2017届中考数学冲刺复习三角形03多边形及其内角和
小学数学知识归纳多边形的内角和与外角性质
小学数学知识归纳多边形的内角和与外角性质多边形是数学中一个重要的概念，指的是由多个线段组成的封闭图形。
在小学数学中，我们常常研究多边形的内角和与外角性质。
在本文中，我们将对多边形的内角和外角进行归纳总结。
一、多边形的内角和性质多边形的内角和是指多边形内部所有内角的和。
下面我们就不同类型的多边形进行内角和的归纳总结。
1. 三角形的内角和性质三角形是最简单的多边形，它有三个内角。
根据数学定理，三角形的内角和等于180度。
这是因为，三角形可以被看作是平面上的三个点所确定的图形，其中每个角占据了1/3的空间，因此三角形的内角和为180度。
2. 四边形的内角和性质四边形是指具有四条边的多边形。
常见的四边形有矩形、正方形、梯形等。
不同类型的四边形内角和存在一定的规律。
- 矩形：矩形有四个内角，其中每个角都是90度。
因此，矩形的内角和为360度。
- 正方形：正方形也有四个内角，每个角也都是90度。
因此，正方形的内角和也为360度。
- 梯形：梯形的内角和等于180度。
但需要注意的是，梯形的两边并不平行，因此无法像三角形、矩形和正方形那样简单地计算内角和。
3. 多边形的内角和公式对于n边形，我们可以使用以下公式计算其内角和：内角和 = (n - 2) × 180度这个公式适用于所有的多边形，包括三角形、四边形以及更多边的多边形。
二、多边形的外角性质多边形的外角是指由多边形的一条边与其相邻的两条边所围成的角。
而多边形的外角和是指多边形内部所有外角的和。
下面我们将对多边形的外角性质进行归纳总结。
1. 多边形的外角和公式与内角和类似，多边形的外角和也存在一个公式可供计算。
外角和 = 360度这个公式适用于所有的多边形，不论边数多少，均满足外角和等于360度的性质。
2. 内角与外角的关系内角和与外角和之间有一定的关系。
我们可以发现，一个内角与相邻的一个外角相加等于180度。
这是因为，内角与外角之间相当于两个互补角。
2.三角形的内角外角及正多边形的内角和
三角形的内角外角及多边形的内角1.三角形内角与外角定理及性质⑴三角形的内角和定理：三角形的内角和为180°，直角三角形的两个锐角互余；有两个角互余的三角形是直角三角形.⑵三角形外角的性质：性质1：三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和.性质2：三角形的一个外角大于任何一个和它不相邻的内角. 三角形的一个外角和与之相邻的内角互补.例1.如图，AF，AD分别是△ABC的高和角平分线，且∠B＝36°，∠C＝76°，求∠DAF的度数．例2.如图，有一块直角三角板XYZ放置在△ABC中，三角板的两条直角边XY和XZ恰好分别经过点B 和点C.(1)若∠A＝30°，则∠ABX＋∠ACX的大小是多少？(2)若改变三角板的位置，但仍使点B、点C在三角板的边XY和边XZ上，此时∠ABX＋∠ACX的大小有变化吗？请说明你的理由．例3.如图，求证：∠BOC＝∠A＋∠B＋∠C.变式练习1.如图，∠1＋∠2＋∠3＋∠4的度数为________．2.如图，点D，E分别是AB，AC上的点，连接BE，CD，若∠B＝∠C，则∠AEB与∠ADC的大小关系是()A．∠ADC>∠AEB B．∠ADC＝∠AEB C．∠ADC<∠AEB D．不确定第2题第3题3.如图，B处在A处的南偏西60°方向，C处在A处的南偏东20°方向，C处在B处的正东方向，求∠ACB 的度数4.如图，已知在△ABC中，∠ABC与∠ACB的平分线相交于点O，若∠BOC＝140°，求∠A的度数．5.如图，△ABC中，∠A＝50°，点D，E分别在AB，AC上，则∠1＋∠2的大小为第5题第7题第8题6.已知△ABC中，∠A，∠B，∠C的外角度数之比为2∶3∶4，则这个三角形是()A．直角三角形B．等边三角形C．钝角三角形D．等腰三角形7.如图，∠1、∠2、∠3、∠4恒满足的关系是()A．∠1＋∠2＝∠3＋∠4 B．∠1＋∠2＝∠4－∠3C．∠1＋∠4＝∠2＋∠3 D．∠1＋∠4＝∠2－∠34.如图，△ABC中，∠B和∠C的外角平分线相交于点D，则∠BDC＝()A.12(90°－∠A) B．90°－∠A C.12(180°－∠A) D．180°－∠A1.多边形：在平面内，由一些线段首尾顺次相接组成的图形叫做多边形.2.多边形的内角：多边形相邻两边组成的角叫做它的内角.3.多边形的外角：多边形的一边与它的邻边的延长线组成的角叫做多边形的外角.4.多边形的对角线：连接多边形不相邻的两个顶点的线段，叫做多边形的对角线.5.正多边形：在平面内，各个角都相等，各条边都相等的多边形叫正多边形.6.平面镶嵌：用一些不重叠摆放的多边形把平面的一部分完全覆盖，叫做用多边形覆盖平面，7公式(1)多边形内角和公式：n 边形的内角和等于(2)n -·180° (2)多边形的外角和：多边形的外角和为360°.(3)多边形对角线的条数：①从n 边形的一个顶点出发可以引(3)n -条对角线，把多边形分成(2)n -个三角形.②n 边形共有(3)2n n -条对角线.例 4.下列说法：①等腰三角形是正多边形；②等边三角形是正多边形；③长方形是正多边形；④正方形是正多边形．其中正确的个数为( ) A ．1个 B ．2个 C ．3个 D ．4个例5.如图，△ABC ，△ADE 及△EFG 都是等边三角形，D 和G 分别为AC 和AE 的中点，若AB ＝4时，则图形ABCDEFG 外围的周长是( ) A ．12 B ．15 C ．18 D ．21变式练习1.一个正多边形的一个内角为162°,则这个多边形的边数为 .2.过m 边形的一个顶点有7条对角线，n 边形没有对角线，k 边形共有k 条对角线，则(m －k)n 为多少？3. 如图，图中分别是正方形、正五边形、正六边形，试求出∠1，∠2，∠3的度数。
多边形及其内角和知识点
多边形及其内角和知识点多边形是由若干条线段组成的闭合图形，每个线段都被称为多边形的边，相邻的两条边之间的夹角被称为内角。
多边形的内角和是指多边形内部所有内角的总和。
在数学中，多边形是一个非常重要且常见的图形，它具有丰富的性质和应用。
对于任何多边形，我们可以通过计算其内角和来深入了解它的性质。
首先，让我们考虑最简单的多边形，三角形。
三角形是由三条线段组成的多边形，它的内角和总是等于180度。
我们可以通过简单的几何推理证明这一点。
假设三角形的三个内角分别为A、B和C。
我们可以将三角形划分为两个小三角形，其中一个小三角形的两个内角分别为A和B，另一个小三角形的两个内角分别为A和C。
根据角的加法定理，我们可以得出结论：A+B+C=A+A+C=180度。
对于四边形，我们可以将其分为两个三角形，因此其内角和总是等于360度。
对于五边形，我们可以将其分为三个三角形，所以其内角和总是等于540度。
同样地，我们可以通过将六边形分为四个三角形，七边形分为五个三角形以及依此类推，推导出任何多边形的内角和。
另外，对于n边形（n>2），我们可以使用以下公式来计算其内角和：(n-2)×180度。
这个公式可以通过将n边形分解为(n-2)个三角形，然后利用三角形内角和等于180度的性质来得到。
在实际应用中，计算多边形的内角和可以帮助我们研究多边形的性质。
例如，通过计算一个多边形的内角和，我们可以确定该多边形是凸多边形还是凹多边形。
如果内角和等于(n-2)×180度，那么这个多边形是凸多边形；如果内角和小于(n-2)×180度，那么这个多边形是凹多边形。
此外，内角和还可以帮助我们计算多边形的外角和。
多边形的外角是指多边形的每个内角的补角。
换句话说，外角等于360度减去内角。
因此，我们可以通过计算内角和来得到外角和，并进一步研究多边形的性质。
总结起来，多边形及其内角和是数学中的重要概念。
通过计算多边形的内角和，我们可以揭示多边形的性质，如凸凹性质，并可以进一步计算多边形的外角和。
数学中考总复习(一轮复习)第16讲 三角形与多边形
第16讲三角形与多边形【考点总汇】一、三角形与多边形的性质1.三角形三边之间的关系：三角形任意两边的和第三边，任意两边的差第三边。
2.三角形的内角和定理：三角形三个内角的和等于。
3.三角形的外角定理及推论：（1）三角形的一个外角与它不相邻的两个内角的和。
（2）三角形的一个外有与它不相邻的任何一个内角。
4.多边形的内角和与外角和定理：（1）n边形内角和等于。
（2）多边形的外角和等于。
微拨炉：二、命题、定理1.对某一事件作出判断的语句（或式子）叫做命题，命题由和两部分组成。
的命题是真命题，的命题是假命题。
2.互逆命题：在两个命题中，如果一个命题的和分别是另一个命题的和，那么这两个命题称为互逆命题。
3.定理：从或其他真命题出发，用推理方法判断为的，并被选作判断命题真假的依据，这样的真命题叫做定理。
4.如果一个定理的逆命题经过证明是正确的，那么它也是一个定理，则这两个定理为定理。
微拨炉：高频考点1、三角形三边的关系【范例】（1）下列每组数分别表示三根木棒的长度，将它们首尾连接后，能摆成三角形的一组是（）A.1，2，6 B.2，2，4 C.1，2，3 D.2，3，4（2）一个三角形的三条边长分别为2，3，x ，则x 的值可以为 。
（只需填一个整数） 得分要领：三角形三边关系主要能解决以下问题：1.判断三条线段能否组成三角形在已知的三条线段中，如果较短的两条线段之和大于最长的第三条线段，那么这三条线段能组成一个三角形，否则不能组成一个三角形。
2.确定第三边的取值范围设三角形的两边长为)(,b a b a >，则第三边长c 必须满足条件：b a c b a +<<-。
由此便可确定第三边长的范围。
【考题回放】1.已知三角形的两边长分别是3和8，则该三角形第三边的长可能是（ ）A.5B.10C.11D.122.下列各组数可能是一个三角形的边长的是（ ）A.1，2，4B.4，5，9C.4，6，8D.5，5，113.有3cm ，6cm ，8cm ，9cm 的四条线段，任选其中的三条线段组成一个三角形，则最多能组成三角形的个数为（ ）A.1B.2C.3D.44.若等腰三角形的两条边长分别为7cm 和14cm ，则它的周长为 cm 。
《多边形的内角和与外角和》知识清单
《多边形的内角和与外角和》知识清单一、多边形的定义在平面内，由一些线段首尾顺次相接组成的封闭图形叫做多边形。
如果一个多边形有 n 条边，那么就称这个多边形为 n 边形。
比如，三角形就是有 3 条边的多边形，四边形就是有 4 条边的多边形，以此类推。
二、多边形的内角和1、三角形的内角和三角形的内角和是 180°。
这是一个基本且重要的定理，可以通过多种方法来证明，比如将三角形的三个角剪下来拼在一起，可以形成一个平角，也就是 180°。
2、四边形的内角和四边形可以分成两个三角形，因为三角形内角和是 180°，所以四边形的内角和是 360°。
3、 n 边形的内角和从 n 边形的一个顶点出发，可以引出（n 3）条对角线，将 n 边形分成（n 2）个三角形。
所以 n 边形的内角和为（n 2）×180°。
例如：五边形的内角和＝（5 2）×180°＝ 540°六边形的内角和＝（6 2）×180°＝ 720°三、多边形的外角和1、外角的定义多边形的一边与另一边的延长线所组成的角叫做多边形的外角。
2、外角和的定义在每个顶点处取一个外角，这些外角的和叫做多边形的外角和。
3、多边形外角和的性质任意多边形的外角和都为 360°。
不管是三角形、四边形还是 n 边形，它们的外角和始终是 360°。
例如，三角形的三个外角和为 360°，四边形的四个外角和也是 360°。
四、内角和与外角和的应用1、已知内角和求边数如果已知一个多边形的内角和，可以通过内角和公式（n 2）×180°来求出边数 n。
例如，一个多边形的内角和为1080°，则有（n 2）×180°＝1080°，解得 n ＝ 8，所以这个多边形是八边形。
2、已知边数求内角和如果已知多边形的边数 n，可以直接使用公式（n 2）×180°求出内角和。
多边形的内角和与外角和要点例析
多边形的内角和与外角和要点例析多边形的内角和与外角和是初中数学中常见的几何概念。
在这篇文章中，我们将对多边形的内角和与外角和进行详细讲解，并提供相关例题来帮助读者更好地理解这个概念。
1. 多边形的内角和多边形的内角和是指多边形内部所有角度的和。
对于一个n边形，它的内角和为 (n-2) × 180 度。
这个公式可以通过以下方法进行推导：将n边形划分为n-2个三角形，每个三角形的内角和为180度，因此n边形的内角和为(n-2) × 180度。
举例来说，一个三角形的内角和为180度，一个四边形的内角和为360度，一个五边形的内角和为540度，以此类推。
2. 多边形的外角和多边形的外角和是指多边形每个顶点处的角度之和。
对于任意n 边形，它的外角和恒为360度。
这个结论可以通过以下方法进行推导：以n边形的一个顶点为起点，依次连接该顶点和其他n-2个顶点，将n边形分解为n-2个三角形，每个三角形的外角和为360度，因此n边形的外角和为(n-2) × 180度。
又因为n边形的所有外角之和为360度，所以有(n-2) × 180度 = 360度，即n边形的外角和为360度。
3. 相关例题例题1：计算五边形ABCDE的内角和。
解：根据上述公式，五边形的内角和为(5-2) × 180度 = 540度。
例题2：计算六边形ABCDEF的外角和。
解：根据上述结论，六边形的外角和为360度。
例题3：已知四边形ABCD的一个内角为120度，求该四边形的内角和。
解：设四边形ABCD的内角和为x度，根据四边形内角和的公式，有x = (4-2) × 180度 = 360度。
又因为已知一个内角为120度，所以四边形的内角和为x = 360度，其中120度已经被计算在内。
以上是关于多边形内角和与外角和的要点例析。
通过理解这个概念和例题练习，读者可以更好地掌握多边形的几何知识。
中考数学 专题17 三角形与多边形(知识点串讲)(原卷版)
专题17 三角形与多边形考点总结【思维导图】【知识要点】知识点一三角形的概念三角形的概念：由不在同一条直线上的三条线段首尾依次相接所组成的图形叫做三角形。
三角形特性（1）三角形有三条线段（2）三条线段不在同一直线上三角形是封闭图形（3）首尾顺次相接三角形用符号“Δ”表示，顶点是A、B、C的三角形记作“ΔABC”，读作“三角形ABC”。
三角形按边分类：等腰三角形：有两条边相等的三角形叫做等腰三角形，其中相等的两条边叫做腰，另一边叫做底边，两腰的夹角叫做顶角，腰与底边的夹角叫做底角。
等边三角形：底边与腰相等的等腰三角形叫做等边三角形，即三边都相等。
三角形三边的关系（重点）（1）三角形的任意两边之和大于第三边。
三角形的任意两边之差小于第三边。
（这两个条件满足其中一个即可）用数学表达式表达就是：记三角形三边长分别是a，b，c，则a＋b＞c或c－b＜a。
（2）已知三角形两边的长度分别为a，b，求第三边长度的范围：|a－b|＜c＜a＋b考查题型一三角形的三边关系1．（2018·湖南中考真题）下列长度的三条线段，能组成三角形的是（）A．4cm，5cm，9cm B．8cm，8cm，15cm C．5cm，5cm，10cm D．6cm，7cm，14cm 2．（2018·湖南中考真题）已知三角形两边的长分别是3和7，则此三角形第三边的长可能是（）A．1 B．2 C．8 D．113．（2018·贵州中考真题）已知一个三角形的两边长分别为8和2，则这个三角形的第三边长可能是（）A．4 B．6 C．8 D．104．（2018·四川中考模拟）已知a、b、c是△ABC的三条边长，化简|a＋b－c|－|c－a－b|的结果为() A．2a＋2b－2c B．2a＋2b C．2c D．0三角形的分类：三角形按边的关系分类如下：不等边三角形三角形底和腰不相等的等腰三角形等腰三角形等边三角形三角形按角的关系分类如下：直角三角形（有一个角为直角的三角形）三角形锐角三角形（三个角都是锐角的三角形）钝角三角形（有一个角为钝角的三角形）1．（2018·湖南中考模拟）下列说法正确的是（）A．按角分类，三角形可以分为钝角三角形、锐角三角形和等腰直角三角形B．按边分类，三角形可分为等腰三角形、不等边三角形和等边三角形C．三角形的外角大于任何一个内角D．一个三角形中至少有一个内角不大于60°2．（2019·陕西中考模拟）等腰三角形两边长分别是2 cm和5 cm，则这个三角形周长是（）A．9 cm B．12 cm C．9 cm或12 cm D．14 cm三角形的稳定性➢三角形具有稳定性➢四边形及多边形不具有稳定性要使多边形具有稳定性，方法是将多边形分成多个三角形，这样多边形就具有稳定性了。
中考数学专题复习 三角形与多边形
第四章 三角形
第2节 三角形与多边形
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·理解三角形及其内角、外角、中线、高线、角平分线等概念，会按照边长的 关系和角的大小对三角形进行分类，了解三角形的稳定性．
·探索并证明三角形的内角和定理．掌握它的推论．证明三角形的任意两边之 和大于第三边．
·了解三角形重心的概念． ·探索并证明三角形的中位线定理． ·了解多边形的定义，多边形的定点、边、内角、外角、对角线等概念；探索 并掌握多边形内角和与外角和公式．
∴BF＝2BT＝2 3.
∵∠A F E ＝120°，∠A F B ＝∠A B F ＝30°，
∴∠B F E ＝90°.
∴S
△PE
F＝
S
△B EF
＝1·E 2
F
·BF
＝1×2×2 2
3＝2
外心 三角形三边垂直平分线的交点，外心到各顶点的距离相等.
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3．(1)下列说法错误的是( D ) A．三角形的内心是三角形内切圆的圆心 B．三角形的外心是三角形外接圆的圆心 C．三角形的重心到每个顶点的距离等于它到对边中点距离的 2 倍 D．等腰三角形的四心重合
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2．(1)如图，在△ABC 中，AE 是中线，AD 是∠BAC 的角平分线，AF ⊥BC 于点 F，∠B＝30°，∠C＝50°.
①BE＝ EC ； ②∠BAD＝ 50 °； ③∠DAF＝ 10 °； ④S△AEC ＝ S△ABE.(填“>”“＜”或“＝”)
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AD×BC×14.
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顶点连中点，倍长造全等 点 D 是 BC 的中点，延长 AD 到 E，使 AD＝DE，则有 点 D 为 BC 的中点，延长 ED △ACD≌△EBD，AC∥BE. 到点 F，使 DF＝ED，连接 CF，则有△BED≌△CFD.
多边形及其内角和知识点
多边形及其内角和知识点多边形是由线段组成的闭合图形，它拥有多个边和多个顶点。
多边形的内角和指的是多边形内部所有角的和。
首先，我们需要了解多边形的基本概念和性质。
1.多边形的定义：多边形是由一系列线段组成的闭合图形。
每条线段称为多边形的一条边，相邻两个边的交点称为多边形的一个顶点。
多边形至少有三条边和三个顶点。
2.多边形的性质：-每个顶点至少有两个邻接的边；-每个边至少有一个邻接的顶点；-每条边的两个端点都是相邻的顶点。
接下来，我们来探讨多边形的内角和的计算方法。
假设一个n边形的内角和为S。
从一个顶点出发，画一条射线，与相邻的两个边相交。
这样，一个n边形就被分成了n个三角形。
由三角形的内角和的性质可知，每个三角形的内角和为180°。
因此，n个三角形的内角和为n×180°。
但是我们需要注意的是，从同一个顶点出发的n个射线会有重叠的部分，即每个内角都重叠了两次。
因此，我们需要减去这些重叠的部分。
由于每个内角重叠了两次，重叠的部分的度数等于(n-2)×180°。
因此，最终的计算公式为：S=n×180°-(n-2)×180°简化后可得到：S=(n-2)×180°通过这个公式，我们可以方便地计算多边形的内角和。
举例来说，如果一个五边形的内角和是多少呢？根据公式S=(5-2)×180°=3×180°=540°所以，五边形的内角和为540°。
通过上面的例子，我们可以看出多边形的内角和的计算方法。
除了计算多边形内角和的方法，我们还可以根据多边形的性质来推导一些结论。
比如：1.任意n边形的内角和等于(n-2)×180°，这个结论适用于所有的多边形，无论是凸多边形还是凹多边形。
2.任意n边形的外角和等于360°。
外角是顶点的补角，即一个内角与相邻的外角之和等于180°。
多边形及其内角和知识点总结
多边形及其内角和知识点总结一、知识点1、多边形的定义：由在同一平面内，不在同一条直线上的若干条线段首尾顺次相接组成的图形叫做多边形。
2、多边形的分类：根据边数的不同，可以将多边形分为三角形、四边形、五边形、六边形等等。
3、多边形的内角：多边形的每个顶点与其相邻的两个顶点相连所形成的角称为该多边形的内角。
4、多边形的内角和公式：n边形的内角和为(n-2)×180°，其中n为多边形的边数。
5、多边形的外角：多边形的每个顶点与其相邻的两个顶点之间的夹角称为该多边形的外角。
6、多边形的外角和公式：多边形的外角和为360°，与多边形的边数无关。
7、勾股定理：在直角三角形中，勾股定理指出两个直角边的平方和等于斜边的平方。
二、重难点精析1、多边形的定义和分类是基础知识，需要理解并掌握不同类型多边形的特点。
2、多边形的内角和公式是重点，需要牢记并能够熟练运用该公式进行计算。
同时，也需要理解该公式的推导过程。
3、多边形的外角和公式是重点，需要理解并掌握该公式的应用。
同时，也需要掌握通过多边形的内角和公式和外角和公式之间的联系，进行计算和推导。
4、勾股定理是重点，需要理解并掌握其应用，特别是在解决与直角三角形相关的问题时。
5、对于一些复杂的多边形问题，需要掌握分解和组合的思想，将复杂的多边形分解为简单的三角形或四边形，从而解决问题。
6、在解决与角度制相关的问题时，需要注意角度制的计算方法和单位转换。
7、在解决与对称性相关的问题时，需要结合多边形的定义和性质进行思考和分析。
总之，对于八年级数学中的多边形及其内角和知识点，学生需要牢固掌握基础知识，理解公式的推导过程，熟练运用公式进行计算和推导，同时还需要灵活运用各种解题技巧和方法，才能够真正掌握该部分知识点的核心内容。
初中数学人教版 多边形的内角和17 人教版
把一个多边形分成几个 三角形，还有其他分法吗？ 由新的分法能得出多边形内 角和公式吗？
探索多边形的内角和多边形的边数 Nhomakorabea4
5
6… n
图形
以多边形任一边 上的一点为起点与各 顶点的连线的条数
上面的连线将多 边形分成的三角形个 数
多边形的内角和
2
3
3
4
360° 540°
… 4 … n-2 5 … n-1 720° …（n－1）·180°－180°
例2: 如图，在五边形的每个顶点处各 取一个外角，这些外角的和叫做五边形的外 角和，五边形的外角和等于多少？
解：
五边形外角和=5个平角－五边形内角和 =5×180°－(5－2)×180° =360°
如果将例2中五边形换为n边形（n的值是 不小于3的任意整数），可以得到相同结果吗？
解： n边形外角和=n个平角－n边形内角和 =n×180°－ (n－2) × 180° =360° 结论：n边形的外角和等于360°
和方面思考问题得到解决问题的方法。
课后作业
必做题：课本第85页 第4、5、6、7题
七年级数学与三角形有关的角、多边形及其内角和全国通用
初一数学与三角形有关的角、多边形及其内角和全国通用【本讲主要内容】与三角形有关的角、多边形及其内角和包括三角形的内角和，外角的性质及多边形的内角和，外角和【知识掌握】 【知识点精析】1. 三角形的一边与另一边的延长线组成的角，叫做三角形的外角。
2. 在平面内，由一些线段首尾顺次相接组成的图形叫做多边形。
连接多边形不相邻的两个顶点的线段，叫做多边形的对角线。
3. 四边形都在任何一条边所在直线的同一侧，这样的四边形叫做凸四边形。
4. 三角形的内角和等于180° n 边形的内角和等于（）n -⋅21805. 三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和； 三角形的一个外角大于与它不相邻的任何一个内角。
6. 多边形的外角和等于360°【解题方法指导】例1. 图中的EF 是一条直线，∠ACF ＝140°，∠A ＝80°，求∠1的度数。
A80°1 140° E B C F分析：由∠ACF ＝140°，∠BCF 是一个平角，所以∠ACB ＝40°，而∠1是△ABC 的一个外角，则∠1＝∠A+∠ACB ＝120°。
换一种思路，先由∠ACF ＝∠A+∠ABC ，可先求出∠ABC 的度数，由∠1与∠ABC 互补，求出∠1的度数。
解：∵EF 是一条直线∴∠ACB+∠ACF＝180°（平角定义）∵∠ACF=140°，∴∠ACB＝180°－140°＝40°∵∠1＝∠A+∠ACB（三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和）∴∠1＝80°+ 40°＝120°评析：当题目中出现直线时，即能够出现平角，又能够出现三角形的外角。
例2. 已知，如图表示一个五角星，求∠A+∠B+∠C+∠D+∠E的度数。
AF GB EC D分析：如果考虑∠A、∠B、∠C、∠D、∠E分别属于五个三角形，这样便走了弯路。
初中数学三角形的内角和及多边形内外角和(教师版)八年级上同步精品讲义(人教版)
第03课三角形的内角和及多边形内外角和课程标准课标解读1．会用不同的方法证明三角形的内角和定理．2．能应用三角形内角和定理解决一些简单的问题．1.掌握三角形内角和定理的应用．2.掌握三角形内角和定理的证明．知识点01 三角形的内角（1）定义：三角形中相邻两边组成的角，叫做三角形的内角.（2）三角形内角和定理：三角形三个内角的和等于180°定理证明：三角形内角和是180°；证明：如图，延长BC到D，过点C作CE∥AB，∵CE∥AB,∴1A（两直线平行，内错角相等），2B（两直线平行，同位角相等）∵12180ACB,∴180A B ACB,∴180A B ACB（等量代换）；（3）三角形内角和定理的作用：①在三角形中已知任意两个角的度数可以求出第三个角的度数；②已知三角形三个内角的关系，可以求出其内角度数；目标导航知识精讲③求一个三角形中各角之间的关系.知识点02 三角形的外角（1）定义：三角形的一边与另一边的延长线组成的角，叫做三角形的外角. 三角形的外角和为360°. （2）特点：①外角的顶点在三角形的一个顶点上；②外角的一条边是三角形的一边；③外角的另一条边是三角形某条边的反向延长线.（3）性质：①三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和.②三角形的一个外角大于（大于，等于或小于）与它不相邻的任何一个内角.知识点03 多边形（一）多边形的定义：在平面内，由一些线段首尾顺次相接组成的图形叫做多边形.各个角都相等，各条边都相等的多边形叫做正多边形；注意：各个角都相等、各条边都相等是正多边形的必备条件，二者缺一不可.如四条边都相等的四边形不一定是正方形，四个角都相等的四边形也不一定是正方形，只有满足四边都相等且四个角都相等的四边形才是正方形.（二）多边形的对角线：连接多边形不相邻的两个顶点的线段，叫做多边形的对角线.从n边形的一个顶点出发，可以画(n-3)条对角线，n边形一共有(3)2n n条对角线.（三）多边形的内角和公式：n边形的内角和为180(2)n；内角和公式的应用：（1）已知多边形的边数，求其内角和；（2）已知多边形内角和，求其边数.（四）多边形的外角和定理：多边形的外角和等于360°.外角和定理的应用：（1）已知外角度数，求正多边形边数；（2）已知正多边形边数，求外角度数.知识点知识点04 镶嵌（一）平面镶嵌的定义：用一些不重叠摆放的多边形把平面的一部分完全覆盖，叫做多边形覆盖平面（或平面镶嵌）.（二）镶嵌的条件：当围绕一点拼在一起的几个多边形的内角加在一起恰好组成一个周角时，就能拼成一个平面图形.考法01 三角形的内角与外角【典例1】若三角形的一个角是另一个角的6倍，而这两个角的和比第三个角大44°，则此三角形的最大角是______.【答案】96°.设这个三角形其中一个内角的度数为x，则另一个角的度数为6x，第三个内角的度数为180°-x-6x=180°-7x，根据题意可得x+6x-(180°-7x)=44°，解得x=16°，则6x=6×16°=96°，180°-7x=180°-7×16°=68°，所以此三角形的最大角是96°.故填：96°.【典例2】如图，∠1，∠2，∠3的大小关系是_____．【答案】∠1＜∠2＜∠3【分析】根据三角形外角的性质判断出∠1与∠2的大小，再判断出∠2与∠3的大小即可．能力拓展【详解】解：如图，∵∠2是△ABD 的外角，∴∠2＞∠1，同理，∵∠3是△BCD 的外角，∴∠3＞∠2，∴∠1＜∠2＜∠3．故答案为∠1＜∠2＜∠3．【点睛】本题考查的是三角形外角的性质，即三角形的外角大于任何一个与之不相邻的内角．【典例3】如图，AB CD ∥，75B ︒∠=，27E ︒∠=，则D ∠的度数为（ ）A ．45︒B ．48︒C ．50︒D ．58︒【答案】B【分析】 根据平行线的性质解答即可．【详解】解：AB CD ∥，1B ∴∠=∠，1D E∠=∠+∠，∴∠=∠-∠=-=，D B E︒︒︒752748故选B．【点睛】本题考查平行线的性质，关键是根据平行线的性质解答．考法02 多边形内外交和及镶嵌【典例4】已知一个多边形的内角和等于900º，则这个多边形是（）A．五边形B．六边形C．七边形D．八边形【答案】C【详解】试题分析：多边形的内角和公式为（n－2）×180°，根据题意可得：（n－2）×180°=900°，解得：n=7．考点：多边形的内角和定理．【典例5】已知正多边形的一个外角为36°，则该正多边形的边数为( ).A．12B．10C．8D．6【答案】B【分析】利用多边形的外角和是360°，正多边形的每个外角都是36°，即可求出答案．【详解】解：360°÷36°＝10，所以这个正多边形是正十边形．故选B．【点睛】本题主要考查了多边形的外角和定理．是需要识记的内容．分层提分题组A 基础过关练1．在△ABC中，6∠A=3∠B=2∠C，则△ABC是（）A．锐角三角形B．直角三角形C．钝角三角形D．无法确定【答案】B【分析】设∠C=x，则∠B=23x，∠A=13x，再根据三角形内角和定理列方程求出x的值即可．【详解】解：∵在△ABC中，6∠A=3∠B=2∠C，∴设∠C=x，则∠B=23x，∠A=13x，∵∠A+∠B+∠C=180°，即x+23x+13x=180°，解得x=90°，∴∠A=30°，∠B=60°，∠C=90°．∴△ABC是直角三角形，故选B．【点睛】本题考查的是三角形内角和定理，熟知三角形的内角和等于180°是解答此题的关键．2．如图，在△ABC中，∠C=90°，点D在AC上，DE∥AB，若∠CDE=165°，则∠B的度数为（）A．15°B．55°C．65°D．75°【答案】D【分析】根据邻补角定义可得∠ADE=15°，由平行线的性质可得∠A=∠ADE=15°，再根据三角形内角和定理即可求得∠B=75°．【详解】解：∵∠CDE=165°，∴∠ADE=15°，∵DE∥AB，∴∠A=∠ADE=15°，∴∠B=180°﹣∠C﹣∠A=180°﹣90°﹣15°=75°，故选D．【点睛】本题考查了平行线的性质、三角形内角和定理等，熟练掌握平行线的性质以及三角形内角和定理是解题的关键．3．正六边形的一个内角是正n边形一个外角的4倍，则n _________．【答案】12【分析】先根据外角和定理求出正六边形的外角为60°，进而得到其内角为120°，再求出正n边形的外角为30°，再根据外角和定理即可求解．【详解】解：由多边形的外角和定理可知，正六边形的外角为：360°÷6=60°，故正六边形的内角为180°-60°=120°，又正六边形的一个内角是正n边形一个外角的4倍，∴正n边形的外角为30°，∴正n边形的边数为：360°÷30°=12．故答案为：12．【点睛】本题考查了正多边形的外角与内角的知识，熟练掌握正多边形的内角和和外角和定理是解决此类题目的关键．4．下列条件中，能判定△ABC为直角三角形的是（）．A．∠A=2∠B-3∠C B．∠A+∠B=2∠C C．∠A-∠B=30°D．∠A=12∠B=13∠C【答案】D【分析】根据三角形内角和定理和各选项中的条件计算出△ABC的内角，然后根据直角三角形的判定方法进行判断．【详解】解：A、∠A+∠B+∠C=180°，而∠A=2∠B=3∠C，则∠A=108011°，所以A选项错误；B、∠A+∠B+∠C=180°，而∠A+∠B=2∠C，则∠C=60°，不能确定△ABC为直角三角形，所以B选项错误；C、∠A+∠B+∠C=180°，而∠A=∠B=30°，则∠C=150°，所以B选项错误；D、∠A+∠B+∠C=180°，而∠A=12∠B=13∠C，则∠C=90°，所以D选项正确．故选：D．【点睛】此题考查三角形内角和定理，直角三角形的定义，解题关键在于掌握三角形内角和是180°．5．如图，点D在△ABC内，且∠BDC=120°，∠1+∠2=55°，则∠A的度数为（）A．50°B．60°C．65°D．75°【答案】C【分析】根据三角形的内角和即可求出.【详解】在△BCD中，∠BDC=120°，∴∠DBC+∠DCB=180°-∠BDC=60°，∵∠1+∠2=55°，∴∠ABC+∠ACB=∠1+∠2+∠DBC+∠DCB=115°，∴∠A=180°-（∠ABC+∠ACB）=65°.故选C.【点睛】此题主要考查三角形的内角和，解题的关键是熟知三角形的内角和的性质.6．正十边形的外角和为（）A．180°B．360°C．720°D．1440°【答案】B【分析】根据多边的外角和定理进行选择．【详解】解：因为任意多边形的外角和都等于360°，所以正十边形的外角和等于360°，．故选B．【点睛】本题考查了多边形外角和定理，关键是熟记：多边形的外角和等于360度．7．如图，小明从点A出发沿直线前进10米到达点B，向左转45︒后又沿直线前进10米到达点C，再向左转45︒后沿直线前进10米到达点D……照这样走下去，小明第一次回到出发点A时所走的路程为（）A．100米B．80米C．60米D．40米【答案】B【分析】根据题意，小明走过的路程是正多边形，先用360°除以45°求出边数，然后再乘以10米即可．【详解】解：∵小明每次都是沿直线前进10米后再向左转45︒，∴他走过的图形是正多边形，边数n=360°÷45°=8，∴小明第一次回到出发点A时所走的路程=8×10=80米．故选：B．【点睛】本题考查了正多边形外角问题的实际应用，根据题意判断小明走过的图形是正多边形是解题的关键．8．若正多边形的一个外角是60︒，则该正多边形的内角和为（）A．360︒B．540︒C．720︒D．900︒【答案】C【分析】根据正多边形的外角度数求出多边形的边数，根据多边形的内角和公式即可求出多边形的内角和.【详解】由题意，正多边形的边数为360660n︒==︒，其内角和为()2180720n-⋅︒=︒．故选C.【点睛】考查多边形的内角和与外角和公式，熟练掌握公式是解题的关键.题组B 能力提升练1．在ABC 中，若一个内角等于另外两个角的差，则（ ）A ．必有一个角等于30B ．必有一个角等于45︒C ．必有一个角等于60︒D ．必有一个角等于90︒ 【答案】D【分析】先设三角形的两个内角分别为x ，y ，则可得(180°－x －y)，再分三种情况讨论，即可得到答案.【详解】设三角形的一个内角为x ，另一个角为y ，则三个角为(180°－x －y)，则有三种情况： ①(180)9090x y x y y x y =-︒--⇒=+=或 ②(180)9090y x x y x x y =---⇒=+=或 ③(180)9090x y x y x y --=-⇒==或综上所述，必有一个角等于90°故选D.【点睛】本题考查三角形内角和的性质，解题的关键是熟练掌握三角形内角和的性质，分情况讨论. 2．在△ABC 中，∠B 、∠C 的平分线相交于点P ，设∠A=x°，用x 的代数式表示∠BPC 的度数，正确的是( ) A ．90+12x B ．90-12x C ．90+2x D ．90+x【答案】A【解析】分析：根据三角形内角和定理可求得∠ABC+∠ACB 的度数，再根据角平分线的定义可求得∠PBC+∠PCB 的度数，最后根据三角形内角和定理即可求解．详解：如图：∵∠A=x°，∴∠ABC+∠ACB=180°−x°，∵∠B，∠C的平分线相交于点P，∴∠PBC+∠PCB=12(180°−x°)，∴∠BPC=180°−12(180°−x°)=90°+12x°，故选A.点睛：本题考查了三角形内角和定理.3．如图，∠1+∠2+∠3+∠4+∠5+∠6+∠7=()A．180°B．360°C．540°D．720°【答案】C【分析】根据三角形的内角和与四边形的内角和公式得∵∠1+∠2+γ=180°①，∠3+∠4+β+θ=360°②，∠5+∠6+∠7+α=360°③，三式相加，再由邻补角的性质即可得出答案．【详解】解：如图，∵∠1+∠2+γ=180°①，∠3+∠4+β+θ=360°②，∠5+∠6+∠7+α=360°③，∴①+②+③得，∠1+∠2+∠3+∠4+∠5+∠6+∠7+α+β+γ+θ=900°，∵α+β=180°，γ+θ=180°，∴∠1+∠2+∠3+∠4+∠5+∠6+∠7，=900°-180°-180°，=540°．故答案为：C【点睛】本题考查了多边形的内角和与外角和以及三角形外角的性质，是基础知识要熟练掌握．4．如图，把△ABC纸片沿DE折叠，当点A落在四边形BCDE内部时，则∠A与∠1+∠2之间有一种数量关系始终保持不变．请试着找一找这个规律，你发现的规律是（）A．∠A=∠1+∠2B．2∠A=∠1+∠2C．3∠A=2∠1+∠2D．3∠A=2（∠1+∠2）【答案】B【分析】根据四边形的内角和为360°、平角的定义及翻折的性质，就可求出2∠A=∠1+∠2这一始终保持不变的性质．【详解】∵在四边形ADA′E中，∠A+∠A′+∠ADA′+∠AEA′=360°，则2∠A+(180°-∠2)+(180°-∠1)=360°，∴可得2∠A=∠1+∠2．故选B【点睛】本题主要考查四边形的内角和及翻折的性质特点，解决本题的关键是熟记翻折的性质．5．如图，在△ABC中，∠C＝70º，沿图中虚线截去∠C，则∠1＋∠2＝（）A．360ºB．250ºC．180ºD．140º【答案】B【分析】【分析】根据三角形内角和定理得出∠A+∠B=110°，进而利用四边形内角和定理得出答案．【详解】∵△ABC 中，∠C=70°，∴∠A+∠B=180°-∠C =110°，∴∠1+∠2=360°-110°=250°，故选B ．【点睛】本题主要考查了多边形内角和定理，根据题意得出∠A+∠B 的度数是解题关键.【详解】请在此输入详解！6．如图，BP 是△ABC 中∠ABC 的平分线，CP 是∠ACB 的外角的平分线，如果∠ABP=20°，∠ACP=50°，则∠P=______°．【答案】30【分析】根据角平分线的定义可得∠PBC=20°，∠PCM=50°，根据三角形外角性质即可求出∠P 的度数.【详解】∵BP 是∠ABC 的平分线，CP 是∠ACM 的平分线，∠ABP=20°，∠ACP=50°，∴∠PBC=20°，∠PCM=50°，∵∠PBC+∠P=∠PCM ，∴∠P=∠PCM -∠PBC=50°-20°=30°，故答案为30【点睛】本题考查及角平分线的定义及三角形外角性质，三角形的外角等于和它不相邻的两个内角的和，熟练掌握三角形外角性质是解题关键.7．一个多边形，除了一个内角外，其余各角的和为3000°，则内角和是______．【答案】3060【分析】设这个多边形是n 边形，剩余的内角度数为x ，根据题意得(2)1803000n x -⨯=+变形 为18016(120)2180x n ⨯++-=，由n 是正整数，0180x <<求出x 的值即可得到答案． 【详解】 设这个多边形是n 边形，剩余的内角度数为x ，由题意得(2)1803000n x -⨯=+∴18016(120)2180x n ⨯++-=， ∵n 是正整数，0180x <<，∴x=60，∴这个多边形的内角和为3060，故答案为：3060．【点睛】此题考查多边形的内角和公式，多边形内角大于0度小于180度的性质，熟记多边形的内角和公式是解题的关键．8．如图钢架中，焊上等长的13根钢条来加固钢架，若AP 1=P 1P 2=P 2P 3=…=P 13P 14=P 14A ，则∠A 的度数是__【答案】12°．【解析】设∠A=x ，∵AP 1=P 1P 2=P 2P 3=…=P 13P 14=P 14A ，∴∠A=∠AP 2P 1=∠AP 13P 14=x ．∴∠P 2P 1P 3=∠P 13P 14P 12=2x ，∠P 2P 3P 4=∠P 13P 12P 10=3x ，……，∠P 7P 6P 8=∠P 8P 9P 7=7x ．∴∠AP 7P 8=7x ，∠AP 8P 7=7x ．在△AP7P8中，∠A+∠AP7P8+∠AP8P7=180°，即x+7x+7x=180°．解得x=12°，即∠A=12°．9．如图，求∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F的大小．【答案】360°【分析】首先连接AD，构造出我们熟悉的四边形ABGD去计算多角的和，本题为6个角相加，可以把其中的∠E和∠F通过等量代换转化成与四边形四边形的内角有关联的角，再通过四边形内角和可得到.【详解】解：连结AD，如图，在△EFG中，∠E+∠F+∠EGF=180°，在△ADG中，∠1+∠2+∠AGD=180°，∵∠EGF=∠AGD，∴∠E+∠F=∠1+∠2，∴∠A+ ∠B+ ∠C+ ∠D+ ∠E+∠F，=∠BAF+∠B+ ∠C +∠CDE+ ∠1+ ∠2，=∠BAD+ ∠B+ ∠C +∠CDA，=360°.【点睛】本题解题关键，当出现多个角求和时，可以通过等量代换找到我们熟悉的三角形，四边形的内角和进行计算.题组C 培优拔尖练1．一个多边形截去一个角后，形成另一个多边形的内角和为720°，那么原多边形的边数为（）A．5B．5或6C．5或7D．5或6或7【答案】D【详解】试题分析：根据内角和为720°可得：多边形的边数为六边形，则原多边形的边数为5或6或7.考点：多边形的内角和2．小明同学在用计算器计算某n边形的内角和时，不小心多输入一个内角，得到和为2016°，则n等于（）A．11B．12C．13D．14【答案】C【详解】解：根据多边形的内角和公式（n-2）×180°，可以求得n=13.2，由于多加的是内角，所以多加的角为小于180°的角，所以去掉小数部分就是n边形的边数．故选C3．如图，一个等边三角形纸片，剪去一个角后得到一个四边形，则图中∠α+∠β的度数是（）A．180B．220C．240D．300【答案】C【分析】本题可先根据等边三角形顶角的度数求出两底角的度数和，然后在四边形中根据四边形的内角和为360°，求出∠α+∠β的度数．【详解】∵等边三角形的顶角为60°，∴两底角和=180°-60°=120°；∴∠α+∠β=360°-120°=240°；故选C ．【点睛】本题综合考查等边三角形的性质及三角形内角和为180°，四边形的内角和是360°等知识，难度不大，属于基础题.4．一个多边形除一个内角外其余内角和为1510°，则这个多边形共有对角线_________条．【答案】44【分析】设出题中所给的两个未知数，利用内角和公式列出相应等式，根据边数为整数求解即可，再进一步代入多边形的对角线计算方法()32n n -即可． 【详解】设这个内角度数为x°，边数为n ，∴（n -2）×180-x=1510，180n=1870+x=1800+（70+x ）， n=10+70+180x ∵n 为正整数，∴n=11， ∴11111-32⨯⨯（）=44， 故答案为：44．【点睛】此题考查多边形的内角和计算公式以及多边形的对角线条数的计算方法，属于需要识记的知识． 5．阅读下列材料：情形展示：情形一：如图①，在ABC 中，沿等腰三角形ABC 的顶角BAC ∠的平分线1AB 折叠，若点B 与点C 重合，则称BAC ∠是ABC 的“好角”，如图②，在ABC 中，先沿BAC ∠的平分线1AB 折叠，剪掉重复部分，再将余下部分沿11B AC ∠的平分线12A B 折叠，若点1B 与点C 重合，则称BAC ∠是ABC 的“好角”． 情形二：如图③，在ABC 中，先沿BAC ∠的平分线1AB 折叠，剪掉重复部分，再将余下部分沿11B AC ∠的平分线11A B 折叠，剪掉重复部分⋯重复折叠n 次，最终若点1n B -与点C 重合，则称BAC ∠是ABC 的“好角”，探究发现：(不妨设)B C ∠≥∠()1如图①，若BAC ∠是ABC 的“好角”，则B 与C ∠的数量关系是：______． ()2如图②，若BAC ∠是ABC 的“好角”，则B 与C ∠的数量关系是：______． ()3如图③，若BAC ∠是ABC 的“好角”，则B 与C ∠的数量关系是：______．应用提升： ()4如果一个三角形的三个角分别为15，60，105，我们发现60和105的两个角都是此三角形的“好角”；如果有一个三角形，它的三个角均是此三角形的“好角”，且已知最小的角是12，求另外两个角的度数．【答案】（1）B C ∠=∠； （2）2B C ∠=∠； （3）∠=∠B n C ；（4）该三角形的另外两个角的度数分别为：12︒，156︒或24︒，144︒或84°，84°.【分析】（1）由根据题意可知，B 与C ∠重合，即B C ∠=∠；（2）根据题意得11B AA B ∠=∠，11A B C C ∠=∠，因为11112AA B C A B C C ∠=∠+∠=∠，所以2B C ∠=∠； （3）根据上面结论可知：当BAC ∠是“好角”，折叠的次数就是∠B 为∠C 的倍数，即∠=∠B n C ；（4）由题意可知，三角形的另外两个角都是12°倍数，则可设另两角分别为12m ︒，12mn ︒，根据三角形的内角和定理分情况求出m ，n 的值即可.【详解】()1如图1中，BAC ∠是ABC 的“好角”， B ∴∠与C ∠重合，B C ∴∠=∠， 故答案为B C ∠=∠；()2如图2中，沿BAC ∠的平分线1AB 折叠，11B AA B ∴∠=∠， 又将余下部分沿11B AC ∠的平分线A 1B 2折叠，此时点1B 与点C 重合，11A B C C ∴∠=∠；11112(AA B C A B C C ∠=∠+∠=∠外角定理)，2B C ∴∠=∠；故答案为2B C ∠=∠；()3根据上面结论可知：当1次折叠时，BAC ∠是“好角”，则有B C ∠=∠，当2次折叠时，BAC ∠是“好角”，则有2B C ∠=∠，当3次折叠时，BAC ∠是“好角”，则有3∠=∠B C ，⋯当n 次折叠时，BAC ∠是“好角”，则有∠=∠B n C ，故答案为∠=∠B n C ．()4因为最小角是12︒是ABC 的好角，根据好角定义，则可设另两角分别为12m ︒，12mn ︒（其中m 、n 都是正整数），由题意，得121212180m mn ++=，∴()114m n +=，∵m 、n 都是正整数，所以m 与1n +是14的整数因子，∴1m =，114n +=，或2m =，17n +=，即1m =，13n =，或2m =，6n =，或m=7，n=1，∴1212m =︒，12156mn =︒，或1224m =︒，12144mn =︒或1284m =︒，1284mn =︒， 则该三角形的另外两个角的度数分别为：12︒，156︒或24︒，144︒或84°，84°.6．阅读材料：如图1，AB、CD交于点O，我们把△AOD和△BOC叫做对顶三角形．结论：若△AOD和△BOC是对顶三角形，则∠A+∠D＝∠B+∠C．结论应用举例：如图2：求五角星的五个内角之和，即∠A+∠B+∠ACE+∠ADB+∠E的度数．解：连接CD，由对顶三角形的性质得：∠B+∠E＝∠1+∠2，在△ACD中，∵∠A+∠ACD+∠ADC＝180°，即∠A+∠3+∠1+∠2+∠4＝180°，∴∠A+∠ACE+∠B+∠E+ADB＝180°即五角星的五个内角之和为180°．解决问题：（1）如图①，∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F＝；（2）如图②，∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F+∠G＝；（3）如图③，∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F+∠G+∠H＝；（4）如图④，∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F+∠G+∠H+∠M+∠N＝；请你从图③或图④中任选一个，写出你的计算过程．【答案】（1）360°；（2）540°；（3）720°；（4）1080°；过程见解析【分析】（1）连接CD，由对顶角三角形可得∠A＋∠B＝∠BDC＋∠ACD，再由四边形的内角和定理得出结论；（2）连接ED，由对顶角三角形可得∠A＋∠B＝∠BED＋∠ADE，再由五边形的内角和定理得出结论；（3）连接BH、DE，由对顶角三角形可知∠EBH＋∠BHD＝∠HDE＋∠BED，再根据五边形的内角和定理得出结论；（4）连接ND 、NE ，由对顶角三角形可知∠1＋∠2＝∠NGH ＋∠EHG ，再由六边形的内角和定理得出结论．【详解】解：（1）连接CD ，由对顶角三角形可得∠A ＋∠B ＝∠BDC ＋∠ACD ，则∠A ＋∠B ＋∠C ＋∠D ＋∠E ＋∠F ＝360°；（2）连接ED ，由对顶角三角形可得∠A ＋∠B ＝∠BED ＋∠ADE ，则∠A ＋∠B ＋∠C ＋∠D ＋∠E ＋∠F ＋∠G ＝540°；（3）连接BH 、DE ，∵由对顶角三角形可知∠EBH ＋∠BHD ＝∠HDE ＋∠BED ，∴∠A ＋∠B ＋∠C ＋∠D ＋∠E ＋∠F ＋∠G ＋∠H ＝五边形CDEFG 的内角和＋△ABH 的内角和＝540°＋180°＝720°；（4）连接ND 、NE ，∵由对顶角三角形可知∠1＋∠2＝∠NGH ＋∠EHG ，∴∠A ＋∠B ＋∠C ＋∠D ＋∠E ＋∠F ＋∠G ＋∠H ＋∠M ＋∠N ＝六边形BCFGHM 的内角和＋△AND 的内角和＋△NDE 的内角和＝（6－2）×180°＋360°＝1080°．故答案为：360°；540°；720°；1080°．【点睛】本题考查的是三角形内角和定理，根据题意作出辅助线，利用△AOD 和△BOC 叫做对顶三角形的性质及多边形的内角和定理解答是解答此题的关键．7．如图1，将△ABC 纸片沿DE 折叠，使点C 落在四边形ABDE 内点C ’的位置，（1）①若00120,250∠=∠=，则C ∠= ；②若042C ∠=，则12∠+∠= ；③探索C ∠ 、1∠与2∠之间的数量关系，并说明理由；（2）直接按照所得结论，填空：①如图中，将△ABC 纸片再沿FG 、MN 折叠，使点A 、B 分别落在△ABC 内点A ’、B ’的位置，则123456∠+∠+∠+∠+∠+∠= ；②如图中，将四边形ABCD 按照上面方式折叠，则128∠+∠++∠= ； ③若将n 边形123n A A A A 也按照上面方式折叠，则122n ∠+∠++∠= ； （3）如图，将△ABC 纸片沿DE 折叠，使点C 落在△ABC 边AC 上方点'C 的位置， 探索C ∠、1∠与2∠之间的数量关系，并说明理由.【答案】（1）①35︒；②84︒；③212C=+∠∠∠；（2）①360︒；②720︒；③3602(n )︒-；（3）221C=∠∠-∠【分析】（1）①由邻补角的定义可知∠CEC′=160°，∠CDC′=130°，根据折叠的性质可求出∠CED=80°，∠CDE=65°,然后根据三角形内角和定理求解即可；②由三角形内角和可求出∠CED+∠CDE=138°,再由折叠的性质可知∠CEC′+∠CDC′=276°，然后根据邻补角的定义可求出12∠+∠=84°；③由邻补角定义可知1+'=180CEC ∠∠︒，从而2+'=180CDC ∠∠︒，所以，∠1+ ∠CEC′+ ∠2+ ∠CDC′=360 °，结合+'+'+'=360C CEC C CDC ∠∠∠∠︒，可求出2=1+2C ∠∠∠；（2）① 由（1）得12∠∠+=2∠C ，34∠+∠=2∠B ，56∠+∠=2∠A ，从而123456∠+∠+∠+∠+∠+∠=2(∠A+∠B +∠C)，结合三角形内角和求解即可；②由①可知，128∠+∠++∠= 2(∠A+∠B +∠C+∠D)，结合四边形内角和求解即可; ③由①可知，()()122218023602n n n ∠+∠++∠=⨯︒⨯-=︒⨯- ；（3）由外角的性质可知∠2=∠3+∠C ，∠3=∠1+∠C ，整理可得2=21C ∠∠-∠.【详解】解：（1）①∵00120,250∠=∠=，∴∠CEC′=160°，∠CDC′=130°，∵ ∠CED=80°，∠CDE=65°,∴∠C= 180°-80°-65°=35°；②∵042C ∠=，∴ ∠CED+∠CDE=180°-42°=138°,∴∠CEC′+∠CDC′=276°，∴12∠+∠=360°-276°=84°；③2=1+2C ∠∠∠，因为1+'=180CEC ∠∠︒，2+'=180CDC ∠∠︒，所以1+'+2+'=360CEC CDC ∠∠∠∠︒，因为在四边形'CEC D 中，+'+'+'=360C CEC C CDC ∠∠∠∠︒，所以1+2=+'C C ∠∠∠∠，因为='C C ∠∠，所以2=1+2C ∠∠∠.（2）① 由①得 12∠∠+=2∠C ，34∠+∠=2∠B ，56∠+∠=2∠A ，∴123456∠+∠+∠+∠+∠+∠=2(∠A+∠B +∠C)=360°;②∵12∠∠+=2∠C ，34∠+∠=2∠B ，56∠+∠=2∠A ，78∠+∠=2∠D ，∴128∠+∠++∠= 2(∠A+∠B +∠C+∠D)=2×360°=720°;③∵n 边形内角和是()1802n ︒⨯-，∴()()122218023602n n n ∠+∠++∠=⨯︒⨯-=︒⨯- ；（3）2=21C ∠∠-∠.∵∠2=∠3+∠C ，∠3=∠1+∠'C =∠1+∠C ，∴∠2=∠1+∠C +∠C=∠1+2∠C ，∴2=21C ∠∠-∠.【点睛】本题考查了折叠性质，三角形内角和定理，多边形的内角和定理，三角形外角的性质及图形类的规律与探究.熟练掌握折叠的性质和三角形内角和定理是解（1）的关键，利用（1）中规律是解（2）的关键，熟练掌握三角形外角的性质是解（3）的关键.。
北京市第四中学2017届中考数学冲刺复习 三角形03 多边形及其内角和(无答案)
多边形及其内角和1、多边形的概念在平面内，由一些线段首尾顺次相接组成的图形叫做多边形.2、多边形的内角和n边形：从一个顶点出发的对角线有（n-3）条，它们把n边形分成（n-2）个三角形，因此n边形的内角和为（n-2）· 180 °.在n边形内部任取一点O，连接OA1、 OA2、 OA3、…、OA n，把n边形分成n个三角形，则n边形的内角和为()⋅-=-⋅n n1803602180练习：求下列图中的x的值.n边形的对角线：条n边形从每一个顶点出发的对角线有条.3、多边形的外角和分析：（1）任何一个外角与它相邻的内角有什么关系？（2）五边形的5个外角加上与它们相邻的内角，所得总和是多少？（3）上述总和与五边形的内角和、外角和有什么关系？518052180_____?⋅--⋅=结论：五边形的外角和为n边形的内角和、外角和有什么关系？()⋅--⋅=1802180_____n n结论：n边形的外角和为如何理解：从多边形的一个顶点A出发，沿多边形的各边走过各顶点，再回到点A，然后转向出发时的方向.在行程中所转的各个角的和，就是多边形的外角和，由于走了一周，因此所转的各个角的和等于一个周角.例1、（1）一个多边形的内角和是540º，那么这个多边形的对角线的条数是 .（2）已知一个多边形的内角和与外角和共2160º，则这个多边形的边数是.例2、（1）一个凸多边形的内角和与它的一个外角的和为2005º，求多边形的边数。
（2）如果一个凸多边形，除了一个内角以外，其它内角的和为2570°，求这个没有计算在内的内角的度数.例3、若多边形最多有四个钝角，那么此多边形的边数最多是______.例4、(1)如图1，则∠A＋∠B＋∠C＋∠D＋∠E＋∠F= .(2)如图2，则∠A＋∠B＋∠C＋∠D＋∠E＋∠F= .2例5、(1)如图，则∠A＋∠B＋∠C＋∠D＋∠E = .（2）如图1，则∠A＋∠B＋∠C＋∠D＋∠E＋∠F= . （3）如图2，则∠A＋∠B＋∠C＋∠D＋∠E＋∠F+ ∠ G= .小结：1、n边形内角和： .2、n边形外角和： .3、n边形从每一个顶点出发的对角线有条.n边形的对角线共有条.4、关注“8字形”和“燕尾形”的应用。
《初中数学》3多边形及其内角和
多边形及其内角和知识集结知识元多边形的认识知识讲解1、多边形的概念（1）多边形的概念：在平面内，由一些线段首尾顺次相接组成的图形叫做多边形；（2）正多边形的概念：各个角都相等，各条边都相等的多边形叫做正多边形．2、多边形的分类多边形可分为凸多边形和凹多边形，辨别凸多边形可用两种方法：①画多边形任何一边所在的直线整个多边形都在此直线的同一侧；②每个内角的度数均小于180°，通常所说的多边形指凸多边形．例题精讲多边形的认识例1.下列图形中，是正多边形的是（）A．等腰三角形B．长方形C．正方形D．五边都相等的五边形例2.下列图中不是凸多边形的是（）C．D．A．B．多边形的对角线及其稳定性知识讲解3.多边形的对角线1.定义：连接多边形不相邻的两个顶点的线段，叫做多边形的对角线．2.多边形条数的计算：n边形从一个顶点出发可引出（n﹣3）条对角线．从n个顶点出发引出（n﹣3）条，而每条重复一次，所以n边形对角线的总条数为：（n≥3，且n为整数）.例题精讲多边形的对角线及其稳定性例1.要使一个五边形具有稳定性，则需至少添加（）条对角线．A．1B．2C．3D．4例2.若从多边形的一个顶点可以引出七条对角线，则这个多边形是（）A．七边形B．八边形C．九边形D．十边形例3.六边形的对角线的条数是（）A．7B．8C．9D．10多边形切角问题求边知识讲解在处理切多边形的角的问题时，一定要注意辨别切的方法，切的线通过顶点和通过边，得到的新的多边形的边数是不一样的，注意分类讨论.例题精讲多边形切角问题求边例1.若一个多边形截去一个角后，变成六边形，则原来多边形的边数可能是．例2.四边形剪掉一个角后，变为（）边形．A．3B．4C．5D．3或4或5例3.若一个多边形截去一个角后，变成十五边形，则原来的多边形的边数可能为（）.A．14或15或16 B．15或16C．14或16 D．15或16或17多边形的内角和及其计算知识讲解多边形内角和定理：（n≥3且n为整数）注：此公式推导的基本方法是从n边形的一个顶点出发引出（n﹣3）条对角线，将n边形分割为（n﹣2）个三角形，这（n﹣2）个三角形的所有内角之和正好是n边形的内角和．例题精讲多边形的内角和及其计算例1.正多边形的一个内角等于135°，则该多边形是正（）边形．A．8B．9C．10D．11例2.一多边形截去一个角后，所形成的一个新多边形的内角和为2520°，则原多边形有条边．例3.'看图回答问题：（1）内角和为2016°，佳佳为什么说不可能？（2）音音求的是几边形的内角和？'多边形的外角和及其计算知识讲解多边形的外角和等于360°（1）多边形的外角和指每个顶点处取一个外角，则n边形取n个外角，无论边数是几，其外角和永远为360°．（2）借助多边形的内角和公式及邻补角的概念共同推导出以下结论：外角和例题精讲多边形的外角和及其计算例1.正五边形的每个外角等于（）A．36°B．60°C．72°D．108°例2.一个多边形的每个外角都相等且都小于45°，则这个多边形的边数最少是（）A．7B．8C．9D．10例3.'在各个内角都相等的多边形中，一个内角是与它相邻的一个外角的3倍，求这个多边形的每一个外角的度数及这个多边形的边数．'多边形的内、外角和综合计算知识讲解熟记多边形的内、外角和的计算公式，明确多边形内、外角和与边数之间的关系.例题精讲多边形的内、外角和综合计算例1.一个正多边形内角和等于540°，则这个正多边形的每一个外角等于（）.A．72°B．60°C．108°D．90°例2.一个多边形的内角和是外角和的一半，则它的边数是．例3.'一个多边形的内角和与外角和相加是1800°，求这个多边形的边数．'多边形的少角求内角和问题知识讲解在计算多边形内角和时少加一个内角问题，是多边形的角度计算中比较难的一个问题，需要注意的是少算一个角，不能直接把边数减1，而要根据凸多边形的内角的取值范围进行讨论，所以此类题型的条件比较隐晦，需要考虑到在没有特殊说明的情况下，初中阶段所说的多边形就是指的凸多边形，其内角的取值范围是0°~180°.此类例题选讲.例题精讲多边形的少角求内角和问题例1.一个多边形除了一个内角外，其余各内角之和为2570°，则这个内角度数为（）A．120°B．130°C．135°D．150°例2.'在一个多边形中，除了两个内角外，其余的内角和为2002°，求这个多边形的边数．'例3.'小明计算一个多边形的内角和时误把一个外角加进去了，得其和为2260°．①求这个多加的外角的度数．②求这个多边形对角线的总条数．'多边形的边、角、对角线的综合计算知识讲解理解多边形的边、角、对角线之间的关系，尤其是对于对角线的推导过程，熟悉三者之间的相互转化和计算.例题精讲多边形的边、角、对角线的综合计算例1.如果一个多边形的内角和与外角和相等，那么这个多边形是（）A．四边形B．五边形C．六边形D．七边形例2.一个凸多边形的每一个内角都等于150°，则这个多边形所有对角线的条数共有（）A．42条B．54条C．66条D．78条例3.'根据以下提供的n边形信息，求n边形的内角和．（1）n边形的对角线总条数为（n≥3）；（2）n边形的对角线总条数与边数相等．'凹多边形内角和的计算知识讲解计算凹多边形的内角和时，常会用到三角形的外角的性质，将凹多边形分成需要的三角形是处理此类问题必备的能力.例题精讲凹多边形内角和的计算例1.如图，∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F=度．例2.'如图，求证：∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F+∠G=180°．'单一图形的镶嵌问题知识讲解用单一图形进行镶嵌，只需要满足该正多边形的内角是360°的因数即可.例题精讲单一图形的镶嵌问题例1.选用下列某一种形状的瓷砖密铺地面，不能做到无缝隙、不重叠要求的是（）.A．正方形B．任意三角形C．正六边形D．正八边形例2.用一些形状大小完全相同的：①等边三角形，②正方形，③正六边形，④正八边形．其中能镶嵌成平面图案的有（）.A．1种B．2种C．3种D．4种例3.在下列正多边形的地板瓷砖中，单独用其中一种能够铺满地面的是（）A．正方形B．正五边形C．正八边形D．正十边形多图形的镶嵌问题知识讲解用多个图形进行镶嵌，需要满足同一个顶点处各个角之和能够凑成360°即可.但是此类问题难度相比单一图形的镶嵌问题会比较大，需要对多个图形进行分类讨论.例题精讲多图形的镶嵌问题例1.下列正多边形的组合中，能够铺满地面（即平面镶嵌）的是（）A．正三角形和正四边形B．正四边形和正五边形C．正五边形和正六边形D．正六边形和正八边形例2.一幅图案，在某个顶点处由三个边长相等的正多边形镶嵌而成．其中的两个分别是正方形和正六边形，则第三个正多边形的边数是．例3.'如图是以正八边形为“基本图形”构成的一种密铺图案．图中间的四边形是什么四边形，请说说你的理由．'当堂练习单选题一个多边形剪去一个角后（剪痕不过任何一个其它顶点），内角和为1980°，则原多边形的边数为（）.A．11B．12C．13D．11或12练习2.如图，五边形ABCDE中，AB∥CD，∠1、∠2、∠3分别是∠BAE、∠AED、∠EDC的外角，若∠1=32°，∠3=60°，则∠2等于（）A．92°B．88°C．98°D．无法确定练习3.一个正多边形内角和等于540°，则这个正多边形的每一个外角等于（）.A．72°B．60°C．108°D．90°练习4.从一个多边形的任何一个顶点出发都只有6条对角线，则它的边数是（）A．6B．7C．8D．9练习5.将一个正方形桌面砍下一个角后，桌子剩下的角的个数是（）A．3个B．4个C．5个D．3个或4个或5个练习6.一个多边形除了一个内角外，其余各内角之和为2570°，则这个内角度数为（）A．120°B．130°C．135°D．150°从n边形的一个顶点作对角线，把这个n边形分成三角形的个数是（）A．n B．（n﹣1）C．（n﹣2）D．（n﹣3）练习8.如图，在五边形ABCDE中，∠A+∠B+∠E=α，DP、CP分别平分∠EDC、∠BCD，则∠P的度数是（）A．α﹣90°B．90°C．D．540°练习9.一个多边形切去一个角后，形成的另一个多边形的内角和为1080°，那么原多边形的边数为（）A．7 B．7或8 C．8或9 D．7或8或9练习10.某人到瓷砖商店去买一种多边形形状的瓷砖用来铺设无缝地板，他购买的瓷砖形状不可以是（）A．正三角形B．长方形C．正八边形D．正六边形练习11.下列正多边形的组合中，能够铺满地面（即平面镶嵌）的是（）A．正三角形和正四边形B．正四边形和正五边形C．正五边形和正六边形D．正六边形和正八边形练习12.如果一个多边形的内角和与外角和相等，那么这个多边形是（）A．四边形B．五边形C．六边形D．七边形练习1.'一个多边形的内角和与外角和相加是1800°，求这个多边形的边数．'练习2.'一个多边形的内角和除去一个内角后为1720°，试问这个多边形是几边形？它的对角线有多少条？'练习3.'如图，以四边形ABCD各顶点及各边延长线上的点构成△AEF、△BGH、△CMN、△DPQ，求∠E+∠F+∠G+∠H+∠M+∠N+∠P+∠Q的度数．'练习4.'如图所示五角星，试求∠A+∠B+∠C+∠D+∠E．'练习5.'在各个内角都相等的多边形中，一个内角是与它相邻的一个外角的3倍，求这个多边形的每一个外角的度数及这个多边形的边数．'。
专题02 与三角形有关的角及多边形内角和核心知识解读(解析版)
专题02 与三角形有关的角及多边形内角和核心知识解读一、基础知识点综述1. 三角形内角和定理定理内容：三角形内角和等于180°.证明方法：作平行线将三角形内角和转化为平角. 如下图所示.图1 图2 图3 2. 直角三角形的性质及判定 性质：直角三角形两锐角互余.判定：有两个角互余的三角形是直角三角形.°=90A B ABC +⇔∠∠△是直角三角形3. 三角形的外角（1）定义：三角形的一边与另一边的延长线组成的角，叫作三角形的外角. （2）性质：三角形的外角等于与它不相邻的两个内角的和.（3）补充知识点：①三角形一个顶点处有2个外角，三角形共有6个外角，可推出其中三个不相邻的外角和为360°，证明方法如下.BBBDD证法1：①①1=180°－①2，①3=180°－①4，①5=180°－①6，∴①1+①3+①5=180°－①2+180°－①4+180°－①6=540°－（①2+①4+①6）=360°，得证. 证法2：①①1=①4+①6，①3=①2+①6，①5=①2+①4，①①1+①3+①5=①4+①6+①2+①6+①2+①4=2×（①2+①4+①6）=360°，得证. 4. 多边形在同一平面内，由一些线段首尾顺次连接组成的图形叫多边形. （1）分类：凸多边形、凹多边形 （2）n 边形对角线条数：()32n n - （3）n 边形的内角和：（n －2）×180° 证法1：从多边形一顶点出发，可引（n －3）条对角线，将多边形分成了（n －2）个三角形，所以多边形的内角和为（n －2）×180°；证法2：在多边形一边上任取一点，连接该点与多边形的各顶点，将多边形分成（n －1）个三角形，所以多边形的内角和＝（n －1）×180°－（①1+①2+…+①（n －1））=（n －1）×180°－180°=（n －2）×180°；证法3：在多边形内部任一点出发，连接各顶点，将多边形分成n 个三角形，所以多边形的内角和等于 n ×180°－（①1+①2+…+①n ）=n ×180°－360°=（n －2）×180°. （4）多边形的外角和：360°多边形的外角和=①1+①2+…+①n =180°－①1’+180°－①2’+180°－①n ’ = n ×180°－（①1’+①2’+…+①n ’） = n ×180°－（n －2）×180°=360°.二、几个基本图形详解1. “8字”形结论：①A +①B =①C +①D ； 2. 双垂直BC结论：①CAD =①CBE ；结论：①A =①BCD ，①B =①ACD ；结论：①CAD =①CBE .3. 与角平分线有关的三个重要结论 （1）条件：①1=①2，①3=①4，结论：①BOC =90°+12①A ； 证明：①A +①ABC +①ACB =180°，①BOC +①2+①4=180°，CDB C即：①A+2①2+2①4=180°，①2+①4=90°－12①A，①①BOC=180°－（①2+①4）=90°+12①A；（2）条件：①1=①2，①3=①4，结论：①O=12①A；证明：①4=①2+①O，2①4=2①2+①A，可得：①O=12①A；（3）条件：①1=①2，①3=①4，结论：①BOC=90°－12①A；证明：①A+①ABC+①ACB=180°，①BOC+①2+①4=180°，即：①A+180°－2①2+180°－2①4=180°，①2+①4=90°+12①A，①①BOC=180°－（①2+①4）=90°－12①A；4. C①1与①2是四边形ABCD 的外角，结论：①1+①2=①A +①B ；①BOC =①A +①B +①C三、典型例题精讲例1. 如图所示，P 为①ABC 内部一点，求证：①BPC > ①A.【答案】见解析.【解析】证明：延长CP 交AB 于Q ，①①BPC 是①BPQ 的外角， ①①BPC=①PBQ+①BQP ， ①①BQP 是①ACQ 的外角， ①①BQP=①ACQ+①A ，①①BPC=①PBQ+①ACQ+①A>①A,BCBCBC故得证.例2. （2019·河南月考）如图所示，在①ABC 中，①BAC=40°，①C=80°，AF 平分①CAB ，BF 平分①CBE ，AF 、BC 交于点D ，求①BDA 和①F 的度数.【答案】见解析.【解析】解：①AF 平分①CAB ，①CAB=40°， ①①CAD=①BAD=20°， ①①BDA 是①ACD 的外角，①①BDA=①CAD+①C=100°，①BDF=80°， ①①CBE 是①ABC 的外角， ①①CBE=①C+①CAB=120°， ①BF 平分①CBE ， ①①CBF=60°，在①BDF 中，①F=180°－①BDF －①CBF=40°.例3. （2019·河南月考）如图所示，已知①1=①2，①3=①4，①C=42°，①D=30°，求①E 的度数.【答案】见解析. 【解析】解：由图可知，①1+①C=①3+①E ，①CAD+①C=①CBD+①D, ①①1=①2，①3=①4， ①2①1+①C=2①3+①D ， 而2①1+2①C=2①3+2①E ，A①①C=2①E －①D ， ①①C=42°，①D=30°， ①①E=36°.例4. （改：新疆期中）如图所示，B 处在A 处的南偏西50°的方向上，C 处在A 处的南偏东20°的方向上，C 处在B 处的北偏东80°的方向上，求①ACB 、①BAC 、①ABC 的度数.【答案】见解析.【解析】解：由题意知：①BAC=50°+20°=70°， ①ABC=80°－50°=30°，在①ABC 中，①ACB=180°－①BAC －①ABC=180°－70°－30°=80°. 例5. （1）已知正多边形的一个外角等于18°，求这个正多边形的边数.（2）是否存在一个内角度数为100°的正多边形？如果存在，求出边数，如果不存在，说明理由. 【答案】见解析.【解析】解：（1）设正多边形的边数为n ，则n=36018=20. （2）若存在内角度数为100°的正多边形，其边数为m ，则其每个外角为80°， n=360=804.5，不符合题意， 所以不存在内角度数为100°的正多边形.例6. （2019·柘城月考）在各个内角都相等的多边形中，若外角度数等于每个内角度数的15，求这个多边形的每个内角度数及多边形对角线的条数.【答案】见解析.【解析】解：设该多边形每个外角度数为x°，则其每个内角为180°－x°，由题意知：()11805x x =-， 解得：x=30， ①多边形的边数为36030=12，对角线条数为：1292⨯=54. 例7. （2018·全国单元测试卷）如图，五边形ABCDE 的每个内角相等，且AB=BC ，AC=AD ，求①CAD 、①ACD的度数.【答案】见解析.【解析】解：①五边形ABCDE的每个内角相等，①每个内角度数为108°，①AB=BC，①①1=①2=36°，①①ACD=108°－36°=72°，①AC=AD，①①CDA=①ACD=72°，①①CAD=180°－72°－72°=36°.例8. （2018·吉林期中）如图，①1+①2+①3+①4+①5+①6+①7=.【答案】540°.【解析】解：如下图所示，可知：①6+①7=①8+①9，①①1+①2+①3+①4+①5+①6+①7即等于图中五边形的内角和，540°.故答案为540°.例9. （2018·南昌期中）如图1，已知线段AB、CD相交于点O，连接AC、BD，则我们把形如这样的图形称为“8字型”.（1）求证：①A+①C=①B+①D；（2）如图2，若①CAB和①BDC的平分线AP和DP交于点P，且与CD、AB分别相交于点M、N.①若①B=100°，①C=120°，求①P.①若角平分线中角的关系改为“①CAP=13①CAB，①CDP=13①CDB”，试探究①P与①B、①C之间的数量关系，并说明理由.【答案】见解析.【解析】解：（1）证明：①①A+①C+①AOC=180°，①B+①D+①BOD=180°,①AOC=①BOD①①A+①C=①B+①D.（2）①由（1）中结论，可得：①CAO+①C=①BDO+①B，①CAM+①C=①PDC+①P，①①CAB和①BDC的平分线AP和DP交于点P，①①CAO=2①CAM，①BDO=2①PDC，①2①CAM +①C=2①PDC +①B，2①CAM+2①C=2①PDC+2①P，可得：①C=2①P－①B，①①B=100°，①C=120°，①①P=110°.①由（1）中结论，可得：①CAB+①C=①BDC+①B，①CAP+①C=①CDP+①P，①①CAP=13①CAB，①CDP=13①CDB，①①CAB=3①CAP，①CDB=3①CDP，①3①CAP +①C=3①CDP +①B，3①CAP+3①C=3①CDP+3①P，可得：2①C=3①P－①B，①①P=13(2①C+①B).例10. （2018·安徽单元测试）如图①，在①ABC中，AE平分①BAC，①C>①B，F是AE上一点，且FD①BC于点D，（1）试猜想①EFD，①B，①C的关系，并说明理由.（2）如图①，当点F在线段AE的延长线上时，其余条件不变，（1）中的结论还成立吗？说明理由.图①图①【答案】见解析.【解析】解：（1）①EFD=12①C－12①B理由如下：①AE平分①BAC，①①BAE=①CAE=12①BAC=12（180°－①B－①C），①①AED是①BAE的外角，①①AED=①BAE+①B=90°+12①B－12①C，①FD①BC，①①FDE=90°，①EFD=90°－①AED=12①C－12①B;(2)(1)中的结论不变，理由如下：①AE平分①BAC，①①BAE=①CAE=12①BAC=12（180°－①B－①C），①①AEC是①BAE的外角，①①AEC=①BAE+①B=90°+12①B－12①C，①FED=①AEC①FD①BC，①①DFE=90°，1 2∠C－12∠B.∠EFD=90°－∠FED=。
复习三角形内角和、外角及多边形讲义
第一讲三角形内角和与外角和规律方法指导1．三角形内角和为180°，三角形三个外角的和是360°,这是在做题时题设不用加以说明的条件；在三个角中此中两个角的度数便能求第三个角的大小.2．在一个三角形中最多只好有一个钝角或许一个直角，最罕有两个锐角.3．三角形内角和定理和三角形外角的性质是求角度数及有关的推理论证时常常使用的理论依照．外角的性质应用：①证明一个角等于另两个角的和；②作为中间关系式证明两角相等；③证明角的不等关系.4．利用作协助线求解问题，会使问题变得简易.经典例题透析种类一：三角形内角和定理的应用1．一个三角形三个内角度数的比是1：5：6，那么其最大内角的度数为〔〕A．60°B．75°C． 90°D．120°贯通融会：【变式 1】在△ ABC中，∠ A=55°，∠B 比∠ C 大 25°，那么∠ B 的度数为〔〕A．50°B．75°C． 100°D． 125°【变式 2】三角形中起码有一个角不小于________度。
种类二：利用三角形外角性质证明角不等2．以下列图， CE是△ ABC外角∠ ACD的均分线， CE交 BA 延伸线于点 E。
求证：∠ BAC ＞∠ B。
贯通融会：【变式】以下列图，用“＜〞把∠1、∠ 2、∠ A 联系起来 ________。
种类三：三角形内角和定理与外角性质的综合应用3．如图，求∠ A+∠ B+∠C+∠D+∠ E 的度数 .贯通融会：【变式】以下列图，五角星ABCDE 中，试说明∠ A+∠ B+∠C+∠D+∠E=180°。
种类四：与角均分线有关的综合问题4．如图 9，△ ABC中，∠ ABC、∠ ACB的均分线订交于点Ｄ．（1〕假定∠ ABC＝ 70 °，∠ ACB＝ 50°，那么∠ BDC＝________；〔2〕假定∠ ABC＋∠ ACB＝ 120°，那么∠ BDC＝________；〔3〕假定∠ A＝ 60°，那么∠ BDC＝ ________；〔4〕假定∠ A＝ 100°，那么∠ BDC＝________；〔5〕假定∠ A＝ n°，那么∠ BDC＝________．贯通融会：【变式 1】如图 10， BE 是∠ ABD 的均分线， CF是∠ ACD的均分线， BE与 CF交于 G，假定∠ BDC= 140°，∠BGC=110°，求∠ A 的大小 .【变式 2】如图 11, △ABC 的两个外角的均分线订交于点D，假如∠ A＝50°，求∠ D.【变式 3】如图 12，在△ ABC中，AE 是角均分线，且∠ B=52°，∠ C=78°，那么∠ AEB的度数是 _____.【变式 4】〔 2021 北京四中期末〕以下列图，△ABC 的外角∠ CBD、∠BCE的均分线订交于点F，假定∠ A=68°，求∠ F 的度数。
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多边形及其内角和
1、多边形的概念
在平面内，由一些线段首尾顺次相接组成的图形叫做多边形.
2、多边形的内角和
n边形：从一个顶点出发的对角线有（n-3）条，
它们把n边形分成（n-2）个三角形，
因此n边形的内角和为（n-2）· 180 °.
在n边形内部任取一点O，
连接OA1、 OA2、 OA3、…、
OA n，把n边形分成n个三角
形，则n边形的内角和为
()
⋅-=-⋅
n n
1803602180
练习：求下列图中的x的值.
n边形的对角线：条
n边形从每一个顶点出发的对角线有条.
3、多边形的外角和
分析：
（1）任何一个外角与它相邻的内角有什么关系？
（2）五边形的5个外角加上与它们相邻的内角，
所得总和是多少？
（3）上述总和与五边形的内角和、外角和有什么
关系？
()
⋅--⋅=
518052180_____?
结论：五边形的外角和为
n边形的内角和、外角和有什么关系？
()
n n
⋅--⋅=
1802180_____
结论：n边形的外角和为
如何理解：
从多边形的一个顶点A出发，沿多边形的各边走过各顶点，再回到点A，
然后转向出发时的方向.在行程中所转的各个角的和，就是多边形的外角和，由于走了一周，因此所转的各个角的和等于一个周角.
例1、（1）一个多边形的内角和是540º，那么这个多边形的对角线的条数是 .
（2）已知一个多边形的内角和与外角和共2160º，则这个多边形的边数是
.
例2、（1）一个凸多边形的内角和与它的一个外角的和为2005º，求多边形的边数。
（2）如果一个凸多边形，除了一个内角以外，其它内角的和为2570°，求这个没有计算在内的内角的度数.
例3、若多边形最多有四个钝角，那么此多边形的边数最多是______.
例4、(1)如图1，则∠A＋∠B＋∠C＋∠D＋∠E＋∠F= .
(2)如图2，则∠A＋∠B＋∠C＋∠D＋∠E＋∠F= .
例5、(1)如图，则∠A＋∠B＋∠C＋∠D＋∠E = .
（2）如图1，则∠A＋∠B＋∠C＋∠D＋∠E＋∠F= . （3）如图2，则∠A＋∠B＋∠C＋∠D＋∠E＋∠F+ ∠ G= .
小结：
1、n边形内角和： .
2、n边形外角和： .
3、n边形从每一个顶点出发的对角线有条.n边形的对角线共有条.
4、关注“8字形”和“燕尾形”的应用。