1-6用广义力学表示的质点系平衡条件

由用广义力表示的质点系的平衡条件式（1 18）知 由用广义力表示的质点系的平衡条件式（1-18）知 当Qα=0时 Qα=0时
α = a rc ta n
2F P1 + 2 P2
当Qβ=0时 Qβ=0时
2F β = arctan P2
本题还可以用式（1 19）求解，即 本题还可以用式（1-19）求解，即
解:
求对应角α的广义力Qα 求对应角α的广义力Qα 给角α一个变分δα，解φ 给角α一个变分δα，解φ保持不变，由图知
−x1 = x2 = a +l sinα y1 = y2 = l cosα
对α取变分
−δ x1 = δ x2 = l cosαδα
δ y1 = δ y2 =−l sinαδα
由此得
P Q =− 1 l1 sinα − Pl1 sinα + Fl1 cosα α 2 2
解: 物体A，B，H的位置即系统的位置，三物体的位置分别由 坐标xA,yB和yH确定；绳的长度不变，物体间有一个约束关系，故 系统有两个自由度。或这样分析，三物体中必须给定两个物体的位 置，另一个物体的位置才能确定，也说明系统有两个自由度。
∑δWα′ = Pδ y + Pδ y
1
2
= −2Pl sinαδα
所以
Qα
∑δWα′ = −2Pl sinα =
δα
再求对应于角φ的广义力Qφ 再求对应于角φ的广义力Qφ 给角φ一个变分δφ，角α 给角φ一个变分δφ，角α保持不变（即设调速器内各杆的相对 位置保持不变，仅有调速器绕铅直轴转过了微小角δφ）；力P 位置保持不变，仅有调速器绕铅直轴转过了微小角δφ）；力P不 作功，因此， 作功，因此， δ W ′ = M δϕ
(1)解析法 (1)解析法 直接用广义力的定义式（ 15），或用其解析表达式 直接用广义力的定义式（1-15），或用其解析表达式
∂xi ∂yi ∂zi Qk = ∑ Xi + Yi + Zi ∂qk ∂qk ∂qk i =1
n
就是将主动力系的各力Fi的作用点的坐标xi,yi,zi写成广义坐标 就是将主动力系的各力Fi的作用点的坐标xi,yi,zi写成广义坐标 qk（K=1， qk（K=1，2，3……N）的函数，对qk求偏导数后代入上式，即求 3……N）的函数，对qk求偏导数后代入上式，即求 得广义力QK。 得广义力QK。这种方法即解析法。 （2） 几何法 可单一求某个广义力，譬如求Q1，给质点系一组特殊的虚位 可单一求某个广义力，譬如求Q1，给质点系一组特殊的虚位 移，其中只令广义坐标中的q1变更，而保持其余（N 移，其中只令广义坐标中的q1变更，而保持其余（N-1）个广义坐 标不变，即令δq1≠0，而δq2=δq3=…δqN=0，这样就可求出所 标不变，即令δq1≠0，而δq2=δq3=…δqN=0，这样就可求出所 有主动力相应于广义虚位移δq1所作的虚功之和，以∑δW’表 有主动力相应于广义虚位移δq1所作的虚功之和，以∑δW’表 示，由式（1 16）知 示，由式（1-16）知
§1-6用广义力学表示的质点系平衡条件
在由式（1-13）、式（1-14）表达的虚位移原理中，是以质 由式（1 13）、式（1 14）表达的虚位移原理中，是以质 点的坐标变分表示虚位移的，这些虚位移间并不一定是相互独立 的，所以解题时还要建立它们之间的关系，这样才能将问题解决。 而如果我们直接用广义坐标的变分来表示虚位移，这些广义虚位移 间是相互独立的，这时虚位移原理就可以表示为更简明的形式为 此，将式（1 11）代入式（ 13）， 此，将式（1-11）代入式（1-13），则主动力所作的虚功的和可表 ），则主动力所作的虚功的和可表 n n N 示为 ∑ δ W = ∑ F ⋅ δ r = ∑ F ⋅ ∑ ∂ r i δ q
l2 δ rD1 = δβ , δ rB1 = l2δβ 2
∑ δ Wβ′ = − P sin β ⋅ δ r
2
D1
+ F cos β ⋅ δ rB1
l2 = − P2 sin β ⋅ δβ + F cos β ⋅ l2δβ 2
P2 = − l2 sin β + Fl2 cos β ⋅ δβ 2
所以
Qβ
∑δWβ′ = − P l sin β + Fl cos β =
δβ
2
2
2
2
其实，由式（c）可直接看出Qβ等于上式 其实，由式（c）可直接看出Qβ等于上式
求广义力Qα： 求广义力Qα： 再令δα≠0，δβ≠0如图1 17（ 再令δα≠0，δβ≠0如图1-17（b）所示，则有
δ rB = δ rD = δ rA = 2δ rC = l1δα
2 2 2 2
(d )
∑δWα′ =−Psinα⋅δr
1
C2
−P sinα⋅δrD2 + Fcosα⋅δrB2 2
将式（d 将式（d）代入上式得
两种方法得的结果一样 例1-8 如图1-18所示，重量分别为3P和P的A，B物体系在无 如图1 18所示，重量分别为3P和 重不伸长的绳的两端，绳中间部分绕过滑轮C 重不伸长的绳的两端，绳中间部分绕过滑轮C，D，D，滑轮D为动滑 ，滑轮D 轮，其轴上挂有物体H，物体A 轮，其轴上挂有物体H，物体A放在粗糙的水平面上。求当系统平衡 时物体H的重量PH和物体A 时物体H的重量PH和物体A与水平面间的摩擦系数。
由式（1 16） 由式（1-16） ∑δW = ∑Qk ⋅δqk k=1 和β的广义力为
N
可见，对应于广义坐标α 可见，对应于广义坐标α
P Qa = − 1 l1 sin α − P2l1 sin α + Fl1 cos α 2 P Qβ = − 2 l2 sin β + Fl2 cos β 2
l δ y D = − l1 sin α ⋅ δα − 2 sin β ⋅ δβ 2 δ x B = l1 co s α ⋅ δα + l 2 co s β ⋅ δβ l1 δ y C = − sin α ⋅ δα 2
将它们代入下式并整理得
∑ δW = P ⋅ δ y
i=1 i i i=1 i

k =1
∂qk
k

n ∂ri 变换求和顺序 ∑δW = ∑ ∑ Fi ⋅ ∂qk k =1 i =1
N
δ qk
令
∂ ri Qk = ∑ Fi ⋅ ∂qk i =1
n
则上式成为
∑δW = ∑Q ⋅δq
k=1 k
N
k
考虑到功是力与位移的乘积，因此我们称QK为对应于广义坐标 考虑到功是力与位移的乘积，因此我们称 qk的广义力。当qk是线位移时，QK的量纲是力的量纲；当δqk是角 的广义力。当qk是线位移时，QK的量纲是力的量纲； δqk是角 位移时，QK是力矩的量纲。广义力随所选的广义坐标的不同而表示 位移时，QK是力矩的量纲。广义力随所选的广义坐标的不同而表示 不同的物理量。
解:
本系统有两个自由度，选角α 本系统有两个自由度，选角α和β为广义坐标 （1） 用解析法解 由图知
l2 y D = l1 cos α + cos β ( a ) 2 x B = l1 sin α + l 2 sin β l1 y C = cos α 2
对上面三式取变分
即
P 1 l1 sin α − P2l1 sin α + Fl1 cos α = 0 2 P2 Qβ = − l2 sin β + Fl2 cos β = 0 2 Qα = −
由此二式解得的α 由此二式解得的α，β与前面完全一样 用几何法解 求广义力Qβ 求广义力Qβ 令δβ≠0，δα≠0，如图1-17（a）所示，则有 δβ≠0，δα≠0，如图1 17（
1 ∑δWA′ =−FAδ xA + PHδyH = −FA + 2 PH δ xA
由此得对应于广义坐标xA的广义力为 Q 由此得对应于广义坐标xA的广义力为 xA 平衡时，QA=0， 平衡时，QA=0，则有 F = 1 P A H
A
1 = PH − F A 2
2
再令δxA=0，给B以图示虚位移δyB；则H相应的虚 位移仍然是图示δyH，δyB=2δyH
ห้องสมุดไป่ตู้
Q1
∑ δW ′ =
δ q1
Qk =
由此可求出广义力
∑ δW ′
δ qk
用同样方法可求出Q2,Q3……,QN，归纳起来得 此种方法称为几何法。
∑ δW ′ = Q ⋅δ q
1
1
例1—6 离心调速器如图1-15所示，己 知小球B1,B2的重量都是P；套筒C和各杆 的重量均不计，套筒尺寸也不计，系统 磨擦不计；A1B1=A2B2=l，OA1=OA2=a， 在铅直轴上作用一力偶，其力偶矩为M。 若取调速器转角φ及杆A1B1或A2B2与铅 直线间的夹角α为广义坐标，求对应的广义力Qφ和Qα。 。
选取xA和yB为广义坐标，视摩擦力FA为主动力。 选取xA和yB为广义坐标，视摩擦力FA为主动力。令 xA 为广义坐标 FA为主动力 δyB=0， 给以图示虚位移δxA δxA； δyB=0，给A给以图示虚位移δxA；则H相应的虚位移为 δyH， δyH，δyH=δxA/2 主动力所作虚功的和为 =δxA/2
∑
ϕ
ϕ
于是得
∑δWϕ′ = M Q =
δϕ
例1-7 匀质杆OA和AB用铰链A连接，铰链O 匀质杆OA和AB用铰链A连接，铰链O固定，如 图1-16所示。两杆的长度分别为L1和 16所示。两杆的长度分别为L1和 L2，重量为P1和P2。在杆AB的 L2，重量为P1和P2。在杆AB的B端受 一水平力F 一水平力F作用，求平衡时两面三刀 杆与铅直线所成的夹角α 杆与铅直线所成的夹角α和β。