该函数的图象恰好只有一个交点，则交点坐标为______________ ．例20、(1)二次函数y=ax2 + bx + c的图象如图所示，则关于x的方程ax2 + b% + c + 3 = 0的根的情况是( )A.有两个相等的实数根 B .无实数根C.有两个同号不相等实数根D.有两个异号实数根(2)若方程1 %2 -4% + 31 = m有两个相异的实数解，则m范围是巩固17、(1)二次函数y = %2 + k + k -1的图像与x轴的交点个数.(2)给出定义：设一条直线与一条抛物线只有一个公共点，且这条直线与这条抛物线的对称轴不平行，就称直线与抛物线相切，这条直线是这条抛物线的切线，有下列命题：①直线y = 0是抛物线y = 4%2的切线；②直线% = -2与抛物线y = - % 2相切于点(-2,1)；4③直线y = % + b与抛物线y = 4%2相切，则相切于点(2,1)；④直线y = k% - 2与抛物线y = —%2相切，则k= ±丫2 .4其中正确的命题是___________ ．(3)若方程I %2 -5% 1= a有四个不相等实根，则a的取值范围是例21、已知二次函数y=％2 -% + c .(1)若点4-1, n )、B (2, 2 n -1)在二次函数y=1 2-% + c的图象上，求此二次函数的最小值;(2 )若D (2, y )、E (% ,2)关于坐标原点成中心对称，试判断直线DE与抛物线y = % 2 - % + c + 3的交点个数，并说明理由.8巩固18、已知二次函数y=%2 - 2% - 3及一次函数y = % + m . 12(1)求该二次函数图象的顶点坐标以及它与x轴的交点坐标;(2)将该二次函数图象在x轴下方的部分沿x轴翻折到x轴上方，图象的其余部分不变，得到一个新图象，请你在图中画出这个新图象，并求出新图象与直线y = % + m有三个不同V m% + m2与x轴两交点间距离的最大值为(2)设二次函数y=a%2 + b% + c经过点4(0,2)、B(1,-1)，且其图象在x轴上所截得的线段长为2<2 .求这个二次函数的解析式.巩固20、已知：y关于x的函数y=(k -1)%2 -2k + k + 2的图象与x轴有交点.(1)求k的取值范围；(2 )若%、%是函数图象与x轴两个交点的横坐标(%丰% ),且满 1 2 12(k -1)%2 + 2kx + k + 2=4%%.①求k的值；②当k < % < k + 2时，求y的最大值与最小值.1 2 12巩固21、在平面直角坐标系xOy中，抛物线y=a%2 + b% + c过点(2,2),且当% = 0时，y取得最小值1．(1)求此抛物线的解析式；(2)已知点C(1,3)，试探索是否存在满足下列条件的直线/；①直线/过点C(1,3)；②直线l交抛物线于E、F两点且C点恰好是线段EF的中点.若存在，请求出直线l的函数解析式：若不存在，请说明理由．巩固22、已知：抛物线与x轴交于4(-2, 0)、B(4, 0)，与歹轴交于C(0, 4).(1)求抛物线顶点D的坐标；(2)设直线CD交x轴于点E,过点B作x轴的垂线，交直线CD于点F,将抛物线沿其对称轴上下平移，使抛物线与线段EF总有公共点.试探究：抛物线向上最多可以平移多少个单位长度，向下最多可以平移多少个单位长度？例22、已知二次函数y=12 + bx + c的图象如图所示点的坐标为(-1,0),与歹轴的交点坐标为(0, - 3).(1)求二次函数的解析式；并求图象与x轴的另(2)根据图象回答：当x取何值时，-3 <y < 0 .例23、(1)已知关于x的方程x2 + (m-5)x + m-2=0有实根，且方程的两根都大于0,则实数m的取值范围是.(2)已知方程ax2 + (a + 2)x + 9a=0的两个实根x和x，且x < 1 < x，求实数a取值范围. 12 1 2巩固23、(1)方程x2 -11 x + (30 + a) = 0有两实根，两根都大于5,则实数a范围(3)方程7 x 2 - (p +13) x + p 2 - p— 2 = 0 的两根a、p 满足0 <a< 1 < p < 2，求实数p范围巩固24、(1)已知关于x的方程x2 - (2 - a)x + 5 - a=0的一个根大于0而小于2,另一个根大于4而小于6,则实数a的取值范围是.(2)若关于x的方程4x2 -2mx + n = 0的解都位于0 < x < 1的范围中，求正整数m, n的值.例24、已知抛物线y=ax2 +例+1经过点A(1, 3)和点B(2,1).(1)求此抛物线解析式； (2)点C、D分别是x轴和歹轴上的动点，求四边形ABCD周长的最小值.k例25、如图，已知抛物线y = k(x + 2)(x-4)(k为常数，且k >0)与x轴从左至右依次交83 ................... .....于A，B两点，与y轴交于点C，经过点B的直线y =-『x + b与抛物线的另一交点为D.(1)若点D的横坐标为-5，求抛物线的函数表达式；(2)在(1)的条件下，设F为线段BD上一点(不含端点)，连接AF, 一动点M从点A出发，沿线段AF以每秒1个单位的速度运动到F,再沿线段FD以每秒2个单位的速度运动到D后停止.当点F的坐标是多少时，点M在整个运动过程中用时最少?例26、已知抛物线y = ax2 + bx +1经过点A(1, 3)和点B(2,1).(1)求此抛物线解析式；(2)点C、D分别是x轴和y轴上的动点，求四边形ABCD周长的最小值；(3)过点B作x轴的垂线，垂足为E点.点尸从抛物线的顶点出发，先沿抛物线的对称轴到达F点，再沿FE到达E点，若尸点在对称轴上的运动速度是它在直线FE上运动速度的“2倍，试确定点F的位置，使得点尸按照上述要求到达E点所用的时间最短.(要求：简述确定F点位置的方法，但不要求证明)例27、如图，已知抛物线y=ax 2-4 x + c经过点A(0, - 6)和B (3,- 9).(1)求出抛物线的解析式；(2)点P(m, m)与点Q均在抛物线上(其中m > 0 )，且这两点关于抛物线对称轴对称，求m的值及点Q的坐标；(3)在满足(2)的情况下，在抛物线的对称轴上寻找一点X，使得△QMA的周长最小.巩固25、如图，已知二次函数y = -2x2 + bx + c(c < 0)的图象与x轴的正半轴相交于点A、B，与y轴相交于点。
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§“顶点式”求二次函数解析式——提前自学
日期2010年11月主备华伯清审核毛锡东建议时间：15分钟实际时间：____分钟
一、自学目标：
1、会用抛物线的顶点式y=a(x-h)2+k求抛物线的解析式；
2、通过求二次函数的解析式，进一步加深对各种形式的二次函数性质的理解；
3、会利用二次函数的有关知识解决一些简单的实际问题。
二、自学过程：
（一）、复习回顾
1、已知二次函数的图象经过A(0，1)，B(1，3)，C(－1，1）。
(1)求二次函数的关系式，
(2)画出二次函数的图象；
(3)说出它的顶点坐标和对称轴。
2、二次函数y＝ax2＋bx＋c，（1）写出它的顶点式；（2）写出顶点坐标.
（二）想一想
已知抛物线对称轴是直线x＝2，且经过(3，1)和(0，－5)两点，求二次函数的关系式。
（完成以下步骤
．．．．．．）．解法1：设所求二次函数的解析式是y＝ax2＋bx＋c，解法2：设所求二次函数的关系式为y＝a(x－2)2＋k，∵二次函数的图象过点(0，－5)，∵图象经过(3，1)和(0，－5)两点，可以得到∴c＝－5，
∴所求的二次函数的关系式为_________________. ∴所求的二次函数的关系式为________________.（三）试一试
已知一个二次函数的图象过点(0，1)，它的顶点坐标是(8，9)，请用设顶点式的方法求这个二次函数的关系式。
§“顶点式”求二次函数解析式——归理与拓展
（一）回顾与检测
1、若二次函数241
y ax x a
=++-的最小值为2，则a的值为_______.
2、如图，二次函数y=ax2+bx+c(a≠0).图象的顶点为D，
其图象与x轴的交点A、B的横坐标分别为–1、3，与y
轴负半轴交于点C.下面四个结论：①2a+b=0；
②a+b+c>0；③只有当a= 1
2时，△ABD是等腰直角三
角形；④使△ACB为等腰三角形的a的值可以有三个.
那么，其中正确的结论是.（只填你
认为正确结论的序号）
3、函数y＝x2＋px＋q的最小值是4，且当x＝2时，y＝5，则p=___, q=________.
4、若抛物线y＝－x2＋bx＋c的最高点为(－1，－3)，则b=______,c=_______.
5、已知二次函数当x＝－3时，有最大值－1，且当x＝0时，y＝－3，求二次函数的关系式。
(第2题图)
6、已知二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c 的图象过A(0，－5)，B(5，0)两点，它的对称轴为直线x ＝2，求这个二次函数的关系式。
7、根据下列条件，分别求出对应的二次函数的解析式：
（1）已知抛物线的顶点坐标为（-1，-2），它与y 轴交于点（0，-3）
（2）已知抛物线22y ax x c =++的对称轴为直线x=2,函数的最大值是-3；
（3）已知抛物线232y x x m =--+的顶点在直线133
y x =+
上；
（4）抛物线2(1)y x =-沿y 轴方向向上或向下平移后，经过点（3，0）；
（5）抛物线2y ax bx c =++的顶点在x 轴上，对称轴为直线x=3，且经过点（2，-1）；
（二）拓展提高：
1、如图是抛物线拱桥，已知水位在AB位置时，水面宽46米，水位上升3米就达到警戒线CD，这时水面宽43米，若洪水到来时，水位以每小时0.25米速度上升，求水过警戒线后几小时淹到拱桥顶
2、某幢建筑物，从10m高的窗口A用水管向外喷水，喷出的水流呈抛物线状，如果抛物线的最高点M离
m，则水流落地点B离墙的距离OB是多少
墙1m，离地面40
3
3、已知：如图，二次函数y=x2+(2k–1)x+k+1的图象与x轴相交于O、A两点.
(1)求这个二次函数的解析式；
(2)在这条抛物线的对称轴右边的图象上有一点B，使锐角△AOB的面积等于3.求点B的坐标；
(3)对于(2)中的点B，在抛物线上是否存在点P，使∠POB=90°若存在，求出点P的坐标，并求出△POB的面积；若不存在，请说明理由.
★3、想一想：有一个二次函数的图像，三位学生分别说出了它的特点：
小明说：对称轴是直线x=5；
小亮说：它与x 轴的两个交点的横坐标都是整数；
小丽说：它与y 轴的交点的纵坐标也是整数，且以这三个交点为顶点的三角形的面积为3. 请你直接写出一个满足上述全部特点的二次函数的解析式：______________________.
4、已知抛物线C 1的解析式为2245y x x =-+,抛物线C 2与抛物线C 1关于x 轴对称，则抛物线C 2的解析式
为：__________________________________________。