(新高考)2020版高考数学二轮复习专题过关检测(十七)统计与统计案例文

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2020 高考数学二轮复习概率与统计概率内容的新概念多，相近概念容易混淆，本就学生易犯作如下：型一 “非等可能 ”与 “等可能 ”混同例 1 两枚骰子，求所得的点数之和 6 的概率．解两枚骰子出的点数之和2， 3， 4， ⋯ ，12 共 11 种基本事件，所以概率P=111剖析以上 11 种基本事件不是等可能的，如点数和 2 只有 (1， 1)，而点数之和6 有 (1， 5)、(2， 4)、 (3， 3)、 (4，2)、 (5， 1)共 5 种．事上，两枚骰子共有 36 种基本事件，且是等可能的，所以“所得点数之和6”的概率 P= 5．36型二 “互斥 ”与 “ 立 ”混同例 2把、黑、白、4 牌随机地分甲、乙、丙、丁4 个人，每个人分得1 ，事件“甲分得牌”与“乙分得牌”是（）A ．立事件B ．不可能事件C ．互斥但不立事件D ．以上均不解A剖析本的原因在于把 “互斥 ”与 “ 立”混同，二者的系与区主要体在：(1)两事件立，必定互斥，但互斥未必立； (2) 互斥概念适用于多个事件，但立概念只适用于两个事件； (3) 两个事件互斥只表明两个事件不能同生，即至多只能生其中一个，但可以都不生；而两事件立表示它有且有一个生．事件 “甲分得牌 ”与 “乙分得牌 ”是不能同生的两个事件，两个事件可能恰有一个生，一个不生，可能两个都不生，所以 C ．型三例 3解“互斥 ”与 “独立 ”混同甲投命中率 O ．8，乙投命中率 0.7，每人投 3 次，两人恰好都命中 2 次的概率是多少 ?“甲恰好投中两次” 事件 A ， “乙恰好投中两次” 事件B ，两人都恰好投中两次事件A+B ， P(A+B)=P(A)+P(B)： c 32 0.820.2 c 32 0.720.3 0.825剖析本的原因是把相互独立同生的事件当成互斥事件来考，将两人都恰好投中2 次理解 “甲恰好投中两次”与 “乙恰好投中两次 ”的和．互斥事件是指两个事件不可能同生；两事件相互独立是指一个事件的生与否另一个事件生与否没有影响，它然都描了两个事件的关系，但所描的关系是根本不同．解：“甲恰好投中两次 ” 事件 A ，“乙恰好投中两次” 事件 B ，且 A ， B 相互独立，两人都恰好投中两次事件A ·B ，于是 P(A ·B)=P(A) ×P(B)= 0.169类型四例 4错解“条件概率 P(B / A)”与“积事件的概率P(A·B)”混同袋中有 6 个黄色、 4 个白色的乒乓球，作不放回抽样，每次任取一球，取 2 次，求第二次才取到黄色球的概率．记“第一次取到白球”为事件A，“第二次取到黄球”为事件B,”第二次才取到黄球”为事件62C,所以 P(C)=P(B/A)=.93剖析本题错误在于 P(A B)与 P(B/A) 的含义没有弄清 , P(A B) 表示在样本空间S 中 ,A 与 B 同时发生的概率；而P（ B/A ）表示在缩减的样本空间S A中，作为条件的 A 已经发生的条件下事件 B 发生的概率。

新高考2020版高考数学二轮复习专题过关检测十七统计与统计案例文

x，平均数为 y.今年经过政府新农村建设后，该村经济收入(单位：万元)在上年基础上翻番，则在这 4
年里经济收入的统计数据中，下列说法正确的是( )
A．中位数为 x，平均数为 1.5y
B．中位数为 1.25x，平均数为 y
C．中位数为 1.25x，平均数为 1.5y
D．中位数为 1.5x，平均数为 2y
10．一组数据共有 7 个数，记得其中有 10,2,5,2,4,2，还有一个数没记清，但知道这组数的平均数、
中位数、众数依次成等差数列，这个数的所有可能值的和为( )
A．9
B．3
C．17
D．－11
25＋x 解析：选 A 设这个数为 x，则平均数为 7 ，众数为 2，
若 x≤2，则中位数为 2，此时 x＝－11；
完整的统计图．请根据图中信息，求本次抽查的学生中 A 类人数是( )
A．30
B．40
C．42
D．48
解析：选 A 由条形统计图知，B—自行乘车上学的有 42 人，C—家人接送上学的有 30 人，D—其他
方式上学的有 18 人，采用 B，C，D 三种方式上学的共 90 人，设 A—结伴步行上学的有 x 人，由扇形统 x＋42 60
成绩优秀；丙学生的 5 个数据中的一个数据为 135，设另外 4 个数据分别是 a，b，c，d，因为 5 个数据
的总体均值为 1281282＋d－1282＋135－1282 5
生成绩的
中位数是 89，则 n－m 的值为( )
A．5
B．6
C．7
D．8
解析：选 B 由题意得： Error! 解得 m＝3，n＝9，所以 n－m＝9－3＝6.
5．(2019·福州质检)某校学生会为了了解本校高一 1 000 名学生的课余时间参加传统文化活动的

2020高考数学二轮概率与统计名师精编精析(17)

第十七讲概率与统计★★★高考在考什么【考题回放】 1．（重庆卷）从5张100元，3张200元，2张300元的奥运预赛门票中任取3张，则所取3张中至少有2张价格相同的概率为（）A ．41B ．12079C ． 43D ．2423解：可从对立面考虑，即三张价格均不相同，11153231031.4C C C P C ⇒=-= 选C 2．（辽宁卷）一个坛子里有编号为1，2，…，12的12个大小相同的球，其中1到6号球是红球，其余的是黑球. 若从中任取两个球，则取到的都是红球，且至少有1个球的号码是偶数的概率是（）A ．122B ．111C ．322D ．211解：从中任取两个球共有66212=C 种取法，其中取到的都是红球，且至少有1个球的号码是偶数的取法有122326=-C C 种取法，概率为1126612=，选D.3．(广东卷) 甲、乙两个袋子中均装有红、白两种颜色的小球，这些小球除颜色外完全相同，其中甲袋装有4个红球、2个白球，乙袋装有1个红球、5个白球。

现分别从甲、乙两袋中各随机抽取一个球，则取出的两球是红球的概率为______(答案用分数表示)解：P=64⨯61=914．(上海卷) 在五个数字12345，，，，中，若随机取出三个数字，则剩下两个数字都是奇数的概率是（结果用数值表示）．解：212335310C C C ==3.05. 某篮球运动员在三分线投球的命中率是12，他投球10次，恰好投进3个球的概率为．（用数值作答）解：由题意知所求概率37310111522128p C ⎛⎫⎛⎫==⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ 6．(全国II) 在某项测量中，测量结果ξ服从正态分布2(1)(0)N σσ>，．若ξ在(01)，内取值的概率为0.4，则ξ在(02)，内取值的概率为．解：在某项测量中，测量结果ξ服从正态分布N （1，σ2）（σ>0），正态分布图象的对称轴为x=1，ξ在（0，1）内取值的概率为0.4，可知，随机变量ξ在 (1，2)内取值的概率于ξ在(0，1)内取值的概率相同，也为0.4，这样随机变量ξ在(0，2)内取值的概率为0.8。

高考数学二轮复习专题突破—统计与统计案例(含解析)

高考数学二轮复习专题突破—统计与统计案例1.某行业主管部门为了解本行业中小企业的生产情况,随机调查了100个企业,得到这些企业第一季度相对于前一年第一季度产值增长率y 的频数分布表.(1)分别估计这类企业中产值增长率不低于40%的企业比例、产值负增长的企业比例;(2)求这类企业产值增长率的平均数与标准差的估计值(同一组中的数据用该组区间的中点值为代表).(精确到0.01) 附:√74≈8.602.2.(2021·江西赣州二模改编)遵守交通规则,人人有责.“礼让行人”是我国《道路交通安全法》的明文规定,也是全国文明城市测评中的重要内容.《道路交通安全法》第47条明确规定:“机动车行经人行横道时,应当减速行驶;遇行人正在通过人行横道,应当停车让行.机动车行经没有交通信号的道路时,遇行人横过道路,应当避让.否则扣3分罚200元”.下表是2021年1至4月份我市某主干路口监控设备抓拍到的驾驶员不“礼让行人”行为统计数据:(1)请利用所给数据求不“礼让行人”驾驶员人数y 与月份x 之间的经验回归方程y ^=b ^x+a ^,并预测该路口2021年10月不“礼让行人”驾驶员的大约人数(四舍五入);(2)交警从这4个月内通过该路口的驾驶员中随机抽查50人,调查驾驶员不“礼让行人”行为与驾龄的关系,得到下表:依据小概率值α=0.10的独立性检验,分析“礼让行人”行为是否与驾龄有关.参考公式:b ^=∑i=1nx i y i -nx y ∑i=1nx i 2-nx2=∑i=1n(x i -x)(y i -y)∑i=1n(x i -x)2.χ2=n(ad-bc)2(a+b)(c+d)(a+c)(b+d),其中n=a+b+c+d.3.(2021·河北石家庄二模改编)某地区在2020年底全面建成小康社会,随着实施乡村振兴战略规划,该地区农村居民的收入逐渐增加,可支配消费支出也逐年增加.该地区统计了2016~2020年农村居民人均消费支出情况,对有关数据处理后,制作如图1的折线图[其中变量y (单位:万元)表示该地区农村居民人均年消费支出,年份用变量t 表示,其取值依次为1,2,3,…].(1)由图1可知,变量y与t具有很强的线性相关关系,求y关于t的经验回归方程,并预测2021年该地区农村居民人均消费支出;2016~2020年该地区农村居民人均消费支出图1(2)在国际上,常用恩格尔系数(其含义是指食品类支出总额占个人消费支出总额的比重)来衡量一个国家和地区人民生活水平的状况.根据联合国粮农组织的标准:恩格尔系数在40%~50%为小康,30%~40%为富裕.已知2020年该地区农村居民平均消费支出构成如图2所示,预测2021年该地区农村居民食品类支出比2020年增长3%,从恩格尔系数判断2021年底该地区农村居民生活水平能否达到富裕生活标准.2020年该地区农村居民人均消费支出构成图2参考公式:经验回归方程y ^=b ^x+a ^中斜率和截距的最小二乘估计分别为:b ^=∑i=1n(x i -x)(y i -y)∑i=1n(x i -x)2=∑i=1nx i y i -nx y∑i=1nx i 2-nx 2,a ^=y −b ^x .4.(2021·山东潍坊一模)在对人体的脂肪含量和年龄之间的关系的研究中,科研人员获得了一些年龄和脂肪含量的简单随机样本数据(x i ,y i )(i=1,2,…,20,25<x i <65),其中x i 表示年龄,y i 表示脂肪含量,并计算得到∑i=120x i 2=48 280,∑i=120y i 2=15 480,∑i=120x i y i =27 220,x =48,y =27,√22≈4.7.(1)请用样本相关系数说明该组数据中y 与x 之间的关系可用线性回归模型进行拟合,并求y 关于x的经验回归方程y ^=a ^+b ^x (a ^,b ^的计算结果保留两位小数);(2)科学健身能降低人体脂肪含量,下表是甲、乙两款健身器材的使用年限(整年)统计表:某健身机构准备购进其中一款健身器材,以使用年限的频率估计概率,请根据以上数据估计,该机构选择购买哪一款健身器材,才能使用更长久?参考公式:样本相关系数r=∑i=1n(x i -x)(y i -y)√∑i=1n (x i -x)2√∑i=1n(y i -y)2=∑i=1nx i y i -nx y√∑i=1nx i 2-nx 2√∑i=1ny i 2-ny 2;对于一组具有线性相关关系的数据(x i ,y i )(i=1,2,…,n ),其经验回归直线y ^=b ^x+a ^的斜率和截距的最小二乘估计分别为:b ^=∑i=1n(x i -x)(y i -y)∑i=1n(x i -x)2,a ^=y −b ^x .答案及解析1.解 (1)根据产值增长率频数分布表得,所调查的100个企业中产值增长率不低于40%的企业频率为14+7100=0.21.产值负增长的企业频率为2100=0.02.用样本频率分布估计总体分布得这类企业中产值增长率不低于40%的企业比例为21%,产值负增长的企业比例为2%.(2)y =1100(-0.10×2+0.10×24+0.30×53+0.50×14+0.70×7)=0.30, s 2=1100[(-0.40)2×2+(-0.20)2×24+02×53+0.202×14+0.402×7]=0.029 6, s=√0.029 6=0.02×√74≈0.17.所以,这类企业产值增长率的平均数与标准差的估计值分别为0.30,0.17. 2.解 (1)由表中数据易知:x =1+2+3+44=52,y =125+105+100+904=105,则b ^=∑i=14x i y i -4x y∑i=14x i 2-4x2=995−1 05030−25=-11,a ^=y −b ^ x =105-(-11)×52=132.5,故所求经验回归方程为y ^=-11x+132.5.令x=10,则y ^=-11×10+132.5=22.5≈23(人),预测该路口10月份不“礼让行人”的驾驶员大约人数为23. (2)零假设为H 0:“礼让行人”行为与驾龄无关.由表中数据可得χ2=50×(10×12−20×8)218×32×30×20≈0.23<2.706=x 0.10,依据小概率值α=0.10的独立性检验,没有充分证据推断H 0不成立,可以认为H 0成立,即认为“礼让行人”行为与驾龄无关.3.解 (1)由已知数据可求t =1+2+3+4+55=3, y =1.01+1.10+1.21+1.33+1.405=1.21,∑i=15t i 2=12+22+32+42+52=55,∑i=15t i y i =1×1.01+2×1.10+3×1.21+4×1.33+5×1.40=19.16,b ^=19.16−5×3×1.2155−5×32=1.0110=0.101,a ^=1.21-0.101×3=0.907,所求经验回归方程为y ^=0.101t+0.907. 当t=6时,y ^=0.101×6+0.907=1.513(万元),故2021年该地区农村居民人均消费支出约为1.513万元.(2)已知2021年该地区农村居民平均消费支出1.513万元,由图2可知,2020年该地区农村居民食品类支出为4 451元,则预测2021年该地区食品类支出为4 451×(1+3%)=4 584.53元,恩格尔系数=4 584.5315 130×100%≈30.3%∈(30%,40%),所以,2021年底该地区农村居民生活水平能达到富裕生活标准.4.解 (1)x 2=2 304,y2=729,∑i=120x i y i -20x y =1 300,∑i=120x i 2-20x 2=2 200,∑i=1ny i 2-20y 2=900,r=∑i=120x i y i -20x y√∑i=120x i 2-20x 2√∑i=1ny i 2-20y2≈0.92,因为y 与x 的样本相关系数接近1,所以y 与x 之间具有较强的线性相关关系,可用线性回归模型进行拟合.由题可得,b ^=∑i=120(x i -x)(y i -y)∑i=120(x i -x)2=∑i=120x i y i -20x y∑i=120x i 2-20x2=1322≈0.591,a ^=y −b ^ x =27-0.591×48≈-1.37,所以y ^=0.59x-1.37.(2)以频率估计概率,设甲款健身器材使用年限为X (单位:年).E (X )=5×0.1+6×0.4+7×0.3+8×0.2=6.6. 设乙款健身器材使用年限为Y (单位:年).E (Y )=5×0.3+6×0.4+7×0.2+8×0.1=6.1.因为E (X )>E (Y ),所以该健身机构购买甲款健身器材更划算.。

高三数学二轮复习专题高效升级卷17　统计与统计案例课件文新人教A版

专题高效升级卷17 统计与统计案例
一、选择题（本大题共12小题，每小题4分，共48 分）
1.下列抽样试验中，最适宜用系统抽样的是（）
A.某市的4个区共有2 000名学生，且4个区的学生人数之比为3∶2∶8∶2，从中抽取200人入样
B.从某厂生产的2 000个电子元件中随机抽取5个入样
C.从某厂生产的2 000个电子元件中随机抽取200 个入样
设选中的2人都来自高校C的事件为X，
则Xc3包）含共的3种基.本因事此件P（有X（1）03 c＝1，c2）. ，10（3 c1，c3），（c2，故选中的2人都来自高校C的概率为 .
18.某个体服装店经营某种服装，一周内获纯利润y （元）与该周每天销售这种服装的件数x（件）之间的一组数据如下：
x
答案：C
3.在某项体育比赛中，七位裁判为一选手打出的分数如下：
90 89 90 95 93 94 93
去掉一个最高分和一个最低分后，所剩数据的平均值和方差分别为（）
A.92，2
B.92，2.8
C.93，2
D.93，2.8
答案：B
4.为了了解高三学生的数学成绩，抽取某班60 名学生的数学成绩，将所得数据整理后，画
回归方程为 yˆ ＝aˆ ＋bˆ x＝77.37－1.82x.
（2）因为单位成本平均变动 bˆ ＝－1.82<0，且产量x的计量单位是千件，所以根据回归系数b的意义有：
产量每增加一个单位即1 000件时，单位成本平均减少1.82元.
（3）当产量为6 000件，即x＝6时，代入回归方程：
yˆ ＝77.37－1.82×6＝66.45（元）
会购买力的某项指标，要从中抽取一个容量
为200的样本；（2）从20人中抽取6人参加座谈会，给出下列抽样方法：a简单随机抽样； b系统抽样；c分层抽样.上述两个问题应采用的抽样方法分别为（）

2020届高考数学(理)二轮复习课件：专题17 统计与统计案例

甲乙 9 8 7 5 8 4 2 0 0 3
8 15 5 3 9 0 2 5
•命题方向3 回归分析及其应用
•命题方向4 独立性检验
微信控
男性 26 女性 30 总计 56
非微信控
24 20 44
总计
50 50 100
• (1)根据以上数据，能否有60%的把握认为 “微信控”与“性别”有关？
• 『规律总结』 • 1．用样本估计总体的两种方法 • (1)用样本的频率分布(频率分布表、频率分
布直方图、茎叶图等)估计总体的频率分布．
• (2)用样本的数字特征(众数、中位数、平均数、方差、标准差)估计总体的数字特征．
• 2．方差的计算与含义 • 计算方差首先要计算平均数，然后再按照
方差的计算公式进行计算，方差和标准差是描述一个样本和总体的波动大小的特征
• (2)现从调查的女性用户中按分层抽样的方法选出5人赠送营养面膜1份，求所抽取5人中“微信控”和“非微信控”的人数；
• (1)若规定60分以上(包括60分)为合格，计算高一年级这次知识竞赛的合格率；
• (2)统计方法中，同一组数据常用该组区间的中点值作为代表，据此估计高一年级参加这次
第一部分全程方略课件
专题17 统计与统计案例
知识网络构建
1 高考考点聚
焦
2 核心知识整
合
3 高考真题体
验
4 命题热点突
破
5 课后强化训
练
高考考点聚焦
• 备考策略 • 本部分内容在备考时应注意以下几个方面： • (1)掌握三种抽样的特点及相互联系，特别
是系统抽样和分层抽样的应用．
18
命题热点突破
•命题方向1 抽样方法

2020新高考文科数学二轮培优统计、统计案例考点考向考题点拨(27页)

2020新高考文科数学二轮培优统计、统计案例考点考向考题点拨「考情研析」 1.以选择题、填空题的形式考查随机抽样、样本的数字特征、统计图表、回归方程、独立性检验等． 2.概率与统计的交汇问题是高考的热点，以解答题形式出现，难度中等.核心知识回顾1.三种抽样方法的特点简单随机抽样：操作简便、适当，总体个数较少．分层抽样：按比例抽样．系统抽样：等距抽样． 2．必记公式数据x 1，x 2，x 3，…，x n 的数字特征公式 (1)平均数：x －＝□01x 1＋x 2＋x 3＋…＋x n n. (2)方差：s 2□021[(－x －)2＋(x 2－x －)2＋…＋(x n －x －)2]．(3)标准差：s ＝3．重要性质及结论(1)频率分布直方图的三个结论①小长方形的面积＝□01组距×频率组距＝频率；②各小长方形的面积之和等于1；③小长方形的高＝□02频率组距，所有小长方形高的和为1组距. (2)回归直线方程：一组具有线性相关关系的数据(x 1，y 1)，(x 2，y 2)，…，(x n ，y n )其回归方程y ^＝□03b ^x ＋a ^ ，其过样本点中心□04(x －，y －)⎝ ⎛⎭⎪⎪⎪⎫其中b ^＝∑i ＝1n(x i－x －)(y i－y －)∑i ＝1nx 2i－n x －2，a ^＝y －－b ^x －. (3)独立性检验K 2＝n (ad －bc )2(a ＋b )(c ＋d )(a ＋c )(b ＋d )(其中n ＝a ＋b ＋c ＋d 为样本容量)．热点考向探究考向1 抽样方法例1 (1)从编号为001,002，…，500的500个产品中用系统抽样的方法抽取一个样本，已知样本中编号最小的两个编号分别为007,032，则样本中最大的编号应该为( )A ．480B ．481C ．482D ．483答案 C解析 ∵样本中编号最小的两个编号分别为007,032，∴样本数据组距为32－7＝25，则样本容量为50025＝20，则对应的号码数x ＝7＋25(n －1)，当n ＝20时，x 取得最大值，此时x ＝7＋25×19＝482.故选C ．(2)(2019·广州普通高中高三综合测试)某公司生产A ，B ，C 三种不同型号的轿车，产量之比依次为2∶3∶4，为检验该公司的产品质量，用分层抽样的方法抽取一个容量为n 的样本，若样本中A 种型号的轿车比B 种型号的轿车少8辆，则n ＝( )A ．96B ．72C ．48D ．36 答案 B解析由题意，得29n －39n ＝－8，∴n ＝72.选B ．系统抽样与分层抽样的求解方法(1)系统抽样的最基本特征是“等距性”，每组内所抽取的号码需要依据第一组抽取的号码和组距唯一确定．每组抽取样本的号码依次构成一个以第一组抽取的号码m为首项，组距d为公差的等差数列{a n}，第k组抽取样本的号码a k＝m＋(k－1)d.(2)分层抽样的关键是根据样本特征的差异进行分层，实质是等比例抽样，求解此类问题需先求出抽样比——样本容量与总体容量的比，则各层所抽取的样本容量等于该层个体总数与抽样比的乘积．在每层抽样时，应采用简单随机抽样或系统抽样进行．1．(2019·云南省第二次高三统一检测)某中学高一年级有学生1200人，高二年级有学生900人，高三年级有学生1500人，现按年级为标准，用分层抽样的方法从这三个年级学生中抽取一个容量为720的样本进行某项研究，则应从高三年级学生中抽取学生()A．200人B．300人C．320人D．350人答案 B解析由分层抽样可得高三抽取的学生人数为15001200＋900＋1500×720＝300.故选B．2．采用系统抽样方法从960人中抽取32人做问卷调查，为此将他们随机编号为1,2，…，960，分组后在第一组采用简单随机抽样的方法抽到的号码为9.抽到的32人中，编号落入[1,450]的人做问卷A，编号落入[451,750]的人做问卷B，其余的人做问卷C，则抽到的人中，做问卷B的人数为________．答案10解析由题意得系统抽样的抽样间隔为96032＝30，又因为第一组内抽取的号码为9，则由451≤9＋30k≤750(k∈N*)，得141115≤k≤24710，所以做问卷B的人数为10.考向2 用样本估计总体例2(1)甲、乙两名学生在5次数学考试中的成绩统计如茎叶图所示，若x－甲，x－乙分别表示甲、乙两人的平均成绩，则下列结论正确的是()A．x－甲>x－乙，乙比甲稳定B．x－甲>x－乙，甲比乙稳定C．x－甲<x－乙，乙比甲稳定D．x－甲<x－乙，甲比乙稳定答案 A解析因为x－甲＝15×(74＋82＋88＋91＋95)＝86，x－乙＝15×(77＋77＋78＋86＋92)＝82，所以x－甲>x－乙．因为s2甲＝15×[(－12)2＋(－4)2＋22＋52＋92]＝54，s2乙＝15×[(－5)2＋(－5)2＋(－4)2＋42＋102]＝36.4，所以s2甲>s2乙，故乙比甲稳定．故选A．(2)(2019·皖南八校高三第三次联考)从某地区年龄在25～55岁的人员中，随机抽出100人，了解他们对今年两会的热点问题的看法，绘制出频率分布直方图如图所示，则下列说法正确的是()A．抽出的100人中，年龄在40～45岁的人数大约为20B．抽出的100人中，年龄在35～45岁的人数大约为30C．抽出的100人中，年龄在40～50岁的人数大约为40D．抽出的100人中，年龄在35～50岁的人数大约为50答案 A解析根据频率分布直方图的性质得(0.01＋0.05＋0.06＋a＋0.02＋0.02)×5＝1，解得a＝0.04，所以抽出的100人中，年龄在40～45岁的人数大约为0.04×5×100＝20，所以A正确；年龄在35～45岁的人数大约为(0.06＋0.04)×5×100＝50，所以B不正确；年龄在40～50岁的人数大约为(0.04＋0.02)×5×100＝30，所以C不正确；年龄在35～50岁的人数大约为(0.06＋0.04＋0.02)×5×100＝60，所以D不正确．故选A．(1)频率分布直方图中每个小矩形的面积为对应的频率，不要混淆频率分布条形图和频率分布直方图，误把频率分布直方图纵轴的几何意义当成频率，导致样本数据的频率求错．(2)由于茎叶图完全反映了所有的原始数据，解决由茎叶图给出的统计图表题时，就要充分使用这个图表提供的数据进行相关的计算或者是对某些问题作出判断．1．(2019·福建省高三模拟)为比较甲、乙两名高二学生的数学素养，对课程标准中规定的数学六大素养进行指标测验(指标值满分为5分，分值高者为优)，根据测验情况绘制了如图所示的六大素养指标雷达图，则下面叙述正确的是()A．乙的数据分析素养优于甲B．乙的数学建模素养优于数学抽象素养C．甲的六大素养整体水平优于乙D．甲的六大素养中数据分析最差答案 C解析根据雷达图得到如下数据所示．由数据可知选C ．2．(2019·江西省吉安一中、九江一中、新余一中等八所重点中学高三4月联考)某地区某村的前三年的经济收入分别为100,200,300万元，其统计数据的中位数为x ，平均数为y ；经过今年政府新农村建设后，该村经济收入在上年基础上翻番，则在这4年里收入的统计数据中，下列说法正确的是( )A ．中位数为x ，平均数为1.5yB ．中位数为1.25x ，平均数为yC ．中位数为1.25x ，平均数为1.5yD ．中位数为1.5x ，平均数为2y 答案 C解析依题意，前三年中位数x ＝200，平均数y ＝100＋200＋3003＝200，第四年收入为600万元，故中位数为200＋3002＝250＝1.25x ，平均数为 100＋200＋300＋6004＝300＝1.5y .故选C ．考向3 回归分析与独立性检验角度1 回归分析在实际中的应用例3 (2019·沧州市普通高等学校招生全国统一模拟考试)近年来，随着互联网技术的快速发展，共享经济覆盖的范围迅速扩张，继共享单车、共享汽车之后，共享房屋以“民宿”“农家乐”等形式开始在很多平台上线．某创业者计划在某景区附近租赁一套农房发展成特色“农家乐”，为了确定未来发展方向，此创业者对该景区附近六家“农家乐”跟踪调查了100天．得到的统计数据如下表，x 为收费标准(单位：元/日)，t 为入住天数(单位：天)，以频率作为各自的“入住率”，收费标准x 与“入住率”y 的散点图如图．(1)令z ＝ln x ，由散点图判断y ^＝b ^x ＋a ^与y ^＝b ^z ＋a ^哪个更合适于此模型(给出判断即可，不必说明理由)？并根据你的判断结果求回归方程(b ^结果保留一位小数)；(2)若一年按365天计算，试估计收费标准为多少时，年销售额L 最大？(年销售额L ＝365·入住率·收费标准x )参考数据：b ^＝∑ni ＝1x i y i －n x － y －∑n i ＝1x 2i－n x － 2，a ^＝y －－b ^ x －，x －＝200，y －＝0.45，∑6i ＝1x 2i ＝325000，z －≈5.1，∑6i ＝1y i z i ≈12.7，∑6i ＝1z 2i ≈158.1，e 5≈148.4. 解 (1)由散点图可知y ^＝b ^z ＋a ^更适合于此模型．其中b ^＝∑6i ＝1z i y i －6z －y －∑6i ＝1z 2i －6z － 2＝－1.072.04≈－0.5，a ^＝y －－b ^ z －＝3，所求的回归方程为y ^＝－0.5ln x ＋3.(2)L ＝365(－0.5ln x ＋3)x ＝－3652x ln x ＋1095x .L ′＝－3652 ln x －3652＋365×3，令L ′＝0⇒ln x ＝5⇒x ＝e 5≈148.4. ∴若一年按365天计算，当收费标准约为148.4元/日时，年销售额L 最大，最大值约为27083元．在分析实际中两个变量的相关关系时，可根据样本数据作出散点图来确定两个变量之间是否具有相关关系，若具有线性相关关系，则可通过线性回归方程估计和预测变量的值．(2019·太原市高三模拟)近年来随着互联网的高速发展，旧货交易市场也得以快速发展．某网络旧货交易平台对2018年某种机械设备的线上交易进行了统计，得到如图所示的频率分布直方图和散点图．现把直方图中各组的频率视为概率，用x(单位：年)表示该设备的使用时间，y(单位：万元)表示其相应的平均交易价格．(1)已知2018年在此网络旧货交易平台成交的该种机械设备为100台，现从这100台设备中，按分层抽样抽取使用时间x∈(12,20]的4台设备，再从这4台设备中随机抽取2台，求这2台设备的使用时间都在(12,16]的概率；(2)由散点图分析后，可用y＝e bx＋a作为此网络旧货交易平台上该种机械设备的平均交易价格y关于其使用时间x的回归方程．表中z ＝ln y ，z －＝110∑i ＝110z i . ①根据上述相关数据，求y 关于x 的回归方程；②根据上述回归方程，求当使用时间x ＝15时，该种机械设备的平均交易价格的预报值(精确到0.01)．附：对于一组数据(u 1，v 1)，(u 2，v 2)，…，(u n ，v n )，其回归直线v ＝α＋βu的斜率和截距的最小二乘估计分别为β^＝∑i ＝110u i v i －n u －v －∑i ＝110u 2i －n u －2，α^＝v －－β^u －.参考数据：e 0.55＝1.733，e －0.95＝0.3867，e －1.85＝0.1572.解 (1)由图1中频率分布直方图可知，从2018年成交的该种机械设备中使用时间x ∈(12,16]的台数为100×4×0.03＝12，使用时间x ∈(16,20]的台数为100×4×0.01＝4，∴按分层抽样所抽取4台中，使用时间x ∈(12,16]的设备有3台，分别记为A ，B ，C ；使用时间x ∈(16,20]的设备有1台，记为d ，∴从这4台设备中随机抽取2台的结果为(A ，B )，(A ，C )，(A ，d )，(B ，C )，(B ，d )，(C ，d )，共有6种等可能出现的结果，其中这2台设备的使用时间x 都在(12,16]的结果为(A ，B )，(A ，C )，(B ，C )，共有3种，所求事件的概率为36＝12.(2)①由题意得z ＝ln y ＝ln e bx ＋a ＝bx ＋a ，∵b ^＝∑i ＝110x i z i －10x －z －∑i ＝110x 2i －10x －2＝79.75－10×5.5×1.9385－10×5.52＝－0.3，a ^＝z －－b ^x －＝1.9＋0.3×5.5＝3.55， ∴z 关于x 的线性回归方程为z ＝－0.3x ＋3.55， ∴y 关于x 的回归方程为y ＝e －0.3x ＋3.55.②由①知，当使用时间x ＝15时，y ＝e －0.3×15＋3.55≈0.39，故该种机械设备的平均交易价格的预报值为0.39万元．角度2 独立性检验在实际中的应用例4 (2019·贵州遵义航天高级中学七模)某中学为了解中学生的课外阅读时间，决定在该中学的1200名男生和800名女生中按分层抽样的方法抽取20名学生，对他们的课外阅读时间进行问卷调查．现在按课外阅读时间的情况将学生分成三类：A 类(不参加课外阅读)，B 类(参加课外阅读，但平均每周参加课外阅读的时间不超过3小时)，C 类(参加课外阅读，且平均每周参加课外阅读的时间超过3小时)．调查结果如下表：(1)求出表中x ，y (2)根据表中的统计数据，完成下面的列联表，并判断是否有90%的把握认为“参加课外阅读与否与性别有关”．附：K 2＝(a ＋b )(c ＋d )(a ＋c )(b ＋d )，n ＝a ＋b ＋c ＋d .解 (1)设抽取别为n 1，n 2，则⎩⎨⎧n 1＝20×12002000＝12，n 2＝20×8002000＝8，所以x ＝12－5－3＝4，y ＝8－3－3＝2. (2)列联表如下：K 2＝20×(4×6－2×8)212×8×14×6＝1063≈0.159<2.706，所以没有90%的把握认为“参加阅读与否”与性别有关．独立性检验的关键(1)根据2×2列联表准确计算K 2，若2×2列联表没有列出来，要先列出此表．(2)K 2的观测值k 越大，对应假设事件H 0成立的概率越小，H 0不成立的概率越大．(2019·西安地区陕师大附中、西安高级中学等八校联考)西安市自2017年5月启动对“车不让人行为”处罚以来，斑马线前机动车抢行不文明行为得以根本改变，斑马线前礼让行人也成为了一张新的西安“名片”．但作为交通重要参与者的行人，闯红灯通行却频有发生，带来了较大的交通安全隐患及机动车通畅率降低，交警部门在某十字路口根据以往的检测数据，得到行人闯红灯的概率约为0.4，并从穿越该路口的行人中随机抽取了200人进行调查，对是否存在闯红灯情况得到2×2列联表如下：十字路口试行了对闯红灯行人进行经济处罚，并从试行经济处罚后穿越该路口行人中随机抽取了200人进行调查，得到下表：(1)将2×2列联表填写完整(不需写出填写过程)，并根据表中数据分析，在未试行对闯红灯行人进行经济处罚前，是否有99.9%的把握认为闯红灯与年龄有关；(2)当处罚金额为10元时，行人闯红灯的概率会比不进行处罚降低多少；(3)结合调查结果，谈谈如何治理行人闯红灯现象．参考公式：K2＝n(ad－bc)2(a＋b)(c＋d)(a＋c)(b＋d)，其中n＝a＋b＋c＋d. 参考数据：∵K2＝200×(100×100×80×120＝1003≈33.333>10.828.∴有99.9%的把握认为闯红灯与年龄有关．(2)∵未进行处罚前，行人闯红灯的概率为0.4，进行处罚10元后，行人闯红灯的概率为40200＝15＝0.2，∴降低了0.2.(3)①根据调查数据显示，行人闯红灯与年龄有明显关系，可以针对30岁以上人群开展“道路安全”宣传教育；②由于处罚可以明显降低行人闯红灯的概率，可以进行适当处罚来降低行人闯红灯的概率．真题押题『真题模拟』1．(2019·益阳市高三模拟)如图所示的三个统计图分别是随机抽查甲、乙、丙三地的若干个家庭教育年投入(万元)，记A表示众数，B表示中位数，C表示平均数，则根据图表提供的信息，下面的结论正确的是()A．A甲＝A乙＝A丙，B甲＝B乙＝B丙B．B丙>B甲＝B乙，C甲＝C乙＝C丙C．A丙>A甲＝A乙，C丙>C甲>C乙D．A丙>A甲＝A乙，B丙>B甲>B乙答案 C解析由甲地的条形图可知，家庭教育年投入的中位数为10，众数为10，平均数为10.32；由乙地的折线图可知，家庭教育年投入的中位数为10，众数为10，平均数为9.7；由丙地的扇形图可知，家庭教育年投入的中位数为12，众数为12，平均数为12.4.结合选项可知C正确．故选C．2．(2019·全国卷Ⅱ)演讲比赛共有9位评委分别给出某选手的原始评分，评定该选手的成绩时，从9个原始评分中去掉1个最高分、1个最低分，得到7个有效评分.7个有效评分与9个原始评分相比，不变的数字特征是() A．中位数B．平均数C．方差D．极差答案 A解析中位数是将9个数据从小到大或从大到小排列后，处于中间位置的数据，因而去掉1个最高分和1个最低分，不变的是中位数，平均数、方差、极差均受影响．故选A．3．(2019·郴州市高三第三次质量检测)新闻出版业不断推进供给侧结构性改革，深入推动优化升级和融合发展，持续提高优质出版产品供给，实现了行业的良性发展．下面是2012年至2016年我国新闻出版业和数字出版业营收增长情况：给出下列四个结论：①2012年至2016年我国新闻出版业和数字出版业营收均逐年增加②2016年我国数字出版业营收超过2012年我国数字出版业营收的2倍③2016年我国新闻出版业营收超过2012年我国新闻出版业营收的1.5倍④2016年我国数字出版业营收占新闻出版业营收的比例未超过三分之一其中所有正确结论的编号为()A．①②B．①②③C．①②④D．②③④答案 C解析根据图示数据可知①正确；对于②：1935.5×2＝3871<5720.9，正确；对于③：16635.3×1.5>23595.8，不正确；对于④：23595.8×13≈7865>5720.9，正确．故选C ．4．(2019·江苏高考)已知一组数据6,7,8,8,9,10，则该组数据的方差是________．答案 53解析这组数据的平均数为8，故方差为s 2＝16×[(6－8)2＋(7－8)2＋(8－8)2＋(8－8)2＋(9－8)2＋(10－8)2]＝53.5．(2019·全国卷Ⅲ)为了解甲、乙两种离子在小鼠体内的残留程度，进行如下试验：将200只小鼠随机分成A ，B 两组，每组100只，其中A 组小鼠给服甲离子溶液，B 组小鼠给服乙离子溶液．每只小鼠给服的溶液体积相同、摩尔浓度相同．经过一段时间后用某种科学方法测算出残留在小鼠体内离子的百分比．根据试验数据分别得到如下直方图：记C 为事件：“乙离子残留在体内的百分比不低于5.5”，根据直方图得到P (C )的估计值为0.70.(1)求乙离子残留百分比直方图中a ，b 的值；(2)分别估计甲、乙离子残留百分比的平均值(同一组中的数据用该组区间的中点值为代表)．解 (1)由已知得0.70＝a ＋0.20＋0.15，故a ＝0.35.b ＝1－0.05－0.15－0.70＝0.10.(2)甲离子残留百分比的平均值的估计值为2×0.15＋3×0.20＋4×0.30＋5×0.20＋6×0.10＋7×0.05＝4.05，乙离子残留百分比的平均值的估计值为3×0.05＋4×0.10＋5×0.15＋6×0.35＋7×0.20＋8×0.15＝6.00.6．(2019·湖北武汉高三第二次质量检测)光伏发电是利用太阳能电池及相关设备将太阳光能直接转化为电能．近几年在国内出台的光伏发电补贴政策的引导下，某地光伏发电装机量急剧上涨，如下表：某位同学分别用两种模型：①y ^＝bx 2＋a ，②y ^＝dx ＋c 进行拟合，得到相应的回归方程并进行残差分析，残差图如下(注：残差等于y i －y ^i )：经过计算得∑i ＝18(x i －x －)(y i －y －)＝72.8，∑i ＝18(x i －x －)2＝42，∑i ＝18(t i －t )(y i －y －)＝686.8，∑i ＝18(t i －t )2＝3570，其中t i ＝x 2i ，t ＝18∑i ＝18t i.(1)根据残差图，比较模型①，②的拟合效果，应该选择哪个模型？并简要说明理由；(2)根据(1)的判断结果及表中数据建立y 关于x 的回归方程，并预测该地区2020年新增光伏装机量是多少？(在计算回归系数时精确到0.01)附：回归直线的斜率和截距的最小二乘估计公式分别为b ^＝∑i ＝18(x i －x －)(y i －y －)∑i ＝18(x i －x －)2，a ^＝y －－b ^x －.解 (1)选择模型①.理由如下：根据残差图可以看出，模型①的估计值和真实值比较相近，模型②的残差值相对较大一些，所以模型①的拟合效果相对较好．(2)由(1)可知，y 关于x 的回归方程为y ^＝b ^x 2＋a ^，令t ＝x 2，则y ^＝b ^t ＋a ^. 由所给数据可得t ＝18∑i ＝18t i ＝18×(1＋4＋9＋16＋25＋36＋49＋64)＝25.5.y －＝18∑i ＝18y i ＝18×(0.4＋0.8＋1.6＋3.1＋5.1＋7.1＋9.7＋12.2)＝5，∴b ^＝∑i ＝18(t i －t )(y i －y －)∑i ＝18(t i －t )2＝686.83570≈0.19，a ^＝y －－b ^ t ≈5－0.19×25.5≈0.16，所以y 关于x 的回归方程为y ^＝0.19x 2＋0.16，预测该地区2020年新增光伏装机量为y ^＝0.19×102＋0.16＝19.16(兆瓦)．『金版押题』7．某市环保部门对该市市民进行了一次垃圾分类知识的网络问卷调查，每位市民仅有一次参加机会，通过随机抽样，得到参与问卷调查的100人的得分(满分：100分)数据，统计结果如表所示．2×2列联表，并判断能否在犯错误的概率不超过0.05的前提下，认为是否为“环保关注者”与性别有关？(2)保达人”中利用分层抽样的方法随机抽取5名市民参与环保知识问答，再从这5名市民中抽取2人参与座谈会，求抽取的2名市民中，既有男“环保达人”又有女“环保达人”的概率．附表及公式：K 2＝n (ad －bc )2(a ＋b )(c ＋d )(a ＋c )(b＋d )，n ＝a ＋b ＋c ＋d .解将2×2K 2的观测值k ＝100×(45×15－30×10)225×75×55×45≈3.03<3.841，所以在犯错误的概率不超过0.05的前提下，不能认为是“环保关注者”与性别有关．(2)由题可知，利用分层抽样的方法可得男“环保达人”3人，女“环保达人”2人．设男“环保达人”3人分别为A ，B ，C ；女“环保达人”2人为D ，E . 从中抽取两人的所有情况为(A ，B )，(A ，C )，(A ，D )，(A ，E )，(B ，C )，(B ，D )，(B ，E )，(C ，D )，(C ，E )，(D ，E )，共10种情况，且这10种情况发生的可能性相等．既有男“环保达人”又有“女环保达人”的情况有(A ，D )，(A ，E )，(B ，D )，(B ，E )，(C ，D )，(C ，E )，共6种情况．所求概率P ＝610＝35.配套作业一、选择题1．某考察团对10个城市的职工人均工资x (千元)与居民人均消费y (千元)进行调查统计，得出y 与x 具有线性相关关系，且回归方程为y ^＝0.6x ＋1.2.若某城市职工人均工资为5千元，估计该城市人均消费额占人均工资收入的百分比为( )A ．66%B ．67%C ．79%D ．84%答案 D解析 ∵y 与x 具有线性相关关系，满足回归方程y ^＝0.6x ＋1.2，该城市居民人均工资为x ＝5，∴可以估计该城市的职工人均消费水平y ＝0.6×5＋1.2＝4.2，∴可以估计该城市人均消费额占人均工资收入的百分比为4.25＝84%.2．(2019·上海市嘉定(长宁)区高三第二次质量调研)产能利用率是指实际产出与生产能力的比率，工业产能利用率是衡量工业生产经营状况的重要指标，下图为国家统计局发布的2015年至2018年第2季度我国工业产能利用率的折线图．在统计学中，同比是指本期统计数据与上一年同期统计数据相比较，例如2016年第二季度与2015年第二季度相比较；环比是指本期统计数据与上期统计数据相比较，例如2015年第二季度与2015年第一季度相比较．根据上述信息，下列结论中正确的是( )A ．2015年第三季度环比有所提高B ．2016年第一季度同比有所提高C ．2017年第三季度同比有所提高D ．2018年第一季度环比有所提高答案 C解析 2015年第二季度利用率为74.3%，第三季度利用率为74.0%，故2015年第三季度环比有所下降，故A 错误；2015年第一季度利用率为74.2%,2016年第一季度利用率为72.9%，故2016年第一季度同比有所下降，故B 错误；2016年第三季度利用率为73.2%,2017年第三季度利用率为76.8%，故2017年第三季度同比有所提高，故C 正确；2017年第四季度利用率为78%,2018年第一季度利用率为76.5%，故2018年第一季度环比有所下降，故D 错误．故选C ．3．(2019·大庆市高三第三次教学质量检测)在某线性回归分析中，已知数据满足线性回归方程y ^＝b ^x ＋a ^，并且由观测数据算得x －＝5，y －＝56，b ^＝10.5，则当x ＝10时，预测数值y ^＝( )A ．108.5B ．210C ．140D ．210.5答案 A解析由题意得样本中心为(5,56)，由于回归直线y ^＝10.5x ＋a ^过样本中心，所以56＝10.5×5＋a ^，解得a ^＝3.5，所以回归直线方程为y ^＝10.5x ＋3.5.当x ＝10时，y ^＝10.5×10＋3.5＝108.5.故选A ．4．如图，5个(x，y)数据，去掉D(3，10)后，下列说法错误的是()A．相关系数r变大B．残差平方和变大C．R2变大D．解释变量x与预报变量y的相关性变强答案 B解析由散点图知，去掉D(3,10)后，y与x的线性相关性加强，且为正相关，所以r变大，R2变大，残差平方和变小，故选B．5．对某两名高三学生在连续9次数学测试中的成绩(单位：分)进行统计得到如图所示的折线图．下面关于这两名同学的数学成绩的分析中，正确的个数为()①甲同学的成绩折线图具有较好的对称性，故而平均成绩为130分；②根据甲同学成绩折线图提供的数据进行统计，估计该同学平均成绩在[110,120)内；③乙同学的数学成绩与测试次号具有比较明显的线性相关性，且为正相关；④乙同学在这连续9次测试中的最高分与最低分的差超过40分．A．1 B．2C．3 D．4答案 C解析由折线图可得②③④正确，甲的最高分是130，平均分在[110,120)内，则①不正确，即正确的有3个，故选C．二、填空题6．(2019·焦作市高三第四次模拟)条形图给出的是2017年全年及2018年全年全国居民人均可支配收入的平均数与中位数，饼状图给出的是2018年全年全国居民人均消费及其构成，现有如下说法：①2018年全年全国居民人均可支配收入的平均数的增长率低于2017年；②2018年全年全国居民人均可支配收入的中位数约是平均数的86%；③2018年全年全国居民衣(衣着)食(食品烟酒)住(居住)行(交通通信)的支出超过人均消费的70%.则上述说法中，正确的是________．(写出所有正确说法的序号)答案①②③解析2018年全年全国居民人均可支配收入的平均数的增长率为8.7%，而2017年全年全国居民人均可支配收入的平均数的增长率为9%，故①正确；因为2433628228≈0.862，所以2018年全年全国居民人均可支配收入的中位数约是平均数的86%，故②正确；因为6.5%＋28.4%＋23.4%＋13.5%＝71.8%,2018年全年全国居民衣(衣着)食(食品烟酒)住(居住)行(交通通信)的支出超过人均消费的70%，故③正确．故正确的是①②③.7．(2019·武汉市高三4月调研)某学校为了了解本校学生的上学方式，在全校范围内随机抽查部分学生，了解到上学方式主要有：A—结伴步行，B—自行乘车，C—家人接送，D—其他方式，并将收集的数据整理绘制成如下两幅不完整的统计图，请根据图中信息，求本次抽查的学生中A 类人数是________．答案 30解析根据选择D 方式的有18人，所占比例为15%，得总人数为1815%＝120，故选择A 方式的人数为120－42－30－18＝30.8．甲、乙两人要竞争一次大型体育竞技比赛射击项目的参赛资格，如图是在测试中甲、乙各射靶10次的条形图，则参加比赛的最佳人选为________．答案乙解析甲的平均数x －1＝4×0.2＋5×0.1＋7×0.3＋8×0.1＋9×0.2＋10×0.1＝7.0，乙的平均数x －2＝5×0.1＋6×0.2＋7×0.4＋8×0.2＋9×0.1＝7.0，所以x －1＝x －2；甲的方差s 21＝110×[(7－4)2×2＋(7－5)2×1＋(7－7)2×3＋(7－8)2×1＋(7－9)2×2＋(7－10)2×1]＝4，乙的方差s 22＝110×[(7－5)2×1＋(7－6)2×2＋(7－7)2×4＋(7－8)2×2＋(7－9)2×1]＝1.2，所以s 21>s 22，所以参加比赛的最佳人选为乙．三、解答题9．(2019·青岛市高三一模)某食品厂为了检查甲、乙两条自动包装流水线的生产情况，随机在这两条流水线上各抽取100件产品作为样本称出它们的质量(单位：毫克)，质量值落在(175,225]的产品为合格品，否则为不合格品．如表是甲流水线样本频数分布表，如图是乙流水线样本的频率分布直方图．(1)由以上统计数据完成下面2×2列联表，能否在犯错误的概率不超过0.15的前提下认为“产品的包装合格与否与两条自动包装流水线的选择有关”？附表：⎝ ⎭⎪参考公式：K 2＝(a ＋b )(a ＋c )(b ＋d )(c ＋d )，n ＝a ＋b ＋c ＋d(2)按照以往经验，在每小时次品数超过180件时，产品的次品率会大幅度增加，为检测公司的生产能力，同时尽可能控制不合格品总量，公司工程师抽取几组一小时生产的产品数据进行次品情况检查分析，在x (单位：百件)件产品中，得到次品数量y (单位：件)的情况汇总如下表所示：按照公司的现有生产技术设备情况，判断可否安排一小时生产2000件的任务？解 (1)由乙流水线样本的频率分布直方图可知，合格品的个数为100×(1－0.04)＝96，所以，2×2列联表是：所以K 2＝(a ＋b )(a ＋c )(b ＋d )(c ＋d )＝200×(92×4－96×8)2100×100×188×12≈1.418<2.072.所以，在犯错误的概率不超过0.15的前提下，不能认为“产品的包装合格与否与两条自动包装流水线的选择有关”．(2)由已知可得，x －＝0.5＋2＋3.5＋4＋55＝3； y －＝2＋14＋24＋35＋405＝23； ∑5i ＝1x i y i ＝0.5×2＋2×14＋3.5×24＋4×35＋5×40＝453；∑5i ＝1x 2i ＝0.52＋22＋3.52＋42＋52＝57.5. 由回归直线的系数公式，b ^＝∑5i ＝1x i y i－5x －y －∑5i ＝1x 2i－5x －2＝453－5×3×2357.5－5×32＝10812.5＝8.64. a ^＝y －－b ^x －＝23－8.64×3＝－2.92. 所以y ^＝b ^x ＋a ^＝8.64x －2.92.当x ＝20(百件)时，y ＝8.64×20－2.92＝169.88<180，符合有关要求．所以按照公司的现有生产技术设备情况，可以安排一小时生产2000件的任务．10．(2019·聊城市高三一模)某小学为了了解四年级学生的家庭作业用时情况，从本校四年级随机抽取了一批学生进行调查，并绘制了学生作业用时的频率分布直方图，如图所示．(1)估算这批学生的作业平均用时情况；(2)作业用时不能完全反映学生学业负担情况，这与学生自身的学习习惯有很大关系，如果用时四十分钟之内评价为优异，一个小时以上为一般，其他评价为良好．现从优异和良好的学生里面用分层抽样的方法抽取300人，其中女生有90人(优异20人)．请完成列联表，并根据列联表分析能否在犯错误的概率不超过0.05的前提下认为学习习惯与性别有关系？附：K 2＝n (ad (a ＋b )(c ＋d )(a ＋c )(b ＋d )，其中n ＝a ＋b ＋c ＋d .。

2020届高三数学(理)二轮复习专题集训：专题七概率与统计7.1Word版含解析.doc

A1． M， N 是两个非空会合，定M ?N＝ {( a， b)|a∈ M， b∈ N} ，若 P＝ {0,1,2,3}，Q ＝{1,2,3,4,5}， P?Q 中元素的个数是 ()A ． 4B ． 9C．20D．24分析：依意， a 有 4 种取法， b 有 5 种取法，由分步乘法数原理得，有4× 5＝ 20种不一样取法，共有20 个不一样元素，故 C.答案：C2．若二式n*x 的升摆列的第三的系数15， n的(x＋1) (n∈N )的睁开式依据()A ． 7B ． 6C．5 D ． 4分析：∵二睁开式的通 T r＋1＝ C nr x n－r，由意知，睁开式依据x 的升摆列的第三是 C n n－2x2， C n n－2＝ 15，解得 n＝6，故 B.答案：B3．足 m，n∈ { － 1,0,1,2,3} ，且对于 x 的方程 mx2＋2x＋ n＝ 0 有数解的有序数(m，n)的个数 ()A．17B．14C．13D．12n分析：当 m＝ 0 ， 2x＋n＝ 0?x＝－2，有序数 (0， n)有 5 个；当 m≠0，＝4－4mn≥ 0? mn≤ 1，有序数 (－ 1，n)有 5 个，(1，n)有 3 个，(2，n)有 2 个，(3，n)有 2 个．上，共有 5＋5＋ 3＋2＋ 2＝ 17(个 )，故 A.答案：A4．已知 (x＋2) 15＝ a0＋ a1(1－ x)＋ a2(1－ x)2＋⋯＋ a15(1－ x)15， a13的 ()A．945 B ．－ 945C．1 024D．－1 024分析：由 (x＋ 2)15＝ [3－ (1－ x)] 15＝ a0＋ a1(1－ x)＋ a2(1－ x)2＋⋯＋a15(1－ x)15，得 a13＝C1513× 32× (－ 1)13＝－ 945.答案：B5．从 6 名男医生、 5 名女医生中出 2 名男医生、 1 名女医生成一个医小，不同的法共有 ()A．60 种B．70 种C．75种D．150 种分析：从 6 名男医生中选出 2 名有C26＝ 15 种不一样的选法，从5 名女医生中选出 1 名有C15＝5 种不一样的选法，依据分步乘法计数原理可得，构成的医疗小组共有15× 5＝ 75 种不同的选法．答案：C6．某校为了倡导素质教育，丰富学生们的课外生活，分别建立绘画、象棋和篮球兴趣小组，现有甲、乙、丙、丁四名学生报名参加，每人仅参加一个兴趣小组，每个兴趣小组至罕有一人报名，则不一样报名方法有()A．12 种B．24 种C．36 种D．72 种分析：由题意可知，从 4 人中任选 2人作为一个整体，共有C2＝ 6(种 )，再把这个整4体与其余 2 人进行全摆列，对应 3 个活动小组，有A3＝ 6(种 )状况，所以共有6× 6＝ 36(种 )3不一样的报名方法．答案：C7．在x＋3130的睁开式中， x 的幂指数是整数的项共有()xA．4 项B．5 项C．6 项D．7 项分析：因为 T r＋1＝C30r x15－5r(0≤ r ≤ 30， r∈N )，若睁开式中x 的幂指数为整数，由6通项公式可知r 为 6 的倍数，易知r＝ 0,6,12,18,24,30均切合条件．答案：C8．在二项式x－1n的睁开式中恰巧第 5 项的二项式系数最大，则睁开式中含 x2项的系x数是 ()A．－ 56B．－ 35C．35D．56分析：因为睁开式中恰巧第 5 项的二项式系数最大，所以睁开式共有9 项，所以 n＝8，所以二项睁开式的通项公式为r8－r( －x－ 1r＝(－ 1)r r8－2 r，令 8－ 2r＝ 2 得 r＝ 3，T r＋1＝ C8x)C8x2项的系数是33所以睁开式中含 x(－ 1) C8＝－ 56.答案：A9． (2017 全·国卷Ⅲ )(x＋ y)(2x－ y)5的睁开式中 x3y3的系数为 () A．－ 80B．－ 40C．40D．80分析：332332因为 x y＝ x·(x y )，其系数为－C5·2 ＝－ 40，333223x y＝y·(x y )，其系数为C5·2 ＝ 80.所以 x3y3的系数80－ 40＝ 40.应选 C.答案：C10．(2017 合·肥市第一次教课质量检测)已知 (ax＋b)6的睁开式中 x4项的系数与 x5项的系数分别为135 与－ 18，则 (ax＋ b)6的睁开式中所有项系数之和为()A．－ 1 B ． 1C．32D．64分析：由二项睁开式的通项公式可知4项的系数为242515x C6a b，x项的系数为 C6 a b，则242C6 a b ＝ 135由题意可得15，解得 a＋ b＝±2，故 ( ax＋ b)6的睁开式中所有项的系数之和为(a C6 a b＝－ 18＋b)6＝ 64，选 D.答案： D11．在三位正整数中，若十位数字小于个位和百位数字，称该数为“驼峰数”，比方“ 102、”“ 546为”“驼峰数”．由数字1,2,3,4,5 这五个数字构成的无复重数字的“驼峰数”的十位上的数字之和为()A．25 C．30B．28 D．32分析：由数字1,2,3,4,5 这五个数字构成的无重复数字的三位“驼峰数”中，1 在十位的有 A 24＝ 12个， 2在十位的有 A 23＝ 6 个， 3 在十位上的有 A 22＝ 2 个，所以所有三位“驼峰数” 的十位上的数字之和为12× 1＋ 6× 2＋ 2× 3＝30.答案：C12．某微信群中甲、乙、丙、丁、戊五名成员同时抢 4 个红包，每人最多抢一个，且红包被所有抢光， 4 个红包中有两个 2 元，两个 3 元 (红包中金额同样视为同样的红包) ，则甲、乙两人都抢到红包的状况有()A．35 种C．18 种分析：若甲、乙抢的是一个 2 元和一个B．24 种D．9 种3 元的红包，剩下 2 个红包，被剩下 3 名成员中的 2 名抢走，有A22A 32＝ 12(种)；若甲、乙抢的是两个 2 元或两个 3 元的红包，剩下两个红包，被剩下的 3 名成员中的 2 名抢走，有 A 22C23＝6( 种)．依据分类加法计数原理可得，甲、乙两人都抢到红包的状况共有12＋ 6＝ 18(种) ．答案：C13．已知会合A＝ {4} ，B＝{1,2} ，C＝ {1,3,5} ，从这三个会合中各取一个元素构成空间直角坐标系中的点的坐标，则确立的不一样点的个数为________．分析：不考虑限制条件确立的不一样点的个数为1113C1C2C3 A3＝ 36，但会合 B，C 中有相同元素1，由 4,1,1三个数确立的不一样点只有3个，故所求的个数为36－ 3＝33.答案：33a14．(2017 西·安市八校联考 )已知对于 x 的二项式x＋3n 的睁开式的二项式系数之和x为 32，常数项为80，则实数 a 的值为 ________．分析：依题意得2n＝ 32， n＝5，二项式x＋an＝x＋a5 的睁开式的通项Tr＋1 33x xr5－rar r r15－ 5r 15－ 5r333·＝＝C5·( x)＝ C5·a·x6.令6＝ 0，得 r ＝ 3.由 C5·a10a ＝ 80，解得 a＝2.3x答案：215．从 1,3,5,7,9 中任取 2 个数，从 0,2,4,6中任取2 个数构成没有重复数字的四位数，若将所有个位是 5 的四位数从小到大排成一列，则第100 个数是 ________．分析：①形如“ 1×× 5”，中间所缺的两数只好从0,2,4,6中选用，有 A 2＝ 12个．4②形如“ 2×× 5”，中间所缺的两数是奇偶各一个，有112C4C3A 2＝ 24 个．③形如“ 3×× 5”，同①有 A 42＝ 12 个．④形如“ 4×× 5”，同②，也有C41C31A 22＝ 24 个．⑤形如“ 6×× 5”，也有 C41C31 A 22＝ 24 个，以上 5 类小于7 000 的数共有96 个．故第 97 个数是 7 025，第 98个数是 7 045，第 99 个数是7 065，第 100 个数是 7 205.答案：7 20516． (a＋ x)(1＋ x)4的睁开式中x 的奇数次幂项的系数之和为32，则 a＝________.分析：设 (a＋ x)(1＋ x)4＝ a0＋ a1x＋ a2x2＋ a3x3＋ a4x4＋ a5 x5.令 x＝ 1，得 (a＋ 1)× 24＝ a0＋ a1＋ a2＋ a3＋ a4＋ a5.①令 x＝－ 1，得 0＝ a0－ a1＋ a2－ a3＋ a4－ a5.②①－②，得 16(a＋ 1)＝2(a1＋a3＋a5)＝ 2× 32，∴ a＝ 3.答案： 3B 级1．从 1,2,3,4,5,6 这 6个数中，每次取出两个不一样的数，分别记作 a，b，共能够获得 lg a－lg b 的不一样值的个数是()A．28B．26 C．24D．22分析：依题意，得 lg a －lg b ＝ lg a，从 1,2,3,4,5,6 中每次取出两个不一样的数a ，b ，b可获得 A 62＝ 30 个 a，此中 1＝ 2＝ 3， 2＝4＝ 6， 1＝ 2， 3＝ 6，2＝ 4， 3＝6，所以可获得不一样b 2 4 6 1 2 3 3 6 1 2 3 6 2 4的a的值共有30－ (2＋ 2＋1＋ 1＋ 1＋ 1)＝ 22 个，即共可获得的lg a －lg b 的不一样值的个数为b22，选 D.答案：D2．某市在创立“全国文明城市”时期，要求各单位选派工作人员到街道路口站岗，劝导市民文明过马路．教育局将甲、乙等5 名工作人员按要求分派到三个不一样的路口站岗，每个路口起码1 人，且甲、乙在同一路口的分派方案共有()A ．18 种B ．24 种C ．36种D ．72 种分析：依题意知不一样的分派方案可分为以下两种： (1) 甲、乙在同一路口，其余三人分派在此外的两个路口，则不一样的分派方案有C 23A 33＝ 18(种 )； (2) 甲、乙所在路口分派三人，此外两个路口各分派一人，则不一样的分派方案有C 13A 33 ＝ 18(种 )．于是不一样的分派方案共有18＋ 18＝ 36(种 )．应选 C.答案：C1 n*3．若 3x ＋ x (n ∈N )的睁开式中各项系数的和为 P ，所有二项式系数的和为S ，若 P ＋S ＝ 272，则函数 f(x)＝ 3x ＋ 1 n 在(0 ，＋∞ ) 上的最小值为 ()xA ．144B ．256C ．24 3D ．64 3分析：由题意可得 P ＝ 4n ， S ＝ 2n ，所以 P ＋S ＝ 4n ＋ 2n ＝ 272，得 2n ＝ 16，所以 n ＝4，在(0 ，＋ ∞ )上函数 f(x)＝ 3x ＋1 n＝ 3x ＋ 1 4≥ (2 3)4＝ 144，当且仅当 x ＝ 3时，等号建立，x x3 故函数 f(x) ＝ 1 n 在(0 ，＋ ∞ )上的最小值为144，应选 A.3x ＋ x 答案： A4． (2017 昆·明市教课质量检测 )(1＋ 2x)3(2－ x)4 的睁开式中 x 的系数是 ( )A ．96B ．64C ．32D ．16分析：(1＋ 2x)3 的睁开式的通项公式为 T r ＋1＝ C 3r (2x) r ＝ 2r C 3r x r ，(2－ x)4 的睁开式的通项公式为 T k ＋ 1 ＝ C 4k 24－ k (－ x)k ＝ (－ 1)k 24 －k C 4k x k ，所以 (1 ＋ 2x)3(2 － x) 4 的睁开式中x 的系数为0 0 3 11 04 02 C3·(－ 1) ·2C4＋ 2C3·(－ 1) ·2 C4＝ 64，应选 B.答案：B5． 7 名股民每人取出1 万元人民币准备购置两种不一样的股票，若每种股票起码有2 人购置，则不一样的购置方法有()A ．110 种B ．112 种C ．124 种D ．132 种分析：7 名股民每人取出 1 万元人民币购置两种不一样的股票，每种股票起码有2 人购买，其方式有 2,5 和 3,4 两种组合．①一种股票2 人购置，另一种股票 5 人购置，有 2 2C 7A 2种方法；②一种股票 3 人购置，另一种股票4 人购置，有 C 73A 22种方法．所以，共有C 72A 22＋ C 73A 22＝ 112 种购置方法．应选B.答案：B3－ 3x － 1 a|x|)dx ，则在的睁开式 6．(2017 石·家庄市教课质量检测 (二 )) 若 a ＝ 2 (x ＋3x中， x 的幂指数不是整数的项共有()A ．13 项B ．14 项C ．15 项D ．16 项分析：332 3因为 a ＝ 2－ 3(x ＋ |x|)dx ＝ 2[ 0(x ＋ x)dx ＋－ 3(x － x)dx] ＝ 2x |0＝ 18，所以该 r 18－ r 1 r r r5r ≤r ≤18，且 r ∈N )，当 r ＝二项睁开式的通项 T r ＋ 1＝ C 18( x) ( － ) ＝(－1) C 18x9－ 6 (03 x0,6,12,18 时，睁开式中 x 的幂指数为整数，所以该二项睁开式中 x 的幂指数不是整数的项有19－ 4＝ 15 项，应选 C.答案：C7． (2017 白·银二模 )若 (x ＋ y)9 按 x 的降幂摆列的睁开式中，第二项不大于第三项，且 x＋y ＝ 1， xy<0，则 x 的取值范围是 ()A. －∞，1B. 4，＋∞55C. －∞，－4D ． (1，＋∞ )5解析：二项式 (x ＋ y)9的展开式的通项 T r ＋ 1 ＝ C 9r ·x 9 － r ·y r . 依题意，有C 91·x 9－ 1·y ≤ C 92 ·x 9－2·y 2，x 8·1－ x － 4x 7·1－ x 2≤ 0，x ＋ y ＝ 1，由此得解得 x>1，即 x 的取值范围x 1－x <0，xy<0，为(1，＋ ∞ ). 应选 D.答案： D8． (x 2＋ x ＋ y)5 的睁开式中 x 5 y 2 的系数为 ( )A ．10B ．20C．30D．60分析：25的睁开式的通r 25－ r r 2 2＋(x＋ x＋ y)T r＋1＝ C5(x ＋ x)·y，令 r ＝ 2， T3＝ C5(xx)3y2，又 (x2＋ x)3的通 C3k(x2)3－k·x k＝ C3k x6－k，令 6－ k＝ 5， k＝ 1，∴ (x2＋ x＋y)5的睁开式中， x5y2的系数 C52 C31＝ 30，故 C.答案：C9．已知 f(x)＝ |x＋ 2|＋ |x－4|的最小1n睁开式中 x2的系数 () n，二式 x－xA．15B．－ 15C．30D．－30分析：因函数 f( x)＝ |x＋ 2|＋ |x－ 4|表示数上的点到－ 2和 4 之的距离，易知其最小 4－ (－ 2)＝ 6，即 n＝ 6，此睁开式的通公式T k＋1＝C6k x6－k·－1k＝C6k x6－2k·(－x1)k，由 6－2k＝ 2，得 k＝ 2，所以 T3＝C26x2(－ 1) 2＝ 15x2，即 x2的系数 15，故 A.答案：A10．已知 (1－2x) 2 017＝ a0＋ a1(x－ 2)＋ a2(x－ 2)2＋⋯＋ a2 016(x－ 2)2 016＋ a2 017(x－ 2)2 017(x∈R)，a1－2a2＋3a3－⋯－2 016a2 016＋2 017a2 017＝()A．－ 2 017B．2 017C．－ 4 034 D ． 0分析：因 (1－ 2x)2017＝ a0＋ a1(x－ 2)＋ a2(x－ 2)2＋⋯＋ a2 016(x－ 2)2 016＋ a2 017(x－ 2)2 017 2 016(x∈R )，两分 x 求可得－ 2 017× 2× (2x－ 1)＝ a1＋ 2a2( x－ 2)＋⋯＋ 2 016a2 016(x －2) 2 015＋ 2 017a2 017(x－ 2)2 016(x∈R )，令 x＝ 1 得－ 4 034＝a1－ 2a2＋⋯－2 016a2 016＋ 2 017a2 017，故 C.答案：C11．《中国大会》(第二季 )亮点多，十比每都有一首特的开，在声光舞美的配合下，百人声朗，有神韵．若《将酒》、《山居秋暝》、《望岳》、《送杜少府之任蜀州》和另确立的两首排在后六，且《将酒》排在《望岳》前方，《山居秋暝》与《送杜少府之任蜀州》不相且均不排在最后，后六的排法有() A．144 种B．288 种C．360种D．720 种分析：依意可分以下 2 步： (1) 将《将酒》、《望岳》和另确立的两首4首行全摆列，有 A 44＝24种方法，因为《将酒》排在《望岳》前方， 4 首的排法有 A444 个空位，在4 个空位中任＝ 12 种； (2) 以上 4 首排好此后，不含最后有22 个来安排《山居秋暝》与《送杜少府之任蜀州》，有 A 2＝ 12 种安排方法．依据分步乘4法数原理可得，后六的排法有12× 12＝ 144 种．答案：A有12．如，某形花被其内接三角形分红四部分，划在四部分栽栽花卉，5 栽花卉可供，要求每部分栽种 1 栽花卉，而且相两部分栽种不一样的花卉，假如不同的栽种方法有()A ．360 种C ．108 种B ．320 种D ．96 种分析：如分红的四部分行号，能够分以下 3 种状况行剖析： (1) 共栽种 2栽花卉，即 1 部分栽种 1 栽花卉， 2,3,4 部分栽种同一栽花卉，栽种方法有 C 52A 22＝ 20 种； (2) 共栽种3 栽花卉，即1 部分栽种 1 栽花卉， 2,3 部分栽种同一栽花卉或2,4 部分栽种同一栽花卉或 3,4 部分栽种同一栽花卉，此外一部分栽种另一栽花卉，栽种方法有 3C 53A 33＝ 180 种； (3) 共栽种 4 栽花卉，栽种方法有 A 54＝ 120 种．所以不一样的栽种方法有20＋ 180＋ 120＝ 320 种．答案： B13．(2017 ·掖市第一次断考) f(x)是x 2＋ 16 睁开式中的中，若f(x)≤ mx 在2x区2上恒建立，数 m 的取范是 ________．2 ， 221 63 2 31 3 5 3分析：x ＋ 2x 的睁开式中的中第四，即 f(x)＝ C 6(x ) 2x ＝ 2x，∵ f(x)≤mx25 2 2 5 2在区2 ， 2 上恒建立，∴ m ≥ 2x 在 2，2 上恒建立，∴ m ≥2xmax ＝ 5，∴ 数 m的取范是 [5，＋ ∞ )．答案：[5，＋∞ )14． (2017 ·西省高三教课量 (一 ))从一架琴挑出的10 个音中，分3 个，4 个，5 个，⋯， 10 个同按下，可出和声，如有一个音不一样，出不一样的和声，的不一样的和声数 ________(用数字作答 )．分析：依意共有8 不一样的和声，当有k(k＝3,4,5,6,7,8,9,10) 个同按下，有C k10种不一样的和声，和声数C310＋ C410＋ C510＋⋯＋ C1010＝ 210－ C010－ C110－ C210＝ 1 024－ 1－10－ 45＝968.答案： 96815．已知一个公园的形状如所示，有3种不一样的植物要种在此公园的A，B，C，D ，E五个地区内，要求有公共界的两相地区种不一样的植物，不一样的种法共有________种．分析：先在 A， B， C 三个地区栽种 3 种不一样的植物，共有A3＝ 6 各种法，若 E 与 A3同样，最后种D，有 1 各种法；若 E 与 C 同样，最后种D，有 2 各种法，依据分加法数原理和分步乘法数原理知共有6× (1＋ 2) ＝18 各种法．答案：1816．算 C n1＋2C n2＋ 3C n3＋⋯＋ nC n n可采纳以下方法：01 2 2n n n结构等式： C n＋C n x＋ C n x ＋⋯＋ C n x ＝ (1＋ x) ，两 x 求得C n1＋ 2C n2x＋ 3C n3x2＋⋯＋ nC n n x n－1＝ n(1＋ x)n－1，在上式中令 x＝1 得C n1＋ 2C n2＋ 3C n3＋⋯＋ nC n n＝ n2n－1，比上述算方法算C n1＋ 22 C n2＋ 32C n3＋⋯＋ n2C n n＝ ________.分析：由意得，结构等式：12 3 2n n－1n－1C n＋ 2C n x＋ 3C n x ＋⋯＋nC n x＝ n(1＋ x)，两同乘1 2 2 3 3 2 n n n－ 1，再两1 2 2以 x，得 C n x＋ 2C n x＋ 3C n x＋⋯＋ n C n x ＝ n·x·(1＋ x)x 求，获得 C n＋ 2C n x ＋32C3n x2＋⋯＋ n2C n n x n－1＝ n(1＋ x)n－1＋ n(n－1)x·(1＋ x)n－2，在上式中，令 x＝ 1，得 C1n＋ 22C n2＋32C3n＋⋯＋ n2C n n＝ n(n＋ 1)2n－2 .答案：n(n＋ 1)2n－2。

2020新高考数学二轮冲刺概率与统计全归纳(基础中档拔高题全解析)

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统计与统计案例
一、考纲解读
1. 理解随机抽样的必要性和重要性。 2. 会用简单随机抽样方法从总体中抽取样本；了解分层抽样和系统抽样方法。 3. 了解分布的意义和作用，会列频率分布表，会画出频率分布直方图、频率折线图、茎叶图，理解它们各自的特点。 4. 理解样本数据标准差的意义和作用，会计算数据标准差。 5. 能从样本的频率分布估计总体分布，会用样本的基本数字牲估计总体的基本数字特征，理解用样本估计总体的思想。 6. 会用随机抽样的基本方法和样本估计总体的思想解决一些简单的实际问题。 7. 会作两个有关联变量的数据的散点图，会利用散点图认识变量间的相关关系。 8. 了解最小二乘法的思想，能根据给出的线性回归方程系数公式建立线性回归方程。 9. 了解常见的统计方法，并能应用这些方法解决一些实际问题。 (1)独立性检验了解独立性检验(只要求 2×2 列联表)的基本思想、方法及其简单应用。 (2)回归分析了解回归分析的基本思想、方法及其简单应用。
个小组的可能性相同，则这两位同学参加同一个兴趣小组的概率为
A． 1 3
B． 1 2
C． 2 3
D． 3 4
答案：
1．D【解析】将 2 名男同学分别记为 x ， y ，3 名女同学分别记为 a ，b ，c ．设 “选中的 2 人都是女同学”为事件 A ，则从 5 名同学中任选 2 人参加社区服务的所有可能情况有 (x, y) ，(x, a) ，(x,b) ，(x, c) ，( y, a) ，( y,b) ，( y, c) ，(a,b) ，(a, c) ， (b, c) 共 19 种，其中事件 A 包含的可能情况有 (a,b) ， (a, c) ， (b, c) 共 3 种，故 P(A) 3 0.3，故选 D．

2020届高三数学二轮复习(文理通用)《统计和统计案例》专题训练

2020届高三数学二轮复习（文理）《统计与统计案例》专题训练一．选择题（本大题共12小题）1．某大学中文系共有本科生5 000人，期中一、二、三、四年级的学生比为5:4:3:1，要用分层抽样的方法从该系所有本科生中抽取一个容量为260的样本，则应抽二年级的学生（）A．100人B．60人C．80人D．20人2．某工厂为了对40个零件进行抽样调查，将其编号为00，01，…，38，39.现要从中选出5个，利用下面的随机数表，从第一行第3列开始，由左至右依次读取，则选出来的第5个零件编号是（）0347 4373 8636 9647 3661 4698 6371 6233 2616 8045 6011 1410 9577 7424 6762 4281 1457 2042 5332 3732 2707 3607 5124 5179 A．36B．16C．11D．143．某校有高一学生n名，其中男生数与女生数之比为6:5，为了解学生的视力情况，的样本，若样本中男生比女生多12现要求按分层抽样的方法抽取一个样本容量为n10人，则n=（）A．990B．1320C．1430D．15604．某市重点中学奥数培训班共有14人，分为两个小组，在一次阶段考试中两个小组成绩的茎叶图如图所示，其中甲组学生成绩的平均数是88，乙组学生成绩的中位数是的值是（）89，则m nA．10 B．11 C．12D．135．下列说法中错误的个数是（）①从某社区65户高收入家庭，280户中等收入家庭，105户低收入家庭中选出100户调查社会购买力的某一项指标，应采用的最佳抽样方法是分层抽样x y②线性回归直线ŷ=b̂x+â一定过样本中心点(,)③对于一组数据1,2,3,4,5，如果将它们改变为11,12,13,14,15，则平均数与方差均发生变化④若一组数据1、a、2、3的众数是2，则这组数据的中位数是2⑤用系统抽样方法从编号为1，2，3，…，700的学生中抽样50人，若第2段中编号为20的学生被抽中，按照等间隔抽取的方法，则第5段中被抽中的学生编号为76. A ．0B ．1C ．2D ．36．某学校调查了200名学生每周的自习时间（单位：小时），制成了如图所示的频率分布直方图，其中自习时间的范围是17.5，30]，样本数据分组为17.5，20），20，22.5），22.5,25），25，27.5），27.5，30）.根据直方图，这200名学生中每周的自习时间不少于22.5小时的人数是（）A ．56B ．60C ．140D ．1207．已知变量x 、y 的取值如下表所示，若y 与x 线性相关，且0.5ˆyx a =+，则实数a =（）A ．3.5B ．2.2C ．4.8D ．3.28．现有一组数据()11,x y ，()22,x y ，()33,x y ，()44,x y ，()55,x y ，根据收集到的数据可知9x =，由最小二乘法求得回归直线方程为 1.20.8y x =+，则12345y y y y y ++++=（）A ．11.6B ．11C ．58D ．559．在发生某公共卫生事件期间，有专业机构认为该事件在一段时间没有发生在规模群体感染的标志为“连续10天，每天新增疑似病例不超过7人”.根据过去10天甲、乙、丙、丁四地新增疑似病例数据，一定符合该标志的是( ) A ．甲地：总体均值为3，中位数为4 B ．乙地：总体均值为1，总体方差大于0 C ．丙地：中位数为2，众数为3D ．丁地：总体均值为2，总体方差为310．AQI 即空气质量指数，AQI 越小，表明空气质量越好，当AQI 不大于100时称空气质量为“优良”.如图是某市3月1日到12日AQI 的统计数据.则下列叙述正确的是（）A ．这12天的AQI 的中位数是90B ．12天中超过7天空气质量为“优良”C ．从3月4日到9日，空气质量越来越好D ．这12天的AQI 的平均值为100 11．已知一组数据丢失了其中一个，另外六个数据分别是10，8，8，11，16，8，若这组数据的平均数、中位数、众数依次成等差数列，则丢失数据的所有可能值的和为( ) A ．12B ．20C ．25D ．2712．通过随机询问110名不同的大学生是否爱好某项运动，得到如下的列联表：由2222()110(40302030),7.8()()()()60506050n ad bc K K a b c d a c b d -⨯⨯-⨯==≈++++⨯⨯⨯算得附表：参照附表，得到的正确结论是（）A ．有99%以上的把握认为“爱好该项运动与性别有关”B ．有99%以上的把握认为“爱好该项运动与性别无关”C ．在犯错误的概率不超过0．1%的前提下，认为“爱好该项运动与性别有关”D ．在犯错误的概率不超过0．1%的前提下，认为“爱好该项运动与性别无关” 二．填空题（本大题共4小题）13．总体由编号为010*******⋯，，，，，的50个个体组成，利用随机数表（以下选取了随机数表中的第1行和第2行）选取5个个体，选取方法是从随机数表第1行的第9列开始由左向右读取，则选出来的第5个个体的编号为______________；14．某种品牌汽车的销量y （万辆）与投入宣传费用x （万元）之间具有线性相关关系，样本数据如下表所示：经计算得回归直线方程ˆˆˆybx a =+的斜率为0.7，若投入宣传费用为8万元，则该品牌汽车销量的预测值为________________万辆.15．有两个分类变量x 和y ，其中一组观测值为如下的2×2列联表：其中a ，15a -均为大于5的整数，则a =__________时，在犯错误的概率不超过0.01的前提下为“x 和y 之间有关系”.附：()()()()()22n ad bc K a b c d a c b d -=++++16．已知一组数据1x ，2x ，3x ，…，n x 的平均数为x ，方差为2S .若131x +，231x +，331x +，…，31n x +的平均数比方差大4，则22S x -的最大值为_________三．解答题（本大题共6小题）17．为了调查一款手机的使用时间，研究人员对该款手机进行了相应的测试，将得到的数据统计如下图所示：并对不同年龄层的市民对这款手机的购买意愿作出调查，得到的数据如下表所示：（1）根据图中的数据，试估计该款手机的平均使用时间；（2）请将表格中的数据补充完整，并根据表中数据，判断是否有99．9％的把握认为“愿意购买该款手机”与“市民的年龄”有关．参考公式：22()()()()()n ad bcKa b c d a c b d-=++++，其中n a b c d=+++．参考数据：18．某地随着经济的发展，居民收入逐年增长，下表是该地一建设银行连续五年的储蓄存款（年底余额），如下表1：为了研究计算的方便，工作人员将上表的数据进行了处理，2010,5t x z y =-=-得到下表2：（1）求z 关于t 的线性回归方程；（2）通过（Ⅰ）中的方程，求出y 关于x 的回归方程；（3）用所求回归方程预测到2020年年底，该地储蓄存款额可达多少？（附：对于线性回归方程ˆˆˆybx a =+，其中1221ˆˆˆ,ni ii nii x y nx yb ay bx xnx ==-⋅==--∑∑）19．树立和践行“绿水青山就是金山银山，坚持人与自然和谐共生”的理念越来越深入人心，已形成了全民自觉参与，造福百姓的良性循环．据此，某网站退出了关于生态文明建设进展情况的调查，调查数据表明，环境治理和保护问题仍是百姓最为关心的热点，参与调查者中关注此问题的约占80%．现从参与关注生态文明建设的人群中随机选出200人，并将这200人按年龄分组：第1组[15,25)，第2组[25,35)，第3组[35,45)，第4组[45,55)，第5组[55,65)，得到的频率分布直方图如图所示．（1）求出a的值；（2）求出这200人年龄的样本平均数（同一组数据用该区间的中点值作代表）和中位数（精确到小数点后一位）；（3）现在要从年龄较小的第1,2组中用分层抽样的方法抽取5人，再从这5人中随机抽取3人进行问卷调查，求第2组恰好抽到2人的概率.20．“学习强国”学习平台是由中宣部主管，以深入学习宣传习近平新时代中国特色社会主义思想为主要内容，立足全体党员，面向全社会的优质平台，现日益成为老百姓了解国家动态，紧跟时代脉博的热门APP，某市宣传部门为了解全民利用“学习强国”了解国家动态的情况，从全市抽取2000名人员进行调查，统计他们每周利用“学习强国”的时长，如图是根据调查结果绘制的频率分布直方图.（1）根据图，求所有被抽查人员利用“学习强国”的平均时长和中位数；（2）宣传部为了了解大家利用“学习强国”的具体情况，准备采用分层抽样的方法从[]10,12组中抽取50人了解情况，则两组各抽取多少人？再利用分层抽样从8,10和[]抽取的50人中选5人参加一个座谈会.现从参加座谈会的5人中随机抽取两人发言，10,12小组中至少有1人发言的概率？求[]21．已知鲜切花A的质量等级按照花枝长度L进行划分，划分标准如下表所示.某鲜切花加工企业分别从甲､乙两个种植基地购进鲜切花A，现从两个种植基地购进的鲜切花A中分别随机抽取30个样品，测量花枝长度并进行等级评定，所抽取样品数据如图所示.（1）根据茎叶图比较两个种植基地鲜切花A的花枝长度的平均值及分散程度(不要求计算具体值，给出结论即可)；（2）若从等级为三级的样品中随机选取2个进行新产品试加工，求选取的2个全部来自乙种植基地的概率；（3）根据该加工企业的加工和销售记录，了解到来自乙种植基地的鲜切花A的加工产品的单件利润为4元；来自乙种植基地的鲜切花A的加工产品的单件成本为10元，销售率(某等级产品的销量与产量的比值)及单价如下表所示.由于鲜切花A加工产品的保鲜特点，未售出的产品均可按原售价的50%处理完毕.用样本估计总体，如果仅从单件产品的利润的角度考虑，该鲜切花加工企业应该从哪个种植基地购进鲜切花A？22．某企业积极响应国家“科技创新”的号召，大力研发人工智能产品，为了对一批新研发的产品进行合理定价，将该产品按事先拟定的价格进行试销，得到一组销售数据(),i i x y (1,2,3,4,5,6)i =，如下表所示：附：参考公式：()()()1122211ˆnniii ii i nniii i x x y y x y nxybx x xnx ====---==--∑∑∑∑，ˆ=-ay bx ，参考数据：611806i i y y ===∑，611606i i i x y ==∑，62191i i x ==∑.（1）求p 的值；（2）已知变量x ，y 具有线性相关关系，求产品销量y （件）关于试销单价x （百元）的线性回归方程ˆˆˆy bx a =+（计算结果精确到整数位）；（3）用ˆi y表示用正确的线性回归方程得到的与i x 对应的产品销量的估计值.当销售数据(),i i x y 的残差的绝对值ˆ1i i yy -<时，则将销售数据称为一个“有效数据”.现从这6组销售数据中任取2组，求抽取的2组销售数据都是“有效数据”的概率.参考答案一．选择题：本大题共12小题.13．43 14．5.95 15．9 16．-1三．解答题：本大题共6小题. 17.【解析】（1）40.05240.09640.071040.031440.01187.76⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯＝该款手机的平均使用时间为7.76年. （2）()222000400200600800333.310.828120080010001000K ⨯-⨯==>⨯⨯⨯可知有99．9％的把握认为“愿意购买该款手机”与“市民的年龄”有关． 18.【解析】（1）3t =，512.2i i i z t z ==∑，52155ii t==∑，4553 2.2 1.25559b )-⨯⨯==-⨯， 2.23 1.2 1.4a z bt =-=-⨯=-), 1.2 1.4z t ∴=-（2）2010t x =-，5z y =-，代入 1.2 1.4z t =-得到：()5 1.22010 1.4y x -=--，即 1.22408.4y x =-（3） 1.220202408.415.6y ∴=⨯-=，19.【解析】（1）由()100.0100.0150.0300.0101a ⨯++++=，得0.035a =，（2）平均数为200.1300.15400.35500.3600.141.5⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=岁；设中位数为x ，则()100.010100.015350.0350.5x ⨯+⨯+-⨯=，Ⅰ42.1x ≈岁．（3）第1,2组抽取的人数分别为20人，30人，从第1,2组中用分层抽样的方法抽取5人，则第1,2组抽取的人数分别为2人，3人，分别记为12123,,,,a a b b b .设从5人中随机抽取3人，为（121,,a a b ），（122,,a a b ），（123,,a a b ），（112,,a b b ），（113,,a b b ），（123,,a b b ），（212,,a b b ），（213,,a b b ），（223,,a b b ），（123,,b b b ），共10个基本事件，其中第2组恰好抽到2人包含（112,,a b b ），（113,,a b b ），（123,,a b b ），（212,,a b b ），（213,,a b b ），（223,,a b b ）共6个基本事件,从而第2组抽到2人的概率63105== 20.【解析】（1）设抽查人员利用“学习强国”的平均时长为x ，中位数为y 0.0510.130.2550.370.1590.1110.0513 6.8x =⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯= 设抽查人员利用“学习强国”的中位数为y ，()0.050.10.250.1560.5y +++⨯-=，解得203y =，即抽查人员利用“学习强国”的平均时长为6.8，中位数为203. （2）[]8,10组的人数为20000.15300⨯=人，设抽取的人数为a ，[]10,12组的人数为20000.1200⨯=人，设抽取的人数为b 则50300200500a b ==，解得30a =，20b =，所以在[]8,10和[]10,12两组中分别抽取30人和20人，再抽取5人，两组分别抽取3人和2人，将[]8,10组中被抽取的工作人员标记为1A ，2A ，3A ，将[]10,12中的标记为1B ，2B . 设事件C 表示从[]10,12小组中至少抽取1人，则抽取的情况如下：{}12,A A ，{}13,A A ，{}11,A B ，{}12,A B ，{}23,A A ，{}21,A B ，{}22,A B ，{}31,A B ，{}32,A B ，{}12,B B 共10种情况，其中在[]10,12中至少抽取1人有7种，则()710P C =.21.【解析】（1）由茎叶图可以看出，乙种植基地鲜切花A 的花枝长度的平均值大于甲种植基地鲜切花A 的花枝长度的平均值，甲种植基地鲜切花A 的花枝长度相对于乙种植基地来说更为集中.（2）由题意知，三级的样品共5个，其中，来自甲基地有2个，来自乙基地的有3个，则从5个样品中随机取2个共有2510C = 种可能，2个都来自乙基地共233C =种可能，则选取的2个全部来自乙种植基地的概率为310. （3）根据茎叶图可知，乙基地中，三级花共3个，二级花共16个，一级花共11个，则三级花的销售额为231263123120.5555⨯⨯+⨯⨯⨯= (元)；二级花的销售额为21640161616160.5333⨯⨯+⨯⨯⨯= (元)；一级花的销售额为811870112011200.5999⨯⨯+⨯⨯⨯= (元)；则乙种植基地单件平均利润为126640187030030 4.88539⎛⎫++-÷≈ ⎪⎝⎭(元). 因为4.884>，所以该鲜切花加工企业应该从乙种植基地购进鲜切花A .22.【解析】（1）由611806i i y y ===∑，得9186787370806p +++++=，解得82p =.（2）Ⅰ123456 3.56x +++++==，而611806i i y y ===∑，611606i i i x y ==∑，62191i i x ==∑， Ⅰ216066 3.58074ˆ4916 3.517.5b -⨯⨯-==≈--⨯，ˆ80(4) 3.594a =--⨯= 所求的线性回归方程为：ˆ494yx =-+；或者74ˆ80() 3.59517.5a =--⨯=，所求的线性回归方程为：ˆ495y x =-+ （3）若回归方程为：ˆ494yx =-+时，当11x =时，1ˆ90y=；当22x =时，2ˆ86y =；当33x =时，3ˆ82y =；当44x =时，4ˆ78y=；当55x =时，5ˆ74y =；当66x =时，6ˆ70y =.满足ˆ1i i y y -<条件的“有效数据”有：(2,86)，(3,82)，(4,78)，(6,70)共4个，记(1,91)A =，(2,86)B =，(3,82)C =，(4,78)D =，(5,73)E =，(6,70)F =，从6组销售数据中任取2组，基本事件有：AB ，AC ，AD ，AE ，AF ，BC ，BD ，BE ，BF ，CD ，CE ，CF ，DE ，DF ，EF ，共15种，抽取的2组销售数据都是“有效数据”的事件有：BC ，BD ，BF ，CD ，CF ，DF ，共6种，所以抽取的2组销售数据都是“有效数据”的概率为62155=. 若回归方程为：ˆ495yx =-+时，当11x =时，1ˆ91y=；当22x =时，2ˆ87y =；当33x =时，3ˆ83y =；当44x =时，4ˆ79y=；当55x =时，5ˆ75y =；当66x =时，6ˆ71y =.满足ˆ1i i y y -<条件的“有效数据”有：(1,91)，共1个，记(1,91)A =，(2,86)B =，(3,82)C =，(4,78)D =，(5,73)E =，(6,70)F =，从6 抽取的2组销售数据都是“有效数据”的事件不存在,所以抽取的2组销售数据都是“有效数据”的概率为0.。

2020年高考数学二轮限时训练计数原理、概率、随机变量及其分步、统计、统计案例7理

第七部分：计数原理、概率、随机变量及其分步、统计、统计案例（7）（限时：时间45分钟，满分100分）一、选择题1 •从集合｛1,2,3，…，10｝中任意选出三个不同的数，使这三个数成等比数列，这样的等比数列的个数为（）A. 3 B • 4C. 6 D . 8【解析】当公比为2时，等比数列可为1、2、4,2、4、8.当公比为3时，等比数列可为1、3、9.3当公比为㊁时，等比数列可为4、6、9.同时，4、2、1,8、4、2,9、3、1和9、6、4也是等比数列，共8个.【答案】D2 .设直线方程为Ax+ By= 0,从1、2、3、4、5中每次取两个不同的数作为A、B的值，则所得不同直线的条数为（）A. 20 B . 19C. 18 D . 16【解析】确定直线只需依次确定A、B的值即可，先确定A有5种取法，再确定B有4 种取法，由分步乘法计数原理得5X 4= 20,但x + 2y= 0与2x+ 4y = 0,2x + y= 0与4x + 2y = 0表示相同的直线，应减去，所以不同直线的条数为20— 2 = 18.【答案】C3 .某中学要从4名男生和3名女生中选派4人担任奥运会志愿者，若男生甲和女生乙不能同时参加，则不同的选派方案共有（）A. 25 种B . 35 种C. 840 种D . 820 种【解析】若选男生甲，则有C53= 10种不同的选法；同理选女生乙，也有10种不同的选法；两人都不选，有5种不同的选法，所以共有25种不同的选派方案.【答案】A4 . （2020年临沂一模）如右图所示的阴影部分由方格纸上3个小方格组成，我们称这样的图案为L型（每次旋转90°仍为L型图案），那么在由4X 5个小方格组成的方格纸上可以画出不同位置的L型图案的个数是（）A. 16 B . 32C. 48 D . 64【解析】每四个小方格（2 X2型）中有“L”型图案4个，共有2X2型小方格12个，所以共有“ L”型图案4X 12= 48个.【答案】C5 •将正方体ABC—ABCD的各面涂色，任何相邻两个面不同色，现有5种不同颜色，并且涂好了过A点的三个面的颜色，那么其余3个面的涂色方案共有（）A. 13 种B . 14 种C. 12 种D . 11 种【解析】将正方体六个面分别标为123,4,5,6.不妨假设4,5,6面已涂好，如图，再涂1,2,3面.（1）1面与6面颜色相同•若3面与5面相同，2面有3种涂法，若3面与5面不同，3面有2种涂法，此时2面也有2种涂法，•••共有3+2 X 2=7 种.（2）1面与6面颜色不同.1面有2种涂法，若3面与5面相同，2面有2种涂法，若3面与5面不同，2面只有1种涂法,•••共有2X （2+1）=6 种.由分类加法计数原理，共有7+6=13种涂法.【答案】A二、填空题6. 一排共9个座位，甲、乙、丙三人按如下方式入座；每人左右两旁都有空座位，且甲必须在乙、丙两人之间，则不同的坐法共有____________种（用数字作答）.【解析】从左到右9个位子中，甲只能坐4、5、6三个位子•当甲位于第5个位子时,乙、丙只能在2、3或7、8中的一个位子上；当甲位于第4个位子时，乙、丙肯定有一个位于2，另一个位于6、7、8中的一个位子上；当甲位于第6个位子时，乙、丙肯定有一个位于8,另一个位于2、3、4中的一个位子上，故共有4X 2+ 3X 2+ 3X 2= 20种.【答案】207. （2020年杭州联考）用1,2,3,4,5,6 组成六位数（没有重复数字），要求任何相邻两个数字的奇偶性不同，且1和2相邻，这样的六位数的个数是_____________ .（用数字作答）【解析】若1在①或⑥号位，2在②或⑤号位，方法数各4种.若1在②、③、④、⑤号位，2的排法有2种，方法数各8种，故有4+ 4 + 8 + 8+ 8+ 8 = 40 个.【答案】408•某校开设9门课程供学生选修，其中A、B、C三门由于上课时间相同，至多选一门，学校规定，每位同学选修4门，共有 ________________ 种不同的选修方案.（用数值作答）【解析】第一类，若从A、B、C三门选一门有C31•C63= 60种，第二类，若从其他六门中选4门有C4= 15种，•共有60 + 15= 75种不同的方法.【答案】75三、解答题9. 2020年9月27日16时34分，神舟七号宇航员翟志刚出舱进行太空行走，17时00分35秒返回•某校全体师生集体观看了电视实况转播，观看后组织全体学生进行关于“太空行走”的论文评选•若高一年级共4个班，每班评出两篇优秀论文（男、女生各一篇），把这些优秀论文平均分成四组进行展览，且每组都有男、女生所写论文，则不同的展览方式共多少种？【解析】论文分四组展览，可分四步完成：第一步：先选第一组，因为每组男、女生都有，所以共4X4= 16种选法；第二步：选第二组，共3X 3= 9种选法；第三步：选第三组，共2X 2= 4种选法；第四步：确定第四组，共1X 1= 1种选法.由分步乘法计数原理知，不同的展览方式共有：16X 9X 4X 1= 576 种.10．在7 名学生中，有3 名会下象棋但不会下围棋，有2 名会下围棋但不会下象棋，另2 名既会下象棋又会下围棋.现在从会下象棋和会下围棋的学生中各选 1 人同时分别参加象棋比赛和围棋比赛，共有多少种不同的选法？【解析】选参加象棋比赛的学生有两种选法：在只会下象棋的人中选或在既会下象棋又会下围棋的人中选；选参加围棋比赛的学生也是同样的道理.由此可得不同的选法有：C3 C21+ C^1•C 21+ C2 C21+ A = 18 种，故不同的选法有18 种.。

2020版高考数学二轮复习第三部分教材知识重点再现回顾7概率与统计练习(含解析)

回顾7 概率与统计[必记知识]1．分类加法计数原理完成一件事，可以有n类办法，在第一类办法中有m1种方法,在第二类办法中有m2种方法，…，在第n类办法中有m n种方法，那么完成这件事共有N＝m1＋m2＋…＋m n种方法（也称加法原理）．2．分步乘法计数原理完成一件事需要经过n个步骤，缺一不可,做第一步有m1种方法,做第二步有m2种方法，…，做第n步有m n种方法，那么完成这件事共有N＝m1×m2×…×m n种方法（也称乘法原理）．3．排列数、组合数公式及其相关性质（1）排列数公式A m n＝n(n－1)（n－2)…（n－m＋1）＝错误!(m≤n,m，n∈N*)，A错误!＝n！＝n(n－1）（n－2）…·2·1(n∈N＊）．[提醒］(1）在这个公式中m,n∈N＊，且m≤n，并且规定0!＝1,当m＝n时，A错误!＝n！.（2)A错误!＝错误!主要有两个作用：①利用此公式计算排列数;②对含有字母的排列数的式子进行变形时常使用此公式。

)错误!(2）组合数公式C错误!＝错误!＝错误!＝错误!(m≤n，n,m∈N*)．［提醒] （1）公式C错误!＝错误!主要有两个作用:①利用此公式计算组合数；②对含有字母的组合数的式子进行变形和证明时,常用此公式.(2)组合数的性质,C m n＝C错误!（m≤n,n，m∈N＊），C错误!＝C错误!＋C错误!(m≤n，n，m∈N＊).(3)排列数与组合数的联系，A m n＝C错误!A错误!.4．二项式定理（a＋b)n＝C错误!a n＋C错误!a n－1b1＋…＋C错误!a n－k b k＋…＋C错误!b n （n∈N＊)．这个公式叫做二项式定理,右边的多项式叫做（a＋b)n的二项展开式，其中各项的系数C错误!(k＝0，1，2，…，n)叫做二项式系数．式中的C k，n a n－k b k叫做二项展开式的通项,用T k＋1表示，即通项为展开式的第k＋1项:T k＋1＝C错误!a n－k b k(其中0≤k≤n,k∈N，n∈N＊)．5．二项展开式形式上的特点(1)项数为n＋1.（2)各项的次数都等于二项式的幂指数n，即a与b的指数的和为n。