4平面画法几何

bˊ eˊ 1ˊ 3ˊ 2ˊ
b〞
e〞
cˊ
c〞 3〞
1〞
a〞
2〞 fˊ f〞
d〞
aˊ
dˊ
三、平面对投影面的相对位置
一般位 对H、V、W面均倾斜 置平面
铅垂面 ⊥H面，对V、W面均倾斜 平面
投影面 垂直面 投影面 平行面
正垂面 ⊥V面，对H、W面均倾斜
侧垂面 ⊥W面，对H、V面均倾斜 水平面 ∥H面，⊥V面，⊥W面 正平面 ∥V面，⊥H面，⊥W面 侧平面 ∥W面，⊥H面，⊥V面
三、平面对投影面的相对位置
铅垂面迹线表示法
V PV
z
PV
W P A X PW a β PH
Z
a′
a″
PW
x
o
PH H
Y1
a
γ
Y
Y
三、平面对投影面的相对位置
V
b′
z
W
b′
z
c″
b″
c′ a′ X
QV
c′
C
a′
α

a″
o
A
H
B
x
a Y
c
o
Y1
正垂面的投影特性： 1.平面的正面投影a′b′c′积聚为一条线 ；积聚线与OX、 OZ夹角反映了平面与H、W的α、 角，=90゜ 2.abc、 a″b″c″ 为ABC的类似形
c´
解题步骤：
1、 过EF作正垂面Q。
2、求Q平面与ΔABC的交线MN。 3、求交线MN与EF的交点K。 4、可见性判别。
b´
n´
f
e´ a´
a
Q
M C E K F
N
n
b
B
k
m
c
e
A
可见性判别方法
f´ c´
F
V
1´ (2´)
b´
判别可见性的原理 是利用重影点。
k´
Ⅱ
e´
B
a ´
ⅠC
K
Ⅲ
A
f b
Ⅳ
a
过空间点A作一条水平线AB=35mm，且平行于△DEF。
d′
f′
g′
b′
a′
e′
f
a
g
作ab∥fg 并量取ab=35mm
e
b
d
过空间直线AB作直线EF的平行面 e′
a′
b′
c′
f′
b
f
c a e
四、直线与平面、平面与平面的相对位置
2.平面与平面平行
一平面上的两相交直线对应平行于另一平面上的 两条相交直线。
e c
f
二、平面上的点、直线
2.平面上投影面平行线
既在平面上又平行于投影 面的直线。 eˊ aˊ dˊ bˊ
cˊ
a e c
d b
已知ABC给定一平面，试过点C作属于该平面的 正平线，过点A作属于该平面的水平线。 b
m
a n c b
n
m c
a
试在平面ΔABC上确定一点K，使点K到V、H投影 面的距离均为25mm。 a′
E
A P F
θ
投影特性：最大斜度线垂直 于平面内的投影面平行线； 平面对投影面的夹角等于平 面内的最大斜度线对投影面 的倾角。
C
α
a PH H
B
求平面△ABC的α角。 c′
b′
a′
m′
△ZC
M
c
α
a
m b
求平面△ABC的β角。
△YCM
c′
β
Ⅰ′
b′ m′
a′ c
a
△YCM
Ⅰ
m
b
已知△ABC平面的α=30°，边AB为水平线，试 完成△ABC的正面投影。 c′
4.平面与平面垂直
一个平面上有一条直线垂直于另一平面,则两平面 相互垂直。
Q M
P
N
L2
L1
判别两平面是否垂直
a′
g′ b′
e′
△ABC⊥△EFG
1′
2′
d′
c′
f′
c
1
g
e
2 d
a
f
b
过空间一直线作已知平面的垂面 a′ e′
b′ 2′
g′ f′
1′
c′
c
1 2
e
f
a
g b
四、直线与平面、平面与平面的相对位置
5.相交
直线与平面相交于一点，交点是直线与平面的共 有点；两平面相交于一直线，交线是两平面的共 有线。
四、直线与平面、平面与平面的相对位置
1）积聚性求交
两相交元素中若有一个元素具有积聚性，则可利 用其积聚性来求交点或交线。
B A K N M B K F A L
P
n C
m C
a
M m
E
k c 3(4)
e
H
利用重影点判别可见性
( ) f ´ 1´ 2´
c´ 4´ k ´
b´
3´
e´ a´ a
f b
2
k 1 c 4(3) e
两一般位置平面相交
n´ PV b´ 2´ c´ 1´ m ´ m k c 1
K
求交线步骤：
1、用直线与平面求 交点的方法求两平面
k´ e´ b 2 e
h´ QV
V A
P
B
H
判别直线是否与平面垂直 a′
b′ 2′ f′
K′
e′
EF⊥△ABC GH⊥P平面
1′
g′
h′
c′ c
1
2
e
PH f
K
h
a
g
b
过空间一点作已知平面的垂线 a′
b′ 2′ f′
e′
1′
c′ c
1
2
e
a
f b
过空间一点作已知直线的垂面 e′
a′ c′
b′
f′
c
f
a
b
e
四、直线与平面、平面与平面的相对位置
X
PH
Y Y
二、平面上的点、直线
1.平面上的点
若点在平面上，则该点必定 位于平面上的某一直线上。 V 反之，若一点位于平面上的 某一直线上，则该点必定位 于平面上。
X Z
B n´ a
´ b"
b´
N A a
b
W
n"
a" C
c
c"
n
H
Y
判定点K是否在平面ΔABC上？
b'
e'
a'
k'
K点不在Δ ABC上
PH N
QH m(n) QH PH
四、直线与平面、平面与平面的相对位置
2）无积聚性时求交
由于相交的两元素均无积聚性，故不能直接利用 积聚性进行求解。解决这类问题，通常可借助设 置特殊辅助平面进行求解。
B M
Q
M A E B
C
K F
N
K
A L
F N
C
一般线与一般面相交
QV f´ m ´
k´
第四章
平面
主要内容
一、平面的投影
二、平面上的点、直线 三、平面对投影面的相对位置 四、直线与平面、平面与平面的相对位置
一、平面的投影
1.平面的投影性质
平面图形的投影，由平面图形的边线投影表示。 一般情况下，其投影是一个类似的图形。
V
b´
Z
B
b"
a´
W
A
b
X
a" C
c"
a
H
c
Y
一、平面的投影
b′
b′
c′
b′ d′ a′ b′ b O
c′
a′ a′ O
c′ a′ O
X
c′ O
O
X a
X
a
X
a
c b b
c
a c
d b
c
(2) 一直线和 线外一点
(3)两相交直线
(4)两平行直线
(5) 平面图形
一、平面的投影
迹线：平面与投影面的交线。
Z V PV PV PW Y1 O Z
P
X PH
H
PW W
a′
b′
b d
α
a
c
△ZC
已知AB为平面△ABC对H面的最大斜度线，试完成 △ABC的正面投影。 a′
d′
b′
c′
d
a
c
b
三、平面对投影面的相对位置
V
z
C
a′ PW
c′
z
a″
c″ b″ Y1
x
A a
o
cP H
H
X
b′
B b
Y
a

o

c
b
铅垂面的投影特性：
Y
1.平面的水平投影abc积聚为一条线，积聚线与OX、OY夹 角反映了平面与V、W面的、 角，α= 90゜ 2.a′b′c′和 a″b″c″为ABC的类似形
三、平面对投影面的相对位置
V
z
a′
A b′ c′ B b″
a ′ b ′ c ′z b ″a ″ c ″ a″ W c″
C
O
X
b
o
Y1
x
a
H b
a
c Y
c Y
水平面的投影特性： 1.a′b′c′、a″b″c″积聚为一条线，具有积聚性 2.水平投影 abc 反映ABC实形