2连续型随机变量及其概率密度函数
连续型随机变量及其概率密度
6当固定 μ, 改变 σ 的大小时, f ( x) 图形的对 称轴不变, 而形状在改变, σ 越小, 图形越高越瘦, σ越大, 图形越矮越胖.
F
(
x
)
1
e
x
,
x 0,
0,
其他.
(4.8)
1 , 1, 2时F ( x)的图形如下
3
性质(4.9)称为无记忆性. 如果X是某一元件的 的寿命, 那么(4.9)式表明: 已知元件已使用s小时, 它总共能使用至少s t小时的条件概率, 与从开 始 使 用 时 算 起 它 至 少 能使 用t 小 时 的 概 率 相 等.这 就是说, 元件对它已使用过s小时没有记忆.
2 当x 时取到最大值 f () 1 . 2
3在x 处曲线有拐点;
4曲线以 x 轴为渐近线;
5如果固定 , 改变 的值, 则图形沿着Ox
轴平移, 而不改变其形状, 可见正态分布的概率密
度曲线 y f ( x)的位置完全由参数 所确定. 称
为位置参数.
(三) 正态分布 正态分布的概率密度函数
若连续型随机变量X 的概率密度为
f (x)
1
e ,
(
x μ 2σ2
)2
x ,
2 πσ
其中 μ, σ(σ 0) 为常数, 则称 X 服从参数为μ, σ 的
二维连续型随机变量分布函数及概率的计算
二维连续型随机变量分布函数及概率的计算
随机变量是概率论中的一种重要概念，指的是某个随机事件所对应的数值。二维连续型随机变量指的是有两个自变量的随机变量，每个自变量都属于某个连续区间。这种随机变量的分布函数和概率的计算是概率论研究的一个重点。
对于一个二维连续型随机变量(X,Y)，其概率密度函数f(x,y)满足以下条件：
1. 对于所有的实数(x,y)，f(x,y)>=0。
2. 对于任意两个实数a和b(a<b)，有P(a<X<=b)=∫[a,b]∫f(x,y)dxdy。
3. ∫(-∞,+∞)∫(-∞,+∞)f(x,y)dxdy=1。
f(x,y)独立于自变量的选取，并且可以看做点(x,y)在随机平面上的高度函数，表示(x,y)点上的概率密度。
定义随机变量(X,Y)的分布函数为F(x,y)=P{X<=x,Y<=y}。它满足以下条件：
1. F(x,y)是一个单调不减的函数。对于所有的x和y，有
F(x,y)<=F(x+δx,y)<=F(x+δx,y+δy)<=F(x,y+δy)，其中δx和δy是任意正数。
2. F(x,y)是一个右连续的函数。对于无穷小的正数h，有lim F(x+h,y)=F(x,y)。
3. F(x,y)的边界值为lim F(±∞,y)=lim F(x,±∞)=0，lim F(±∞,±∞)=1。
此外，二维连续型随机变量的分布函数F(x,y)的偏导数f(x,y)即为概率密度函数。也就是说，f(x,y)=∂F(x,y)/∂x∂y。
连续型随机变量及其密度函数的概念与性质
()
() = න () d
−∞
则称 为连续型随机变量, 称 ()为 X 的概
率密度函数, 简称概率密度.
知识点2.5
连续型随机变量及其密度函数的概念与性质
2. 概率密度函数的性质
这两条性质是判定一个函数
() 是否为某个变量的概率
密度函数的充要条件.
(1) 非负性: () ≥ 0；
连
续
型
离
散
型
知识点2.5
连续型随机变量及其密度函数的概念与性质
例1 设随机变量 的密度函数为
e− , > ,
() = ൝
≤ .
,
(1) 确定常数 ;
(2) 求{ > . } ; (3) 求 的分布函数().
解 (1)由归一性, 有
+∞
න
−∞
+∞
()d = න
知识点2.5
连续型随机变量及其密度函数的概念与性质
例2 设连续型随机变量 的分布函数为
,
= + ,
,
≤ −,
− < ≤ ,
> .
求： (1)系数 , 的值;
(2) − < < ;
(3)随机变量 的概率密度.
连续型随机变量及其概率密度函数
注意 若X是连续型随机变量， { X=a }是不可能事件，则有 P { X a } 0.
若 P{ X a} 0,
不能确定 { X a} 是不可能事件
连 续 型
若 X 为离散型随机变量,
{ X a} 是不可能事件
试求概率 (1) P{ X 10} ; (2)
解 (1) P{ X 10}
10
P{10 X 20}
10
.
f ( x )dx
10
20 10
0.1e 0.1 x dx
10
20 10
e
0.1 x
e
0.1 x
e 1
(2) P{10 X 20}
P{a X b} S f ( x )dx
P{ X } f ( x )dx 1
由此推出连续 型随机变量 的定义
一、 连续随机变量及其分布密度
定义1(P40.定义) 对于随机变量 X 的分布函数 F(x), 若存在非负 可积 可积函数 f (x)，使得对任意实数 x，有 x 连续型的分布函数必连续 F ( x ) f ( t )d t , 则称 X 为连续型随机变量，称 f (x)为 X 的概率密度函数， 简称为 y 概率密度或密度. 判定一个函数 f (x) 为 面积为1 某连续型随机变量的 密度函数的基本特性： y = f (x) 概率密度的充要条件 (1) f (x) 0 ；
二维连续型随机变量及其概率密度
是相互独立的.
44
我们不加证明地给出以下定理，它在数理统计中是 很有用的.
定理 设( X1, X 2 , , X m ) 和 (Y1,Y2 , ,Yn ) 相互独立，X i (i 1,2, , m) 和Yj ( j 1,2, , n)相互独立，又若 h, g 是连续函数， 则 h(X1, X 2, , X m ) 和 g(Y1,Y2 , ,Yn ) 相互独立.
3
按定义，概率密度具有以下性质
(1) f (x, y) 0
(2)
f (x, y)dxdy F (,) 1
(3) 设G 是 xoy 平面上的区域，点G 落在 (X ,Y)
内的概率为 P{(X ,Y ) G} f (x, y)dxdy
G
(4)若 f (x, y) 在点 (x, y) 连续，则有
内的概率
解：
12
二、 二维连续型随机变量的边缘分布
与二维离散型随机变量类似，在等式
f(
量
x,
X
xy
y的) 边缘分f (布u,v函)dv数du
中，令
fX (x)
y
d dx
FX (x)
得连续型随机变
f (x, y)dy
由此得随机变量 X 的边缘概率密度函数
概率密度函数公式连续型随机变量的概率密度函数计算
概率密度函数公式连续型随机变量的概率密
度函数计算
概率密度函数（Probability Density Function，简称PDF）是用来描
述连续型随机变量的概率分布规律的数学函数。它可以帮助我们计算
出在某个区间内随机变量出现的概率。在本文中，我们将介绍如何计
算连续型随机变量的概率密度函数。
为了方便理解，我们先从一个具体的例子开始。
假设有一个连续型随机变量X，其取值范围为[a, b]，我们希望计算
X落在区间[c, d]内的概率。首先，我们需要知道X的概率密度函数
f(x)。
在计算概率密度函数之前，我们需要了解一下连续型随机变量的概
率密度函数必须满足的两个条件：
1. f(x) ≥ 0，即概率密度函数的取值必须大于等于0。
2. ∫f(x)dx = 1，即概率密度函数在整个取值范围内的积分等于1。
现在，我们来计算连续型随机变量的概率密度函数。
1. 首先，我们需要确定概率密度函数的形式。对于某些连续型随机
变量，我们可以直接通过观察其分布规律来确定概率密度函数的形式，并计算出具体的参数值。例如，正态分布、指数分布等。
2. 如果我们无法直接确定概率密度函数的形式，我们可以通过观察
数据来估计概率密度函数。常用的方法有直方图法、核密度估计法等。
3. 通过确定了概率密度函数的形式或通过估计得到概率密度函数后，我们就可以计算出连续型随机变量在某个区间内出现的概率。
计算概率密度函数的过程可以通过积分来实现。具体来说，我们需
要计算概率密度函数在给定区间内的积分值。
假设我们已经得到了连续型随机变量X的概率密度函数f(x)，我们
经济类概率统计 二维连续型随机变量及密度函数
2. 概率密度函数具有以下性质：
(1) f(x,y)≥0；
(2)
f (x, y)dxdy F (, ) 1
(3)在f(x, y)连续点，有
2F (x, y) f (x, y)； xy
(4)在任意平面域G上，( X ,Y )取值的概率
P{( X ,Y ) G} f (x, y)dxdy. G
易证：
X ~ N 1 ,12 Y ~ N 2 , 22
如：（X，Y）联合密度函数为
f x, y
1
x2 y2
ewenku.baidu.com
2
1 sin x sin y
2
也可证明：X~N(0,1)，Y~N(0,1)分布。
5. n维随机变量
设E是一个随机试验，它的样本空间S ={e}，设X1= X1(e)X2= X2(e) ,…,Xn= Xn(e)是定义在S上的随机变量，由它 们构成的一个n维向量(X1,X2, …Xn)叫做n维随机变量或n维 随机向量。
y x y x2
o
x
f X ( x)
f ( x, y)dy
x 6dy 6( x x 2 ),
x2
0 x1
0,
其它
fY ( y)
f ( x, y)dx
y
y
6dx 6(
y y),
0 y1
0,
连续型随机变量及其概率密度
-10
-5
a
5
b
x
例1 有一批晶体管，已知每只的使用寿命 X 为 连续型随机变量，其概率密度函数为
f
(
x)
c x2
,
0,
x 1000 其它
( c 为常数)
(1) 求常数 c
(2) 已知一只收音机上装有3只这样的晶体管，
每只晶体管能否正常工作相互独立，求在
使用的最初1500小时只有一个损坏的概率.
问：怎样求一般正态分布的概率？
对一般的正态分布 ：X ~ N ( , 2)
其分布函数 F( x)
1
e d t x
(t )2 2 2
2
作变量代换s
t
F(x)
1 2
x
s2
e 2ds
x
即 X ~ N ( , 2) 则 X ~ N ( 0 ,1)
P{a
X
b}
F (b)
500
3、 正态分布
若X 的概率密度为 f ( x)
, 为常数， 0
1
( x )2
e 2 2
2
x
则称 X 服从参数为 , 2 的正态分布
记作 X ~ N ( , 2)
N (-3 , 1.2 )
0.3
0.25
0.2
0.15
3
连续型随机变量及其概率密度ok
0.2
2 4 6
-2
由图
P ( X 0 ) 0 .2
标准正态分布的上 分位数z
设 X ~ N ( 0 , 1 ), 若 z 满足条件
P X z ,0 1 ,
则称点 z 为标准正态分布的上
分位点。
查表可知 z 0.05
注：
=1.645
z 0 . 005 =2.575
P (c X d )
d
1 ba
d x
d c ba
c
即 X 的取值在(a,b)内任何长为 d – c 的小区间 的概率与小区间的位置无关, 只与其长度成正比. 这正是几何概型的情形. 应用场合: 在进行大量数值计算时，如果在小数点后第k位 进行四舍五入，则产生的误差可以看作 服从
0.1
-3
-2
-x -1
1
x
2
3
P (| X | a ) 2 ( a ) 1
对一般的正态分布 ：X ～N ( , 2)
其分布函数
作变量代换
F (x)
s t
1 2
x
(t ) 2
2
2
e
dt
x F (x)
P ( a X b ) F (b ) F ( a ) b P ( X a ) 1 F (a )
二维连续型随机变量及其概率密度
取它的任一可能值 x i 的条件概率 P{X xi Y y j},i 1,2,
由上述随机事件的条件概率公式可得：
P{X
xi
Y
y j}
P(X xi ,Y P(Y y j )
yj)
pij p j
，i 1, 2,L
22
这就启发我们，对于二维连续型分布，规定在条 件{Y y}下 X 的条件分布为如下连续型分布：
义将在下一章说明），记为
(X,Y) :
N
(1
,
2
,
2 1
,
2 2
,
).
试求二维正态随机变量的边缘概率密度.
解：
20
我们看到二维正态分布的两个边缘分布都是 一维正态分布，并且都不依赖于参数 ，亦即对 于给定的 1, 2 ,1, 2 , 不同的对应不同的二维正态分 布，它们的边缘分布却都是一样的.这一事实表明， 仅由关于 和关X 于 的边Y 缘分布，一般来说是不 能确定随机变量 和 X的联Y 合分布的.
(f1()x求, y)分布0函, 数(2其)求它概率.,
解：
10
例3 二维随机变量 (X,Y) 的联合密度为
f
(
x,
y)
c(R
x 2 y 2 ),当x 2 y 2 R 2时，
连续型随机变量与概率密度函数
连续型随机变量与概率密度函数随机变量是概率论中的重要概念之一，它描述了在一次试验中可能发生的不确定事件的数值结果。随机变量分为离散型和连续型两种。在本文中，我们将重点介绍连续型随机变量以及与之相关的概率密度函数。
连续型随机变量是指在一定区间内可能取任意实数值的随机变量，其结果可以是无限多的。与离散型随机变量相比，连续型随机变量通常与测量、计量有关，例如时间、长度、重量等。为了描述这种连续型随机变量的概率分布，我们引入了概率密度函数的概念。
概率密度函数是用来描述连续型随机变量的概率分布的函数。它在某个取值点上的值并不代表概率，而是表示这个点附近的概率密度。具体来说，对于概率密度函数f(x)而言，它满足以下两个条件：
1. f(x) ≥ 0，即概率密度函数的取值非负；
2. 在概率密度函数的取值范围内，其面积等于1，即∫f(x)dx = 1。
概率密度函数与概率的关系可以通过累积分布函数来进行描述。累积分布函数F(x)定义为概率密度函数f(x)在某一取值点x及其左侧区间上的积分，即：
F(x) = ∫[a,x]f(t)dt
其中a表示概率密度函数f(x)的定义域起点。
连续型随机变量的期望值和方差也可以通过概率密度函数来计算。
对于一个随机变量X，其期望值E(X)定义为：
E(X) = ∫xf(x)dx
方差Var(X)定义为：
Var(X) = ∫(x - E(X))^2f(x)dx
通过概率密度函数的求积分运算，我们可以计算出连续型随机变量
的期望值和方差，从而更好地理解和描述随机变量的特征。
在实际应用中，连续型随机变量与概率密度函数经常用于模型建立、数据分析和统计推断等领域。例如，在物理学中，速度、温度、能量
概率2-3连续型随机变量及其概率密度-2
概率论
6. 指数分布的性质：
s 0, t 0 P{ X s t} P{ X s t X s} P{ X s} e e
( s t ) s
e
t
P{ X t}
称这种性质为指数分布的“无后效性” 或“无记忆性”。
概率论
（ III ）正态分布（ Normal Distribution ， 也称为高斯Gauss分布） 1. 含义： r .v. X 受到大量微小的独立的因 素影响，其中无主导因素。 2. 概率密度：若随机变量X的概率密度为
分布函数
1 e x , x 0 F ( x) x0 0,
概率论
名称 正 一般正态分 态 布X~N(μ,σ2) 分 布 标准正态分 布 X~N(0,1)
概率密度
1 f ( x) e 2 ( x )2 2 2
分布函数 F(x)
1 φ x e 2π
[ 3 , 3 ] 区间内.
这在统计学上称作“3σ准则”.
概率论
看一个应用正态分布的例子:
例5： 某科考试成绩近似服从参数 为70，100的正态分布，及格人数为100 人，求（1）不及格人数；（2）成绩前 20名的人数在考生中所占比例；（3） 第20名考生的成绩。
概率论
四、小结
概率论
将上述结论推广到一般的正态分布,
连续随机变量及其概率密度函数
连续随机变量及其概率密度函数在概率论与数理统计中，随机变量是指在一个概率空间中取值的变量。其中，连续随机变量是指在一定区间内可以取到无穷多个不同值的随机变量。连续随机变量的概率密度函数（Probability Density Function，简称PDF）是描述连续随机变量概率分布的函数。
1. 连续随机变量的定义
连续随机变量通常用大写字母表示，如X。与离散随机变量不同的是，连续随机变量的取值范围通常是无穷多个实数值。例如，一个连续随机变量可以表示一个人的身高，其取值可以是任意的实数。
2. 连续随机变量的概率密度函数
对于连续随机变量X，其概率密度函数f(x)定义了在X取值等于x时的概率密度，即X落在x附近的概率。概率密度函数需要满足以下两个条件：
- f(x) ≥ 0，对于任意的x∈R；
- ∫f(x)dx = 1，即概率密度函数的积分等于1。
3. 连续随机变量的性质
连续随机变量的概率可以通过求取积分来计算。具体而言，如果要求X在区间[a, b]的概率，即P(a ≤ X ≤ b)，可以使用概率密度函数进行计算：
- P(a ≤ X ≤ b) = ∫[a, b]f(x)dx。
4. 连续随机变量的期望和方差
连续随机变量的期望和方差的计算方式与离散随机变量有所不同。
- 连续随机变量X的期望值E(X)可以通过积分的方式计算：E(X)
= ∫xf(x)dx。
- 连续随机变量X的方差Var(X)可以通过以下公式计算：Var(X)
= E((X-E(X))^2) = ∫(x-E(X))^2f(x)dx。
5. 常见的连续分布函数
二维连续型随机变量分布函数及概率的计算
二维连续型随机变量分布函数及概率的计算
二维连续型随机变量是概率论和数理统计中非常重要的概念，它们在现实生活中的各
种场景中都有着广泛的应用。本文将重点讨论二维连续型随机变量的分布函数及概率的计
算问题，希望能够帮助读者更好地理解和运用这一概念。
首先我们来谈谈什么是二维连续型随机变量。在概率论中，一维随机变量是指其取值
为实数的随机变量，而二维随机变量则是指其取值为二维平面上的点的随机变量。具体来说，设随机变量(X, Y)的可能取值为D，则称(X, Y)为二维随机变量。在实际问题中，很多情况下都会涉及到两个或多个变量之间的关系，因此二维随机变量的概念具有很强的实用性。
在讨论二维随机变量的分布函数和概率计算之前，我们先来了解一下二维随机变量的
分布函数是如何定义的。设(X, Y)为二维随机变量，其概率密度函数为f(x, y)，则(X, Y)的分布函数定义为：
F(x, y) = P(X \leq x, Y \leq y) = \iint_{-\infty}^{x}\int_{-\infty}^{y}f(u, v)dudv
(-\infty, x) \times (-\infty, y)为二维空间上的一个区域，f(u, v)为(X, Y)的概率密度函数。在这个定义中，我们可以看到二维随机变量的分布函数是通过概率密度函数
进行积分求得的。
有了分布函数的定义，我们就可以开始计算二维随机变量的概率了。对于(X, Y)属于
某个区域的概率可以通过分布函数的求导来得到。具体来说，假设我们要计算(X, Y)属于
区域D的概率，可以通过以下公式得到：
连续型随机变量及其概率密度函数
一、连续型随机变量的概念 定义2.8 设随机变量 的分布函数为 F (x ) ，若存在非负可 设随机变量X的分布函数为 定义 积函数 f (x )，使得对于任意实数 x ，都有 x （2—15） ） F ( x ) = ∫ f ( x )dx
∞
则称X为连续型随机变量， 则称 为连续型随机变量， 称 f (x )为X的概率密度函数 的 （Probability Density Function），简称概率密度或密度 ），简称概率密度或密度. ），简称概率密度或密度 由定义可知，连续型随机变量X的分布函数 由定义可知，连续型随机变量 的分布函数 F (x)在x点的函 点的函 上的积分． 数值等于其概率密度函数 f (x )在区间( ∞, x] 上的积分． 类似于离散型随机变量， 类似于离散型随机变量，连续型随机变量 f (x )的概率密度 函数具有如下基本性质： 函数具有如下基本性质：
∞
σ x+
1 2π σ
( x )2
2σ
2
e
∫
x ∞
1 2π
e
t2 2
dt
(令 σ = t ) 令
x
所以 X * ~ N (0, 1).
这样我们便有如下定理： 这样我们便有如下定理： 2 定理2.2 若 X ~ N ( , σ )，其分布函数为F ( x ) ，则对任意 定理 实数 ，有 x （2—29） ） F (x) = Φ ( )
二维连续型随机变量公式
二维连续型随机变量公式
二维连续型随机变量（或称二维随机向量）是指有两个连续变量
的随机变量。其概率密度函数（PDF）可以表示为f(x, y)，其中x和
y是二维随机变量的取值。
对于二维连续型随机变量，我们可以使用多种方法来表达其概率。以下是几种常见的表示方法：
1.边缘概率密度函数：边缘概率密度函数是指将二维随机变量的
概率分布转化为一个单独维度的概率分布。例如，边缘概率密度函数
fX(x)表示X的概率分布，边缘概率密度函数fY(y)表示Y的概率分布。边缘概率密度函数可以通过对二维概率密度函数在另一个变量的所有
取值上积分得到。
2.条件概率密度函数：条件概率密度函数是指在已知一个变量的
条件下，另一个变量的概率分布。例如，给定Y=y的条件下，随机变
量X的条件概率密度函数为fX|Y(x|y)。条件概率密度函数可以通过对二维概率密度函数进行归一化得到。
3.相关系数和协方差：相关系数和协方差用于衡量两个随机变量之间的线性相关性。相关系数ρ可以通过计算协方差cov(X, Y)以及X和Y的标准差σX和σY来得到。如果ρ接近于1，表示两个随机变量具有正相关关系；如果ρ接近于-1，表示两个随机变量具有负相关关系；如果ρ接近于0，表示两个随机变量没有线性相关关系。
此外，还有一些其他与二维连续型随机变量相关的概念和方法，如联合分布函数、矩阵、边际分布、条件分布等。这些方法可以用于描述和分析二维随机变量的统计特征、相关性以及它们与其他变量之间的关系。
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P { X a } 0.
离 散 型
要点重申
⑴ 分布函数F (x) 的函数值表示随机变量 X 在右闭无穷 区间 (－∞, x ] 上的取值概率, 即
F ( x ) P{ X x }
⑵ 只要函数 F (x) 是随机变量 X 的分布函数, 那就必有
F () 0 ,
F () 1
然而 P (A) = 0 时， A 却不尽为不可能事件 .
事件(X=c)并非不可能事件，它是会发生的，也就是 说零概率事件也是有可能发生的。如 X为被测灯泡的寿 命。若灯泡寿命都在1000小时以上，而 P (X=1000)=0， 但事件 (X = 1000) 是一定会 发生的，否则不会出现事件 (X >1000)，所以 不可能事件的概率为零，但概率为零的事件不一定是 不可能事件。
【练习】 设随机变量 X 具有概率密度
0 x 3 kx , x f ( x ) 2 , 3 x 4. 2 其它 0,
(1) 确定常数
k;
(2) 求 X 的分布函数 F ( x ); (3) 求
P{1 X 7 / 2}.
【练习】 设随机变量 X 具有概率密度
下面，我们将向大家介绍另一种类型的随机变量 — 连续型随机变量的描述方法.
第三讲 连续型随机变量及其概率密度
连续随机变量; 密度函数及其性质; 均匀、指数与正态分布
(1) 定义的引出
设离散型随机变量X在［a, b］内取n个值: x1=a, x2, x3, x4,… , xn=b． 概率 小矩形高
解: (1) 由
f ( x ) d x 1, 得
3 2 3 3 0
1
f ( x )dx C (9 x )dx 2C (9 x 2 )dx
x3 3 2C (9 x ) |0 36 C 3
即有C 1
36.
于是概率密度为
1 (9 x 2 ), 3 x 3, f ( x ) 36 其它. 0,
第二章 随机变量及其分布
第一讲 离散型随机变量及其分布 第二讲 随机变量的分布函数 第三讲 连续型随机变量及其分布 第四讲 随机变量函数的分布
有关要点回顾
1．离散型随机变量 随机变量所取的可能值是有限 多个或无限可列个，叫做离散型随机变量. 离散型随机变量的分布律为
其中 1. 2.
（非负性） pk 0, k 1,2,...,
0 x 3 kx , x f ( x ) 2 , 3 x 4. 2 其它 0,
(1) 确定常数
k;
(2) 求 X 的分布函数 F ( x ); (3) 求
P{1 X 7 / 2}.
解（1） 由
x kxdx 2 dx 1, 0 3 2 解得 k 1 / 6, 于是 X 的概率密度为 x, 0 x3 6 f ( x) 2 x , 3 x 4 . 2 0, 其它
点概为零的重要启示
(1) P{ x1＜X ≤x2} = P{ x1≤X ≤x2} = P{ x1＜X ＜x2} = P{ x1≤X ＜x2} = F(x2) －F(x1) =
x2
x1
f ( x )dx
连续型随机变量取值落在某一区间 的概率与区间的开闭无关
(2) 若 A 为不可能事件，则 P (A) = 0 ；
P
小矩形宽度
X的概率 直方图：
s1
即小矩形的面积为 Ｘ取对应点的概率
s2 s3
sn
x1=a x2
n
x3
…….
xn=b
X
P{a X b} si ＝折线下面积之和！
i 1
若X为连续型随机变量，由于X在［a, b］内连续 取无穷多个值，折线将变为一条光滑曲线 f ( x ).
P
f ( x)
P{ x1＜X ＜x2 } ＝
x2
x1
f ( x )dx
但离散随机变量 X 在区间上的取值概率与区间的开 与闭有关:区间开时应去掉开点的点概;区间闭时应包括 闭点的点概，例如
P{ x1＜X ≤x2} = F(x2) －F(x1) P{ x1≤X ≤x2 } = F(x2) －F(x1)＋P { X = x1 }
解之得
6 K 31
6 2 31 x ， 0 x 2 6 X ~ f ( x) x， 2 x 3 31 其它 0，
例2 设连续型随机变量 X 具有概率密度
f ( x ) Ae | x| , x
求 ⑴ 常数A ；⑵ 概率 解
⑹ 连续变量的点概为零说明:不可能事件的概率为零; 但概率为零的事件不尽为不可能事件.
Kx 2 例1 设 X ~ f ( x ) Kx 0
0 x2 2 x 3 求常数K 其它
解
由性质 得
2
f ( x )dx 1,
3 2
2
0
Kx dx Kxdx 1
非负性 (2)
f (t )dt
X 取值于(x , x+x]的概率= F 其密度在此区间上的积分 ) F ( ) = 1 - 0 1(；
O
x1
x1
x2
x
规范性 (3) P(x 由定义 概率 公式
1< X x2) =
F(x2) - F(x1)
x1 x2
1
2
((x (4) 若 f (x) 在点 x 处连续， )d f (x )f ; ( t )d t f ( t )d t则 xFf t) t x x x lim lim f ( x) dx = 0 =0 . P ( x f0( t )X d t;x0 x ) 可微性 (5) P( X = x0 ) x 0 x x 0x
pk 1,
k 1
（归一性）
对于离散型随机变量，如果知道了它的分布列， 也就知道了该随机变量取值的概率规律. 在这个意义 上，我们说 离散型随机变量由它的分布列唯一确定.
2. 连续型随机变量 随机变量所取的可能值可以 连续地充满某个区间，叫做连续型随机变量. 连续型随机变量X所有可能取值充满一个区间， 对连续型随机变量，不能象离散型随机变量那样， 以指定它取每个值概率的方式, 去给出其概率分布， 而是通过给出所谓“概率密度函数”的方式来描述其 概率分布.
1
1
0
1 ( 9 x 2 )dx 36
1 x 13 9x . 18 3 0 27
3
1
P{ X 2}
2
f ( x )dx
3 3
3
2
1 ( 9 x 2 )dx 36
1 x 2 9x . 36 3 2 27
试求概率 (1) P{ X 10} ; (2)
解 (1) P{ X 10}
10
P{10 X 20}
10
.
f ( x )dx
10
20 10
0.1e 0.1 x dx
10
20 10
e
0.1 x
e
0.1 x
e 1
(2) P{10 X 20}
1o 2o
f ( x) 0
f ( x)dx 1
f (x)
这两条性质是判定一个 函数 f(x)是否为某r .v X 的 概率密度的充要条件
面积为1
o
x
密度函数的几何意义
P (a X b)＝ f (t )dt
a
b
密 度 函 数 曲 线 位 于 x 轴 上 方
即 y=f(x)，y=a，y=b，x轴所围成的曲边梯形面积。
4
3
f ( x )dx 1, 得
0, x0 x （2） t dt , 0 x3 0 6 F ( x) 3 t dt x t 2 dt , 3 x 4 0 6 3 2 1, x4
0, 2 x 12 , 2 3 2x x 4, 1,
| x| 1
A 0.5
1
0
1 e x dx 1 e
F ( x) =
x
f (t )dt 0.5
x
e |t |dt
0.5e x , x 0 x ,x0 1 0 . 5 e
例3 设连续随机变量 X 的概率密度
0.1e 0.1 x , x 0 f ( x) 0 , 其它
同样： 必然事件的概率为1，但概率为1的事件不一定是必然 事件。
注意 若X是连续型随机变量， { X=a }是不可能事件，则有 P { X a } 0.
若 P{ X a} 0,
不能确定 { X a} 是不可能事件
连 续 型
若 X 为离散型随机变量,
{ X a} 是不可能事件
0 F ( x) 1
不过离散变量的分布函数仅是右连续的函数; 连续变量的分 布函数却是实轴上处处连续的函数 .
要点重申
⑶ 只有连续型随机变量 X 才存在概率密度 f (x), 它与 分布函数 F (x) 的相互关系是
F ( x)
x
dF ( x ) f (t )dt , f ( x ) dx
而且：
f ( x)
b a
a
S f ( x )dx
a
b
X ……. b
P{a X b} S f ( x )dx
P{ X } f ( x )dx 1
由此推出连续 型随机变量 的定义
一、 连续随机变量及其分布密度
定义1(P40.定义) 对于随机变量 X 的分布函数 F(x), 若存在非负 可积 可积函数 f (x)，使得对任意实数 x，有 x 连续型的分布函数必连续 F ( x ) f ( t )d t , 则称 X 为连续型随机变量，称 f (x)为 X 的概率密度函数， 简称为 y 概率密度或密度. 判定一个函数 f (x) 为 面积为1 某连续型随机变量的 密度函数的基本特性： y = f (x) 概率密度的充要条件 (1) f (x) 0 ；
1
0
P{1 X 1 } ; ⑶ 分布函数Fra Baidu bibliotekF ( x ) .
f ( x )dx Ae dx
x 0
Ae | x|dx
Ae x dx
A ( A) 2 A ,
P{1 X 1 } 0.5 e dx 1
( 2) P{ X 0}
0
1 2 f ( x )dx ( 9 x )dx 3 36
0
1 x 3 0 1 ( 27 9) 1 , (9 x ) | 3 36 2 36 3
P{1 X 1} f ( x )dx 2
1
f ( x )dx 0.1e 0.1 x dx
20 10 e
0.1 x
e
0.1 x
10 20
e 1 e 2
【练习】 设 随机变量 X 具有概率密度
C (9 x 2 ), 3 x 3, f ( x) 其它. 0, (1) 求常数 C; ( 2) 求 P{ X 0}, P{1 X 1}, P{ X 2}.
x0 0 x3 3 x4 x4
0
f ( t )d t f ( t )d t
x1
b
x2
独点 概率
P(a<Xb)= P(a X< b)= P(aX b)= P(a<X<b ) P(A)= 0 A = ； P(B)=1 B = .
1
0
a f ( t )d t ,
几乎不可能事件
几乎必然事件
并且概率密度 f ( x ) 也满足所谓的归一性, 也就是
f ( x )dx 1
⑷ “ 连续随机变量的点概为零” , 即连续型随机变量 X 在其任一可取点处的取值概率恒等于零; 但 “离散随机变 量的点概不尽为零”, 因为后者在其任一可取之点处的取 值概率肯定不为零.
要点重申
⑸ 连续随机变量 X 在任何区间上的取值概率与区间 的开闭与否无关, 它恒等于概率密度在该区间上的积分， 即