2018届人教A版 等差数列及其前n项和 理 检测卷

2018年高考数学一轮复习 第五章 数列 课时达标29 等差数列及其
前n 项和 理
[解密考纲]主要考查等差数列的通项公式，等差中项及其性质，以及前n 项和公式的应用，三种题型均有涉及．
一、选择题
1．已知等差数列{a n }的前13项之和为39，则a 6＋a 7＋a 8＝( B )
A ．6
B ．9
C ．12
D ．18
解析：由等差数列的性质得，S 13＝13a 7＝39，∴a 7＝3.由等差中项，得a 6＋a 7＋a 8＝3a 7＝9，故选B ．
2．等差数列{a n }的前n 项和为S n ，已知a 5＝8，S 3＝6，则a 9＝( C )
A ．8
B ．12
C ．16
D ．24
解析：由已知得a 1＋4d ＝8,3a 1＋3×22
d ＝6，解得a 1＝0，d ＝2.故a 9＝a 1＋8d ＝16.故选C ．
3．设S n 是公差不为零的等差数列{a n }的前n 项和，且a 1>0，若S 5＝S 9，则当S n 最大时，n ＝( B )
A ．6
B ．7
C ．10
D ．9
解析：由题意可得S 9－S 5＝a 6＋a 7＋a 8＋a 9＝0，
∴2(a 7＋a 8)＝0，即a 7＋a 8＝0.
又∵a 1>0，∴该等差数列的前7项为正数，从第8项开始为负数．
∴当S n 最大时，n ＝7.
4．等差数列{a n }中，a 1＋3a 8＋a 15＝120，则2a 9－a 10＝( C )
A ．20
B ．22
C ．24
D ．－8
解析：在等差数列{a n }中，∵a 1＋3a 8＋a 15＝120，∴5a 8＝120，∴a 8＝24.2a 9－a 10＝a 8＝24，故选C ．
5．在等差数列{a n }中，a 9＝12
a 12＋3，则数列{a n }的前11项和S 11＝( C ) A ．24 B ．48 C ．66 D ．132
解析：设公差为d ，a 9＝12a 12＋3即a 1＋8d ＝12
(a 1＋11d )＋3，整理，得a 1＋5d ＝6，即a 6＝6.
∴S 11＝11 a 1＋a 11 2＝11×2a 62
＝66.故选C ． 6．设S n 是公差为d (d ≠0)的无穷等差数列{a n }的前n 项和，则下列命题错误的是( C )
A ．若d <0，则数列{S n }有最大项
B ．若数列{S n }有最大项，则d <0
C ．若数列{S n }是递增数列，则对任意的n ∈N *
，均有S n >0
D ．若对任意的n ∈N *，均有S n >0，则数列{S n }是递增数列
解析：选项C 显然是错的，举出反例：－1，0,1,2,3，…满足数列{S n }是递增数列，但是S n >0不成立．
二、填空题
7．设等差数列{a n }的前n 项和为S n ，若a 1＝－3，a k ＋1＝32
，S k ＝－12，则正整数k ＝13. 解析：由S k ＋1＝S k ＋a k ＋1＝－12＋32＝－212
， 又S k ＋1＝ k ＋1 a 1＋a k ＋1 2＝ k ＋1 ⎝ ⎛⎭⎪⎫－3＋322＝－212
， 解得k ＝13.
8．设等差数列{a n }的前n 项和为S n ，若－1<a 3<1,0<a 6<3，则S 9的取值范围是(－3,21)． 解析：S 9＝9a 1＋36d ＝x (a 1＋2d )＋y (a 1＋5d )，由待定系数法得x ＝3，y ＝6. 因为－3<3a 3<3,0<6a 6<18，两式相加即得－3<S 9<21.
9．等差数列{a n }的通项公式为a n ＝2n －8，下列四个命题：p 1：数列{a n }是递增数列；
p 2：数列{na n }是递增数列；p 3：数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫a n n 是递增数列；p 4：数列{a 2
n }是递增数列，其中为真命题的是p 1，p 3.
解析：由公差d ＝2>0，知数列{a n }是递增数列，
所以p 1为真命题；
因为na n ＝n (2n －8)，对称轴为n ＝2，
则数列{na n }先减后增，所以p 2为假命题；
因为a n n ＝2－8n ，故数列⎩⎨⎧⎭
⎬⎫a n n 是递增数列，所以p 3为真命题； 因为a 2n ＝(2n －8)2，对称轴为n ＝4，则数列{a 2
n }先减后增，所以p 4为假命题．
三、解答题
10．数列{a n }中，a 1＝－23，a n ＋1－a n －3＝0.
(1)求数列的前n 项和S n ；
(2)求使得数列{S n }是递增数列的n 的取值范围．
解析：(1)因为a n ＋1－a n －3＝0，所以a n ＋1－a n ＝3，
即数列{a n }是等差数列，公差d ＝3.
又a 1＝－23，所以数列{a n }的前n 项和为
S n ＝－23n ＋12n (n －1)·3，
即S n ＝32n 2－492
n . (2)S n ＝32n 2－492n 的对应函数为f (x )＝32x 2－492
x ，它的图象是一条抛物线，其开口向上，对称轴为x ＝496
. 当x ≥496
时，函数f (x )是增函数． 因为8<496<9，且496－8<9－496
，所以f (8)<f (9)． 综上，可知使得数列{S n }是递增数列的n 的取值范围是{n |n ≥8，n ∈N *}．
11．已知等差数列{a n }的公差d >0，设{a n }的前n 项和为S n ，a 1＝1，S 2·S 3＝36.
(1)求d 及S n ；
(2)求m ，k (m ，k ∈N *)的值，使得a m ＋a m ＋1＋a m ＋2＋…＋a m ＋k ＝65. 解析：(1)由题意知(2a 1＋d )(3a 1＋3d )＝36， 将a 1＝1代入上式解得d ＝2或d ＝－5.因为d >0，所以d ＝2. 从而a n ＝2n －1，S n ＝n 2(n ∈N *)．
(2)由(1)得a m ＋a m ＋1＋a m ＋2＋…＋a m ＋k ＝S m ＋k －S m －1＝(m ＋k )2－(m －1)2＝(2m ＋k －1)(k ＋
1)，
所以(2m ＋k －1)(k ＋1)＝65.
由m ，k ∈N *知2m ＋k －1≥k ＋1>1，
故⎩⎪⎨⎪⎧ 2m ＋k －1＝13，k ＋1＝5.所以⎩⎪⎨⎪⎧ m ＝5，k ＝4.
12．(2015·福建卷)等差数列{a n }中，a 2＝4，a 4＋a 7＝15.
(1)求数列{a n }的通项公式；
(2)设b n ＝2a n －2＋n ，求b 1＋b 2＋b 3＋…＋b 10的值． 解析：(1)设等差数列{a n }的公差为d .
由已知得⎩⎪⎨⎪⎧ a 1＋d ＝4， a 1＋3d ＋ a 1＋6d ＝15，解得⎩⎪⎨⎪⎧ a 1＝3，d ＝1. 所以a n ＝a 1＋(n －1)d ＝n ＋2.
(2)由(1)可得b n ＝2n
＋n ，
所以b 1＋b 2＋b 3＋…＋b 10
＝(2＋1)＋(22＋2)＋(23＋3)＋...＋(210＋10) ＝(2＋22＋23＋...＋210)＋(1＋2＋3＋ (10)
＝2× 1－210
1－2
＋
1＋10 ×10
2
＝(211－2)＋55 ＝211＋53
＝2 101.。