圆的方程与专题复习(直线与圆、圆与圆的位置关系、轨迹问题)
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圆的方程与专题复习(直线与圆、圆与圆的位置关系、轨迹问题)
知识梳理
浙江省诸暨市学勉中学(311811)郭天平
圆的标准方程、一般方程与参数方程的推导与运用是这节内容的重点;涉及直线与圆、圆与圆的位置关系的讨论及有关性质的研究是这节的难点。
一、有关圆的基础知识要点归纳
1. 圆的定义:平面内与定点距离等于定长的点的集合(轨迹)是圆.定点即为圆心,定长为半径.
2. 圆的标准方程
① 圆的标准方程:由圆的定义及求轨迹的方法,得()()()022
2
>=-+-r r b y a x ,
其中圆心坐标为()b a ,,半径为r ;当0,0==b a 时,即圆心在原点时圆的标准方程为
2
2
2
r y
x =+;
② 圆的标准方程的特点:是能够直接由方程看出圆心与半径,即突出了它的几何意义。
3. 圆的一般方程
①圆的一般方程:展开圆的标准方程,整理得,
02
2
=++++F Ey Dx y x (
)
042
2>-+F E
D ;
② 圆的一般方程的特点:(1)22,y x 项系数相等且不为0;(2)没有xy 这样的二次项
③ 二元二次方程02
2=+++++F Ey Dx Cy
Bxy Ax 表示圆的必要条件是
0≠=C A 且0=B ;
二元二次方程02
2=+++++F Ey Dx Cy
Bxy Ax 表示圆的充要条件是0
≠=C A 且0=B 且0422>-+AF E D 4. 圆的参数方程
圆的参数方程是由中间变量θ将变量y x ,联系起来的一个方程.
① 圆心在原点,半径为r 的圆的参数方程是:θθ
θ(sin cos ⎩⎨
⎧==r y r x 为参数);
② 圆心在()b a ,,半径为r 的圆的参数方程是:θθθ
(sin cos ⎩
⎨⎧+=+=r b y r a x 为参数);
5. 确定圆方程的条件
圆的标准方程、圆的一般方程及参数方程都有三个参数,因此要确定圆方程需要三个独立的条件,而确定圆的方程我们常用待定系数法,根据题目不同的已知条件,我们可适当地选择不同的圆方程形式,使问题简单化。如已知条件中涉及圆心与半径有关等条件,一般设圆的标准方程,即列出r b a ,,的方程组,求出r b a ,,的值,也可根据圆的特点直接求出圆心()b a ,,半径r 。当圆心位置不能确定时,往往选择圆的一般方程形式,由已知条件列出F E D ,,的三个方程,显然前者解的是三元二次方程组,后者解的是三元一次方程组,在运算上显然设一般式比标准式要简单。
6. 点与圆的位置关系
设圆()()2
2
2
:r b y a x C =-+-,点()00,y x M 到圆心的距离为d ,则有:
(1)r d >⇔点M 在圆外; (2)r d = ⇔点M 在圆上; (3)r d < ⇔点M 在圆内.
7. 直线与圆的位置关系
设圆()()22
2
:r b y a x C =-+-,直线l 的方程为0=++C By Ax (B A ,不全为0),
圆心()b a ,,判别式为△,则有:
(1) 几何特征(数形结合):由圆心到直线的距离d 与半径r 的大小来判断 ① r d < ⇔直线与圆相交; ② r d = ⇔直线与圆相切; ③ r d >⇔直线与圆相离;
(2) 代数特征:由直线方程与圆方程联立方程组,研究其解的个数来判断位置关系 ① △>0⇔有两组不同的实数解⇔ 直线与圆相交; ② △=0⇔有两组相同的实数解⇔ 直线与圆相切; ③ △<0⇔无实数解⇔ 直线与圆相离.
(3) 直线与圆相交的弦长问题
①直线与圆相切时,要考虑过切点与切线垂直的半径;
②求弦长时,要用半径、弦心距、半弦长构成的直角三角形,即设弦长为l ,弦心距为d ,半径为r ,则有222
2r d l =+⎪⎭
⎫
⎝⎛.
③弦长公式:设直线交圆于()()2211,,,y x B y x A ,则B A AB
x x k AB -⋅+=2
1
或B A y y k
AB -⋅+
=
2
1
1.
(4) 圆的切线方程:
①已知圆2
2
2
1:r y x O =+;()()22
2
2:r b y a x O =-+-;
0:2
2
3=++++F Ey Dx y x O ,则以()00,y x M 为切点的圆1O 切线方程为:
2
00r y y x x =+;圆2O 切线方程为:()()()()2
00r b y b y a x a x =--+--;圆3O 切线方
程为:()
()
02
20000=+++
++
+F y y E x x D yy xx .
②若()00,y x M 在圆1O 外,到圆1O 有两条切线,则切点弦方程:2
00r y y x x =+.
9.圆与圆的位置关系
设圆()()22
2
1:r b y a x C =-+-,()()2
2
2
2:R n y m x C =-+-且设两圆圆心距
为d .
(1) 几何特征(数形结合):由圆心距与半径r 、R 的大小来判断 ① r R d +=⇔两圆外切;
② r R d -= ⇔两圆内切且两圆的连心线过切点;
③ r R d +>⇔两圆外离; ④ r R d -<⇔ 两圆内含; ⑤ r R d r R +<<-⇔两圆相交.