高中数学3.1空间向量及其运算3.1.4空间向量的正交分解及坐标表示学案无答案新人教A版选修2_12

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高中数学_3.1.4空间向量的正交分解及其坐标表示教学设计学情分析教材分析课后反思

教案教情学情分析在现行教材编写与教学过程安排中，学生已经在必修4中学习了平面向量的相关知识. 而在本节内容之前，学生又学习了空间向量的运算，因此具有了一定的基础知识储备.因此，借助平面向量基本定理，类比得到空间向量基本定理分解的存在性是容易．．. 同时有了平面向量坐标的定义，得到．．的，但是证明唯一性具有一定的难度空间坐标的定义是容易．．．的理解却．．的，但是学生对于单位正交基底的选择的合理性是模糊．．的.效果分析一．类比与猜想的紧密结合本节课紧扣教学参考的要求，通过类比的方式从平面向量基本定理推广得到了空间向量基本定理，进而再由正交分解得到空间向量的坐标表示，利用学生已有的知识学习新的知识，教学过程中考虑到学生的最近发展区，同时其中不乏一些猜想，比如空间向量基本定理中的分解的唯一性，又特别的加入了如能否将定理进一步推广到四维空间，如果推广到四维空间，表述形式又如何等猜想.类比与猜想，是十分重要的数学研究手段，本节课利用高中生容易接受的知识，所以本节课合理地将类比与猜想能力的培养融入到课堂教学之中，更是设置了一些学生自主思考，小组讨论等交流平台，充分了挖掘了本节课的思维的深度与广度.二．课堂与教材的有机整合教材是教学的蓝本，研究教材，合理使用教材，是每一位中学教师都要做好的基本功. 但使用教材应该是合理地根据课堂教学内容进行有机整合，而非照本宣科.本节课的教学过程设置，先是从必修4中的平面向量基本定理出发，得到了本节课所需讲授的空间向量基本定理，然后通过引导学生进行大胆地猜想与推广，最后又回到课本，利用课本后续的“阅读与思考”内容，完成学生心目中的疑问的解答，成功地将高中教材中属于两本课本的高一与高二的学习内容，以及同一课本的课堂教学与课后阅读内容，进行了有机的整合，从而让学生通过教材的使用，充分体会到了知识之间的联系，也学习到了更为完整的数学.【教材分析】空间向量的正交分解及其坐标表示空间向量的正交分解及其坐标表示是在学生学习了空间向量几何形式及其线性运算和数量积运算的基础上进一步学习的知识内容。

《3.1.4 空间向量的正交分解及其坐标表示》教学案1

《3.1.4 空间向量的正交分解及其坐标表示》教学案1教学目标1.知识与技能掌握空间直角坐标系的概念，会确定点的坐标，掌握空间向量坐标运算的规律.2.过程与方法通过分析、推导让学生掌握空间直角坐标系的概念，会确定点的坐标，掌握空间向量坐标运算的规律.3.情感、态度与价值观通过学生对问题的探究思考，广泛参与，提高学习质量.教学重点空间向量坐标运算的规律.教学难点空间向量坐标运算的规律.教学方法通过观察.类比.思考.交流和讨论等.教学过程活动一：创设情景、引入课题（5分钟）问题1：回忆上一节课学习过的内容：什么叫空间向量的夹角及范围？空间向量的数量积的概念？表示？性质？运算律？问题2：说说平面向量的基本定理？正交分解？由平面向量的基本定理，对平面内的任意向量a ，均可分解为不共线的两个向量11a λ和22a λ，使1122a a a λλ=+. 如果12a a ⊥时，这种分解就是平面向量的正交分解. 如果取12,a a 为平面直角坐标系的坐标轴方向的两个单位向量,i j ，则存在一对实数x 、y ，使得a xi y j =+，即得到平面向量的坐标表示(,)a x y =.今天我们将在前一节课的基础上，进一步学习空间向量的正交分解及其坐标表示并进行一些简单的应用．点题：今天我们学习“空间向量的正交分解及其坐标表示”活动二：师生交流、进入新知，（20分钟）一、空间向量类比：由平面向量的基本定理,推广到空间向量，结论会如何呢？(1)空间向量的正交分解：对空间的任意向量a ，均可分解为不共面的三个向量11a λ、22a λ、33a λ，使112233a a a a λλλ=++. 如果123,,a a a 两两垂直，这种分解就是空间向量的正交分解.问题3：（书本P93探究）在空间中，如果用任意三个不共面向量,,a b c 代替两两垂直的向量123,,a a a ，你能得到类似的结论吗？1、空间向量基本定理：如果三个向量,,a b c 不共面，那么对空间任一向量p ，存在有序实数组{,,}x y z ，使得p xa yb zc =++. 把{,,}a b c 叫做空间的一个基底（base ）；,,a b c 都叫做基向量.2. 单位正交基底：如果空间一个基底的三个基向量互相垂直，且长度都为1，则这个基底叫做单位正交基底，通常用｛i ,j ,k ｝表示．单位——三个基向量的长度都为1；正交——三个基向量互相垂直．选取空间一点O 和一个单位正交基底｛i ,j ,k ｝，以点O 为原点，分别以i ,j ,k 的方向为正方向建立三条坐标轴：x 轴、y 轴、z 轴，得到空间直角坐标系O -xyz ，3. 空间向量的坐标表示：给定一个空间直角坐标系和向量a ，且设i 、j 、k 为坐标向量，则存在唯一的有序实数组123(,,)a a a ，使a ＝1a i ＋2a j ＋3a k ．练习：书本P94：1、2、3活动三：合作学习、探究新知（18分钟）例4：如图：M ，N 分别是四面体OABC 的边OA ，BC 的中点，P ，Q 分别MN 的三等分点，用向量,,,OA OB OC →→→表示OP OQ →→和解略：书本P94页2．1、已知1e 和2e 是两个单位向量，夹角为3π，则（12e e -）12(32)e e -+等于（）A.-8B.92 C. 52- D.8 2、已知1e 和2e 是两个单位向量，夹角为3π，则下面向量中与212e e -垂直的是（）A. 12e e +B. 12e e -C. 1eD. 2e3、在ABC ∆中，设=AB a ，=BC b ，=CA c ，若0)(<+b a a ，则ABC ∆（）)(A 直角三角形 )(B 锐角三角形 )(C 钝角三角形 )(D 无法判定4、已知a 和b 是非零向量，且3a b +与75a b -垂直，4a b -与72a b -垂直，求a 与b 的夹角。

学案10：3.1.4 空间向量的正交分解及其坐标表示

3.1.4 空间向量的正交分解及其坐标表示学习目标1.了解空间向量的正交分解的含义.2.掌握空间向量的基本定理，并能用空间向量基本定理解决一些简单问题.3.掌握空间向量的坐标表示，能在适当的坐标系中写出向量的坐标．学习重点：空间向量基本定理的应用．学习难点：应用空间向量基本定理解决问题．要点整合细读课本知识点一空间向量基本定理[填一填]1．定理：条件：三个向量a，b，c．结论：对空间任一向量p，存在有序实数组，使得p＝x a＋y b＋z c.2．基底：空间中任何的三个向量a，b，c都可以构成空间的一个基底，即{a，b，c}．3．基向量：空间的一个基底{a，b，c}中的向量a，b，c都叫做基向量．[答一答]1．(1)空间中怎样的向量能构成基底？(2)基底与基向量的概念有什么不同？2．空间的基底唯一吗？3．为什么空间向量基本定理中x，y，z是唯一的？知识点二空间向量的正交分解及其坐标表示[填一填]1．单位正交基底：有公共起点O的三个的单位向量e1，e2，e3称为．2．空间直角坐标系：以e1，e2，e3的公共起点O为原点，分别以e1，e2，e3的方向为x轴、y轴、z轴的正方向建立空间直角坐标系Oxyz.3．空间向量的坐标表示：对于空间任意一个向量p ，一定可以把它，使它的起点与原点O 重合，得到向量OP →＝p ，由空间向量基本定理可知，存在有序实数组{x ，y ，z }，使得p ＝x e 1＋y e 2＋z e 3.把称作向量p 在单位正交基底e 1，e 2，e 3下的坐标，记作p ＝(x ，y ，z )，即点P 的坐标为．[答一答]4．与坐标轴或坐标平面垂直的向量坐标有何特点？5．向量可以平移，向量p 在坐标系中的坐标唯一吗？特别关注1．空间向量基本定理注意点空间向量基本定理表明，用空间三个不共面的已知向量组{a ，b ，c }可以线性表示出空间任意一个向量，而且表示的结果是唯一的．我们在用选定的基向量表示指定的向量时．要结合已知和所求，观察图形，联想相关的运算法则和公式等，就近表示所需向量，再对照目标，将不符合目标要求的向量当作新的所需向量，如此继续下去，直到所有向量都符合目标要求为止．2．空间向量与平面向量的坐标运算的联系类比平面向量的坐标运算，空间向量的坐标运算是平面向量坐标运算的推广，两者实质是一样的，只是表达形式不同而已，空间向量多了个竖坐标．典例讲破类型一空间向量基本定理的理解例1 已知{e 1，e 2，e 3}是空间的一个基底，且OA →＝e 1＋2e 2－e 3，OB →＝－3e 1＋e 2＋2e 3，OC →＝e 1＋e 2－e 3，试判断{OA →，OB →，OC →}能否作为空间的一个基底？通法提炼判断给出的某一向量组能否作为基底，关键是要判断它们是否共面.如果从正面难以入手，可用反证法或利用一些常见的几何图形进行判断. 针对训练1已知a 、b 、c 是不共面的三个向量，则下列选项中能构成一组基底的一组向量是( ) A ．2a ，a －b ，a ＋2b B ．2b ，b －a ，b ＋2a C ．a,2b ，b －cD ．c ，a ＋c ，a －c类型二用基底表示向量例2 如图所示，平行六面体ABCD A 1B 1C 1D 1中，E ，F 分别在B 1B 和D 1D 上，且BE ＝13BB 1，DF ＝23DD 1.(1)证明A ，E ，C 1，F 四点共面；(2)若EF →＝xAB →＋yAD →＋zAA 1→，求x ＋y ＋z .通法提炼在几何体中，根据图形的特点，选择公共起点最集中的向量中的三个不共面的向量作为基底，或选择有公共起点且关系最明确如夹角或线段长度的三个不共面的向量作为基底，这样更利于解题. 针对训练2已知平行六面体OABC O ′A ′B ′C ′，OA →＝a ，OC →＝c ，OO ′→＝b ，D 是四边形OABC 的对角线交点，则( ) A.O ′D →＝－a ＋b ＋c B.O ′D →＝－b －12a －12cC.O ′D →＝12a －b －12cD.O ′D →＝12a －b ＋12c类型三求向量的坐标例3 如图所示，已知点P 为正方形ABCD 所在平面外一点，且P A ⊥平面ABCD ，M 、N 分别是AB 、PC 的中点，且P A ＝AD ，求向量MN →的坐标．通法提炼用坐标进行向量的运算，关键之一是把相关的向量以坐标形式表示出来.这里有两个方面的问题：一是如何恰当地建系，一定要分析空间几何体的构造特征，选合适的点作原点、合适的直线和方向作坐标轴，一般来说，有共同的原点，且两两垂直的三条数轴，只要符合右手系的规定，就可以作为空间直角坐标系.二是在给定的空间直角坐标系中如何表示向量的坐标，这里又有两种方法，其一是运用基底法，把空间向量进行正交分解；其二是运用投影法，求出起点和终点的坐标. 针对训练3在直三棱柱ABC A 1B 1C 1中，∠ACB ＝90°，CA ＝CB ＝1，CC 1＝2，M 为A 1B 1的中点．以C 为坐标原点，分别以CA ，CB ，CC 1所在的直线为x 轴，y 轴，z 轴，建立空间直角坐标系(如图所示)，则AB 1→的坐标为，MB →的坐标为(－12，12，－2)．课堂达标1．设命题p ：a ，b ，c 是三个非零向量；命题q ：{a ，b ，c }为空间的一个基底，则命题p 是命题q 的( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件2．已知{a ，b ，c }是空间的一个基底，则可以和向量p ＝a ＋b ，q ＝a －b 构成基底的向量是( ) A ．a B ．b C ．a ＋2bD ．a ＋2c3．设{i ，j ，k }是空间向量的一个单位正交基底，则向量a ＝3i ＋2j －k ，b ＝－2i ＋4j ＋2k 的坐标分别是．【答案】(3,2，－1)，(－2,4,2)【解析】∵i ，j ，k 是单位正交基底，故根据空间向量坐标的概念知a ＝(3,2，－1)， b ＝(－2,4,2)．4．已知点G 是△ABC 的重心，O 是空间任一点，若OA →＋OB →＋OC →＝λOG →，则λ的值是 . 5．如图，四棱锥P OABC 的底面为一矩形，设OA →＝a ，OC →＝b ，OP →＝c ，E 、F 分别是PC 和PB 的中点，用a ，b ，c 表示BF →、BE →、AE →、EF →.参考答案要点整合细读课本知识点一空间向量基本定理[填一填]1．不共面 {x ，y ，z }2．不共面[答一答]1．提示：(1)空间任意三个“不共面”的向量都可以作为空间向量的一个基底．(2)一个基底是指一个向量组，一个基向量是指基底中的某一个向量，二者是相关联的不同概念．2．提示：不唯一，只要是三个向量不共面，这三个向量就可以组成空间的一个基底． 3．提示：平移向量a ，b ，c ，p 使它们共起点，如图所示，以p 为体对角线，在a ，b ，c 方向上作平行六面体，易知这个平行六面体是唯一的，因此p 在a ，b ，c 方向上的分解是唯一的，即x ，y ，z 是唯一的．知识点二空间向量的正交分解及其坐标表示[填一填]1．两两垂直单位正交基底 3．平移 x ，y ，z (x ，y ，z )[答一答]4．提示：xOy 平面上的点的坐标为(x ，y,0)，xOz 平面上的点的坐标为(x,0，z )，yOz 平面上的点的坐标为(0，y ，z )，x 轴上的点的坐标为(x,0,0)，y 轴上的点的坐标为(0，y,0)，z 轴上的点的坐标为(0,0，z )．另外还要注意向量OP →的坐标与点P 的坐标相同．5．提示：唯一．在空间直角坐标系中，向量平移后，其正交分解不变，故其坐标也不变．典例讲破类型一空间向量基本定理的理解例1 解：假设OA →，OB →，OC →共面，由向量共面的充要条件知存在实数x ，y ，使OA →＝xOB →＋yOC →成立．∴e 1＋2e 2－e 3＝x (－3e 1＋e 2＋2e 3)＋y (e 1＋e 2－e 3)＝(－3x ＋y )e 1＋(x ＋y )e 2＋(2x －y )e 3.∵{e 1，e 2，e 3}是空间的一个基底， ∴e 1，e 2，e 3不共面，∴⎩⎪⎨⎪⎧－3x ＋y ＝1，x ＋y ＝2，2x －y ＝－1，此方程组无解，即不存在实数x ，y ，使OA →＝xOB →＋yOC →成立．∴OA →，OB →，OC →不共面．故{OA →，OB →，OC →}能作为空间的一个基底．针对训练1 【答案】C【解析】因为a ，b ，c 不共面，易知a,2b ，b －c 不共面．故应选C. 类型二用基底表示向量例2 (1)证明：∵AC 1→＝AE →＋EC 1→，又EC 1→＝EB 1→＋B 1C 1→＝23BB 1→＋B 1C 1→＝23AA 1→＋AD →，AF →＝AD →＋DF →＝AD →＋23DD 1→＝AD →＋23AA 1→，∴EC 1→＝AF →，∴AC 1→＝AE →＋AF →，∴A ，E ，C 1，F 四点共面． (2)解：∵EF →＝AF →－AE →＝AD →＋DF →－(AB →＋BE →) ＝AD →＋23DD 1→－AB →－13BB 1→＝－AB →＋AD →＋13AA 1→，∴x ＝－1，y ＝1，z ＝13.∴x ＋y ＋z ＝13.针对训练2 【答案】D【解析】O ′D →＝O ′O →＋OD →＝O ′O →＋12OA →＋12OC →＝－b ＋12a ＋12c .类型三求向量的坐标例3 解：设正方形的边长为a ，∵P A ＝AD ＝AB ，且P A ，AD ，AB 两两互相垂直，故可设DA →＝a i ，AB →＝a j ，AP →＝a k .以i ，j ，k 为坐标向量建立如图所示的空间直角坐标系．方法一：∵MN →＝MA →＋AP →＋PN →＝－12AB →＋AP →＋12PC →＝－12AB →＋AP →＋12(AD →＋AB →－AP →)＝－12a j ＋a k ＋12(－a i ＋a j －a k )＝－12a i ＋12a k ，∴MN →＝(－12a,0，12a )．方法二：∵P (0,0，a )，C (－a ，a,0)， ∴N 点的坐标为(－12a ，12a ，12a )．∵M 点的坐标为(0，12a,0)，∴MN →＝(－12a,0，12a )．针对训练3 【答案】(－1,1,2)【解析】A (1,0,0)，B (0,1,0)，B 1(0,1,2)，M (12，12，2)，AB 1→＝CB 1→－CA →＝(－1,1,2)，MB →＝(－12，12，－2). 课堂达标1．【答案】B【解析】当非零向量a ，b ，c 不共面时，{a ，b ，c }可以当基底，否则不能当基底，当{a ，b ，c }为基底时，一定有a ，b ，c 为非零向量． 2．【答案】D【解析】能与p ，q 构成基底，则与p ，q 不共面．∵a ＝p ＋q 2，b ＝p －q 2，a ＋2b ＝3p －q 2，∴A 、B 、C 都不合题意，由于{a ，b ，c }构成基底，∴a ＋2c 与p ，q 不共面，可构成基底． 3．【答案】(3,2，－1)，(－2,4,2)【解析】∵i ，j ，k 是单位正交基底，故根据空间向量坐标的概念知a ＝(3,2，－1)， b ＝(－2,4,2)． 4．【答案】3【解析】如图，G 为△ABC 重心，E 为AB 中点，∴OE →＝12(OA →＋OB →)，CG →＝23CE →＝23(OE →－OC →)，∴OG →＝OC →＋CG →＝OC →＋23(OE →－OC →)＝13(OA →＋OB →＋OC →)，∴λ＝3.5．解：BF →＝12BP →＝12(BO →＋OP →)＝12(c －b －a )＝－12a －12b ＋12c . BE →＝BC →＋CE →＝－a ＋12CP →＝－a ＋12(CO →＋OP →)＝－a －12b ＋12c .AE →＝AP →＋PE →＝AO →＋OP →＋12(PO →＋OC →)＝－a ＋c ＋12(－c ＋b )＝－a ＋12b ＋12c .EF →＝12CB →＝12OA →＝12a .。

高中数学第三章空间向量与立体几何3.1.4空间向量的正交分解及其坐标表导学案(无答案)新人教A版选修2_1

3.1.4空间向量的正交分解及其坐标表示学习目标 1.掌握空间向量的正交分解及空间向量基本定理和坐标表示； 2.掌握空间向量的坐标运算的规律； 3.会根据向量的坐标，判断两个向量共线或垂直．学习重点难点1.空间向量基本定理、向量的坐标运算．2.理解空间向量基本定理．学法指导通过平面向量基本定理得出空间向量基本定理课前预习 1、平面向量基本定理：如果两个向量,,a b ________，那么对空间任一向量p ，存在有序实数组{},x y 使____________________2、空间向量基本定理：如果三个向量,,a b c ________，那么对空间任一向量p ，存在有序实数组{},,x y z 使____________________预习评价如图所示，平行六面体OABC －O ′A ′B ′C ′，且＝a ，＝b ，＝c . OA → OC → OO ′→用a ，b ，c 表示向量， OB ′→ AC ′→课堂学习研讨、合作交流（备注：重、难点的探究问题）一、温故知新 1. 类比：由平面向量的基本定理，对平面内的任意向量a ，均可分解为不共线的两个向量11a λ 和22a λ ，使1122a a a λλ=+ . 如果12a a ⊥ 时，这种分解就是平面向量的正交分解. 如果取12,a a 为平面直角坐标系的坐标轴方向的两个单位向量,i j ，则存在一对实数x 、y ，使得a xi y j =+ ，即得到平面向量的坐标表示(,)a x y = .思考：我们知道，平面的任意向量a 都可以用两个不共线的向量12,a a 来表示（平面向量基本定理）。

对于空间任意一个向量，有没有类似的结论呢？ 2、空间向量基本定理：如果三个向量,,a b c ________，那么对空间任一向量p ，存在有序实数组{},,x y z 使____________________ 注：如果三个向量,,a b c 不共面，那么所有空间向量组成的集合就是}{/=,,,p p xi y j zk x y z R ++∈ ，这个集合可以看做是由向量,,a b c 生成的。

《3.1.4 空间向量的正交分解及其坐标表示》导学案(新部编)4

教师学科教案[ 20 – 20 学年度第__学期]任教学科：_____________任教年级：_____________任教老师：_____________xx市实验学校《3.1.4 空间向量的正交分解及其坐标表示》导学案4【学习目标】1.能准确说出空间向量的正交分解及空间向量基本定理；2. 能够将空间向量用坐标表示出来。

【学习重点】1. 能准确说出空间向量的正交分解及空间向量基本定理；2. 能够将空间向量用坐标表示出来。

【考纲要求】了解空间向量的概念，了解空间向量的基本定理及其意义，掌握空间向量的正交分解及其坐标表示。

【学习过程】（一）独学1）空间向量的正交分解：空间的任意向量a r，均可分解为不共面的三个向量11a λu u r 、22a λu u r 、33a λu u r，使112233a a a a λλλ=++r u u r u u r u u r . 如果123,,a a a u u r u u r u u r 两两，这种分解就是空间向量的正交分解.2）空间向量基本定理：如果三个向量,,a b c r r r，对空间任一向量p u r ，存在有序实数组{,,}x y z ，使得p xa yb zc =++u r r r r .叫做空间的一个基底，都叫做基向量.反思：空间任意一个向量的基底有个.3）什么是单位正交基底？通常用什么表示？4）空间向量的坐标表示：给定一个空间直角坐标系O -xyz 和向量a ，且设i 、j 、k 为 x轴、y 轴、z 轴正方向的单位向量，则存在有序实数组{,,}x y z ，使得a xi y j zk =++r r r r，则称有序实数组{,,}x y z 为向量a 的坐标，记着p =u r.练习：（A ）1. 设23a i j k =-+r r r r ，则向量a r的坐标为 .（B ）2. 若{}a,,b c u r u r r为空间向量的一组基底，则下列各项中，能构成基底的是（）A.,,a a b a b +-r r r r rB.,,b a b a b +-r r r r r C. ,,c a b a b +-r r r r rD. 2,,a b a b a b ++-r r r r r r（B ）3. 正方体''''ABCD A B C D -的棱长为2，以A 为坐标原点，以'AB,AD,AA u u u ur u u u r u u u r 为x轴、y 轴、z 轴正方向建立空间直角坐标系，试画出图形并求出点1D ，'AC 的坐标。

高中数学第三章空间向量与立体几何3.1.4空间向量的正交分解及其坐标表示学案

3．1.4 空间向量的正交分解及其坐标表示1.理解空间向量基本定理，并能用基本定理解决一些几何问题．2.理解基底、基向量的概念．3．掌握空间向量的坐标表示，能在适当的坐标系中正确写出向量的坐标．[学生用书P57]1．空间向量基本定理(1)条件：三个向量a ，b ，c 不共面． (2)结论：{a ，b ，c }叫做空间的一个基底． (3)基向量：基底中的向量a ，b ，c 都叫做基向量．(1)基底选定后，空间所有向量均可由基底惟一表示．(2)构成基底的三个向量a ，b ，c 中，没有零向量，其中的每个向量称为基向量． 3．空间向量的正交分解及其坐标表示判断(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)只有两两垂直的三个向量才能作为空间向量的一组基底．( )(2)若{a ，b ，c }为空间一个基底，则{－a ，b ，2c }也可构成空间一个基底．( ) (3)若向量AP →的坐标为(x ，y ，z )，则点P 的坐标也为(x ，y ，z )．( )(4)若三个非零向量a ，b ，c 不能构成空间的一个基底，则a ，b ，c 共面．( ) 答案：(1)× (2)√ (3)× (4)√下列各组向量能构成一个基底的是( ) A ．长方体ABCD A 1B 1C 1D 1中的向量AB →，AC →，AD →B ．三棱锥A BCD 中的向量AB →，AC →，AD →C ．三棱柱ABC A 1B 1C 1中(E 是A 1C 1的中点)的向量AA 1→，AE →，AC 1→D ．四棱锥S ABCD 中的向量DA →，DB →，DC →答案：B已知正方体OABC O ′A ′B ′C ′的棱长为1，若以OA →，OC →，OO ′→为基底，则向量OB ′→的坐标是( )A ．(1，1，1)B ．(1，0，1)C ．(－1，－1，－1)D ．(－1，0，1) 答案：A探究点1 空间向量的基底[学生用书P58]已知{e 1，e 2，e 3}是空间的一个基底，且OA →＝e 1＋2e 2－e 3，OB →＝－3e 1＋e 2＋2e 3，OC →＝e 1＋e 2－e 3，试判断{OA →，OB →，OC →}能否作为空间的一个基底．【解】假设OA →，OB →，OC →共面，由向量共面的充要条件知，存在实数x ，y ，使得OA →＝xOB →＋y OC →成立，即e 1＋2e 2－e 3＝x (－3e 1＋e 2＋2e 3)＋y (e 1＋e 2－e 3)＝(－3x ＋y )e 1＋(x ＋y )e 2＋(2x －y )e 3.因为{e 1，e 2，e 3}是空间的一个基底，所以e 1，e 2，e 3不共面，所以⎩⎪⎨⎪⎧－3x ＋y ＝1x ＋y ＝22x －y ＝－1，此方程组无解．即不存在实数x ，y ，使得OA →＝xOB →＋yOC →成立，所以OA →，OB →，OC →不共面．故{OA →，OB →，OC →}能作为空间的一个基底．基底的判断思路判断给出的三个向量能否构成基底，关键是要判断这三个向量是否共面．首先应考虑三个向量中是否有零向量，其次判断三个非零向量是否共面．如果从正面难以入手判断，可假设三个向量共面，利用向量共面的充要条件建立方程组，若方程组有解，则三个向量共面；若方程组无解，则三个向量不共面．设x ＝a ＋b ，y ＝b ＋c ，z ＝c ＋a ，且{a ，b ，c }是空间的一个基底，给出下列向量组：①{a ，b ，x }，②{b ，c ，z }，③{x ，y ，a ＋b ＋c }，其中可以作为空间一个基底的向量组有( )A ．1个B ．2个C ．3个D.0个解析：选B.因为x ＝a ＋b ，所以向量x ，a ，b 共面．如图，令a ＝AB →，b ＝AA 1→，c ＝AD →，则x ＝AB 1→，y ＝AD 1→，z ＝AC →，a ＋b ＋c ＝AC 1→.可知向量b ，c ，z 和x ，y ，a ＋b ＋c 不共面，故选B. 探究点2 空间向量基本定理[学生用书P58]如图，在三棱柱ABC A ′B ′C ′中，已知AA ′→＝a ，AB →＝b ，AC →＝c ，点M ，N 分别是BC ′，B ′C ′的中点，试用基底{a ，b ，c }表示向量AM →，AN →.【解】连接A ′N (图略)． AM →＝AB →＋12BC ′→＝AB →＋12(BC →＋CC ′→)＝AB →＋12BC →＋12CC ′→＝AB →＋12(AC →－AB →)＋12AA ′→＝12AB →＋12AC →＋12AA ′→ ＝12(a ＋b ＋c )． AN →＝AA ′→＋A ′N →＝AA ′→＋12(A ′B ′→＋A ′C ′→)＝AA ′→＋12(AB →＋AC →)＝a ＋12b ＋12c .[变条件]若把本例中的“AA ′→＝a ”改为“AC ′→＝a ”，其他条件不变，则结果是什么？解：因为M 为BC ′的中点，N 为B ′C ′的中点，所以AM →＝12(AB →＋AC ′→)＝12a ＋12b . AN →＝12(AB ′→＋AC ′→)＝12(AB →＋BB ′→＋AC ′→) ＝12AB →＋12CC ′→＋12AC ′→ ＝12AB →＋12(AC ′→－AC →)＋12AC ′→ ＝12AB →＋AC ′→－12AC → ＝12b ＋a －12c.用基底表示向量的步骤(1)定基底：根据已知条件，确定三个不共面的向量构成空间的一个基底．(2)找目标：用确定的基底(或已知基底)表示目标向量，需要根据三角形法则及平行四边形法则，结合相等向量的代换、向量的运算进行变形、化简，最后求出结果．(3)下结论：利用空间向量的一个基底{a ，b ，c }可以表示出空间所有向量．表示要彻底，结果中只能含有a ，b ，c ，不能含有其他形式的向量．已知矩形ABCD ，P 为平面ABCD 外一点，M ，N 分别为PC ，PD 上的点，且M 分PC 成定比2，N 为PD 的中点，求满足MN →＝xAB →＋yAD →＋zAP →的实数x ，y ，z 的值．解：法一：如图所示，取PC 的中点E ，连接NE ，则MN →＝EN →－EM →. 因为EN →＝12CD →＝12BA →＝－12AB →.EM →＝PM →－PE →＝23PC →－12PC →＝16PC →.连接AC ，则PC →＝AC →－AP →＝AB →＋AD →－AP →，所以MN →＝－12AB →－16(AB →＋AD →－AP →)＝－23AB →－16AD →＋16AP →，因为AB →，AD →，AP →不共面．所以x ＝－23，y ＝－16，z ＝16.法二：MN →＝PN →－PM →＝12PD →－23PC →＝12(PA →＋AD →)－23(PA →＋AC →) ＝－12AP →＋12AD →－23(－AP →＋AB →＋AD →)＝－23AB →－16AD →＋16AP →，因为AB →、AD →、AP →不共面，所以x ＝－23，y ＝－16，z ＝16.探究点3 空间向量的坐标表示[学生用书P59]在正三棱柱ABC A 1B 1C 1中，已知△ABC 的边长为1，三棱柱的高为2，建立适当的空间直角坐标系，并写出AA 1→，AB 1→，AC 1→的坐标．【解】分别取BC ，B 1C 1的中点D ，D 1，以D 为坐标原点，分别以DC →，DA →，DD 1→的方向为x 轴，y 轴，z 轴的正方向建立空间直角坐标系，如图所示，则A (0，32，0)，A 1(0，32，2)，B 1(－12，0，2)，C 1(12，0，2)，所以AA 1→＝(0，0，2)， AB 1→＝(－12，－32，2)，AC 1→＝(12，－32，2)．用坐标表示空间向量的方法步骤如图，PA 垂直于正方形ABCD 所在的平面，M ，N 分别是AB ，PC 的中点，并且PA ＝AB ＝1，试建立适当的空间直角坐标系，求向量MN →的坐标．解：因为PA ＝AB ＝AD ＝1，PA ⊥平面ABCD ，AB ⊥AD ，所以AB →，AD →，AP →是两两垂直的单位向量．设AB →＝e 1，AD →＝e 2，AP →＝e 3，以{e 1，e 2，e 3}为基底建立空间直角坐标系Axyz . 因为MN →＝MA →＋AP →＋PN →＝－12AB →＋AP →＋12PC →＝－12AB →＋AP →＋12(PA →＋AC →)＝－12AB →＋AP →＋12(PA →＋AB →＋AD →)＝12AD →＋12AP →＝12e 2＋12e 3，所以MN →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12，12.1．设p ：a ，b ，c 是三个非零向量；q ：{a ，b ，c }为空间的一个基底，则p 是q 的( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件D.既不充分也不必要条件解析：选B.当非零向量a ，b ，c 不共面时，{a ，b ，c }可以当基底，否则不能当基底．当{a ，b ，c }为基底时，一定有a ，b ，c 为非零向量．因此p ⇒q ，q ⇒p .2．三棱锥P ABC 中，∠ABC 为直角，PB ⊥平面ABC ，AB ＝BC ＝PB ＝1，M 为PC 的中点，N 为AC 的中点，以{BA →，BC →，BP →}为基底，则MN →的坐标为________．解析：MN →＝BN →－BM →＝12(BA →＋BC →)－12(BP →＋BC →) ＝12BA →－12BP →，故MN →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12，0，－12.答案：⎝ ⎛⎭⎪⎫12，0，－12 3．如图，平行六面体ABCD A 1B 1C 1D 1中，AB →＝a ，AD →＝b ，AA 1→＝c ，E 为A 1D 1的中点，F 为BC 1与B 1C 的交点．(1)用基底{a ，b ，c }表示向量DB 1→，BE →，AF →； (2)化简DD 1→＋DB →＋CD →，并在图中标出化简结果．解：(1)DB 1→＝DC →＋CB 1→＝DC →＋BB 1→－BC →＝a －b ＋c . BE →＝BA →＋AA 1→＋A 1E →＝－a ＋12b ＋c . AF →＝AB →＋BF →＝a ＋12(b ＋c )＝a ＋12b ＋12c.(2)DD 1→＋DB →＋CD →＝DD 1→＋(CD →＋DB →)＝DD 1→＋CB →＝DD 1→＋D 1A 1→＝DA 1→. 如图，连接DA 1，则DA 1→即为所求．[学生用书P60][学生用书P133(单独成册)])[A 基础达标]1．已知O 、A 、B 、C 为空间四点，且向量OA →，OB →，OC →不能构成空间的一个基底，则( ) A.OA →，OB →，OC →共线 B.OA →，OB →共线 C.OB →，OC →共线D ．O 、A 、B 、C 四点共面解析：选D.由OA →，OB →，OC →不能构成基底知OA →、OB →、OC →三向量共面，所以一定有O 、A 、B 、C 四点共面．2．已知{a ，b ，c }是空间一组基底，p ＝a ＋b ，q ＝a －b ，一定可以与向量p ，q 构成空间另一组基底的是( )A ．aB ．bC ．cD.13p －2q 解析：选C.因为a ，b ，c 不共面，所以p ，q ，c 不共面．若存在x ，y ∈R ，使c ＝x p ＋y q ＝(x ＋y )a ＋(x －y )b 成立，则a ，b ，c 共面，这与已知{a ，b ，c }是空间一组基底矛盾，故p ，q ，c 不共面．3．已知A (1，2，－1)关于平面xOy 的对称点为B ，而B 关于x 轴的对称点为C ，则BC →＝( )A ．(0，4，2)B ．(0，4，0)C ．(0，－4，－2)D.(2，0，－2)解析：选C.易知B (1，2，1)，C (1，－2，－1)，所以BC →＝(0，－4，－2)． 4.如图，梯形ABCD 中，AB ∥CD ，AB ＝2CD ，点O 为空间内任意一点，设OA →＝a ，OB →＝b ，OC →＝c ，则向量OD →可用a ，b ，c 表示为( )A ．a －b ＋2cB ．a －b －2cC ．－12a ＋12b ＋cD.12a －12b ＋c 解析：选D.OD →＝OC →＋CD →＝OC →＋12BA →＝OC →＋12(OA →－OB →)＝12a －12b ＋c .5．设{i ，j ，k }是单位正交基底，已知向量p 在基底{a ，b ，c }下的坐标为(8，6，4)，其中a ＝i ＋j ，b ＝j ＋k ，c ＝k ＋i ，则向量p 在基底{i ，j ，k }下的坐标是( )A ．(12，14，10)B ．(10，12，14)C ．(14，12，10)D.(4，3，2)解析：选A.依题意，知p ＝8a ＋6b ＋4c ＝8(i ＋j )＋6(j ＋k )＋4(k ＋i )＝12i ＋14j ＋10k ，故向量p 在基底{i ，j ，k }下的坐标是(12，14，10)．6．在长方体ABCD A 1B 1C 1D 1中，若AB →＝3i ，AD →＝2j ，AA 1→＝5k ，则向量AC 1→在基底{i ，j ，k }下的坐标是________．解析：AC 1→＝AB →＋BC →＋CC 1→＝AB →＋AD →＋AA 1→＝3i ＋2j ＋5k ，所以向量AC 1→在基底{i ，j ，k }下的坐标是(3，2，5)．答案：(3，2，5)7．已知空间的一个基底{a ，b ，c }，m ＝a －b ＋c ，n ＝x a ＋y b ＋c ，若m 与n 共线，则x ＝________，y ＝________．解析：因为m 与n 共线，所以存在实数λ，使m ＝λn ，即a －b ＋c ＝λx a ＋λy b ＋λc ，于是有⎩⎪⎨⎪⎧1＝λx ，－1＝λy ，1＝λ，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1，y ＝－1.答案：1 －18．正方体ABCD A 1B 1C 1D 1中，点E 、F 分别是底面A 1C 1和侧面CD 1的中心，若EF →＋λA 1D →＝0(λ∈R )，则λ＝________．解析：如图，连接A 1C 1，C 1D ，则E 在A 1C 1上，F 在C 1D 上，易知EF 綊12A 1D ，所以EF →＝12A 1D →，即EF →－12A 1D →＝0，所以λ＝－12.答案：－129.如图所示，在三棱锥O ABC 中，OA ，OB ，OC 两两垂直，OA ＝1，OB ＝2，OC ＝3，E ，F 分别为AC ，BC 的中点，建立以OA →，OB →，OC →方向上的单位向量为正交基底的空间坐标系Oxyz ，求EF 中点P 的坐标．解：令Ox ，Oy ，Oz 轴方向上的单位向量分别为i ，j ，k ，因为OP →＝OE →＋EP →＝12(OA →＋OC →)＋12EF → ＝12(OA →＋OC →)＋14(OB →－OA →) ＝14OA →＋14OB →＋12OC → ＝14i ＋14×2j ＋12×3k ＝14i ＋12j ＋32k ，所以P 点的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫14，12，32. 10．已知平行六面体OABC O ′A ′B ′C ′，且OA →＝a ，OC →＝b ，OO ′→＝c .(1)用a ，b ，c 表示向量AC ′→；(2)设G ，H 分别是侧面BB ′C ′C 和O ′A ′B ′C ′的中心，用a ，b ，c 表示GH →.解：(1)AC ′→＝AC →＋CC ′→＝OC →－OA →＋OO ′→＝b ＋c －a .(2)GH →＝GO →＋OH →＝－OG →＋OH →＝－12(OB →＋OC ′→)＋12(OB ′→＋OO ′→) ＝－12(a ＋b ＋c ＋b )＋12(a ＋b ＋c ＋c )＝12(c －b )． [B 能力提升]11．如图所示，平行六面体ABCD A 1B 1C 1D 1中，E ，F 分别在B 1B 和D 1D 上，且BE ＝13BB 1，DF ＝23DD 1.若EF →＝xAB →＋yAD →＋zAA 1→，则x ＋y ＋z ＝( )A ．－1B ．0 C.13 D.1解析：选 C.因为EF →＝AF →－AE →＝AD →＋DF →－(AB →＋BE →)＝AD →＋23DD 1→－AB →－13BB 1→＝－AB →＋AD →＋13AA 1→，所以x ＝－1，y ＝1，z ＝13，所以x ＋y ＋z ＝13. 12．已知i ，j ，k 是空间直角坐标系Oxyz 中x 轴，y 轴，z 轴正方向上的单位向量，且向量p ＝i －3j ＋12k ，则p 的坐标为________．答案：⎝⎛⎭⎪⎫1，－3，12 13．(选做题)(2018·黑龙江哈师大附中高二(上)期末考试)已知{e 1，e 2，e 3}为空间的一个基底，且OP →＝2e 1－e 2＋3e 3，OA →＝e 1＋2e 2－e 3，OB →＝－3e 1＋e 2＋2e 3，OC →＝e 1＋e 2－e 3.(1)判断P ，A ，B ，C 四点是否共面；(2)能否以{OA →，OB →，OC →}作为空间的一个基底？若能，试以这一基底表示OP →；若不能，请说明理由．解：(1)假设P ，A ，B ，C 四点共面，则存在实数x ，y ，z ，使OP →＝xOA →＋yOB →＋zOC →，且x ＋y ＋z ＝1，即2e 1－e 2＋3e 3＝x (e 1＋2e 2－e 3)＋y (－3e 1＋e 2＋2e 3)＋z (e 1＋e 2－e 3)．比较对应的系数，得到关于x ，y ，z 的方程组 ⎩⎪⎨⎪⎧x －3y ＋z ＝22x ＋y ＋z ＝－1，－x ＋2y －z ＝3解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝17y ＝－5z ＝－30，与x ＋y ＋z ＝1矛盾，故P ，A ，B ，C 四点不共面．(2)若OA →，OB →，OC →共面，则存在实数m ，n ，使OA →＝mOB →＋nOC →，同(1)可证，OA →，OB →，OC →不共面，因此{OA →，OB →，OC →}可以作为空间的一个基底，令OA →＝a ，OB →＝b ，OC →＝c ，由e 1＋2e 2－e 3＝a ，－3e 1＋e 2＋2e 3＝b ，e 1＋e 2－e 3＝c ，得⎩⎪⎨⎪⎧e 1＝3a －b －5c e 2＝a －c e 3＝4a －b －7c，所以OP →＝2e 1－e 2＋3e 3＝2(3a －b －5c )－(a －c )＋3(4a －b －7c )＝17a －5b －30c ＝17OA →－5OB →－30OC →.。

高中数学空间向量及其运算 3_1_4 空间向量的正交分解及其坐标表示教学案(无答案)新人教A版

成基底的向量是( (A)2a (C)2a+3b ) (B)2b (D)2a+5c
解析:由于{a,b,c}是空间的一个基底,所以 a,b,c 不共面,在四个选项中,只有选项 D 与 p,q 不共面,因此,2a+5c 与 p,q 能构成基底, 故选 D. 如图,四棱锥 P OABC 的底面为一矩形,PO⊥平面 OABC,设【例 2】 OA =a, OC =b, OP =c,E,F 分别是 PC 和 PB 的中点,试用 a,b,c 表示: BF , BE , AE , EF .
五、教学重点及难点
①重点：1.理解空间向量基本定理,并能用基本定理解决一些几何问题。 ②难点：理解基底、基向量及向量的线性组合的概念。六、教学过程教师活动学生活动 1.理解空间向量基本定理,并能用基本定理解决一些几何问题. 让学生明 2.理解基底、基向量及向量的线性组合的概念. 目标解读 3.掌握空间向量的坐标表示 ,能在适当的坐标系中写出向量的的学习目标坐标. 1、如果向量 e1 和 e2 是一平面内的两个不平行的向量，那么，该平面内的任一向量 a 与 e1, e2 有什么关系? 2、平面向量基本定理复习旧知如果 e1 和 e2 是一平面内的两个不平行的向量，那么，该平面预习反馈内的任一向量 a，存在惟一的一对实数 a1，a2，使 a＝ a1 e1 ＋识 a2 e2 识，引出新知确目标这节课设计意图
1.空间向量基本定理如果三个向量 a,b,c 不共面,那么对空间任一向量 p,存在有序实数组{x,y,z},使得 p= 其中{a,b,c}叫做空间的一个 . ,a,b,c 都叫做 .
2.空间向量的正交分解及其坐标表示 (1)单位正交基底有公共起点的三个单位正交基底. (2)空间直角坐标系以 e1,e2,e3 的公共起点 O 为原点,分别以 e1,e2,e3 的方向为知识梳理 x 轴,y 轴,z 轴的正方向建立空间直角坐标系 Oxyz.

3.1空间向量及其运算教学设计教案

3.1空间向量及其运算教学设计教案第一篇：3.1空间向量及其运算教学设计教案教学准备1.教学目标（1）知识与技能：理解和掌握空间向量的基本概念，向量的加减法（2）过程与方法：通过高一学习的平面向量的知识，引申推广，理解和掌握向量的加减法（3）情感态度与价值观：类比学习，注重类比、推广等思想方法的学习，运用向量的概念和运算解决问题，培养学生的开拓创新能力。

2.教学重点/难点【教学重点】：空间向量的概念和加减运算【教学难点】：空间向量的应用3.教学用具多媒体4.标签3.1.1空间向量及其加减运算教学过程课堂小结 1．空间向量的概念： 2．空间向量的加减运算课后习题第二篇：3.1空间向量及其运算教学设计教案教学准备1.教学目标1、知识与技能：理解空间向量基本定理及其意义，掌握空间向量的正交分解及其坐标表示，会在简单问题中选用空间三个不共面向量作为基底表示其他向量。

2、过程与方法：通过类比、推广等思想方法，启动观察、分析、抽象概括等思维活动，培养学生的思维能力，体会类比、推广的思想方法，对向量加深理解。

3、情感、态度与价值观：通过本节课的学习，养成积极主动思考，勇于探索，不断拓展创新的学习习惯和品质。

2.教学重点/难点重点：理解空间向量基本定理及其意义，掌握空间向量的正交分解及其坐标表示；难点：理解空间向量基本定理；3.教学用具多媒体设备4.标签教学过程教学过程设计（一）.复习引入1、共线向量定理：2、共面向量定理：3、平面向量基本定理：4、平面向量的正交分解：（二）、新课探究：探究一.空间向量基本定理2、空间向量基本定理3、注意：对于基底{a,b,c},除了应知道向量a,b,c不共面，还应明确（1）任意不共面的三个向量都可做为空间的一个基底。

（2）由于零向量可视为与任意一个非零向量共线，与任意两个非零向量共面，所以三个向量不共面，就隐含着它们都不是零向量。

（3）一个基底是指一个向量组，一个基向量是指基底中的某一个向量，二者是相关连的不同概念。

3.1.4 空间向量的正交分解及坐标表示教案

3.1.4 空间向量的正交分解及坐标表示
一、学习目标：1.掌握空间向量基本定理，会用空间向量基本定理解决问题；
2.理解空间向量坐标的含义，能用坐标表示空间向量.
学习重点：理解空间向量基本定理及其意义，掌握基底表示已知空间向量；
学习难点：理解空间向量基本定理及其意义，掌握空间向量的正交分解及其坐标表示.
二、导学指导与检测
三、巩固诊断
1、判断下列说法是否正确？并说明理由.
（1）空间中任意三个不共线向量均可作为一组基底.
（2）基向量中可以含有零向量，但至多一个.
（3）如果向量,与空间任何向量都不能构成一组基底，那么向量,一定是共线向量.
2、如图所示，空间四边形OABC 中，H G ,分别是ABC ∆，OBC ∆的重心，设=，=，c OC =，试用向量c b a ,,表示向量GH .
闯关题：如图,三棱锥ABC P -中,点G 为ABC ∆的重心,点M 在PG 上,且PM ＝3MG ,过点M 任意作一个平面分别交线段PA,PB,PC 于点,,,F E D 若,,,t n m ===求证：
t
n m 111++为定值,并求出该定值.。

高中数学第三章空间向量与立体几何3.1.4空间向量的正交分解及其坐标表示学案含解析

3．1.4 空间向量的正交分解及其坐标表示[提出问题]如图，已知正方体ABCD A 1B 1C 1D 1的棱长为4，在AB ，AD ，AD 1上分别取单位向量e 1，e 2，e 3.问题1：e 1，e 2，e 3共面吗？提示：不共面．问题2：试用e 1，e 2，e 3表示AB 1―→. 提示：AB 1―→＝4e 1＋4e 2＋4e 3.问题3：若M 为A 1B 1的中点，能否用e 1，e 1，e 3表示AM ―→？提示：能，AM ―→＝4e 1＋2e 2＋4e 3.[导入新知]空间向量基本定理如果三个向量a ，b ，c 不共面，那么对空间任一向量p ，存在有序实数组{x ，y ，z }，使得p ＝xa ＋yb ＋zc .其中，{a ，b ，c }叫做空间的一个基底，a ，b ，c 都叫做基向量． [化解疑难]1．空间任意三个不共面的向量都可构成空间的一个基底．基底选定后，空间的所有向量均可由基底唯一表示．2．由于0与任意一个非零向量共线，与任意两个非零向量共面，所以若三个向量不共面，就说明它们都不是0.3．向量基本定理揭示了向量间的线性关系，即任一向量都可由基向量唯一的线性表示，为向量的坐标表示奠定了基础．[提出问题]{a，b，c}是空间的一个基底，{e1，e2，e3}是空间的单位正交基底．问题1：基底中的每一个基向量一定是非零向量吗？提示：一定．问题2：任一向量p＝xa＋yb＋zc，则数组(x，y，z)是唯一的吗？提示：是．问题3：单位正交基底之间的数量积e1·e2，e1·e3，e2·e3，e1·e1，e2·e2，e3·e3分别为多少？提示：e1，e2，e3是两两垂直的单位向量，故有e1·e2＝e2·e3＝e1·e3＝0，e1·e1＝e2·e2＝e3·e3＝1.[导入新知]空间向量的正交分解及其坐标表示(1)单位正交基底：三个有公共起点O的两两垂直的单位向量e1，e2，e3称为单位正交基底．(2)空间直角坐标系：以e1，e2，e3的公共起点O为原点，分别以e1，e2，e3的方向为x轴、y轴、z轴的正方向建立空间直角坐标系Oxyz.(3)空间向量的坐标表示：―→对于空间任意一个向量p，一定可以把它平移，使它的起点与原点O重合，得到向量OP＝p，由空间向量基本定理可知，存在有序实数组{x，y，z}，使得p＝xe1＋ye2＋ze3.把x，y，z称作向量p在单位正交基底e1，e2，e3下的坐标，记作p＝(x，y，z)，即点P的坐标为(x，y，z)．[化解疑难]空间向量的坐标顺序必须与基底中的基向量对应，即若基底为{e1，e2，e3}，b＝λe1＋μe2＋ke3，则b的坐标为(λ，μ，k).[例1] 已知{e 1，e 2，e 3}是空间的一个基底，且OA ―→＝e 1＋2e 2－e 3，OB ―→＝－3e 1＋e 2＋2e 3，OC ―→＝e 1＋e 2－e 3，试判断{OA ―→，OB ―→，OC ―→}能否作为空间的一个基底．[解] 假设OA ―→，OB ―→，OC ―→共面，由向量共面的充要条件知存在实数x ，y ，使OA ―→＝x OB ―→＋y OC ―→成立．∴e 1＋2e 2－e 3＝x (－3e 1＋e 2＋2e 3)＋y (e 1＋e 2－e 3)．＝(－3x ＋y )e 1＋(x ＋y )e 2＋(2x －y )e 3. ∵{e 1，e 2，e 3}是空间的一个基底， ∴e 1，e 2，e 3不共面， ∴⎩⎪⎨⎪⎧－3x ＋y ＝1，x ＋y ＝2，2x －y ＝－1，此方程组无解，即不存在实数x ，y ，使OA ―→＝x OB ―→＋y OC ―→成立． ∴OA ―→，OB ―→，OC ―→不共面．故{OA ―→，OB ―→，OC ―→}能作为空间的一个基底． [类题通法]判断给出的三个向量组成的向量组能否作为基底，关键是要判断这三个向量是否共面，首先应考虑三个向量是否是零向量，其次判断三个非零向量是否共面．如果从正面难以入手判断三个向量是否共面，可假设三个向量共面，利用向量共面的充要条件建立方程组，若方程组有解，则三个向量共面；若方程组无解，则三个向量不共面．[活学活用]设x ＝a ＋b ，y ＝b ＋c ，z ＝c ＋a ，且{a ，b ，c }是空间的一个基底．给出下列向量组： ①{a ，b ，x }， ②{x ，y ，z }， ③{b ，c ，z }， ④{x ，y ，a ＋b ＋c }．其中可以作为空间的基底的向量组有______个．解析：如图，所设a ＝AB ―→，b ＝AA 1―→，c ＝AD ―→，则x ＝AB 1―→，y ＝AD 1―→，z ＝AC ―→，a ＋b ＋c ＝AC 1―→.由A ，B 1，D ，C 四点不共面可知向量x ，y ，z也不共面．同理可知b ，c ，z 和x ，y ，a ＋b ＋c 也不共面，可以作为空间的基底．因x ＝a ＋b ，故a ，b ，x 共面，故不能作为基底．答案：3[例2] 如图，四棱锥P OABC 的底面为一矩形，PO ⊥平面OABC ，设OA →＝a ，OC ―→＝b ，OP ―→＝c ，E ，F 分别是PC 和PB 的中点，试用a ，b ，c 表示BF ―→，BE ―→，AE ―→，EF ―→.[解] 连接BO ，则BF ―→＝12BP ―→＝12(BO ―→＋OP ―→)＝12(c －b －a )＝－12a －12b ＋12c ，BE ―→＝BC ―→＋CE ―→＝－a ＋12CP ―→＝－a ＋12(CO ―→＋OP ―→)＝－a －12b ＋12c ，AE ―→＝AP ―→＋PE ―→＝AO ―→＋OP ―→＋12(PO ―→＋OC ―→)＝－a ＋c ＋12(－c ＋b )＝－a ＋12b ＋12c ，EF ―→＝12CB ―→＝12OA ―→＝12a .[类题通法] 用基底表示向量时：(1)若基底确定，要充分利用向量加法、减法的三角形法则和平行四边形法则，以及数乘向量的运算律进行；(2)若没给定基底时，首先选择基底，选择时，要尽量使所选的基向量能方便地表示其他向量，再就是看基向量的模及其夹角已知或易求．[活学活用]如图，已知正方体ABCD A ′B ′C ′D ′，点E 是上底面A ′B ′C ′D ′的中心，求下列各式中x ，y ，z 的值．(1) BD ′―→＝x AD ―→＋y AB ―→＋zAA ′―→； (2)AE ―→＝x AD ―→＋y AB ―→＋zAA ′―→.解：(1)∵BD ′―→＝BD ―→＋DD ′―→＝BA ―→＋BC ―→＋DD ′―→＝－AB ―→＋AD ―→＋AA ′―→，又BD ′―→＝x AD ―→＋y AB ―→＋zAA ′―→， ∴x ＝1，y ＝－1，z ＝1.(2)∵AE ―→＝AA ′―→＋A ′E ――→＝AA ′―→＋12A ′C ′――→＝AA ′―→＋12(A ′B ′――→＋A ′D ′――→)＝AA ′―→＋12A ′B ′――→＋12A ′D ′――→＝12AD ―→＋12AB ―→＋AA ′―→，又AE ―→＝x AD ―→＋y AB ―→＋zAA ′―→， ∴x ＝12，y ＝12，z ＝1.[例3] 如图所示，PA 垂直于正方形ABCD 所在的平面，M ，N 分别是AB ，PC 的中点，并且PA ＝AB ＝1.试建立适当的空间直角坐标系，并求向量MN ―→的坐标．[解] ∵PA ＝AB ＝AD ＝1，PA ⊥平面ABCD ，AB ⊥AD ，∴AB ―→，AD ―→，AP ―→是两两垂直的单位向量．设AB ―→＝e 1，AD ―→＝e 2，AP ―→＝e 3，以{e 1，e 2，e 3}为基底建立空间直角坐标系Axyz . 法一：∵MN ―→＝MA ―→＋AP ―→＋PN ―→＝－12AB ―→＋AP ―→＋12PC ―→＝－12AB ―→＋AP ―→＋12(PA ―→＋AC ―→)＝－12AB ―→＋AP ―→＋12(PA ―→＋AB ―→＋AD ―→)＝12AD ―→＋12AP ―→＝12e 2＋12e 3， ∴MN ―→＝⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12，12.法二：如图所示，连接AC ，BD 交于点O .则O 为AC ，BD 的中点，连接MO ，ON ，∴MO ―→＝12BC ―→＝12AD ―→，ON ―→＝12AP ―→，∴MN ―→＝MO ―→＋ON ―→ ＝12AD ―→＋12AP ―→ ＝12e 2＋12e 3. ∴MN ―→＝⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12，12.[类题通法]用坐标表示空间向量的方法步骤为[活学活用]在直三棱柱ABO A 1B 1O 1中，∠AOB ＝π2，AO ＝4，BO ＝2，AA 1＝4，D为A 1B 1的中点．在如图所示的空间直角坐标系中，求DO ―→，A 1B ―→的坐标．解：∵DO ―→＝－OD ―→＝－(OO 1―→＋O 1D ―→) ＝－[OO 1―→＋12(OA ―→＋OB ―→)]＝－OO 1―→－12OA ―→－12OB ―→＝－4e 3－12×4e 1－12×2e 2＝－2e 1－e 2－4e 3， ∴DO ―→＝(－2，－1，－4)．∵A 1B ―→＝OB ―→－OA 1―→＝OB ―→－(OA ―→＋AA 1―→) ＝OB ―→－OA ―→－AA 1―→＝2e 2－4e 1－4e 3， ∴A 1B ―→＝(－4,2，－4).8.建立空间直角坐标系的常见失误[典例] 在正三棱柱ABC A 1B 1C 1中，已知△ABC 的边长为1，三棱柱的高为2，建立适当的空间直角坐标系，并写出AA 1―→，AB 1―→，AC 1―→的坐标．[解] 分别取BC ，B 1C 1的中点D ，D 1，以D 为原点，分别以DC ―→，DA ―→，DD 1―→的方向为x 轴、y 轴、z 轴的正方向建立空间直角坐标系，如图所示，则A ⎝ ⎛⎭⎪⎫0，32，0，A 1⎝ ⎛⎭⎪⎫0，32，2，B 1⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，0，2，C 1⎝ ⎛⎭⎪⎫12，0，2，所以 AA 1―→＝(0,0,2)，AB 1―→＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，－32，2，AC 1―→＝12，－32，2.[易错防范]1．建系时，误认为AB ―→与AC ―→垂直，从而以A 为原点，以AB ―→，AC ―→，AA 1―→方向为x 轴，y 轴，z 轴的正方向建立坐标系导致错误．2．在建系时应该注意，若图中没有建系的环境，则应根据已知条件，通过作辅助线来创造合适的图形环境．[成功破障]已知正三棱柱ABC A 1B 1C 1中，底面边长AB ＝2，侧棱BB 1＝2，点O ，O 1分别是AC ，A 1C 1的中点．若M 为BC 1的中点，试建立适当的空间直角坐标系并写出AM ―→的坐标．解：建系方法不唯一．如：连接OB ，OO 1，则由已知易得OB ―→，OC ―→，OO 1―→两两垂直，故可以O 为坐标原点，以OB ―→，OC ―→，OO 1―→的方向为x 轴、y 轴、z 轴的正方向建立空间直角坐标系，如图所示．故A (0，－1,0)，B (3，0,0)，C 1(0,1,2)，则AB ―→＝(3，1,0)，AC 1―→＝(0,2,2)， ∴AM ―→＝12(AB ―→＋AC 1―→)＝⎝ ⎛⎭⎪⎫32，32，1.[随堂即时演练]1．已知a ，b ，c 是不共面的三个向量，则能构成空间的一个基底的一组向量是( ) A ．3a ，a －b ，a ＋2b B ．2b ，b －2a ，b ＋2a C ．a,2b ，b －cD ．c ，a ＋c ，a －c解析：选C 对于A ，有3a ＝2(a －b )＋a ＋2b ，则3a ，a －b ，a ＋2b 共面，不能作为基底；同理可判断B ，D 错误．2.如图，在四面体OABC 中，OA ―→＝a ，OB ―→＝b ，OC ―→＝c ，点M 在OA上，且OM ＝2MA ，点N 为BC 的中点，则MN ―→＝( )A.12a －23b ＋12c B ．－23a ＋12b ＋12cC.12a ＋12b －23c D.23a ＋23b －12c 解析：选 B 连接ON (图略)，MN ―→＝ON ―→－OM ―→＝12(OB ―→＋OC ―→)－23OA ―→＝12(b ＋c )－23a＝－23a ＋12b ＋12c .3．设{i ，j ，k }是空间向量的一个单位正交基底，a ＝2i －4j ＋5k ，b ＝i ＋2j －3k ，则向量a ，b 的坐标分别为________________．解析：由空间向量坐标概念知a ＝(2，－4,5)，b ＝(1,2，－3)．答案：(2，－4,5)，(1,2，－3)4．如图所示，点M 是OA 的中点，以{OA ―→，OC ―→，OD ―→}为基底的向量DM ―→＝x OA ―→＋y OC ―→＋z OD ―→，则(x ，y ，z )＝________.解析：∵DM ―→＝DO ―→＋OM ―→＝－OD ―→＋12OA ―→，又∵DM ―→＝x OA ―→＋y OC ―→＋z OD ―→ ∴x ＝12，y ＝0，z ＝－1.答案：⎝ ⎛⎭⎪⎫12，0，－15．棱长为1的正方体ABCD A 1B 1C 1D 1中，E ，F ，G 分别为棱DD 1，D 1C 1，BC 的中点，以{AB ―→，AD ―→，AA 1―→}为基底，求下列向量的坐标：(1)AE ―→，AG ―→，AF ―→； (2)EF ―→，EG ―→，DG ―→.解：(1)AE ―→＝AD ―→＋DE ―→＝AD ―→＋12DD 1―→＝AD ―→＋12AA 1―→＝⎝ ⎛⎭⎪⎫0，1，12，AG ―→＝AB ―→＋BG ―→＝AB ―→＋12AD ―→＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1，12，0，AF ―→＝AA 1―→＋A 1D 1―→＋D 1F ―→＝AA 1―→＋AD ―→＋12AB ―→＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12，1，1.(2)EF ―→＝AF ―→－AE ―→＝⎝ ⎛⎭⎪⎫AA 1―→＋AD ―→＋12 AB ―→→ －⎝ ⎛⎭⎪⎫AD ―→＋12 AA 1―→ ＝12AA 1―→＋12AB ―→＝⎝⎛⎭⎪⎫12，0，12，EG ―→＝AG ―→－AE ―→＝⎝⎛⎭⎪⎫AB ―→＋12AD ―→ －AD ―→＋12AA 1―→ ＝AB ―→－12AD ―→－12AA 1―→＝⎝⎛⎭⎪⎫1，－12，－12， DG ―→＝AG ―→－AD ―→＝AB ―→＋12AD ―→－AD ―→＝AB ―→－12AD ―→＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1，－12，0.[课时达标检测]一、选择题1．已知点A (3,2，－3)，则点A 关于y 轴的对称点的坐标是( ) A ．(－3，－2,3) B ．(－3,2，－3) C ．(－3,2,3)D ．(－3，－2，－3)解析：选C 由对称定义知选项C 正确．2．设p ：a ，b ，c 是三个非零向量，q ：{a ，b ，c }为空间的一个基底，则p 是q 的( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件解析：选B 当非零向量a ，b ，c 不共面时，{a ，b ，c }可以当基底，否则不能当基底；当{a ，b ，c }为基底时，一定有a ，b ，c 为非零向量．因此p ⇒/ q ，q ⇒p .3．在空间直角坐标系Oxyz 中，下列说法正确的是( ) A ．向量AB ―→的坐标与点B 的坐标相同 B ．向量AB ―→的坐标与点A 的坐标相同 C ．向量AB ―→与向量OB ―→的坐标相同 D ．向量AB ―→与向量OB ―→－OA ―→的坐标相同解析：选D 因为A 点不一定为坐标原点，所以A 不正确；B ，C 都不正确；由于AB ―→＝OB ―→－OA ―→，所以D 正确．4．已知空间四边形OABC ，其对角线为AC ，OB ，M ，N 分别是OA ，BC 的中点，点G 是MN的中点，则OG ―→等于( )A.16OA ―→＋13OB ―→＋13OC ―→ B.14(OA ―→＋OB ―→＋OC ―→) C.13(OA ―→＋OB ―→＋OC ―→) D.16OB ―→＋13OA ―→＋13OC ―→ 解析：选B 如图，OG ―→＝12(OM ―→＋ON ―→) ＝12OM ―→＋12×12(OB ―→＋OC ―→) ＝14OA ―→＋14OB ―→＋14OC ―→ ＝14(OA ―→＋OB ―→＋OC ―→)． 5．若向量MA ―→，MB ―→，MC ―→的起点与终点互不重合且无三点共线，且满足下列关系(O是空间任一点)，则能使向量MA ―→，MB ―→，MC ―→成为空间一个基底的关系是( )A ．OM ―→＝13OA ―→＋13OB ―→＋13OC ―→ B ．MA ―→≠MB ―→＋MC ―→C ．OM ―→＝OA ―→＋OB ―→＋OC ―→D ．MA ―→＝2MB ―→－MC ―→解析：选C 若MA ―→，MB ―→，MC ―→为空间一组基底向量，则M ，A ，B ，C 四点不共面．选项A 中点M ，A ，B ，C 共面，因为OM ―→－OA ―→＝13OB ―→＋13OC ―→－23OA ―→＝13(OB ―→－OA ―→)＋13(OC ―→－OA ―→)⇒AM ―→＝13AB ―→＋13AC ―→；选项B 中可能共面，MA ―→≠MB ―→＋MC ―→，但可能MA ―→＝λMB ―→＋μMC ―→；选项D 中的四点显然共面．二、填空题6．设{e 1，e 2，e 3}是空间向量的一个单位正交基底，a ＝4e 1－8e 2＋3e 3，b ＝－2e 1－3e 2＋7e 3，则a ，b 的坐标分别为______________________．解析：由于{e 1，e 2，e 3}是空间向量的一个单位正交基底，所以a ＝(4，－8,3)，b ＝(－2，－3,7)．答案：(4，－8,3)，(－2，－3,7)7．已知空间的一个基底{a ，b ，c }，m ＝a －b ＋c ，n ＝xa ＋yb ＋c ，若m 与n 共线，则x ＝______，y ＝________.解析：因为m 与n 共线，所以存在实数λ，使m ＝λn ，即a －b ＋c ＝λxa ＋λyb ＋λc ，于是有⎩⎪⎨⎪⎧ 1＝λx ，－1＝λy ，1＝λ，解得⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝1，y ＝－1.答案：1 －18．正方体ABCD A 1B 1C 1D 1中，点E ，F 分别是底面A 1C 1和侧面CD 1的中心，若EF ―→＋λA 1D―→＝0(λ∈R)，则λ＝________.解析：如图，连接A 1C 1，C 1D ，则E 在A 1C 1上，F 在C 1D 上，易知EF 綊12A 1D . ∴EF ―→＝12A 1D ―→，即EF ―→－12A 1D ―→＝0. ∴λ＝－12. 答案：－12三、解答题9．已知{a ，b ，c }是空间的一个基底，{a ＋b ，a －b ，c }为空间的另一个基底，若向量p 在基底{a ，b ，c }下的坐标为(1,2,3)，试求向量p 在基底{a ＋b ，a －b ，c }下的坐标．解：设向量p 在基底{a ＋b ，a －b ，c }下的坐标为(x ，y ，z )，则p ＝x (a ＋b )＋y (a －b )＋z c＝(x ＋y )a ＋(x －y )b ＋z c .又∵p 在基底{a ，b ，c }下的坐标为(1,2,3)，即p ＝a ＋2b ＋3c ，∴(x ＋y )a ＋(x －y )b ＋z c ＝a ＋2b ＋3c ，∴⎩⎪⎨⎪⎧ x ＋y ＝1，x －y ＝2，z ＝3，解得⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝32，y ＝－12，z ＝3.∴p 在基底{a ＋b ，a －b ，c }下的坐标是32，－12，3.10．如图，在正方体ABCD A 1B 1C 1D 1中，E ，F 分别是BB 1，D 1B 1的中点，求证：EF ⊥AB 1.证明：设AB ―→＝a ，AA 1―→＝b ，AD ―→＝c ，则EF ―→＝EB 1―→＋B 1F ―→＝12(BB 1―→＋B 1D 1―→)＝12(AA 1―→＋BD ―→)＝12(AA 1―→＋AD ―→－AB ―→)＝12(－a ＋b ＋c )，AB 1―→＝AB ―→＋BB 1―→＝AB ―→＋AA 1―→＝a ＋b .∴EF ―→·AB 1―→＝12(－a ＋b ＋c )·(a ＋b )＝12(|b |2－|a |2)＝0.∴EF ―→⊥AB 1―→，即EF ⊥AB 1.。

《3.1.4 空间向量的正交分解及其坐标表示》教学案3

《3.1.4 空间向量的正交分解及其坐标表示（1）》教学案3教学目标1．能用坐标表示空间向量，掌握空间向量的坐标运算。

2．会根据向量的坐标判断两个空间向量平行。

重、难点1．空间向量的坐标表示及坐标运算法则。

2．坐标判断两个空间向量平行。

教学过程1．情景创设：平面向量可用坐标表示，空间向量能用空间直角坐标表示吗？ 2．建构数学：如图：在空间直角坐标系O xyz -中，分别取与x 轴、y 轴、z 轴方向相同的单位向量,,i j k 作为基向量，对于空间任一向量a ，由空间向量基本定理，存在唯一的有序实数组（x ，y ，z ），使a xi y j zk =++；有序实数组（x ，y ，z ）叫做向量a 的空间直角坐标系O xyz -中的坐标，记作a ＝（x ，y ，z ）。

在空间直角坐标系O －xyz 中，对于空间任意一点A （x ，y ，z ），向量OA 是确定的，容易得到OA =xi y j zk ++。

因此，向量OA 的坐标为OA =（x ，y ，z ）。

这就是说，当空间向量a 的起点移至坐标原点时，其终点的坐标就是向量a 的坐标。

类似于平面向量的坐标运算，我们可以得到空间向量坐标运算的法则。

设a ＝（123,,a a a ），b ＝（123,,b b b ），则 a +b ＝（112233,,a b a b a b +++）， a －b ＝（112233,,a b a b a b ---），λa ＝（123,,a a a λλλ）λ∈R 。

空间向量平行的坐标表示为a ∥b （a ≠0）112233,,()b a b a b a λλλλ⇔===∈R 。

例题分析：例1：已知a ＝（1，－3，8），b ＝（3，10，－4），求a +b ，a －b ，3a 。

例2：已知空间四点A （－2，3，1），B （2，－5，3），C （10，0，10）和D （8，4，9），求证：四边形ABCD 是梯形。

《3.1.4 空间向量的正交分解及其坐标表示》教学案2

《3.1.4 空间向量的正交分解及其坐标表示》教学案2 【学情分析】：本小节首先把平面向量的基本定理推广到空间向量的基本定理这种推广对学生学习已无困难但仍要一步步地进行，学生要时刻牢记，现在研究的范围已由平面扩大到空间这样做，一方面复习了平面向量、学习了空间向量，另一方面可加深学生的空间观念让学生从二维到三维发现规律，培养学生的探索创新能力。

【教学目标】：（1）知识与技能：掌握空间向量基本定理，会判断空间向量共面（2）过程与方法：正交分解推导入手，掌握空间向量基本定理（3）情感态度与价值观：认识将空间向量的正交分解，能够将空间向量在某组基上进行分解【教学重点】：空间向量正交分解，空间向量的基本定理地使用【教学难点】：空间向量的分解【课前准备】：课件【教学过程设计】：教学环节教学活动设计意图一．温故知新回顾平面向量的正交分解和平面向量的基本定理由此为基础，推导空间向量的正交分解和基本定理二．新课讲授1．空间向量的正交分解设i，j，k是空间的三个两两垂直的向量，且有公共起点O。

对于空间任意一个向量OPp=，设Q为点P在i，j所确定的平面上的正投影，由平面向量基本定理可知，在OQ，k所确定的平面上，存在实数z，使得k zOQOP+=而在i，j所确定的平面上，由平面以平面向量的基本定理为基础，层层递进，得到空间向量的正交分解形式。

向量基本定理可知，存在有序实数对),(y x ，使得j y i x OQ +=从而k z j y i x k z OQ OP ++=+=由此可知，对空间任一向量p ，存在一个有序实数组{z y x ,,}，使得k z j y i x p ++=，称i x ，j y ，k z 为向量p 在i ，j ，k 上的分向量。

2．空间向量的基本定理如果三个向量c b a ,,不共面，那么对空间任一向量p r，存在一个唯一的有序实数组),,(z y x ，使c z b y a x p ++=由此定理，若三向量c b a ,,不共面，那么空间的任一向量都可由c b a ,,线性表示，我们把{c b a ,,}叫做空间的一个基底，c b a ,,叫做基向量。

20-21版：3.1.4　空间向量的正交分解及其坐标表示（步步高）

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3.在空间直角坐标系Oxyz中，点M(1,2,3)关于x轴对称的点为N，则向量
→ ON
的
坐标是
A.(－1,2,3) C.(1,2，－3)
B.(1，－2,3)
√D.(1，－2，－3)
解析易得N(1，－2，－3). ∴O→N＝(1，－2，－3).
B→E＝B→C＋C→E＝－a＋12C→P＝－a＋12(C→O＋O→P) ＝－a－21b＋12c. A→E＝A→P＋P→E＝A→O＋O→P＋12(P→O＋O→C)
＝－a＋c＋21(－c＋b)＝－a＋12b＋21c. E→F＝21C→B＝21O→A＝12a.
三、空间向量的坐标表示
例3 设{e1，e2，e3}是空间的一个单位正交基底，a＝4e1－8e2＋3e3， b＝－2e1－3e2＋7e3，则a，b的坐标分别为__(4_，__－__8_,_3_)_，__(－__2_，__－__3_,_7_)__.
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4.如图在边长为 2 的正方体 ABCD－A1B1C1D1 中，取 D 点为原点建立空间直角坐标系，O，M 分别是 AC，DD1 的中点，写出下列向量的坐标：A→M ＝___(_－__2_,0_,_1_)__，O→B1＝__(_1_,1_,_2_) _.
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解析 DA＝DC＝DD1＝2，且DA，DC，DD1两两互相垂直，设12D→A＝e1，12D→C＝e2，12D→D1＝e3. ∵A→M＝A→D＋D→M＝－D→A＋21D→D1＝－2e1＋e3， ∴A→M＝(－2,0,1). ∵O→B1＝O→B＋B→B1＝12D→B＋B→B1＝12D→A＋12D→C＋D→D1＝e1＋e2＋2e3， ∴O→B1＝(1,1,2).

高中数学3.1空间向量及其运算3.1.4空间向量的正交分解及坐标表示学案无答案新人教A版选修(1)

3.1.4空间向量的正交分解及坐标表示学习目标：了解建立空间直角坐标系的方法，并会写出点的坐标；掌握空间向量的坐标表示，能写向量的坐标自主学习：自学必修2课本 P134 ~P135，完成下列填空：1、空间直角坐标系O-xyz原点：，坐标轴：，坐标平面： .2、点M的坐标：M(x,y,z)，其中x,y,z分别叫M的3、合作交流以下问题：(1)x轴、y轴、z轴上的点的坐标有何特点？(2)xOy平面、yOz平面、xOz平面上点的坐标有何特点？(3)设点M的坐标为(x, y, z)，那么点M关于x轴、y轴、z轴及原点对称的点的坐标分别是什么？4、(1)建立如图的直角坐标系，长方体ABCD-A 1B1C1D1中AB=3，BC=5，AA1=2，填写下列各点的坐标：A ,B ,C ,D A1 , B1 ,C1 ,D1B1C1的中点M ，C1C的中点N ；(2)点P(2,3, 4)在xOy面内的射影是，在面yOz内的射影是，关于原点对称的点M ，(3)关于xOy面对称的点Q .合作学习：例1、如图,V-ABCD为正四棱锥,O为底面中心,若AB=2 ,VO=3, 试建立空间直角坐标系，并确定各点坐标变式:如图的正三棱柱ABC-A 1B 1C 1中，各棱长为2，试建立适当的坐标系，并写出各点坐标合作探究1、如图的直角坐标系O-xyz 中，点A 的坐标为(x ，y ，z )，取三个坐标轴方向上的单位向量,,为一组基底，如何用基底{}k j i ,,把向量表示出来？小结1、(1)单位正交基底：(2)向量k z j y i x OA ++== ⇔ 即：向量OA 的坐标与终点A 的坐标相同 (O 为原点)(3)若A(x 1，y 1，z 1)，B(x 2，y 2，z 2)，则AB =合作探究2、已知),,(321a a a a =，),,(321b b b =，类比平面向量的坐标运算，思考空间向量的坐标运算如何？=⋅小结2、空间向量的坐标运算：=± ，=λ ，=⋅ ，=|| ，⇔// ，⇔⊥例2、已知)5,3,2(-=a ，)4,1,3(-=b (1)=+b a ，=⋅ ，=+⋅)2( ；(2)若),2,(n m =且//，求；(3)若),,1(y x =且⊥，⊥，求变式1、若)0,1,1(=，)2,0,1(-=，b a k +与b a -2垂直，求k 的值；变式2、若与)2,1,2(-=共线，且满足18-=⋅，求。

【学案】3.1.4 空间向量的正交分解及其坐标表示

3.1.4 空间向量的正交分解及其坐标表示学习目标：1．了解空间向量基本定理及其意义，掌握空间向量的正交分解及其坐标表示；2. 会在简单问题中选用空间三个不共面向量作为基底表示其他向量；3. 通过经历由平面向量基本定理猜想出空间向量基本定理然后再证明的过程，从中体会类比与归纳的数学思想方法；体验数学在结构上的和谐性；体验数学概念在推广过程中遇到的问题，以及如何解决这些问题；学习过程：一、复习旧知1、作图：分解平面向量,a b 是同一平面内的两个不共线的向量，p 是该平面内的任意一个向量，向量p 如何在向量,a b 上进行分解？如何用,a b 表示p ？2、说出平面向量基本定理二、类比猜想1、结合长方体，平行六面体等这些几何图形，思考：如何选择基底来表示空间向量？2、类比平面向量基本定理，你们能归纳猜想出空间向量基本定理吗？三、分组协作探究，证明猜想如图：,,a b c 是空间任意三个不共面的向量，p 是空间任一向量证明：存在唯一实数组x , y , z ，使得p = x a + y b + z c课下思考：x,y,z 的取值什么时候为正，什么时候为负，什么时候为0？四、空间向量的坐标表示1、单位正交基底2、空间向量的坐标五、应用定理解决问题例1：如图，M,N 分别是四面体OABC 的边OA,BC 的中点，P,Q 是MN 的三等分点。

用向量,,OA OB OC 表示OP 和OQ 。

abp a b p变式练习：在上题中（1）用,,OA OB OP 表示OC（2）用,,OB OC OP 表示OA六、小结请同学们回顾一下，本节课我们学习了哪些知识点，用到了哪些数学思想和方法？ B ANCOMQP。