Littlewood-Paley算子的多线性交换子在块Hardy空间上的加权有界性

块分 解方 法证 明了这类多线性交换子在块一Ｈ ｒｙ空间上 的加权有界性 。 ａｄ 关键词 ：多线性算子；Ｌｔｅ ｏ ｄ Ｐ ｅ ｉｌｗ ｏ－ ａ ｙ算子 ，Ｈａｄ ｔ ｌ ｒ ｙ空间，Ｂ ＭＯ空间， Ａ， 权
中图分类号 ：Ｏ ７ ． １４ ３ 文献标识码 ：Ａ 文章编号：１７ — ２ ９（ ０ ８ ４ ０ ２ － ４ ６ ３ ２ １ ２０ ）０ － ０ ４ ０
１ 引 言 Ｌｔｅ ｏ －ａ ｙ 算子傲为分析数学 中一 个十分重要 的积 分算子（ 【儿 】 由于它与奇 异积分算子 有着 密切的联系， ｉｌ ｔ ｗｏ ｄＰ ｅ ｌ 见 １ ２） ， 因 此对它的研究一直 是分析数学学者们十分感兴趣的问题， 并且取得了一定的研究成果（ ｌ ２ ３） 见【儿 儿 】。源于对奇异积分算子 的交
Ｌ ｔ ｗ ｏ — ａ ｅ ｔ ｏ ｄ Ｐ ｙ算子 的多线性交换子 ｉ Ｉ ｅ Ｉ 在 块 Ｈ ｙ空 间上 的加 权 有 界性 ａ ｒ ｄ
易 涤尘
（ 南对外经济贸易职业 学院 湖 数学 系，湖 南 长沙 ４０１ ） １０ ５
摘
要 ：本文定义 了一类与 Ｌｔｅ ｏ － Ｐ ｌ ｉｌ ｄ ａ ｙ算子相 关的多线性 交换子 ，然后利用 Ｈａｄ ｔ ｗｏ ｅ ｒｙ空间的原子分解和块 空间的
厂 ∈ 并且 定 义 Ｉ ｌ ｏ １ Ｉ ｓ ＝１ 厂Ｉｕ 厂
设 Ｉ为正整数， ０ １ ． ） Ｔ Ｉ ｂ （） ＝ ，＿ 为可积函数，对任意的正整数 １ ≤ ．ｍ ≤ ｍ， 我们记
ｃ ＝口 ｛１．（）｛． 】任 不同 素的 合 。 ７ ｛： ｏ ）Ｊ－为１， 中 两个 元 集 ） ｒ －，ｒ） ， ＝ （． 『 ． 口 ．
它们在 Ｈａｄ ｒ ｙ型空间 中的有界性。我们 先给 出一些记号和 定义 。
设 Ｂ＝Ｂ ｘ ，） （ｏｒ表示 中心为 半径 为ｒ 的球
。 给 定 一 个
Ｂ 和 局 部 可 积 函 数
且 满 足
厂 ＝ 厂 ｄ， （） （） 厶 引 ｘ
厂 嘶 （
。 ・
＝ Ｕ 占 Ｂ－ ｌ （） ｆ ｌ 。 （ Ｓｐ Ｉ 。 ｙ 一 ￣ 那 么 就 称 ｆ 属 于 Ｂ 若 Ｉ ｆ ｄ ｙ ＭＯ ＇
换子的研究， 发了对与 Ｌｔｅ ｏ ｄＰ ｅ 启 ｉｌ ｏ —ａ ｙ算子相关联的交换子 的研究。 ０ ２年， ．ｅｅ 和 Ｒ．ｒ ｉｏＧ ｎ ａ ｚ 出了奇异积 ｔｗ ｌ ２０ ＣＰ ｒｚ Ｔｕ ｌ — ｏ ｚ ｅ 提 ｊｌ ｌ
分算子的多线性交换子 的概念（ ４） 见【】受此启发， ， 本文提出 了与 Ｌｔｅ ｏ ｄＰ ｌ ｉｌｗ ｏ ・ａ ｙ算子相关联的多线性交换子 的概念， ｔ ｅ 并将研 究
Ｌｔｅ ｏ ｄＰ ｅ ｉｌｗ ｏ －ａ ｙ算子 可 以定 义 为 ： ｔ ｌ
（ ． （
Ｉ ）‘ ） ， ｖ ， ， ） Ｉ ｄ （ ＝－，／ ，ｒ０ 中 ） ） ｚ ｚｚ且 ｔ｛ ｒ （＞ ） ， ， ｆ） ） ｎ（ ） ｆ
由此 ，Ｌｔ ｗ ｏ・ ｌ 算子的多线性交换子可 以定义为 ： ｉｌ ｏｄ ａ ｙ ｔ ｅ ｐｅ
收 稿 日期 ：２ ０ — １ －２ ０７ ２ ８
作者简介：易涤尘 （９ ７ ，男 ，湖南长沙人 ，湖南对外经济 贸易职业学院讲师 ，主要研究方向为 分析 与小波 。 １５ 一）
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（＜ ＜ｏ） 在本文中， １ ｐ ｏ。 我们将定义 Ｈｒ 空间Ｈ 的变形 ａｙ ｄ 和Ｈ （ ５ ， 见【） 并且建立 Ｌｔｗ ｏ— ｌ 】 ｉｅ ｏｄ ａｙ算子的多线 ｔ ｌ Ｐｅ 性
交换子从 空间到 空间、从 和 空间到弱 空间的加权 有界性 。
下面我们给 出
空间的定义 ：
＝ 南 ） （ （
其 中
．
‘ｔ ） ｄＩ ｙ， ｄ
６
（）＝ （一）（ｎ（（ 一 （ 且 ＝ （ ｆ （ ０． 到 ＝ｒ ｇ （（ ， ） ｚ ｚ ｚ （ 厂 ） ｆ ） 意 当ｍｌ，＾， ， ） ， 厂） ） ） ） ／ ，＞ 注 ｌ ）） ｌ
即为由 （ ） ） ｂ生成的交换子（ ｌ ２） Ｉ［ ｄ，Ｌｔ ｗ ｏ —ａ ｙ算子的交换子在 Ｌ 空间的有界性已经得到证明 ，（ 与 见【 【Ｊ ￣３ ｇ ｉｅ ｏｄＰｌ 。； ］ Ｊ Ｅ ｔ ｌ ｅ ｐ
定义 ｌ ｍ为正整数，ｉＸ （ ｌ ｍ， （） ・ 设 ｂ（）ｊ …．） 为可积函数并且 ＝ ｗ
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第 ２卷 第４ ９ 期
２０ ０ ８年 ４ 月
湖 南科 技 学 院学 报
Ｊ ｕ ｎａ ｆＨ ｕ ｎ ｎ ｖ ｒ ｉｙｏｆＳｃｅ ｅａ ｏ ｒ ｌｏ ｎａ Ｕ ｉ ｅ ｓｔ ｉｎｃ ｎｄＥｎｇｎｅ ｒｎｇ ｉ ｅｉ
Ｖｂ ． １２９ ＮＯ． ４ Ａｐｒ２ ０８ ．０
对 ｃ ，们 ｃ ＝１… ． ） 对１ － 和 ｃ ， 们 ∈ ７我 记 ｒ ｛ ３． ＼ ｃ ， ， 。 ≤ ≤ ∈ ７ 我 记 ２ 『
ｂ ａ＝（ （ ，． （ １ ．， ）．
Ｉ Ｉ
和 ｂ ａ＝ｂ （一ｂ （ 并令 ａ１ ￣ Ｊ ） ａ）
Ｉ Ｍｏ－Ｉ ｏ（ Ｊ Ｄ … Ｉｂ （ Ｉ Ｄ 。 Ｉ －Ｉ １ ｓ － ｂ ）Ｉ Ｉ ａ
本文将要研究的 Ｌｔｅ ｏ ｄＰ ｌ ｉｌｗ ｏ ・ａ ｙ算子 定义 如下 ：给定 ￡＞ ｔ ｅ ０和 Ｒ 上的函数 ， （） （） ｘ ａ ｄ ＝０，
满足 ：
（ｌ ≤ ｏ Ｎ ， ｂ｛ ） ｃ ＋ ） ）（ｌ ｆ ， （Ｉｘ ｙ－ （ｌｃ ｌ ＋ １川 当 １１ ｃ／ ＋）ｇ ） ｌ ０ ｌ一 ，Ｉ２ｌ ）（ ｇ ／ ≤ ｙ ｘ ｘ ） ｘｙ ＞；