2012考研公共课标准课程强化阶段测试卷_数三答案_

机密★启用前
2012届全国硕士研究生入学统一考试（公共课标准课程强化阶段测试卷）
数三答案
答题注意事项
1．本试卷考试时间180分钟，满分150分。

2．试卷后面附有参考答案，供学员测试后核对。

一、选择题(本题共8小题,每小题4分,满分32分. 在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求,把所选项前的字母填在题后的括号内.)
1 2 3 4 5 6 7 8 A
C
B
C
D
B
A
D
(1) 若()2,01
,,12
x x f x x x ⎧≤<=⎨≤≤⎩则()()0
x x f t dt ϕ=∫在开区间()0,2上 （ ）
(A) 有第一类间断点. (B) 有第二类间断点. (C) 两种间断点都有. (D) 是连续的. 【答案】A.
【解析】当01x ≤<时，()()3
2
03
x
x x x f t dt t dt ϕ=
==∫
∫，
当12x ≤≤时，()21
2
1
1
26
x
x x t dt tdt ϕ=
+=−∫∫
，
即()3
2
,013
1,1226
x x x x x ϕ⎧≤<⎪⎪=⎨⎪−≤≤⎪⎩，显然()x ϕ在1x =处连续，从而()x ϕ在()0,2内连续，故A 正确. (2) 设()f x 有连续导数，()()()()()2
20
00,00,x
f f F x x
t f t dt ′=≠=
−∫，且当0x →时，()F x ′与k x 是同
阶无穷小，则k 等于 （ ）
(A) 1． (B) 2． (C) 3． (D) 4． 【答案】C. 【解析】()()()()()2
20
,2,x
x
x
F x x
f t dt t f t dt F x x f t dt ′=−=∫
∫∫
()
()()
()0
32
00
2lim
lim lim
00x
x x x f t dt
F x f x f x
x x
→→→′′===≠∫. (3) 函数(),f x y xy =在()0,0点处 （ ）
(A) 不连续． (B)偏导数存在，但不可微．
(C) 连续但偏导数不存在． (D) 可微． 【答案】B.
【解析】显然(),f x y 在
()0,0点处连续，且
()()000
0,0lim
0,0,00x y x f f x
Δ→−===Δ，
()(()()()(),
0,0,0,00,00,0lim
x y f x y f f x f y ΔΔ→⎡⎤ΔΔ−−Δ+Δ()(,0,0lim
0x y ΔΔ→=
≠，
事实上，
()(
,0,0lim
lim
0x y x y x
ΔΔ→Δ→Δ=Δ==
≠， 则(),f x y 在()0,0点不可微，故选B． (4) 已知
()()(){}11
,,1,0,0f x dx xf x dx D x y x y x y ==
+≤≥≥∫∫
，则()D
f x dxdy =∫∫ （ ）
(A) 2. (B) 1. (C) 0. (D) 1
2
. 【答案】C. 【解析】
()()()()()()11111
10x
D
f x dxdy f x dx dy x f x dx f x dx xf x dx −==−=−=∫∫
∫∫
∫∫∫，故选C.
(5) 设方阵A 满足条件2
2A A E O −−=，则 （ ） (A) A 可逆，2A E +不可逆． (B) A 和2A E +都不可逆．
(C) A 不可逆，2A E +可逆． (D) A 和2A E +都可逆． 【答案】D.
【解析】因为2
2A A E O −−=，所以()2A A E E −=，即2A E A E −⋅
=，所以A 可逆，且12
A E
A −−=. 又22A A E O −−=，所以()()2
2364A E A E A A E E +−=−−=−，即()324
A E A E E −+=−，所以2A E +可
逆，且()1
324
E A A E −−+=，故选D.
(6) 下列矩阵中与120210001A ⎛⎞⎜⎟
=⎜⎟⎜⎟⎝⎠
合同的矩阵是 （ ）
(A) 111⎛⎞
⎜⎟⎜⎟⎜⎟⎝⎠
. (B)
111⎛⎞⎜⎟⎜⎟⎜⎟−⎝⎠. (C) 111⎛⎞
⎜⎟
−⎜⎟
⎜⎟−⎝⎠. (D) 111−⎛⎞⎜⎟−⎜⎟⎜⎟−⎝⎠. 【答案】B.
【解析】由于
()()()()()21
2
02
1
1231130
1
E A λλλλλλλλλλ−−−=−−=−−−=−+−−，
故11,λ=21,λ=− 33λ=.而A 与B 合同的充要条件为T x Ax 和T x Bx 具有相同的正、负惯性指数，故A 与111⎛⎞
⎜⎟
⎜⎟⎜⎟−⎝⎠
合同，选
B.
(7) 设X 和Y 是两个随机变量，且{}{}{}34
0,0,0077
P X Y P X P Y ≥≥=
≥=≥=,设{}max ,Z X Y =，则
{}0P Z ≥= （ ）
(A)
57. (B) 1649. (C) 37． (D) 40
49
. 【答案】A.
【解析】设{}{}=0,0A X B Y ≥=≥，则()()()43
,,77
P A P B P AB === 又 {}(){}
0max ,0,Z X Y A B ≥=≥=U 所以 {}()()()507
P Z P A P B P AB ≥=+−=
. (8) 若X 和Y 满足()()D X Y D X Y +=−，且()()0,0D X D Y ≠≠，则必有 （ ）
(A) X 与Y 相互独立． (B) ()()0D X D Y ⋅=． (C) ()()()D XY D X D Y =． (D) X 和Y 不相关. 【答案】D.
【解析】根据题设有
()()D X Y D X Y +=−()()()()()()2,2,D X D Y Cov X Y D X D Y Cov X Y ⇒++=+−，
因此(),0Cov X Y =，故0XY ρ=，X 与Y 不相关.
二、填空题（本题共6小题，每小题4分，满分24分. 把答案填在题中横线上.）
(9) 设()tan 21,0arcsin 2,
0x
x e x x f x ae x ⎧−>⎪⎪
=⎨⎪⎪≤⎩在0x =处连续，则a = ．
【答案】2a =−. 【解析】()()()0
0tan lim lim 2,lim 02
x x x x
f x f x a f x
++
−→→→−==−==，由()f x 在0x =处连续得2a =−.
(10) 已知sin
1cos 2x f x ⎛⎞
=+⎜⎟⎝⎠，则cos 2x f ⎛
⎞=⎜⎟⎝
⎠ ．
【答案】1cos x −. 【解析】22sin 1cos 2cos 21sin 222x x x f x ⎛
⎞⎛⎞=+==−⎜⎟⎜⎟⎝⎠⎝⎠
， 设sin
2
x u =，则()()2
21f u u =−，
所以 ()2cos 22cos 21cos 1cos 22
x x f x x ⎛⎞=−=−+=−⎜⎟⎝⎠. (11) 已知(){}
2
22,D x y x
y a =+≤，则D
I xy dxdy ==∫∫ ．
【答案】
4
12
a . 【解析】积分区域D 关于两个坐标轴对称，若以1D 表示在D 在第一象限的部分，则
1
1
34
20
1444sin cos 2
a
D D I xy dxdy xydxdy d r dr a πθθθ====
∫∫∫∫∫∫． (12) 微分方程cos y y x x ′′+=+的通解为 . 【答案】121
cos sin sin 2
y C x C x x x x =+++
. 【解析】特征方程为2
10λ+=，得i λ=±. y y x ′′+=有特解y x =，
设方程cos y y x ′′+=的特解为()cos sin y x A x B x =+，代入方程cos y y x ′′+=得10,2
A B ==， 则原方程通解为121
cos sin sin 2
y C x C x x x x =+++
. (13) 设A 是5阶实对称矩阵，且()2
,3A A r A ==，则2A E −= . 【答案】4−.
【解析】因2
A A =，则A 的特征值取值范围是0或1，又A 是实对称矩阵，则A 必相似于对角阵Λ，且()()3r A r =Λ=，
故知1λ=是A 的三重特征值（从而0是A 的二重特征值），即A 的特征值为1231λλλ===， 450λλ==.由此可得2A E −的特征值123451,2μμμμμ===−==−.
()()3
2
123452124A E μμμμμ−==−⋅−=−.
(14) 设随机变量X 服从参数为λ的泊松分布，且()()121E X X −−=⎡⎤⎣⎦，则λ= ． 【答案】1.
【解析】由于()X P λ ，则()(),E X D X λλ==， 而()()(
)()()()()2
2
2
123232321E X X E X
E X D X E X E X λλλ−−=−+=+−+=+−+=⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦
， 解得1λ=.
三、解答题(本题共9小题,满分94分. 请将解答写在答题纸指定位置上.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.)
(15) (本题满分9分)
求极限sin 0lim ln cos x x
x e e x x
→−.
【解析】()()()
sin sin sin sin sin 00011lim lim lim ln cos ln 1cos 1cos 1x x x x x x x x
x x x e e e e e e x x x x x x −−→→→−−−==⋅+−− ……（3分）
2sin lim112x x x
x x →−=⋅
⎛⎞−⎜⎟⎝⎠
……（5分）
02
1cos lim
32x x
x →−=− ……（7分）
202112lim 332x x
x
→==−−. ……（9分）
(16)（本题满分10分）
设()f u 具有二阶连续导数，而()sin x
z f e y =满足方程22222x
z z ze x y
∂∂+=∂∂，求()f u .
【解析】令sin x
u e y =，则
()()()2222sin ,sin sin ;x x x
z z f u e y f u e y f u e y x x
∂∂′′′′==+∂∂ ……（3分） ()()()2222cos ,cos sin ;x
x x z z f u e y f u e y f u e y y y
∂∂′′′′==−∂∂ ……（6分） 将22z x ∂∂和22z y ∂∂代入等式22222x
z z ze x y
∂∂+=∂∂得 ()()f u f u ′′=，即()()0f u f u ′′−=. ……（8分） 这是一个二阶线性常系数齐次微分方程，特征方程为2
10,1λλ−==±，则 ……（9分）
()12u u f u C e C e −=+，其中12,C C 为任意常数. ……（10分）
(17) (本题满分11分)
求
)
D
y d σ+∫∫，其中()()
{}
2
222,411D x y x y x y =
+≤++≥且.
【解析】首先由对称性可知0D
yd σ=∫∫. ……（2分）
令(){
}
()(){
}
2
22212,4,,11D x y x y D x y x y =
+≤=
++≤，
则 ……（4分）
)
D
y d σ+
∫∫D
σ=
1
2
D D σσ=−∫∫
……（6分）
322
2cos 2
22
2
d r dr d r dr ππθ
πθθ−=−∫∫∫∫
……（8分）
()163216
32399
ππ=
−=−， 所以
)
22D
x y y d σ++∫∫()16
329
π=
−. ……（11分）(18) (本题满分10分)
设()f x 在(),−∞+∞内连续，且()()()0
2x
F x x t f t dt =
−∫.证明
(I) 若()f x 为偶函数，则()F x 也是偶函数； (II) 若()f x 单调递减，则()F x 单调递增. 【解析】(I)因为()()f x f x −=，所以
()()()()()()00221x
x
F x x t f t dt t u x u f u du −−=−−=−−+−−∫
∫令 ……（2分）
()()()()()0
22x
x x u f u du x t f t dt F x =−=−=∫∫， ……（3分）
可见，()F x 是偶函数.
(II) ()()()()()()00022x x x
F x x f t dt tf t dt f t dt xf x xf x ′⎡⎤′=−=+−⎢⎥⎣⎦
∫∫∫ ……（5分） ()()()()0
x x
f t dt xf x f t f x dt =
−=−⎡⎤⎣⎦∫∫
，
……（7分） 因为()f x 单调递减，所以
当0t x <<时，()()()()00,0x
f t f x f t f x dt −>−>⎡⎤⎣⎦∫，
当0x t <<时，()()()()()()0
0,
0x
x f t f x f t f x dt f t f x dt −<−=−−>⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦∫
∫， ……（9分）
即()0F x ′>恒成立，所以()F x 单调递增. ……（10分）
(19) (本题满分10分)
出售某种商品，已知其边际收益函数是()()10x
R x x e −′=−，边际成本函数是()(
)
2
46x
C x x x e
−′=−+，
且固定成本是3，求使这种商品的总利润达到最大值的产量和最大总利润. 【解析】()()()()0
01099x
x
t x R x R t dt t e dt x e −−′=
=−=−−∫
∫， ……（2分）
()()()()20
0724x
x C x C C t dt x x e −′=+=−−+∫， ……（4分）
⇒()()()()
2
25x
L x R x C x x x e
−=−=+−−，
()()234x L x x x e −′=−−−，
()()251x L x x x e −′′=−−. ……（7分）
令()()040L x x x ′=⇒=>，又()4
450L e
−′′=−<， ……（8分）
故可知()L x 在4x =有极大值，也就是在该点取得最大值，且()4
max 427L L e −==+. ……（10分） (20) (本题满分11分)
k 为何值时，线性方程组123212312
34
24
x x kx x kx x k x x x ++=⎧⎪
−++=⎨⎪−+=−⎩有唯一解，无解，有无穷多解？有解时，求出其全部解.
【解析】设方程组的系数矩阵为A ，则()()1
1=1
114112
k
A k
k k −=+−−， ……（2分）
当0A ≠，即1k ≠−或4k ≠时，方程组有唯一解，由克莱姆法则得
()()
232123224162,,1141k k
k k k k x x x k k k k +−+++−===
++−+， ……（5分） 当1k =−时，方程组为12312312
34,1,2 4.
x x x x x x x x x +−=⎧⎪
−−+=⎨⎪−+=−⎩
11141
1141
11411110
050
238112402
3
80
1A −−−⎛⎞⎛⎞⎛⎞
⎜⎟⎜⎟⎜⎟=−−→→−⎜⎟⎜⎟⎜⎟⎜⎟⎜⎟⎜⎟−−−−⎝⎠⎝
⎠⎝⎠
因为()()
23r A r A =≠=，
所以方程组无解. ……（8分） 当4k =时，方程组为12312312
344,
416,2 4.
x x x x x x x x x ++=⎧⎪
−++=⎨⎪−+=−⎩
1144114
4103014
1160
55200114112
402280000A ⎛⎞⎛⎞⎛⎞
⎜
⎟⎜⎟⎜⎟
=−→→⎜⎟⎜⎟⎜⎟⎜⎟⎜⎟⎜⎟−−−−−⎝
⎠⎝⎠⎝⎠
因为()()
2r A r A ==，所以方程组有无穷多解，于是13
2
334x x x x =−⎧⎨
=−+⎩，令3x c =，则得通解为 34c x c c −⎛⎞⎜⎟=−⎜⎟⎜⎟⎝⎠，即034101x c −⎛⎞⎛⎞
⎜⎟⎜⎟
=+−⎜⎟⎜⎟⎜⎟⎜⎟⎝⎠⎝⎠
，其中c 为任意常数. ……（11分）
(21) (本题满分11分)
已知二次型2
2
2
12312323(,,)2332(0)f x x x x x x ax x a =+++>，经正交变换化为标准形2
2
2
12325f y y y =++，求参数a 及所用的正交变换矩阵.
【解析】二次型f 所对应的矩阵为2000303A a a ⎛⎞
⎜⎟
=⎜⎟⎜⎟⎝⎠
，
222
00
||03
(2)(69)00
3
E A a a a
λλλλλλλ−−=
−−=−−+−=−−.
f 经正交变换化为标准形222
123
25f y y y =++，那么标准形中平方项的系数1，2，5就是A 的特征值. …（2分） 把1λ=代入特征方程，得2
40a −=2a ⇒=±.因0a >知2a =.这时，
200032023A ⎛⎞
⎜⎟
=⎜⎟⎜⎟⎝⎠
. ……
（3分） 对于11λ=，解方程组()0E A x −=，由于
100100022011022000E A −⎛⎞⎛⎞⎜⎟⎜⎟
−=−−→⎜⎟⎜⎟⎜⎟⎜⎟−−⎝⎠⎝⎠
，
故1(0,1,1)T
ξ=−. ……（5分）
对于22λ=，解方程组(2)0E A x −=，由于
0000120122012003001021000000E A ⎛⎞⎛⎞⎛⎞⎜⎟⎜⎟⎜⎟
−=−−→→⎜⎟⎜⎟⎜⎟⎜⎟⎜⎟⎜⎟−−⎝⎠⎝⎠⎝⎠
，
故2(1,0,0)T
=ξ. ……（7分）
对于35λ=，解方程组(5)0E A x −=，由于
3001005022011022000E A ⎛⎞⎛⎞⎜⎟⎜⎟
−=−→−⎜⎟⎜⎟⎜⎟⎜⎟−⎝⎠⎝⎠
，
故3(0,1,1)T
=ξ. ……（9分）
由于123,,ξξξ为属于不同特征值的特征向量，故已经相互正交，只需要单位化，得
1230101,0,122101γγγ⎛⎞⎛⎞⎛⎞⎟⎜⎟⎟===⎟⎜⎟⎟⎟⎜⎟⎟−⎠⎝⎠⎠
. 故所用的正交变换矩阵为
123010(,,)0220
22Q ⎛
⎞
⎜⎟⎜⎟⎜==⎜
⎜⎜⎜⎝γγγ. ……（11分） (22)（本题满分11分）
设二维随机变量(),X Y 的概率密度为()1,01,02,
,0,x y x f x y <<<<⎧=⎨⎩
其他.
求：(I) (),X Y 的边缘概率密度()(),X Y f x f y ； (II) 2Z X Y =−的概率密度()Z f z . 【解析】(I) 当01x <<时，()()20
,2x
X f x f x y dy dy x +∞
−∞
===∫
∫；
当0x ≤或1x ≥时，()0X f x =；即
()2,01,
0,X x x f x <<⎧=⎨⎩其他.
……（3分）
当02y <<时，()()1
2
,12
y Y y f y f x y dx dx +∞
−∞
=
==−
∫
∫； 当0y ≤或2y ≥时，()0Y f y =；即()1,02,
2
0,Y y
y f y ⎧−<<⎪=⎨⎪⎩其他.
……（6分） (II) 当0z ≤时， ()0Z F z =；当2z ≥时， ()1Z F z =； ……（7分）
针对性教学：一切以提高学生学习成绩为宗旨 10当02z <<时， (){}()22,Z x y z
F z P X Y z f x y dxdy −≤=−≤=
∫∫
12=2
1202124x z z z dx dy z −××−=−∫∫， ……（10分） 所以 ()1,02,20,Z z z f z ⎧−<<⎪=⎨⎪⎩其他.
……（11分） (23) (本题满分11分)
设总体X 的概率密度为()()()1,01,10,a a x x f x a ⎧+ <<⎪=>⎨
⎪⎩其他.，12,,,n x x x ⋅⋅⋅为一组样本值，求a 的最大似然估计和矩估计量.
【解析】似然函数()()()()111,01,1,2,,0,n a n i i i i i a x x i n L a f x ==⎧⎡⎤+<<=⋅⋅⋅⎪⎣⎦==⎨⎪⎩∏∏其他. 当01,1,2,,i x i n <<=⋅⋅⋅时
()()11n n a i i L a a x
==+∏，()()1ln ln 1ln n i i L a n a a x ==++∑， ……（4分）
由()1ln ln 01n i i d L a n x da a ==+=+∑ 得 11ln n i
i n a x
==−−∑， ……（6分） 所以a 的最大似然估计量为 1ˆ1ln n i
i n
a X
==−−∑. ……（7分） 又 ()()()110112
a a E X xf x dx a x dx a +∞
+−∞+==+=+∫∫， ……（9分） 令()X E X =，即 12a X a +=+，得矩估计量为 21ˆ1X a X
−=−，其中11n i i X X n ==∑. ……（11分）。