最新初中九年级上册数学一元二次方程专项复习课件人教版
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人教版数学九年级上册21.1 一元二次方程课件(共24张PPT)
等号两边都是整式，只含有一个未知数（一元），并且未知数的最高次数是2（二次）的方程，叫做一元二次方程.
ax2 称为二次项， a 称为二次项系数， bx 称为一次项， b 称为一次项系数， c 称为常数项.
为什么一般形式 ax2 + bx + c = 0 中要限制 a ≠ 0？b，c 可以为 0 吗？当 a = 0 时bx＋ Nhomakorabea = 0
当 a ≠ 0 ， b = 0时 ，
ax2＋c = 0
当 a ≠ 0 ， c = 0时 ，
ax2＋bx = 0
当 a ≠ 0 ，b = c =0时 ，
ax2 = 0
总结：只要满足a ≠ 0 ，b ， c 可以为任意实数.
(1)若公园绿化带被划为四个同等矩形，长比宽多2，面积为100，求矩形边长x;
x2＝560 x2-15x+5＝0 x2-20x +20＝0以上三个式子是方程吗？有什么共同特点呢？
1、等号的两边都是整式2、只含有一个未知数3、未知数的最高次数是2次
2.同学们，结合一元一次方程、方程组的概念的学习，你知道上面的方程是什么吗？你能归纳出这类方程的概念吗？
常见形式
解(又叫做根)
概念
一般形式：ax2+bx+c=0 其他形式：ax2＋c = 0，ax2＋bx = 0 ，ax2 = 0注意：a,b,c为常数，且a ≠0
①等号左右两边都是整式②只含有一个未知数③未知数的最高次数是2次
使方程左右两边相等的未知数的值
一元二次方程
解：设小道的宽度为x米，得(20－2x)(10－x)＝120整理得x2-20x +20＝0.
任务3 建造观景亭在公园中心要建造一个长10m，宽5m玻璃顶观景亭，如图所示在它的四角建造四个截面为正方形的承重柱. 已知需要用到玻璃的面积为45m2，那么承重柱的宽度多少？
ax2 称为二次项， a 称为二次项系数， bx 称为一次项， b 称为一次项系数， c 称为常数项.
为什么一般形式 ax2 + bx + c = 0 中要限制 a ≠ 0？b，c 可以为 0 吗？当 a = 0 时bx＋ Nhomakorabea = 0
当 a ≠ 0 ， b = 0时 ，
ax2＋c = 0
当 a ≠ 0 ， c = 0时 ，
ax2＋bx = 0
当 a ≠ 0 ，b = c =0时 ，
ax2 = 0
总结：只要满足a ≠ 0 ，b ， c 可以为任意实数.
(1)若公园绿化带被划为四个同等矩形，长比宽多2，面积为100，求矩形边长x;
x2＝560 x2-15x+5＝0 x2-20x +20＝0以上三个式子是方程吗？有什么共同特点呢？
1、等号的两边都是整式2、只含有一个未知数3、未知数的最高次数是2次
2.同学们，结合一元一次方程、方程组的概念的学习，你知道上面的方程是什么吗？你能归纳出这类方程的概念吗？
常见形式
解(又叫做根)
概念
一般形式：ax2+bx+c=0 其他形式：ax2＋c = 0，ax2＋bx = 0 ，ax2 = 0注意：a,b,c为常数，且a ≠0
①等号左右两边都是整式②只含有一个未知数③未知数的最高次数是2次
使方程左右两边相等的未知数的值
一元二次方程
解：设小道的宽度为x米，得(20－2x)(10－x)＝120整理得x2-20x +20＝0.
任务3 建造观景亭在公园中心要建造一个长10m，宽5m玻璃顶观景亭，如图所示在它的四角建造四个截面为正方形的承重柱. 已知需要用到玻璃的面积为45m2，那么承重柱的宽度多少？
好人教版九年级上数学《一元二次方程》复习课件
解题思路与方法：总结一元 二次方程在几何问题中的解 题思路和方法，如代数法、 几何法等
注意事项：强调解一元二次方 程时需要注意的事项，如判别 式的使用、根的取舍等
05
一元二次方程的拓 展知识
一元二次方程的判别式
判别式的定义：Δ=b²-4ac 判别式的意义：判断一元二次方程的根的情况 判别式的应用：解决与一元二次方程相关的问题 判别式的拓展：了解其他类型的二次方程的判别式
03
一元二次方程的解 法
直接开平方法
定义：对于形如$x^2=a$（其中a为非负实数）的一元二次方程，可以通过直接开平方的方法 求解。
适用范围：适用于形如$x^2=a$的一元二次方程，其中a为非负实数。
解法步骤：首先确定方程的形式，然后根据平方根的定义，取方程两边的平方根，得到 $x=\pm\sqrt{a}$。
实际应用：一元二次方程在实际生活中有着广泛的应用，如求解利润最大化、最短路径等问题
解题步骤：首先将实际问题转化为数学模型，然后利用一元二次方程的解法求解，最后将答案 回归实际问题
注意事项：在解决实际问题时，需要注意问题的实际情况和约束条件，避免出现不符合实际情 况的解
代数问题中的一元二次方程
一元二次方程的根与对称轴和顶点之间的关系
添加标题
一元二次方程的对称轴：一元二次方程的一般形式为ax^2+bx+c=0，其对称轴为x=-b/2a。
添加标题
一元二次方程的顶点：对于一般形式的一元二次方程，其顶点坐标为(-b/2a, c-b^2/4a)。
添加标题
一元二次方程的根与对称轴和顶点之间的关系：一元二次方程的根与对称轴和顶点之间存在密 切关系。当方程有两个实数根时，这两个根关于对称轴对称；当方程有一个实数根时，顶点就 是该根；当方程没有实数根时，顶点在x轴上方或下方。
新人教版九年级数学上册课件：单元复习(一) 一元二次方程(共21张PPT)
解：(1)1300×7.1%≈92(亿元)． 答：2016年第一产业生产总值大约是92亿元 (2)(1300－1204)÷1204×100%＝96÷1204×100%≈8%. 答：2016年比2015年的国民生产总值大约增加了8% (3)设2016年至2018年我市国民生产总值的年平均增长率为x， 依题意得1300(1＋x)2＝1573，∴1＋x＝±1.1，∴x＝10%或x＝－2.1 (不符合题意，故舍去)． 答：2016年至2018年我市国民生产总值的年平均增长率约为10%
12．(通辽中考)若关于x的一元二次方程(k＋1)x2＋2(k＋1)x＋k－2＝0 有实数根，则k的取值范围在数轴上表示正确的是 A
13．(2018·达州)已知：m2－2m－1＝0，n2＋2n－1＝0 且 mn≠1， 则mn＋nn＋1的值为_3___.
14．(2018·天门)已知关于x的一元二次方程x2＋(2m＋1)x＋m2－2＝0. (1)若该方程有两个实数根，求m的最小整数值； (2)若方程的两个实数根为x1，x2，且(x1－x2)2＋m2＝21，求m的值．
设邀请x个球队参赛，根据题意，可列方程为_____12_x_(_x_－__1_)_＝__2_1____.
17．(桂林中考)为进一步促进义务教育均衡发展，某市加大了基础教育经费 的投入，已知2015年该市投入基础教育经费5000万元，2017年投入基础教育 经费7200万元．
(1)求该市这两年投入基础教育经费的年平均增长率； (2)如果按(1)中基础教育经费投入的年平均增长率计算，该市计划2018年用 不超过当年基础教育经费的5%购买电脑和实物投影仪共1500台，调配给农村 学校，若购买一台电脑需3500元，购买一台实物投影仪需2000元，则最多可 购买电脑多少台？
初中人教版九年级数学上册第21一元二次方程复习(46PPT)
2
温馨提示： 解一元二次方程时，要根据方程的特点灵活选择 合适的方法，一般顺序为：直接开平方法、因式分解 法、公式法、配方法.公式法和配方法可以解所有判别 式大于或等于 0 的一元二次方程.
3 一元二次方程根的判别式
2 2
关于 x 的一元二次方程 ax ＋bx＋c＝0(a≠0)的根的判别式为 b － 4ac，一般用符号 Δ 表示． (1)b2－4ac＞0⇔方程有两个不相等的实数根， －b± b2－4ac 即 x1,2＝ ； 2a
2 2
( )
2
p x1＝－ ＋ 2
p －q＋ 2
()
2
p ，x2＝－ － 2
( ). p －q＋(2) .
p ＝－q＋ 2
2 2
3.公式法： 如果方程 ax2＋bx＋c＝0(a≠0)且 b2－4ac≥0， －b± b2－4ac 则 x1,2＝ . 2a 4.因式分解法： 若方程 ax2＋bx＋c＝(ex＋f )(mx＋n)(a≠0)， f n 则 ax ＋bx＋c＝0 的根为 x1＝－ ，x2＝－ . e m
5 一元二次方程的应用
1．列一元二次方程解应用题的步骤和列一次方程(组)解应用题的 步骤相同，即审、设、找、列、解、检、答七步．
2．列一元二次方程解应用题常见的问题 (1)增长率问题 对于正的增长率问题，设 a 为原来的量，x 为平均增长率，m 为增 长次数，b 为增长后的量，则 a(1＋x)m＝b；对于负的增长率问题， 则 a(1－x)m＝b. (2)比赛场次问题 n 个队进行单循环比赛，一共比赛 (3)面积问题 求不规则图形的面积问题，通常做法是：把不规则图形转化成规则 图形，找出变化前后面积之间的关系，然后列方程求解． － 场．
b (2)b －4ac＝0⇔方程有两个相等的实数根，即 x1＝x2＝－ ； 2a
温馨提示： 解一元二次方程时，要根据方程的特点灵活选择 合适的方法，一般顺序为：直接开平方法、因式分解 法、公式法、配方法.公式法和配方法可以解所有判别 式大于或等于 0 的一元二次方程.
3 一元二次方程根的判别式
2 2
关于 x 的一元二次方程 ax ＋bx＋c＝0(a≠0)的根的判别式为 b － 4ac，一般用符号 Δ 表示． (1)b2－4ac＞0⇔方程有两个不相等的实数根， －b± b2－4ac 即 x1,2＝ ； 2a
2 2
( )
2
p x1＝－ ＋ 2
p －q＋ 2
()
2
p ，x2＝－ － 2
( ). p －q＋(2) .
p ＝－q＋ 2
2 2
3.公式法： 如果方程 ax2＋bx＋c＝0(a≠0)且 b2－4ac≥0， －b± b2－4ac 则 x1,2＝ . 2a 4.因式分解法： 若方程 ax2＋bx＋c＝(ex＋f )(mx＋n)(a≠0)， f n 则 ax ＋bx＋c＝0 的根为 x1＝－ ，x2＝－ . e m
5 一元二次方程的应用
1．列一元二次方程解应用题的步骤和列一次方程(组)解应用题的 步骤相同，即审、设、找、列、解、检、答七步．
2．列一元二次方程解应用题常见的问题 (1)增长率问题 对于正的增长率问题，设 a 为原来的量，x 为平均增长率，m 为增 长次数，b 为增长后的量，则 a(1＋x)m＝b；对于负的增长率问题， 则 a(1－x)m＝b. (2)比赛场次问题 n 个队进行单循环比赛，一共比赛 (3)面积问题 求不规则图形的面积问题，通常做法是：把不规则图形转化成规则 图形，找出变化前后面积之间的关系，然后列方程求解． － 场．
b (2)b －4ac＝0⇔方程有两个相等的实数根，即 x1＝x2＝－ ； 2a
人教版九年级初中数学上册第二十二章二次函数-二次函数与一元二次方程PPT课件
新知探究
二次函数y=ax2+bx+c的图象和x轴交点的横坐标与一元二次方程ax2+bx+c=0的
根有什么关系?
抛物线y=ax2+bx+c(a≠0)
一元二次方程ax2+bx+c=0
与x轴的公共点的个数
(a≠0)的根的情况
b2-4ac>0
有两个
有两个不相等的实数根
b2-4ac=0
有一个
有两个相等的实数根
P(2,-2)
重复上述过程，不断缩小根的范围，根所在两端的值就越来越
接近根的值.因而可以作为根的近似值。
尝试求出方程y = 2 − 2 − 2两个根的近似值？
课堂练习
1. 抛物线 = 2 + 2 − 3与轴的交点个数有(
. 0个
. 1个
Ｃ．2个
C ).
Ｄ．3个
【分析】解二次函数 = 2 + 2 − 3得1 =
第二十二章 二次函数
2 2 . 2 二次函数与一元二次方程
人教版九年级（初中）数学上册
授课老师：XX
前 言
学习目标
1.二次函数与一元二次方程之间的联系。
2.二次函数的图象与x轴交点的三种位置关系。
3.利用二次函数图象求它的实数根。
重点难点
重点：让学生理解二次函数与一元二次方程之间的联系。
难点：让学生理解函数图象交点问题与对应方程间的相互转化，及用图象求方程
x1=x2 =-
x
2
与x轴没有
交点
一元二次方程
ax2+bx+c=0
（a≠0）的根
x
没有实数根
新知探究
人教版九年级数学上册《解一元二次方程》课件(共8张PPT)
即
x=
用求根公式解一元二次方程的方法叫做公式法。
用公式法解一元二次方程的
求根公式 : X=
一般步骤：
1. 把方程化成一般形式。
(a≠0, b2-4ac≥0)
并写出a，b，c的值。
例1.用公式法解方程4x2+x-3=0
2.
求出b2-4ac的值。
解: a=4 b=1 c= -3
3. 代入求根公式 :
∴ b2-4ac=12-4×4×(-3)=49>0
X=
∴x=
= 1 4 9
24
(a≠0, b2-4ac≥0)
= 1 7
8
即
x1= - 1
3
x2= 4
4. 写出方程的解： x1=?, x2=?
求根公式 : X=
(a≠0, b2-4ac≥0)
（口答）填空：用公式法解方程
3x2+5x-2=0 解：a= 3 ，b= 5 ，c = -2.
用公式法解下列方程： 1. x2 +2x =5
小结
由配方法解一般的一元
二次方程 ax2+bx+c=0
(a≠0) 若 b2-4ac≥0 得
求根公式 : X=
用公式法解一元二次方程的 一般步骤：
1. 把方程化成一般形式。 并写出a，b，c的值。
2. 求出b2-4ac的值。 3. 代入求根公式
4. 写出方程的解： x1=?, x2=?
（1）当 b24ac0时，一元二次方程 a2x b x c0（ a0 ） 有实数根．
用配方法解一元二次方程 2x2+4x+1=0
用配方法解一元二次方程的步骤： 1.把原方程化成 x2+px+q=0的形式。 2.移项整理 得 x2+px=-q 3.在方程 x2+px= -q 的两边同加上一次项系数 p的一半的平方。
新人教版九年级上册数学：《一元二次方程》复习课件
理一理 说一说
一元二次方程中几个容易忽视问题：
重视对方程分类讨论； 系数 重视二次项系数不为0；
重视系数中的隐含条件；
重视根的存在条件△≥０ ； 根 重视讨论两根的符号；
重视根要符合实际意义。
回顾与复习 5
解应用题
• 列方程解应用题的一般步骤是:
• 1.审:审清题意:已知什么,求什么?已,未知之间有什么关系?
3.公式法
一般地,对于一元二次方程 ax2+bx+c=0(a≠0)
当b2 4ac 0时,它的根是 :
x b b2 4ac . b2 4ac 0 . 2a
上面这个式子称为一元二次方程的求根公式. 用求根公式解一元二次方程的方法称为公式法(
老师提示: 用公式法解一元二次方程的前提是: 1.必需是一般形式的一元二次方程: ax2+bx+c=0(a≠0). 2.b2-4ac≥0.
方 的关系
进行有关的证明, 关系: x1+x2=-b/a x1..x2=c/a
已知方程的一个根,求另一个根及字母的值, 用处 求与方程的根有关的代数式的值,
求作一元二次方程,
程
已知两数的和与积,求此两数
判断方程两根的特殊关系,
实际问题与一元二次方程:审,设,列.解,验,答,
1.一元二次方程的概念
只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的整 式方程叫做一元二次方程。
2a
4.分解因式法
当一元二次方程的一边是0,而另一边易于分解成两 个一次因式的乘积时,我们就可以用分解因式的方法 求解.这种用分解因式解一元二次方程的方法称为分 解因式法.
老师提示:
1.用分解因式法的条件是:方程左边易于分解,而右边 等于零; 2. 关键是熟练掌握因式分解的知识; 3.理论依旧是“如果两个因式的积等于零,那么至少 有一个因式等于零.”
人教版数学九年级上册课件：21.2.一元二次方程解法复习课件(共20张PPT)
解: b 0 b .
1 2 2a
2a
3.代入求根公式 :
X=
4.写出方程的解： x1=?,
x2=?
(a≠0, b2-4ac≥0)
典型例题讲解
公式法： 例 2y2-1=2y
解: 2y2-2y – 1=0 化为一般形式(方程右边为0) ∵a=2, b= -2, c= -1 找出 a, b, c(注意符号)
温馨提示： （求根公式法）
（因式分解法）
选择一元二次方程的解法的优先顺序
是：先考虑能否用直接开平方法和因式 分解法， 如果不能用这两种特殊方 法，再用公式法和配方法。
2.方程x2= 2x 的解是 x1=0; x2=2.
3.判定方程 x2-4x+5=0 的根的情况是（C ）
A.有两个不相等的实数根；B.有两个相等的实数根；
(4) x(x-2)=x-2 （因式分解法） (5) x2-３x=28 （因式分解法）
温馨提示： 选择一元二次方程的解法的优先顺序是： 先考虑能否用直接开平方法和因式分解法，如果不 能用这两种特殊方法，再用公式法和配方法。
直接开平方法： 典型例题讲解
例1 (2x-1)2=1 左边是完全平方式，右边是非负数
解答题，一元二次方程的解法也常与二次函数等其 他知识出现在综合题中。
一元二次方程的概念：
只含有一个未知数（一元），并 且未知数的最高次数是 2 （二次） 的整式方程叫一元二次方程。
一元二次方程的一般形式：
ax2+bx+c = 0 (a≠0)
二次项系 一次项系
数：a 数：b
常数项： c
A 1.基础训练：下列一元二次方程有（ ）
∴b 2-4ac=(-2)2-4×2× (-1)=12＞0 算出b 2-4ac的值，
人教版数学九年级上册一元二次方程复习精品课件
当m=
时是一元一次方程。
3、把方程（1-x)(2-x)=3-x2 化为一
般形式是：__2_x_2-_3_x_-1_=0___, 其二次项
系数是__2__,一次项系数是__-3__,常数
项是__-1__.
4、方程（m-2)x|m| +3mx-4=0是关于 x的一元二次方程，则 （ C ）
A.m=±2 B.m=2 C.m=-2 D.m≠ ±2
b2 4ac 0 两个相等实根 0
b2 4ac 0 无实根(无解)
0
两不相等实根 两相等实根 无实根
人教版数学九年级上册一元二次方程 复习精 品课件
判别式的应用: 人教版数学九年级上册一元二次方程复习精品课件 1、不解方程，判别方程的根的情况
例1：不解方程，判别下列方程的根的情况
（1） 2x2 3x 4 0
由X12+x22 =4，得2k2-8k+4＝4 解得k1=0 , k2=4 经检验， k2=4不合题意，舍去。 ∴ k=0
人教版数学九年级上册一元二次方程 复习精 品课件
例题回顾： 人教版数学九年级上册一元二次方程复习精品课件
例1：如果 12是方程2X2+mX+3=0的一 个根，求它的另一个根及m的值.
一、与一元二次方程定义有关的题目：
1、下列方程中，哪些属于一元二次方程，为什么？
（1）4x - x²+ 2 =0
（2）3x²- y -1=0
（3）ax²+ｂx+c=0 （a、b、c 为常数）
（4）x +1x =0
2、已知关于x的方程;1=0，
当m
时是一元二次方程，
• 6、 x２＋６x-1=0 ( 配方法 ）
最新人教版初中九年级上册数学《一元二次方程》精品课件
解：(1)设圆的半径为 r cm，则圆的面积为（πr2）cm2 ， 所以其一般形式为 πr2-6.28=0． (2)设较长的直角边长为 a cm，则较短的直角边长为 (a-3) cm， 则直角三角形的面积为[ 12a(a-3)] cm2 ， 所以其一般形式为 a2-3a-18=0．
随堂练习 3
如果 2 是方程 x2-c=0 的一个根，那么常数 c 是多少？求出这个方程的其他根．
3x A．x2 1 2 B．5x2+y=0
C．ax2+bx+c=0
D．(x-1)(x+2)=1
不是整式 不是一元
缺少a≠0的条件
本题源于《教材帮》
随堂练习 2
根据下列问题列方程，并将所列方程化成一元二次方程的一般形式： (1)一个圆的面积是 6.28 cm2，求半径； (2)一个直角三角形的两条直角边相差 3 cm，面积是 9 cm2，求较长的直 角边.
等号两边都是整式，只含有一个未知数(一元)，并且未知 数的最高次数是2(二次)的方程，叫做一元二次方程．
新知探究
跟踪训练
1．下列方程，一元二次方程的个数是( B )
①3x2+7=0；②x3+2x=1−x2+x3；③2x2−3y+1=0；④3x2−
4
x
+6=0．
A．1
B．2
C．3
D．4
2．若方程 (m+2)x|m|−3mx+1＝0 是关于x 的一元二次方程，则 ( B )
本题源于《教材帮》
对接中考 3
如图，有一张矩形纸片，长10 cm，宽 6 cm，在它的四角各剪去一个同样的小正 方形，然后折叠成一个无盖的长方体纸盒．若纸盒的底面面积是 32 cm2，求剪去 的小正方形的边长．设剪去的小正方形的边长是 x cm，根据题意可列方程为 (B )
随堂练习 3
如果 2 是方程 x2-c=0 的一个根，那么常数 c 是多少？求出这个方程的其他根．
3x A．x2 1 2 B．5x2+y=0
C．ax2+bx+c=0
D．(x-1)(x+2)=1
不是整式 不是一元
缺少a≠0的条件
本题源于《教材帮》
随堂练习 2
根据下列问题列方程，并将所列方程化成一元二次方程的一般形式： (1)一个圆的面积是 6.28 cm2，求半径； (2)一个直角三角形的两条直角边相差 3 cm，面积是 9 cm2，求较长的直 角边.
等号两边都是整式，只含有一个未知数(一元)，并且未知 数的最高次数是2(二次)的方程，叫做一元二次方程．
新知探究
跟踪训练
1．下列方程，一元二次方程的个数是( B )
①3x2+7=0；②x3+2x=1−x2+x3；③2x2−3y+1=0；④3x2−
4
x
+6=0．
A．1
B．2
C．3
D．4
2．若方程 (m+2)x|m|−3mx+1＝0 是关于x 的一元二次方程，则 ( B )
本题源于《教材帮》
对接中考 3
如图，有一张矩形纸片，长10 cm，宽 6 cm，在它的四角各剪去一个同样的小正 方形，然后折叠成一个无盖的长方体纸盒．若纸盒的底面面积是 32 cm2，求剪去 的小正方形的边长．设剪去的小正方形的边长是 x cm，根据题意可列方程为 (B )
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b2 4ac 0,
b2 4ac 0,
b2 4ac 0,
方程有两个不相等的实数根 方程有两个相等的实数根 方程没有实数根
试一试
1.已知x＝－1是方程x²－ax＋6＝0的一
个根，则a＝_-7__另一个根为_-6_
2.若关于X的一元二次方程 (a 1)x2 x a2 1 0
的一个根为0，则 a 的值为（B ）
注：在解一元二次方程时, 要先观察方程,选择适当的方法.配 方法、公式法适用于任何一个一元二次方程,但公式法首先 要将方程转化为一般式,而因式分解法只适用于某些一元二 次方程.总之它 的基本思路就是将二次方程转化为一次方程, 即降次.
因式分解法的解题过程
1. 移项，使方程的右边为0。 2. 将方程左边分解因式 。 3. 令每个因式分别为零，得到两个一元
配方法求最值问题
b a
,
x1
x2
c a
应用
实际应用
思想方法 转化思想; 配方法、换元法
一元二次方程的概念
下列方程中，是关于x的一元二次方程的是（ A ）
A．3(x+1)2=2(x+1) C．x2+xy+y2=0
B． 1 x2
1 x
-2=0
D．x2+2x=x2-1
等号两边都是整式.只含有一个未知数(一元).并且未 知数的最高次数是2(二次)的方程叫做一元二次方程.
一元二次方程的解法：（公式法）
例：（3） 2x2 3x 4 0
解： a 2,b 3,c 4
b2 4ac 32 4 24
9 32 41
3 41
x 22
3 41 3 41 x1 4 , x2 4
注：当一元二次方程二次项系数不为1且
难以用因式分解时常用公式法比较简便。
为偶数时常用配方法比较简便。
配方法解一元二次方程的解题过程
1.把方程化成一元二次方程的一般形式. 2.把二次项系数化为1. 3.把含有未知数的项放在方程的左边，不含未知 数的项放在方程的右边. 4.方程的两边同加上一次项系数一半的平方. 5.方程的左边化成完全平方的形式，方程的右边化 成非负数.
6.利用直接开平方的方法去解.
A.1 B.-1 C. 1或 -1
D. 1
4
3、一元二次方程ax²+bx＋c =0，
若x=1是它的一个根，则a+b+c= 0 .
若a-b+c=0，则方程必有一根为 -1 .
4.一元二次方程3x2=2x的解是
2
x1=0,x2= 3 .
5.一元二次方程(m-2)x2+3x+m2-4=0有一解为0.则m的 值是 m=-2 .
特点: ①都是整式方程. ②只含一个未知数; ③未知数的最高次数是2.
试一试
1.判断下列方程是不是一元二次方程
（1）4x- 1 x²+
2
3 =0
是
（3）ax²+ｂx+c=0 不一定
（2）3x²- y -1=0 不是
（4）x
+
1 x
=0
不是
2.关于x的方程(m²-1)x²+(m-1)x-2m+1=0.
一般形式 ax2+bx+c=0 (a≠0)
直接开平方法 (x a)2 bb 0
一 元 二
解法
配方法 公式法
x2
bx
b
2
2
x
b
2
2
cc
0
x b b2 4ac 0
次
2a
方
因式分解法 (x a)(x b) 0
程 根的判别式： b2 4ac
根与系数的关系： x1 x2
x= -b b2 4ac（b2 4ac 0） 2a
一元二次方程的解法：（因式分解法）
例：（y 2)2 3( y 2)
解:原方程化为 （y+2) 2﹣3（y+2）=0
把y+2看作一个 整体，变成
a×b=0形式(即 两个因式的积
的形式)。
(y+2)(y+2-3)=0 (y+2)(y-1)=0 y+2=0 或 y-1=0 ∴y1=-2 y2=1
A.1
B.－1
C.1或－1
D. 1
2
一元二次方程的解法：（配方法）
例：（2） x2 6x 7 0
解： x2 6x 7
配方时应注意
x2
6x
x
—9
32
7 2
—9
①先将二次项系数
转化为1
x3 2
②两边都加上一次 项系数一半的平方
x1 3 2, x2 3 2
注：当一元二次方程二次项系数为1且一次项系数
解： 原方程转化为(2a-4) x2 -2bx+a=0
当a≠2时是一元二次方程； 当a＝2,b≠0时是一元一次方程；
2.当k ≠2 时，方程 kx2 3x 2x2 1 是关于x
的一元二次方程.
3.方程2x(x-1)=18化成一般形式为 x2-x-9=0 其中常
数项为 -9 .二次项为 x2 .一次项为 -x .二次项系数
6.已知m是方程x2-x-2=0的一个根那么代数式m2-m = 2 .
7.一元二次方程ax2+bx+c=0有一根-2,则
4a+c b
的值为
2
一元二次方程的根的情况
不求根,判别一元二次方程 4x2 3x 2 0根的情况.
所以此方程没有实根.
一元二次方程 ax2 bx c 0 (a 0)
公式法解一元二次方程的解题过程 1. 把方程化成一元二次方程的一般形式 2. 写出方程各项的系数（系数包括前面符号） 3. 计算出b2-4ac的值，看b2-4ac的值与0的关
系，若b2-4ac的值小于0，则此方程没有实 数根 。
4. 当b2-4ac的值大于、等于0时， 代入求根 公式 计算出方程的解
一方程。 4. 解这两个一元一次方程，它们的解就
是原方程的解。
1、用配方法解方程2x²+4x +1 =0，配方后得到的方程
当m ≠±1 时是一元二次方程
当m= -1 时是一元一次方程.
当m=
时.x=0.
3.若（m+2）x 2 +（m-2）x-2=0是关于x的一元二次方
程则m ≠－2 。
一元二次方程的一般形式
(a,b,c为常数，a≠0）
当 a 0 时,它是一元二次方程;
当 a 0 时,它不是一元二次方程.
方程2ax2 -2bx+a=4x2, (1)在什么条件下此方程为一元二次方程？ (2)在什么条件下此方程为一元一次方程？
为 1 .一次项系数为 -1 .
一元二次方程的根
能使方程左右两边相等的未知数的值叫做方程的解. 一元二次方程的解也叫做一元二次方程的根.
1.已知x＝-1是方程x²-ax＋6＝0的一个根.则a＝_-__7,
另一个根为_6_.
2.若关于X的一元二次方程 a 1x2 x a2 1 0的一
个根为0.则a的值为（ B ）