中考数学图形运动类问题
中考动点问题的解题技巧
在中考数学中，动点问题是一个比较常见的题型。
这类问题通常需要学生结合图形的运动和变化，利用函数、方程等知识解决。
以下是一些解题技巧：
1.建立模型：首先需要明确题目中的已知条件和未知条件，并建立相应的数学模型。
对于动点问题，可以通过建立坐标系来描述点的位置和运动轨迹。
2.转化问题：动点问题往往涉及到数量关系和位置关系的变化，因此需要将问题转化为数学问题。
比如，可以建立方程或不等式来描述点的位置和运动轨迹。
3.寻找规律：动点问题中往往有一些规律性的东西，比如点的运动轨迹是按照一定规律变化的。
因此，需要认真观察、分析，找到这些规律，以便更好地解决问题。
4.分类讨论：在解决动点问题时，有时需要考虑到不同的情况，比如点的位置、运动速度、运动方向等。
因此，需要进行分类讨论，逐一解决不同情况下的数学问题。
5.综合分析：动点问题往往涉及到多个知识点，比如函数、方程、不等式等。
因此，在解决问题时，需要综合分析各个知识点之间的关系，以便更好地解决问题。
6.熟练掌握相关知识点：解决动点问题需要熟练掌握相关知识点，比如函数的性质、方程的解法、不等式的解法等。
因此，在平时的学习中，需要加强这些知识点的学习和训练。
7.注意细节：在解决动点问题时，需要注意细节，比如点的坐标、单位等。
如果这些细节处理不当，可能会导致解题错误。
总之，解决动点问题需要学生熟练掌握相关知识点，建立正确的数学模型，通过转化问题、寻找规律、分类讨论、综合分析等方法来解决。
同时，也需要注意细节处理。
中考数学几何图形中的动点问题专题训练
中考数学几何图形中的动点问题专题训练(58分)一、选择题(每题6分，共18分)1． 如图6－1－1，在矩形ABCD 中，AB ＝5，AD ＝3，动点P 满足S △PAB ＝S 13矩形ABCD ，则点P 到A ，B 两点距离之和PA ＋PB 的最小值为( D )A. B. C.5D.2934241图6－1－1 第1题答图【解析】 令点P 到AB 的距离为h ，由S △PAB ＝S 矩形ABCD ，得×5h ＝131213×5×3，解得h ＝2，动点P 在EF 上运动，如答图，作点B 关于EF 的对称点B ′，BB ′＝4，连结AB ′交EF 于点P ，此时PA ＋PB 最小，根据勾股定理求得最小值为＝，选D.52＋42412．如图6－1－2，在矩形ABCD 中，AB ＝2a ，AD ＝a ，矩形边上一动点P 沿A →B →C →D 的路径移动．设点P 经过的路径长为x ，PD 2＝y，则下列能大致反映y 与x 的函数关系的图象是 ( D )【解析】 ①当0≤x ≤2a 时，∵PD 2＝AD 2＋AP 2，AP ＝x，∴y ＝x 2＋a 2；②当图6－1－22a ＜x ≤3a 时，CP ＝2a ＋a －x ＝3a －x ，∵PD 2＝CD 2＋CP 2，∴y ＝(3a －x )2＋(2a )2＝x 2－6ax ＋13a 2；③当3a ＜x ≤5a 时，PD ＝2a ＋a ＋2a －x ＝5a －x ，∴PD 2＝y ＝(5a －x )2，y ＝∴能大致反映y 与x{x 2＋a 2（0≤x ≤2a ），x 2－6ax ＋13a 2（2a <x ≤3a ），（x －5a ）2（3a <x ≤5a ），)的函数关系的图象是选项D 中的图象．3．如图6－1－3，在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，∠BAC ＝30°，AB ＝8，以2为边长的正方形DEFG 的一边3GD 在直线AB 上，且点D 与点A 重合，现将正方形DEFG 沿AB 的方向以每秒1个单位的速度匀速运动，当点D 与点B 重合时停止，则在这个运动过程中，正方形DEFG 与△ABC 的重合部分的面积S 与运动时间t 之间的函数关系图象大致是( A )【解析】 首先根据在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，∠BAC ＝30°，AB ＝8，分别求出AC ，BC ，以及AB 边上的高线各是多少；然后根据图示，分三种情况：①当0≤t ≤2时；②当2＜t ≤6时；③当6＜t ≤8时，分别求出正方形33DEFG 与△ABC 的重合部分的面积S 的表达式，进而判断出正方形DEFG 与△ABC 的重合部分的面积S 与运动时间t 之间的函数关系图象大致是哪个即可．S ＝{36t 2（0≤t ≤23），2t －23（23<t ≤6），－233t 2＋（2＋83）t －263（6<t ≤8）.)二、解答题(共20分)4．(20分) 如图6－1－4，已知矩形ABCD 中，AB ＝4，AD ＝m ，动点P 从点D 出发，在边DA 上以每秒1个单位的速度向点A 运动，连结CP ，作点D 关于直线PC 的对称点E .设点P 的运动时间为t (s)．图6－1－3(1)若m ＝6，求当P ，E ，B 三点在同一直线上时对应的t 的值．(2)已知m 满足：在动点P 从点D 到点A 的整个过程中，有且只有一个时刻t ，使点E 到直线BC 的距离等于3.求所有这样的m的取值范围．图6－1－4【解析】 (1)如答图①，P ，E ，B 三点在同一直线上，连结EC .①在Rt △BEC 中，计算BE 的值；②在Rt △ABP 中，利用勾股定理列出关于t 的方程，解出t 值即可求；(2)如图②，P ，E ，B 三点在同一直线上，连结EC ，过点E 作EF ⊥BC 于F .①在Rt △EFC 中，利用勾股定理求出CF ；②利用相似三角形的判定与性质求得BF ；③根据m ＝BC ＝BF ＋CF 计算m 的值．解：(1)如答图①，P ，E ，B 三点在同一直线上，连结EC .∵四边形ABCD 是矩形，∴AB ＝CD ，AD ＝BC .∵PD ＝t ，m ＝6，∴PA ＝6－t .∵点D ，点E 关于直线PC 对称．∴PE ＝t ，EC ＝DC ＝AB ＝4，∠CEP ＝∠CDP ＝90°.在Rt △BCE 中，∵BC ＝6，CE ＝4，∴BE ＝＝＝2.BC 2－EC 262－425在Rt △ABP 中，∵AB 2＋AP 2＝BP 2，即42＋(6－t )2＝(2＋t )2，5解得t ＝6－2.5(2)如答图②，当点P 与A 重合时，点E 在BC 的下方，点E 到BC 的距离为3.作EQ ⊥BC 于Q ，EM ⊥DC 于M .则EQ ＝3，CE ＝DC ＝4.易证四边形EMCQ 是矩形，∴CM ＝EQ ＝3，∠M ＝90°，∴EM ＝＝，BC 2－CM 27∵∠DAC ＝∠EDM ，∠ADC ＝∠M ，第4题答图①∴△ADC ∽△DME ，∴＝，即＝，AD DM DC EM AD 747∴AD ＝4.7第4题答图② 第4题答图③如答图③，当点P 与A 重合时，点E 在BC 的上方，点E 到BC 的距离为3.作EQ ⊥BC 于Q ，延长QE 交AD 于M .则EQ ＝3，CE ＝DC ＝4.在Rt △ECQ 中，QC ＝DM ＝＝，由△DME ∽△CDA ，42－327∴＝，即＝，∴AD ＝，DM CD EM AD 741AD 477综上所述，在动点P 从点D 到点A 的整个运动过程中，有且只有一个时刻t ，使点E 到直线BC 的距离等于3，这样的m 的取值范围是≤m ＜4.47775．(20分) 如图6－1－5，在矩形ABCD 中，点E 是AD 上的一个动点，连结BE ，作点A 关于BE 的对称点F ，且点F 落在矩形ABCD 的内部．连结AF ，BF ，EF ，过点F 作GF ⊥AF 交AD 于点G ，设＝n .AD AE图6－1－5(1)求证：AE ＝GE ；(2)当点F 落在AC 上时，用含n 的代数式表示的值；AD AB(3)若AD ＝4AB ，且以点F ，C ，G 为顶点的三角形是直角三角形，求n 的值．【解析】 设AE ＝a ，则AD ＝na .(1)由轴对称性质得到AE ＝FE ，结合“等边对等角”得到∠EAF ＝∠EFA .由垂直得到两个角的互余关系，根据“等角的余角相等”可得到结论；(2)由对称性质得BE ⊥AF ，先证∠ABE ＝∠DAC ，进而证得△ABE ∽△DAC ，根据相似三角形的对应边成比例建立关系式，通过适当变形求解；(3)由特例点F 落在线段BC 上，确定n ＝4，根据条件点F 落在矩形内部得到n ＞4，判断出∠FCG ＜90°.然后分∠CFG ＝90°和∠CGF ＝90°两种情况，由(2)的结论和相似三角形的性质分别建立关于n 的等式，求得n 的值．解：设AE ＝a ，则AD ＝na .(1)证明：由对称得AE ＝FE ，∴∠EAF ＝∠EFA .∵GF ⊥AF ，∴∠EAF ＋∠FGA ＝∠EFA ＋∠EFG ＝90°.∴∠FGA ＝∠EFG ，∴FG ＝EF ，∴AE ＝GE .(2)当点F 落在AC 上时(如答图①)，由对称得BE ⊥AF ，∴∠ABE ＋∠BAC ＝90°，∵∠DAC ＋∠BAC ＝90°，∴∠ABE ＝∠DAC .又∵∠BAE ＝∠D ＝90°，∴△ABE ∽△DAC ，∴＝.AB DA AE DC ∵AB ＝DC ，∴AB 2＝AD ·AE ＝na ·a ＝na 2.∵AB ＞0，∴AB ＝a ，∴＝＝.n AD AB na n an (3)若AD ＝4AB ，则AB ＝a .当点F 落在线段BC 上时(如答图②)，EF ＝AE ＝n 4AB ＝a .此时a ＝a ，n 4∴n ＝4.∴当点F 落在矩形内部时，n ＞4.∵点F 落在矩形的内部，点G 在AD 上，∴∠FCG ＜∠BCD ，∴∠FCG ＜90°.第5题答图①第5题答图② 第5题答图③①若∠CFG ＝90°，则点F 落在AC 上，由(2)得＝，∴n ＝16.AD ABn ②若∠CGF ＝90°(如答图③)，则∠CGD ＋∠AGF ＝90°.∵∠FAG ＋∠AGF ＝90°，∴∠CGD ＝∠FAG ＝∠ABE ，∵∠BAE ＝∠D ＝90°，∴△ABE ∽△DGC .∴＝，AB DG AE DC∴AB ·DC ＝DG ·AE ，即＝(n －2)a ·a ，(n 4a )2 解得n 1＝8＋4，n 2＝8－4＜4(不合题意，舍去)．∴当n ＝16或8＋4222时，以点F ，C ，G 为顶点的三角形是直角三角形．(20分)6．(20分) 如图6－1－6，正方形ABCD 的边长为6 cm ，点E ，M 分别是线段BD ，AD 上的动点，连结AE 并延长，交边BC 于F ，过M 作MN ⊥AF ，垂足为H ，交边AB 于点N .(1)如图①，若点M 与点D 重合，求证：AF ＝MN ；(2)如图②，若点M 从点D 出发，以1 cm/s 的速度沿DA 向点A 运动，同时点E 从点B 出发，以 cm/s 的速度沿BD 向点D 运动，设运动时间为t s.2①设BF ＝y cm ，求y 关于t 的函数表达式；②当BN ＝2AN 时，连结FN ，求FN 的长．图6－1－6【解析】 (1)由正方形性质和垂直的性质就可以得出∠ADN ＝∠BAF ，利用“AAS ”可以得出△ADN ≌△BAF 就可以得到结论AF ＝MN ；(2)①由AD ∥BF 可得△ADE ∽△FBE ，利用＝可以构造y 关于t 的函数AD BF DE BE 表达式；②由(1)可知△MAN ∽△ABF ，∴＝，又∵BN ＝2AN ，∴MA AN AB BF 6－t 2＝，用含t 的代数式表示BF ，结合①中的关系式，可以构造关于t 的方程6BF 求出t 的值，从而求出BF ，最后利用勾股定理求FN 的长．解：(1)证明：∵四边形ABCD 是正方形，∴AD ＝DC ＝AB ＝BC ，∠DAB ＝∠ABC ＝∠BCD ＝∠ADC ＝90°.∵MN ⊥AF ，∴∠DHA ＝∠NHA ＝90°，∴∠ADH ＋∠HAD ＝90°，∠NAH ＋∠HAD ＝90°，∴∠ADH ＝∠NAH .在△ADN 与△BAF 中，∴△ADN ≌△BAF ，{∠ADN ＝∠BAF ，AD ＝BA ，∠DAN ＝∠ABF ，)∴AF ＝DN ，即AF ＝MN .(2)①∵正方形的边长为6 cm ，∴BD ＝＝AD ＝6 cm ，AB 2＋AD 222∵设运动时间为t s ，根据题意，得BE ＝t cm ，2∴DE ＝ BD －BE ＝(6－t )cm ，22∵AD ∥BF ，∴△ADE ∽△FBE ，∴ ＝，AD BF DE BE∵BF ＝y cm ，∴＝，即y ＝，6y 62－2t 2t6t 6－t ∴y 关于t 的函数表达式为y ＝.6t 6－t②∵BN ＝2AN ，AB ＝6 cm ，∴AN ＝2 cm ，BN ＝4 cm ，由(1)得△MAN ∽△ABF ，又∵DM ＝t cm ，AM ＝(6－t )cm ，∴＝，即＝，∴BF ＝，MA AN AB BF 6－t 26BF 126－t 又∵y ＝，∴，＝ 解得t ＝2，6t 6－t 126－t 6t 6－t 当t ＝2时，BF ＝y ＝＝3 cm ，在Rt △NBF 中，FN ＝＝6t 6－tBN 2＋BF242＋32＝5，∴当BN ＝2AN 时，FN 的长为5 cm.(22分)7．(22分) 如图6－1－7，已知线段AB ＝2，MN ⊥AB 于点M ，且AM ＝BM ，P 是射线MN 上一动点，E ，D 分别是PA ，PB 的中点，过点A ，M ，D 的圆与BP 的另一交点为C (点C 在线段BD 上)，连结AC ，DE .(1)当∠APB ＝28°时，求∠B 和的度数；CM ︵(2)求证：AC ＝AB ；(3)在点P 的运动过程中．①当MP ＝4时，取四边形ACDE 一边的两端点和线段MP 上一点Q ，若以这三点为顶点的三角形是直角三角形，且Q 为锐角顶点，求所有满足条件的MQ 的值；②记AP 与圆的另一个交点为F ，将点F 绕点D 旋转90°得点G ，若点G 恰好落在MN 上，连结AG ，CG ，DG ，EG ，直接写出△ACG 与△DEG 的面积比．图6－1－7【解析】 (1)由垂直平分线的性质得到等腰△PAB ，由三线合一得 ∠APM ＝∠BPM ＝∠APB ＝14°，∠B ＝90°－∠BPM ＝90°－14°＝ 76°，再利用直角12三角形斜边上的中线等于斜边的一半，得∠MDB ＝∠BAC ＝2∠DPM ＝28°，以此求得弧CD 的度数为2∠MDB ＝56°；(2)由同角的余角相等，得 ∠ACB ＝∠B ，AC ＝AB ；(3)由垂直分线的性质，分类讨论符合条件的点Q 的个数，利用相似和勾股定理分别求出MQ 的长度；利用旋转的性质，平行四边形的性质，锐角三角比求出各边的长度，用面积公式求出比值．解：(1)如答图①，连结MD .∵AB ⊥MN ，AM ＝BM ，∴PM 垂直平分线段AB ，∴PA ＝PB ，在等腰三角形PAB 中，∵∠APB ＝28°，∴∠APM ＝∠BPM ＝∠APB ＝1214°，∴∠B ＝90°－∠BPM ＝90°－14°＝ 76°，在Rt △MPB 中，点D 为斜边BP 的中点，∴DM ＝DP ，∴∠MPD ＝∠DMP ＝14°，∴∠MDB ＝∠BAC ＝2∠DPM ＝28°，∴的度数＝2∠MDB ＝56°；CM ︵(2)证明：由(1)可得∠B ＝90°－∠BPM ＝90°－∠BAC ，12在△ABC 中，∠ACB ＝180°－∠B －∠BAC ＝180°－(90°－∠BAC )－∠BAC 12＝90°－∠BAC ，12∴∠ACB ＝∠B, ∴AC ＝AB .第7题答图① 第7题答图②(3)①若要满足题意，则点Q 必为过点A ，C ，E ，D 的垂线与线段MN 的交点，分析图形可得只有过点C ，E ，D 的垂线与线段MN 的交点满足题意．(Ⅰ)若CQ ⊥CP (如答图②点Q 1)，AM ＝BM ＝1，MP ＝4，由勾股定理，得BP ＝＝，由(1)(2)可得∠BAC ＝∠APB ，12＋4217又∵∠B ＝∠B ，∴△ABC ∽△PBA ，∴＝，得BC ＝，ABBC BP AB 41717∴CP ＝.131717由△PCQ 1∽△PMB ，得＝，解得PQ 1＝，CP MP PQ 1PB 134∴ MQ 1＝4－PQ 1＝.34(Ⅱ)若QD ⊥BP ，由EP ＝DP 可知 △EPQ 2≌△DPQ 2(如答图②点Q 2)，∴ EQ 2⊥EP .(即过点E ，D 的垂线与线段MN 的交点重合)∵点D 为线段BP 的中点，且Q 2D ⊥BP ，∴Q 2D 垂直平分线段BP ，则Q 2P ＝Q 2B ，设Q 2M ＝x ，则Q 2B ＝Q 2P ＝4－x, 由勾股定理，得BM 2＋M 2Q 2＝B 2Q 2，12＋x 2＝(4－x )2，解得x ＝.185(Ⅲ)若AC ⊥CQ (如答图②点Q 3)，∵∠ACQ 3＝90°，∴Q 3A 为该圆的直径，∴点Q 3为MP 与圆的交点，∵∠MAC ＝∠MQ 3C ＝2∠MPC ，∠MQ 3C ＝∠MPC ＋∠Q 3CP ，∴PQ 3＝ CQ 3，设MQ 3＝x ，则PQ 3＝4－x ，AC ＝AB ＝2，∵A 3Q 2＝AM 2＋M 3Q 2＝AC 2＋C 3Q 2，∴12＋x 2＝22＋(4－x )2，解得x ＝.198综上所述，MQ 的值为或或.34158198②如答图③，过点E 作AP 的中垂线，交MP于点K .过点C 作CJ ⊥AB 于点J ，连结AK ，KE ，DM .∵点M ，D 分别为AB ，BP 的中点，∴MD 为△ABP 的中位线，∴MD ∥AP ，AM ＝DF .又∵AM ∥ED ，∴四边形MAED 为平行四边形，∴AM ＝DE ，∠MDE ＝∠MAP ，∴DE ＝DF ，∵△GHE ≌△GHD ，∴ GE ＝GD ，∴GE ＝GD ＝DE ＝DF ，则△GDE 为正三角形，∠GDE ＝60°.第7题答图③∵∠EDF ＝90°－60°－30°，∴∠DEF ＝(180°－∠EDF )＝75°，12∴∠APM ＝15°，则∠AKM ＝2∠APM ＝30°，∴MK ＝，AK ＝KP ＝2，tan75°＝tan ∠MAP ＝＝＝2＋，3PM MA 2＋313∴tan ∠MAP ＝tan ∠HEP ＝tan75°＝2＋，3∵EH 为△AMP 的中位线，∴EH ＝，GH ＝，1232∴tan ∠HEP ＝＝2＋，HP ＝(2＋)，∴MG ＝1，PH EH 3123∵∠MAC ＝2∠MPA ＝30°，AM ＝1，CJ ＝AC ＝AB ＝1，1212∴MI ＝，IG ＝1－，AJ ＝，33333∴S △ACG ＝IG ·AJ ＝××＝，S △EDG ＝ED ·GH ＝×1×＝，1212(1－33)33－1212123234∴＝＝.S △ACGS △DEG 3－12346－233。
中考数学压轴题专题07几何图形动点运动问题(学生版+解析版)
专题七几何图形动点运动问题【考题研究】几何动点运动问题，是以几何知识和具体的几何图形为背景，渗透运动变化的观点，通过点、线、形的运动，图形的平移、翻折、旋转等把图形的有关性质和图形之间的数量关系位置关系看作是在变化的、相互依存的状态之中，要求对运动变化过程伴随的数量关系的图形的位置关系等进行探究．对学生分析问题的能力，对图形的想象能力，动态思维能力的培养和提高有着积极的促进作用．动态问题，以运动中的几何图形为载体所构建成的综合题，它能把几何、三角、函数、方程等知识集于一身，题型新颖、灵活性强、有区分度，受到了人们的高度关注，同时也得到了命题者的青睐，动态几何问题，常常出现在各地的中考数学试卷中．【解题攻略】几何动点运动问题通常包括动点问题、动线问题、面动问题，在考查图形变换(含三角形的全等与相似)的同时常用到的不同几何图形的性质，以三角形四边形为主，主要运用方程、函数、数形结合、分类讨论等数学思想．【解题类型及其思路】动态几何特点----问题背景是特殊图形，考查问题也是特殊图形，所以要把握好一般与特殊的关系；分析过程中，特别要关注图形的特性（特殊角、特殊图形的性质、图形的特殊位置。
）动点问题一直是中考热点，近几年考查探究运动中的特殊性：等腰三角形、直角三角形、相似三角形、平行四边形、梯形、特殊角或其三角函数、线段或面积的最值。
利用动点（图形）位置进行分类，把运动问题分割成几个静态问题，然后运用转化的思想和方法将几何问题转化为函数和方程问题,利用函数与方程的思想和方法将所解决图形的性质（或所求图形面积）直接转化为函数或方程。
解题类型：几何动点运动问题常见有两种常见类型：(1)利用函数与方程的思想和方法将所解决图形的性质直接转化为函数或方程；(2)根据运动图形的位置分类，把动态问题分割成几个静态问题，再将几何问题转化为函数和方程问题【典例指引】类型一【探究动点运动过程中线段之间的数量关系】【典例指引1】在△ABC中，∠ACB＝45°，点D为射线BC上一动点（与点B、C不重合），连接AD，以AD为一边在AD右侧作正方形ADEF．（1）如果AB＝AC，如图1，且点D在线段BC上运动，判断∠BAD∠CAF（填“＝”或“≠”），并证明：CF⊥BD（2）如果AB≠AC，且点D在线段BC的延长线上运动，请在图2中画出相应的示意图，此时（1）中的结论是否成立？请说明理由；（3）设正方形ADEF的边DE所在直线与直线CF相交于点P，若AC＝42，CD＝2，求线段CP的长．【举一反三】如图1，点C在线段AB上，（点C不与A、B重合），分别以AC、BC为边在AB同侧作等边三角形ACD和等边三角形BCE，连接AE、BD交于点P（1）观察猜想：①线段AE与BD的数量关系为_________；②∠APC的度数为_______________（2）数学思考：如图2，当点C在线段AB外时，（1）中的结论①，②是否仍然成立？若成立，请给予证明；若不成立，请你写出正确结论再给予证明（3）拓展应用：如图3，分别以AC、BC为边在AB同侧作等腰直角三角形ACD和等腰直角三角形BCE，其中∠ACD=∠BCE=90°，CA=CD，CB=CE，连接AE=BD交于点P，则线段AE与BD的关系为________________类型二【确定动点运动过程中的运动时间】【典例指引2】已知：如图，在平面直角坐标系中，长方形OABC的项点B的坐标是(6,4).（1）直接写出A点坐标（______，______），C点坐标（______，______）；P m，且四边形OADP的面积是（2）如图，D为OC中点.连接BD，AD，如果在第二象限内有一点(),1∆面积的2倍，求满足条件的点P的坐标；ABC（3）如图，动点M从点C出发，以每钞1个单位的速度沿线段CB运动，同时动点N从点A出发.以每秒2t>，在M，个单位的連度沿线段AO运动，当N到达O点时，M，N同时停止运动，运动时间是t秒()0N运动过程中.当5MN=时，直接写出时间t的值.【举一反三】如图，▱ABCD 的对角线AC 、BD 相交于点O ，AB ⊥AC ，AB ＝3，BC ＝5，点P 从点A 出发，沿AD 以每秒1个单位的速度向终点D 运动．连结PO 并延长交BC 于点Q ．设点P 的运动时间为t 秒． （1）求BQ 的长，（用含t 的代数式表示）（2）当四边形ABQP 是平行四边形时，求t 的值（3）当点O 在线段AP 的垂直平分线上时，直接写出t 的值．类型三 【探究动点运动过程中图形的形状或图形之间的关系】【典例指引3】已知矩形ABCD 中，10cm AB =，20cm BC =，现有两只蚂蚁P 和Q 同时分别从A 、B 出发，沿AB BC CD DA =--方向前进，蚂蚁P 每秒走1cm ，蚂蚁Q 每秒走2cm ．问：（1）蚂蚁出发后△PBQ 第一次是等腰三角形需要爬行几秒?（2）P 、Q 两只蚂蚁最快爬行几秒后，直线PQ 与边AB 平行?如图，平面直角坐标系中，直线l分别交x轴、y轴于A、B两点（AO<AB）且AO、AB的长分别是一元二次方程x2-3x+2=0的两个根，点C在x轴负半轴上，且AB：AC=1:2.（1）求A、C两点的坐标；（2）若点M从C点出发，以每秒1个单位的速度沿射线CB运动，连接AM，设△ABM的面积为S，点M的运动时间为t，写出S关于t的函数关系式，并写出自变量的取值范围；（3）点P是y轴上的点，在坐标平面内是否存在点Q，使以A、B、P、Q为顶点的四边形是菱形？若存在，请直接写出Q点的坐标；若不存在，请说明理由．类型四【探究动点运动过程中图形的最值问题】【典例指引4】如图，抛物线y＝ax2﹣34x+c与x轴相交于点A（﹣2，0）、B（4，0），与y轴相交于点C，连接AC，BC，以线段BC为直径作⊙M，过点C作直线CE∥AB，与抛物线和⊙M分别交于点D，E，点P 在BC下方的抛物线上运动．（1）求该抛物线的解析式；（2）当△PDE是以DE为底边的等腰三角形时，求点P的坐标；（3）当四边形ACPB的面积最大时，求点P的坐标并求出最大值．已知：如图.在△ABC中.AB=AC=5cm，BC=6cm.点P由B出发，沿BC方向匀速运动.速度为1cm/s.同时，点Q从点A出发，沿AC方向匀速运动.速度为1cm/s，过点P作PM⊥BC交AB于点M，过点Q作QN⊥BC，垂足为点N，连接MQ，若设运动时间为t(s)(0<t<3)，解答下列问题：（1）当t为何值时，点M是边AB中点?（2）设四边形PNQM的面积为y(cm2)，求出y与t之间的函数关系式；（3）是否存在某一时刻t，使S四边形PNQM:S△ABC=4:9?若存在，求出此时t的值；若不存在，说明理由；（4）是否存在某一时刻t，使四边形PNQM为正方形?若存在，求出此时t的值；若不存在，请说明理由.【新题训练】1．如图①，△ABC是等边三角形，点P是BC上一动点（点P与点B、C不重合），过点P作PM∥AC交AB于M，PN∥AB交AC于N，连接BN、CM．（1）求证：PM+PN＝BC；（2）在点P的位置变化过程中，BN＝CM是否成立？试证明你的结论；（3）如图②，作ND∥BC交AB于D，则图②成轴对称图形，类似地，请你在图③中添加一条或几条线段，使图③成轴对称图形（画出一种情形即可）．2．如图，在矩形ABCD中，AB=18，AD=12，点M是边AB的中点，连结DM，DM与AC交于点G，点E，F分别是CD与DG上的点，连结EF，(1)求证：CG=2AG.(2)若DE=6，当以E，F，D为顶点的三角形与△CDG相似时，求EF的长.(3)若点E从点D出发，以每秒2个单位的速度向点C运动，点F从点G出发，以每秒1个单位的速度向点D运动.当一个点到达，另一个随即停止运动.在整个运动过程中，求四边形CEFG的面积的最小值.3．知识链接：将两个含30°角的全等三角尺放在一起，让两个30°角合在一起成60°，经过拼凑、观察、思考，探究出结论“直角三角形中，30°角所对的直角边等于斜边的一半”．如图，等边三角形ABC的边长为4cm，点D从点C出发沿CA向A运动，点E从B出发沿AB的延长线BF 向右运动，已知点D、E都以每秒0.5cm的速度同时开始运动，运动过程中DE与BC相交于点P，设运动时间为x秒．(1)请直接写出AD长．（用x的代数式表示）(2)当△ADE为直角三角形时，运动时间为几秒？(3)求证：在运动过程中，点P始终为线段DE的中点．4．如图所示，已知抛物线2(0)y ax a =≠与一次函数y kx b =+的图象相交于(1,1)A --，(2,4)-B 两点，点P 是抛物线上不与A ，B 重合的一个动点.（1）请求出a ，k ，b 的值；（2）当点P 在直线AB 上方时，过点P 作y 轴的平行线交直线AB 于点C ，设点P 的横坐标为m ，PC 的长度为L ，求出L 关于m 的解析式；（3）在（2）的基础上，设PAB ∆面积为S ，求出S 关于m 的解析式，并求出当m 取何值时，S 取最大值，最大值是多少？5．已知：如图，在矩形ABCD 中，AC 是对角线，AB ＝6cm ，BC ＝8cm ．点P 从点D 出发，沿DC 方向匀速运动，速度为1cm /s ，同时，点Q 从点C 出发，沿CB 方向匀速运动，速度为2cm /s ，过点Q 作QM ∥AB 交AC 于点M ，连接PM ，设运动时间为t （s ）（0＜t ＜4）．解答下列问题：（1）当t 为何值时，∠CPM ＝90°；（2）是否存在某一时刻t ，使S 四边形MQCP ＝ABCD 1532S 矩形？若存在，求出t 的值；若不存在，请说明理由； （3）当t 为何值时，点P 在∠CAD 的角平分线上．6．在等边三角形ABC中，点D是BC的中点，点E、F分别是边AB、AC（含线段AB、AC的端点）上的动点，且∠EDF＝120°，小明和小慧对这个图形展开如下研究：问题初探：（1）如图1，小明发现：当∠DEB＝90°时，BE+CF＝nAB，则n的值为；问题再探：（2）如图2，在点E、F的运动过程中，小慧发现两个有趣的结论：①DE始终等于DF；②BE与CF的和始终不变；请你选择其中一个结论加以证明．成果运用:（3）若边长AB＝8，在点E、F的运动过程中，记四边形DEAF的周长为L，L＝DE+EA+AF+FD，则周长L取最大值和最小值时E点的位置?7．如图，在矩形ABCD中，AB＝8cm，BC＝16cm，点P从点D出发向点A运动，运动到点A停止，同时，点Q从点B出发向点C运动，运动到点C即停止，点P、Q的速度都是1cm/s．连接PQ、AQ、CP．设点P、Q运动的时间为ts．(1)当t为何值时，四边形ABQP是矩形；(2)当t为何值时，四边形AQCP是菱形；(3)分别求出(2)中菱形AQCP的周长和面积．8．如图，O为菱形ABCD对角线的交点，M是射线CA上的一个动点（点M与点C、O、A都不重合），过点A、C分别向直线BM作垂线段，垂足分别为E、F，连接OE，OF．（1）①依据题意补全图形；②猜想OE与OF的数量关系为_________________.（2）小东通过观察、实验发现点M在射线CA上运动时，（1）中的猜想始终成立．小东把这个发现与同学们进行交流，通过讨论，形成了证明（1）中猜想的几种想法：想法1：由已知条件和菱形对角线互相平分，可以构造与△OAE全等的三角形，从而得到相等的线段，再依据直角三角形斜边中线的性质，即可证明猜想；想法2：由已知条件和菱形对角线互相垂直，能找到两组共斜边的直角三角形，例如其中的一组△OAB和△EAB，再依据直角三角形斜边中线的性质，菱形四边相等，可以构造一对以OE和OF为对应边的全等三角形，即可证明猜想．……请你参考上面的想法，帮助小东证明（1）中的猜想（一种方法即可）．（3）当∠ADC=120°时，请直接写出线段CF，AE，EF之间的数量关系是_________________．9．（1）（问题情境）小明遇到这样一个问题：如图①，已知ABC ∆是等边三角形，点D 为BC 边上中点，60ADE ∠=︒，DE 交等边三角形外角平分线CE 所在的直线于点E ，试探究AD 与DE 的数量关系．小明发现：过D 作//DF AC ，交AB 于F ，构造全等三角形，经推理论证问题得到解决．请直接写出AD 与DE 的数量关系，并说明理由． （2）（类比探究）如图②，当D 是线段BC 上（除,B C 外）任意一点时（其他条件不变）试猜想AD 与DE 的数量关系并证明你的结论． （3）（拓展应用）当D 是线段BC 上延长线上，且满足CD BC =（其他条件不变）时，请判断ADE ∆的形状，并说明理由．10．如图，直线y =﹣23x +4与x 轴交于点C ，与y 轴交于点B ，抛物线y =ax 2+103x +c 经过B 、C 两点． （1）求抛物线的解析式；（2）如图，点E 是直线BC 上方抛物线上的一动点，当△BEC 面积最大时，请求出点E 的坐标； （3）在（2）的结论下，过点E 作y 轴的平行线交直线BC 于点M ，连接AM ，点Q 是抛物线对称轴上的动点，在抛物线上是否存在点P ，使得以P 、Q 、A 、M 为顶点的四边形是平行四边形？如果存在，请直接写出点P 的坐标；如果不存在，请说明理由．11．如图，边长为4的正方形ABCD 中，点P 是边CD 上一动点，作直线BP ，过A 、C 、D 三点分别作直线BP 的垂线段，垂足分别是E 、F 、G ．（1）如图（a ）所示，当CP ＝3时，求线段EG 的长；（2）如图（b ）所示，当∠PBC ＝30°时，四边形ABCF 的面积；（3）如图（c ）所示，点P 在CD 上运动的过程中，四边形AECG 的面积S 是否存在最大值？如果存在，请求出∠PBC 为多少度时，S 有最大值，最大值是多少？如果不存在，请说明理由．12．已知：如图，在四边形ABCD 中，//AB CD ，90ACB ∠=︒，10cm AB =，8cm BC =，OD 垂直平分A C .点P 从点B 出发，沿BA 方向匀速运动，速度为1cm/s ；同时，点Q 从点D 出发，沿DC 方向匀速运动，速度为1cm/s ；当一个点停止运动，另一个点也停止运动.过点P 作PE AB ⊥，交BC 于点E ，过点O 作//QF AC ，分别交AD ，OD 于点F ，G .连接OP ，EG .设运动时间为()t s ()05t <<，解答下列问题：(1)当t 为何值时，点E 在BAC ∠的平分线上？ (2)设四边形PEGO 的面积为()2mS c ，求S 与t 的函数关系式.(3)连接OE ，OQ ，在运动过程中，是否存在某一时刻t ，使OE OQ ⊥？若存在，求出t 的值；若不存在，请说明理由.13．已知：如图1，矩形OABC 的两个顶点A ，C 分别在x 轴，y 轴上，点B 的坐标是（8，2），点P 是边BC 上的一个动点，连接AP ，以AP 为一边朝点B 方向作正方形P ADE ，连接OP 并延长与DE 交于点M ，设CP ＝a （a ＞0）．（1）请用含a 的代数式表示点P ，E 的坐标．（2）连接OE ，并把OE 绕点E 逆时针方向旋转90°得EF ．如图2，若点F 恰好落在x 轴的正半轴上，求a 与EMDM的值． （3）①如图1，当点M 为DE 的中点时，求a 的值．②在①的前提下，并且当a ＞4时，OP 的延长线上存在点Q ，使得EQ +22PQ 有最小值，请直接写出EQ +22PQ 的最小值．14．如图，边长为6的正方形ABCD 中，,E F 分别是,AD AB 上的点，AP BE ⊥，P 为垂足． （1）如图①， AF =BF ，AE =23，点T 是射线PF 上的一个动点，则当△ABT 为直角三角形时，求AT 的长；（2）如图②，若AE AF =，连接CP ，求证：CP FP ⊥．15．边长相等的两个正方形ABCO 、ADEF 如图摆放，正方形ABCO 的边OA 、OC 在坐标轴上，ED 交线段OC 于点G ，ED 的延长线交线段BC 于点P ，连AG ，已知OA 长为3. （1）求证：AOG ADG ∆≅∆;（2）若12∠=∠，AG =2，求点G 的坐标；（3）在（2）条件下，在直线PE 上找点M ，使以M 、A 、G 为顶点的三角形是等腰三角形，求出点M 的坐标.16．定义：有一组邻角相等的凸四边形叫做“梦想四边形”。
中考数学专题复习之几何图形动点问题
12，∴AB＝ 12 ＝2 3 ，又∵△ABE是等边三角形，∴BE＝AB＝2 3，即PD＋ PE的最小值为2 3 .
专题二 几何图形动点问题
类型3 同侧差最大值问题 【问题】两定点A、B位于直线l同侧，在直线l上找一点P，使得|PA－PB|的值 最大． 【解决思路】根据三角形任意两边之差小于第三边，|PA－PB|≤AB，当A，B， P三点共线时，等号成立，即|PA－PB|的最大值为线段AB的长．连接AB并延 长，与直线l的交点即为点P.
2 AN
－PN＝PM′－PN≤M′N＝2，延长M′N交BD于点P′，连接P′M，∴
例4题图
当点P运动到P′时，即点M′、N、P′共线时，M′N＝P′M′－P′N＝2，
∴PM－PN的最大值为2.
例4题解图
专题二 几何图形动点问题
模型二 “一点两线”型(两动点＋一定点)
【问题】点P是∠AOB的内部一定点，在OA上找一点M，在OB上找一点N， 使得△PMN周长最小． 【解决思路】要使△PMN周长最小，即PM＋PN＋MN值最小．根据两点之 间线段最短，将三条线段转化到同一直线上即可．
专题二 几何图形动点问题
例5 如图，∠AOB＝30°，点M、N分别是射线OA、OB上的动点，OP平分 ∠AOB，且OP＝6，则△PMN的周长最小值为( C )
213.∴PM－PO的最大值为
13
2.
例3题解图
专题二 几何图形动点问题
类型4 异侧差最大值问题 【问题】两定点A、B位于直线l异侧，在直线l上找一点P，使得|PA－PB|的值最大． 【解决思路】将异侧点转化为同侧点，同类型3即可解决．
专题二 几何图形动点问题
例4 (2019陕西)如图，在正方形ABCD中，AB＝8，AC与BD交于点O，N是AO的
中考数学总复习《图形滚动问题》专题训练(附带答案)
中考数学总复习《图形滚动问题》专题训练(附带答案) 学校:___________班级：___________姓名：___________考号：___________一、单选题1．如图，边长为1的正六边形在足够长的桌面上滚动（没有滑动）一周，则它的中心O 点所经过的路径长为（ ）A ．πB ．2πC ．3πD ．4π2．一个小正方体的六个面分别标有数字123456，，，，，，将它按如图所示的方式顺时针滚动，每滚动90︒算一次，则滚动第2023次时，小正方体朝下一面标有的数字是（ ）A ．3B ．5C ．4D ．23．三边都相等的三角形叫做等边三角形．如图，将数轴从点A 开始向右折出一个等边三角形ABC ，点A ，B ，C 表示的数分别为27x -，3x -和4x -．现将等边三角形ABC 向右滚动，则与表示数2024的点重合的点（ ）A ．是点AB ．是点BC ．是点CD ．不存在4．如图，将半径为1的圆形纸片上的点A 与数轴的原点重合，将纸片沿着数轴向左滚动一周，点A 到达了点B 的位置，则线段AB 的中点表示的数是（ ）5．已知一个圆心角为240︒，半径为3的扇形工件，没搬动前如图所示（A ，B 两点触地放置），向右滚动工件至点B 再次触地时停止，则圆心O 所经过的路线长是（ ）A ．6B ．3πC ．6πD ．12π6．如图，在平面直角坐标系xOy 中，,,,A B C D 是边长为1个单位长度的小正方形的顶点，开始时，顶点,A B 依次放在点(1,0),(2,0)的位置，然后向右滚动，第1次滚动使点C 落在点(3,0)的位置，第2次滚动使点D 落在点(4,0)的位置…按此规律滚动下去，则第2023次滚动后，顶点A 的坐标是( )的O 从点A3r π3r π8．某款“不倒翁”（图1）的主视图是图2，M 是“不倒翁”与水平面的接触点，P A ，PB 分别与AMB 所在圆相切于点A ，B ．将“不倒翁”向右作无滑动滚动，使点B 与水平面接触，如图3.若60P ∠=︒，水平面上点M 与点B 之间的距离为4π，则AMB 所在圆的半径是（ ）A ．3B ．6C ．9D ．12二、填空题9．如图，半径为1的圆，在x 轴上从原点O 开始向右滚动一周后，圆心的坐标为 ．10．如图，边长为1的正方形ABCD 的顶点A ，B 在半径为1的圆上，顶点C ，D 在圆内，将正方形ABCD 沿圆的内壁按逆时针方向作无滑动的滚动，当点B 再一次落在圆上时，点B 运动的路径长为 ．11．如图1装有水的水槽放置在水平台面上，其横截面是以AB 为直径的半圆O 10cm AB =，CD 为水面截线，MN 为台面截线，∥CD MN ．（1）在图1中，过点O 作OE CD ⊥于点E ，若3cm OE =，则CD = cm ；（2）如图2，将图1中的水槽沿MN 向右作无滑动的滚动，但不能使水溢出，则AD 的最大长度为 cm ．（参考数据：4cos375︒=，结果保留π）12．已知一个三角形的周长和面积分别是84、210，一个单位圆在它的内部沿着三边匀速无摩擦地滚动一周后回到原来的位置（如图），则这个三角形的内部以及边界没有被单位圆滚过的部分的面积是 （结果保留准确值）．13．如图，半径为3厘米的半圆的初始状态是直径垂直于桌面上的直线b ，然后把半圆沿直线b 从左往右进行无滑动滚动，滚动至半圆的直径与直线b 重合为止，则圆心O 运动的路径的长度等于 厘米．（结果保留π）14．如图，把Rt OAB 置于平面直角坐标系中，点A 的坐标为()04，，点B 的坐标为()30，，点P 是Rt OAB 内切圆的圆心．将Rt OAB 沿x 轴的正方向作无滑动滚动，使它的三边依次与x 轴重合，第一次滚动后圆心为1P ，第二次滚动后圆心为2P …依此规律，第2023次滚动后，Rt OAB 内切圆的圆心2023P 的坐标是 ．15．如图，直径为6个单位长度的半圆，从原点沿数轴向右滚动一周，圆上的一点由原点O 到达点O '，则点O '对应的数是 ．16．桌面上平放着一个边长为2分米的等边三角形ABC （如图①），现将这个三角形按下图所示，紧贴着桌面进行滚动．在整个滚动过程中，顶点 经过的路线轨迹最短，是 分米（结果保留π）．三、解答题17．如图，在ABCD 中，60DAB ∠=︒和15cm AB =；已知O 的半径等于3cm ，AB ，AD分别与O 相切于点E ，F ，O 在ABCD 内沿AB 方向滚动，与边BC 相切时运动停止.试求O 在边AB 上滚过的路程．18．如图，半径为1个单位的圆片上有一点A 与数轴上的原点重合，AB 是圆片的直径．(注：结果保留π )（1）把圆片沿数轴向右滚动半周，点B 到达数轴上点C 的位置，点C 表示的数是 数（填“无理”或“有理”）， 这个数是 ；（注：滚动是指没有滑动的转动）（2）把圆片沿数轴滚动2周，点A 到达数轴上点D 的位置，点D 表示的数是 ；（3）圆片在数轴上向右滚动的周数记为正数，圆片在数轴上向左滚动的周数记为负数，依次运动情况记录如下：+2，－1，+5，－3，－3 ．①第次滚动后，A点距离原点最近，第次滚动后，A点距离原点最远．①当圆片结束运动时，求A点运动的路程和此时点A所表示的数．19．折叠数轴，若在数轴上1-表示的点与5表示的点重合，回答以下问题：(1)数轴上8表示的点与表示的点重合．(2)若数轴上M、N两点之间的距离为800（M在N的左侧），且M、N两点经折叠后重合，求M、N两点表示的数各是多少？(3)如图，边长为2的正方形有一顶点落在数轴上表示1-的点处，将正方形在数轴上向右滚动（无滑动），正方形的一边与数轴重合记为滚动一次，求正方形滚动2022次后，落在数轴上一边的右端点表示的数与折叠后的哪个数重合？20．某课题小组研究如下的几个问题．（1）边长为1的等边三角形从图1位置开始沿直线顺时针无滑动地向右滚动一周，求点P 运动的路径长（直接列式计算）；（2）边长为1的正方形从图2位置开始沿直线顺时针无滑动地向右滚动，当正方形滚动一周时，求点P运动的路经长（直接列式计算）．（3）请你将（1）（2）中的正多边形化成一个边长为1，边数大于4的正多边形，按（1）（2）的方式滚动一周，求其任意一个顶点运动的路径长（请写出你选的图形的名称，直接写出结果）参考答案：1．B2．B3．A4．C5．C6．D7．C8．B9．(2π)1，10．226π+ 11． 8 3718π 12．84π-/84π-+13．3π14．()80931，15．63π+/36π+16． C 8π317．O 滚过的路程为()1543cm -18．（1）无理，π；（2）4π或-4π；（3）①5，3；①A 点运动的路程为28π；点A 所表示的数为0．19．(1)4-(2)M 、N 两点表示的数分别是398-，402。
几何中的动点问题：中考数学轨迹与路径
几何中的动点问题：中考数学轨迹与路径几何作为数学的一部分，一直以来被认为是高难度的学科之一，但是在实际中，几何也是生活和科学中必不可少的组成部分。
而在几何中，动点问题一直是人们感到困惑的一个问题。
在这篇文章中，我们将为大家全面介绍几何中的动点问题，以及如何在中考数学中处理轨迹和路径的问题。
一、动点问题的基本定义及特点动点问题可以简单定义为：在几何图形中，设有一个动点进行运动，如何求出该点的轨迹和路径。
动点问题是几何中的一个重要问题，具有以下特点：1. 动点问题一般是基于静态点进行分析，因此需要对静态点的性质有深刻的认识。
2. 动点问题的解决需要具备一定的数学能力和三维空间思维能力，需要较高的数学水平。
3. 动点问题结合实际进行探究，可以帮助人们更好地理解几何、物理等知识，也有益于培养人们的空间思维能力。
二、动点问题的基本应用1. 针对不同的几何图形，我们可以找到它们的动点问题：（1）直线的动点问题：一般是着眼于直线上的动点，分析其轨迹和路径；（2）圆的动点问题：针对圆上的任意一点，求其轨迹和路径；（3）曲线的动点问题：着重考虑曲线上的动点，探究它们的轨迹和路径。
2. 在实际生活中，动点问题也有很多应用：（1）公路的修建：如何建设一条曲线公路，使得大车可以顺利通过，是一个很好的动点问题实例；（2）太空飞行器飞行：在太空中，如何预测航天器的运动轨迹，需要运用动点问题的相关知识；（3）排球比赛中跑位：排球比赛中，如何控制自己的跑位，使得球能够顺利地落到自己的手中，也是一种动点问题的体现。
三、如何在中考数学中处理轨迹和路径在中考数学中，轨迹和路径的处理是重点。
我们可以通过以下方法来解决问题：1. 把动点分解成几个静止的点，结合点的特性，推导出动点刚好经过这些点时的轨迹和路径。
2. 找到一个合适的坐标系，将动点变成坐标，问题就可以转化为一个数学问题，更加便于解决。
3. 运用相关的几何定理，如垂线定理、角平分线定理等，结合动点的运动特性，解决问题。
2023年中考数学复习难点突破专题17 二次函数与实际问题：图形运动问题(含答案)
专题17 二次函数与实际问题：图形运动问题1．如图，在平面直角坐标系xOy 中，将抛物线2y x bx c =-++与直线1y x =-+相交于点()0,1A 和点()3,2B -，交x 轴于点C ，顶点为点F ，点D 是该抛物线上一点．（1）求抛物线的函数表达式；（2）如图1，若点D 在直线AB 上方的抛物线上，求DAB ∆的面积的最大值以及此时点D 的坐标； （3）如图2，若点D 在对称轴左侧的抛物线上，点()1,E t 是射线CF 上一点，当以C 、B 、D 为顶点的三角形与CAE ∆相似时，直接写出所有满足条件的t 的值．2．如图，在平面直角坐标系中，抛物线y ＝ax 2＋bx ＋4经过点A （4，0），B （－1，0），交y 轴于点C ． （1）求抛物线的解析式；（2）点D 是直线AC 上一动点，过点D 作DE 垂直于y 轴于点E ，过点D 作DF ⊥x 轴，垂足为F ，连接EF ，当线段EF 的长度最短时，求出点D 的坐标；（3）在AC 上方的抛物线上是否存在点P ，使得△ACP 是直角三角形？若存在，求出所有符合条件的点P 的坐标；若不存在，说明理由．3．如图，直线y ＝﹣x ＋n 与x 轴交于点A （4，0），与y 轴交于点B ，抛物线y ＝﹣x 2＋bx ＋c 经过点A ，B ．（1）求抛物线的解析式；（2）E （m ，0）为x 轴上一动点，过点E 作ED ⊥x 轴，交直线AB 于点D ，交抛物线于点P ，连接BP ． ①点E 在线段OA 上运动，若△BPD 直角三角形，求点E 的坐标；②点E 在x 轴的正半轴上运动，若∠PBD ＋∠CBO ＝45°．请直接写出m 的值．4．在平面直角坐标系中，抛物线22y x kx k =--（k 为常数）的顶点为N ．（1）如图，若此抛物线过点()3,1A -，求抛物线的函数表达式；（2）在（1）的条件下，抛物线与y 轴交于点B ，①求ABO ∠的度数；①连接AB ，点P 为线段AB 上不与点A ，B 重合的一个动点，过点P 作//CD x 轴交抛物线在第四象限部分于点C ，交y 轴于点D ，连接PN ，当BPN BNA △△时，线段CD 的长为___．（3）无论k 取何值，抛物线都过定点H ，点M 的坐标为()2,0，当90MHN ∠=︒时，请直接写出k 的值．5．如图，已知二次函数图象的顶点坐标为C （1，0），直线y ＝x+m 的图象与该二次函数的图象交于A 、B 两点，其中A 点坐标为（3，4），B 点在y 轴上．（1）求m 的值及这个二次函数的解析式；（2）若P是线段AB下方抛物线上一动点，当△ABP面积最大时，求P点坐标以及△ABP面积最大值；（3）若D为直线AB与这个二次函数图象对称轴的交点，Q为线段AB之间的一个动点，过Q作x轴的垂线，与这个二次函数图象交于点E，问是否存在这样的点Q，使得四边形DCEQ为平行四边形，若存在，请求出Q点的坐标；若不存在，请说明理由．6．在Rt△ABC中，AB=BC=12cm，点D从点A开始沿边AB以2cm/s的速度向点B移动，移动过程中始终保持DE∥BC，DF∥AC．（1）试写出四边形DFCE的面积S（cm2）与时间t（s）之间的函数关系式并写出自变量t的取值范围．（2）试求出当t为何值时四边形DFCE的面积为20cm2？（3）四边形DFCE的面积能为40吗？如果能，求出D到A的距离；如果不能，请说明理由．（4）四边形DFCE的面积S（cm2）有最大值吗？有最小值吗？若有，求出它的最值，并求出此时t的值．7．如图，平面直角坐标系中，矩形ABCO的边OA，OC分别在坐标轴上，OA=2，OC=1，以点A为顶点的抛物线经过点C．（1）求抛物线的函数表达式；（2）将矩形ABCO绕点A旋转，得到矩形AB'C'O'，使点C'落在x轴上，抛物线是否经过点C'？请说明理由．8．如图，抛物线243y ax ax a =-+（0a >），与y 轴交于点A ，在x 轴的正半轴上取一点B ，使2OB OA =，抛物线的对称轴与抛物线交于点C ，与x 轴交于点D ，与直线AB 交于点E ，连接BC ．（1）求点B ，C 的坐标（用含a 的代数式表示）；（2）若BCD △与BDE 相似，求a 的值；（3）连接OE ，记OBE △的外心为M ，点M 到直线AB 的距离记为h ，请探究h 的值是否会随着a 的值变化而变化？如果变化，请写出h 的取值范围：如果不变，请求出h 的值．9．已知：直线2l y x =+：与过点(0,2)-且平行于x 轴的直线交于点A ，点A 关于直线1x =- 的对称点为点B ．（1）求A B 、两点的坐标；（2）若抛物线2y x bx c =-++的顶点(,)m n 在直线l 上移动．①当抛物线2y x bx c =-++与坐标轴仅有两个公共点，求抛物线解析式；②若抛物线2y x bx c =-++与线段AB 有交点，当抛物线的顶点(,)m n 向上运动时，抛物线与y 轴的交点也向上运动，求m 的取值范围．10．如图，在平面直角坐标系中，O为坐标原点，点A在x轴的正半轴上，△AOB为等腰三角形，且OA ＝OB，B（8，6），过点B作y轴的垂线，垂足为D，点C在线段BD上，点D关于直线OC的对称点在腰OB上．（1）求AB的长；（2）求点C的坐标；（3）点P从点C出发，以每秒1个单位的速度沿折线CB﹣BA运动；同时点Q从A出发，以每秒1个单位的速度沿AO向终点O运动，当一点停止运动时，另一点也随之停止运动．设△BPQ的面积为S，运动时间为t，求S与t的函数关系式．11．如图，抛物线y=﹣12x2+32x+2，与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，抛物线的对称轴交x轴于点D，已知A（﹣1，0），C（0，2）．（1）求直线BC的解析式；（2）点E①线段BC上的一个动点，过点E作x轴的垂线与抛物线相交于点F，当点E运动到什么位置时，△CBF的面积最大？求出△CBF的最大面积及此时E点的坐标．（3）在抛物线的对称轴上是否存在点P，使△PCD是以CD为腰的等腰三角形？如果存在，直接写出P点的坐标；如果不存在，请说明理由；12．如图，正方形ABCD 的边长为4，点P 是BC 边上的一个动点（点P 不与点B 、C 重合），连接AP ，过点P 作PQ ⊥AP 交DC 于点Q ．设BP 的长为x ，CQ 的长为y ．（1） y 与x 之间的函数关系式，并写出自变量x 的取值范围，（2） 当x 取何值时，y 的值最大？最大值是多少？13．如图，已知二次函数23y ax ax =--的图象交x 轴于点A ，B ，交y 轴于点C ，且5AB =，直线y kx b =+（0k >）与二次函数的图象交于点M ，N （点M 在点N 的右边），交y 轴于点P ，交x 轴于点Q ．（1）求二次函数的解析式；（2）若5b =-，254OPQ S =△，求CMN △的面积； （3）若3b k =-，直线AN 与y 轴相交于点H ，求CP CH 的取值范围． 14．已知抛物线26(0)y ax bx a =++≠交x 轴于点()6,0A 和点()1,0B -．（1）求抛物线的解析式和顶点C 的坐标；（2）抛物线对称轴右侧两点M ，N （点M 在点N 的左侧）到对称轴的距离分别为1.5个单位长度和4.5个单位长度，点Q 为抛物线上点M ，N 之间（含点M ，N ）的一个动点，求点Q 的纵坐标Q y 的取值范围． 15．如图，已知边长为10的正方形ABCD ，E 是BC 边上一动点（与B 、C 不重合），连结AE ，H 是BC 延长线上的一点，过点E 作AE 的垂线交DCH ∠的角平分线于点F ．（1）求证：BAE CEF ∠=；（2）若2EC =时，求CEF △的面积；（3）EC 为何值时，CEF △的面积最大，最大值是多少？16．如图，在Rt ABC 中，90ACB ∠=︒，8AC =，4BC =，动点D 从点B 出发，以每秒1个单位长度的速度沿BA 向点A 运动，到达点A 停止运动，过点D 作ED AB ⊥交射线BC 于点E ，以BD 、BE 为邻边作平行四边形BDFE ．设点D 运动时间为t 秒，平行四边形BDFE 与Rt ABC 的重叠部分面积为S ．（1）当点F 落在AC 边上时，求t 的值；（2）求S 关于t 的函数解析式，并直接写出自变量t 的取值范围．17．如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线22(0)y ax bx a =+-≠与x 轴交于(1,0)A 、(3,0)B 两点，与y 轴交于点C ，其顶点为点D ，点E 的坐标为(0,1)-，该抛物线与BE 交于另一点F ，连接BC ． （1）求该抛物线的解析式；（2）若点(1,)H y 在BC 上，连接FH ，求FHB △的面积；（3）一动点M 从点D 出发，以每秒1个单位的速度沿平行于y 轴方向向上运动，连接OM ，BM ，设运动时间为t 秒(0)t >，在点M 的运动过程中，当t 为何值时，90OMB ∠=︒？18．如图在平面直角坐标系中，已知抛物线y ＝x 2﹣2x ＋c 与两坐标轴分别交于A ，B ，C 三点，且OC ＝OB ，点G 是抛物线的顶点．（1）求抛物线的解析式．（2）若点M 为第四象限内抛物线上一动点，点M 的横坐标为m ，四边形OCMB 的面积为S ．求S 关于m 的函数关系式，并求出S 的最大值．（3）若点P 是抛物线上的动点，点Q 是x 轴上的动点，判断有几个位置能够使得点P 、Q 、A 、G 为顶点的四边形为平行四边形，直接写出相应的点P 的坐标．19．在平面直角坐标系xOy中，点A（0，4）、B（3，0），抛物线y＝x2﹣4x+3a+2（a为实数）．（1）写出抛物线的对称轴；（2）若点（m，y1）（m+2，y2）在抛物线上，且y1＞y2，求m的取值范围．（3）若该抛物线图象在﹣1≤x≤3的部分与△AOB两直角边的交点个数为2，求a的取值范围．专题17 二次函数与实际问题：图形运动问题1．如图，在平面直角坐标系xOy 中，将抛物线2y x bx c =-++与直线1y x =-+相交于点()0,1A 和点()3,2B -，交x 轴于点C ，顶点为点F ，点D 是该抛物线上一点．（1）求抛物线的函数表达式；（2）如图1，若点D 在直线AB 上方的抛物线上，求DAB ∆的面积的最大值以及此时点D 的坐标； （3）如图2，若点D 在对称轴左侧的抛物线上，点()1,E t 是射线CF 上一点，当以C 、B 、D 为顶点的三角形与CAE ∆相似时，直接写出所有满足条件的t 的值．【答案】（1）221y x x =-++；（2）面积最大为278，此时37,24D ⎛⎫ ⎪⎝⎭；（3）1t =或2t =或1t =+或1t =．【分析】（1）将A 、B 两点坐标代入即可求解函数解析式；（2）过D 作DM//y 轴交AB 于点M ，设D 点坐标为()2,21a a a -++，则M (),1a a -+，用a 表示出DM ，然后根据割补法表示出DAB ∆的面积，利用二次函数的性质得出最大值和D 点坐标； （3）根据题意，45ACE ACO ∠=∠=︒,则BCD ∆中必有一个内角为45°，有两种情况：①若45CBD ∠=︒，得出BCD ∆是等腰直角三角形，因此ACE ∆也是等腰直角三角形，在对ACE ∆进行分类讨论；②若45CDB ∠=︒，根据圆的性质确定D 1的位置，求出D 1的坐标，在对ACE ∆与1CD B ∆相似分类讨论．【详解】（1）由题意得，将将A 、B 两点坐标代入函数解析式有：100293c b c =++⎧⎨-=-++⎩，解得21b c =⎧⎨=⎩ ∴抛物线解析式为221y x x =-++；（2）如图1，过D 作DM//y 轴交AB 于点M ，设D 点坐标为()2,21a a a -++，则M (),1a a -+， ∴()222113DM a a a a a =-++--+=-+ ()()()221133322ADB ADM BDM S S S a a a a a a ∆∆∆=+=-++-+- =23993244a a ⎛⎫--+- ⎪⎝⎭ =3327228a ⎛⎫--+ ⎪⎝⎭ ∴当32a =时，DAB ∆的面积的最大值278ADB S ∆=，此时D 点坐标为37,24⎛⎫ ⎪⎝⎭； （3）∵OA//OC ，如图2，CF//y 轴∴45ACE ACO ∠=∠=︒∴BCD ∆中必有一个内角为45°，由题意得BCD ∠不能为45°①若45CBD ∠=︒，则BD//x 轴。
中考数学-几何图形的动态问题(含答案)
中考数学-几何图形的动态问题（含答案）一、单选题1.如图甲，A，B是半径为1的⊙O上两点，且OA⊥OB．点P从A出发，在⊙O上以每秒一个单位的速度匀速运动，回到点A运动结束．设运动时间为x，弦BP的长度为y，那么如图乙图象中可能表示y与x的函数关系的是（）A. ①B. ④C. ①或③D. ②或④2.如图，平行四边形ABCD中，AB= cm，BC=2cm，∠ABC=45°，点P从点B出发，以1cm/s 的速度沿折线BC→CD→DA运动，到达点A为止，设运动时间为t(s)，△ABP的面积为S(cm2)，则S与t的大致图象是（）A. B. C. D.3.如图，在Rt△PMN中，∠P=90°，PM=PN，MN=6cm，矩形ABCD中AB=2cm，BC=10cm，点C和点M重合，点B，C（M）、N在同一直线上，令Rt△PMN不动，矩形ABCD沿MN 所在直线以每秒1cm的速度向右移动，至点C与点N重合为止，设移动x秒后，矩形ABCD 与△PMN重叠部分的面积为y，则y与x的大致图象是（）A. B. C. D.4.如图，等腰Rt△ABC中，斜边AB的长为2，O为AB的中点，P为AC边上的动点，OQ⊥OP 交BC于点Q，M为PQ的中点，当点P从点A运动到点C时，点M所经过的路线长为（）A. B. C. 1 D. 25.如图,菱形的边长是4厘米, ,动点以1厘米/秒的速度自点出发沿方向运动至点停止,动点以2厘米/秒的速度自点出发沿折线运动至点停止若点同时出发运动了秒,记的面积为,下面图象中能表示与之间的函数关系的是( )A. B.C. D.二、填空题6.如图，长方形ABCD中，AB=4cm，BC=3cm，点E是CD的中点，动点P从A点出发，以每秒1cm的速度沿A→B→C→E 运动，最终到达点E．若点P运动的时间为x秒，那么当x= ________时，△APE的面积等于5 ．7.如图，在矩形中，点同时从点出发，分别在，上运动，若点的运动速度是每秒2个单位长度，且是点运动速度的2倍，当其中一个点到达终点时，停止一切运动．以为对称轴作的对称图形．点恰好在上的时间为________秒．在整个运动过程中，与矩形重叠部分面积的最大值为________．8.如图，平面直角坐标系中，点A、B分别是x、y轴上的动点，以AB为边作边长为2的正方形ABCD，则OC的最大值为________9.在Rt△ABC中，AB=1，∠A=60°，∠ABC=90°，如图所示将Rt△ABC沿直线l无滑动地滚动至Rt△DEF，则点B所经过的路径与直线l所围成的封闭图形的面积为________．（结果不取近似值）10.如图，周长为a的圆上有且仅有一点A在数轴上，点A所表示的数为1，若该圆沿着数轴向右滚动两周后点A对应的点为B，此时，A、B两点之间恰好有三个表示正整数的点（不包括点A、B），则该圆的周长a的取值范围为________三、综合题11.如图，在△ABC中，已知AB=AC=10cm，BC=16cm，AD⊥BC于D，点E、F分别从B、C 两点同时出发，其中点E沿BC向终点C运动，速度为4cm/s；点F沿CA、AB向终点B运动，速度为5cm/s，设它们运动的时间为x（s）．（1）求x为何值时，△EFC和△ACD相似；（2）是否存在某一时刻，使得△EFD被AD分得的两部分面积之比为3:5，若存在，求出x 的值，若不存在，请说明理由；（3）若以EF为直径的圆与线段AC只有一个公共点，求出相应x的取值范围．12.如图（1），已知点G在正方形ABCD的对角线AC上，GE⊥BC，垂足为点E，GF⊥CD，垂足为点F．（1）证明与推断：①求证：四边形CEGF是正方形；②推断：AG∶BE的值为：（2）探究与证明：将正方形CEGF绕点C顺时针方向旋转α角（0°＜α＜45°），如图（2）所示，试探究线段AG 与BE之间的数量关系，并说明理由：（3）拓展与运用：正方形CEGF在旋转过程中，当B，E，F三点在一条直线上时，如图（3）所示，延长CG交AD于点H．若AG=6，GH=2 ，则BC=________．13.如图，在平面直角坐标系中，已知A（-3，0），B（0，），点D与点A关于y轴对称，C在第一象限内且四边形ABCD是平行四边形.（1）求点C、点D的坐标并用尺规作图确定两点位置（保留作图痕迹）（2）若半径为1的⊙P从点A出发，沿A—D—B—C以每秒4个单位长的速度匀速移动，同时⊙P的半径以每秒0.5个单位长的速度增加，运动到点C时运动停止，当运动时间为t秒时①t为何值时，⊙P与y轴相切？②在整个运动过程中⊙P与y轴有公共点的时间共有几秒？简述过程.（3）若线段AB绕点O顺时针旋转90°，线段AB扫过的面积是多少？14.如图，在平面直角坐标系中，菱形ABCD的边AB在x轴上，点B坐标（﹣3，0），点C在y轴正半轴上，且sin∠CBO= ，点P从原点O出发，以每秒一个单位长度的速度沿x 轴正方向移动，移动时间为t（0≤t≤5）秒，过点P作平行于y轴的直线l，直线l扫过四边形OCDA的面积为S．（1）求点D坐标．（2）求S关于t的函数关系式．（3）在直线l移动过程中，l上是否存在一点Q，使以B、C、Q为顶点的三角形是等腰直角三角形？若存在，直接写出Q点的坐标；若不存在，请说明理由．15.如图，已知A，B，C，D为矩形的四个顶点，AB＝16 cm，AD＝6 cm，动点P，Q分别从点A，C同时出发，点P以3 cm/s的速度向点B移动，一直到点B为止，点Q以2 cm/s的速度向点D移动，当点P停止运动时，点Q也停止运动．问：（1）P，Q两点从开始出发多长时间时，四边形PBCQ的面积是33 cm2?（2）P，Q两点从开始出发多长时间时，点P与点Q之间的距离是10 cm?16.有一副直角三角板，在三角板ABC中，∠BAC=90°，AB=AC=6，在三角板DEF中，∠FDE=90°，DF=4，DE= ．将这副直角三角板按如图1所示位置摆放，点B与点F重合，直角边BA 与FD在同一条直线上．现固定三角板ABC，将三角板DEF沿射线BA方向平行移动，当点F 运动到点A时停止运动．（1）如图2，当三角板DEF运动到点D与点A重合时，设EF与BC交于点M，则∠EMC=________度；（2）如图3，在三角板DEF运动过程中，当EF经过点C时，求FC的长；（3）在三角板DEF运动过程中，设BF=x，两块三角板重叠部分的面积为y，求y与x的函数解析式，并求出对应的x取值范围．17.如图所示，△ABC中，∠B=90°，AB=6cm，BC=8cm．点P从点A开始沿AB边向B以1cm/s 的速度移动，点Q从B点开始沿BC边向点C以2cm/s的速度移动．如果P，Q分别从A，B同时出发，（1）如果P、Q同时出发，几秒后，可使△PBQ的面积为8平方厘米？（2）线段PQ能否将△ABC分成面积相等的两部分？若能，求出运动时间；若不能说明理由．18.如图，AB是半圆O的直径，C是AB延长线上的点，AC的垂直平分线交半圆于点D，交AC于点E，连接DA，DC．已知半圆O的半径为3，BC=2．（1）求AD的长．（2）点P是线段AC上一动点，连接DP，作∠DPF=∠DAC，PF交线段CD于点F．当△DPF 为等腰三角形时，求AP的长．19.如图，在菱形ABCD中，AB=4，∠BAD=120°，△AEF为正三角形，E、F在菱形的边BC，CD上．（1）证明：BE=CF．（2）当点E，F分别在边BC，CD上移动时（△AEF保持为正三角形），请探究四边形AECF 的面积是否发生变化？若不变，求出这个定值；如果变化，求出其最大值．（3）在（2）的情况下，请探究△CEF的面积是否发生变化？若不变，求出这个定值；如果变化，求出其最大值．20.如图，在Rt△ABC中，AC=24cm，BC=7cm，P点在BC上，从B点到C点运动（不包括C 点），点P运动的速度为2cm/s；Q点在AC上从C点运动到A点（不包括A点），速度为5cm/s．若点P、Q分别从B、C同时运动，且运动时间记为t秒，请解答下面的问题，并写出探索的主要过程．（1）当t为何值时，P、Q两点的距离为5 cm？（2）当t为何值时，△PCQ的面积为15cm2？（3）请用配方法说明，点P运动多少时间时，四边形BPQA的面积最小？最小面积是多少？答案解析部分一、单选题1.如图甲，A，B是半径为1的⊙O上两点，且OA⊥OB．点P从A出发，在⊙O上以每秒一个单位的速度匀速运动，回到点A运动结束．设运动时间为x，弦BP的长度为y，那么如图乙图象中可能表示y与x的函数关系的是（）A. ①B. ④C. ①或③D. ②或④【答案】C【考点】分段函数，圆的认识，几何图形的动态问题，动点问题的函数图像【解析】【解答】当点P顺时针旋转时，图象是③，当点P逆时针旋转时，图象是①，故答案为①③.故答案为：C．【分析】由题意知PB的最短距离为0，最长距离是圆的直径；而点P从A点沿顺时针旋转和逆时针旋转后与点B的距离有区别，当点P从A点沿顺时针旋转时，弦BP的长度y的变化是：从AB的长度增大到直径的长，然后渐次较小至点B为0，再从点B运动到点A，则弦BP的长度y由0增大到AB的长；当点P从A点沿逆时针旋转时，弦BP的长度y的变化是：从AB的长度减小到0，再由0增大到直径的长，最后由直径的长减小到AB的长。
中考数学经典总复习专题动线、动形问题完美全文
学 （2）点P 、 Q在运动的过程中，△PCQ面积S有最 大值吗？若有，请求出最大值；若没有，请说明理 由。
动点与函数相结合
抛 与物y轴线交y于= 点 x122C+，m抛x+n物与线x轴的交对于称A轴、交Bx两轴点于，
合 点D，已知A（﹣1，0），C（0，2）． 作 （1）求抛物线的表达式；
学 存在，请说明理由；
y
解析：
C
AO
DB
x
动点与函数相结合
抛 与物y轴线交y于= 点 x122C+，m抛x+n物与线x轴的交对于称A轴、交Bx两轴点于，
合 点D，已知A（﹣1，0），C（0，2）．
作 互
（ 3）点E 是 线 段 BC上的一个动点，过点E 作x轴的垂线与抛物线相交于点F，当点E 运动到什么位置时，四边形CDBF的面积
8
1 2
3
x2+ 2
；
x+2；
∴抛物线的对称轴是x= ∴OD= ．3
32．
∵C（0，2 2），
∴OC=2．
5
在Rt△OCD中，由勾股定理，得CD= ．2
∵△CDP是以CD为腰的等腰三角形，
∴CP1=CP2=CP3=CD． 作CH⊥x轴于H，
∴HP1=HD=2，
∴∴DP1P（1=4．，32 4），P2（
中考数学---动线、动形问题
• 数学因运动而充满活力，数学因变化而精彩纷呈。动态题是中考 中必考的内容。
• 本节课重点来探究动态几何中的动线、动形问题。
• 一、关于动线、动形问题的解题方法：
• 1.“以静制动”，把动态问题转化成静态问题；
• 2.图形的运动主要有翻折、平移、旋转，在运动过程中，分清哪 些量不变，哪些量发生了变化，以不变的量作为解题基础，以变 化中的规律和特点作为解题的关键。
2024年中考数学复习 瓜豆原理中动点轨迹直线型最值问题以及逆向构造(原卷版+答案解析)
瓜豆原理中动点轨迹直线型最值问题以及逆向构造【专题说明】近些年的中考中，经常出现动点的运动轨迹类问题，通常出题以求出轨迹的长度或最值最为常见。
很多考生碰到此类试题常常无所适从，不知该从何下手。
动点轨迹问题是中考的重要压轴点.受学生解析几何知识的局限和思维能力的束缚,该压轴点往往成为学生在中考中的一个坎,致使该压轴点成为学生在中考中失分的一个黑洞.掌握该压轴点的基本图形,构建问题解决的一般思路,是中考专题复习的一个重要途径.本文就动点轨迹问题的基本图形作一详述.动点轨迹基本类型为直线型和圆弧型.其实初中阶段如遇求轨迹长度仅有2种类型：“直线型”和“圆弧型”（两种类型中还会涉及点往返探究“往返型”），对于两大类型该如何断定，通常老师会让学生画图寻找3处以上的点来确定轨迹类型进而求出答案，对于填空选择题而言不外乎是个好方法，但如果要进行说理很多考生难以解释清楚。
瓜豆原理：一个主动点，一个从动点（根据某种约束条件，跟着主动点动），当主动点运动时，从动点的轨迹相同．只要满足：1.两“动”，一“定”；2.两动点与定点的连线夹角是定角3.两动点到定点的距离比值是定值。
【引例】（选讲）如图，△APQ是等腰直角三角形，∠P AQ=90°且AP=AQ，当点P在直线BC上运动时，求Q点轨迹？【分析】当AP与AQ夹角固定且AP:AQ为定值的话，P、Q轨迹是同一种图形．当确定轨迹是线段的时候，可以任取两个时刻的Q点的位置，连线即可，比如Q点的起始位置和终点位置，连接即得Q点轨迹线段．【模型总结】必要条件：主动点、从动点与定点连线的夹角是定量（∠P AQ是定值）；主动点、从动点到定点的距离之比是定量（AP:AQ是定值）．结论：P、Q两点轨迹所在直线的夹角等于∠P AQ（当∠P AQ≤90°时，∠P AQ等于MN与BC夹角）P、Q两点轨迹长度之比等于AP:AQ（由△ABC∽△AMN，可得AP:AQ=BC:MN）如图，D 、E 是边长为4的等边三角形ABC 上的中点，P 为中线AD 上的动点，把线段PC 绕C 点逆时针旋转60°，得到P ’，EP ’的最小值【分析】结合这个例题我们再来熟悉一下瓜豆模型第一层：点P ’运动的轨迹是直线吗？第二层：点P ’的运动长度和点P 的运动长度相同吗？第三层：手拉手模型怎么构造？第四层：分析∠CAP 和∠CBP ’第五层：点P 和点P ’轨迹的夹角和旋转角的关系P'P'P'总共提到了3种处理方式： 1.找始末，定轨迹2.在轨迹上找一点旋转，构造手拉手模型，再通过角度相等得到从动点轨迹.3.反向旋转相关定点，构造手拉手模型，代换所求线段，即逆向构造. 那么什么具体选择什么方法更合适呢？我们再看一道例题 【例题2 宿迁中考】如图，正方形ABCD 的边长为4，E 为BC 上一点，且BE ＝1，F 为AB 边上的一个动点，连接EF ，以EF 为边向右侧作等边△EFG ，连接CG ，则CG 的最小值为 ．现在，我们分别用上面提到的3种策略来处理这个题目策略一：找始末，定轨迹我们分别以BE ，AE 为边，按题目要求构造等边三角形得到G 1与G 2，连接G 1与G 2得到点G 的轨迹，再作垂线CH 得到最小值.前面提到过从动点轨迹和主动点轨迹的夹角与旋转角有关，我们可以调用这个结论，得到∠AMG 1＝60°，BABABABA22进一步得到△MBG 1为等腰三角形后，求CH 就不难了.策略二：在点F 轨迹上找一点进行旋转.我们分别对A ，B 顺时针旋转60°，构造手拉手模型，再通过角度相等得到从动点轨迹，对A 点旋转会得到一个正切值为14的角，即1tan tan 4∠G M E =∠A FE=，然后进一步算出最值【简证】311202EM AE EN NEC IC ⇒°⇒∠,则5=2CH对B 点旋转得到∠EMG ＝∠FBE ＝90°，相对来说要容易一些.策略三：反向旋转相关定点，构造手拉手模型，代换所求线段.将点C 逆时针旋转60°，得到点H ，易证△CGE ≌△HFE ，则有CG ＝HF ，作MH ⊥AB 于M ，HM 即为所求．相比之下，先求轨迹后再求垂线段时，比较麻烦，而反向旋转代换所求线段感觉清爽很多.BABA如图，正方形ABCD 的边长为4，E 为BC 上一点，且BE ＝1，F 为AB 边上的一个动点，连接EF ，以EF 为底向右侧作等腰直角△EFG ，连接CG ，则CG 的最小值为 ．如图，正方形ABCD 的边长为4，E 为BC 上一点，F 为AB 边上一点，连接EF ，以EF 为底向右侧作等腰直角△EFG ，连接CG ，则AG 的最小值为 ．1.如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC＝4，点D是BC边的中点，点P是AC边上一个动点，连接PD，以PD为边在PD的下方作等边△PDQ，连接CQ．则CQ的最小值是2.如图，在矩形ABCD中，AB＝5，BC＝5 3,点P在线段BC上运动（含B、C两点），连接AP，以点A 为中心，将线段AP逆时针旋转60°到AQ，连接DQ，则线段DQ的最小值为3、如图,在矩形ABCD中,AB=3,BC=4,P是对角线AC上的动点,连接DP,将直线DP绕点P顺时针旋转,使∠1=∠2,且过点D作DG⊥PG,连接CG.则CG最小值为瓜豆原理中动点轨迹直线型最值问题以及逆向构造【专题说明】近些年的中考中，经常出现动点的运动轨迹类问题，通常出题以求出轨迹的长度或最值最为常见。
中考一轮复习--专题三 动点(面)问题
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1.(2019·江苏苏州)如图,菱形ABCD的对角线AC,BD交于点
O,AC=4,BD=16,将△ABO沿点A到点C的方向平移,得到△A'B'O'.当
点A'与点C重合时,点A与点B'之间的距离为( C )
A.6
B.8
C.10
D.12
由折叠知△A1DE≌△ADE,
所以A1D=AD=1.
由 A1B+A1D≥BD,得 A1B≥BD-A1D= 5-1.
故 A1B 长的最小值是 5-1.
类型一
类型二
类型三
类型二 图形中的动点问题
例2如图(1),已知正方形ABCD,E是线段BC上一点,N是线段BC延
长线上一点,以AE为边在直线BC的上方作正方形AEFG.
∴在线段 BC 上点 H 的左右两边各有一个点 P 使 PE+PF=9,同理在
线段 AB,AD,CD 上都存在两个点使 PE+PF=9.即共有 8 个点 P 满足
PE+PF=9.
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5.(2019·辽宁锦州)如图,在矩形ABCD中,AB=3,BC=2,M是AD边的中
点,N是AB边上的动点,将△AMN沿MN所在直线折叠,得到△A'MN,连
AC的中点,连接BD,点F是BC边上的动点(不与点B、C重合),过点B
作BE⊥BD交DF延长线于点E,连接CE,下列结论:
①若BF=CF,则CE2+AD2=DE2;
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②若∠BDE=∠BAC,AB=4,则CE= 8 ;
中考数学复习：专题9-9 探究动点背景下的线段最值问题
探究动点背景下的线段最值问题【专题综述】图形运动问题是中考数学命题的热点题型，其中有一类动点背景下线段长度的最值问题，常常使学生感到比较为难.本文谈谈破解这类问题的方法. 动点背景下线段长度的最值问题一般有两种解法:1、代数解法.通过设未知量，建立函数关系或列方程列不等式等，用函数最值、二次方程判别式、解不等式来求解.2、几何方法.常通取特殊点，如线段中点、端点;与动点的特殊位置相关的特殊线段，如三角形的高、中线、圆的直径等;特殊图形，如直角三角形、等边三角形、矩形等，用几何公理、定理来求解. 一般而言，用几何方法抓住特殊情形处理，比代数方法更有独特魅力. 【方法解读】一、从动点所在特殊位置入手图形中动点的运动有一定的范围，其较为特殊的位置有:线段上动点的两端点、线段中点等;若点在线段外运动，则与某线段共线就是特殊位置.这些特殊位置正是产生最值的关键点.例1 如图1，在四边形ABCD 中，90A ∠=︒，33AB =，3AD =，点M ，N 分别为线段BC ，AB 上的动点(含端点，但点M 不与点B 重合)，点E ，F 分别为DM ，MN 的中点，则EF 长度的最大值为. 分析 DM ，MN 的长度随点M ，N 分别在线段BC ，AB 上运动而变化，点E ，F 分别为DM ，MN 的中点却保持不变.题设中EF 与不变量A ∠，AB ，AD 无直接数量关系，但连结DN ，则由三角形的中位线定理可知12EF DN =，如图1所示，从而可知DN 最大时，EF 最大.因为N 在线段AB 上，当点N 与其端点B 重合时DN 最大，如图2所示.此时，由勾股定理知6BD =，所以EF 长度的最大值为3.例2 如图3，在⊙O 中，直径6AB =，BC 是弦，30ABC ∠=︒，点P 是BC 上的一个动点，点Q 在⊙O 上，且OP PQ ⊥.求PQ 长的最大值.分析 点P 在BC 运动时，OP ，PQ 的位置和大小都变化，但OP PQ ⊥，圆的半径不变，连结OQ ，则OPQ ∆保持直角三角形不变.在Rt OPQ ∆中，22223PQ OQ OP OP =-=-,所以OP 最小时PQ 的长的最大.由垂径定理知，此时点P 正好是CB 的中点，如图4所示，Q 点与C 点重合.分析 连结OQ . ∵OP PQ ⊥，∴OPQ ∆为直角三角形. 又∵OP CB ⊥，132OB AB ==，30ABC ∠=︒， ∴32OP =由勾股定理，得223333()22PQ =-=即PQ 长的最大值332. 二、从动点产生的特殊线段入手在图形中，点的运动会引起相应线段位置和长度大小的变化，位置的变化会使线段成为具有某种特殊性质抓住这些线段变化的特殊性:如三角形的高、中线、圆的直径等，往往会找到最值的答案.例3 如图5，在直角ABC ∆中，90C ∠=︒，3AC =，4BC =，P 为AB 上(不与AB 重合)一动点，过点P 分别作PE AC ⊥于点E ，PF BC ⊥与F ，则EF 的最小值 .分析 因为点P 在AB 上运动时，PE AC ⊥于点E ，PF BC ⊥与F ，90C ∠=︒，所以四边形CFDE 是矩形，且这些关系不变.连结PC ，则EF CP =，要求EF 的最小值，就是求CP 的最小值.显然当CD AB ⊥，即CD 是斜边AB 的高时，CD 最小.又由勾股定理，得5AB =，根据三角形面积不变，得AC BC CD AB ⨯=⨯，解得125CP =，所以EF 的最小值为125. 例4 如图6，在圆O 上有定点C 和动点P 位于直径AB 的异侧，过点C 作CP 的垂线，与PB 的延长线交于点G .已知:圆O 半径为52，4tan 3ABC ∠=，则CG 的最大值是(). (A)5 (B)154(C)253(D)203分析 点P 在AB 上运动时，PC 的位置和大小会随之变化，但CAB CPG ∠=∠，90ACB PCG ∠=∠=︒保持不变，故有ABCPGC ∆∆，∴BC AC CG PC =，即BC CG PC AC=，由3tan 4AC ABC PC ∠==，知43CG PC =，当PC 最大时，CQ 取到最大值易知，当PC 经过圆心，即PC 为圆O 的直径时，PC 最大(此时CG 是圆O 的切线). ∵圆O 半径为52， ∴PC 的最大值为5,∴315544CG =⨯=. ∴CG 的最大值154，故选B.三、抓住动点问题的特性，从构造特殊图形入手某些动点问题中，难以找到图形变化时与相关线段最值的特殊情形若要用几何解法，应联系整个问题所含条件添加辅助线，构造特殊图形，然后借助特殊图形的性质将问题进行有效转化.例5 如图7，ABC ∆中，45B ∠=︒，60BAC ∠=︒，22AB =. D 是BC 上的一个动点以AD 为直径画圆与AB ，AC 相交于E ，F 两点，求EF 的最小值.分析 点D 在BC 上运动，AD 的位置改变引起圆O 的位置和大小变化，而所求EF 的 值与不变量B ∠，BAC ∠以及AB 的关系不明显.连结OE ，OF ，构造含120︒角的特殊等腰三角形，如图8所示，过O 点作OH EF ⊥垂足为H ，由圆周角定理可知1602EOH EOF BAC ∠=∠=∠=︒.在Rt EOH ∆中，由垂径定理可知23EF EH OE ==.所以当OE 最小时，EF 的值最小，而12OE AD =，由垂线段的性质可知，当AD 为ABC ∆的边BC 上的高时，直径AD 最短，此时线段EF 最小.在Rt ADB ∆中，45ABC ∠=︒，22AB =∴2AD BD ==，即此时圆的直径为2. 在Rt EOH ∆中，33sin 122EH OE EOH =∠=⨯= ∴23EF EH ==， 即EF 的最小值为3.四、从图形运动中相对保持不动的点入手若图形中的动点不止一个，这种情形相对单一动点问题要复杂一般会引起变化的量增加或整个图形发生运动，难以找到原图中保存不变的量，这时可着眼于图中的相对不变量.相对不变量是指在整个图形运动变化中，保持某种特性不变的量与动点下线段最值所对应的仍是图中特殊相对不变量透过图形运动的整体，抓住特殊相对不变量才是解题的关键.例6 如图9，在ABC ∆中，90ACB ∠=︒，3BC =，8AC =，点A ，C 分别在x 轴、y 轴的正半轴上.当点A 在x 轴上运动时，点C 随之在y 轴上运动，在运动中OB 的最大值是多少?分析 当点A 在x 轴上运动时，点C 随之在y 轴上运动，这样改变了ABC ∆的位置，点B 的位置也随之改变，OB 的长度随之发生变化.虽然BC 、AC 的长度不变，但些相对不变的量与OB 没有直接的关系. 仔细观察图9，AC 是Rt COA ∆的斜边，AC 长度不变，则点O 与其中点D 的连线段OD 的长度保持不变，这个隐含的相对不变的特殊量与OB 有关. 于是，连结DB ，则OB DB OD <+,所以，当O 、D 、B 三点共线时OB 值最大，即BO OD DB =+. 在Rt BCA ∆中，4CD =，3CB =，5DB =. 则OB 的最大值为549+=:.综上可知，解决动点背景下线段长度的最值问题时，一般可用几何方法从特殊情形出发考虑.1、在分析动点位置变化的同时，重点抓住图形中不变的量，不变的关系和性质，以不变应万变，动中求静.2、线段的最大值和最小值，常与下列知识相关:两点之间线段最短，垂线段最短，直径是圆中最大的弦，三角形中任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边等等.所以要抓住特殊情形，联系与问题相关的结论进行有效转化.【强化训练】1.（2017四川省内江市）如图，已知直线l1∥l2，l1、l2之间的距离为8，点P到直线l1的距离为6，点Q到直线l2的距离为4，PQ=430，在直线l1上有一动点A，直线l2上有一动点B，满足AB⊥l2，且P A+AB+BQ 最小，此时P A+BQ= ．2.（2017山东省东营市）如图，已知菱形ABCD的周长为16，面积为83，E为AB的中点，若P为对角线BD上一动点，则EP+AP的最小值为．3．（2017山东省威海市）如图，△ABC为等边三角形，AB=2．若P为△ABC内一动点，且满足∠P AB=∠ACP，则线段PB长度的最小值为．4. （2017甘肃省天水市）如图所示，正方形ABCD的边长为4，E是边BC上的一点，且BE=1，P是对角线AC上的一动点，连接PB、PE，当点P在AC上运动时，△PBE周长的最小值是．5．（2017贵州省贵阳市）如图，在矩形纸片ABCD 中，AB =2，AD =3，点E 是AB 的中点，点F 是AD 边上的一个动点，将△AEF 沿EF 所在直线翻折，得到△A ′EF ，则A ′C 的长的最小值是 ．6.（2016山东省枣庄市）如图，把△EFP 放置在菱形ABCD 中，使得顶点E ，F ，P 分别在线段AB ，AD ，AC 上，已知EP =FP =6，EF =63，∠BAD =60°，且AB ＞63． （1）求∠EPF 的大小；（2）若AP =10，求AE +AF 的值；（3）若△E FP 的三个顶点E 、F 、P 分别在线段AB 、AD 、AC 上运动，请直接写出AP 长的最大值和最小值．7．（2016山东省枣庄市）如图，已知抛物线2y ax bx c =++（a ≠0）的对称轴为直线x =﹣1，且抛物线经过A （1，0），C （0，3）两点，与x 轴交于点B ．（1）若直线y =mx +n 经过B 、C 两点，求直线BC 和抛物线的解析式；（2）在抛物线的对称轴x =﹣1上找一点M ，使点M 到点A 的距离与到点C 的距离之和最小，求出点M 的坐标；（3）设点P 为抛物线的对称轴x =﹣1上的一个动点，求使△BPC 为直角三角形的点P 的坐标．8.（2017山东省烟台市）如图1，抛物线22y ax bx =++与x 轴交于A ，B 两点，与y 轴交于点C ，AB =4，矩形OBDC 的边CD =1，延长DC 交抛物线于点E ． （1）求抛物线的解析式；（2）如图2，点P 是直线EO 上方抛物线上的一个动点，过点P 作y 轴的平行线交直线EO 于点G ，作PH ⊥EO ，垂足为H ．设PH 的长为l ，点P 的横坐标为m ，求l 与m 的函数关系式（不必写出m 的取值范围），并求出l 的最大值；（3）如果点N 是抛物线对称轴上的一点，抛物线上是否存在点M ，使得以M ，A ，C ，N 为顶点的四边形是平行四边形？若存在，直接写出所有满足条件的点M 的坐标；若不存在，请说明理由．9.（2016四川省眉山市）已知如图，在平面直角坐标系xOy 中，点A 、B 、C 分别为坐标轴上上的三个点，且OA =1，OB =3，OC =4．（1）求经过A 、B 、C 三点的抛物线的解析式；（2）在平面直角坐标系xOy 中是否存在一点P ，使得以以点A 、B 、C 、P 为顶点的四边形为菱形？若存在，请求出点P 的坐标；若不存在，请说明理由；（3）若点M 为该抛物线上一动点，在（2）的条件下，请求出当|PM ﹣AM |的最大值时点M 的坐标，并直接写出|PM ﹣AM |的最大值．10. （2016广西梧州市）如图，抛物线24y ax bx =+-（a ≠0）与x 轴交于A （4，0）、B （﹣1，0）两点，过点A 的直线y =﹣x +4交抛物线于点C ． （1）求此抛物线的解析式；（2）在直线AC 上有一动点E ，当点E 在某个位置时，使△BDE 的周长最小，求此时E 点坐标； （3）当动点E 在直线AC 与抛物线围成的封闭线A →C →B →D →A 上运动时，是否存在使△BDE 为直角三角形的情况，若存在，请直接写出符合要求的E 点的坐标；若不存在，请说明理由．。
中考数学规律问题图形变化类汇编经典和答案解析1(1)
中考数学规律问题图形变化类汇编经典和答案解析1(1)一、规律问题图形变化类1．如图，每一幅图中均含有若干个正方形，第1幅图中有1个正方形；第2幅图中有5个正方形……按这样的规律下去，第9幅图中正方形正的个数为（ ）A ．180B ．204C ．285D ．3852．如图，都是由棱长为1的正方体叠成的图形．例如：第①个图形由1个正方体叠成，第②个图形由4个正方体叠成，第③个图形由10个正方体叠成…，低此规律，第10个图形由n 个正方体叠成，则n 的值为（ ）A ．220B ．165C ．120D ．553．如图30MON ∠=︒，点1A 、2A 、3A …在射线ON 上，点1B 、2B 、3B …在射线OM 上，112A B A △、223A B A △、324A B A △…为等边三角形，若11OA =，则877A B A △的边长为（ ）A ．32B ．56C ．64D ．1284．用大小相等的小正方形按一定规律拼成下列图形，则第n 个图形中小正方形的个数是（ ）A ．21nB ．21n -C ．()211n +-D ．52n -5．按照如图所示的方法排列黑色小正方形地砖，则第14个图案中黑色小正方形地砖的数量是（ ）A ．360B ．363C ．365D ．3696．如图，△OA 1B 1，△A 1A 2B 2，△A 2A 3B 3，…是分别以A 1，A 2，A 3，…为直角顶点，一条直角边在x 轴正半轴上的等腰直角三角形，其斜边的中点C 1（x 1，y 1），C 2（x 2，y 2），C 3（x 3，y 3），…均在反比例函数y 4x=（x >0）的图象上．则y 1+y 2+…+y 10的值为（ ）A ．10B ．6C ．2D ．77．如图，已知正方形1234A A A A 的边长为1，延长12A A 到1B ，使得1212B A A A =，延长23A A 到2B ，使得2323B A A A =，以同样的方式得到34,B B ，连接1234,,,B B B B ，得到第2个正方形1234B B B B ，再以同样方式得到第3个正方形1234C C C C ，……，则第2020个正方形的边长为（ ）A ．2020B ．2019(5)C ．2020(5)D ．202058．如图，①是一个三角形，分别连接这个三角形三边中点得到图②，再连接图②中间小三角形三边的中点得到图③，按这样的方法进行下去，第n 个图形中共有三角形的个数为（ ）A ．2n ﹣3B ．4n ﹣1C ．4n ﹣3D ．4n ﹣29．现有四条具有公共端点O 的射线OA OB OC OD 、、、，若点123,,P P P ，…，按如图所示规律排列，则点2021P 应该落在（ ）A ．射线OA 上B ．射线OB 上C ．射线OC 上D ．射线OD 上10．蜜蜂被认为是自然界中最杰出的建筑师，单个蜂巢可以近似地看作是一个正六边形，如图为一组蜂巢的截面图．其中第一个图有1个蜂巢，第二个图有7个蜂巢，第三个图有19个蜂巢，…，按此规律，第5个图的蜂巢总数的个数是（ ）A ．61B ．62C ．63D ．6511．如图，自左至右，第1个图由1个正六边形、6个正方形和6个等边三角形组成；第2个图由2个正六边形、11个正方形和10个等边三角形组成；第3个图由3个正六边形、16个正方形和14个等边三角形组成；…按照此规律，第8个图中正方形和等边三角形的个数之和为（ ）A ．57B ．66C ．67D ．7512．如图，图①是一块边长为1，周长记为P 1的正三角形纸板，沿图①的底边剪去一块边长为12的正三角形纸板后得到图②，然后沿同一底边依次剪去一块更小的正三角形纸板（即其边长为前一块被剪掉正三角形纸板边长的12）后，得图③、④，…，记第n （n≥3）块纸板的周长为P n ，则P n －P n －1等于…（ ）A ．112n - B ．3－12n C ．1－132n - D ．132n -＋212n -13．如图，在射线OA ，OB 上分别截取11OA OB =，连接11A B ，在11B A ，1B B 上分别截取1212B A B B =，连接22A B ，⋯按此规律作下去，若11A B O a ∠=，则20202020A B O ∠=（ ）A ．20202a B ．20192aC ．4040aD ．4038a14．一组正方形按如图所示的方式放置，其中顶点B 1在y 轴上，顶点C 1，E 1，E 2，C 2，E 3，E 4，C 3……在x 轴上，已知正方形A 1B 1C 1D 1的边长为1，∠B 1C 1O ＝60°，B 1C 1∥B 2C 2∥B 3C 3……，则正方形A 2020B 2020C 2020D 2020的边长是（ ）A ．(12)2017B ．(12)2018C ．(33)2019 D ．(33)2020 15．如图，每一幅图中均含有若干个正方形，第①个图形中含有1个正方形，第②个图形中含有5个正方形，按此规律下去，则第⑥个图形含有正方形的个数是（ ）A ．102B ．91C ．55D ．3116．如图，把正六边形各边按同一方向延长，使延长的线段与原正六边形的边长相等，顺次连接这六条线段外端点可以得到一个新的正六边形，…，重复上述过程，经过2020次后，所得到的正六边形的边长是原正六边形边长的（ ）A ．2018(3)倍B ．2019(3)倍C ．2020(3)倍D ．2021(3)倍17．如图，已知点A 1，A 2，…，A 2011在函数2y x 位于第二象限的图象上，点B 1，B 2，…，B 2011在函数2yx 位于第一象限的图象上，点C 1，C 2，…，C 2011在y 轴的正半轴上，若四边形 111OA C B 、1222C A C B ，…， 2010201120112011C A C B 都是正方形，则正方形2010201120112011C A C B 的边长为（ ）A ．2010B ．2011C ．2D ．218．如图．ABC 的面积为1．分别取,AC BC 两边的中点11A B 、，则四边形11A ABB 的面积为34，再分别取的11,A C B C 中点2222,,,A B A C B C 的中点33,A B ，依次取下去…．利用这一图形．计算出233333 (4444)n ++++的值是（ ）A ．11414n n ---B ．414n n -C ．212n n -D ．1212n n--19．按如图方式摆放餐桌和椅子：桌子张数 1 2 34 …n可坐人数6 8 10 …n 张餐桌可坐的人数为（ ） A ．n+5B ．2n+6C ．2nD ．2n+420．已知有公共端点的射线OA 、OB 、OC 、OD ，若点P 1、P 2、P 3、…，按如图所示规律排列，则点P 2020落在（ ）A ．射线OA 上B ．射线OB 上C ．射线OC 上D ．射线OD 上21．如图，小明用棋子摆放图形来研究数的规律，图1中棋子围成三角形．其个数3，6，9，12，…称为三角形数，类似地，图2中的4，8，12，16，…称为正方形数．下列数中既是三角形数又是正方形数的是（ ）A ．2020B ．2018C ．2016D ．201422．如图，大小不同的两个磁块，其截面都是等边三角形，小三角形边长是大三角形边长的一半，点O 是小三角形的内心，现将小三角形沿着大三角形的边缘顺时针滚动，当由①位置滚动到④位置时，线段OA 绕点O 顺时针转过的角度是（ ）A ．240°B ．360°C ．480°D ．540°23．用棋子按下列方式摆图形，第一个图形有1枚棋子，第二个图形有5枚棋子，第三个图形有12枚棋子，…依此规律，第7个图形比第6个图形多（ ）枚棋子A ．20B ．19C ．18D ．1724．如图，8AOB ∠=︒，点P 在OB 上．以点P 为圆心，OP 为半径画弧，交OA 于点1P （点1P 与点O 不重合），连接1PP ；再以点1P 为圆心，OP 为半径画弧，交OB 于点2P （点2P 与点P 不重合），连接12PP ；再以点2P 为圆心，OP 为半径画弧，交OA 于点3P （点3P 与点1P 不重合），连接23P P ；…按照这样的方法一直画下去，得到点n P ，若之后就不能再画出符合要求的点1n P +，则n 等于（ ）A ．13B ．12C ．11D ．1025．将若干个小菱形按如图的规律排列：第（1）个图形有1个小菱形，第（2）个图形有3个小菱形，第（3）个图形有6个小菱形，…，则第（20）个图形有（ ）个小菱形，A．190 B．200 C．210 D．220【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、规律问题图形变化类1．C【分析】从特殊情况开始，先算出前几幅图中正方形的个数，找出其中的规律，归纳得出一般情况，第n幅图中正方形个数的规律，于是可算出当n=9时的正方形的个数．【详解】第１幅图中有１个正方形；第2幅图中有1+4=12+22=5个正方形；第3幅图中有1+4+9=11+22+32=14个正方形；第4幅图中有1+4+9+16=12+22+32+42=30个正方形；…第n幅图中有12+22+32+42+…+n2个正方形．于是，当n=9时，正方形的个数为：12+22+32+42+52+62+72+82+92=30+25+36+49+64+81=285（个）故选：C【点睛】本题考查了图形的变化规律，利用图形间的联系，得出数字间的运算规律，从而问题解决，体现了由特殊到一般的数学思想．2．A【分析】根据题目给出的正方体的个数规律，可知第n个图形中的正方体的个数为1+3+6+…+(1)2n n+，据此可得第10个图形中正方体的个数．【详解】解：由图可得：图①中正方体的个数为1；图②中正方体的个数为4＝1+3；图③中正方体的个数为10＝1+3+6；图④中正方体的个数为20＝1+3+6+10；故第n个图形中的正方体的个数为1+3+6+…+(1)2n n+．第10个图形中正方体的个数为1+3+6+10+15+21+28+36+45+55＝220．故选：A．【点睛】本题考查了图形的变化类规律，解决问题的关键是依据图形得到变换规律．解题时注意：第n个图形中的正方体的个数为1+3+6+…+(1)2n n．3．C【分析】根据等腰三角形的性质以及平行线的性质得出A1B1∥A2B2∥A3B3，以及A2B2=2B1A2，得出A3B3=4B1A2，A4B4=8B1A2，A5B5=16B1A2…进而得出答案．【详解】解：如图，∵△A1B1A2是等边三角形，∴A1B1=A2B1，∠3=∠4=∠12=60°，∴∠2=120°，∵∠MON=30°，∴∠1=180°-120°-30°=30°，又∵∠3=60°，∴∠5=180°-60°-30°=90°，∵∠MON=∠1=30°，∴OA1=A1B1=1，∴A2B1=1，∵△A2B2A3、△A3B3A4是等边三角形，∴∠11=∠10=60°，∠13=60°，∵∠4=∠12=60°，∴A1B1∥A2B2∥A3B3，B1A2∥B2A3，∴∠1=∠6=∠7=30°，∠5=∠8=90°，∴A2B2=2B1A2=2，B3A3=2B2A3，∴A3B3=4B1A2=4，A4B4=8B1A2=8，A5B5=16B1A2=16，…∴△A n B n A n+1的边长为2n-1，∴△A7B7A8的边长为27-1=26=64．故选：C．【点睛】本题考查的是等边三角形的性质以及等腰三角形的性质，根据已知得出A 3B 3=4B 1A 2，A 4B 4=8B 1A 2，A 5B 5=16B 1A 2进而发现规律是解题关键． 4．C 【分析】前3个图形中小正方形的个数分别是22－1，32－1，42－1，从而可得答案． 【详解】解：第1个图形中小正方形的个数是3=22－1， 第2个图形中小正方形的个数是8=32－1， 第3个图形中小正方形的个数是15=42－1， ……；所以第n 个图形中小正方形的个数是()211n +-． 故选：C ． 【点睛】本题考查了图形的规律探求，属于常考题型，由前几个图形中小正方形的个数找到规律是解题的关键． 5．C 【分析】观察求出图案中地砖的块数，找到规律再求出黑色的地砖的数量即可. 【详解】第1个图案只有（2×1﹣1）2＝12＝1块黑色地砖，第2个图案有黑色与白色地砖共（2×2﹣1）2＝32＝9，其中黑色的有12（9＋1）＝5块， 第3个图案有黑色与白色地砖共（2×3﹣1）2＝52＝25，其中黑色的有12（25＋1）＝13块， …第n 个图案有黑色与白色地砖共（2n ﹣1）2，其中黑色的有12[（2n ﹣1）2＋1]， 当n ＝14时，黑色地砖的块数有12×[（2×14﹣1）2＋1]＝12×730＝365. 故选：C. 【点睛】此题考查图形类规律的探究，有理数的混合运算，根据所给图案总结出图案排列的规律由此进行计算是解题的关键. 6．A 【分析】先利用等腰直角三角形的性质、反比例函数的解析式分别求出1234,,,y y y y 的值，再归纳类推出一般规律，由此即可得． 【详解】如图，分别过点123,,,C C C 作x 轴的垂线，垂足分别为123,,,D D D ，11OA B 是等腰直角三角形， 1145A B O ∴∠=︒，11OC D ∴是等腰直角三角形，同理：122233,,AC D A C D 都是等腰直角三角形，11x y ∴=，点111(,)C x y 在反比例函数()40y x x=>的图象上， 114x y ∴=，将11x y =代入114x y =得：214y =，解得12y =或120y =-<（不符题意，舍去），112x y ∴==，点111(,)C x y 是1OB 的中点，111(2,2)B x y ∴， 1124OA x =∴=，设12A D a =，则22C D a =，此时2(4,)C a a +， 将点2(4,4)C a +代入()40y x x=>得：(4)4a a +=，解得2a =或20a =-<（不符题意，舍去），22y a ∴==，同理可得：3y =4y =归纳类推得：n y =n 为正整数， 则1210y y y +++()((22210=++++=故选：A ．【点睛】本题考查了反比例函数的几何应用、等腰直角三角形的性质等知识点，正确归纳出一般规律是解题关键． 7．B 【分析】结合题意分析每个正方形的边长，从而发现数字的规律求解 【详解】解：由题意可得：第1个正方形1234A A A A 的边长为012=1=(5)A A∵1212B A A A = ∴112A B =∴第2个正方形1234B B B B 221+2=5由题意，以此类推，215C B =2225C B =∴第3个正方形1234C C C C 222(5)(25)5(5)+== …∴第n 个正方形的边长为15)n - ∴第2020个正方形的边长为20195) 故选：B ． 【点睛】本题考查勾股定理及图形类规律探索，题目难度不大，正确理解题意求解每个正方形边长的规律是解题关键． 8．C 【分析】由题意易得第一个图形三角形的个数为1个，第二个图形三角形的个数为5个，第三个图形三角形的个数为9个，第四个图形三角形的个数为13个，由此可得第n 个图形三角形的个数． 【详解】 解：由题意得：第一个图形三角形的个数为4×1-3=1个， 第二个图形三角形的个数为4×2-3=5个，第三个图形三角形的个数为4×3-3=9个， 第四个图形三角形的个数为4×4-3=13个， …..∴第n 个图形三角形的个数为()43n -个； 故选C ． 【点睛】本题主要考查图形规律问题，关键是根据图形得到一般规律即可． 9．A 【分析】根据图形可以发现点的变化规律，从而可以得到点P 2021落在哪条射线上． 【详解】 解：由图可得，P 1到P 5顺时针，P 5到P 9逆时针， ∵（2021-1）÷8=252…4， ∴点P 2021落在OA 上， 故选：A ． 【点睛】本题考查图形的变化类，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答． 10．A 【分析】根据前几个图形，可以写出蜂巢的个数，从而可以发现蜂巢个数的变化规律，进而得到第五个图形中蜂巢总的个数，本题得以解决． 【详解】 解：由图可得， 第一个图有1个蜂巢， 第二个图有1+6×1＝7个蜂巢， 第三个图有1+6×1+6×2＝19个蜂巢， …，则第五个图中蜂巢的总数为：1+6×1+6×2+6×3+6×4＝61， 故选：A ． 【点睛】本题考查图形的变化类，解答本题的关键是明确题意，发现题目中蜂巢个数的变化规律，求出相应的图形中蜂巢总的个数． 11．D 【分析】根据题中正方形和等边三角形的个数找出规律，进而可得出结论． 【详解】解：∵第1个图由1个正六边形、6个正方形和6个等边三角形组成， ∴正方形和等边三角形的和=6+6=12=9+3；∵第2个图由2个正六边形、11个正方形和10个等边三角形组成， ∴正方形和等边三角形的和=11+10=21=9×2+3；∵第3个图由3个正六边形、16个正方形和14个等边三角形组成， ∴正方形和等边三角形的和=16+14=30=9×3+3，…， ∴第n 个图中正方形和等边三角形的个数之和=9n +3．∴当n =8时，第8个图中正方形和等边三角形的个数之和为9×8+3=75， 故选D ． 【点睛】本题考查的是数字的变化类，根据题意找出规律是解答此题的关键． 12．A 【分析】根据等边三角形的性质（三边相等）求出等边三角形的周长P 1，P 2，P 3，P 4，然后周长相减即可得到规律，进行解答． 【详解】解：P 1＝1＋1＋1＝3， P 2＝1＋1＋12＝52， P 3＝1＋1＋14×3＝114， P4＝1＋1＋14×2＋18×3＝238， … ∴P 3－P 2＝114－52＝211=42， P 4－P 3＝238－114＝311=82， ∴P n －P n －1＝n-112， 故答案为：A ． 【点睛】本题主要考查对等边三角形的性质的理解和掌握，此题是一个规律型的题目，题型较好． 13．B 【分析】根据等腰三角形两底角相等结合三角形外角性质用α表示出22A B O ∠，依此类推即可得到结论． 【详解】解：1212B A B B =，11A B O α∠=， 22111122A B O A B O α∴∠=∠=，同理3322211112222A B O A B O αα∠=∠=⨯=，∴44312A B O α∠=， 112n n n A B O α-∴∠=， 2020202020192A B O α∴∠=，故选：B ． 【点睛】本题考查了等腰三角形两底角相等的性质，和三角形外角性质,图形的变化规律，依次求出每个三角形的一个底角，得到分母成2的指数次幂变化，分子不变的规律是解题的关键． 14．C 【分析】利用正方形的性质结合锐角三角形函数关系得出正方形的边长，进而得出变化规律即可得出答案． 【详解】∵正方形A 1B 1C 1D 1的边长为1，∠∠B 1C 1O =60°，B 1C 1∥B 2C 2∥B 3C 3， ∴D 1E 1=B 2E 2，D 2E 3=B 3E 4，∠D 1C 1E 1=∠C 2B 2E 2=∠C 3B 3E 4=30°， ∴D 1E 1=C 1D 1sin 30°=12，则B 2C 2=22cos30B E ︒1=⎝⎭，同理可得：B 3C 3=213=⎝⎭，故正方形A n B n C n D n 的边长是：1n -⎝⎭，则正方形A 2020B 2020C 2020D 2020的边长是：2019⎝⎭，故选C ． 【点睛】本题主要考查了正方形的性质以及锐角三角函数，根据已知条件推导出正方形的边长与序号的变化规律是解题的关键． 15．B 【分析】观察发现，第①个图形有正方形的个数为1；第②个图形有正方形的个数为：1+4=5；第③个图形有正方形的个数为：1+4+9=14；…；第n 个图形有正方形的个数为：1+4+9+…+n 2，从而得到答案．【详解】解：观察发现：第①个图形含有正方形的个数为1，第②个图形含有正方形的个数为：1+4=5，第③个图形含有正方形的个数为：1+4+9=14，…第n个图形含有正方形的个数为：1+4+9+…+n2，∴第⑥个图形含有正方形的个数为：1+4+9+16+25+36=91，故选：B．【点睛】此题考查了图形的变化规律，解题的关键是仔细观察图形并找到规律，利用规律解决问题．16．C【分析】先根据正六边形的性质得出∠1的度数，再根据AD=CD=BC判断出△ABC的形状及∠2的度数，求出AB的长，进而可得出，经过2020次后，即可得出所得到的正六边形的边长．【详解】∵此六边形是正六边形，∴∠1=180°-120°=60°，AD=CD=BC，∴△BCD为等边三角形，∴BD=12AC，∴△ABC是直角三角形又∵BC=12 AC，∴∠2=30°，∴33CD，同理可得，经过2次后，所得到的正六边形是原正六边形边长的23)倍，，∴经过2020次后，所得到的正六边形的边长是原正六边形边长的20203)倍．【点睛】本题考查了正多边形和圆，正多边形内角的性质，直角三角形的判定，含30度角的直角三角形的性质等，能总结出规律是解此题的关键． 17．D 【详解】解：∵OA 1C 1B 1是正方形， ∴OB 1与y 轴的夹角为45°， ∴OB 1的解析式为y=x 联立2{y x y x ==，解得00x y ==⎧⎨⎩或11x y =⎧⎨=⎩， ∴点B 1（1，1），OB 1=∵OA 1C 1B 1是正方形， ∴OC1OB 1， ∵C 1A 2C 2B 2是正方形， ∴C 1B 2的解析式为y=x+2， 联立22{y x y x =+=，解得1{1x y =-=或24x y =⎧⎨=⎩，∴点B 2（2，4），C 1B 2=， ∵C 1A 2C 2B 2是正方形， ∴C1C 2C 1B 2=4， ∴C 2B 3的解析式为y=x+（4+2）=x+6， 联立26{y x y x =+=，解得，2{4x y =-=或3{9x y ==，∴点B 3（3，9），C 2B 3=， …，依此类推，正方形C 2010A 2011C 2011B 2011的边长C 2010B 2011= 故选：D 【点睛】本题考查二次函数综合题． 18．B 【分析】由△CA 1B 1∽△CAB 得出面积比等于相似比的平方，得出△CA 1B 1的面积为14，因此四边形A 1ABB 1的面积为1-14，以此类推．四边形的面积为21144-，231144-，，根据规律求出式子的值． 【详解】∵A 1、B 1分别是AC 、BC 两边的中点， 且△ABC 的面积为1， ∴△A 1B 1C 的面积为114⨯， ∴四边形A 1ABB 1的面积=△ABC 的面积-△A 1B 1C 的面积=31144=-， ∴四边形A 2A 1B 1B 2的面积=△A 1B 1C 的面积-△A 2B 2C 的面积=22113444-=， …，∴第n 个四边形的面积1113444n n n--=， 故2321333311111···(1)()()444444444n n n -++++=-+-++- 114n =-414n n -=． 故选：B ． 【点睛】本题考查了规律型问题，三角形中位线定理和相似三角形的判定与性质，同时也考查了学生通过特例分析从而归纳总结出一般结论的能力．解题的关键是学会探究规律，利用规律解决问题． 19．D 【分析】根据桌子左右总有4把椅子，前后的椅子数是桌子的2倍，表示出n 张桌子时的椅子数目即可． 【详解】解：由图可得1张桌子时，有4+2＝6把椅子； 2张桌子时，有4+2×2＝8把椅子； 3张桌子时，有4+3×2＝10把椅子； 4张桌子时，有4+4×2＝12把椅子； …n 张桌子时，有（4+n ×2）把椅子． 故选：D ． 【点睛】本题考查了图形的规律性问题；得到不变的量及变化的量与n 的关系是解决本题的关键． 20．B根据图形可以发现点的变化规律：P1到P5顺时针，P5到P9逆时针，每8个点为一周期循环，从而可以得到点P2020落在哪条射线上．【详解】解：由图可得，P1到P5顺时针，P5到P9逆时针，每8个点为一周期循环，∵（2020﹣1）÷8＝252…3，∴点P2020落在射线OB上，故选：B．【点睛】本题考查了图形的变化类，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．21．C【分析】观察发现，三角数都是3的倍数，正方形都是4的倍数，所以既是三角形数又是正方形数的一定是12的倍数，然后对各项进行判断即可得解．【详解】解：3，6，9，12，…称为三角形数，∴三角形数都是3的倍数，4，8，12，16，…称为正方形数∴正方形数都是4的倍数∴既是三角形数又是正方形数的是12的倍数÷202012=168 (4)201812=168 (2)÷÷201612=168÷201412=167 (10)∴既是三角形数又是正方形数的是2016故选C．【点睛】本题考查了数字变化规律，根据题目信息判断出既是三角形数又是正方形数是12的倍数是解题的关键．22．C【详解】由题意可得：第一次AO顺时针转动了120°，第二次AO顺时针转动了240°，第三次AO顺时针转动了120°，故当由①位置滚动到④位置时，线段OA绕点O顺时针转过的角度是：120°+240°+120°=480°．故选：C．23．B试题分析：设第n 个图形的棋子数为Sn ， 则第1个图形，S 1＝1；第2个图形，S 2＝1+4，S 2－S 1=4＝3×1+1； 第3个图形，S 3＝1+4+7；S 3－S 2=7＝3×2+1； 第3个图形，S 3＝1+4+7+10；S 4－S 3＝10=3×3+1； ……∴第n 个图形比第（n －1）个图形多()3n 113n 2-+=-棋子. ∴第7个图形比第6个图形多372=19⨯-棋子. 故选B.考点：探索规律题（图形的变化类）. 24．C 【分析】先观察题目，可知画出的三角形为等腰三角形，可依次算出第一个第二个第三个等腰三角形的底角的度数，发现规律：第n 个等腰三角形的底角度数为(8)n ︒，再根据等腰三角形的底角度数小于90°，即可算出答案． 【详解】解：根据题意可得出：∵11223OP PP PP P P ===∴画出的三角形为等腰三角形∵8AOB ∠=︒∴18AOB PPO ∠=∠=︒ ∴121216PPP PP P ∠==︒ ∴21323132P PP P P P ∠==︒依次推算可发现规律：第n 个等腰三角形的底角度数为(8)n ︒ ∵等腰三角形的底角度数小于90° ∴(8)90n ︒<︒ ∴908n <（n 为正整数） ∴11n =． 故选：C ． 【点睛】本题主要考查规律探索和等腰三角形的性质，知道三角形的外角度数等于其它两个内角和的度数以及等腰三角形的底角小于90°是解题的关键． 25．C 【分析】仔细观察图形知：第（1）个图形有1个小菱形，第（2）个图形有3＝1＋2个，第（3）个图形有6＝1＋2＋3个，…由此得到规律求得第（20）个图形中小菱形的个数即可．【详解】解：第（1）个图形有1（个）菱形， 第（2）个图形有3＝1＋2（个）， 第（3）个图形有6＝1＋2＋3（个）， 第（4）个图形有10＝1＋2＋3＋4（个）， …第n 个图形有1＋2＋3＋4＋…＋n ＝(1)2n n + （个）小菱形， ∴第（20）个图形有20212102⨯=（个）小菱形． 故选：C ．【点睛】本题考查了规律型问题，解题的关键是仔细观察图形并找到有关图形个数的规律．。
中考必考--数学动点经典例题分析
中考必考——数学动点经典例题分析动态几何问题已经成为中考试题的一大热点题型．这类试题以运动的点、线段、变化的角、图形的面积为基本条件，给出一个或多个变量，要求确定变量与其他量之间的关系，或变量在一定条件为定值时，进行相关的几何计算和综合解答。
下面是几个例题及分析(2000年·上海)如图1在半径为6,圆心角为90的扇形OAB 的弧AB上有一个动点P,PH⊥OA垂足为⊥OPH 的重心为G.(1)当点P 在弧AB 上运动时,线段GO、GP、GH中有无长度保持不变的线段?如果有,请指出这样的线段,并求出相应的长度.(2)设PH= x,G=y求y关于x的函数解析式，并写出函数的定义域(即自变量x 的取值范围)(3)如果⊥PGH是等腰三角形试求出线段PH 的长.解:(1)当点P 在弧AB 上运动时,OP 保持不变于是线段GO、GP、GH中,有长度保持不变的线段，这条线段是GH=2/3 M=2/3.120P=2.(2)在Rt⊥POH中，OH=√OP2−PH2=√36−x2⊥MH=12OH=12√36−x2在Rt⊥POH中MP=√PH2+MH2=12√36+3x21.分析:此题为点动题，因此，1)搞清动点所走的路线及速度，这样就能求出相应线段的长;2)分析在运动中点的几种特殊位置由题意知，点P 为动点，所走的路线为: ABC 速度为1cm/s。
而t=2s，故可求出AP 的值，进而求出⊥APE 的面积2.分析:两点同时运动，点P 在前，点Q在后，速度相等，因此两点距出发点A的距离相差总是2cm.P在AB边上运动后，又到BC边上运动因此PM、N 截平行四边形ABCD 所得图形不同.故分两种情况:(1)⊥当P、Q 都在AB 上运动时,PM、N 截平行四边形ABCD 所得的图形永远为直角梯形.此时0≤t≤6.⊥当P在BC上运动，而Q在A 边上运动时，画出相应图形，所成图形为六边形DFOBPG,不规则图形面积用割补法.此时6<t≤8.可以尝试自己解答一下吆！以上是数学动点例题及解析，你学会如何解答此类问题了么？。
中考数学动点问题压轴题
中考数学动点问题压轴题【典型题1】难度★★★如图，正方形ABCD的边长为2cm，动点P，Q同时从点A出发，在正方形的边上，分别按A→D→C，A→B→C的方向，都以1cm/s的速度运动，到达点C运动终止，连接PQ，设运动时间为xs，△APQ的面积为ycm2，则下列图象中能大致表示y 与x的函数关系的是（）【思路分析】根据题意，分别求出两个时间段的函数关系式是解题的关键．根据题意结合图形，分情况讨论：①0≤x≤2时，根据S△APQ＝AQ•AP，列出函数关系式，从而得到函数图象；②2≤x≤4时，根据S△APQ＝S正方形ABCD﹣S△CP′Q′﹣S△ABQ′﹣S△AP′D列出函数关系式，从而得到函数图象，再结合四个选项即可得解．【答案解析】解：①当0≤x≤2时，∵正方形的边长为2cm，∴y ＝S△APQ＝AQ•AP＝x2；②当2≤x≤4时，y＝S△APQ＝S正方形ABCD ﹣S△CP′Q′﹣S△ABQ′﹣S△AP′D，＝2×2﹣（4﹣x）2﹣×2×（x﹣2）﹣×2×（x﹣2）＝﹣x2+2x所以，y与x之间的函数关系可以用两段二次函数图象表示，纵观各选项，只有A选项图象符合．故选：A．【典型题2】难度★★★在边长为3 cm的正方形ABCD中，动点M自点A出发沿AB 方向，以每秒1 cm的速度运动；动点N自点A出发沿折线A —D—C—B，以每秒3 cm的速度同时出发.到达点B时两点同时停止.设△AMN的面积为y（cm2），运动时间为x（秒），则下列图象中能大致反映y与x之间函数关系的是（）.【答案解析】根据题意，作出如图所示正方形ABCD，应分三种情形：（1）当0<x≤1时，4个选项图象相同，可不作讨论；（2）当1<x≤2时，点N在边DC上点N1位置，点M在边AB 上点M1位置，AM1=x，边AM1上的高为3，.图象为从左向右上升的线段，排除选项（A）、（D）；（3）当2<x≤3时，点N在边CB上点N2位置，点M在边AB 上点M2位置，如图中虚线所示.AM2=x，BN2=9-3x..图象为开口向下的抛物线上一段，排除（C），故选B.【典型题3】：难度★★★如图，已知A、B是反比例函数，图象上的两点，BC∥x轴，交y轴于点C.动点P从坐标原点O出发，沿O→A→B→C(图中箭头所示路线)匀速运动，终点为C.过P作PM⊥x轴，PN⊥y轴，垂足分别为M、N.设矩形OMPN的面积为S，点P运动时间为t，则S与t的函数图象大致为（）【答案解析】当点P在OA上运动时，S随t的增大而增大，且S与矩形边长的平方成正比，也就是与矩形的对角线OP的平方成正比，是t的二次函数，故可排除选项(B)、(D)(也可以根据点P在双曲线上运动时，矩形的面积不变，达到同样目的).当点P 在BC上运动时，S随t的增大而逐渐减小，排除选项(C).故应选A.【典型题4】难度★★★如图，在矩形ABCD中，AB＝2，BC＝3，动点P沿折线BCD 从点B开始运动到点D．设运动的路程为x，△ADP的面积为y，那么y与x之间的函数关系的图象大致是（）【思路分析】由题意当0≤x≤3时，y＝3，当3＜x＜5时，y＝×3×（5﹣x）＝﹣x+．由此即可判断．【答案解析】解：由题意当0≤x≤3时，y＝3，当3＜x＜5时，y＝×3×（5﹣x）＝﹣x+．故选：D．。
中考数学总复习《图形运动问题(实际问题与二次函数)》专项提升训练题-附答案
中考数学总复习《图形运动问题（实际问题与二次函数）》专项提升训练题-附答案学校：___________班级：___________姓名：___________考号：___________ 1．如图，在ABC 中10cm AB AC ==，BD AC ⊥于点D ，且8cm BD =．点M 从点A 出发，沿AC 的方向匀速运动，速度为2cm /s ；同时直线PQ 由点B 出发，沿BA 的方向匀速运动，速度为1cm /s ，运动过程中始终保持PQ AC ∥，直线PQ 交AB 于点P 、交BC 于点Q 、交BD 于点F ．连接PM ，设运动时间为s t (05)t <<．(1)当t 为何值时，四边形PQCM 是平行四边形？(2)设四边形PQCM 的面积为2cm y ，求y 与t 之间的函数关系式；(3)是否存在某一时刻t ，使916ABC PQCM S S =四边形△？若存在，求出t 的值；若不存在，说明理由；(4)连接PC ，是否存在某一时刻t ，使点M 在线段PC 的垂直平分线上？若存在，求出此时t 的值；若不存在，说明理由．2．如图：在梯形ABCD 中AD//BC ，90C ∠=︒和4cm AD =，7cm CD =和10cm BC =，点P 以每秒1cm 的速度从点C 出发沿CD 向点D 运动，同时点E 以每秒2cm 的速度从点B 出发沿BC 向点C 运动．过点E 作EF AB ⊥，交AB 于点F ，连结PA 、PE ．设运动时间为t 秒．(05)t <<PE AB；面积为S．求是否存在某一时刻t，使得三角形4．如图，在ABC 中902cm 6cm B AB BC ∠=︒==，，，动点P 从点A 出发沿射线AB 方向以1cm/s 的速度移动，动点Q 从点B 开始沿边BC 向点C 以2cm /s 的速度移动，如果P ，Q 两点分别从A ，B 两点同时出发，当点Q 到达C 时，P 、Q 两点都停止运动．设运动时间为s x ，PBQ 的面积为y ．(1)当32x =时，求PBQ 的面积； (2)请直接写出y 与x 的函数关系式，并写出自变量x 的取值范围（面积不为0）；(3)在给定的直角坐标系内画出这个函数图象，并写出该函数的一条性质．5．如图，已知菱形ABCD 中对角线AC 、BD 相交于点O ，且12cm AC =和16cm BD =，点P 从点D 出发，沿DA 方向匀速向点A 运动，速度为2cm /s ；同时，点E 从点B 出发，沿BO 方向匀速向点O 运动，速度为1cm/s ，EF BC ∥交OC 于点F ．当点P 、E 中有一点停止运动时，另一点也停止运动，线段EF 也停止运动，连接PE 、(05)DF t <<解答下列问题：(1)当t 为何值时PE AB ∥？(2)设四边形EFDP 的面积为()2cm y ，求y 与t 之间的函数关系式； (3)连接FP ，是否存在某一时刻t ，使得FP AD ⊥？若存在，求出t 的值；若不存在，请说明理由．6．如图，在菱形ABCD 中3AB =，60A ∠=︒动点P Q 、均以每秒1个单位长度的速度同时从点A 出发，点P 沿折线A B C →→方向运动，点Q 沿折线A D C →→方向运动，当两动点相遇时停止运动，设运动时间为x 秒，以线段PQ 为边长的正方形面积为y ．(1)请直接写出y 关于x 的函数表达式，并注明自变量x 的取值范围；(2)在给定的平面直角坐标系中画出这个函数图象，并写出该函数的一条性质；(3)结合函数图象，直接写出4y ≥时x 的取值范围．7．如图，矩形ABCD 的两边长10cm AB =，2cm AD =点P 、Q 分别从A 、B 同时出发，P 在边AB 上沿AB 方向以每秒2cm 的速度匀速运动，Q 在边BC 上沿BC 方向以每秒1cm 的速度匀速运动．当Q 到达C 点时，P 、Q 停止运动．设运动时间为t 秒，PBQ 的面积为()2cm S ．(1)填空：BQ = ，PB = （用含t 的代数式表示）；(2)求S 关于t 的函数关系式，并写出t 的取值范围；(3)当t 为何值时，PBQ 的面积的最大，最大值是多少？8．如图，在矩形ABCD 中10cm AB =和12cm BC =，P 从点A 开始沿AB 向终点B 以1cm/s 的速度移动，与此同时，点Q 从点B 开始沿BC 边向点C 以2cm/s 的速度移动，如果P 、Q 分别从A 、B 同时出发，当点Q 运动到点C 时，两点停止运动，设运动时间是s t ．(1)t 为何值时，PB BQ =？(2)t 为何值时，PQ 的长度为10cm ？(3)设五边形APQCD 的面积为2cm S ，当t 为何值时，五边形APQCD 的面积最小？最小面积为多少？9．如图，ABC 中60ABC ∠=︒，D 是BC 边上的一个动点（不与点B C ，重合），DE AB ∥交AC 于点E EF BC ，∥，交AB 于点F ．设BD 的长为x ，四边形BDEF 的面积为y y，与x 的函数图象是如图2所示的一段抛物线，其顶点P 的坐标为()23，．求：ABC 的边BC 和AB 的长．10．如图，在矩形ABCD 中3cm AB =，6cm AD =动点P ，Q 从A 同时出发，且速度均为3cm/s ，点P ，Q 分别沿折线AB BC -，AD DC -向终点C 运动．设点P 的运动时间为()()s 03x x <<，APQ △的面积为()2cm y ．(1)当点P 与点B 重合时，x 的值为______．(2)求y 关于x 的函数解析式，并写出x 的取值范围．(3)当PQ 长度不变时，直接写出x 的取值范围及PQ 的长度．11．如图，在Rt ABC 中90C ∠=︒，4cm AC BC ==点D 为AC 边上一点，且3cm AD =，动点E 从点A 出发，以1cm/s 的速度沿线段AB 向终点B 运动，运动时间为s x ．作45DEF ∠=︒，与边BC 相交于点F ．设BF 长为cm y ．(1)当x =________s 时，DE AB ⊥；(2)求在点E 运动过程中y 与x 之间的函数关系式及点E 运动路线的长；(3)当BEF △为等腰三角形时，求x 的值．12．如图，在矩形ABCD 中6cm AB =，8cm AD =直线EF 从点A 出发沿AD 方向匀速运动，速度是2cm /s ，运动过程中始终保持,EF AC F ∥交AD 于E ，交DC 于点F ，同时，点P 从点C 出发沿CB 方向匀速运动，速度是1cm/s ，连接PE PF 、，设运动时间()()s 04t t <≤．(1)求t 为何值时，四边形EPCD 为矩形；(2)设PEF 的面积为()2cm S ，求出面积S 关于时间t 的表达式； (3)在运动过程中是否存在某一时刻使:1:6PEF ABCD S S =矩形△？若存在，求出t 的值；(4)是否存在某一时刻，使P 在EF 的垂直平分线上，若存在，直接写出t 的值．13．如图AB BC =，90ABC ∠=︒动点D 始终满足45DBC BAD ∠=∠+︒．(1)求ADB ∠的度数；(2)连接CD ，点E 是CD 的中点，判断AD 、BD 、BE 之间的数量关系，并说明理由；(3)若26AD BD +=，求CD 的最小值．14．已知：如图，在四边形ABCD 中AB CD ，90ACB ∠=︒和10cm AB =，8cm BC =和OD 垂直平分AC ，点P 从点B 出发，沿BA 方向匀速运动，速度为1cm/s ；同时，点Q 从点D 出发，沿DC 方向匀速运动，速度为1cm/s ；当一个点停止运动，另一个点也停止运动．过点P 作PE AB ⊥，交BC 于点E ，过点Q 作QF AC ∥，分别交AD 、OD 于点F 、G ．连接OP ，EG ，设运动时间为()()s 05t t <<，解答下列问题：(1)当t 为何值时，点E 在BAC ∠的平分线上？(2)在运动过程中是否存在某一时刻t ，使四边形PEGO 的面积最大？若存在，求出的t 值；若不存在，请说明理由；(3)连接OE ，OQ ，在运动过程中是否存在某一时刻t ，使OE OQ ⊥？若存在，求出t 的值；若不存在，请说明理由．15．如图1，正方形ABCD EFGH 、的中心P Q 、都在直线l 上，,EF l AC EH ⊥=．正方形ABCD 以1cm/s 的速度沿直线l 向正方形EFGH 移动，当点C 与HG 的中点I 重合时停止运动．设移动时间为x s ，这两个正方形重叠部分的面积为cm 2y ，y 与x 的函数图象如图2．根据图象解决下列问题：(1)AC = cm ；(2)分别求m n 、 的值；(3)正方形ABCD 出发几秒时，重叠部分的面积为27cm ？参考答案： 1．(1)103(2)228405y t t =-+ (3)52t =(4)2017t =2．(1)85(2)72t =(3)23()835055S t t t -<<=+ (4)不存在3．(1)158； (2)2143636755S t t =--+； (3)不存在4．(1)23cm 4(2)()()22202223x x x y x x x ⎧-+<<⎪=⎨-<≤⎪⎩(3)图象见解析，y 随着x 的增大先增大，然后减小，最后再增大，最大值为35．(1)8021s (2)29348405y t t =-++ (3)存在 5631t =(3)PBQ的最大面积是．(1)当10 t=当0=t或当5t=秒时，五边形(3)存在，当43t=或83时，使:1:6PEF ABCDS S=矩形△(4)存在，4t=13．(1)135︒(2)2222BD AD BE+=(3)2314．(1)当4st=时，点E在BAC∠的平分线上(2)存在，当5s2t=时，四边形PEGO的面积最大为26732(3)当16s5t=时OE OQ⊥15．(1)4(2)3m=38n=-+ (3)3秒或5秒。
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2011-2012学年初三数学导学案教师评价：班级：姓名：组别：组长评价：
中考数学图形运动类问题
编制：邢延君审阅：课型：自学验收审批：
【学习目标及重点】
1、体验在数学直觉思维之上用函数变量观点来研究运动过程中量的关系，体验函数是问题数
学化的手段与方法，是解决与“动”相关问题的重要工具。
2、培养学生对“动点“引起变量生成特定结果的直觉能力，即形成数学问题的能力，又要有
探寻解决问题数学化的手段和方法。
3、学会找到发现、建立、运用数量关系的线索、途径和方法。
【使用说明及学法指导】
1、课前单独探究、小组合作交流、形成有价值的解决问题的方法。
2、课堂展示。
3、运动问题中抓住常量与变量之间的关系。
【自主学习】
一、图1中的四边形ABCD是一个直角梯形，∠B=∠C=90,AB=1,DC=2,BC=3.BC边上动点P，由点B出发
向点C移动。
问题1.点P在边BC上右移的过程中，△APD的面积是怎样变化的？
【合作探究】
直觉认识：
严谨说明：
【我的发现】问题2.点P在边BC上从点B向点C移动的过程中，线段PA、PD各自是怎样变化的？PA+PD 为定值吗？线段BC上是否存在点P，使得PA=PD成立，如果存在，则试确定点P在BC边上的位置，如果不存在，则说明理由;探究在AB=a,DC=b,BC=c,a＜
b时，线段BC上存在点P，使得PA=PD成立的条件。
【合作探究】
【我的发现】
问题3.点P在边BC上从点P向点C移动的过程中，探究PA+PD值变化情况，试求其值得变化范围
A'
【合作探究】
【我的发现】【练习】
如图，在△ABC中，∠B=90,AB=6米，BC=8米，动点P以2米∕秒的速度从A点出发，沿AC向点C移动，同时，动点Q以1米∕秒的速度从C点出发，沿CB 向点B移动，当其中有一点到达终点时，它们都停止移动。
设移动的时间为t 秒。
（1）①当t=2.5秒时，求△CPQ的面积。
②求△CPQ的面积 S（平方米）关于时间t（秒）的函数关系式。
（2）在P，Q移动的过程中，当△CPQ为等腰三角形时，写出t的值。